Solucionario Práctica 3 1. El elemento de la figura tiene sección circular (no gira) y se utiliza para triturar mineral recién extraído de la mina. Para ello se le aplica cíclicamente una carga de 90 kN. Si está fabricado con acero maquinado, de Sut=400 MPa. Determinar el coeficiente de seguridad ante falla por fatiga. (medidas en mm) (6 ptos). 𝑆𝑒′ = 0.5𝑆𝑢𝑡 = 0.5(400𝑀𝑃𝑎) = 200𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑚𝑎𝑥 = (90𝑘𝑁)(1.85) = 58.887𝑀𝑃𝑎 𝜋(30)2 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 0 𝜎𝑎 = 𝜎𝑚𝑎𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝟐𝟗. 𝟒𝟒𝑴𝑷𝒂 2 𝜎𝑚 = 𝜎𝑚𝑎𝑥 + 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝟐𝟗. 𝟒𝟒𝑴𝑷𝒂 2 La zona más crítica es el cambio de sección: 𝑆𝑢𝑡 = 400𝑀𝑃𝑎 = 58.06𝑘𝑠𝑖 6.89 𝑘𝑎 = 𝟎. 𝟖𝟓 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 → 𝑘𝑏 = 1 𝑆𝑢𝑡 = 58.06𝑘𝑠𝑖 𝑟 = 5𝑚𝑚 𝑞 = 0.8 𝐷 80 𝑟 5 = = 1.33 = = 0.0833 𝑘𝑡 = 1.85 𝑑 60 𝑑 60 𝑘𝑓 = 1 + 0.8(1.85 − 1) = 1.68 𝑘𝑒 = 𝟎. 𝟔 𝑆𝑒 = 𝑘𝑎 𝑘𝑏 𝑘𝑒 𝑆𝑒′ = (0.85)(0.6)(200𝑀𝑃𝑎) = 𝟏𝟎𝟐𝑴𝑷𝒂 𝑆𝑛𝑒 = 0.923(102𝑀𝑃𝑎) = 𝟗𝟒. 𝟏𝟒𝟔𝑴𝑷𝒂 𝜎𝑎 𝜎𝑚 1 29.44 29.44 1 + = = + = 𝑆𝑛𝑒 𝑆𝑢𝑡 𝐹𝑆 94.146 400 𝐹𝑆 𝑭𝑺 = 𝟐. 𝟓𝟗 2. La figura 2 muestra un eje y un par de torsión fluctuante al cual está sujeto. El material tiene Sut=152 kpsi y Sy=135 kpsi. Ssu=0.67Sut. Todas las superficies están rectificadas. Calcular el FS para vida infinita con respecto a un aumento de carga debido a: (6 puntos). (a) el aumento de ambas componentes, media y alternante (b) el aumento solo de la componente alternante 𝜏𝑚 = 𝜏𝑎 = 𝑇𝑚 = 7000 + 3000 = 5000𝑙𝑏 − 𝑖𝑛 2 𝑇𝑎 = 7000 − 3000 = 2000𝑙𝑏 − 𝑖𝑛 2 5000 𝑙𝑏 = 26891.43 2 = 𝟐𝟔. 𝟖𝟗𝟏𝟒𝒌𝒔𝒊 1 𝑖𝑛 2 𝜋(1)3 (16) (1) ( − ) 16 6 2000 𝑙𝑏 = 10756.57 2 = 𝟏𝟎. 𝟕𝟓𝟔𝟔𝒌𝒔𝒊 1 𝑖𝑛 2 𝜋(1)3 (16) (1) ( − ) 16 6 𝑆𝑢𝑡 = 152𝑘𝑠𝑖 𝑘𝑎 = 0.89 𝑘𝑏 = 𝑘𝑐 = 𝑘𝑑 = 1 (𝑟 = 1 𝑖𝑛; 𝑆𝑢𝑡 = 152𝑘𝑠𝑖) 𝑞 = 0.95 32 (𝑑 = 1 𝑖𝑛; 𝐷 = 1𝑖𝑛) 𝑘𝑡 = 3.1 16 𝑘𝑓 = 1 + 0.95(3.1 − 1) = 2.995 𝑘𝑒 = 0.3339 𝑆𝑠𝑒 = 𝑘𝑎 ∗ 𝑘𝑒 ∗ 0.5 ∗ 𝑆𝑢𝑡 ∗ 0.577 = 𝟏𝟑. 𝟎𝟑𝒌𝒔𝒊 (𝑎) 10.76𝑛 26.89𝑛 + = 1 → 𝒏 = 𝟎. 𝟗𝟏𝟕𝟔 13.03 101.84 (𝑏) 10.76𝑛 26.89 + = 1 → 𝑛 = 𝟎. 𝟖𝟗𝟏𝟐 13.03 101.84 3. Se tiene una máquina excéntrica que somete a flexión una placa de sección pequeña. En la figura se muestra en forma esquemática el sistema biela manivela que representa la máquina mencionada. La excéntrica representada por la manivela de longitud r=6mm gira y comunica el movimiento a la biela de longitud “a”. La longitud de r es despreciable con respecto a la longitud “a”. En la figura 3 se representa al sistema en su posición neutral, y en la figura 2 se muestra el centro de giro de la excéntrica (manivela) acercada a la placa una distancia s=5mm, fijándose en esta posición. En esta posición se procede a hacer girar la manivela. La placa ha sido laminada en caliente y tiene un espesor h=2.5mm y longitud L=200mm. El acero tiene las siguientes características. Sut =400MPa Sy= 260 MPa E=210GPa (8 puntos) Al funcionar el sistema a la temperatura ambiente se pide: (a) La variación de la fuerza sobre el extremo de la placa en un diagrama sin valores numéricos. (1.5p) (b) La variación del esfuerzo en la sección crítica en función del tiempo con valores numéricos. Indicar también las componentes media y alternante. (2.5p) (c) El factor de seguridad a la fluencia. (1p) (d) El factor de seguridad a la fatiga con una confiabilidad del 95%. (1.5p) (e) El factor de seguridad de la placa. (1.5p) Consejo: Recordar que la relación entre la deflexión del extremo de una barra en voladizo sometida a una fuerza F en el extremo de esta está dada por: 𝛿= 𝐹𝐿3 3𝐸𝐼 (a) La deflexión está dada por: 𝛿 = 𝑠+𝑦 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝛿 = 𝑠 + 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝐹𝑚𝑎𝑥 → 𝛿 = 𝑟 + 𝑠 𝐹𝑚𝑖𝑛 → 𝛿 = 𝑠 − 𝑟 𝑠+𝑟 = (𝒔 + 𝒓)𝟑𝑬𝑰 (𝑠 + 𝑟)3𝐸𝐼 𝐹𝑚𝑎𝑥 𝐿3 → 𝑭𝒎𝒂𝒙 = → 𝑀𝑚𝑎𝑥 = 𝟑 3𝐸𝐼 𝑳 𝐿2 𝑟−𝑠= (𝒔 − 𝒓)𝟑𝑬𝑰 (𝑠 − 𝑟)3𝐸𝐼 𝐹𝑚𝑎𝑥 𝐿3 → 𝑭𝒎𝒊𝒏 = → 𝑀𝑚𝑖𝑛 = 𝟑 3𝐸𝐼 𝑳 𝐿2 (b) Esfuerzos máximo y mínimo (𝜎 = 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝑀𝑦 𝐼 ) serán: ℎ ℎ 𝑀𝑚𝑎𝑥 ( ) 3(𝑠 + 𝑟)𝐸𝐼 ( ) 3(𝑠 + 𝑟)𝐸ℎ 3(11𝑚𝑚)(210𝐺𝑃𝑎)(2.5𝑚𝑚) 2 2 = = = = 𝐼 𝐼𝐿2 2𝐿2 2(200𝑚𝑚)2 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝟐𝟏𝟔. 𝟓𝟔𝟐𝟓𝑴𝑷𝒂 𝜎𝑚𝑖𝑛 ℎ ℎ 𝑀𝑚𝑖𝑛 ( ) 3(𝑟 − 𝑠)𝐸𝐼 ( ) 3(𝑠 − 𝑟)𝐸ℎ 3(−1𝑚𝑚)(210𝐺𝑃𝑎)(2.5𝑚𝑚) 2 2 = = = = 2 𝐼 𝐼𝐿 2𝐿2 2(200𝑚𝑚)2 𝜎𝑚𝑖𝑛 = −𝟏𝟗. 𝟔𝟖𝟕𝟓𝑴𝑷𝒂 𝜎𝑎 = 𝜎𝑚𝑎𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝟏𝟏𝟖. 𝟏𝟐𝟓𝑴𝑷𝒂 2 𝜎𝑚 = 𝜎𝑚𝑎𝑥 + 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝟗𝟖. 𝟒𝟑𝟕𝟓𝑴𝑷𝒂 2 (c) Factor de seguridad de fluencia: 𝐹𝑆𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑆𝑦 260𝑀𝑃𝑎 = = 𝟏. 𝟐𝟎𝟎𝟔 𝜎𝑚𝑎𝑥 216.5625𝑀𝑃𝑎 (d) Factor de seguridad de fatiga: 𝑘𝑎 = 0.7(𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥) 𝑘𝑏 = 1 𝑘𝑐 = 0.868 𝑘𝑑 = 1 𝑘𝑒 = 1 𝑆𝑒 ′ = 0.5𝑆𝑢𝑡 = 0.5(400𝑀𝑃𝑎) = 200𝑀𝑃𝑎 𝑆𝑒 = 0.7(0.868)(200𝑀𝑃𝑎) = 121.52𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑆𝐹𝑎𝑡𝑖𝑔𝑎 = 𝑆𝑒 121.52𝑀𝑃𝑎 = = 𝟏. 𝟎𝟐𝟖𝟕 𝜎𝑎 118.125𝑀𝑃𝑎 (e) Factor de seguridad de la placa: 𝑆𝑒 𝑆𝑢𝑡 + =1 𝜎𝑎 𝜎𝑚 118.125 98.4375 1 + = 121.52 400 𝐹𝑆 𝑭𝑺 = 𝟎. 𝟖𝟐𝟎𝟗
