calculo

INDICE
INDICE ......................................................................................................................... 1
1
INTRODUCCION ................................................................................................... 2
2
Objetivos................................................................................................................ 2
3
4
2.1
Objetivo general ............................................................................................. 2
2.2
Objetivos específicos: ..................................................................................... 2
MARCO TEORICO ................................................................................................ 2
3.1
Modelos Matemáticos ..................................................................................... 2
3.2
La Derivada .................................................................................................... 3
3.3
Razón de Cambio Relacionada ...................................................................... 3
3.4
GeoGebra ....................................................................................................... 3
DESARROLLO ...................................................................................................... 4
4.1
Presentación del Problema ............................................................................. 4
4.1.1
Gráfica del problema ............................................................................... 4
4.1.2
Planteamiento del problema .................................................................... 4
4.1.3
Resolución del problema ......................................................................... 4
4.2
Resolución y Simulación del problema con GeoGebra .................................. 5
4.2.1
Graficación del problema ......................................................................... 5
4.2.2
Planteamiento del problema en la hoja de cálculo de GeoGebra ............ 6
5
CONCLUCIÓN....................................................................................................... 7
6
REFERENCIAS ..................................................................................................... 8
6.1
Bibliografía ..................................................................................................... 8
CIENCIAS EXACTAS
MECATRONICA
SEDE CUENCA
1
INTRODUCCION
El trabajo que se va a desarrolla a continuación tiene como objetivo explicar y
comprender el planteamiento y resolución de un problema planteado con anterioridad, el
mismo que fue dispuesto por el docente encargado. Donde se expresan y desarrollan
temas didácticos y aplicables que se han ido aprendiendo dentro de este tiempo
pedagógico impartido por el profesor, como las derivadas y razones de cambio,
ocupando datos de variables y funciones. Es así como para dejar en claro cuál es el
proceso de funcionamiento de una derivada que se aplica en función de una variable
para determinar un dato exacto en cierta situación dispuesta que se podría suscitar en
cualquier caso de la vida cotidiana.
Es así como el ejercicio número 1 de los proyectos integradores establecidos, siendo
este el de la posición de un objeto en razón de cambio a la distancia de otro, es aplicar
los procedimientos necesarios para las operaciones pertinentes sin dejar que una falla
arruine el proceso. El fin que se desea obtener es el de demostrar cómo la función de
derivadas pueden explicar el movimiento de un objeto ante otro de manera exacta y
lógica, también se deberá implementar el problema sobre un software para simularlo y
resolverlo así también se podrá ingresar diferentes valores en una determinada variable
para poder obtener diferentes valores en el resultado y así poder comprobar y evaluar de
forma más didáctica y grafica el ejercicio.
2
Objetivos
2.1 Objetivo general

Diseñar un a Modelo matemático y con la ejecución de la derivada comprobar
resultados reales.
2.2 Objetivos específicos:




3
Identificar fórmulas de distancias y áreas de la figura geométrica resultante de la
representación gráfica del problema para relacionarlas entre si y formar el
modelo matemático.
Aplicar la derivada.
Realizar iteraciones modificando la variable de la función encontrada para
interpretar la respuesta válida.
Realizar conclusiones reales del proceso y solución con la ayuda del programa
GeoGebra
MARCO TEORICO
3.1 Modelos Matemáticos
En ciencias aplicadas y en tecnología, un modelo matemático es uno de los tipos de
modelos científicos que emplea algún tipo de formulación matemático para expresar
relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y
2
CIENCIAS EXACTAS
MECATRONICA
SEDE CUENCA
relaciones entre variables de las operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas
complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad. El término modelización
matemática es utilizado también en diseño gráfico cuando se habla de modelos
geométricos de los objetos en dos (2D) o tres dimensiones (3D).
El significado de modelo matemático en filosofía de la matemática y fundamentos de la
matemática es, sin embargo, algo diferente. En concreto en esas áreas se trabajan con
"modelos formales". Un modelo formal para una cierta teoría matemática es un
conjunto sobre el que se han definido un conjunto de relaciones unarias, binarias y
ternarias, que satisface las proposiciones derivadas del conjunto de axiomas de la teoría.
La rama de la matemática que se encarga de estudiar sistemáticamente las propiedades
de los modelos es la teoría de modelos.
3.2 La Derivada
La derivada es uno de los principales elementos en cálculo; la usamos para resolver una
amplia variedad de problemas que incluyen tangentes y tasas de cambio. La derivada de
una función mide la rapidez con la que cambia el valor de una función matemática,
según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un
concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la
función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable
independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada
de una función en un punto dado.
3.3 Razón de Cambio Relacionada
Una razón de cambio relacionada es una operación matemática donde los datos de una
variable en función de “x”, por poner un ejemplo, depende o influye en otras variables,
como una variable en función de “y”. se trata de la magnitud que compara dos variables
a partir de sus unidades de cambio. en caso de que las variables no están relacionadas
tendrán una razón de cambio igual a cero.
3.4 GeoGebra
GeoGebra es un software de matemáticas dinámicas para todos los niveles educativos
que reúne geometría, álgebra, hoja de cálculo, gráficos, estadística y cálculo en un solo
programa fácil de usar. GeoGebra es también una comunidad en rápida expansión, con
millones de usuarios en casi todos los países. GeoGebra se ha convertido en el
proveedor líder de software de matemática dinámica, apoyando la educación en
ciencias, tecnología, ingeniería y matemáticas (STEM: Science Technology Engineering
& Mathematics) y la innovación en la enseñanza y el aprendizaje en todo el mundo.
3
CIENCIAS EXACTAS
MECATRONICA
SEDE CUENCA
4
DESARROLLO
4.1 Presentación del Problema
Un hombre está parado en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus
manos están a 3 m por encima del amarre de la lancha. Cuando la lancha está a 4 m del
muelle el hombre está jalando la cuerda a una velocidad de 80 cm/s. ¿A qué velocidad
se aproxima la lancha al muelle?
4.1.1 Gráfica del problema
4.1.2 Planteamiento del problema
¿Qué se pide en el problema? Se pide calcular la rapidez (velocidad) a la que está
disminuyendo la distancia que hay entre la lancha y el muelle, cuando dicha distancia es
de 4 m y la longitud de la cuerda esta “disminuyendo” a razón de 0.8 m/s. Es decir, si
consideramos que (en cierto instante t) la lancha se encuentra a una distancia x(t) del
muelle y z(t) es la longitud de la cuerda, entonces lo que se desea es calcular la rapidez
con que cambia (razón de cambio de) la distancia x(t), cuando el valor de x(t) es de 4 m
y la razón de cambio de la longitud z(t) de la cuerda es de −0.8 m/s. Esto es se pide
calcular a la derivada dx/dt cuando x = 4 y dz/dt = −0.8. [El signo negativo en la razón
de cambio de la longitud z(t) de la cuerda se debe a que dicha longitud está
disminuyendo (decreciendo). Consideramos el triángulo rectángulo cuyos vértices están
en el amarre de la lancha, la base del muelle y las manos del hombre. Este triángulo
tiene catetos de longitudes x(t) (distancia entre la lancha y el muelle) y 3m (altura entre
la base del muelle y las manos) e hipotenusa de longitud z(t) (longitud de la cuerda).
4.1.3 Resolución del problema

Primero: Por el teorema de Pitágoras se cumple que:
4
CIENCIAS EXACTAS
MECATRONICA
SEDE CUENCA
2
2
𝑍(𝑡) = 𝑋(𝑡) + (3)
2
Donde X(t) y Z(t) dependen del tiempo t.

Segundo: Derivando implícitamente con respecto a t se obtiene:
𝑑𝑧
𝑑𝑥
2𝑍(𝑡 ) ( ) = 2𝑥 (𝑡 ) ( )
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Donde, para cualquier instante t ≥0 , mientras x > 0 se tiene que:
𝑑𝑥 𝑧(𝑡) 𝑑𝑧
=
( )
𝑑𝑡 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡
 Tercero: En el instante t0 en que x(t0) = 4m se tiene que:
𝑧(𝑡0 )2 = (4)2 + (3)2
a) 𝑧(𝑡0 ) = √(4)2 + (3)2
𝑧(𝑡0 ) = √25
𝑧(𝑡0 ) = 5

Cuarto: debido a que dz/dt = −0.8 m/s, obtenemos que, en ese instante t0:
b)
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑧(𝑡) 𝑑𝑧
( )
𝑥(𝑡) 𝑑𝑡
𝑑𝑥 5
= (−0,8 𝑚/𝑠)
𝑑𝑡 4
𝑑𝑥
= −𝟏 𝒎/𝒔
𝑑𝑡
4.2 Resolución y Simulación del problema con GeoGebra
Para resolver el problema en el software GeoGebra hemos usado el proceso anterior
solo que le hemos trabajado únicamente con las fórmulas de los literales a y b.
4.2.1 Graficación del problema
Usando los comandos y herramientas del programa se ha dibujado el grafico que
representa al problema.
 Primer comando: Con el comando “polígono” se ha trazado la figura del barco
(cuadrilátero: trapecio isósceles invertido y alargado ) y del muelle (figura en
forma de L volteada y girada 90º).

Segundo comando: Con el comando “segmento de recta” se ha trazado las
líneas auxiliares o líneas de referencia “x”, “z” y “tres”.
5
CIENCIAS EXACTAS
MECATRONICA
SEDE CUENCA

Tercer comando: con el comando “deslizador” se lo ha utilizado para hacer que
los gráficos tengan movimiento, es decir la figura se mueva hacia el muelle,
efecto con el cual se logra determinar la velocidad con la que el barco se acerca
al muelle en diferentes distancias.
Luego se le ha modificado los puntos y los segmentos de recta para que el grafico la
figura trazada se vea despejada y estética. Finalmente de forma adicional se le ha
insertado cuatro funciones seno e igualmente se les ha agregado un deslizador para
general el efecto de movimiento
4.2.2 Planteamiento del problema en la hoja de cálculo de GeoGebra




En las casillas B4 B5 y B6 está especificado el nombre de cada dato que se
ocupara en la resolución del problema
En la casilla C4 está ingresada la distancia que hay entre el bote y el muelle,
esta casilla esta sincronizada con el deslizador X1.
En la casilla C5 se calcula el valor de Z mediante el teorema de Pitágoras.
Y finalmente en la casilla C6 se obtiene el valor de dx/dt el cual nos dará el
valor de la velocidad con la que el bote se acerca el muelle.
6
CIENCIAS EXACTAS
MECATRONICA
SEDE CUENCA
5
CONCLUCIÓN
Se ha Diseñado un Modelo matemático mediante al cual se lo ha derivado comprobar
resultados reales y específicos. Para poder obtener el modelo matemático se ha
Identificado el teorema de Pitágoras y aplicado a la figura geométrica resultante en la
graficación y planteamiento del problema, también se ha realizado iteraciones
modificando la variable de la distancia entre el bote y el muelle en la función
encontrada para poder interpretar la respuesta válida.
En definitiva con este trabajo se ha podido determinar de manera sencilla mediante el
programa GeoGebra los resultados obtenidos en la resolución del problema planteado
en un inicio, con ello hemos podido visualizar de manera gráfica los resultados del
ejercicio e incluso comprobar mediando la hoja de cálculo del programa, también se ha
podido ampliar los resultados pudiendo ingresar varias distancias y obtener un resultado
con cada una.
7
CIENCIAS EXACTAS
MECATRONICA
SEDE CUENCA
6
REFERENCIAS
6.1 Bibliografía





Definicionabc. (13 de 05 de 2009). definicionabc. Recuperado el 05 de 11 de
2017, de https://www.definicionabc.com/general/ingenieria.php
George B. Thomas. (2010). Calculo de una variable. Naucalpan de Juárez,
Estado de México: Addison-Wesley.
Pursell, V. &. (2007). Calculo. Mexico D.F: PEARSON Education.
Ron Larson, B. H. (2010). Calculo de una variable. Mexico D.F: McGRAWHILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A.
Stewart, J. (2012). Calculo de una Variable. Mexico D.F: Cengage Learning
Editores, S.A.
8