Productos notables Clase 4 3ro a 5to

Productos notables
Sebastián Luna
13 de junio de 2022
1.
Factorización
La factorización consiste en convertir una expresión conformada por sumandos a un
producto de un factor llamado factor común y otro que será la suma de otros factores.
1.1.
¿Como factorizar?
Buscamos un factor que sea común en cada uno de los sumandos de la expresión,
este será llamado factor común.
Luego nuestra expresión será igual a un producto de dos factores, donde uno será
el factor común, y el otro será la suma de los factores restantes o no comunes.
Ejemplos:
Factorizemos 9+18+12
Observamos que 9, 12 y 18 tienen a 3 como factor común, entonces tendrı́amos
9 + 18 + 12 = 3 · 3 + 3 · 6 + 3 · 4
Luego factorizamos el 3 y la expresión nos quedarı́a de la siguiente manera
9 + 18 + 12 = 3 · (3 + 6 + 4)
Factorizemos xy + 2y + 3y
Observamos que xy, 2y y 3y tienen a y como factor común, entonces tendrı́amos
xy + 2y + 3y = xy + 2y + 3y
Luego factorizamos el y y la expresión nos quedarı́a de la siguiente manera
xy + 2y + 3y = y · (x + 2 + 3)
Aplicación 1
Simplifique la siguiente expresión:
A=
xy + x2 + 7x
x+y+7
Aplicación 2
Calcule el valor de M , si se sabe que x + y = 13
M=
xy 2 + x2 y + xy
xy
1
Aplicación 3
Sean a, b, m, n números reales positivos tales que a + b = 2mn y m + n = 3ab. Halle
el valor de la expresión
2.
2.1.
1 1
+
a b
1
1
·
+
m n
Productos notables
2.3.
Binomio al cuadrado
2
2
(a + b) = a + 2ab + b
Identidades de Legendre
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2 )
2
(a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
2.2.
2.4.
Diferencia de cuadrados
Multiplicación de binomios con un término
común
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Aplicación 4
Si a + b = 13 y ab = 31; calcule el valor de a2 + b2 .
Aplicación 5
Determine el valor de
P =
(x − 4)(x + 3) − (x + 4)(x − 7)
2x + 16
siendo x ̸= −8.
Aplicación 6
Determine el valor de 8Q sabiendo
(x + y)2 + (x − y)2
Q=
4(x2 + y 2 )
siendo x2 + y 2 ̸= 0.
Aplicación 7
Si x + x−1 = 5, calcule el valor de
r
E=
x2 + x−2
+ 143
23
2
Aplicación 8
Si a < b, además se cumple:
√
a + b = 3 2 y ab = 1
determine el valor de a − b.
Aplicación 9
Determine el valor de
1
1
1
1
4044 1 − 2
1− 2
1 − 2 ... 1 −
2
3
4
20222
2.5.
Binomio al cubo
2.6.
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3b2 a + b3
Suma y diferencia de cubos
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
Aplicación 10
Si a + b = 11 y ab = 5, halle el valor de
a3 + b 3
24
Aplicación 11
Si x − y = 3 y xy = 5, calcule el valor de x3 − y 3 .
Aplicación 12
Si x + x−1 = 4, calcule el valor de
x3 + x−3
12
Aplicación 13
√
Determine el equivalente reducido de 3 P , si
P =
2.7.
a6 − b 6
+ b3
(a + b)(a2 − ab + b2 )
Trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
3
2.8.
Identidad de Gauss
a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca)
Aplicación 14
Sabiendo que a + b + c = 17 y que ab + bc + ca = 61, calcule el valor de a2 + b2 + c2 .
4