3-POTENCIAL-ELECTRICO

POTENCIAL ELÉCTRICO
DEFINICIÓN.- El potencial eléctrico se define como una magnitud escalar, es
el trabajo que se desarrolla al trasladar una carga desde un punto lejano (infinito)
hasta un Punto cercano, esto es:
V∞
WA
=[J/C = Voltio=V)]
0
q
Pto cercano
R1 qo (pto lejano)
Q R∞
Q: carga que crea el campo
qo carga a trasladarse
k
V= Qr
El potencial total de un sistema de cargas que crean el campo
es: V= V1+V2+ V3+…+Vn
Si la carga es negativa, entonces el potencial es negativo y positivo en caso
contrario.
La diferencia de potencial entre dos puntos A y B, es:
VAB
− A= = Δ =
q
VV
B
W
V
0
VA, VB Potencia en los puntos A y B.
qo Carga que se desea trasladar.
Si la carga que crea el campo es continua, entonces el potencial eléctrico será:
1
= ∫ dQ
r VK
ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA: Se define como el trabajo
requerido para trasladar una carga desde A hasta el punto B, siendo la
expresión.
WAB = - q E dL BA.
WAB = - F
dL BA.
(J)
∫
∫(J)
0
RELACIÓN ENTRE CAMPO ELÉCTRICO Y POTENCIAL ELÉCTRICO
Sea la expresión:
B
−
∫A F.dL =W AB
B
WAB = F
dL con F qoE
−
∫.=
A
AB
WB
.=−
∫
E dL
q
A
o
B
ΔV=V = - E
.
A
∫
dL
Considerando este último relación con sus competentes rectangulares se tiene:
V=-E
dL BA.
∫
V=-E
dL dV E dL BA. .
∫ ⇒= −
E =EiEjEk
x+y+z
dL dxi dyj dzk
=++
Como V = V(x, y, z)
dV
∂∂
=
∂
V
dx
+
∂
V
dy
dz
+
V
∂
x
∂
y
z
2
∂
v
= − x +y +z ∂
dx
+
∂
x
v
∂
y
dy
+
∂
v
∂
z
dz (E
dx E dy
E dz)
+
⎟
⎟
⎠
⎜ ⎝
⎞
⎛
⎜
+
∂
v
E dz
∂
v
∂
v
⎜ ⎛ ⎞
⎜ ⎛ ⎞
⎝ + E dx ⎟ + E dy
⎝ + ⎟=0
∂
x
xyz
∂
z
⎠
y
Comparando
∂
⎠
∂
xv 0
v
=−E ∂
+=→
E
∂
x
xx
∂
v
+=
∂
0
→ = − E E∂
v
∂y
yy
∂
y
∂
0
v
→ = − E E∂
+=
v
∂
z
i
xv
=- ⎟
⎜ ⎛
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ∂∂
Sustituyendo en:
∂
∂z
zz
E = Eyj + +
Exi + Ezk ∂
k
∂
+
∂
v
j
v
y
z
⎜ ⎛
⎝ ∂∂
i ⎟
x ⎠⎞
∂
ˆˆˆ
∂
E =-k
V
∂
+
y
j
+
∂
-
z
ΔV
E
=
ECUACIÓN DE POISON: Considerando la Ley de Gauss.
dS =
q = ε o ∫ E.nˆ
∫ ρdV
Tomando en cuenta el teorema de la divergencia.
.ˆ.
∇ EdV =
ε o ∫ E ndS = ε o ∫
∫ ρdV
∫(ε o∇ E − ρ)dV = 0
3
Eo ∇ = ρ /ε
; Forma diferencial de la Ley de
2
∇ =−
V o ρ /ε
Poisson
Como E
= −∇ V
Si ρ = 0 0
2
Donde
⎟
⎠⎞
∇ V =Ecuación de la Place
⎜ ⎛
⎝ ∂∂
222
∂
∂
i
xˆ ˆ ˆ
∇ =k
2
+
∂
+
∂
y
j
4
z