UNMSM CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo Ordi

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 1
TEORÍA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es una combinación de constantes y potencias de variables que
estén ligadas por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división,
potenciación y radicación, sin variables en los exponentes.
Ejemplos:
1
2x2y + 3
x
, 4xy – 1 – x 3 - y 2 .
y
EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Cuando las variables no están afectadas por la radicación ni su exponente es fraccionario.
Pueden ser:
Ejemplos:
3 x3yz – 1 ; x3 + 5x2 y – 4 ; 2x3 + 5y9 – 7z6
RACIONALES ENTERAS: Cuando los exponentes de las variables son números enteros
no negativos.
Ejemplos:
3 x3yz2; x3 + 5x2 y 4 ; 2x3 + 5y9 – 7z6
RACIONALES FRACCIONARIAS: Cuando por lo menos hay una variable en el
denominador o las variables del numerador están afectadas al menos de un exponente
entero negativo.
Ejemplos:
x2
+ 5x2 y – 4 ; 2x3 + 5y – 5
y
EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES
Cuando hay una variable afectada por la radicación.
3 x3yz – 1 ;
Ejemplos:
x2
3
y
+
5x2
y–4
1
;
2x2y
x
+3
, – x 3  y2 .
y
an = b, donde
Semana Nº 1
Potenciación
an : potenciación
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 1
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Ciclo Ordinario 2016-I
a : base
n : exponente
b : potencia
Definición: an = a . a ... a , si n  N, a R.
nveces
Observación: la potencia 00 no está definida.
Propiedades
m
n
am
m- n
7.
,a0
n = a
a
1
8. a-n  n , a  0
a
m+n
1. a . a = a
2. a0  1, a  0

3.

n
ab
= an .bn
9.
n
an
a
4.   = n , b  0
b
b
n
6. a
mn
n
n

am
am
10. am
a
b
5.   =   , a  0, b  0
a
b
q
p  t

t
n  l
11.
l


n

 amn

 mn
a
n p

 m
(a
)  =
,
q
a
a0
mnpq
u
 a m  a ; ml  u
Radicación en R

Sea n 
n
 1 tal que n es par ; a > 0 ó n es impar, se cumple:
a  b

a  bn
n
índice
a  b
raíz
radical
Observación : En el caso de que n    1 tal que n es par ; a > 0 entonces b >0
Propiedades
Si los radicales de ambos miembros existen, se tiene que:
1.
n
2.
n
m
a
a
b
Semana Nº 1

m
n
a ; n  2, n  N.
n

n
a
b
, b0
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 2
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3.
n
am . ap

4.
n
am
bp
n
5.
n
6.
7.

n

am
pqrs

p
8.
a
n
ap
,b0
n

x
bp
am .
n
a . b . c
n
amp 
p
q
an =
m
am
n
n
abc 
n
n
a
r
p
y
 
n
a
s
z
mp
a
an
(xn+y)p+z
mnp
=a
Ejemplo 1:
 1 
Halle el valor de M  

 343 
Solución:
 1
M
 343



1
 
9
 1 


 343 
Ciclo Ordinario 2016-I

 

1
2


1
3
 1 


 36 



4
 1 


 36 


 

1
2
1
2
1
1 2

9 
 1 


 36 
 1 


 2 
 1 


 2 

 

1
3



4

1
2
 1 


 2 
 1
  
3
1
1
3
36  23
 3 343 
 7  6  8  21
 M  21 .
Ejemplo 2:
x
Si

Semana Nº 1
x

x

1
2
, halle el menor valor de x.
(Prohibida su reproducción y venta)
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Solución:
x
x
1
2
1
 1 
 1 4



 4  
 2 


x 
1
2

x

el
menor
valor
de
x

x 
1
4
es
1
4
x

1
16
1
16
.
Algunas propiedades de Productos Notables:
-a + b
1) a2 - b2 =(a b)

2)(a ± b)= 2a ± 22ab +b
2
3)(a +b)+(a2 b)= 2(a
- 2 +b )
4) a3  b3 
(a b)(a2
2
2
ab b2 )
5) Si a  b  c 
0 entonces se cumplen:
 a3  b3  c3 
3abc
 a2  b2  c 2 
2(ab  ac  bc)
6)

ab

3

a3  3a2b  3ab2  b3
EJERCICIOS DE CLASE
1.
Sea la expresión algebraica racional entera :
 n2  1  n3 5n n  12 2n2 5n 5n


M(x, y,z) 
x
y
x
z .
 n  1 
n–2


Si los coeficientes de dicha expresión son enteros, halle el doble de la raíz cuadrada
del triple del producto de los coeficientes.
A) 30
B) 25
ab

2.
Si
ab
a
b
A) 2
Semana Nº 1
B) 1
C) 20
a
b
a
...  ; a,b 
b
C)
2
D) 15

D)
E) 10
, halle el valor de
1
2
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
ab
.
b
2
2
Pág. 4
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3.
an
Si
x
 x np
  bc
x

nm
xba
a,b,c,m,n,p 
A) 2
4.
Si
B)
7
 7y  y  77
A) 15

5
5
x
1
D)
2
E) 1
2
, halle la suma de cifras de 7 4 y .
C) 17
D) 13
E) 11
x7
 x 1
 5 , halle el valor de x.
B)
7
3
12
soles y al comprar 12 pulseras a x x
C)
7
D)
3
4
E)
2
2
14
3
5
soles cada una, le sobra
soles. ¿Cuánto dinero tenía Juana antes de la compra?
A) S/. 526
7.
2
; donde mn  ab  an , x  0 ,x  1,x  1 ;
mnp
.
abc
B) 12
Juana tiene x x
x 1
1
bp
C)

1 
 

  x. x x   1 

 


Si 

1
1 x



  x 1 . x x   1 






A)
6.
, halle

1
2
1
x
5.




Ciclo Ordinario 2016-I
B) S/. 652
C) S/. 254
D) S/. 246
E) S/. 256
Halle el producto de los valores que satisfacen
 2x  x
2
1

4
A)
2
8
Semana Nº 1
B) 1
C)
1
16
2 22
.
2 7
D)
2
16
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
1
64
Pág. 5
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8.
Ciclo Ordinario 2016-I
María y Juan desean comprar arroz y para ello disponen de m soles y J soles

m
respectivamente;
donde
J
6 6
x
b1
ab
1b
aab
.x
2
2
ab .a1b
,x  0
,
. ¿ Cuántos kilos de arroz pueden comprar entre ambos,
6 6 36
2016 radicales
si el kilo de arroz tiene un precio de S/. 3.5 ?
A) 2 kg
B) 1 kg
C) 3 kg
D) 4 kg
E) 5 kg
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN
1.
Dada la expresión algebraica racional entera de tres términos
n
V(x, y)  (m  n)x y
4 m

6
n
x 1
n2
y
 (m
4
m
 3)y 1 ,
halle la suma de sus coeficientes.
2.
B) 1
A) – 5
Halle el menor valor de “n” en
C) – 3
D) 2
E) – 1
D) – 2
E) – 1
32n  8.6n 
3n  8.18n
A) – 5
3.
4
A)
4.
B) – 4
P

Si P
16
27
48
C)
16
 4 x 12
 6  x
x
T
 23 x 9 x

x







B)
16
2 ; donde P, A, Z 
29
211
D)

16
halle el valor de PAZ .
25
E)
16
29
Simplifique
B) x 4
A) 1
5.
16
C) – 3
A
Z
A
Z
y
3y
 3 , halle T 
Si x
A)
3
3
Semana Nº 1
B)
3
9
72
.
C) x2
yx
y
x 2y
xy
C)
D) x3
E) x10
.
3
6
D)
3
12
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
3
Pág. 6
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6.
Ciclo Ordinario 2016-I
Después de dictar la clase de teoría de potenciación y radicación, el profesor Orlando
3a1
deja el siguiente ejercicio :” Si se cumple que a

5
25 ,
n
75n  bn
n
n
b 3
 a1 y
1
3
c 2 c 4 5
c 4c
cb ; c  1, halle el valor de abc” , ante lo cual sus cinco
mejores estudiantes : María , Mónica, , Juan , Pedro y Tino dieron como respuesta,
150,144,148,156 y 160 respectivamente. ¿Quién de ellos obtuvo la respuesta
correcta?
A) María
7.



Si M  
 1


A) 2n
8.
B) Tino
2
C) Juan
...
2
3 3
C) 2n
B) 1
n30
28
Semana Nº 1
B) 131
E) Mónica
n



 ; donde n 
3... 


2
Halle “n” , si
A) 135
D) Pedro
n 20
 44
C) 137

, halle el menor valor de M.
D) 21
E) 2
D) 133
E) 139
.
(Prohibida su reproducción y venta)
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Álgebra
SEMANA Nº 2
NÚMEROS REALES, RADICALES DOBLES, RACIONALIZACIÓN
LOS NÚMEROS REALES
Antes de mencionar a los números reales, veamos los siguientes conjuntos:
  0,1,2,3,... 

los números naturales


. . .
los números enteros   . . . ,  2, 1,0,1,2,

los números racionales

m

  /  m,n   ; n  0 
n

los números irracionales I   p / p no puede ser expresado como una fracción
Es decir, los números irracionales son aquellos que se escriben mediante una expresión
decimal con infinitas cifras y no periódicas.
Ejemplos:

2  1,414213562. . .

 3,141592654 . . .
Definición: el conjunto
de los números reales es definido como 
 I
.
Observaciones:
1) De las definiciones anteriores, se tiene el siguiente esquema
I
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 1
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2) El conjunto
de los números reales está provisto de dos operaciones: adición y
multiplicación, y una relación de orden "< " que se lee "menor que"; esta relación de orden
tiene las siguientes propiedades:
i) Si x  y  y  z  x  z ;   x,y,z   .
ii) Si x  y  x  z  y  z ;   x,y,z   .
iii) Si x  y  z  0  xz  yz.
RECTA REAL
Los números reales se representan gráficamente por una recta, llamada “recta real”.
Nota: a < b significa que sobre la recta real “a” se encuentra a la izquierda de “b”.
DESIGUALDAD
Es una expresión que indica que un número es mayor o menor que otro.
Definiciones:
I.
II.
a  b  (a  b  a  b)
a  b  (a  b  a  b)
Propiedades
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
ab = 0  [a = 0  b = 0]
Si ac = bc y c  0  a = b
a<b<c  a<bb<c
a<bc<d  a+c<b+d
a<b  –a>–b
a > b  c < 0  ac < bc
a  0  a2 > 0
Si 0  a < b  0  c < d  ac < bd
Si a y b tienen el mismo signo, entonces: a < b  a–1 > b–1
ab > 0  [(a > 0  b > 0)  (a < 0  b < 0)]
ab < 0  [(a < 0  b > 0)  (a > 0  b < 0)]
1
2
a
1
13.  a  – , a +
–2
a
a
c
a
ac
c
14. Sean a,b,c,d   /
<

<
<
bd
b
d
b
d
15. a2 + b2 = 0  a = 0  b = 0
12.  a 
+
, a+
16. Si b  0, entonces a2  b  a 
b  a b
17. Si b  0, entonces a2  b   b  a 
Semana Nº 2
b
(Prohibida su reproducción y venta)
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INECUACIÓN
Es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que
solo se verifican para determinados valores de la incógnita ó incógnitas.
Observación:
La media geométrica (MG) de dos números positivos no es mayor que la media aritmética
(MA) de los mismos números positivos.
Simbólicamente: MG  MA .
INTERVALOS
Son subconjuntos de los números reales que gráficamente son segmentos de recta o
semirrectas y cuyos elementos satisfacen cierta desigualdad. Los intervalos sirven para
expresar el conjunto solución de las inecuaciones.
INTERVALOS DE EXTREMOS FINITOS
i)
Intervalo abierto
a,b   x  / a x b 
a
ii)
b
Intervalo cerrado
  x  / a x b 
 a,b  

iii)
a

b
Intervalo semiabierto por la izquierda
a,b    x  / a x b 

iv)
a
b

Intervalo semiabierto por la derecha
 a,b   x  / a x b 

a
Si a = b entonces
Semana Nº 2
b

a,a 
a ,a  
 , pero  a,a  
a
 a,a 
(Prohibida su reproducción y venta)
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INTERVALOS DE EXTREMOS INFINITOS
a,  
= {x :a<x}
[ a,+ 
=
{x
:ax}
 , b
=
{x
:x<b}
 , b ] =
{x
:xb}
 , +  =
Propiedad.
Si { x, z }  I (intervalo) y si w 
satisface x < w < z, entonces w  I .
Ejemplo 1
A

Si
 x
/2x  14  3x  11  x  29 , halle el número de elementos enteros del
conjunto A.
Solución:
2x  14  3x  11  3x  11  x  29

3x
x9
A
3 , 9 
 Elementos enteros de A son : 3, 4, 5,...,9
 el número de los elementos enteros de A es 7.
OPERACIONES CON INTERVALOS
Con los intervalos se puede realizar las mismas operaciones entre conjuntos, como son
unión, intersección, diferencia, complemento.
Siendo I, J intervalos, se tiene que
I  J = {x 
I – J = {x 
I J 
/ x  I  x  J} ; I  J = {x 
/ x  I  x  J} ; I ' = {x 
/ x  I  x  J}
/ x  I}
 I J   I J 
Ejemplo 2
Si I
/ 3  x  7
 x
J'
 x
/ x 1  x  9

, halle J  I '.
Solución:

I'


J

 x
 x
 x
 x
/ x I

/ x  3  x  7

/ x J'
/ 1 x  9
Semana Nº 2
(Prohibida su reproducción y venta)
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 J  I '  1,3  7,9
Ejemplo 3
Si
4 2 
 ,8 , halle el menor número real M; tal que x  2  M .
x  9 
Solución:
2 4
1
  8   x  18
9 x
2
 x  2  20  M  20, 
 M  20
RADICALES DOBLES, RACIONALIZACIÓN
1.
TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A SIMPLES
Si a  0, b  0 se cumple:
i)
a  b  2 ab =
a+ b
ii)
a  b  2 ab =
a – b (si a  b)
iii) Fórmula:
a b =
ac

2
ac
, siendo c =
2
a2  b
Ejemplo 1.
8
24 
320 =
=
8  (4  20)  2 80 =
62 5 =
8  (2  20)
5–1
Ejemplo 2.
 a6
6  32 = 
 b  32
Luego c =
62  32 = 2
Entonces
6  32 =
Semana Nº 2
62
+
2
62
=
2
4
2
(Prohibida su reproducción y venta)
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Ejemplo 3.
x3
Dada la inecuación:
8 x 1 
y  1 2
y 
3  2 2 , tal que
0 ≤ y < 1. Halle x + y + 1.
Solución:
2 x  1 
x32
x 1 
2
1
x 1 
y 0
y  1 2 y 
y 
2 
32 2
1
 x  1 0  y 0
x  1
x  y 1
0
2.
RACIONALIZACIÓN
Racionalizar una expresión es reemplazar por una equivalente que no contenga
radical en el denominador. Esto se consigue multiplicando al numerador y
denominador por un factor racionalizante (FR).
Ejemplo 4.
4
4
( 5  1)
=
=
5 1
5  1 ( 5  1)
5  1; en este caso FR =
5 –1
Observación:
Para encontrar el factor racionalizante es conveniente tener en cuenta las identidades:
i) a2 – b2 = (a + b) (a – b)
ii) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
iii) a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
Ejemplo 5.
1
3
9  3 3 1
=
1
( 3 9  3 3  1)
x
( 3 3  1)
( 3 3  1)
=
( 3 3  1)
(2)
EJERCICIOS DE CLASE
1.
La cantidad de peras que tiene María es numéricamente igual a un elemento de
M  x  / 3 3x 3 8 y la cantidad de peras que tiene Paola es numéricamente
 x  / 1 3x 2 10 . Si ambas tienen el mismo número
igual a un elemento de N 
de peras, ¿cuántas peras tiene cada una?
A) 4
Semana Nº 2
B) 3
C) 2
D) 1
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 0
Pág. 6
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Las longitudes de los lados de un triángulo escaleno son iguales a las longitudes de
las dimensiones de una piscina que tiene la forma de un paralelepípedo de base
rectangular. Si el volumen de la piscina es 1000 m 3, halle el menor valor entero que
puede tomar el perímetro de dicho triángulo.
A) 28 m
3.
Ciclo Ordinario 2016-I
B) 29 m
C) 30 m
D) 31 m
E) 32 m
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
i) Si a  1 entonces a2  1
ii) Si a  1,1  a 4  a2
1

a
iii) Si a 
a
A) FFV
4.
B) FFF
C) VVF
D) VVV
Para los números reales x e y se definen los operadores
E) FVF
y  con las siguientes
2
 x 2   y2 ; xy x  x  4   y .
reglas de formación: x y 

 2ab
  4b , halle el valor de J 
Si se cumple  a b   c 2  4c  4 
A)
3
2
B) 1
C)
1
2
D) – 1
a  b c .
c  a  b 
E) – 2
 2x  3

/ x  2,5 , halle menor elemento entero positivo del complemento de
5.
Si P 
 x 1

P.
A) 4
6.
B) 3
C) 2
D) 1
E) 5
La posición de un móvil M que se desplaza en línea recta varía de acuerdo al intervalo
12,12 y la de otro móvil N de acuerdo a los elementos del conjunto
2x  6

x  1,5  x  3,15 , determine la suma de los elementos enteros del
segmento de recta por la que solo se desplazó el móvil M.
A) – 30
7.
B) – 34
C) –38
Dados a y b tales que 6b  a  12 , M
D) – 42
E) –50
4  b  2 8a  4a2  4b  2ab 
2a  b y
12  3b  a  12  2 12a  3ab  36b  9b2 . Determine el valor de b si
N
M2  2N2 
8.
A)
3
2
Semana Nº 2
B) 1
C)
2
3
D)
1
3
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 0
Pág. 7
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Sean L  6  11 
5 2
11  1
Ciclo Ordinario 2016-I
4  2 4
 L ,L . Halle el número de valores enteros que

x 
y
toma x.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5
EVALUACIÓN DE CLASE
1.
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
i) Si 3  x  2, entonces 1  x  x  2   8
ii) Si 2  x  2, entonces
iii) Si
3x  1
 3, entonces x  2
x2
A) FFV
2.
1
1

x2 4
B) FFF
C) VVF
D) VVV
E) FVF
El profesor Luis le dice al profesor Frank que bajo ciertas medidas en la economía de
nuestro país la inflación estaría en el intervalo M  x  / x 1  x 1 x 0  , con
lo cual la inversión del profesor Frank daría una utilidad de m miles de soles, donde


x2
x
/   M . Bajo estas condiciones, ¿cuál es
m es el cardinal del conjunto N 
16


la utilidad de la inversión del profesor Frank?
A) 10 000 soles
D) 4000 soles
3.
B) 6000 soles
E) 3000 soles
C) 5000 soles
Jorge le pregunta a Mario sobre su salario por mes y este le responde lo siguiente:


1
 3m n 
  ;m,n    de
los elementos del conjunto U   x  / m  x 5 
m
 4n 3m 


menor a mayor son dígitos que forman en ese orden mi sueldo mensual. Si Mario gana
mensualmente menos de 5000 soles, además los emolumentos por mes de Jorge
asciende a 2346 soles, se puede afirmar que:
I) Mario gana más que Jorge por mes.
II) Mario percibe anualmente 28140 soles.
III) Jorge gana más que Mario por mes.
A) Solo III
Semana Nº 2
B) Solo II
C) I y II
D) II y III
(Prohibida su reproducción y venta)
E) Solo I
Pág. 8
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
5.
 3x2  12x  17

 5x  2

,x  1,5  y N  
,2x  1  9,3  . Si en una tienda
Sean M  
2
 x5

 x  4x  7

se ha vendido m focos de una caja que trae 24 unidades, ¿cuántos focos faltan vender
de la mencionada caja, si m es el número de elementos enteros de N – M?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5
Dados los números reales x e y, halle la suma de cifras de
x
2
 6x  9
A) 5
6.

1008
yx
si
 25  10y  y2 .
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Durante el mes de diciembre del 2015, la menor temperatura registrada en un poblado
peruano viene dada por ( x  1)° y la mayor temperatura por ( x2  3x  6 )°. Bajo esas
condiciones ¿para qué valor de x la variación de la temperatura que experimentó dicho
poblado fue mínima?
A) 6
7.
Ciclo Ordinario 2016-I
Si T 
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
9  2 3  2 5  2 15 y V  3  13  2 12 , determine la suma de cifras
de (T  V)4 .
A) 3
8.
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
3 2
 4 y N  6  32 , si a N le falta m  2 n unidades
6  3  2 2
para ser igual a M, calcule el valor de m + n.
Dados M 
A) 3
Semana Nº 2
B) 4
C) 5
D) 6
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 7
Pág. 9
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Ciclo Ordinario 2016-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 3
Ecuaciones lineales y de segundo grado con una variable e
Inecuaciones lineales y de segundo grado con una variable
1.
Ecuaciones Lineales con una incógnita
Una ecuación lineal con una incógnita es de la forma:
ax  b 
0
… (I)
donde a y b son constantes y “x” se denomina variable, incógnita ó indeterminada.
1.1 Conjunto solución: El conjunto formado por todos los valores de “x” que
verifican (I) es llamado el conjunto solución (C.S.) de (I).
Observación: Teniendo en cuenta la ecuación (I) se presentan los siguientes casos:
Casos
C.S.
 b
C.S.    (I) presenta solución única.
i) a  0, b 
 a
ii)
a 0,b
 0
C.S. 
(I) presenta infinitas soluciones.
iii)
a 0, b  0
C.S.  
(I) no admite solución.
Ejemplo:
Halle el conjunto solución de
Solución:
3x  1 x  3

4
5
5(3x  1) 4(x  3)
15x  5  4x  12
11x   7
7
x 
11
 7
 C.S. 
 
 11
2.
Ecuaciones de Segundo Grado
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es de la forma:
ax2  bx 
c 0; a  0 ,a,b,c 
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 1
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Ciclo Ordinario 2016-I
donde  b2  4ac es llamado discriminante de la ecuación de segundo grado.
Esta ecuación tiene dos soluciones:

x1
b  
b  

y x2
2a
2a
2.1 Naturaleza de las soluciones
Casos
Tipos de soluciones
0
Reales y distintas
 0
Reales e iguales
0
No reales y conjugadas
Además se cumple que:
b
c
x1  x 2 
 , x1x 2 
a
a
Observación : Se puede construir una ecuación donde m y n sean soluciones,
dicha ecuación es:
x 2  (m  n) x  mn 
0
Ejemplo: Forme una ecuación donde 3 y – 5 sean las soluciones .
La ecuación es :
x2   3  ( 5) x  (3).( 5) 0
 x2  2x  15 
0
3.
Desigualdades e inecuaciones
3.1 Desigualdades: Son aquellas expresiones de la forma:
a < b , a  b, a >b, a  b .
3.1.1 Propiedades
i) Si a < b y b < c  a < c.
ii) Si a < b  a  c  b  c ;  c 
.
iii) Si a < b y c > 0  ac < bc.
iv) Si a < b y c < 0  ac > bc.
3.2 Inecuaciones lineales en una variable
Son aquellas desigualdades que presentan una incógnita o variable y que
pueden reducirse a la forma:
ax  b  0 ; ax  b  0 ; ax  b  0 ; ax  b  0 ; a  0
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 2
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Ciclo Ordinario 2016-I
Ejemplo: Halle el conjunto solución de
x a x b

;a0b.
3b
2a
Solución:
x a  x b 

0
3b
2a
 2a  3b  x  3b2  2a2

0 ; a0b
6ab
  2a  3b  x  3b2  2a2  0 ; 2a  2b  b  b

 2a  3b  x  2a2  3b2
2a2  3b2
 x
2a  3b
4.
 C.S
;
2a  3b  b  0
2a2  3b2
 ,
2a  3b
Inecuaciones de segundo grado
Si a  0 a,b,c 
, las inecuaciones de segundo grado son de la forma:
ax  bx  c  0 ó ax2  bx  c  0 ó ax2  bx  c  0 ó ax2  bx  c  0 .
2
Su solución se obtiene usando propiedades de números reales o por medio de la naturaleza
de las raíces r1, r2 del trinomio
ax2  bx  c 
0,
y
r
FORMA DE LA INECUACIÓN
ax2  bx  c  0 , a  0
b   (  b2  4ac es su discriminante)
.
2a
SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN CONJUNTO SOLUCIÓN
ax2  bx  c 
0
soluciones diferentes
r1  r2
(C.S.)
 ,r1  r2 , 
soluciones real única
r1  r2  r
 r
soluciones no reales
2
ax  bx  c  0 , a  0
ax2  bx  c  0 , a  0
soluciones diferentes
r1  r2
r1 ,r2
soluciones real única
soluciones no reales
soluciones diferentes


r1  r2
 ,r1   r2 , 
soluciones real única
r1  r2  r
Soluciones no reales
soluciones diferentes
ax2  bx  c  0 , a  0
r1  r2
r1,r2 
soluciones real única
r1  r2  r
r
soluciones no reales

Ejemplo : Resolver x2  7x  10  0
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
Solución: Factorizando se tiene
(x  5)(x  2)  0
 C.S. 
 ,  5   2,  
4.1. Teorema ( Trinomio Positivo )
Sea ax 2  bx  c , donde a  0 , a,b,c 
ax2  bx  c  0 , x 
, se cumple que :
 a0  0.
Ejemplo: x2  2x  7  0 su conjunto solución es
puesto que

 (2)2  4(1)(7)  0 y su coefieciente principal es positivo .
EJERCICIOS DE CLASE
1.
Si la ecuación en “x” : 3m x  2n 81( x  1) – 17 tiene infinitas soluciones, determine
el valor de 2n – m.
A) 4
2.
D) 6
E) 12
B) 24 m
C) 12 m
D) 36 m
E) 18 m
Si 2 es una solución de la ecuación en x
x2  2(a – 2) x 
a5,
n–5
5
–
– 1 , donde m y n son soluciones de
halle el valor de J 
n– 2 m3
x2  ax – a – 2 .
A) – 3
4.
C) 8
En un parque de forma rectangular se tiene que el largo es 8 m más que de ancho. Si
se disminuye el largo en 5 m y se aumenta el ancho en 2 m, el área no varía. Calcule
el perímetro inicial del parque.
A) 40 m
3.
B) 2
B) 0
C) 2
D) – 1
E) 4
0 , construya una ecuación cuadrática con
Si a y b son las soluciones de x 2 – 5x  1 
2
2
a
b
1 1

soluciones 
y
.
5b 5a
a b
0
A) x2  27x  110 
B) x2 – 27x – 110  0
D) x2 – x – 110  0
0
E) x2 – 27x  110 
Semana Nº 3
(Prohibida su reproducción y venta)
0
C) x2  27x – 110 
Pág. 4
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
En una reunión de socios, se sabe que si se toma la cuarta parte de, el número de
socios disminuído en 20 el resultado es mayor que 8, pero si tomamos la sexta parte
de, el número de socios aumentado en 6, el resultado es menor que 10. Indique la
cantidad de socios.
A) 17
6.
C) 50
B) 9
D) 53
E) 52
C) 7
D) 10
E) 8
Sean I(x) y C(x) el ingreso y costo total de una fábrica al producir y vender x productos
respectivamente, con precio unitario de venta de S/. (2x – 2) y costo unitario de
S / . ( x 4) . Si los costos fijos suman S/. 160, halle el mínimo número de unidades que
se debe vender para que la fábrica obtenga utilidades.
A) 17
8.
B) 49
Las edades de Paco y María representan las soluciones de la ecuación
x2 – (2 – k)x  4 – 2k 
0 . Determine el menor valor de la suma de edades de Paco y
María, sabiendo que Paco es mayor que María.
A) 6
7.
Ciclo Ordinario 2016-I
B) 16
C) 10
D) 8
E) 18
Halle el conjunto de valores de m, para los cuales se verifica
m2 x2 – 4mx  – 7x2 – 12x – 2 ;  x 
A)
1, 12 
B)
 2, 12 
C)
1, 11
D)
.
 – 1, 11
E)
 3, 12 
EVALUACIÓN DE CLASE
1.
Si la ecuación en “x”: m( 3 mx – 2 x – 1 )  2  2
1
8x –

solución, halle el valor de m.
A) –
2.
2
3
4
3
C) – 2
D) –
1
3
E)
no tiene
2
3
Si al triple de un número se le añade 7 veces su duodécima parte y a este resultado
se le quita 5 unidades, se obtiene el número aumentado en 150. Halle la mitad de
dicho número.
A) 30
3.
B) –
18 – 2 32
2
B) 60
C) 62
D) 32
E) 34
0 tiene soluciones reales, donde a es la suma de
Si la ecuación en x, 3 x2  2bx  27 
los dos menores valores enteros de (b  9 ) 2, determine la suma de las soluciones de
la ecuación x2 – 100ax  124x – 100 – a .
A) 324
Semana Nº 3
B) 99
C) 124
D) 224
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 148
Pág. 5
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo Ordinario 2016-I
Al terminar su clase un profesor de álgebra deja la siguiente tarea:
I. Hallar las áreas de dos cuadrados de lados ( x – 4) m. y ( x 2) m.
II. Resolver la ecuación que resulta de, sumar las áreas de los cuadrados e igualarlo
al cuadrúplo del producto de los lados, agregándole 4.
III. Construir una ecuación cuadrática cuyas soluciones sean las longitudes de los
lados de los cuadrados mencionados.
¿ Cuál es la ecuación pedida por el profesor?
5.
A) x2 – 10x  9 
0
B) x2 – 14x  55 
0
D) x2 – 12 x  36 
0
E) x2 – 10 x  16 
0
Ángel le pregunta a Luis cuál es el costo de la matrícula en su colegio, este le
responde: El costo de mi matrícula al cuadrado, disminuido en 20 veces el costo no
es menor a S/. 25 500. Indique el costo mínimo de la matrícula de Luis.
A) S/. 150
6.
Resuelva
B) S/. 151
D)
D) S/. 490
E) S/. 149
 b2 
B)  , 0   ,a 
a 
b2 
 a, 
a
0,
E)
C)
 0, a 
b
a
Panchito realizó un trabajo recibiendo por sus honorarios más de S/. 530, luego gasta la
raíz cuadrada de lo que recibió, quedándole menos de la tercera parte de, el doble de
sus honorarios, aumentado en S/. 550. Halle la suma de cifras de los honorarios de
Panchito sabiendo que esta cantidad es un cuadrado perfecto.
A) 14
8.
C) S/. 170
x
b
b
a


 ; donde 0  b  a .
b
x
a
b
b2 
A)  , 
a
7.
C) x2 – 8x  7 
0
B) 16
C) 18
D) 12
E) 13
Si la ecuación cuadrática (  1) x2  ( 2 – 3 ) x   – 2 0 tiene soluciones no
2

p(x,y,z) 3x17 y  2 
reales y la expresión algebraica
determine el valor de M 
A)
1
8
Semana Nº 3
B)
1
2




C)
1
6
.

.
5 
D)
 2 – 1  2 3
z
es entera,
3
, si se sabe que M1 
1
4
(Prohibida su reproducción y venta)
E)

.
1
3
Pág. 6
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Ciclo Ordinario 2016 -I
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CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
1.
SEMANA Nº 4
VALOR ABSOLUTO
1.1 Definición
Sea a  , el valor absoluto de a denotado por a se define por:
 a , si a  0
a 
  a , si a  0
Propiedades:
Si  a,b   , se tiene las siguientes propiedades
i)
a 0
ii )
a
iii )
ab  a
iv )
a  a
v)
a
b
0 a0
a

b
b
, si b  0 .
Observaciones
i)
n
an  a
ii)
n
a n  a , si n 
iii) 
a2
2

a
si n 


y n es par.
  1 y n es impar.
a2 .
1.2 Ecuaciones con valor absoluto
i)
p(x)  q(x)   q(x)  0 
ii)
p(x)  q(x) 
 p(x)  q(x)
 p(x)  q(x)
 p(x)   q(x)  
 p(x)   q(x)

iii)
 p(x)   . p(x) ;  
Ejemplo 1:
Si a, b (a > b) son soluciones de la ecuación x 2  2
valor de 2a – 3b.
Semana Nº 4
x  3 6
(Prohibida su reproducción y venta)

x  1  , halle el
Pág. 1
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Ciclo Ordinario 2016 -I
Solución:
x 2  6x  9  2
x3

2
2
x3 5
x 3 
15
x  3  15 
0
 
x3 3
0

x  3  3  0 , x 
Como
 x3 
5
 x  3 5


x
8

a 8 
y b -2
x  3  5
2
x
 2
luego 2a  3b
2
 8   3  
22
1.3 Inecuaciones con valor absoluto
  q(x)  p(x)  q(x)  
i)
p(x)  q(x)   q(x)  0 
ii)
p(x)  q(x) 
iii)
p(x)  q(x)  p  x   q  x   . p  x   q  x    0
 p(x)  q(x)
 p(x)  q(x) 
Ejemplo 2 :
Resuelva
x2  1
2
3
x2  1  4  0
Solución:

x2  1  4
Como
 
x2  1  1
x2  1  1  0
0
, x 
 x2  1  4   4  x2  1  4
  3  x2  5  0  x2  5
x
2.
 5 ,
5
NÚMEROS COMPLEJOS
El conjunto de los números de Complejos se denota por :



 a
  bi / 
a  
b    i2 1
Notación: z = a + b i, donde a = Re(z) y b = Im(z).
Semana Nº 4
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 2
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Ciclo Ordinario 2016 -I
2.1 Igualdad de números Complejos
a + b i = c + d i[ a = c  b = d ]
2.2 Operaciones con números Complejos
Si z  a  bi y w  c  di entonces
z  w  (a  c)  (b  d) i
z. w  ( ac  bd)  (bc  ad)i
2.3 Definiciones: Si z  a  bi es un número Complejo
z  a  bi se llama conjugado de z.
z 
a2  b2 se llama módulo de z.
Observación: Se cumple
(1  i ) 2  2i ; (1  i ) 2   2i ;
2.4 Propiedades:
1 i
1 i
i;
i
1 i
1 i
Sean z, w C se tiene las siguientes propiedades.
1. z . z  z
6. z  w  z  w
2
2. z  z  2.Re(z), z  z   2.Im(z) i
7. z  w  z  w
3. z  z   z
8. z.w  z.w
4. z.w  z . w
9. z  z
5.
z
z

w
w
con w  0
10.
zn  z
n
,  n  Z
2.5 Potencias de la unidad imaginaria i
o
o
o
o
i 4  1, i 4 1  i, i 4 2  1, i 4 3  i
Ejemplo 3:
Si z es un número complejo que verifica la ecuación
Semana Nº 4
6  4i 2i
  2i , halle
5  i z
(Prohibida su reproducción y venta)
z 1 .
Pág. 3
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Ciclo Ordinario 2016 -I
Solución:

5  i  2 i

 2i
26
z
26  26 i 2 i

2 i
26
z
2 i
1  i  2i 
z
2 i
1  i 
z
1  i 2  2i
2 i

 1 i
z
x
1  i
1  i
2
z  1  i
6  4i
 
luego
z 1

1
EJERCICIOS DE CLASE Nº 4
1.
La edad de Mercedes hace 10 años coincide con la menor solución de la ecuación
x  2  2  x  x 1  3 
x ; halle la suma de cifras de la edad de Mercedes.
A) 4
2.
B) 5
C) 1
D) 3
E) 2
Halle la validez de las siguientes proposiciones
1
1
 1
  ,  
I. x  3 entonces
x  7  4 10 
1
1
1
II. x  5  1 entonces 
3 x 3
 1
 2, 
III.3 10x  6  1  3x  2 5x  3  9x  3 entonces C.S.
 2
A) VVV
B) VVF
C) VFV
D) VFF
E) FFV
3.
Nicolás Lunié quiere darle propina (en soles) a su sobrino Luis y le dice: “si la
diferencia positiva del doble de lo que te daré con 11 es equivalente a la propina
aumentada en 5”. ¿Cuánto le quedó a Luis, si se compró una pelota que cuesta 9
soles?
A) 3 soles
4.
B) 4 soles
C) 5 soles

D) 6 soles
E) 7 soles

1
 1  y B   x  / 9  x 2  7  , halle la
2x  5

A

Dados los conjuntos 
 x / 

cantidad de soluciones enteras de A B .
A) 5
Semana Nº 4
B) 4
C) 6
D) 3
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 1
Pág. 4
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
6.
Halle el número de elementos enteros del conjunto solución de
B) 2
C) 3
D) 4
E) 7
Pedro busca un número complejo z que tenga módulo igual a 10 y que sus partes real
e imaginaria sean positivas y proporcionales a 4 y 3 respectivamente. Halle el valor
de n, si 8n  n2  z  z .
A) 3
8.
x2
20x
.
 2
x 1 x 1
A) 3
B) 5
C) 4
D) 2
E) 6
Fabrizio le pregunta a Jean Pierre: ¿cuántos números enteros satisfacen que la
diferencia positiva entre 3 y la reciproca de la sexta parte del consecutivo del número
buscado, es menor que 2?.
A) 5
7.
Ciclo Ordinario 2016 -I
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Francisco es un jugador que proviene de las divisiones inferiores del club Universitario.
 a  10  (a  4010)i 
Él recuerda que debutó en el primer equipo en el año 
 cuando
5  3i


6 b
tenía (1 i) a10 2 años de edad, anotando en ese campeonato 35i 299b goles. ¿a los
cuántos años Francisco debutó en el primer equipo del club Universitario?.
A) 18 años
B) 19 años
C) 16 años
D) 17 años
E) 20 años
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N°4
1.
Halle el número de soluciones reales de
A) 0
2.
C) 4
D) 5
E) 6
José tiene una cierta cantidad de soles; se compra un polo cuyo precio es el valor
absoluto de la diferencia de dicha cantidad con 5 y recibe de vuelto la diferencia
positiva de la misma cantidad con 11. ¿Cuánto le darán de vuelto a José, si compra
un short que cuesta 12 soles?
A) 5 soles
3.
B) 3
x 6 4 8  8.
B) 10 soles
C) 4 soles
D) 3 soles
E) 6 soles
Gabriela le pide a Francesca que halle la suma de cifras del valor de x  5  2 , si las
2
tres expresiones: 4x  x , x  2  6, 4x  8  8 están en progresión aritmética (en ese
orden).
A) 7
4.
B) 1
C) 2
Si a es la solución de la ecuación
D) 5
E) 6
x  2  x  3  6 , halle el valor numérico de
6a  3a1 .
A) 9
Semana Nº 4
B) 13
C) 7
D) 10
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 12
Pág. 5
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.


Ciclo Ordinario 2016 -I

de elementos enteros de A B .
A) 2
B) 6
C) 3
6.
Si
B) 10
E) 5
C) 2
D) 6
E) 5
(3  4i)2 ( 3  3 3 i)( 3  i)4
z
es un número complejo, halle z .
( 1  i)4 ( 4  3i)2
A) 10
8.
D) 4


x2
/ x  3,3  .
Cuántos elementos enteros tiene el conjunto M  2 
x4


A) 4
7.

2
Si A 
 x  / x 2 9 3 19 y B  x  / x. x 2 2 x 8 , calcule el número
B) 21
C) 13
D) 24
E) 25
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones para los números complejos
z y w:
I. Si z  2  z entonces Re(z)  1
II. Si z w
entonces Re(z) Re(w)


III.Si z  3i  z  2 entonces 4z  10 13
A) FVV
Semana Nº 4
B) FVF
C) VVF
D) VVV
(Prohibida su reproducción y venta)
E) VFV
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Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 5
Polinomios
DEFINICIÓN
Llamaremos polinomio de grado n en la variable x a la expresión algebraica definida por:
p(x)  a xn  a
xn1  a
x n  2  ...  a x  a
n1
n
donde
n

0y
a , a , a ,..., a
0
1
2
n 2
1
0
son números en un conjunto numérico llamados
n
an  0
coeficientes del polinomio y además el coeficiente
es llamado coeficiente
principal.
Al coeficiente a 0 lo llamaremos término independiente.
EJEMPLOS
Polinomio
Grado
p(x) = 4x9 – 8x11 + 3 – x
q(x) = – 7 + 5x3 – 2x + x2
11
3
Coeficiente
Principal
–8
5
Término
Independiente
3
–7
TEOREMA: Dado un polinomio p(x) se cumple:
1) La suma de coeficientes de p(x) es igual a p(1)
2) El término independiente de p(x) es igual a p(0)
POLINOMIOS IDÉNTICOS
Dos polinomios en una variable y del mismo grado de las formas
p(x)  a xn  a
xn1  a
x n  2  ...  a x  a , y
n
q(x)  b x n  b
n
n1
xn1  b
n1
n 2
n 2
1
0
x n  2  ...  b x  b
1
0
son idénticos si y solo si:
a n  b n , ... , a 2  b 2 , a 1  b 1 , a 0  b 0 .
OBSERVACIÓN:
También decimos que los polinomios p(x) y q(x) son idénticos si p(α) = q(α); α IR .
POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO
Un polinomio en una variable es idénticamente nulo si:
px   an xn  an  1xn  1  ...  a1x  a 0  an  an  1  . . .  a1  a 0  0 .
OBSERVACIÓN:
El polinomio p(x) es idénticamente nulo si y solo si p() = 0 ; α
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
IR
.
Pág. 1
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Ciclo Ordinario 2016-I
POLINOMIO ORDENADO
Diremos que un polinomio es ordenado en forma creciente (o decreciente) respecto a una
de sus variables, cuando los exponentes de la variable mencionada solo aumentan (o
disminuyen).
EJEMPLOS
1) En p(x) = x4 – 2x3 + x2 + 3, los exponentes de la variable x son 4, 3, 2, 0; en ese orden
 p(x) está ordenado en forma decreciente.

2) En q z  3z  2 3 z 4  3z15 , los exponentes de la variable z son 1, 4, 15; en ese orden
 p(x) está ordenado en forma creciente.
3) En s(x, y)  2x  x 3 y  6x 5 y  7x 6 y3  x 9 y2 solo los exponentes de la variable x están
aumentando  s  x , y  está ordenado en forma creciente respecto a la variable x.
GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO RESPECTO A UNA VARIABLE (G R)
Es el mayor exponente de la variable en referencia que aparece en el polinomio
EJEMPLO
p(x, y)  5x 4 y11  18x 6 y6  3xy9

GR x [p(x,y)] = 6 
GRy [p(x,y)] = 11
GRADO ABSOLUTO (G A)
A) Para un monomio: El grado absoluto de un monomio se obtiene sumando los exponentes
de las variables que aparecen.
EJEMPLO
p(x, y, z)  25 x 3 y 4 z 7 
GA [p(x, y, z)] = 14
B) Para un polinomio: El grado absoluto de un polinomio es el mayor de los grados
absolutos de los monomios que lo conforman.
EJEMPLO
q(x, y)  3a3 x 5 y 6  12x 8 y 5 
POLINOMIO COMPLETO
4 7 3
x y
3

GA [q(x, y)] = 13
Diremos que un polinomio de varias variables es completo respecto a una de sus variables
si en cada término del polinomio está la variable elevada a un exponente diferente en otro
término que lo contiene, desde cero hasta el grado relativo del polinomio respecto de esa
variable.
EJEMPLOS
1) En p(x)  5x 2  7x  6  8x 3 ,
GA  p x    3 ; además tienen los términos x 0 , x 1 , x 2 , x 3  p  x  es un
polinomio completo de grado 3.
2) En s  x , y   5x  3x 2 y2  8x 3 y  14x 4 y3  7x 5 y 4 , GR y  s  x , y    4; además
0
1
2
3
4
aparecen y ; y ; y ; y ; y . Entonces el polinomio es completo respecto a la variable y.
Semana Nº 5
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 2
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
3) En el ejemplo anterior: GRx s(x,y)  5 pero no está x  s  x , y  no es completo
respecto de x.
POLINOMIO HOMOGÉNEO
0
Un polinomio es homogéneo si cada término del polinomio tiene el mismo grado absoluto.
Al grado absoluto común se lo denomina grado de homogeneidad.
EJEMPLO
p(x,y)  14x6  27x2 y4  28x5 y  9y6  el polinomio es homogéneo
y su grado de homogeneidad es 6.
GA  6 GA  6 GA  6 GA  6
EJERCICIOS DE CLASE Nº 5
1.
Dado el polinomio p(x2  x 1)  x2  x , halle el valor de p(11) .
A) 8
2.
B) 10
D) 14
E) 16
Sean los polinomios p(x  1)  a( x 1)2  b( x  1)3  cx y q(x 2)  bx2  ax  c (x 2) ,
tales que p(1)  8 y q(0)  2 .Halle el valor de t(1) , si t(x)  p(x  1)  q(x  2) .
A) 128
3.
C) 11
B)  48


C)  63

D) 78
 
E)  41

Si p(x)  a x3  1  b  x  3  x 2  2  c x 2  2x 1  x  1  x  2 y


q(x)  3(x3  4x2  x  3 ) son polinomios idénticos, halle el valor de p c 2  b2  a2 .
B)  24
A)  15
4.
E)  25
p(x)  nxn5  (n  1)xn6  (n  2)xn7  ...
es completo y ordenado, halle el mayor coeficiente de p(x) .
B)  5
C) 2
D)  1
E) 3
Si el polinomio p(x,y,z)  x2  y2  z2  6x  8y  4z  29  a2  9b2  6ab se anula
para ciertos valores enteros x0 , y0 ,z0 y una relación entre a y b, halle el valor de
x02  y02  z02 
A) 26
6.
D)  27
Si el polinomio
A)  2
5.
C)  21
a
.
b
B) 25
C) 14
D) 30
Dado el polinomio
p(x,y)  x2mn4 ymn2  x2mn3 ymn1  x2mn2 ymn
E) 12
tal que GA p(x,y)  28
y GRx p(x,y)  GRy p(x,y)  6 , halle el valor de m  n.
A) 16
Semana Nº 5
B) 14
C) 12
D) 10
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 8
Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Si p(x,y) es un polinomio homogéneo de grado absoluto tres tal que p(2,3)  4,
halle el valor de p(4,6) .
A) 18
8.
Ciclo Ordinario 2016-I
B) 14
C) 12
D) 32
E) 24
Si p(x,y) 
yn  yn1x  ...  yxn1  xn es un polinomio homogéneo y completo en “x”
e “y” tal que la suma de los grados absolutos de sus términos es 182, halle el número
de términos de p(x,y).
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
EVALUACIÓN Nº 5
1.
Sea
q(x)  (m  7)xmn  (p  a)x t1  (t  m)xp3  t xam  (p  2)xbn un polinomio
mónico ordenado y completo. Si la edad de Geny es q(1) años, ¿cuántos años le falta
a Geny para que tenga el cuadrado de la edad que ahora tiene?
A) 8 años
2.
Si
B)12 años
C) 6 años
3
D) 20 años
E) 26 años
2
p(x)   x  2  3m  x  1  nx  1  2m  3  t x  9x
y
q(x)
 n(1 x)  mx  x2   4  t  x  r  5x3 son polinomios idénticos en
[ x ], ¿cuánto
me falta para comprar una blusa que cuesta p(0).p(1) soles, si tengo p(3) soles?
A) p(2) soles
3.
B) 15 soles
C) 37 soles
D) 12 soles
Dado el monomio M(x,y)  abx2ab ya2b de GA M(x,y)  45 y
E) p(2)  4  soles
GR x M(x,y)
GR y M(x,y)

2
,
3
halle el valor de 2 a  b .
A) 15
4.
B) 12
C) 13
D) 18
E) 25
Las edades de varios hermanos están representadas por los exponentes de un
trinomio p(x,y) homogéneo y ordenado en forma creciente respecto a la variable “x” y
en forma decreciente respecto a “y” . 
Si GRx p(x,y) 30

, GRy p(x,y) 24 y cada
uno de los hermanos se llevan más de dos años de diferencia, halle la edad del tercer
hermano sabiendo que hay dos hermanos cuyas edades son múltiplos de 7 y el grado
de homogeneidad de p(x,y) es 35.
A) 24 años
B)28 años
C) 21 años
D) 18 años
E) 11 años
5.
Si el polinomio

p(x,y) bxa1  cx2n ymc  axab yn  ny2n5a es homogéneo y p(1,1)  4,
halle el valor de m2  n2 .
A) 20
Semana Nº 5
B)10
C) 15
D) 30
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 25
Pág. 4
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6.
Halle el valor de p p(2)  p(  2) si p(x)  xmn  x2n  n es un polinomio completo y
ordenado.
A) 21
7.
B) 16
C) 18
D) 14
E) 20
Si el GA p(x,y)  17 y GRx p(x,y)  10 , halle el valor de p(1, 1) , donde
p(x,y)  9xm2 yn  3xm6 ymn  5xm  3xm6 yn4 .
A) 0
8.
Ciclo Ordinario 2016-I
B)1
C) 3
D) 2
E) 4
Si el polinomio p(x,y,z)  mxn1 ym z2t  nxm y2n zt es homogéneo tal que la suma
de coeficientes de p(x,y,z) es 1, halle el valor de p(1,1, 1) .
A) 0
Semana Nº 5
B) 1
C) 2
D) 3
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 4
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Álgebra
Productos Notables
Son productos indicados que tienen una forma determinada, de los cuales se puede
recordar fácilmente su desarrollo sin necesidad de efectuar la operación.
1.
Binomio al cuadrado
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Ejemplo: Efectuar (3x – y)2
Solución:
(3x – y)2 = (3x)2 – 2 (3x) (y) + (y)2
= 9x2 – 6xy + y2
2.
Identidades de Legendre
(a + b)2 + (a – b)2 = 2 (a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
3.
Diferencia de cuadrados
(am + bn) (am – bn) = a2m – b2n  (a + b) (a – b) = a2 – b2
4.
m,n 
Binomio al cubo
(a +b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 +b3 = a3 +b3+3ab(a + b)
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = a3 – b3– 3ab(a – b)
Ejemplo:
2
1

 x6  x  6 .
Si  x 2  2  
5 , halle el valor de M
x 

Solución:
Del dato se tiene: x 2 
1
x2

5
3
 
3
1

Elevando al cubo:  x 2  2  
5
x 

Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 1
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
 
1
 1  2
1 
 3 x2 
x  2  
6
2
x
x 
 x 
1
 x6 
 3 1 5  5 5
 x6 
5.
1
x6
3
 5
 
x6
 x6 
Ciclo Ordinario 2016-I
 2 5.
Suma y diferencia de cubos
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
 a5 b5   ab 
Ejemplo: Si M      2
 a2b2 , halle
2 
b
a
a
b




Solución:
 a6  b6
M
 ab
  ab  2 2
a b
 2
2 
 a  b 
   
 a2 3  b2


a2  b2


3


  a 2b 2


 a2  b2 a 4  a2b2  b 4


a2  b2


 a4  2a2b2  b 4  a2  b2
 M
6.
a
2
M .
 b2

2
   a b
2 2



2
 a2  b2
Multiplicación de binomios con un término común
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
(x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + ( ab + bc + ac) x + abc
Ejemplo: Si (x + 2) (x – 5) = x2 + 3m x + n+1, determine el valor de m + n.
Solución:
(x + 2) (x – 5) = x2 + (2 + (–5)) x + 2 (–5) = x2 – 3 x –10
Luego:
3m = – 3 y
n + 1 = –10
Entonces
m = – 1 y n = –11
Por lo tanto, m + n = –12.
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 2
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Ciclo Ordinario 2016-I
Cuadrado de un trinomio
(a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc)
8.
Cubo de un trinomio
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a+b)(b+c)(a+c)
(a + b + c)3 = a3  b3  c3  3(a2b  a2c  b2a  b2c  c 2a  c 2b)  6abc
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a + b + c)( ab + bc + ac) – 3 abc
9.
Identidades de Lagrange
(ax + by)2 + (bx – ay)2 = (x2 + y2) (a2 + b2)
(ax + by + cz)2 + (bx – ay)2 + (cx – az)2 + (cy – bz)2 = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2+ z2)
10. Identidades condicionales
Si a + b + c = 0, entonces
2
2
2
I) a  b  c  2  ab  bc  ac 
II) a3  b3  c3  3abc

III) a4  b4  c 4  2 a2b2  a2c 2  b2c 2

a

2
IV) a  b  c  5abc  ab  ac  bc 
5
5
5
 b2  c 2

2
2
11. Otras identidades



a4  a2  1  a2  a  1 a2  a  1
a3  b3  c 3 – 3 abc 
a
 b  c
  a2 
b2  c 2 – ab – ac –bc

Ejemplo:
Si
a3  b3  c3  6 y a2  b2  c2  4 , simplifique M 
Solución:
M
M
 a  b  c   a2  b2  c 2  ab  bc  ac 
abc  2
 a  b  c  4  ab  bc  ac  .
abc  2
a3  b3  c 3  3abc 6  3abc


abc  2
abc  2
3(2  abc)
  3.
(2  abc)
Semana Nº 6
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
Álgebra
EJERCICIOS DE CLASE
1.
Sobre la cantidad p de personas presentes en un congreso juvenil, donde
p
4




256  38 62  2 64  4 6 8 16 , dos personas dijeron lo siguiente:
Jahir
: “Somos
 q  10 
personas en esta reunión”.
Brianna : “En esta reunión, estamos presentes abc(c  3) personas.
Si ambos dijeron la verdad, halle el valor de (q  26)(abc)1 .
A) 81
2.
B) 72
C) 74
8x3  12x 2 y  162y3
8x3  27y3
el ingreso mensual del comerciante?
A) S/ 4500
n
Si
C) S/ 5500
D) S/ 6000
E) S/ 6500
n
B) 2
C) 1
D) 3
E) 4
1 1 1
  
0 , halle el valor numérico de
a b c
M
 3a  2c  b 
A) 1
5.
B) S/ 5000
1
4
1


y es tal que
. ¿Cuál es
2x 2x  3y 3y
x y
xn  yn
.
Si       62 ; n   ,x  0, y  0, halle el valor de T  3
n n
y
x


 
x y
A) 5
4.
E) 56
En un mes, un comerciante de Gamarra vende (m 1)(m 4)(m 4) polos a (5m) soles
la unidad, donde m 
3.
D) 82
2
2
  3b  2a  c    3c  2b  a 
a2  b 2  c 2
B) 3
C) 14
2
; a  0, b  0, c  0.
D) 16
E) 18
Si (m  n  p)2  3(mn  mp  np  x2  y2  z2 ) , halle el valor de


m7  n7  p7
; donde m,n,p,x,y,z 
J  ( x3  y3  z3  33 )  2
2
2
5
5
5 
 (m  n  p )(m  n  p ) 
A) 0
Semana Nº 6
B) 1
C) 3
D) 9
(Prohibida su reproducción y venta)
 0 .
E) 27
Pág. 4
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Con respecto a los puntos A, B y C, ubicados en la recta real con coordenadas a, b y
c respectivamente,tres estudiantes realizan los siguientes cálculos: Isabel halla la
suma de los cubos de las coordenadas a,b y c; Jaime halla la suma de las
coordenadas a y c; y Daysi resta la coordenada a de c y al resultado le aumenta una
unidad. Si el resultado que halla Isabel es igual al opuesto del triple del producto de
los resultados hallados por Jaime y Daysi; además a  1, b  0 y c  1, ¿ cuántas
unidades (u) dista el punto C de A?
A) 2u
7.
B) 1u
C) 3u
D) 4u
E) 5u
En una tienda de abarrotes los precios del kilogramo de fideos,arroz y azúcar son
respectivamente S/ x , S/ y y S/ z con xyz  36 . Al finalizar el día, el dueño analiza
las ventas y encuentra que se vendieron “y” kg de fideos, “z” kg de arroz y “x” kg de
azúcar, obteniendo un ingreso de S/ 33 y vendiendo en total 10 kg. ¿Cuánto hubiese
sido el ingreso, si se hubieran vendido x 2 kg de fideos, y 2 kg de arroz y z2 kg de
azúcar?
A) S/ 191
8.
Ciclo Ordinario 2016-I
Si
B) S/ 181
a,b,c  
C) S/ 100
 0 tal que
D) S/ 108
E) S/ 118
b c
a
 
 , determine el valor de
c a
b
M  a6 c3  b6 a3  c6 b3  3(a3 b3 c3  1) .
A)  3
B) 3
C) 0
E)  1
D) 1
EVALUACIÓN DE CLASE
1.
Deborah
2
se
casó
el
28
de
marzo
del
año
19(4m  2)(4m  7) ,
donde
2
a b
ab
8ab .¿ Cuántos años de matrimonio celebró
y es tal que (a  2b)2 

2ab
3b
Deborah el 28 de marzo del 2016?
m

A) 42 años
2.
C) 38 años
D) 52 años
E) 48 años
La nutricionista Karen explica a un padre de familia que, en una dieta, la comida y la
cena deben corresponder, cada uno, a m% de la ración diaria, el desayuno a n% y
2
 n2  p2 1725 y (862,5  mn
 np  mp) 2112,5 ;
los refrigerios a p%. Si m
además m excede a n en 15 unidades y n excede a p en 10, ¿cuál es el porcentaje de
la razón diaria correspondiente al desayuno?
A) 25%
3.
B) 44 años
B) 15%
C) 20%
D) 30%
E) 10%
El restaurant turístico “El Mocherito” se encuentra ubicado en una carretera recta a
“m” km al norte de la ciudad de Lima, donde m [a  b(1 2a)]2  [ b  a(1 2b)]2  24
y
a2  b2  a2b2  10a  10b  26 ; a,b 
. Si Ricardo se encuentra en la misma
carretera a 15 km del norte de la ciudad de Lima, ¿cuántos km tendría que recorrer
Ricardo para llegar a dicho restaurant?
A) 47 km
Semana Nº 6
B) 56 km
C) 65 km
D) 67 km
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 62 km
Pág. 5
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo Ordinario 2016-I
Si x2  x  1 
0 , z2  2z  4 
0 , y2  y  1 
0 y w 2  6w  36 
0 , tal que x  1,
y  1, z  2 y w  6 , halle el valor de
3
3
3
2
2
x z w 
1 
1
2
2
M           x     y     z  1   w  3   18.
2 
2
y y  z  
A) 
5.
63
2
B)  63
C) 2
D) 60
E)
63
2
Sea T,2T  1,4T  3,... una secuencia de expresiones algebraicas, donde
T
 3 (m2  n2 )(m4  n4  m2n2 )  3(m4 n2  m2n4 ) . Siguiendo la misma secuencia,
halle el valor numérico de la siguiente expresión algebraica cuando

m 3
y n 2.
A) 40
6.
B) 39
D) 23
E) 46
Si a  b  c  45 , halle el valor numérico de
T
A)  5
7.
C) 47


a3  b3  c 3  45 a2  b2  c 2  15  a  b  c   15 5
a  5 b  5 c  5 
B) 2
C)  3
D) 1
E) 3
El doctor Urquía, especialista en cardiología, realizó un examen de presión arterial a
su paciente Jaime y resultó que el promedio de presión arterial diurno fue de
18 a6  b6  c 6
c.
y ab 
 22p  8 / 13p mmHg , donde p  2 2 2
27a b c  6a3b3  6b3c 3  6a3c 3
¿Cuál fue el promedio de presión arterial diurno?

A) 140/78 mmHg
D) 136/78 mmHg
8.
.
B) 138/76 mmHg
E) 138/78 mmHg
0 , halle el valor de M 
Si a  b  c 
a,b,c  
A)  11
Semana Nº 6
 0
B)  3

C) 1
C) 140/76 mmHg
 a2  b2  c 2 
4

 3 a4  b4  c 4
a4  b4  c 4
D) 7
(Prohibida su reproducción y venta)

2
; donde
E) 11
Pág. 6
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016 - I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 7
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
1.
DEFINICIÓN: Es la operación cuya finalidad es obtener las expresiones algebraicas
llamadas cociente: q(x) y resto: r(x); dadas otras dos expresiones denominadas
dividendo: D(x) y divisor:d(x).
Esquema:
2.
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN: Dados D(x), d(x)  K [x]; d(x)  0, existen
polinomios q(x) y r(x) únicos, tales que:
D(x) = d(x) q(x) + r(x)
…
(1)
donde r(x) = 0 ó grad [r(x)] < grad [d(x)] . Los polinomios q(x) y r(x) se denominan
cociente y residuo respectivamente.
Ejemplo: x3 – 5x + 2 = (x – 3) ( x2 + 3 x + 4 ) + 14
Propiedades
D(x)
d(x)
q(x)
r(x)
i.
grad [D(x)]  grad [d(x)]
ii.
grad [q(x)] = grad [D(x)] – grad [d(x)]
iii.
grad [r(x)]max = grad [d(x)] – 1
CLASES DE DIVISIÓN
INEXACTA: Si r(x)  0
EXACTA: Si r(x) = 0
De (1): D(x) = d(x) q(x)
i) D(x) es divisible por d(x).
ii) d(x) es un divisor ó es un factor
de D(x).
Semana Nº 7
De (1):
D(x) = d(x) q(x) + r(x)
donde: 0  grad [r(x)] < grad [d(x)]
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 1
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016 - I
2.1. Criterios para dividir polinomios:
2.1.1. Métodos de división de polinomios:
Dos de los métodos de división son:
A) Método de Horner: Aplicable a polinomios de cualquier grado.
i)
El dividendo y el divisor deben ser polinomios ordenados
generalmente ordenados en forma decreciente) y completos,
respecto a una misma variable.
ii)
Se completará con ceros los términos faltantes en el
dividendo
y divisor.
iii)
La línea vertical que separa el cociente del residuo se obtiene
contando de derecha a izquierda tantas columnas como nos indica
el grado del divisor.
iv)
El resultado de cada columna se divide por el coeficiente principal
del d(x), y este nuevo resultado se multiplica por los demás
coeficientes del d(x), colocándose los resultados en la siguiente
columna y hacia la derecha.
Ejemplo:
Dividir D(x) = 15x5 – x2 + 21x3 – 11x4 + 3 por d(x) = 3x2 + 2 –x
Solución:
Ordenando y completando los términos del dividendo y divisor:
D(x) = 15x5 – 11x4 + 21x3 – x2 +0x+ 3 , d(x) = 3x2 – x + 2
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 2
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016 - I
B) Método de Ruffini: Es un caso particular del método de Horner aplicable sólo a
divisores binómicos de la forma (x  b), o transformables a binomios.
El esquema de Ruffini consiste en dos líneas, una horizontal y la otra
vertical, tal como se muestra en la figura.
Ejemplo:
Dividir p(x) = 3x5 – 10x3 + x2 + 5x – 1 por d(x) = x – 2.
Solución:
q(x) = 3x4 +6x3 +2x2+5x+15
r = 29
El siguiente teorema nos permite encontrar el resto sin efectuar la división.
3.
TEOREMA DEL RESTO El resto de dividir un polinomio p(x) por un binomio de la
forma ax  b, es igual al valor numérico que se obtiene al reemplazar en el dividendo
x= 
b
.
a
En conclusión:
b 
.
 a 
Si p(x)  (ax – b)  r = p 
Regla práctica:

Divisor se iguala a cero.

Se elige una variable conveniente y se despeja esta variable.

La variable elegida se busca en el dividendo para reemplazarla, luego se
realizan las operaciones indicadas y tenemos el resto.
Ejemplo:
Hallar el resto al dividir p(x)  x20  x18 – 2x19 – 4x16  x5 – 1
d(x) = x – 2.
Solución:
por
1º
d(x) = 0  x – 2 = 0
2º
Despeje conveniente: x = 2
3º
resto = p(2)  (2)20  (2)18 – 2(2)19 – 4(2)16  25 – 1
 resto = 31
Semana Nº 7
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016 - I
4.
DEFINICIÓN: Diremos que r es raíz o cero de p(x) si p(r) = 0.
5.
TEOREMA DEL FACTOR: Si “a” es un cero de p(x), entonces (x – a) es un factor de
p(x).
p(x) = (x – a) q(x)
5.1. Propiedades
1º
2º
p(x) es divisible separadamente por (x – a), (x – b) y (x – c)  p(x) es
divisible por (x – a) (x – b) (x – c).
Si
p(x) . m
p(x) d(x)
q(x)
r(x)
r(x) . m
p(x)  m
r(x)  m
d(x) m

Resto verdadero =

Resto verdadero =
q(x)
d(x)  m
q(x)
r (x) . m
m
r (x)
.m
m
EJERCICIOS DE CLASE
1.
Si r(x) es el resto de repartir p(x)  3 x15  (x2  2x  2)5  6(x  2)3  6x  8 pelotas
entre d(x)  x2  x niñas. ¿Cuántas pelotas sobran si se tiene 380 niñas?
A) 360
2.
B) 376
D) 370
E) 375
Halle la suma de coeficientes del cociente que resulta de dividir el polinomio
p(x)  4x80  2x79  x  b por d(x)  x  1.
A) 161
3.
C) 300
B) 162
C) 163
D) 164
E) 165
José tiene 2x 4  x3 lapiceros, María tiene 2x3  10x2 lapiceros y Pedro
2x2  4x  1 lapiceros. Si los reunen y reparten entre x2  (x  1) estudiantes, cada
uno recibe ax2  bx  c . Halle el valor de (a b c)2 .
A) – 3
4.
Sea
B) – 2
r(x)  mx  n
C) 2
el
resto
p(x)  (x  13)5  (x  3)6  10
4
D) 4
por
que
E) 3
se
(x  a)(x  b) .
obtiene
Si
la
al
dividir
división
de
2
3
t(x)  bx  ax  6x  4 entre 3x  x  2 es exacta, halle el valor de “m”.
A) 1100
Semana Nº 7
B) 1100
C) 110000
D) 11
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 1000
Pág. 4
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Se ha reunido ax2015  bx2017  cx2019  dx2021  7 soles y se compró libros cuyo
precio unitario es de x  2017 soles, quedando 10 soles de vuelto. ¿Cuánto dinero
quedará si con la misma suma de dinero se compra libros cuyo precio unitario es
x  2017 soles?
A) 2 soles
6.
C) 6 soles
D) 7 soles
E) 12 soles
B) 2025
C) 3634
D) 9216
E) 14400
Si r(x) es el resto que se obtiene al dividir el polinomio
p(x)  (x2  9x  18)(2x2  6x)  (x  2)2  3x  9
valor de r( 10) .
A) 10
8.
B) 4 soles
Un polinomio p(x) de sexto grado y de coeficientes positivos es divisible por
p(x) es exacta, halle el resto
s(x)  x 2  7 .Si p(1)  576 , p(0)  196 y
de dividir p(x) por x  5 .
A) 16900
7.
Ciclo Ordinario 2016 - I
B) – 16
C) 36
por
d(x)  x2  6x  3 , halle el
D) – 26
E) – 23
Se ha cosechado x15  x11 manzanas que se reparten entre x2  x  1 niños. Si
sobran 8 manzanas, ¿cuántos niños hay?
A) 91
B) 90
C) 85
D) 92
E) 94
EVALUACIÓN DE CLASE
1.


Si r(x)  ax  b es el resto de dividir p(x)  (x  1)6  a(x  2)4 por x 2  1 y q(x) es
el cociente de la misma división tal que q(1)  2 y q(1)  0 , halle el valor de
a  6b.
A) – 10
2.
Si
B) 10
el
C) 20
D) – 20
E) 15
p(x)  mx4  nx3  16x2  7x  20
polinomio
es
100
2
d(x)  2x  3x  4, halle el residuo de dividir t(x)  (m n) x
divisible
por
17
 (m n) x  mn por
2
s(x)  x  x  1.
A) 12x  9
3.
B) 17x  19
C) 12x  19
D) 13x  19
E) 0
Si 2x  9 es el resto que resulta al dividir el polinomio
p(x)  2ax3  bx2  ax  3 por d(x)  2x2  7x  3 , halle p(2).
A) – 25
Semana Nº 7
B) – 38
C) – 32
D) – 21
(Prohibida su reproducción y venta)
E) – 29
Pág. 5
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo Ordinario 2016 - I
El polinomio mónico p(x) de grado (n  2) es divisible por (xn1 5) . Si el resto de
dividir p(x) separadamente por (x 1) y (x  3) son respectivamente 30 y 1736, halle
el valor de Grad p(x)  p(0) .
A) 26
5.
B) 18
C) 30
D) 24
E) 8
Determine la suma de coeficientes del resto que resulta al dividir
2
p(x)  (x  a)3  (x  a)3  6xa2   1  x 6  x por q(x)  (x2  x  1)(x 1) .


A) 5
6.
Un
B) 3
móvil
mx 4  nx3  14x2  81x  36 Km
E) 7
en
exactamente
B) 98 Km/h
C) 47 Km/h
D) 11 Km/h
E) 59 Km/h
Sea q(x) el cociente de dividir el polinomio p(x)  x10  5x6  4x2  3 por
d1(x)  x2  2. Halle el resto de dividir q(x) por d2 (x)  (x2  x  1)(x2  x  1) .
A) 1
8.
recorre
D) 6
2x2  7x  3 horas. ¿Cuál es su velocidad para x  10 Km ?
A) 71 Km/h
7.
C) 4
B) – 4
C) 0
D) – 1
E) 3
Si r(x) es el resto de dividir
p(x)  x27  3x19  5x3  2x2  8 por d(x)  x2  x  1 , determine el valor de r(r(1)).
A) – 12
Semana Nº 7
B) 17
C) 25
D) – 16
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 21
Pág. 6
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Ciclo Ordinario 2016-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
Binomio De Newton
 n
 n
 n
 n  n  1  n n
 ab
   b
(a + b)n =   a n    a n  1 b    a n  2 b 2  ...  

n
1
2
1
0
 
 
 


 n
n  n
(a + b)n =    a n  k b k ; n  Z+ , k Z0+ .
k
k0  
El desarrollo de (a + b)n tiene (n + 1) términos.
Observaciones
1.
Si
a = b = 1  (1 +
1)n
n
 n
  = 2n, además se tiene:
k
k0  

=
 n  n  n   n  n
n1
i)                  2
0  2  4  6  8



Suma de términosde lugar impar
 n  n  n  n  n
n1
ii)                  2
.
1
3
5
7
9

  
 
  
 

Suma de términosde lugar par
2.
TC: término central
a) Si n es par, se tiene un único término central  TC = Tn
2
1
b) Si n impar, se tiene dos términos centrales  TC = Tn  1 y TC = Tn  1
2
2
1
Cálculo de un término cualquiera: Tk 1 , en el binomio (a + b)n
 n
T k  1    a n  k bk
k 
0  k  n,
kZ
Cocientes Notables
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 1
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
Forma general de un cociente notable
xn  an
= xn – 1  xn – 2 a + xn – 3 a2  xn – 4 a3 + . . .  an – 1 , con n Z+
xa
El desarrollo de un cociente notable tiene n términos.
Propiedad.
x p  yr
q
s
es un cociente notable si y solo si el número de términos es
x y
 0, s  0.
Caso
1
2
3
4
División
indicada
x n  an
xa
x n  an
xa
x n  an
xa
x n  an
xa
p r
= ,
q s
Cociente Notable
Residuo: R
xn – 1 + xn – 2 a + xn – 3 a2 + xn – 4 a3 + . . .  an – 1
R = 0, n Z+
xn – 1 - xn – 2 a + xn – 3 a2 - xn – 4 a3 + . . . - an – 1
R = 0,
xn – 1 - xn – 2 a + xn – 3 a2 - xn – 4 a3 + . . . + an – 1
n Z+, par
R = 0,
No es cociente notable
nZ+, impar
R ≠ 0,
nZ+
Cálculo de un término cualquiera: TK , de un cociente notable.
1. Para el caso 1 :
2. Para los casos 2 y 3 :
Tk = xn – k ak – 1
;
Tk = (-1)k-1xn – k ak – 1
1 kn
;
1 kn
El término central (TC)
a) Si n es impar, se tiene un único término central  TC = T n  1
2
b) Si n es par, se tiene dos términos centrales  TC = T n
y T’C = T n
2
2
Semana Nº 8
(Prohibida su reproducción y venta)
1
Pág. 2
q
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Ciclo Ordinario 2016-I
EJERCICIOS DE CLASE
1.

Halle el término independiente en el desarrollo de  3x3 


A) – 12
2.
B) – 15
C) – 18
En referencia al binomio

3
x4 
3
x5
D) – 21

12
6
1 
 .
5 3 
x 
E) – 24
, Juan dice lo siguiente:
La edad de mi abuelo y mi edad están en proporción a los coeficientes de los términos
3 y 12 respectivamente, ¿Qué edad tenía mi abuelo cuando yo tenía 10 años?
A) 55 años
3.
C) 58 años
 x2
En el desarrollo del binomio 

 y

Mx 44 yk ; halle el valor de n2 .
A) 106
4.
B) 66 años
B) 108
y 

x 
C) 104

En el desarrollo del binomio 2x 2  3yx
b
C y2
D) 62 años
5n2
, el término de lugar 25 es de la forma
D) 10

6
E) 69 años
E) 102
, cuyo único término central es de la forma
a
es de la razón de las edades de Abigail y Génesis
b
respectivamente, además sus edades suman 25 años. ¿Qué podemos afirmar?
xa , tenemos que
A) Génesis es 5 años mayor que Abigail.
B) Abigail tiene 10 años.
C) A Génesis le falta 8 años para tener mayoria de edad.
D) Abigail está por cumplir 18 años.
E) Abigail no es una quinceañera.
x 2  1

En el cociente notable
m
5.
4
2

, su décimo término es de la forma x 4  x 2
x  3x  1
. Si el grado(t 6 )  t , halle m  n  16  t .
A) 36
6.
 xn
B) 26
C) 46
D) 30

8
x2
E) 32
xn  ym
 
tiene 14 términos en su desarrollo; además el GA t7
x3  y 4
representa la edad de Adrián dentro de 3 años, halle m  n  edad de Adrian  32 .
Si el cociente notable
A) 24
Semana Nº 8
B) 12
C) 20
D) 16
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 10
Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Ciclo Ordinario 2016-I
El grado absoluto del término de lugar 6 del cociente notable
m, halle la suma de cifras de m.
A) 10
8.
B) 12
C) 9
D) 8
x3n9  y3n
x3  y 2
es igual a
E) 14
xmn  yn
Si los grados absolutos de los términos del cociente notable
xm  y
van
 
disminuyendo de 2 en 2, además el GA t 4  21. Halle el número de términos de su
desarrollo.
A) 20
B) 12
C) 14
D) 8
E) 10
EVALUACIÓN DE CLASE
1.

En el binomio de newton 8x3  36x2 y  54x y 2  27y3  x 2  2xy  y 2

5
, halle el valor
numérico del t 5 de su desarrollo para x  1, y  1.
A) 6561C54
2.
C) 6000C54
B) 6561
D) C54
E) – 1280
En un laboratorio, se estudia el comportamiento de una especie de bacteria y se
comprueba que a temperatura ambiente las bacterias se reproducen cada m minutos,
partiendose en tres, donde m representa el término independiente en el desarrollo de
5

1 
 x  3  . Si el número inicial de bacteria es (2m  10) . ¿Cuántas bacterias habrá
x

al cabo de 2 horas?
A) 311.10
3.
B) 310 .10
C) 312 .10
n
Sabiendo que el desarrollo de  x  y 
D) 39 .10
E) 38 .10
tiene 13 términos y además la suma de sus
m
coeficientes es 8 veces la suma de coeficientes del desarrollo de  x  y  , halle m  1.
A) 12
4.
B) 10
C) 14
D) 16
E) 18
En el programa de televisión “Naturalmente sano” un especialista en nutrición informa
que las cantidades de Selenio requeridos por día son:
(a  5) ug en los recién nacidos,  4a  ug en los niños y (b  74) ug en los adultos,
donde a y b son tales que ax15 yb es el término de lugar 15 en el desarrollo del binomio
 x3  y 2 
2n1
. Halle el requerimiento de Selenio por día en los adultos aumentado en
(n+9) ug.
A) 105 ug
Semana Nº 8
B) 115 ug
C) 110 ug
D) 100 ug
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 120 ug
Pág. 4
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
( 5x  1)99  ( 5x  1)99
tiene un término de la forma a(25x2  1)b
x
b5

, halle el residuo de dividir p(x)  
 3  x5  3x3  a por d(x)  x  1
 22

Si el cociente notable
A) 1
6.
B) 2
n 5
D) 4
E) 5
n15
A) 14
B) 3
, halle el grado de p(x) .
C) 20
D) 16
E) 35
Dada la expresión p(x)  x1000  x998  ...  x104  x102 , halle el valor de p

8.
C) 3
Si p(x) representa el término central del desarrollo del cociente notable
 x  2   x  3 
n7
n5
 x  2   x  3 
7.
Ciclo Ordinario 2016-I



51 400
1
A) 2 2
51 450
1
B) 2 2
D) 2450  1
E) 2450
Halle el valor de ab en el cociente notable
 2 .
C) 251
x5ab  y 6b3
xb  ya5
,si su término central es
x16 y12 .
A) 18
Semana Nº 8
B) 16
C) 32
D) 64
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 28
Pág. 5
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CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 9
RAÍCES DE UN POLINOMIO
1.
Definición: Un polinomio de grado n en la variable x es una expresión algebraica de
la forma:

p( x) a0  a1x  a 2 x 2    an 1x n 1  an x n ; an  0; n  N ,
donde los coeficientes a0 , a1, a2 ,, an 1, an son constantes (reales o complejas).
1.1 Observación:
Si p(x)  K[x], diremos que los coeficientes del polinomio p(x) son constantes
que pertenecen al conjunto K; donde K puede ser Z, Q, R, ó C.
1.2 Ejemplo:
1) p(x) = 1.5x4 +
4 3
x + 6  Q[x].
3
2) p(x) = 3ex5 + 4 3 x2 – x +1  R[x].
3) p(x) = 4x6 + (3i – 1)x2 + x  C[x].
2.
Definición:  es una raíz de p(x)  K [ x]; si p() = 0.
Ejemplo:
1)
2
2
p( x) 3x 2  10x  8 ; dado que p   0 .
es raíz de
3
3
p( x) x 2  6x  13 ; dado que p3  2 i 
0.
2) 3 + 2i es raíz de 
3.
Definición:  es una raíz de multiplicidad m  Z+ de p(x) si
p
( x) ( x  )m q( x);
donde q()  0
3.1 Ejemplo:

p( x) ( x  1)9 ( x  5)( x  6)5
Si
Raíces  de p(x)
=6
Semana Nº 9
Multiplicidad m
m=5
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 1
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
m = 1 (raíz simple)
m=9
=–5
=1
3.2 Observación: La multiplicidad indica el número de veces que se repite una raíz.
4.
Raíces de un polinomio cuadrático:
p( x)  ax 2  bx  c  R[ x]; a  0
las raíces de p(x) son:
 b  b 2  4ac
 b  b 2  4ac
x1 
y x2 
2a
2a
4.1 Observación:   b 2  4ac es llamado el discriminante de p(x).
4.2 Naturaleza de las raíces de p(x)  R[ x] .
  b 2  4ac
0
0
0
5.
Raíces de p(x) son:
Reales y diferentes
Reales e iguales
Complejas no reales y
conjugadas
Relación entre raíces y coeficientes de un polinomio
5.1 Polinomio de grado 2
p( x)  ax 2  bx  c; a  0
Si las raíces de p(x) son x1 y x 2 , entonces se cumple:
i) x1  x 2  
ii) x1 x 2 
b
a
c
a
5.2 Polinomio de grado 3
p( x)  ax3  bx 2  cx  d ; a  0
Si las raíces de p(x) son x1, x 2 y x 3 , entonces se cumple:
i) x1  x 2  x 3  
Semana Nº 9
b
a
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 2
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
ii) x1 x 2  x1 x 3  x 2 x 3 
iii) x1 x 2 x 3  
6.
d
a
Ciclo Ordinario 2016-I
c
a
Propiedades
i)
Si p( x)  R[ x] y   a  bi es una raíz de p(x), donde
a y b  R y b  0 entonces   a  bi es otra raíz de p(x).
ii)
Si p( x)  Q[ x] y a  b r es una raíz de p(x), donde a y b  Q , r  Q y
r I
entonces a  b r es otra raíz de p(x).
EJERCICIOS DE CLASE
1.
Si 3 – 2i es una raíz del polinomio p( x)  x 2  (m  n)x  m2  n2 ; {m,n}  Q , halle el
valor de 12m.
A) – 65
2.
B) 49
C) 58
D) 19
Si  y  son las raíces de p( x )  x 2  x  3 y R 
E) 25
3
3
  
representa la
 1
  1
edad que tenía Javier hace 15 años, ¿dentro de cuánto tiempo Javier cumplirá 40
años?
A) 25 años
3.
B) 23 años
C) 20 años
D) 19 años
E) 16 años
Si las raíces del polinomio p( x)  x 2  (3m  2)x  m2  1 son como 1 es a 3, calcule la
suma de los valores de m.
A)
4.
36
11
B)
37
11
C)
17
6
D)
37
12
E)
12
7
Si las raíces del polinomio p( x)  x 3  x 2  x  312 son tres números enteros que
están en progresión aritmética cuya razón es 5, halle el valor de    .
A) 25
Semana Nº 9
B) 109
C) 8
D) 143
(Prohibida su reproducción y venta)
E) – 25
Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Si el precio en soles del kilogramo de uva es igual a la multiplicidad de la raíz positiva
16 2
del polinomio p( x )  x 3 
x  5x  6 . ¿Cuántos kilogramos de uva podrá comprar
3
 13 
Goyito con S/. 9 p   ?
 3 
A) 80 kg
6.
Ciclo Ordinario 2016-I
B) 45 kg
C) 40 kg
D) 39 kg
E) 25 kg
Sabiendo que 1 i es una raíz del polinomio p( x)  x 3  mx2  (m  5)x  (n2  1) ;
{m, n}  Q , y que m representa el ingreso mensual en miles de soles que tiene Manuel
y n representa sus gastos al mes en miles de soles, ¿a cuánto asciende el ahorro
mensual de Manuel?
A) S/ 1 000
7.
B) S/ 5 000
C) S/ 4 000
D) S/ 3 000
E) S/ 2 000
Si 2  5 es una raíz de p( x)  x 3  ax 2  mx  2 , {a,m}  Q , halle el número de
elementos enteros del conjunto solución de mx  16  a .
A) 4
8.
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
Si p( x ) es el polinomio mónico de menor grado con coeficientes racionales cuyas raíces
son  1,  2  3 , 3i ; el cual representa la utilidad de una compañía cuando se produce al
menos un artículo, donde p( x ) está expresado en miles de soles y x es cantidad de
artículos producidos y vendidos, expresado en cientos de unidades. Determine la suma de
cifras de la utilidad que se obtiene cuando se producen 500 unidades.
A) 18
B) 24
C) 38
D) 48
E) 58
EVALUACIÓN DE CLASE
1.
Si
M
m
y
an
n2  b
A)  1
Semana Nº 9
n

son
raíces
de
p( x)  x 2  ax  b ,
determine
el
valor
1
1
mn


; abn  0.
n na
mn
B) 0
C) 1
D)
a
b
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 
a
b
Pág. 4
de
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2.
Si m y n son raíces del polinomio p( x)  x 2  3x  5 , determine el valor de
A)
3.
Ciclo Ordinario 2016-I
1
5
M
m  5 n  5 m 1
n 1

4.


m  2 n  2 2m  5 2n  5
B) 
2
5
C)
5
D)
7
8
5
E) 
1
5
Si 2 + i es una raíz del polinomio p( x)  x 3  2x 2  19x  m  Z[ x] , y el término
independiente de p(x) representa la edad de Jorge en años, determine la suma de
cifras de la edad que tendrá Jorge dentro 5 años.
A) 5
4.
B) 6
C) 7
D) 8
D) 9
En las últimas elecciones presidenciales del Perú ( 5a 2  a  1 ) millones de electores
acudieron a ejercer su derecho ciudadano. Si 2 es una raíz del polinomio
p( x)  ax3  7x 2  7x  a , determine la cantidad de electores.
A) 19 millones
D) 25 millones
5.
Si a, b y c son las raíces del polinomio
G
C) 23 millones
p( x)  x 3  x 2  4 , halle el valor de
a2
c2
b2


.
a2
c
b2
A) 2
6.
B) 20 millones
E) 30 millones
B) 3
C) 4
D)
1
2
E)
5
2
Alonso le dice a Lucio que encontró que 2 es una raíz del polinomio
p( x)  x 3  (k  2)x 2  2k  10 y le pide que halle la suma de inversas de los cubos de
las otras raíces.
A)  5
7.
B) 
1
8
C)  2
D)  3
E)
5
8
Jorge recuerda que, en un examen del CEPUSM, había una pregunta de álgebra en
la cual un polinomio de tercer grado, mónico, con coeficiente del termino cuadrático
igual a  5 tenía por raíz a 2  3 5 . Sabiendo que la raíz es correcta, determine el
coeficiente del término lineal del polinomio dado, si aquel polinomio tiene coeficientes
enteros.
A) –37
Semana Nº 9
B) –30
C) –25
D) –20
(Prohibida su reproducción y venta)
E) –12
Pág. 5
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8.
Ciclo Ordinario 2016-I
Respecto de un polinomio p(x), Pablo le dice a Pedro: “una raíz del polinomio es
3 – 4i ”, Pedro responde: “yo encontré que una raíz es 4  3 y, además, he verificado
que p( x)  Q[ x] ”. El profesor observa que el trabajo de ambos es correcto, y además
les dice “tal polinomio es de grado mínimo y de coeficiente principal dos”. ¿Cuál es el
coeficiente del término cuadrático de p(x)?
A) – 278
Semana Nº 9
B) 86
C) 126
D) 136
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E) 172
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 10
Factorización de Polinomios
POLINOMIO SOBRE UN CONJUNTO
Los polinomios con coeficientes en K (Z, Q, R, ó C) forman un conjunto denominado K[x]; es
decir K  x    p x  / p  x  es un polinomio con coeficientes en K .
p( x) 2x 2  41x  1  Z x pues sus coeficientes 2, 41 y
Por ejemplo, el polinomio 
–1 pertenecen a Z.
DEFINICIÓN
Sean f x , g x  en K x , g x   0. Decimos que g(x) es un divisor de f(x) en K x  (o g(x)
divide a f(x) en K x  ), si existe h(x)  K x  tal que:
f(x) = h(x)  g(x)
DEFINICIÓN
Sean f x  , g x  , h x  en K x tal que grad f ( x)  1. Decimos que f(x) es un polinomio
irreducible o primo sobre K x si f x   hx   gx  implica que h(x) o g(x) es polinomio
constante.
Si f(x) no es irreducible sobre K x  decimos que es reducible o factorizable sobre K x  .
Como consecuencia se puede deducir que todo polinomio de grado 1 es irreducible.
Ejemplos
x x 2  17 es reductible en R[x], pues


p x 
1) p


x 
17
 x 

17 ; además los
17, 17  R .
coeficientes 1 ,
2) p(x) = x2 – 17 es irreductible en Q[x],
q x  4x 2  3 es irreductible en Q[x]
3) 
q x  
2 ,
 2x 
3

 2x 
y R[x]
pero es reductible en C[x], porque
  2x  3 i  2x  3 i , los coeficientes
3 
3 i ,  3 i  C.
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FACTOR PRIMO DE UN POLINOMIO
Decimos que g(x) es un factor primo de un polinomio p(x), si g(x) es un divisor irreducible
de p (x) en K  x .
Ejemplos
1) Los factores primos del polinomio q(x) = 8x(x – 1)4(x + 6) son x, (x – 1) y (x + 6) en Z[x].
2) El factor (x – 1)4 en Z[x], no es primo porque (x – 1)4 = (x – 1)2(x – 1)2.
DEFINICIÓN DE FACTORIZACIÓN
La factorización, es el proceso algebraico mediante el cual un polinomio se puede expresar
como la multiplicación indicada de sus factores primos o potencias de éstos, dentro de un
conjunto K[x] (Z[x], Q[x] , R[x] ó C[x] ).
TEOREMA DE LA FACTORIZACIÓN ÚNICA
Sea K = R ó C, entonces todo polinomio f x   K x   0 puede ser escrito en la forma
f x   a.p1 x  . . . pm x 
donde a  K  0 y p1x  y p2 x , . . . ,pm x  son todos polinomios irreducibles sobre
K  x  (no necesariamente distintos). Más aún, tal expresión es única salvo de la constante
a y del orden de los polinomios p1x  , p2 x  , . . . , pm x  .
Ejemplo:
El polinomio p(x) = x2 + 5x – 14 en Z[x], admite la siguiente factorización única
p(x) = (x – 2)(x + 7). Excepto:
 En otro orden: p(x) = (x + 7) (x – 2)
 Factores afectados por constantes no nulas:
p(x) = (2 – x)( – x – 7) y p(x) = ( – x – 7)(2 – x)
NÚMERO DE FACTORES Y FACTORES PRIMOS DE UN POLINOMIO
Supongamos que
p( x)  p1a ( x). pb2 ( x). pc3 ( x) ... pm
n ( x );
a, b,..., m  Z+
donde p1( x), p2 ( x), p3 ( x),..., pn ( x) son factores primos y primos entre si dos a dos, en un
conjunto entonces
a) El número de factores primos de p(x) es n.
b) El número de factores (o divisores) de p(x) está dado por:
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Nº de factores = (a  1)(b  1)(c  1)...( m  1)  1
Ejemplo
Sea el polinomio p(x)  (x  12)6 (x  4)5 (x  11) , tenemos que:

El número de factores primos de p(x) es 3. (No se cuenta el número de veces que
aparece el factor)

Número de factores de p(x) es (6 + 1)(5 + 1)(1 + 1) – 1 = 83.
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
1.
Factor Común por agrupación de términos: Consiste en observar si el polinomio
tiene uno o más factores comunes, que pueden ser monomios o polinomios.
Ejemplo
Factorizar p(x) = x4 – x3 – 27x + 27 en C  x  .
Solución:
4
3
27
p x   x
x

 27x






p  x   x 3  x  1  27 x  1    x  1 x 3  27

  x  1  x  3  x 2  3x  9



3 3 3  
3 3 3 
i x 
 p  x    x  1 ( x  3)  x  
i



2
2
2
2



2.
Por Adición o Sustracción (QUITA y PON): Consiste en convertir binomios o
trinomios a trinomios cuadrados perfecto (T.C.P). El procedimiento a seguir lo
presentamos en los siguientes ejemplos.
Ejemplos
i) Factorizar p(x) = x4 + 1 en R[x].
Solución
p(x) =
x4
+ 1
x2
1
2(x2)(1) = 2x2
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Luego de extraer la raíz cuadrada a ambos términos, el paso siguiente es
considerar siempre el doble del producto de dichos resultados, obteniendo el término
que se debe sumar y restar.
Entonces sumamos 2x2 (PON) y restamos 2x2 (QUITA) para completar un trinomio
cuadrado perfecto y además obtener una diferencia de cuadrados.
p(x) = x4 + 1 + 2x2 – 2x2 = (x4 + 1 + 2x2) – 2x2
= (x2 + 1)2 – 2x2 = (x2 + 1)2 – ( 2 x)2
= (x2 + 1 –
2 x) (x2 + 1 +
2 x)
Por lo tanto,
p(x) = (x2 –
2 x + 1) (x2 +
2 x + 1)
ii) Factorizar p(x,y) = x4 + x2y2 + y4 en R[x,y].
Solución:
p(x,y) = x4
x2
+ y4 + x2y2
y2
2(x2)(y2) = 2x2y2
Observemos que p(x,y) no es un trinomio cuadrado perfecto (T.C.P.), para que
p(x,y) sea T.C.P., análogamente al ejemplo anterior, el segundo término debe ser
2x2y2, lo cual se consigue sumando x2y2 (PON) y para que no se altere la igualdad
se resta x2y2 (QUITA), así tenemos
p(x,y) = x4 + y4 + x2y2 + x2y2 – x2y2 = (x4 + y4 + 2x2y2) – x2y2
= (x2 + y2)2 – x2y2 = (x2 + y2)2 – (xy)2
= (x2 + y2 – xy) (x2 + y2 + xy)
entonces
3.
p(x,y) = (x2 – xy + y2) (x2 + xy + y2)
Aspa Simple: Se emplea para factorizar trinomios de la forma:
p( x)  Ax 2n  Bx n  C ó p( x, y)  Ax 2n  Bx n y m  Cy2m ; m, n  Z+.
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Para factorizarlo descomponemos el primer y tercer término.
Ejemplo
Factorizar p(x, y)  6x 2  xy  15y2 en Z[ x, y ]
Solución:
p(x, y)  6x 2  xy  15y2
2x
3x
3x( –3y) = –9xy
2x(5y) = 10xy +
xy
Entonces
4.
– 3y
5y
p(x,y) = (2x – 3y)(3x + 5y).
Cambio de Variable: Consiste en ubicar expresiones algebraicas iguales en el
polinomio a factorizar, para luego hacer un cambio de variable, que nos permita
transformar una expresión complicada en otra más sencilla.
Ejemplo
2
Factorizar p(x)  [ x  2   3 ] [x  x  4   2]  4 en Z[x]
Solución:

p(x)  x 2  4x  1
 x
2

 4x  2  4
Observamos que x 2  4x es una expresión común, entonces hacemos el cambio de
variable y  x 2  4x , por lo tanto obtenemos
q(y)  (y  1)(y  2)  4
Entonces q (y)  y 2  y  6
aplicamos aspa simple, entonces q(y) = (y – 3) (y + 2)
Finalmente recuperamos la variable x,
p(x)  (x 2  4x  3)(x2  4x  2) en Z[x]
5.
Divisores Binómicos: Se utiliza para factorizar polinomios de una sola variable, de
cualquier grado y es útil para encontrar divisores lineales (es decir de primer grado).
TEOREMA
Sea el polinomio en Z[x]
p( x )  an x n  an1x n1  .....  a0 , an  0 .

C.P.
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T.I
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Ciclo Ordinario 2016-I
b
, con b y c primos
c
entre sí, donde, b divide al término independiente (T.I.) a0 y c divide al coeficiente
Entonces las posibles raíces racionales de p( x ) son de la forma 
principal (C.P.) an .
En particular, si p( x ) es Mónico (es decir an  1), entonces las posibles raíces de p( x )
son de la forma  b (raíces enteras), donde b divide al término independiente.
Ejemplo
Sea el polinomio p(x) = x3 + 3x2 + 10x + 8 en Z[x]. Halle el número de factores de p( x )
.
Solución:
Observamos que p( x ) es un polinomio mónico, las posibles raíces son los divisores
del término independiente 8, es decir {1, 2, 4, 8}. Utilizando el método de
división por Ruffini, se prueba que x  1 es raíz de p( x ) y por tanto (x + 1) es un
factor primo de p( x ) en Z[x].
En efecto:
1
–1
1
3
10
8
–1
–2
–8
2
8
0
x2 + 2x + 8
Entonces
Factor Reducido
p(x) = (x + 1)( x2 + 2x + 8)
Por lo tanto, el número de factores es (1+1) (1 + 1) – 1 = 3
6.
Aspa Doble: Se utiliza en la factorización de polinomios de la forma:
p( x, y)  Ax 2n  Bx n y m  Cy2m  Dxn  Ey m  F;
m,n  Z+
En particular si m = n = 1, tenemos
p( x, y)  Ax 2  Bxy  Cy2  Dx  Ey  F
Para factorizarlo ordenamos el polinomio en la forma general. Si faltara algún término,
se completa con términos de coeficiente cero y luego se aplican tres aspas simples.
Ejemplo
Factorizar p(x,y) = 10x2  13 x y 4 y 2  21x  18 y  10 , en Z[ x, y ].
Solución:
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Ciclo Ordinario 2016-I
1er
3er
4to
5to
6to

 2do
 



2
2
p(x,y) = 10x  13xy  4y  21x  18y  10
5x
4y
–2
2x
y
+5
(I)
(II)
Observamos las siguientes aspas simples:
 Primera aspa simple (I), se obtiene de los términos: 1er , 2do y 3er .
.
 Segunda aspa simple (II), se obtiene de los términos: 3er , 5to y 6to .
 Tercera aspa simple, se obtiene del 1er , 4to y 6to término, esta aspa nos permite
verificar todo el proceso.
Por lo tanto
7.
p(x, y)  (5x  4y  2)(2x  y  5)
Aspa Doble Especial: Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
p(x)  Ax 4n  Bx 3n  Cx 2n  Dx n  E;
n  Z+
En particular, si n = 1 tenemos:
p( x )  Ax 4  Bx 3  Cx 2  Dx  E
Para factorizarlo ordenamos el polinomio en forma decreciente completando los
términos faltantes con términos de coeficiente cero. Descomponemos los términos
extremos, tratando de que el aspa simple entre ellos se aproxime al término central.
Ejemplo
Factorizar p(x) = x 4  6x 3  3x 2  38x  24 en Z[x].
Solución:
p(x) = x 4  6x 3  3x 2  38x  24
x2
x2
4x 2 +
6x 2
4
+6
10x 2
Determinamos lo que se debe tener, que es, 3x 2 , lo que se tiene, es 10x 2 y lo que falta que
es – 7x2 = (3 – 10)x2 = (–7x)(x), entonces
p(x) = x 4  6x 3  3x 2  38x
 24
 7x 2
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x2
Ciclo Ordinario 2016-I
– 7x
x2
4
6
x
Luego obtenemos:
2
2
 7x
 4)(x

p(x)  (x
x
6) en Z[x]


Δ 0
fp
Δ 0
fp
OBSERVACIÓN
Podemos usar el método de adición y sustracción (Quita y Pon) y el método de factorización
del aspa simple para factorizar algunos polinomios de grado impar, el objetivo es buscar
la presencia de diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos, etc.
Ejemplos
i) Factorizar p x  x 5  2x 4  6x 2  4 en Z[x].
Solución:
4
2
p(x)  x 5  2x 4  2x 2  4x 2  4  x 5  2(x
x

)  4(x 2  1) ,

x3
x2
entonces
2(x – 1)
–2(x + 1)
p( x)  ( x 3  2x  2)( x 2  2x  2) .
ii) Factorizar p(x)  x 5  x  1 en Z[x].
Solución:
5
2
p(x)  x 5  x  1  x 5  x 2  x 2  x  1  x
x

 (x 2  x  1) =







x 2 (x 3  1)  (x 2  x  1)  x 2 x  1 x 2  x  1  (x 2  x  1)  x 2  x  1 x 3  x 2  1




Irreducibles en Z[x].
p  x   x 2  x  1 x 3  x 2  1 .
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EJERCICIOS DE CLASE
1.
Un factor de p(x) = x5 – 3x4 + ax3 – x2 + bx + 6 en R[x], es x3 + cx2 + 2. Halle el resto
de dividir p(x) por (x + a + b + c + 1).
A) 7
2.
B) – 3
C) 2
D) – 5
E) 0
Con respecto a la factorización del polinomio:
9
1
1
p(x, y, z) = x 4 yz  x 3 y 2 z  x 2 y 3 z  x 2 yz 3 en q[x,y,z], indique el valor de verdad
2
2
2
de las siguientes proposiciones:
I) p(x,y,z) tiene 6 factores primos.
II) Hay un factor primo cuadrático.
III) La suma de los factores primos es 3x – y + z.
A) VVV
3.
B) VFV
C) FVV
D) FFV
E) FFF
Sea p(x) = x8 – 9x6 – 64x2 + 576, halle la suma de sus factores primos cuadráticos en
Z[x].
A) 2x2 + 8
4.
B) 4x2 + 8
C) 2x2 + 16
D) 2x2
E) 4x2 + 16
Jorge y Andrés son dos hermanos albañiles. Jorge construye en un día (xy) metros
cuadrados de vereda y su hermano (x3 + y3) metros cuadrados por día. Si Jorge y
Andrés cobran respectivamente por cada metro cuadrado (x2 – y2) soles y (x – y)
soles. Halle el número de factores primos en R[x] del ingreso de ambos hermanos,
sabiendo que laboraron “x” días.
A) 5
5.
D) 4
E) 1
B) 3
C) 5
D) – 1
E) 7
Luego de factorizar p(x,y) = x2(x2 – 3y) + y(2y – 7) + 2x2 – 15 en Z[x,y], halle una raíz
de la diferencia de sus factores primos.
A) – 8
7.
C) 2
Al factorizar en R[x] el polinomio p(x) = x(x +1) (x + 2) (x+ 3) (x + 4) – 15x, se tiene que
a es el número de factores primos. Halle 2a –3.
A) 1
6.
B) 3
B) 8
C) 2
D) – 3
E) 5
Al factorizar p(x) = x4 + 3x3 + 4x2 + 7x – 15 en Z[x], halle la suma de los términos
lineales de sus factores primos.
A) 2x
Semana Nº 10
B) x
C) – 2x
D) 3x
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E) – x
Pág. 9
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Ciclo Ordinario 2016-I
Halle el cociente que se obtiene al dividir el número de factores algebraicos sumado
más
uno,
por
el
número
de
factores
primos
del
polinomio
p(x) = x6 + 2x5 – 2x4 – 2x3 + x2 – 4x + 4 en C[x].
A) 9
B) 7
C) 6
D) 4
E) 5
EVALUACIÓN DE CLASE
1.
En la clase de Álgebra, Noelia, Alex y Eduardo van a factorizar el polinomio
p(x) = x3 – 2x2 + x4(x – 2) – (x3 + x) (x – 2) en R[x], y obtienen los siguientes resultados:
I) Noelia afirma que se obtienen 4 factores primos.
II) Alex afirma que se obtienen 2 factores primos lineales.
III) Eduardo afirma que se obtienen 2 factores primos cuadráticos.
Determine la secuencia correcta de valores de verdad de los enunciados anteriores.
A) VFF
2.
C) VVV
D) VFV
E) FVV
Al factorizar los polinomios p(x) = x4 – 81 y q(x) = x4 – 9 en Z[x], halle la suma del
factor primo de mayor término independiente que se obtiene en q(x) con el factor primo
de mayor grado que se obtiene en p(x).
A) x2 + 6
3.
B) VVF
B) x2 + 12
C) 2x2 + 12
D) 2x2 + 6
E) 2x2 + 10
Sea (x + ay + a) factor común de los polinomios p(x,y) = x2 – axy + 2ay2 – 4x – ay +3
y q(x,y) = 2x2 – xy – y2 – cx + y + b en Z[x,y], determine el valor de a + b + c.
A) – 2
4.
B) 5
C) – 3
D) – 7
E) – 6
Si s(x,y) es la suma de los factores primos del polinomio
p(x,y) = 6x2 + 11x + 53y – 20y2 – 7xy – 35 en Z[x,y], halle la suma de los coeficientes
de s(x,y).
A) 2
5.
C) 8
D) –4
E) 6
Al factorizar el polinomio h(x) = p(x – 1) en Z[x], donde
p(x) = x4 – 5x3 – 7x2 + 29x + 30, determine la suma de los factores primos de h(x).
A) 3x – 9
6.
B) – 5
B) 4x – 11
C) 4x – 5
D) 4x – 9
E) 3x + 11
Al factorizar p(x) = x4 – 10(x3 –1) + 32x2 – 37x en Z[x] se tiene que h(x) es la suma de
sus factores primos. Determine una raíz de h(x).
A) – 3
Semana Nº 10
B) – 2
C) 2
D) 1
(Prohibida su reproducción y venta)
E) – 6
Pág. 10
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7.
Al factorizar p(x) = (x2 – 16) (x2 + 7x + 10) (x2 – 4x + 3) + 1232 en Z[x], halle uno de
los factores primos.
A) x2 + x + 2
8.
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B) x2 + x + 1
C) x2 – x + 1
D) x2 – 2x + 2 E) x2 + 2x – 1
Gabriela encuentra que un factor común en Z[x] para los polinomios
p(x) = x3 – x2 – x – 2
y q(x) = x4 + 3x3 + mx2 + nx + 3 – 2m es un polinomio
cuadrático. Si dicho factor común es correcto. ¿Cuál es el valor numérico del otro
factor primo en Zx del polinomio q(x), cuando
A) 3
Semana Nº 10
B) – 2
C) 0
x = 2?
D) – 4
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 7
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Álgebra
SEMANA Nº 11
Máximo Común Divisor (MCD) y Mínimo Común
Múltiplo (MCM) de dos o más polinomios
Sean p(x) y q(x) dos polinomios no nulos.
DEFINICIÓN
Se dice que el polinomio d(x) es el máximo común divisor de p(x) y q(x) si se cumple las
dos condiciones siguientes:
I)
d(x) divide a p(x) y d(x) divide a q(x); es decir, d(x) es divisor común de p(x) y q(x).
II)
Si D(x) divide a p(x) y D(x) divide a q(x), entonces, D(x) divide a d(x).
En este caso denotamos
d(x) = MCD [p(x),q(x)]
OBSERVACIÓN
d(x) = MCD [p(x),q(x)] es mónico, existe y es único en K [ x ] , donde K= Q, R, C.
DEFINICIÓN
Se dice que el polinomio m(x) es el mínimo común múltiplo de p(x) y q(x) si se cumple las
dos condiciones siguientes:
I)
p(x) divide a m(x) y q(x) divide a m(x); es decir, m(x) es múltiplo común de p(x)
q(x).
II)
Si p(x) divide a M(x) y q(x) divide a M(x), entonces, m(x) divide a M(x).
En este caso denotamos
y
m(x) = MCM [p(x),q(x)]
PASOS PARA HALLAR EL MCD Y EL MCM DE DOS O MÁS POLINOMIOS
1.
Factorizamos los polinomios en el K[x] determinado.
2.
Para el MCD, multiplicamos solo los factores primos comunes elevados a su menor
exponente.
3.
Para el MCM, multiplicamos los factores primos comunes y no comunes elevados a
su mayor exponente.
Ejemplo:



7
Sean los polinomios p(x)  x  85 x  47 x  2 x 2  5 x 2  2x  8 y
q(x)  (x  8 )3 (x  2)2 (x  2)5 (x 2  5 )(x 2  x  6 ) ,
halle MCD [p(x), q(x)] y MCM [p(x), q(x)] en Q[x].
Solución:
Al factorizar los polinomios :
p (x )  (x  8 )5 (x  4)8 (x  2)2 (x 2  5)7
q (x)  (x  8 )3 (x  2)2 (x  2)6 (x 2  5)( x  3 )
entonces
MCD [p(x), q(x)]  (x  8 )3 (x  2)2 (x 2  5)
MCM [p(x), q(x)]  (x  8 )5 (x  2)6 (x 2  5)7 (x  4)8 ( x  2 )2 ( x  3 ) , en Q[x]
PROPIEDAD
MCD p(x),q(x).MCMp(x),q(x) p(x).q(x)
EJERCICIOS DE CLASE
1.
Simplifique la expresión T 
A)
2.
1
2  5x
B)
2
5x  2
10x  8
1
1
.


2
2
5x  2

25
x
4
 x
5
C) 
2
5x  2
D)
1
5x  2
E)
2
2x  5
Dado los polinomios p(x) = x4 + 3x3 – 7x2 – 27x – 18 y q(x) = x4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12.
Halle el MCD [p(x), s(x)] en Q[x], sabiendo que s(x) = q(x – 1).
A) x2 – 2x – 3
D) x2 – x + 6
3.
B) x2 – 2x + 3
E) x2 + 3x + 2
C) x2 – x – 6
Si en Z[x], el máximo común divisor de los polinomios p( x)  (2x  4)3 ( x  2)  3 ( x  5)  
y q( x)  ( x  2)   ( x  5) 4 ( x  5)1 4 es (x – 2)2 (x – 5)6, halle el número de factores de
MCM[p(x), q(x)].
A) 399
4.
B) 400
C) 401
Sean p(x) = x4 – 3x2 + 2m – n – 7
D) 108
E) 799
y q(x) = x3 + mx2 + (n + 2)x + 10. Si x–2 es el
MCD [p(x), q(x)], halle el número de factores primos del MCM [p(x), q(x)] en Q[x].
A) 7
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
5.
Si el mínimo común múltiplo de los polinomios p(x) y q(x) es x3 – 4x – x2 + 4 y su
máximo cómun divisor es x2 + x – 2 , halle la suma de factores primos de p(x).q(x) en
Z[x].
A) 3x + 8
6.
Si p( x). q( x)  ( x 2  4)2 y
A) x2  4
7.
8.
B) 3x + 2
B) x – 2
C) 3x – 2
D) 3x + 1
E) 3x – 1
MCM [ p( x ). q( x )]
 ( x  2)2 , halle MCD [p(x).q(x)] en Z[x].
MCD [ p( x ). q( x )]
C) x2  1
E) (x  2)2
D) x + 2
Juan, Luis y Carlos compran libros en una librería que por remate ofrece todos los
textos al mismo precio. Si Juan paga J(x)=3x3 + 2x2 – 12x – 8 soles, Luis paga
L(x) = 6x2 + 19x + 10 soles y Carlos paga C(x) = 9x2 + 18x + 8 soles. ¿Cuál es el
precio de cada libro? (x > 2).
A) (3x + 2)soles
B) (2x + 3)soles
D) (2x  3) soles
E) (2x  5) soles
C) (4x – 2)soles
Lunié rinde un examen de álgebra en el cual por pregunta bien respondida obtiene
5 puntos y por pregunta mal contestada obtiene – 2 puntos. Con respecto al siguiente
3
2

p( x )  q( x )  x  3 x
sistema 
,
3
2

p
(
x
)

q
(
x
)

x

5
x

2
x

12

se plantea tres preguntas, ante lo cual Lunié responde:
p( x ) ( x  1)( x  2)
I.

q( x )
( x  2)
II. MCD [p( x), q( x)]  x  3 en Q[x]
MCMp( x ) , q( x )  ( x  1)MCDp( x ) , q ( x ) 
III. En Q[ x] secumpleque:
es exacta
( x 2  3)
¿Qué puntaje obtuvo Lunié al responder dichas preguntas?
A) 15
B) 13
C) 1
D) 8
E) 6
EVALUACIÓN DE CLASE
1.
1
1
2




Simplifique M( x )  

 x 2  3 x  2 x 2  2x  3 x 2  x  6 
término lineal resultante.
7
1
A) 3
B) –
C) 7
D) –
3
3
1
y halle el coeficiente del
E) – 2
2.
Para los polinomios p(x) = x14 – 2x13 + ax2 + bx – 6 y q(x) = 2x3 – 9x2 + 13x – 6 se
sabe que MCD[p(x),q(x)] = (x – r1) (x – r2), donde r1 y r2 son números enteros, halle
b  a 1.
A)
3.
11
B) 16
C) 12
D) 20
E) 21
B) 28
C) 27
D) 45
E) 18
Si MCD [p(x),q(x)] = x2 – 2x – (a + 3) donde p(x) = x4 – 4x3 + ax + b – 65 y
q(x) = x4 +(b + 9)x3 – (a + 2)x2 + mx + n, halle m  n .
A) 1
6.
E) 15
C) 9
Dados los polinomios
p(x) = x4 – 9x2 + 22x – 24 y q(x) = (x + 4)2 (x – 2) (x2 – 2x + 4) + 2(2 – x) (x2 + 8x + 16).
Determine el valor numérico del MCD p(x),q(x) en  x  para x  5 .
A) 30
5.
C) 15
Si s(x) es el polinomio suma de todos los divisores comunes de p(x) = x3 + 3x2 – 4 y
q(x) = x3 + 6x2 + 12x + 8, halle el valor de s(2).
A) 15
4.
B) 4
B) – 2
C) 13
Si p(x) y q(x) son dos polinomios tales que en
E) – 3
D) 2
 x
se cumple:
(i) p(x) + q(x) = 2x2 – 7x + 3
(ii) MCD [p(x),q(x)].MCM[p(x),q(x)] = (x – 3)2 (x + 1)(x – 2),
halle la suma de los coeficientes del cuadrado de la diferencia de p(x) y q(x).
A) 16
7.
B) 36
C) 144
D) 49
E) 169
Para p(x) = x4 – 6x3 + 8x2 + 6x – 9 y q(x) = x5 + 2x4 – 12x3 – 14x2 + 11x + 12, se tiene
que d(x) = MCD[p(x),q(x)] y m(x) = MCM[p(x), q(x)] en Q[x]. Determine el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:
I. d(2) = 3
II. El cociente del término independiente de m(x) con el término independiente de d(x)
es – 12.
m( x )
III.  x 3  2x 2  12x  11
d( x )
8.
A) FVV
B) VVF
C) FFV
D) VFF
E) FVF
Nicolás tiene una cuerda de p(x) = (x + 2)(x + 1)(x + 7) metros de longitud y Fabrizio
tiene otra cuerda de q(x) = (x + 2)(x – 1)(x + 5) metros de longitud. Si desean obtener
trozos de sus cuerdas de igual longtitud. ¿Cuántos trozos demás obtiene Nicolás que
Fabrizio, si x > 1 ?
A) 5x + 8
B) 4x – 9
C) 4x + 12
D) 4x + 10
E) 3x + 12
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 12
Ecuaciones de Grado Superior
Forma general
an x n  an  1 x n  1  . . .  a1 x  a 0  0 ,
an  0,
(I)
nN  n  3
a n , a n1, ..., a 0  K ; donde K = Z, Q, R, C
TEOREMA DE CARDANO Y VIETTE
Sea la ecuación (I), con n soluciones x1, x2, …, xn; entonces se cumple:
x1 + x2 + …
+ xn
=–
x1 x2 + x1x3 + … + xn – 1 xn =
x1 x2 x3 …
xn
an  1
an
an  2
an
= (– 1)n
a0
an
Observaciones
1. Si la ecuación (I) tiene coeficientes reales, las soluciones complejas se
presentan por pares conjugados.
2. Si la ecuación (I) tiene coeficientes racionales, las soluciones irracionales se
presentan por pares conjugados.
3. Para resolver la ecuación (I), generalmente se utiliza el método de
factorización.
Ejemplo 1
Si 3i es solución de la ecuación 5x4 – 11x3 + 47x2 – 99x +18 = 0, halle las otras
soluciones.
Solución
La ecuación tiene coeficientes reales y dos de las soluciones son 3i, – 3i,
entonces (x + 3i) (x – 3i) = x2 + 9 es factor de 5x4 – 11x3 + 47x2 – 99x + 18= 0
Efectuando la división
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
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Ciclo Ordinario 2016-I
5x 4  11x 3  47x 2  99x  18
se obtiene el cociente:
x2  9
q(x) = 5x2 – 11x +2 = (x – 2) (5x – 1) = 0  x – 2 = 0, 5x – 1 = 0.
1
Las otras soluciones son – 3i, 2 y
.
5
ECUACIONES BICUADRÁTICAS
Forma general
ax 4  bx 2  c  0 , a  0 . . . (II)
Esta ecuación tiene soluciones de la forma: , – ,  y – ; y se resuelve en
forma similar a una ecuación de segundo grado.
Por el teorema de Cardano y Viette se obtiene
1.  +( – ) +  + (– ) = 0
b
b
ó 2 + 2 = –
2. – 2 – 2 =
a
a
3. 2 . 2 =
c
a
Ejemplo 2
Resuelva la ecuación 4x4 – 37x2 + 9 = 0
Solución
Factorizando 4x2
–1
x2
–9
(4x2 – 1) (x2 – 9) = 0
 (2x + 1) (2x – 1) (x + 3) (x – 3) = 0
 2x + 1 = 0, 2x – 1 = 0, x + 3 = 0, x – 3 = 0
1
1
,–
, 3 y – 3.
Las soluciones son
2
2
Semana Nº 12
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Ciclo Ordinario 2016-I
ECUACIONES BINÓMICAS
Son aquellas ecuaciones enteras que solamente tienen dos términos.
Forma general
axn + b = 0,
Ejemplos
1) x6 – 1 = 0
2) x4 + 81 = 0
a0
ECUACIONES EN ℝ
ECUACIONES CON RADICALES
Son aquellas ecuaciones que tienen la variable dentro de algún radical.
Ejemplos
2x  3 = 3,
5x  1 = 2,
x + x  2 = x.
Propiedades
1.
p(x)  0,  p(x)  0.
2.
p(x) = 0  p(x) = 0.
Veamos la siguiente ecuación
n
p(x) = q(x) ……….. () ;
Procedimiento para resolver
1º Resolvemos:
n  Z+ par
* p(x)  0, y se obtiene el conjunto solución U1
* q(x)  0, y se obtiene el conjunto solución U2
2º Resolvemos la ecuación p(x) = [q(x)]n y se obtiene el conjunto solución U3
Luego el conjunto solución de () es U1  U2  U3 .
Observaciones
1) De manera análoga al procedimiento anterior se resuelve una ecuación en la
que aparecen varios radicales de índice par.
2) Para resolver la ecuación n p(x)  q(x)...(  ); n  Z+ impar, se procede como en
2º, obteniéndose el conjunto U3 y los elementos del conjunto solución serán
aquellos elementos de U3 que verifiquen (  ) .
Ejemplo
Halle el menor elemento
6  4x  3   4x  3 .
Semana Nº 12
del
conjunto
solución
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de
la
ecuación
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Solución
6  4x  4x  3  3
3
1º U1 : 6  4x  0  U1   , 
2
3
U2 : 4x  3  0  U2   ,  
4
2º
Elevando al cuadrado la ecuación
6  4x  4x  3  2 6  4x 4x  3  3
Cancelando se tiene
6  4x 4x  3  0
Entonces 6  4x  0  4x  3  0
3
3
Luego x 
 x
4
2
3
3


Es decir U3   , 
2 4 
3 3 
 CS  U1  U2  U3   , 
2 4 
 el menor elemento del C.S. es
3
.
4
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Recordando la definición de valor absoluto
 x,
x0
x 
 x, x  0
Propiedades
1. p(x) = 0  p(x) = 0.
2.  p(x) = p(x) ; p(x)
3. p(x) q(x) = p(x)
2
= (p(x))2.
q(x) .
4. p(x) = q(x)  [ p(x) = q(x)  p(x) = – q(x) ].
5. p(x) + q(x) = 0  p(x) = 0  q(x) = 0.
6. p(x) = q(x)  q(x)  0  [ p(x) = q(x)  p(x) = – q(x) ].
Semana Nº 12
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Ciclo Ordinario 2016-I
EJERCICIOS DE CLASE
1.
Si 2 es una solución de la ecuación x3 – 4x2 + x + b = 0, halle la suma de los cuadrados
de sus soluciones.
A) 12
2.
B) 24
C) 36
B) 60 años
E) 64
D) 47 años
E) 42 años
B 16
C) 15
D) 18
E) 20
Al resolver la ecuación (x 6)3  64 
0, se obtiene las soluciones no reales a y b; y la
A) 66
7.
D) 50
C) 37 años
solución real c. Halle el valor de a
6.
E) 11
Si las soluciones de la ecuación bicuadrática x4 –4(a – 2)x2 + a2 = 0, donde a 
están en progresión aritmética, halle el valor de a + m. (m es la mayor solución de la
ecuación).
A) 14
5.
D) 14
La edad de Jorge en años está dado por el cuadrado del producto de las soluciones
no simétricas de la ecuación bicuadrática;
(m  n)x4  (m2  9)x3  nx2  (n3  8)x  (mn  1)(m  n) 
0 . ¿Cuál será la edad de
Jorge dentro de 7 años?
A) 40 años
4.
C) 18
La ecuación mx4 + nx3 + 65x2 – 40x – 39 = 0; {m, n}  ℚ tiene por soluciones:
α, β,  y 2 – 3i. Si α ൐ β, halle el grado absoluto del término central del desarrollo del
binomio (xα+β – 2y2α) m–n.
A) 48
3.
B) 16
B) 118
2
 b
2
c.
C) 60
Si a es solución de la ecuación
x

x8
A) 9
C) 11
B) 5
D) 54
E) 68
2
1

1 , halle la suma de las cifras de a.
8
x8
Lucio y Alonso deciden resolver la ecuación
D) 10
E) 12
3x  6  3  x 2  4x  21. Lucio
2a  4
, y Alonso halla que la
a2
menor solución entera es de la forma b  2  2 . Si ambos resultados son correctos,
encuentra que la mayor solución entera es de la forma
hale el valor de a – b + 3.
A) 4
8.
B) 8
C) 6
D) 5
E) 9
Los costos de producción en miles de doláres de dos empresas de calzado que se
crearon el mismo día están expresados por C( x)  x 5  x 4  5x 3  8x  46 y
M( x)  x 5  2x 4  x 3  2x 2  x  28 ; donde x representa el número de pares de
zapatos en cientos, fabricados por ambas empresas desde su creación. Si desde el
momento de su creación ambas empresas han fabricado 100 pares de zapatos.
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
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Ciclo Ordinario 2016-I
¿Cuántos pares de zapatos les falta fabricar para que ambas empresas tengan el
mismo costo de producción?
A) 400
B) 700
C) 500
D) 300
E) 600
EVALUACIÓN DE CLASE
1.
Determine la suma de las soluciones racionales de la ecuación
x4 – x3 – 11x2 – x – 12 = 0.
A) – 2
2.
E) 2
B) 121
C) 103
D) 101
E) 109
B) 10
C) 12
D) 8
E) 11
Al resolver la ecuación (4x – 1) (8x – 3) (16x – 3) (16x – 7) = 5, halle la diferencia
entre la mayor y menor de sus soluciones reales.
A)
5.
D) 1
Si 3  i y 1  5 son raíces, ambas de multiplicidad 3, de un polinomio p(x) y 2 –
es otra raíz del mismo polinomio p(x) mónico de coeficientes racionales, halle el
grado mínimo de p(x).
A) 14
4.
C) 0
Si a, b y c son soluciones de la ecuación 9x3 – 135x2 + 659x – 1045 = 0, siendo
c > b > a que forman una progresión aritmética decreciente, halle el valor de
 a  c  1 2

 (a  b 2  c 2 ) .
 b2 
A) 202
3.
B) – 1
8
3
B)
5
8
C)
5
3
D)
3
8
E)
8
5
Determine el producto de soluciones de la ecuación
4x2  1  5  2 x2  x  1  2x  4 .
A) 12
6.
B) 6
C) – 12
D) 0
E) – 6
x2  x  1  x2  x2  x  1 
Al resolver la ecuación
x2 , halle la suma de los
cubos de sus soluciones.
A) 0
7.
B) 1
C) 2
Si a y b son soluciones de la ecuación
D) 8
3 x2  9
3 x 3
 26 
E) 9
x3 x 9
3 x2  3
, siendo a > b,
halle la suma de las cifras de a – b.
Semana Nº 12
(Prohibida su reproducción y venta)
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3
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A) 7
8.
B) 18
C) 17
Ciclo Ordinario 2016-I
D) 10
E) 8
Si la suma de las dos soluciones positivas de la ecuación bicuadrática
1 
4x4 – (4m + 1)x2 + m = 0 con m > 0 es   1 , y en la ecuación cuadrática
p 
2
2
2px – 4px + 5p = 3x + x – 8 se cumple que el producto de sus soluciones es igual a
dos veces la suma de dichas soluciones, halle el valor de (m  p).
A) 3
Semana Nº 12
B) 9
C) 17
D) 15
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E) 11
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 13
DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Definición.- Una matriz es un arreglo rectangular de números en filas y columnas.
Ejemplos:
 8 3
A
 ,
 1 0 2x2
 4 2 1


B   5 3 1
 1 2 8

3x3
,
 3 1


,
C   4 3
 7 2

3x2
2
 
4
D  .
9
 
 3  4x1
Para el caso de matrices cuadradas como lo son las matrices A y B del ejemplo
anterior, podemos calcular su determinante, el cual tiene como una de sus
aplicaciones dar información, tanto cualitativa como cuantitativa de un sistema lineal.
Determinantes de orden 2
 a b
Definición.- Dada la matriz A=  c d  el determinante de A denotado por A , se define


a b
 ad  bc.
A =
c d
Ejemplos:
1).
2).
4 2
3 5
 4(5)  2(3)  20  6  14.
x  3 1 x
x
x1
 (x  3)(x  1)  (1  x)(x)  x2  4x  3  (x  x 2 )  2x 2  3x  3.
Aplicación a los sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables
Sea el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas “x” e “y”
ax  by  m
 cx  dy  n

(1)
Definición: Se llama solución del sistema (1) al par ordenado x  , y   que verifica las
dos ecuaciones.
Asociado al sistema (1), tenemos los determinantes
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Pág. 1
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s 
a b
c d
además
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, determinante de los coeficientes de las incógnitas del sistema (1),
x 
m b
a m
, y 
n d
c n
Regla de Cramer.- La solución x, y del sistema (1) viene dado por
x
Δx
,
Δs
y
Δy
Δs
Clasificación de los Sistemas Lineales
I).
El sistema (1) es compatible determinado si  s  0 .
En este caso el sistema (1) tiene una única solución dada por
 
y 
.
(x, y) =  x ,
 

 s s 
Observación: Una forma práctica de indicar que el sistema (1) es compatible
determinado es considerar:
a
b
, si cd  0 .

c
d
II). El sistema (1) es compatible indeterminado si  s   x   y  0 .
En este caso (1) tiene infinitas soluciones.
Observación: Una forma práctica de indicar que el sistema (1) tiene infinitas
soluciones es considerar:
a
b
m


, si cdn  0 .
c
d
n
III). El sistema (1) es incompatible o inconsistente si
 s  0  [  x  0   y  0] .
En este caso el sistema (1) no tiene solución.
Observación: Una forma práctica de indicar que el sistema (1) no tiene
solución es considerar:
a
b
m


, si cdn  0 .
c
d
n
Interpretación Geométrica del Sistema (1)
El sistema (1) representa la ecuación de dos rectas en el plano, lo cual implica solo
una de las posiciones siguientes.
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Sistema Homogéneo
ax  by  0

cx  dy  0
Si en el sistema (1) hacemos m = n = 0 diremos que (1) es un sistema lineal
homogéneo, se presentan dos casos:
1).
Solución única: Si  s  0 , entonces (0, 0) es la única solución llamada solución
trivial.
2).
Infinitas soluciones: Si  s  0 , entonces obtenemos un número infinito de
soluciones llamadas soluciones no triviales, además de la solución trivial.
Sistema no lineal
Definición.- Un sistema no lineal es una colección de dos o más ecuaciones, donde
por lo menos una de ellas es no lineal.
Ejemplos:
 z3  2y  z  1


 x  y  2(z  1)  6
3
1). 
2).
 x  z  x  2
2


2 xy  9  z
3
2y  x  y  1
Para el caso de sistemas no lineales no disponemos de una herramienta algebraica
estándar que nos permita resolver dichos sistemas.
Geométricamente una ecuación no lineal f ( x , y)  c representa una curva en el plano,
pensemos por ejemplo en la trayectoria de un insecto, la pregunta hecha en un
sistema no lineal es como se cortan 2 curvas, lo cual no es fácil responder.
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Los sistemas de ecuaciones no lineales se pueden resolver por métodos algebraicos
como: un cambio de variable adecuado, productos notables, etc.
Determinantes de Orden 3
Regla de Sarrus
a1 b1 c1
 = a2 b2 c2
a3 b3 c3
a1
b1
c1
a2
b2
c2
c1 b2 a 3
a3
b3
c3
c 2 b3 a1
a b  c 
a1
b1
c1
a  b  c
c 3 b1 a 2
a2
b2
c2
N
a  b c 
M
M = a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2
N = c1 b2 a3 + c2 b3 a1 + c3 b1 a2
=M–N

Determinante de Vandermonde: Es de la forma
1 1 1
a
a
b c
2
2
b c
= (b – a) (c – a) (c – b).
2
Nos ubicamos en la 2da fila y hacemos los productos de acuerdo a la forma
indicada.
Ejemplo:
1
1
1
1
1
1
3
5
7
 3
5
7
9 25 49
= (5 – 3) (7 – 3) ( 7– 5 ) = 16.
32 52 72
 Propiedades de los Determinantes
1.
Si un determinante tiene en todos los elementos de una fila o columna un factor
común, este puede salir como factor fuera del determinante.
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Ejemplo:
3 18
5 27
2 36
 14
5
3

3 9(2) 14
5 9(3)  5
2 9(4) 3
9
3 2  14
5 3 5 .
2 4
3
9 es común en la columna 2
2.
Si dos filas o dos columnas son iguales o proporcionales, entonces el
determinante es igual a cero.
Ejemplo:
Prop 1
2 5 7
8 20 28
1 3 10
3.

2
5
7
4(2) 4(5) 4(7)
1
3
10
 4
2 5 7
2 5 7
1 3 10
 0.
Si se intercambian dos filas o dos columnas, su valor cambia de signo.
Ejemplos:
a)
b)
2 3 4
4 1 2
5 7 9
2 3 4
4 1 2
5 7 9
4.
4 3 2
 
2 1 4 .
9 7 5
4 1 2
= 
2 3 4 .
5 7 9
Si los elementos de una fila (o columna) de un determinante son la suma
algebraica de varias cantidades, el determinante se descompone en tantos
determinantes como términos tiene la suma.
am b c
a b c m b c
dn e f  d e f  n e f .
qp h k
q h k
p h k
5.
Si a cada uno de los elementos de una fila o columna se le multiplica por “m” y
este resultado se le suma a otra fila o columna, el determinante no se altera.
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Ejemplo:
1)
2 3 5
4 7 3 = 10
1 2 4
c2 – 2c1
2 3 5
2)
4 7 3

1 2 4
c3 + 3c1
2 1
5
4 1
1 0
3
4
1
1
15
1
0
7
2

4
11
= 10
donde ci es la columna i, para i = 1, 2, 3.
6)
Si se intercambian las filas por las columnas en un determinante, su valor no se
altera, es decir,
a b
d f
h i
7)

a
b
d h
f i
c
g
j
Si todos los elementos de una fila o columna son ceros, el determinante vale cero.
a b c
0 0 0
c d e

c
g
j
m 0 q

n
0 r
p
0 s
 0
Sistema de ecuaciones lineales con tres variables
Sea el sistema
 a1x  b1y  c1z  d1

 a2 x  b2 y  c2 z  d2
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3
. . . ( )
Definición: Se llama solución del sistema (  ) a la terna (x0, y0, z0) que verifica las tres
ecuaciones.
a1 b1 c1
 = a2 b2 c2
es el determinante de los coeficientes de las incógnitas del
a3 b3 c3
sistema (  ).
Además,
Semana Nº 13
d1 b 1 c 1
a 1 d1 c 1
x = d 2 b 2 c 2
, y = a 2 d 2 c 2
d3 b 3 c 3
a 3 d3 c 3
a 1 b 1 d1
, z = a 2 b 2 d 2 .
(Prohibida su reproducción y venta)
a 3 b 3 d3
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Se presentan los siguientes casos:
I.
Solución Única: (Sistema compatible determinado)
El Sistema (  ) tiene solución única si   0. Además, se puede usar la regla
de Cramer para hallar las componentes de la solución:
x
x

, y
y

, z
z

Ejemplo:
x  y  z6

 x  2y  4z  3
5x  3y  z  8

Resolver el siguiente sistema
Solución:
El determinante de los coeficientes de las incógnitas del sistema es:
1
1 1
 = 1 2 4
5 3 1
= 42  0  el sistema tiene solución única.
Ahora, calculamos la solución del sistema utilizando la Regla de Cramer.
x =
x
II.
x

6 1 1
1 6 1
1 1 6
3  2 4 = 126 ,  y = 1 3 4  84 ,  z = 1  2 3  42.
8 3 1
5 3 8
5 8 1

126
42
3,
y
y


84
42
2,
z
z


42
42
 1  (x,y,z)  (3,2,1) .
Infinitas Soluciones: (Sistema compatible indeterminado)
Si el sistema (  ) tiene infinitas soluciones
entonces (  = 0 )  ( x = 0 y y = 0 y z = 0 ).
Ejemplo:
En el sistema
1
se tiene  = 3
2
Semana Nº 13
 x  2y  3z  3

 3x  6y  z  1
 2x  4y  6z  6

2 3
6
1
4 6
... (1)
... (2)
... (3)
= 0.
(Prohibida su reproducción y venta)
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Simplifico en (3)
 x  2y  3z  3

3x  6y  z  1
 x  2y  3z  3

4
3
 x  2y  3z  3
 
 x  2y  , z 
5
5
3x  6y  z  1
Por
consiguiente, las infinitas soluciones
3
t
4

 x, y,z    t ,  ,   , para todo t  R .
5
 10 2
III.
son
de
.
la
forma
Sistema sin solución: (Sistema inconsistente o incompatible)
Si en el sistema (  ) (  = 0 )  ( x  0 ó y  0 ó z  0 )
entonces el sistema (  ) no tiene solución.
Ejemplo:
 x  2y  5z  1

En el sistema  x  2y  5z  7
 x  2y  5z  9

1 2 5
 = 1 2 5
1 2 5
=0
además 1 = 7 = 9 ¡absurdo!  El sistema no tiene solución.
Observación:
Para resolver los casos de sistemas de infinitas soluciones y sistemas sin
solución, comience calculando  = 0, luego simplifique las ecuaciones para
obtener una conclusión.
Sistema Homogéneo
Si en el sistema (  ) hacemos d1 = d2 = d3 = 0 entonces el sistema se
denomina homogéneo, es decir
I.
a 1x  b 1y  c 1z  0

a 2 x  b 2 y  c 2 z  0
a x  b y  c z  0
3
3
 3
( II )
Solución única: Si   0 entonces existe una única solución, llamada
solución trivial, la cual es (x, y, z) = (0, 0, 0).
Ejemplo:
En el sistema
2 3 1
2 x  3 y  z  0

 x  2 y  3z  0    1 2 3 = 18  0
3 x  y  2 z  0
3 1 2

la solución única es (x, y, z) = (0, 0, 0).
II.
Soluciones no triviales: Si  = 0, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones no triviales, además de la solución trivial.
Ejemplo:
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
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En el sistema
5 5
5x  5y  z  0

3x  3 y  3z  0
2x  3y  z  0

1
   3 3 3  0.
2 3 1
El sistema tiene infinitas soluciones no triviales además de la trivial.
EJERCICIOS DE CLASE Nº 13
1.
Dado el polinomio p(x) = 5
x 1
8
2 3
1 x
1 x
 6x 2  11 . Halle el valor de la tercera parte

x  x2
del coeficiente del décimo quinto término en el desarrollo del binomio  a  7 1

x1 x 2





20
, donde x1, x2 son raíces de p(x).
A)
2.
3 20
4 C14
C)
1 20
3 C14
D) 1
E) 3
B) 100 dólares C) 125 dólares D) 80 dólares
E) 120 dólares
Un terreno tiene 23 hectáreas destinadas al cultivo de trigo y maíz. Los costos de
producción por hectárea de los cultivos respectivos son de $21 y $15, en los que
incluye la preparación del terreno, siembra, insumos y cosecha. Si se desea utilizar
todo el terreno destinado, e invertir $405 en estos cultivos. Halle la diferencia de
hectáreas (ha) que se debe plantar para cada cultivo.
A) 5 ha
4.
20
C14
En una fábrica existen máquinas de tipo A y máquinas de tipo B. En esta semana se
dio mantenimiento a 5 máquinas de tipo A y a 4 máquinas de tipo B por un costo de 3
405 dólares. La semana anterior se pagó 3 135 dólares por realizar mantenimiento a
3 máquinas de tipo A y a 5 de tipo B.
Halle la diferencia entre los costos por mantenimiento realizado a una máquina de tipo
A y a una máquina de tipo B.
A) 75 dólares
3.
B)
B) 6 ha
C) 3 ha
D) 7 ha
E) 4 ha
 (m 2  1)x  (m 2  7)y  7
Si el sistema en x, y 
es incompatible, determine la
 (m 2  6)x  (m 2  3)y  m 2 x  1
suma de los cuadrados de los valores de m; donde m  R.
A) 18
5.
B) 4
C) 9
D) 14
E) 0
Halle el número de divisores positivos de xy , donde x e y son tales que:
2 x x
2
x 3 x
x x 2
A) 4
Semana Nº 13
B) 3
C) 1
y 1 0
+
2
4 0 6
 0.
3 3 0
D) 5
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 2
Pág. 9
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
En R se definen los operadores
x1 0
x
y
3
1
0
7.
B)
x 
y
;
x 1
Determine el valor de M =
A) –a
y  , dados por:
0
y
 2 1
Ciclo Ordinario 2016-I
3
1
4 6x  12
2y  6 .
4 3(x  2) (y  3)2
2
2 a
, donde a  R    1,0  .
1  3
a
2
C) –
a
4
E) a2
D) 3a
7a
2x  3y  z 

Al resolver el sistema en x,y,z  x  y  z  1 ; donde a > 0, halle el valor de
 x  y  2z 
4a

P
= 2(x2 + y2) – z2 + 4a.
A) 1
8.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
3
2 2
2
2

0
 xy  5xy  x y  5x  3y  15 
Dado el sistema no lineal 
, halle el número de
3
2




2x
2x
3x
y
3y
0


elementos de su conjunto solución.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
EVALUACIÓN DE CLASE Nº 13
1.
2.
Una compañía minera extrae metales de dos minas: Antamina y Yanacocha, de la
primera extrae el 2% de Estaño y 5% de Cobre, de la segunda 4% de Cobre y 3% de
Estaño, ¿cuántas toneladas debe extraerse de Yanacocha y Antamina
(respectivamente) si se desea obtener 0,22 toneladas de Estaño y 0,41 toneladas de
Cobre?
A) 4 y 3 toneladas
B) 4 y 5 toneladas
D) 5 y 3 toneladas
E) 1 y 3 toneladas
Si la edad de Miguel en años se obtiene de resolver:
2 1 3
1 0 0
3  3 3  0  4 0
4 1 9
0 0 1
n 1
C) 5 y 4 toneladas
2
3 n 4 ,
n 2 3
¿cuántos años le faltan a Miguel para cumplir 18 años?
A) 5 años
Semana Nº 13
B) 1 años
C) 3 años
D) 4 años
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 2 años
Pág. 10
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo Ordinario 2016-I
Halle la suma entre el mayor y menor valor entero positivo de α que satisface la
inecuación
 1
2
0

4 0
A) 8
4.
B) 7
1  0.

C) 6
Al resolver la ecuación
x
1
x2
1
2x 3
2
D) 5
E) 4
2
2
 2x, halle la suma de los cuadrados
2
de las soluciones.
A) 1
5.
B) 2
C) 3
3
5x
Al resolver la inecuación
2
(x  5)2
3
3
2
9
D)
3
2
E)
3
4
3
1
 0; donde x > – 3, halle la suma
2
4x 2  1  4x
x
de los cuatro menores elementos enteros del conjunto solución.
A) 8
6.
B) -2
C) -1
E) 3
 2x  y  z  4
x

 y  2z .
Al resolver el sistema lineal 3x  4y  2z  11, halle el valor de
3
3x  2y  4z  11

A) 1
B) 5
C) 3
2 3i
7.
D) 0
En la ecuación x, 1  i
i
1 i
1
D) 4
E) 0
2i
2i  x , se verifica que las edades en años de Luis y
2
María están representadas respectivamente por la parte real e imaginaria de la
solución de dicha ecuación. Halle el producto de las edades de María y Luis.
A) 11
Semana Nº 13
B) 15
C) 12
D) 16
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 20
Pág. 11
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Ciclo Ordinario 2016-I
Hallar el conjunto de valores de “k” para que el sistema en x,y,z
tenga solución única.
(k  4)x  6 y  5z  2

 0 x  (k  4)y  z  4
 0  0 y  (k  2)z  1

A) R– {4,–4,–2}
B) R– {4,–4, 2}
D) R– {3,–4,2}
E) R– {4,–3, 2}
Semana Nº 13
(Prohibida su reproducción y venta)
C) R – {4, –4, 1}
Pág. 12
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú,
DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 14
I. INECUACIONES EN UNA VARIABLE
Una inecuación en una variable x es toda expresión matemática H(x) dada por
H(x)  ;( ,  ,  )
Al conjunto de los valores de x que hace a la desigualdad verdadera, se le
denomina conjunto solución (c.s.) de la inecuación.
I.1
Inecuaciones polinomiales de grado superior
Es aquella inecuación que tiene la siguiente forma
p(x)  ;( ,  ,  ); grad  p(x)   n  
Considerando la inecuación:
p(x)  an x n  an  1x n  1  ...  a1x  a 0  0 ; an  0

Y suponiendo que p(x) se puede factorizar en la forma
p(x)  an (x  r1)(x  r2 )...( x  rn ); donde r1  r2  ...  rn
entonces la inecuación (*) se resuelve aplicando el Método de Puntos Críticos,
el cual consiste en:
1º
Hallar todos los puntos críticos o raíces de cada factor (x – ri); en este caso
se tiene:
Puntos críticos = r1 ,r2 ,..., rn .
2º
Ordenar los puntos críticos en la recta real: Supongamos que los puntos
son ordenados en la forma r  r  ...  rn  rn  rn ; luego, en la recta
real se tendría:
r1
3º
r2 …...
rn-2
rn-1
rn
Colocar entre los puntos críticos los signos (+) y (–) alternadamente,
comenzando de la derecha y siempre con el signo (+):
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 1
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
Luego el conjunto solución para (*) será:
C.S   rn ,     rn2 , rn1   ...
(regiones positivas )
Ejemplo 1:
Resuelva la inecuación x 3  2x 2  x  2  0 .
Solución:
1º
2º
Factorizando se tiene: (x  1)(x  1)(x  2)  0 .
Aplicando el método de puntos críticos se tiene:
i)
ii)
Puntos críticos =
+
1
  1,1, 2 
1
2
+
 C.S   1,1  2 ,   .
A continuación, veamos el caso particular: grad  p(x)  = n = 2.
I.2
Inecuación Cuadrática:
ax   bx  c   ; ( ,  ,  ) ; a  , a  
... (  )
Para resolver (  ) se presentan tres casos:
CASO 1. Δ  b 2  4ac  0 , en este caso la inecuación (  ) se resuelve usando
el método de puntos críticos.
Ejemplo 2:
Resuelva la inecuación x 2  2x  15  0 .
Solución:
1º
Δ   2   4  1   15   0
2º
Factorizando se tiene: (x  5)(x  3)  0
Aplicando el método de puntos críticos se tiene:
2
i)
ii)
Puntos críticos =  5 , 3 
+
5
3
+
 C.S.   5 , 3  .
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 2
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Ciclo Ordinario 2016-I
CASO 2. Δ  b   ac  , se tiene :
 ax   bx  c  ; CS  R
 ax   bx  c  ; CS  
CASO 3. Δ  b 2  4ac  0 en este caso la inecuación (  ) es de la forma
a(x  r)2  0; ( 0  0,  0) ; a  0; a  0 y se resuelve según se presenta
el caso.
Ejemplo 3:
Resuelva la inecuación x 2  6x  9  0 .
Solución:
1º
2º
Δ  (6)2  4(1)(9)  0
Factorizando se tiene: (x  3)2  0
 CS  
Observación:
Si en una inecuación polinominal de grado superior se presentan factores
cuadráticos (con coeficiente principal positivo) cuyo discriminante es Δ   ,
entonces se elimina ese factor y se procede con los demás factores aplicando
el método de puntos críticos.
Ejemplo 4:
Resuelva la inecuación (2x 2  x  1)(x  3 )  0.
Solución:
i)
ii)
I.3
En 2x 2  x  1 se tiene Δ < 0, entonces 2x 2  x  1  0 ; x  R.
La inecuación se reduce a x  3  0 ;
 CS  3, .
Inecuaciones Fraccionarias
P (x )
Tiene la forma siguiente:
 0 ; ( > 0, < 0,  0 ) ; P(x), Q(x) son polinomios.
Q (x )
La inecuación planteada es equivalente a la inecuación P(x) Q(x)  0 para los
valores de x que no anulan a Q(x) y se procede aplicando el método de puntos
críticos. Debe tenerse presente que cuando la inecuación es  ó  en los
puntos críticos del numerador debe considerarse cerrado, pero en los puntos
críticos del denominador deben ser abiertos.
Semana Nº 14
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ejemplo 5:
Resuelva la inecuación:
Solución:
i)
Puntos críticos:
ii)
(x  4)(x  1)
 0.
(x  3)(x  2)
  3, 1, 2, 4  ; x  3 ; 2 .
__
+
Ciclo Ordinario 2016-I
3
1
+
__
4
2
+
 C.S   3,1  2, 4
Observación:
En caso que aparezcan inecuaciones con valor absoluto es conveniente
recordar las siguientes propiedades:
1.
x  b  [b  0  – b  x  b].
2.
x  b  [x  b  x  – b].
3.
x  y
 x2  y2  (x – y) (x + y)  0.
Ejemplo 6:
Resuelva la inecuación
x 2  3  7 – 4x
Solución:
x2  3  7  4x

x2  3  4x  7
 x 2  4x  10  0

 x  2 2  0
 
   x    2  14    0
  ,2  14    2  14 ,  
 x 2
 C.S 
Semana Nº 14
14

x2
.
(Prohibida su reproducción y venta)
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Ciclo Ordinario 2016-I
EJERCICIOS DE CLASE Nº 14
1.
Halle la suma de los elementos enteros del conjunto solución de
( x  1) 3 ( x  1) ( x  2) 4
( x  2) 8 ( x  3) ( x  3) 7
A) 0
2.
C) 2
Al resolver la inecuación
D) 3
( x  3 )a x  2
E) 4
b
 0 , se obtiene como conjunto solución:
( x  1)c
CS =   ,  1 U3,  U { 2 } . Si 0 < c ≤ b < a, halle el mínimo valor de G = a + b + c.
A) 3
3.
B) 1
0 .
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Luis le pregunta a Frank en que año de secundaria está y este le responde: “Mi año
escolar coincide con el cardinal del conjunto


T = aZ 



( x 4  x 2  1) ( x 2  1)  4

5
( x 2  ax  4)
( x 2  x  1)7


 0 ,  x  R  ”.


Entonces el año de secundaria en que se encuentra Frank es:
A) 4to. año
4.
B) 5to. año
C) 1er. año
D) 3er. año
Halle la suma del mayor elemento entero negativo y menor elemento entero positivo del
conjunto solución de
x 2  5 x  6 x 2  2x  7
x 2  x  1 ( x  3) ( x  3)
A) 4
5.
E) 2do. año
B) 6
C) 8
0 .
D) 10
E) 2
Si  a , 3 U b  2 , c  1 es el conjunto solución de
( x  1)18
5
x  3 ( x 2  x  3)10
( x 2  x  12) 2015
10  x
0 ,
determine el menor número par de tres cifras diferentes que se pueda formar con
a, b y c.
A) 238
Semana Nº 14
B) 392
C) 432
D) 342
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 280
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6.
Ciclo Ordinario 2016-I
Si a , b U c , d es el conjunto solución de
5
3x
6
25  x 2 x  4
( x  5) 7
 0,
halle el valor de a + b+ c+ d.
A) 7
7.
B) 15
C) 11
D) 14
E) 16
La diabetes es una enfermedad que se presenta con frecuencia en todas las
sociedades industrializadas y en los casos en que existe un factor hereditario, la
probabilidad de que un niño sea un adulto diabético oscila entre 6(m+1)% y el
10(m+1)%; donde m es el número de elementos enteros del conjunto solución de
( x 2  x  1) x
4  x2
8  x ( x 2  2x  2)
 0.
Halle la mayor probabilidad de que un niño sea un adulto diabético.
A) 50%
8.
B) 30%
C) 40%
D) 20%
E) 10%
El precio de una calculadora científica es S/38c, donde c  Z+ es el mayor elemento
entero del conjunto solución de
16  x 2 ( x 3  2x 2  x  2)
3
2
2
x  5x  6 ( x  x  1)
 0 . Halle el precio de la
calculadora científica.
A) S/ 222
B) S/ 114
C) S/ 190
D) S/ 152
E) S/ 266
EVALUACIÓN DE CLASE Nº 14
1.
Halle el producto de los elementos enteros diferentes de cero del conjunto solución de
(2  x ) 5 ( x  3) ( x  2) 6
0.
( x  1)10 ( x  1)15 ( x  5)
A) 48
2.
B) 16
C) 24
D) –16
E) –48
x
x3

, su conjunto solución es de la forma
1 x
2x
a , b U c ,   , donde 2b + 5, c+ 8, a + 12, representan las edades de tres hermanos
Al resolver la inecuación
de menor a mayor respectivamente. Halle la suma de las edades de los tres hermanos.
A) 29
Semana Nº 14
B) 40
C) 31
D) 34
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 32
Pág. 6
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Al resolver la inecuación
x4
3
Ciclo Ordinario 2016-I
 2( x  4) 2  5 4  x  6
x 2  2 x  2  4x  20
 0 . Con respecto a su
conjunto solución, indique la secuencia de verdadero o falso de las proposiciones:
i) Se tiene 10 soluciones enteras
ii) La suma de soluciones enteras es –14
iii) El promedio aritmético de las soluciones enteras positivas es 3,5.
A) FVV
4.
B) FVF
Al resolver
C) FFV
D) VFV
( x  8) 2 ( x 2  x  1) ( x  7)
4 x 2  6 | x | 5 (3  x ) 5 (5x  1) 6
E) FFF
 0 , determine el número de soluciones
enteras.
A) 3
5.
B) 4
C) 2
D) 5
E) 6
El papá de Luis y Juan le da a sus hijos una propina de acuerdo al conjunto solución
CS =   , a U b ,   de la inecuación
3
3x 2  7x  2 ( x 2  x  2)
 0 , donde 10b
x2  x  3
soles representa la propina que recibe el hijo mayor y 30a soles es la propina que
recibe el hijo menor, halle la diferencia positiva de las propinas.
A) 10 soles
6.
B) 5 soles
D) 12 soles
8 2
7
x  4 ( x 3  27)15 x 2  4x  3
( x  125)
A) 7
9
4
16  x
2
B) 5
 0 , halle m + 2.
C) 3
D) 2
E) 4
Halle el número de elementos enteros del conjunto solución de
100  x 2 ( x  4) ( x  3)
x 3 ( x  2)
A) 6
8.
E) 8 soles
Si m es la suma de los elementos enteros del conjunto solución de
3
7.
C) 15 soles
B) 5
C) 3
 0.
D) 4
E) 7
La edad de María en años está dada por el número de elementos enteros del conjunto
solución de la inecuación
A) 12 años
Semana Nº 14
B) 15 años
9  x 2 ( x  1)
 0 , halle su edad dentro de 10 años.
x2
C) 17 años
D) 20 años
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 24 años
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Ciclo Ordinario 2016-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 15
SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES
Un sistema de inecuaciones lineales está formado por dos o más inecuaciones
lineales.
Tipos:
1.
Sistema de inecuaciones lineales con una incógnita
Generalmente, se resuelve cada inecuación en forma independiente, luego con las
soluciones parciales se obtiene la solución común a todas, que sería la solución del
sistema.
Ejemplo 1:
Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:
. . . (1)
2x  5  3

. . . (2)
x  7  10
60  6x  8( x  7) . . . (3)

Solución:
Resolviendo la primera inecuación
2x  8 implica que,
x4
Resolviendo la segunda inecuación
x3
Resolviendo la tercera inecuación
60 – 6x < 8x + 56  4 < 14x 
2/7 < x
Representando gráficamente las soluciones,
-
Por tanto
Semana Nº 15
2/7
3
4
+
3  x  4.
(Prohibida su reproducción y venta)
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2.
Ciclo Ordinario 2016-I
Sistema de inecuaciones lineales con varias incógnitas
Generalmente, se despeja una misma incógnita de cada inecuación y sumando o
restando se trata de eliminarla, este proceso se repite hasta lograr un sistema con
una incógnita, para emplear la regla anterior (tipo 1).
Ejemplo 2:
Determinar los valores enteros de x e y que satisfacen el sistema
. . . (1)
2x  5 y  30

x  3 y  22 . . . (2)

y  8 . . . (3)

Solución: Despejando la variable x en las tres inecuaciones se obtiene,
30  5 y
2
aplicando transitividad a (4)
< x < – 22 – 3y
. . . (4)
30  5 y
< – 22 – 3y
2
30 + 5y < – 44 – 6y
11y < – 74
y< 
de (3)
–8<y< 
Luego sustituyendo en (4)

5
<x<–1
2
74
11
74
11

y  7
x = –2
Los valores enteros x e y que satisfacen el sistema son x = –2 e y = –7.
El siguiente resultado es útil para maximizar o minimizar una función lineal F(x, y)
llamada función objetivo, en una región R poligonal convexa, cerrada y acotada,
determinada por un sistema de inecuaciones lineales en x e y.
Teorema
Sea F(x, y) una función objetivo, sujeta a un sistema de inecuaciones lineales en x e
y (restricciones), que determina una región R poligonal convexa, cerrada y acotada.
Entonces F(x, y) alcanza su valor máximo (mínimo) en un vértice de la región R.
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
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Ciclo Ordinario 2016-I
Ejemplo 3:
Graficar la región determinada por las siguientes inecuaciones
... (1)
x  y  2
x  2y  3  0 ... (2)

.

x  0 ... (3)
y  0 ... (4)
Geométricamente, cada inecuación representa un semiplano, incluida la recta
frontera.
El conjunto solución del sistema: Es el conjunto de pares ordenados de números
reales que satisfacen a la vez las 4 inecuaciones.
Y
3 C
2
(3)
O
(2)
(1)
(4)
A
B
2
3
X
Solución: El conjunto de pares ordenados de números reales (x, y), que satisfacen el
sistema anterior es la región sombreada.
Esta región poligonal convexa de los puntos solución, se denomina región de puntos
posibles.
Con frecuencia deseamos conocer cuáles de los puntos posibles maximizan o
minimizan cierta función, que depende de un sistema de inecuaciones dado.
Ejemplo 4:
Dado el sistema del ejemplo 3, halle el máximo valor de F(x,y) = 3x – 2y.
Solución: El objetivo del problema es maximizar la función F(x, y) = 3x – 2y sujeta a
las inecuaciones (del ejemplo 3) llamadas restricciones,
(1) x – y  2
(2) x + 2y – 3  0
(3) x  0
(4) y  0
(1) AB, (2) BC, (3) eje de las y (4) eje de las x.
La figura sombreada representa las cuatro desigualdades.
El punto que maximiza la función F(x, y) = 3x – 2y, (o la función F(x, y) alcanza su
máximo en el punto) está localizado en un vértice del polígono OCBA. Hay cuatro
vértices O, C, B, A.
Semana Nº 15
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 3
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y
Ciclo Ordinario 2016-I
Puntos
x
Valores de F(x, y)
F(x, y) = 3x – 2y
F(x, y)
O
0
0
C
0
3/2
3(0) – 2(3/2)
–3
B
7/3
1/3
3(7/3) – 2(1/3)
19/3
A
2
0
3(2) – 2(0)
3(0) – 2(0)
0
6
El punto B es la solución óptima, pues da el máximo valor de F(x, y).
También decimos, la función F(x, y) alcanza su máximo valor en el punto
(x, y) = (7/3, 1/3).
EJERCICIOS DE CLASE
1.
Determine el promedio de los elementos enteros del conjunto solución de la
inecuación
3(2x  1)  x  4( x  5)  1
.

2( x  5)  3(2x  4)  12
A) 9
2.
C) 7
D) 6
E) 5
Del número de peras que hay en una bolsa se sabe que el cuádruplo de dicho
número, disminuido en 8 es menor que 30; y que el quíntuplo del mismo número,
aumentado en 7 resulta mayor que 50. ¿Cuántas peras faltan para llenar cuatro
bolsas con media docena de peras cada una?
A) 6
3.
B) 8
B) 7
C) 9
D) 15
E) 18
Si m representa el número de elementos del conjunto solución del sistema de
inecuaciones en ZZ
x  3 y  5

7  x  2y ; además x 0 , y 0  es una solución tal que la suma de sus coordenadas
y  10

es la mayor posible, encuentre la ecuación de la recta cuya pendiente es m y pasa
por el punto x 0 , y 0  .
A) y  2x  45
D) y  2x  73
Semana Nº 15
B) y  3x  73
E) y  3x  71
(Prohibida su reproducción y venta)
C) y  3x  28
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4.
Si n < m y n, a  m, b
Ciclo Ordinario 2016-I
es el conjunto solución de la inecuación
t  27t  3
0
t  11  t 
mx  y  z  14
x  ny  z  6

, x, y, z  Z , halle el valor de
. Al resolver el sistema en x, z, 
y z


z7
P  z2  x 2  y 2  4 .
A) 3
5.
B) 5
B) 5
524
17
u2
C) 4
D) 3
E) 2
B)
520
17
u2
C) 31 u2
D) 32 u2
E)
204
7
u2
Una caja contiene dos tipos de chocolate; chocolate de taza y chocolate blanco, el
costo de cada chocolate de taza de 200g es $3 y el costo de cada chocolate blanco
de 100g es de $4; sabiendo que la caja pesa no más de 3kg y se pagó por ella no
más de $60. Si la ganancia por cada chocolate de taza y por cada chocolate blanco
es de $4 y $5 respectivamente, halle la ganancia máxima obtenida por la venta del
contenido de la caja.
A) $78
8.
E) 11
Determine el área de la región limitada por el sistema de inecuaciones:
2

y  3 x  2

y  x  5
.

y   10 x  10

7
x  0  y  0

A)
7.
D) 9
José comenta con su esposa sobre las edades de sus dos hijos: “la diferencia entre
el doble de la edad del mayor y el triple de la edad del menor es menos de 3”. La
esposa responde: “además, la suma del triple de la edad del mayor con la edad del
menor supera a 11”. Si el hijo menor tiene menos de 4 años, ¿cuál es la máxima
edad que podría tener el hijo mayor?
A) 6
6.
C) 7
B) $75
C) $80
D) $72
E) $60
Una planta productora de vino, fabrica dos tipos de esta bebida, “vino blanco” y “vino
tinto”, cada uno reporta una ganancia de $80 y $100 por caja respectivamente. La
planta debe producir al menos una caja de vino blanco por día pero no más de 7
cajas y el número de cajas de vino tinto no deben exceder las 8 cajas. Además el
número de cajas de vino blanco no debe superar el número de cajas de vino tinto.
¿Cuál es la máxima ganancia que puede obtener en un día dicha planta productora?
A) $1200
Semana Nº 15
B) $1260
C) $1360
D) $1800
(Prohibida su reproducción y venta)
E) $1880
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Ciclo Ordinario 2016-I
EVALUACIÓN DE CLASE Nº 15
1.
Dado el sistema de inecuaciones en ZZ
coordenadas de las soluciones.
A) 10
2.
B) 11
C) 12
2x 3 y  5

4 x y  30 , halle la mayor suma de
 0 y

D) 13
E) 14
Determine el número de elementos enteros del conjunto solución de la inecuación
5( x  4)  2( x  5)  3( x  3)  1
.

3
(
2
x

4
)

7
(
x

2
)

A) 0
3.
E) 4
C) 20
B) 32 u 2
C) 20 u 2
D) 21
E) 22
x  y  4.
D) 16 u 2
E) 8 u 2
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
x  y  50

Dado el sistema de ecuaciones 10x  15y  600 , determine la suma de
x  30, y  0

coordenadas del punto que minimiza la función f(x,y) = 20x + 15y.
A) 20
7.
D) 3
x  2y  z  5
x  z  1

Dado el sistema de inecuaciones 
con {x,y,z}  Z, determine el valor
y

z

0

0  y; x  1
de M = 2x + 3y – z.
A) 10
6.
B) 19
Determine el área de la región definida por
A) 48 u 2
5.
C) 2
Pedro y María se encuentran conversando sobre sus edades. María le dice a Pedro:
“me llevas más de 3 años, pero si sumamos nuestras edades no superamos los 34
años ” y Pedro le responde: “tienes más de 12 años”. ¿Cuál es la máxima edad que
podría tener Pedro?
A) 18
4.
B) 1
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
La escuela de Administración de Turismo de la UNMSM prepara una excursión para
un máximo de 400 estudiantes. La empresa que brindará el servicio de transporte
tiene 8 buses de 40 asientos y 10 buses de 50 asientos, pero solo dispone de
9 conductores. El alquiler de un bus grande cuesta $80 y el de uno pequeño $60.
¿Cuántos buses de mayor capacidad hay que contratar para que la excursión resulte
lo más económica posible para la escuela?
A) 0
Semana Nº 15
B) 1
C) 2
D) 3
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 4
Pág. 6
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
8.
Ciclo Ordinario 2016-I
La fábrica “Rocotín” fabrica 2 tipos de salsa picante, infierno y diablo picante, para
ello dispone de 80 kg de rocoto y 120 kg de ají amarillo. Para preparar un pote de la
salsa infierno se necesita 1 kg de rocoto y 3 kg de ají amarillo y para un pote de la
salsa diablo picante 2 kg de rocoto y 2 kg de ají amarillo. Si cada pote de infierno y
diablo picante se vende a S/.50 y S/.55 respectivamente. ¿Cuántos potes de diablo
picante se debe vender, para obtener el máximo beneficio?
A) 30
Semana Nº 15
B) 20
C) 40
D) 10
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 25
Pág. 7
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 16
LOGARITMOS
ECUACIONES E INECUACIONES LOGARÍTMICAS
ECUACIONES E INECUACIONES EXPONENCIALES
1.
PROPOSICIÓN
Dados b  , b  0, b  1, x 
2.

, existe un único y 
, tal que by  x .
DEFINICIÓN DE LOGARITMO
Dados b  0, b  1 , y x  0 . El logaritmo de x en base b , denotado con logb x
es el número y 
, tal que by  x .
Simbólicamente
log b x  y  b y  x
log2 64  6 =  26  64
Ejemplo 1.
Observaciones.
3.
1.
Cuando la base del logaritmo es b  10 , denotaremos logx  log10 x
(logaritmo decimal o vulgar).
2.
Cuando la base del logaritmo es el número trascendente e = 2,718281. . .,
denotaremos por lnx  loge x (logaritmo natural o neperiano).
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Dados
a,x,y 

, b  0, b  1, se tiene:
2) log b 1  0 .
1) log bb  1.
3) log b(xy)  log b x  log b y .
5) logb xn  nlogb x , n 
7) log a b.log b a  1 , a  1.
9)
a
log c
 c
log x
 x.
b
11) b
Semana Nº 16
b
log a
b
; c  0.
.
x
4) log b   log b x  log b y .
 y
m
log b x , n  0 ; m,n 
6) log b n x m 
n
log a x
8) log b x 
, a  1.
log a b
10) a x  e x lna .
12) log b b y  y .
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 1
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo Ordinario 2016-I
13) log b x  log b y  x  y.
ECUACIÓN LOGARÍTMICA
Ejemplo 2.
Resolver logx 1 (2  x )  2
Solución:
2  x  0  x  1 0  x  1 1 
x  2  x  1  x  0  x 
 x
5.
 x  12  2  x
3  13
3  13
 x
2
2
3  13
es la solución.
2
INECUACIONES LOGARÍTMICAS
Caso 1
Caso 2
Ejemplo 3.
Sea b  1, log bx  logb y

x0  y0  xy
Sea 0  b  1, log bx  log b y 
x0  y0  xy
Resolver log 1  3x  2    2
2
Solución:
3x  2  0  3x  2  4
x
6.
2
2
 x  2  x
,2
3
3
ECUACIONES EXPONENCIALES
Proposición:
Sea b 
Ejemplo 4.
Resolver 4x  3.2x  10
Solución:
Sea
,
a  2x ,
b  0, b  1 ,
bx  b y  x  y
luego a2  3a  10  0
a2  3a  10  0  (a 2)(a  5)  0
 a  2x  2  x  1
7.
INECUACIONES EXPONENCIALES
Caso 1
Si b  1 y bP( x )  bQ( x )  P(x)  Q(x) .
Caso 2
Si 0  b  1 y bP( x )  bQ( x )  P(x)  Q(x) .
Semana Nº 16
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 2
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ejemplo 5.
Resolver 2 x
Solución:
2 x
2
4
2
4

Ciclo Ordinario 2016-I
1
8x
 23x   x2  4   3x
 0  x2  3x  4
0  (x  4)(x  1)
C . S =  1,4 
EJERCICIOS DE CLASE Nº16
1.
Un estudiante del centro preuniversitario debe realizar cuatro evaluaciones, si en su
250
puntos; donde a,b,c  R+ –{1}, en la
primera evaluación obtuvo
1
loga 3 bc 
3
10 log2 (32)5
50 log2 32
puntos y en la tercera
puntos. ¿Cuál es el
segunda
1
1
3
3
logc ab 
logb ac 
3
3
puntaje que deberá obtener en la cuarta evaluación para acceder al cuadro de
mérito de puntaje mínimo de 900 puntos?
A) 375 puntos
D) 125 puntos
2.
C) 150 puntos
 1
Si log2m   es el inverso aditivo de logm 2 , halle el valor de m.
4
8
A) 26
3.
B) 120 puntos
E) 175 puntos
B) 27
C) 25
D) 24
E) 28

 13x
Al resolver la ecuación log x 
 3   log  13 x  x  log 13 x  x. logx x 3 se tiene
 3 
 3 



 8
8
8


2


que a es solución, determine el valor de log(a  2) (7a  16a  4) .
A) 3
4.
B) 4
C) 1
D) 2
E) 9
Un carpintero decide construir una Matrioska (muñeca que contiene en su interior
otras de igual forma pero de menor volumen). Si el volumen de la muñeca grande es
2
de 405 cm3 y de la más pequeña 80 cm3 y el volumen de cada muñeca es,   del
3
anterior. ¿Cuantas muñecas hay?
A) 4
Semana Nº 16
B) 3
C) 5
D) 2
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 7
Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Ciclo Ordinario 2016-I
Dado los conjuntos
M = {x  R /log(x2 – x – 2) = ln e}
log
2

N =  x R / 3 ( x  3 x  6 )  7 7

que (a –1)b = (a + 1)3a – 1.
A) log511
D) log3125
6.
7.
81 
 . Si M  N = {a}, determine el valor de b, sabiendo

B) 11log53
E) 11log35
C) 5log311
2
log ( x  5 x 15 )
5
2
Si la suma de las soluciones de la ecuación
edad de Rosa, ¿cuál será su edad dentro de 10 años?
3
A) 14 años
D) 15 años
E) 19 años
B) 18 años
C) 16 años
4
representa la
Determine el conjunto solución de la inecuación
log x  log x  
A) [1,9]
8.
log
5
B) [2,109]
C) [1,109]
Al resolver la inecuación x 3 log x 
el valor de ab6.
A) 3
Semana Nº 16
B) 1
100
x5
C) 4
3
2
D) [1,3]

1
E)  ,109 

2
se obtuvo como conjunto solución [a,b], halle
D) 2
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 10
Pág. 4
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
EVALUACIÓN DE CLASE
1.
Si a + b – ab + 13 es la nota que obtuvo un alumno de primer año de la Facultad
b
de Ciencias; donde a  log2 y
 log5 3 500 , ¿cuál es la nota del alumno?
3
A) 18
2.
B) 17
C) 15
D) 16
E) 13
Si logabcd a  2 , logabcd b  3 , logabcd c  4 ; donde {a,b,c,d}  R+ son tales que,
abcd  1, abc  1, determine el valor de M  logabc 3 abcd  logabcd 4 d .
A) 
3.
B)
1
27
Dada la ecuacion log
C) 
53
27
D)

 1 


 log 2 
  1 
cos2 x 
cos x 256 
A)
4.
1
2
9
2
B) 5
C)

22
5
55
27
E) 
25
27
0 , calcule el valor de 2 | cos x | 4 .
D)
14
3
E) 13
En la escala de Richter, la intensidad M de un terremoto, se relaciona con su energia
E, por la fórmula logE  11,4  1,5 M .
Si recientemente un terremoto libera una energia de 1000E, ¿en cuántas unidades
aumenta la intensidad?
A) 2
5.
6.
B) 3
C) 4
D) 5
E) 1
Halle el conjunto solución de la ecuación
2(9 x )  15(4 x )  13(6 x ) ; x  1, donde log2 = m ; log3 = n.
 1 n 
A) 

n  m 
2n 
B) 

m  n 
n  2 
D) 

 m  1
 1 m 
E) 

n  m 
Si x1 y x2 son soluciones de la ecuación

3n
C) 

n  m 
5 2x 1  6 x 1
6 x 5 2x  30
elemento de P  x  R /( x1 .x 2 )3x  2  x1 3 . x 2  3
A) 1
Semana Nº 16
B)
5
3
C) –1
 1 , determine el mayor

D) –
1
3
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
1
3
Pág. 5
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Si el conjunto solución de la inecuación log
Ciclo Ordinario 2016-I
3
(28  3x  x 2 )  log
1
10 es
3
3
a  1,b  1  c , d ; c , d  0 , determine el valor de M = a – b – c + d.
A) 0
8.
B) –2
C) 1
D) –6
E) 2
 6x  10  1
  . Halle la suma de cifras del producto de las
log 2 
x  x2  2


soluciones enteras positivas del conjunto solución.
Al resolver
A) 9
Semana Nº 16
B) 12
C) 8
D) 7
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 11
Pág. 6
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
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CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 17
FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
I.
Definición
Sean A y B dos conjuntos no vacíos y sea f una relación de A en B; diremos que
f es una función de A en B si se cumple que:
( x, y )  f  ( x, z )  f  y  z.
Al elemento y se le llama imagen de x bajo f y se denota por y = f (x). Al elemento
x se le llama preimagen de y.
Gráficamente
f:A B
Dominio de f:
Rango de f:
Dom(f )   x  A /  ! y  B : (x, y)  f   A
Ran(f )   y  B /  x  A : (x, y)  f =  f (x) / x  Dom(f )   B
Ejemplo 1
f   (1,7), (2,6)(3,5) es una función, donde
Semana Nº 17
Dom (f )   1,2,3 
Ran (f )   5,6,7 
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 1
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
Ejemplo 2
No es función f  (a, m), (a,n), (b,n), (c,p)  pues “a” tiene dos imágenes “m” y “n”.
II.
Cálculo del Dominio y Rango de una función
Dominio: Está dado por el conjunto de valores que puede tomar la variable
independiente x, salvo el caso en que dicho dominio esté previamente indicado.
Rango: A partir de los x  Dom(f), se construye los valores adecuados para
y  f (x).
Ejemplo 3
Si f  x  
7  x , halle Dom  f  y Ran  f  .
Solución:

7  x  0  x  7  Domf     , 7

Como x  7  7  x  0 

7  x  0  f x   0  Ranf   0 ,   .
Ejemplo 4
Si f  x   x2  5 ; x  2 , halle Dom  f  y Ran  f  .
Solución:

Domf     , 2

Como x  0  x 2  5  5  f x   5  Ranf    5 ,   .

2
Ejemplo 5
Si y  f x  
3x
x2  1
, halle Dom(f) y Ran(f).
Solución:

Dom(f) = R

Como

Despejando x:
Semana Nº 17
x R
 3x  R 
3x
x2  1
 R  y  R…(I)
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 2
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
2
2
Ciclo Ordinario 2016-I
yx  y  3 x  yx  3 x  y  0  x 
Como x  R  9  4 y 2  0 


de (I) y (II) ¿0  y   

3 3
,
2 2 
 3 2  4 yy
3
2y
3
3
9
 y2    y  . . .  II 
2
2
4
 Ran(f)

= 

3 3
,
2 2

.

OBSERVACIÓN:
Si la función f tiene por regla de correspondencia
 f1  x  ; x  Dom  f1 
f x   
 f2  x  ; x  Dom  f2 
entonces :
I ) Dom  f1
II )
II )
III.
  Dom  f2   
Dom  f   Dom  f1   Dom  f2 
Ran  f   Ran  f1   Ran  f2 
Prueba de la Recta Vertical
Una curva en el plano cartesiano es la gráfica de una función si y solo si toda
recta vertical la intersecta solo una vez.
IV.
Funciones Elementales
Son aquellas funciones que se usan con mucha frecuencia; aquí describiremos
algunas de ellas, donde y = f(x).
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 3
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
Dom(f) = R
Dom(f) = R
Ran(f) = c
Ran(f) = R

Dom(f) = R
Dom(f) = R
Ran(f) =
[ , 
Ran(f) = R
y=
V.
y= x
x
Dom(f) =
[ , 
Dom(f) = R
Ran(f) =
[ , 
Ran(f) =
[ , 
Función Par, Impar y Periódica
Definición
Una función f se denomina función par si cumple las siguientes condiciones:
Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 4
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
i) x  Dom(f )   x  Dom(f ) .
ii) f(– x) = f(x) ,  x  Dom(f).
Ejemplo 6
Sea f  x   2x 4  1, ¿es f una función par?
Solución:
i) x  Dom (f) = R  – x  R.
ii) f  x   2  x   1  2x 4  1  f x   f ( x)  f (x)
4
 f es una función par.
Definición
Una función f se denomina función impar si cumple las siguientes condiciones:
i) x  Dom(f )  x  Dom(f ).
ii) f ( x)   f (x) ,  x  Dom(f).
Ejemplo 7
5
Sea f  x   sen x  x ; x 
, ¿es f una función impar?
Solución:
i) x  Dom(f) 
R
 x 
.


ii) f  x   Sen  x    x 5   sen x  x 5   sen x  x 5   f x   f  x    f x 
 f es una función impar.
VI.
Operaciones con Funciones
i) Suma de funciones
(f  g)(x)  f(x)  g(x)
Dom(f  g)(x)  Dom(f)  Dom(g)
ii) Diferencia de funciones
(f  g)(x)  f(x)  g(x)
Dom(f  g)(x)  Dom(f)  Dom(g)
iii) Producto de funciones
(f.g)(x)  f(x).g(x)
Dom(f .g)(x)  Dom(f)  Dom(g)
iv) División de funciones
f
f(x)
, g(x)  0
  (x) 
g(x)
 g
Dom(f  g)(x)  Dom(f)  Dom(g)   x 
Semana Nº 17
/ g(x)  0
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 5
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo Ordinario 2016-I
EJERCICIOS DE CLASE Nº 17
1.
Dadas las funciones f={(2,5), (3, a2+1), (5, 2b), (2, 2a−b), (3, 17)}, aϵℤ+
g(x)=(a+b)x2 +a2−b2 , halle g(a+2b).
A) 693
2.
E) 574
B) 5
C) 6
D) 4
E) 8
B)  9 , 6
C)  9 ; 6
D)  9,  1
E)  9 ,1
Sean f y g las funciones reales definidas por
1
1
8x 2

f ( x) 
y g(x) =
.
2
2
2
x

25
x

1
9(2x  5)  x
Si la suma de elementos enteros del Dom(f) representa la cantidad de dinero, en soles,
que tengo para comprar lapiceros, y el precio de un lapicero, en soles, está dado por
el máximo valor entero del Ran(g), ¿cuánto me queda de vuelto, si compro la mayor
cantidad posible de lapiceros?
A) 2 soles
5.
D) 707
 ( x  3) 2
, x   3 ,1

.
Halle el rango de la función f tal que f(x) = 
4
  x  3  5 , x  1, 3

A)  1, 6
4.
C) 1015
Halle el número de elementos enteros del complemento del dominio de la función real
5x  8
x
f definida por f ( x ) 
.

5 2
4
x  27x
x 4
A) 3
3.
B) 725
y
B) 4 soles
C) 6 soles
D) 3 soles
E) 1,50 soles
La escala de Richter usada para medir la intensidad de los terremotos, relaciona la
magnitud M del terremoto con la energía E (medida en ergios) que libera, mediante
logE  11,8
.
la expresión M 
1,5

Si la intensidad de un terremoto está en el intervalo 4; 6 de la escala de Richter,
¿cuánta energía libera?
A) 1017,8 ,10 20,8

B) 1018 ,1020,8

D) e17 , e 21

E) 1018 ,1021

Semana Nº 17
(Prohibida su reproducción y venta)
C) 106 ,1018

Pág. 6
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Ciclo Ordinario 2016-I
La señora Ana elabora y vende chalinas. El costo por elaborar x docenas de chalinas,
en soles, está dado por la función C(x)=26x + 520 y las ganancias, en soles, por
vender x docenas de chalinas está dada por la función U( x)  3,5x 2  37x  520 .
Determine el número de chalinas que debe elaborar y vender la señora Ana para
obtener un máximo ingreso y cuál es dicho ingreso.
A) 108 chalinas y 283,50 soles
C) 54 chalinas y 200 soles
E) 27 chalinas y 283, 50 soles
7.
En una fábrica de collares para damas, la utilidad mensual, en miles de dólares, está
dada por la función U( x)  ax 2  bx  c , donde x representa el número de cajas de
collares vendidas. Si los costos fijos de la fábrica asciende a $ 120 000 y la máxima
utilidad de la fábrica ocurre cuando se venden 15 cajas de collares y si la fábrica pierde
$ 8 000 cuando vende dos cajas de collares, halle la utilidad cuando se vende cuatro
cajas de collares.
A) $88
8.
B) 283 chalinas y 108 soles
D) 9 chalinas y 283, 50 soles
B) $8 000
C) $44 000
D) $88 000
E) $160
Determine el valor de verdad, en cada uno de los siguientes enunciados.
I) f es función par / f ( x)  x  5  x  5 , x 8,15.
II) g es función impar / g( x)  1  x  x 2  1  x  x 2 , x  R.
III) h(x) = |x2 – 9|+6 es una función par.
A) VVV
B) FVV
C) FVF
D) FFV
E) VVF
EVALUACIÓN Nº 17
1.
Halle el dominio de la función real f tal que f ( x ) 
1
4x
2
x 2  2x  15
2.
A)   ,3  4 ,
B)   ,4
D) 2,4
E) 3 ,4

1
16  x
.
2
x 2  4 x  21
C) 3 ,
Halle el rango de la función real f tal que f (x)   x2  2x  3  2 , x  3, 6.


A)  20,8
Semana Nº 17

B)  25,  4


C)  25,6
D)  27,6
(Prohibida su reproducción y venta)
E)  25,  6
Pág. 7
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo Ordinario 2016-I
Si la diferencia de los extremos del dominio de la función real f tal que
 x  15 

  1 es el número de kilómetros que Juan corre diariamente,
 x 1 
¿cuántos kilómetros corre Juan en una semana?
f ( x) 
log
x2 
A) 7 km.
4.

1
 , 
4



C) 4 ;  
B)
1
 , 
4
 1 1
C)  , 
 4 4
3x 2  8
x2  1
m que satisfacen ( m  2  3)  Ran(f).
E) 17,5 km.
D)   , 6

E) 
 6 ; 
B) 18
C) 22
 1
D)  ;  
 4
1
E)  ;  
4
. Halle la suma de los valores enteros de
D) 20
E) 14
Rosa al final de su clase de Lenguaje dice: “Hoy en la clase aprendí 77 palabras
nuevas, pero para la próxima clase que es en una semana, habré olvidado todo”. Si
la cantidad de palabras que Rosa recuerda dentro de t días, está modelada por la
función f(t)=t(at−4)+b. ¿Cuántas palabras recordará Rosa dentro de 5 días?.
A) 31
8.
B)  , 4
Dada la función real f tal que f ( x ) 
A) 15
7.
D) 28 km.
Supongamos que un modelo costo – beneficio está dado por C(x)=–x2 + x, donde
C(x), es el costo en millones de dólares para reducir x, que significa el porcentaje de
un contaminante dado. Halle el rango de la función.
A)
6.
C) 14 km.
x 3  2x 2  x  28
Dada la función f tal que f ( x ) 
, x ≠4. Halle el Ran(f).
x4
A) 6;  
5.
B) 21 km.
B) 35
C) 28
D) 32
E) 24
Una piscigranja tiene al inicio 416 truchas. Un zootécnico modela la población de
truchas con una función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, siendo x el tiempo transcurrido,
en meses. Si la población máxima de truchas, ocurrido al noveno mes, fue de 578
truchas. ¿ En cuántos meses desde el tiempo inicial desaparecerá toda la población?.
A) 18
Semana Nº 17
B) 27
C) 26
D) 36
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 24
Pág. 8
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
FUNCIONES (CONTINUACIÓN)
1.
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Sea f :

una función.
Se dice que f es creciente sobre A  Dom(f ) , si se cumple
dados x1, x 2  A tales que x1  x 2  f (x1)  f (x2 ) .
Se dice que f es decreciente sobre A  Dom(f ) , si se cumple
dados x1, x 2  A tales que x1  x 2  f (x1)  f (x2 ) .
Ejemplo 1
¿Es la función f :

definida por f(x)  5   x  2  , creciente o decreciente
2
sobre el conjunto A    , 1  ?
Solución:
Se tiene que Dom(f )  R  A  Dom(f ).
Sea x1, x 2    , 1  tal que x1  x 2  x1  x 2  1
 x1  2  x 2  2  1
 ( x1  2) 2  (x 2  2) 2
 ( x1  2) 2  5  (x 2  2) 2  5
 f ( x1 )  f ( x 2 )
Así, se obtiene que x1  x 2  f (x1)  f (x2 ) , con lo cual se concluye que f es
decreciente en A    , 1 
Propiedades
a) Si f : Dom(f)   a,b 
es creciente, entonces Ran(f)   f(a), f(b) .
b) Si f : Dom(f)   a,b  es decreciente, entonces Ran(f)   f(b), f(a) .
En el gráfico, podemos reconocer cuándo una función es creciente o decreciente. En
la figura se indica este hecho.
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 1
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Ciclo Ordinario 2016-I
y
y
f
f
g
x
f y g crecientes
2.
g
x
f y g decrecientes
FUNCIÓN INYECTIVA, SURYECTIVA Y BIYECTIVA
Sea f : A  B una función.
 Se dice que f es inyectiva sobre X  Dom(f ) , si y solo si se cumple que dados
x1 , x2  X tal que f  x1   f  x2   x1  x2 .
 Se dice que f es suryectiva (o sobreyectiva) si Ran(f )  B , esto es, para cada
y  B existe x  Dom(f ) tal que f (x)  y .
 Se dice que f es biyectiva si es inyectiva y suryectiva.
Existe una forma gráfica de reconocer si f es inyectiva, esto es, si toda recta
horizontal corta la gráfica de f en un solo punto entonces f es inyectiva. Pero si hay
una recta que la corta en dos o más puntos, f no es inyectiva.
Propiedad
Si una función f es inyectiva, entonces f es creciente o decreciente.
3.
FUNCIÓN INVERSA

Sea f : Dom  f   
una función inyectiva. La función f : Ran  f  
se llama la función inversa de f y es definida por
f   y   x si y solo si f  x   y ,  x  Dom
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)

f 
Pág. 2
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Ciclo Ordinario 2016-I
Donde se cumplen:
 
ii) Ran  f   Dom  f  .
i) Dom f   Ran  f  .

iii) f   f  x    x ,  x  Dom  f  .


iv) f f   y   y ,  y  Ran  f  .
Observación: Si f no es inyectiva, no existe la inversa de f.
I.
II.

Dada la función y  f(x), para hallar la función inversa f , debe despejarse de
y  f (x) la variable x, para luego ponerlo en función de la variable y teniendo
cuidado de las condiciones que deben cumplir tanto la variable x como la variable y;
luego se cambia la variable x por y, e y por x, obteniéndose así la función inversa.
 
Ran  f   Dom  f 
Dom f   Ran  f 

Ejemplo 2
2
Halle la función inversa de f definida por y  f(x)  x  6x  1, Dom (f) [4,   .
Solución:
De y  f(x)  x 2  6x  1  (x  3)2  8 , como x  4
x – 3  1 luego (x – 3)21 ; y = (x – 3)2 – 8  – 7
despejamos x en función de y:
 y  8  (x  3)2 ; y   7
  y  8  x  3, y   7
 x   y  8  3 , y  7
como x  4, x 
y8 3
Ahora cambiamos x por y e y por x
y  x  8  3 , x  7
entonces f * (x)  x  8  3, Dom (f  )   7,  
es la función inversa de f definida por f(x)  x2  6x  1 .
4.
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARITMO
Sea
a  R+, a  1. La función exponencial en base a es una función que asocia a
x
cada número real x un único real y tal que y  a , esto es,
f:

x  y  f(x)  a x
El dominio de definición de f (x)  a x es todos los reales.
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 3
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Ciclo Ordinario 2016-I
x
El rango de f (x)  a es todos los reales positivos.
Si a > 1
● f es creciente
● f es inyectiva
Si 0 < a < 1
● f es decreciente
● f es inyectiva
Sea a  R+, a  1 y
x
R+. La función que asocia a cada número x el número
y  log a x es llamada la función logaritmo, esto es,
g: 
x  y  g(x)  logx
El dominio de g es R+
El rango de g es R
Si a >1, g es creciente, pero si 0 < a < 1 la función g es decreciente.
No es difícil verificar que la función exponencial es la función inversa de la función
logaritmo y recíprocamente el logaritmo es la función inversa de la exponencial.
Así como el número irracional π  3,1415926535897932..., otro número irracional es
el número e  2,7182818284590452...
Cuando la base del logaritmo sea a  10, denotaremos log 10 x  log x mientras que
si la base es a = e, escribiremos
Semana Nº 18
log ex  lnx .
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 4
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Ciclo Ordinario 2016-I
EJERCICIOS DE CLASE N°18
1.
Halle la suma de las coordenadas del punto de intersección de las gráficas de las
funciones f y g definidas por f(x) 
2 2x1 3.2 x y g(x) 
4  4.2 x con x  .
A) 2
2.
3.
B) 3
D) 6
E) 7
Si f es una función inyectiva y satisface que f(a2  b2  2020) 
f(1991 4a  10b) ,
determine el rango de la función

g(x) log3 (x 2  5) , sabiendo que Dom(g)  a,b .
A) 1  log3 10 , 2
B) 2 , 1  log3 10
D) 2 ,1  log3 10
E) 2 ,1  log2 10
C) 2 , 1  log3 10
Sea la función real f : 6 , a  b , 45 sobreyectiva, definido por
f( x) x2 – 8x  25 ;
a  3b .
halle el valor de
A) 7
4.
C) 1
B)
11
C) 3 5
D) 3
E) 11
Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones
I.
f(x)
 4x  x es una función inyectiva
g : 3,   1,  / g(x)
 x 2  6x  10 es biyectiva
III. j(x)  x3  4Senx, x  3 es una función impar
II.
A) VFV
B) FVV
C) VVV
D) FVV
E) FFV
2
5.
Si h es una función tal que : h(x)  x  2  x  2
halle el valor de 3m  1 .
A) – 4
6.
B) 1
C) – 2

1
1
y h * ( x)  m   x 
  ,

2m m 

D) 3
E) 5
Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones
I.
Si f y g son funciones biyectivas tales que (f 
g)(2)  6 y
f * (6) 8 entonces

g * (8)  2 .
II. Si f(x)
 x2  1 y g es una función creciente tal que (f g)(x)  4x2  16x  17
entonces (g f )(2)  6 .
  x  3  1
III. Si f es una función biyectiva que satisface f *  f 
   entonces el menor
  x  1  2
valor entero de x es – 1.
A) VVV
Semana Nº 18
B) VVF
C) VFF
D) FVF
(Prohibida su reproducción y venta)
E) FVV
Pág. 5
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7.
Ciclo Ordinario 2016-I
Lunié es un deportista que practica tiro al disco. En una de las prácticas la máquina
disparadora lanza el disco que describe una curva modelada por la función
1
f(x) 
(4  8x  x 2 ) , donde x es la distancia horizontal que recorre el disco desde su
4
lanzamiento. Lunié que se encuentra a 1 metro adelante de la máquina hace varios
disparos y uno de los tiros derriba al disco que cae verticalmente a 6 metros
adelante de la máquina. Si las trayectorias del disco y los balines se mueven en un
mismo plano,
a. Determine la función lineal g(x) que describe la trayectoria del balín que derribó
al disco, si el balín salió a 1 metro sobre el nivel del piso.
b. Si ningún balín hubiese derribado al disco, ¿a qué distancia adelante de Lunié
hubiera caído el disco al suelo?
2
3x  2

;9m
; 42 6 m
B) g(x)
5
5
3x  2
3x  2
;52 5 m

;32 5 m

D) g(x)
C) g(x)
5
5
3x  2
; 42 5 m

E) g(x)
5
8.
Las utilidades de una empresa (en miles de dolares) en función del tiempo t (en
años) es dado por U(t) 4t 2  60t  15, 1  t  8 . ¿Cuál es la utilidad máxima y a
partir de qué tiempo las utilidades empiezan a disminuir?
 3x 
A) g(x)
A) 210_7.5 años
D) 180_7.5 años
B) 120_6 años
E) 120_6.5 años
C) 110_6 años
EVALUACIÓN N° 18
1.
Si f : 1,3  1,15 es una función lineal creciente y sobreyectiva, además h es una
función decreciente en ; determine el mayor elemento entero del conjunto solución
h(x 2  17)  h(x 2  3) . f(2)x  32
0.
de la inecuación
x 2016  x 2014  3
A) 4
2.
B) 5
C) 6
D) 3
E) 8
Si la función lineal f : 1,4  2,5 es biyectiva y decreciente, halle f * (3) .
A) – 5
Semana Nº 18
B) 0
C) 5
D) – 3
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 3
Pág. 6
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Si
n
es
Ciclo Ordinario 2016-I
menor entero positivo del
 2x 2  5x  3 
 3x 2  7x  2 


f(x) log 
log


 , halle el
2
2
 3x  17x  6 
 2x  9x  5 
 2x 2  (3n  4)x  82 
solución de la inecuación log  2
 1 .
 x  (2n  13)x  8 
1
 8 , 

A)  , 2
D) 2,
4.
el
dominio
complemento
E)  ,  2
la
función
del
conjunto
1
C)  ,  
8
1
B)  2, 
 8
1
8
de
2, 
1
, 
8
Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I.
f(x) 
II.
f:
x 2  4x  3 es inyectiva

, f(x)  x 2  4x  1 es suryectiva
III. Si f : 2,   1,  es tal que f(x)
 x 2  2x  1 entonces f * (2)  3 .
A) FFV
5.
B) FVF
C) VVV
D) FVV
E) FFF
Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I.
x
f(x) 
g(x)
II. 
1 x  1 x
3
es una función par.
x.( x  2) es una función impar.
III. Si h es una función impar entonces h no es par.
IV. Si f es decreciente en A y f es decreciente en B con A B 
  entonces f es
decreciente en A B .
A) VVVV
6.
B) VVFV
C) VFFV
D) VVFF
E) FVFV
Lisset tiene una tela de 4x5 pies cuadrados y quiere ponerle un borde de un mismo
ancho a los cuatro lados usando toda una tela de 10 pies cuadrados, ¿cuántos pies
de ancho tendrá el borde colocado?
A) 1.5
Semana Nº 18
B) 0.5
C) 0.75
D) 1.2
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 1
Pág. 7
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.
Ciclo Ordinario 2016-I
Las ventas de una determinada compañía han disminuido año tras año luego de la
crisis mundial. Su ingreso en miles de dolares se expresa mediante la función
I(t)  Ae  t donde t representa el tiempo transcurrido en años a partir de la crisis. Si el
ingreso de la compañía al inicio de la crisis fue de 400000 dolares y además

3
2
I(5)  Ae , halle el número de años que deben transcurrir desde que se inició la
crisis para que el ingreso de la compañía sea menor a la cuarta parte del ingreso
inicial (considere ln  0.25   1.4 ).
A) 3 años
8.
B) 4 años
C) 6 años
D) 5 años
E) 8 años
La empresa LEAE S.A. dispone diariamente de 10 minivans de 20 asientos para
transporte, cada minivan sale solo una vez al día y todos los pasajeros solo suben
en el paradero inicial. Por política de gerencia y por cada movilidad inhabilitada por
falla mecánica o por mantenimiento, a diario cada minivan restante debe permitir el
ingreso de tantos grupos de 5 pasajeros parados como minivans que no circulen.
Determine:
a.
¿Con cuántas minivans en circulación se consigue máxima cantidad de
pasajeros transportados?
b.
¿Cuál es la máxima recaudación del día, si el pasaje cuesta 2 soles?
A) 3
S/ 49
Semana Nº 18
B) 10
S/ 200
C) 7
S/ 490
D) 3
S/ 450
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 7
S/ 245
Pág. 8
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Ciclo Ordinario 2016-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
EJERCICIOS DE CLASE Nº 19
1.
Si m, n y p son soluciones de la ecuación x3 – mx2 + nx – p = 0, halle el valor de
n3 + mn–p + pn; p  0.
A) –1
2.
B) 0
C) 1
E) 2
Hallar el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
i)
|x – y| = |x| – |y| ;  x,y  R
ii)
|x| = |y|  x = y

iii) |x| < |y|  x2 < y2 ;
A) FVV
3.
D) 3
x = –y ;  x,y  R
 x,y  R
B) VFF
C) FFV
D) VVF
E) FFF
Halle la suma de coeficientes del polinomio homogéneo
3
3
p(x,y) = 5(a  n)x n y 5n2  2(2a  4b  n2 )x 3nn y 8  5(b  n2  2n)( xy )a3b
A) 62
4.
B) 40
E) 30

A) 44 años
Resolver en x
(n  1)2
A)
2n
6.
D) 60
Juan le pregunta a su mamá por la edad de su papá, ella le dice que la edad de su
padre en años coincide con el número de términos irracionales del desarrollo de
8(ab)
x5a20  y7b8
a1
, donde
es un cociente notable, cuyo desarrollo tiene
x bx
x3  y 2
10 términos.

5.
C) 32
B) 40 años
2x  x
2x  x
n 1
B)
n 1
C) 20 años
D) 41 años
E) 50 años
 n ; n > 0 y x  0.
(n  1)2
C)
n
D)
1
n2
E)
n
El precio de la venta de cierto artículo está dado por 15 – x, donde x es el número de
artículos que ha de vender. Si a es la suma y b es el producto del número de artículos
que se debe vender para el ingreso sea de 20 unidades monetarias. Halle la ecuación
2a b
y , donde a y b representan la suma y el
bicuadrática cuyas soluciones son
4
5
producto de soluciones, respectivamente de la ecuación 20 = (15 – x) x.
Semana Nº 19
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 1
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
A) x4 + 61x2+ 900 = 0
D) x4 – 62x2– 900=0
7.
B) x4 – 61x2 – 900 = 0
E) x4 – 61x2 + 900 = 0
C) x4 + 62x2 + 1900 = 0
4x 2  6xy  9y 2  37
Si (xo, yo) es la solución del sistema en “x” e “y” 
; determine el
2
x
3
y
7



mayor valor de |y0 – x0|.
A)
8.
Ciclo Ordinario 2016-I
1
6
B)
1
2
C) 1
D) 0
E) 2
Hallar el máximo valor de f(x,y) = 10x + 20y, sujeto a las restricciones:
x y
3  4  4

x  y  1 .
 x  0, y  0


A) 166
9.
B) 950
C) 850
D) 320
E) 260
Al resolver la inecuación | x | 2 502  x 2 (log6 x  2)  0 , la edad de Jorge en años
se obtuvo sumando la mayor y menor solución entera de la inecuación y la edad de
Karina dentro de 5 años estará dado por la suma de la 2 menores soluciones enteras.
Determine la suma de las edades de Jorge y Karina.
A) 156
B) 159
C) 158
D) 161
E) 162
 4x 
  1.
10. Halle el conjunto solución de log3 
 2 | x | 
5
A)  , 4
2
B)
5
,10
3
C)
5
,4
2
D)
2
,4
5
E) R – {4}
11. Las restricciones pesqueras impuestas por el Ministerio de Pesquería, obligan a cierta
empresa a pescar como máximo 2000 toneladas de bonito y 2000 toneladas de
corvina por mes, además, la captura de estas dos especies no debe superar las 3000
toneladas. Si el precio de bonito es de 1000 soles por tonelada y el precio de corvina
es 1500 soles por tonelada, ¿qué cantidades de bonito y corvina se debe pescar para
obtener el ingreso máximo?
A) 1500 y 2000 toneladas
C) 1000 y 2000 toneladas
E) 2000 y 3000 toneladas
B) 1500 y 1500 toneladas
D) 1600 y 1400 toneladas
12. Sea E el conjunto de valores de k para los cuales el sistema en x, y, z
(k  8)x  6 y  5z  3

tiene solución única. Halle la suma de elementos del
 (k  9)y  z  5
 (k  3)z  7

Semana Nº 19
(Prohibida su reproducción y venta)
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Ciclo Ordinario 2016-I
complemento de E.
A) – 5
B) 3
C) 12
D) 5
E) 2
13. Se dispone de x9 + 3x13 + 7x15 + 11x17 + 13x19 + 49 soles, para la compra entradas a
un espectáculo que presenta un circo por fiestas patrias. Si se compró entradas para
un grupo de estudiantes de un centro educativo a x – 7 soles cada entrada, recibiendo
12 soles de vuelto. ¿De cuánto hubiese sido el vuelto si con la misma suma de dinero
se hubiese comprado cada entrada a x + 7 soles?
A) S/ 61
B) S/ 51
C) S/ 98
D) S/ 86
E) S/ 73
14. Adrián tiene dos terrenos para sus hijos, un terreno rectangular cuyos lados miden (x
+ y) m y (x2 – y2) m y el otro terreno es de forma cuadrada y de lado 2(x + y) m.
Halle la mayor suma de coeficientes de los factores primos en Zx, y de la suma de
áreas de ambos terrenos.
A) 2
B) 10
C) 4
D) 11
E) 6
15. Un carpintero fabrica dos tipos de sillas: unas de metal y otras de madera. Uno de los
problemas que se le presenta es la escasez del tiempo, que solo le permitirá elaborar
a lo más 40 sillas de ambos tipos. El otro problema es que el capital que dispone para
invertir en materiales es de a lo más S/ 500; incluido la mano de obra. Teniendo en
cuenta la siguiente tabla de datos:
Costo de materiales por silla
Ganancia unitaria
Metal
S/ 10
S/ 15
Madera
S/ 15
S/ 20
Halle la máxima ganancia que se puede obtener.
A) S/ 700
B) S/ 466
C) S/ 755
D) S/ 800
E) S/ 600
16. Determine la suma de elementos enteros del dominio de la función f tal que
3
x8
f ( x)  x  3 
.
6x
A) 19
B) 18
C) 16
2x  5

17. Dada la función f definida por f ( x )   x 2
9

la función es de la forma J = [a, b]  b  1, c

A) 9
Semana Nº 19
B) 1
C)
1
4
D) 12
E) 15
, 2x0
, 0  x  3 se cumple que el rango de
, 3 x8
   a  . Calcule el valor de (a + c)b.
D) 4
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
1
9
Pág. 3
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Ciclo Ordinario 2016-I
18. En un estudio de pacientes que trabajaban en minas, se encontró que al transcurrir 5
años, el 19% de los pacientes desarrollaban enfermedades pulmonares y que al
transcurrir 9 años el 38% adquirían la misma enfermedad. Si una función lineal modela
la relación entre el tiempo y el porcentaje de pacientes con dicha enfermedad,
pronostique el menor número de años en los cuales más de la mitad de estos
pacientes adquieran la enfermedad pulmonar.
A) 11 años
Semana Nº 19
B) 12 años
C) 14 años
D) 16 años
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 13 años
Pág. 4