Aristóteles y las matemáticas La matemática griega del siglo IV a. C. era abstracta y teórica, estrechamente ligada a la filosofía y a la rigurosa necesidad de “convencer”. Platón, el gran pensador de ese periodo, hace numerosas referencias a las matemáticas en sus Diálogos. Así, en la República, desarrolla su teoría de las formas-ideas entre las cuales la idea del Bien es la de más difícil acceso, pero necesaria para conducirse sabiamente en la vida privada y pública. De entre todas las disciplinas que preparan a los jóvenes a este conocimiento, Platón destaca a las Matemáticas, ese largo y obligado camino que abre la puerta a la Dialéctica con la cual es posible sin el uso de los engañosos sentidos elevarse hasta aprehender lo que es el Bien, en una completa contemplación de lo inteligible. Platón consideraba que la formación matemática era imprescindible para la clase dirigente -y con ello no hacía más que extender a la política las doctrinas pitagóricas según las cuales todo lo natural estaría en estrecha relación con los números- y la Aritmética y el Cálculo serían fundamentales, pero no solo con miras a las compras y a las ventas como en el caso de comerciantes y tenderos, sino con vistas a la guerra y para facilitar a la propia alma la posibilidad de volverse de lo sensible a la verdad y a la esencia. Así mismo, la Geometría era una disciplina que había que enseñar a los ciudadanos de un estado perfecto porque “hay una enorme diferencia entre quien sabe de geometría y quien la desconoce”, incluso para mejor comprender las otras disciplinas del saber. Para Platón los objetos matemáticos existen en el mundo de las ideas, un mundo exterior a la naturaleza y preexistente a la ordenación del Universo. El Demiurgo, ese ser que en la cosmogonía platónica ordena el Mundo, se inspira en los entes y modelos matemáticos para conseguir la armonía de lo natural. Esta idea filtrada más adelante por los pensadores cristianos daría lugar a un Dios Geómetra, que habría creado tanto el mundo de las ideas como el mundo sensible, que se regiría por leyes matemáticas, esencia de la divinidad. También el valor formativo de las matemáticas - para estructurar mentes bien formadas-, alejado de prosaicas aplicaciones prácticas para resolver problemas de la vida cotidiana, ha tenido una gran influencia en la enseñanza de las matemáticas a lo largo de la Historia. Y en esto, que llegó Aristóteles de Estagira, el más destacado de los discípulos de Platón. Y hay que decir desde un primer momento que Aristóteles no consideraba a la matemática como una disciplina adecuada para el estudio de los fenómenos naturales y se opuso al uso desmedido de la numerología pitagórica y platónica. Aristóteles advierte y aprecia la belleza de la geometría del triángulo y de las matemáticas en general, pero rechaza que los números y los entes geométricos constituyan la intimidad de las cosas y de los seres. Aristóteles es el creador de la Lógica, el arte del correcto razonar y advierte y previene a los matemáticos de los peligros lógicos en los razonamientos; uno de ellos, el de usar –muchas veces inadvertidamente- como hipótesis lo que se quiere demostrar. Sir Thomas Heath (1861-1940), el preclaro autor de A History of Greek Mathematics, sintió la necesidad, un año antes de morir, de escribir un libro en el que volcar todos sus apuntes y conocimientos sobre las Matemáticas Griegas en relación con Aristóteles. Heath había nacido el mismo año que Alfred N. Whitehead y, como él, fue un destacado profesor del Trinity College en Cambridge. Es muy posible que las intenciones de Heath fuesen las de dulcificar las tensas y a veces enconadas relaciones entre “aristotelismo” y “matematismo que se habían ido sucediendo a lo largo de la Historia”. Fue su mujer, Ada Mary Heath quien publicó en 1948 la obra incompleta de su marido. Para ello contó con la inapreciable ayuda de Sir David Ross (1877-1971), el gran experto en la Física y en la Metafísica de Aristóteles. En Mathematics in Aristotle, la obra de Heath, están citadas y comentadas casi 300 referencias a las Matemáticas que recorren toda la obra de Aristóteles. Tres eran para el gran pensador griego las ciencias teóricas, la Matemática, la Física o Filosofía de la Naturaleza y la Teología o Filosofía Primera, siendo esta última la más noble de ellas. Aristóteles conoció con precisión toda la matemática elemental de su época, la que poco tiempo después recopilaría Euclides en sus Elementos, y esta le sirve para ilustrar las abundante observaciones sobre la Lógica o método de razonamiento que hace en sus libros. En la Metafísica, seguramente la obra más importante de Aristóteles, en la que se habla de la Realidad, en la que se trata de entender lo que es real, hay abundantes referencias a las matemáticas. Los entes matemáticos no son entidades reales de por sí, ni tampoco son irreales. Subsisten en las cosas sensibles y nuestra mente las separa mediante la abstracción. Aristóteles fue el principal impulsor del método axiomático deductivo -el que usaría Euclides- en el que a partir de unos postulados y axiomas, hechos evidentes y que son admitidos por consenso, se deducen proposiciones y teoremas con las reglas del buen razonar. Hay que resaltar que Aristóteles señala la existencia en la geometría griega de tendencias no-euclídeas. En particular cuando habla de lo que será el quinto postulado euclídeo, como objeto de libre elección (y por tanto no demostrable), o cuando habla de la suma de los ángulos de un triángulo no sólo como suma de dos rectos sino superior o inferior. El historiador de las matemáticas húngaro Imre Toth ha señalado hasta veinte pasos en el Corpus Aristotelicum que contienen indicios de geometrías no euclídeas. Pero veamos el resultado matemático que -creemos- más impresionó a Aristóteles: los matemáticos griegos del siglo V a.C. hicieron un admirable y sorprendente descubrimiento: la diagonal y el lado de cualquier cuadrado son inconmensurables, esto es, no existe un segmento que esté contenido un número exacto de veces tanto en el lado como en la diagonal de un cuadrado. Descubrimiento admirable, porque llegaron a él con la fuerza del razonamiento, ya que se trata de un hecho que trasciende cualquier posibilidad de medida o experimentación. Y ello fue un hecho demoledor para la “ingenua” teoría corpuscular y para los intentos de aritmetizar la geometría. Ello obligaba además a aceptar la infinita divisibilidad de un segmento, con las consecuencias que eso tendría en la confección de las aporías de Zenón. Aristóteles habló en sus obras con frecuencia sobre la inconmensurabilidad del lado y la diagonal del cuadrado. Concretamente en sus Primeros Analíticos, se encuentra la famosa demostración en la que de suponer conmensurables el lado y la diagonal de un cuadrado, se llega por reducción al absurdo a la consecuencia de que un mismo número es par e impar a la vez. [[image|254]] Llamamos a al lado del cuadrado y d a su diagonal. Queremos demostrar que no existe ninguna fracción de números naturales p/q que sea igual a la relación entre el lado y la diagonal d/a Supongamos que sí existe: fracción ésta que suponemos simplificada, es decir que p y q no tienen divisores comunes. Eso impide que p y q sean los dos pares. Aplicando el teorema de Pitágoras : a2 a2= d2, es decir, 2 a2= d2 [[image|255]] pero esto significa que y por lo tanto p2= 2q2, es decir, el número p2 es par luego también lo es p. Pero eso significa que p es el doble de otro número: p=2m, por lo tanto, p2=4m2 Luego, 2q2= 4m2, de donde obtenemos que q2=2m2 por lo que q2 es par y en consecuencia, también lo es q. Pero habíamos dicho que p y q no pueden ser ambos pares, por lo tanto hemos llegado a una contradicción, lo que demuestra la imposibilidad de la hipótesis. En la Metafísica (983 a, 12-20) dice Aristóteles: “Todos comienzan, de hecho, maravillándose de que una cosa pueda ser en un cierto modo, como los trucos de un malabarista, o sobre los movimientos del Sol, o sobre la inconmensurabilidad de la diagonal respecto al lado en un cuadrado. Maravilloso resulta, ciertamente, que no exista algo pequeñísimo como unidad de medida común, pero cuando se ha entendido, lo que realmente maravillaría a un matemático es que la diagonal fuese conmensurable con el lado”. Aristóteles y el infinito En la historia del infinito, aquella que Jorge Luis Borges (1899-1982) esperaba que se escribiera algún día, en el capítulo dedicado a la cultura griega, los protagonistas fundamentales son Zenón de Elea y Aristóteles de Estagira. Es alrededor del año 450 a. C. cuando Zenón desarrolla sus célebres argumentos contra el movimiento, estrechamente ligados a las matemáticas y al concepto de infinito. El movimiento es algo relativo al mundo natural y cuyo estudio pertenece al reino de la Física, en el que –según Aristóteles- se inmiscuye la matemática, ciencia teórica y con ella el concepto de infinito “… que conlleva una dificultad, pues tanto al afirmar que no lo hay como al afirmar que lo hay resultan muchos imposibles” (Física, 203b, 30-32). Los argumentos de Zenón de Elea a) La dicotomía “Tú no puedes llegar a la extremidad del estadio. No puedes franquear en un tiempo finito un número infinito de puntos. Obligadamente tienes que franquear la mitad de una cualquier distancia dada antes de franquear al todo y la mitad de esta mitad antes de franquear ésta. Y así sucesivamente ad infinitum…” b) El “Aquiles” “Aquiles no se adelantará nunca a la tortuga. Primero tiene que llegar al sitio de que partió la tortuga. Durante ese tiempo la tortuga hará un cierto avance. Aquiles debe ganarlo, y la tortuga se aprovechará para hacer un nuevo trecho de camino. Siempre se acercará a ella, pero sin alcanzarla jamás. Pero Aquiles, piensa Aristóteles, no está enfrentado a realizar algo lógicamente imposible. La pretensión de tal cosa se crea por confundir el número finito de actos reales que el corredor tiene que hacer con la serie infinita de números con la cual describimos lo que hace. La flecha no está en ningún punto de su trayecto. Todo lo más cabría decir que podría estar ahí y que le estaría permitido detenerse ahí. El modelo matemático que aplicamos no describe adecuadamente el espacio, el tiempo, el movimiento. En relación a Aristóteles y el infinito matemático hay que citar fundamentalmente tres textos: la Física (cap. 4-8 del libro III), De Caelo (cap. 5-7 del libro I) y la Metafísica (cap. 10 del libro XI). Para Aristóteles, el problema del infinito es eminentemente físico: “Parece que el movimiento es algo continuo y lo infinito aparece primero en lo continuo. Por esto ocurre que los que definen lo continuo a menudo necesitan el concepto de infinito”. El infinito es pues un asunto de la física, dice Aristóteles, no obstante admite que sea también un tema propio de los matemáticos; y ello por dos motivos: a) la serie de los números naturales no tiene fin y b) la infinita divisibilidad de un segmento. La sucesión creciente de números enteros naturales no tiene fin, es ilimitada, porque fijado un número natural por grande que sea, siempre es posible encontrar un número mayor que él. Pues bien, la definición de “infinito potencial” para una sucesión de elementos es esta: la posibilidad de proceder siempre más allá, sin que exista un último elemento. La imposibilidad de pensar un final para el espacio, una barrera tras de la cual no exista más espacio, es otra de las vías naturales que conducen al concepto de infinito potencial. La infinidad potencial es así característica de nuestro modo normal (el del sentido común) de concebir el espacio y el tiempo, respectivamente, como un cubo que crece ininterrumpidamente o como un segmento que es prolongable indefinidamente. En relación con la infinita divisibilidad de un segmento de recta, Aristóteles se enfrentó al siguiente dilema: ¿un segmento continuo es solo divisible en un número de partes tan grande como se quiera mediante un proceso de sucesivas divisiones y, por tanto, es infinito en el sentido potencial, o bien puede concebirse como infinito en acto, como colección infinita exhaustivamente dada de todos sus puntos? Pues bien, la respuesta de Aristóteles a este problema consiste en negar la existencia del infinito actual tanto físico como mental: en el capítulo 5 del libro III de la Física, Aristóteles demuestra que no existe un cuerpo físico infinito en acto. Pero Aristóteles niega además la posibilidad del infinito actual mental o matemático (y aquí se aprecia la influencia de los argumentos de Zenón). Sin embargo esta “prohibición” no impide a los matemáticos realizar sus razonamientos: Este nuestro discurso no pretende suprimir las investigaciones de los matemáticos por el hecho de excluir que el infinito por adición pueda recorrerse en acto. En realidad, ellos (los matemáticos), en el estado presente, no sienten la necesidad del infinito, y en realidad no se sirven de él, sino solamente de una cantidad tan grande como se quiera, aunque siempre finita. En esa Historia del Infinito deseada por Jorge Luis Borges, un capítulo central, según él, habría que dedicarlo al cardenal Nicolás de Cusa (1401-1462), ya en pleno dominio cultural del cristianismo. Pero mi maestro, Lucio Lombardo Radice (1916-1982), allá por los años 70 del siglo pasado, matemático y gran intelectual, admirador de Borges, afirmaba que era Agustín de Hipona (354-430), San Agustín, la personalidad del cristianismo que más había influido en la progresiva “domesticación” del infinito actual, atreviéndose a contradecir la imposibilidad de pensar el infinito en acto. Si bien el ente dotado de tal facultad era excepcional, el Dios cristiano. Todo número está caracterizado por su propiedad, así que dos cualesquiera son distintos. Por tanto los números son distintos, y tomados singularmente son finitos, y tomados todos juntos son infinitos. Dios, entonces, a causa de su infinitud los conoce todos. ¿Cómo sería posible que la ciencia de Dios conociese unos números e ignorase otros? ¿El que sostuviese esto no sería un demente? El infinito actual “in mente Dei”.Pero decía, Lombardo Radice, miembro del comité central del partido comunista italiano de aquella época, lo que se le ocurre a Dios, tarde o temprano se le ocurre al ser humano, su criatura preferida. Habría que esperar a Georg Cantor (1845-1918), devoto cristiano, a finales del siglo XIX, para que se dotase de pleno rigor al uso del infinito actual en Matemáticas. Alfred N. Whitehead (1861-1947), en 1925, en el capítulo II de_ Science and the Modern World_, se dedicó a hacer un análisis del papel que las matemáticas habían jugado en la historia del pensamiento occidental. Distinguía allí dos periodos de dos siglos cada uno que han sido fundamentales para la cimentación y desarrollo del pensamiento occidental y que tienen a las matemáticas como pilares básicos. El primero de esos periodos correspondía al tiempo de los griegos, el transcurrido entre Pitágoras y Platón; el segundo, en estrecha relación con el anterior, sería el comprendido por los siglos XVII y XVIII, teniendo a Galileo, Descartes y Newton, en el siglo XVII, y a los matemáticos franceses en el siglo XVIII, como personajes determinantes en el mismo. En el largo intervalo entre ambos periodos, señala Whitehead, el aristotelismo habría evitado la matematización de la Naturaleza. Llega el siglo XIX, y a pesar de que el avance de la matemática pura es inmenso, no se constituye, sin embargo, en protagonista del avance científico, sino que es la biología, el organicismo la evolución, y por tanto un cierto aristotelismo, quien va a erigirse en la avanzadilla del progreso científico a comienzos del siglo XX. Pongamos por último, algún ejemplo sacado de la ciencia y filosofía moderna que apoya la tesis aristotélica de la inadecuación de las matemáticas para abordar en profundidad el estudio de la Realidad: El naturalista Georges Louis Buffon (1707-1788), hacia 1750, en su De la manière de traiter l’Histoire Naturel, reivindicaba a Aristóteles en sus opiniones sobre la validez de las matemáticas en las ciencias de la naturaleza: Hay varias especies de verdades, y se acostumbra a poner en el primer orden las verdades matemáticas; sin embargo, no son más que verdades de definiciones; estas definiciones se refieren a suposiciones sencillas, pero abstractas; y todas las verdades de este género no son más que consecuencias compuestas, pero siempre abstractas de esas definiciones. Nosotros hemos hecho suposiciones, las hemos combinado de todas las maneras; ese cuerpo de combinaciones es la ciencia matemática; no hay, por tanto, en esa ciencia nada más que lo que nosotros hemos puesto en ella…Las verdades físicas, por le contrario, no son en modo alguno arbitrarias y no dependen de nosotros; en lugar de estar fundadas en suposiciones, no se apoyan más que en hechos…En matemáticas se supone; en física se afirma y se establece. Allí son definiciones, aquí son hechos. Se va de definiciones en definiciones en las ciencias abstractas; se marcha de observaciones en observaciones en las ciencias reales. En las primeras de llega a la evidencia; en las últimas, a la certeza. Gilles Deleuze (1925-1995) en la introducción a Différence et répétition, escribe: […] si la repetición es posible es más bien debido al milagro que a la ley. La repetición está contra la ley: está contra la forma semejante y el contenido equivalente de la ley […] En todos los aspectos, la repetición es la transgresión. Pone en cuestión a la ley […] No obstante, parece difícil negar, desde el punto de vista de la propia experimentación científica, toda relación de la repetición con la ley. Debemos preguntarnos en qué condiciones la experimentación asegura una repetición. Los fenómenos de la naturaleza se producen al aire libre, toda inferencia es posible en vastos ciclos de semejanza: en este sentido todo reacciona sobre todo, y todo se parece a todo (semejanza de lo diverso consigo mismo). Sin embargo la experimentación constituye medios relativamente cerrados, en los cuales definimos un fenómeno en función de un pequeño número de factores seleccionados (como mínimo dos, por ejemplo, el espacio y el tiempo cuando se trata del movimiento de un cuerpo en el vacío). Desde ese momento no hay motivo para interrogarse sobre la aplicación de las matemáticas a la física: la física es inmediatamente matemática. El error estoico radica en esperar la repetición de la ley de la naturaleza. El sabio debe convertirse en virtuoso; el sueño por encontrar una ley que haga posible la repetición pasa cerca de la ley moral. La ley reúne el cambio de las aguas en la permanencia del río Bibliografía MATHEMATICS IN ARISTOTE, Thomas Heath. Thoemmes Press. Bristol,1996. ARISTOTELE E LA MATEMATICA, Silvio Maracchia. En Historia de la Geometría Griega. Seminario Orotava de Historia de la Ciencia. La Orotava, 1992. EL CONTINUO Y EL INFINITO EN LA MATEMÁTICA GRIEGA, José L. Montesinos. En Historia de la Geometría Griega. Seminario Orotava de Historia de la Ciencia. La Orotava, 1992. HISTORIA DE LA MATEMÁTICA EN LA ENSEÑANZA SECUNDARIA, José L. Montesinos. Editorial Síntesis. Madrid, 2000.
