UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Cálculo Numérico (521230) Laboratorio 6 Integración Numérica Ejercicios Laboratorio Ejercicio 1. 1.1 Escriba en un archivo trap.m un programa tipo function que calcule la aproximación de la integral de una función dada en un intervalo genérico [a, b] por la regla de los trapecios con N subintervalos. 1.2 Testee su programa con las siguientes integrales y N = 10, 20, 40, 80: Z 0 3 x2 dx Z 1 2 e−x dx −1 Z 2 Z log(x) dx 1 1√ x dx 0 1.3 Haga un programa semejante para la regla de Simpson. Guárdelo en un archivo simpson.m y testeelo con las mismas funciones. Ejercicio 2. Escriba en un archivo gauss_leg.m un programa tipo function que calcule la aproximación de la integral de una función dada en un intervalo genérico [a, b] por la regla cuadratura de GaussLegendre con n puntos. Indicación: Recuerde realizar el cambio de intervalo a [−1, 1]. Testee su programa con n = 2, 3 y 4, consideranto las integrales de 1.2 Ejercicio 3. Matlab tiene dos comandos, quad y quadl, que permiten calcular de manera automática integrales de funciones suaves con error menor que una tolerancia dada. El primero es un método de bajo orden basado en la regla de Simpson, mientras que el segundo es un método de alto orden. 3.1 Utilice el comando help de Matlab para conocer la sintaxis de estos comandos. R1 R1√ 2 3.2 Calcule mediante quad las integrales −1 e−x dx y 0 x dx del Ejercicio 1.2, primero con la tolerancia prefijada por el comando y después con error menor que 10−6 . Ejercicio 4. El fin de este ejercicio es verificar experimentalmente que el error del método de los trapecios aplicado a un integrando con derivadas no acotadas en el intervalo de integración no es de orden O(h2 ). R1√ 4.1 Calcule la integral 0 x dx por regla de los trapecios con N = 10, 20, 30, . . . , 100 subintervalos y almacene los errores respectivos. En este caso para calcular el error utilice el valor exacto de la integral, el cual puede calcularse exactamente. 4.2 Para estimar el orden de convergencia del método en este caso, determine por mı́nimos cuadrados las constantes C y α que mejor ajustan los errores mediante el modelo error ≈ Chα . 1 4.3 Grafique en escala logarı́tmica los errores versus N y la función f (N ) = (1/N )α . Sugerencia: para graficar en escala logarı́tmica utilice el comando loglog en lugar de plot; la sintaxis de ambos comandos es la misma. Ejercicio 5. 5.1 Encuentre el área entre las curvas (x, f (x)) y (x, g(x)) con 2 f (x) = ex−x , g(x) = arctan x2 , x ∈ [−3, 3]. Indicación: Grafique las funciones en [−3, 3] y calcule el área entre las curvas utilizando quad y fzero de manera adecuada. 5.2 Encuentre todos los valores de x ∈ [−3, 3] tales que √ Z x π 2 sin t dt = . 4 0 Utilice para ello fzero y quad de manera adecuada. Ejercicios Propuestos 1. Los pares (x, y) que satisfacen x2 y 2 + 2 =1 a2 b pertenecen a la elipse con centro en el origen de coordenas, semieje mayor de longitud a y semieje menor de longitud b. La ecuación paramétrica de esta elipse es: (x(t), y(t)) = (a cos(t), b sen(t)), t ∈ [−π, π] Escriba un rutero Matlab en el que: Grafique 200 puntos sobre la elipse de ecuación paramétrica (3 cos(t), 5 sen(t)), t ∈ [−π, π]. Encuentre, con ayuda del comando quad o del comando quadl una aproximación al perı́metro de la elipse antes graficada. Tenga en cuenta que éste es igual a s Z π 2 2 dy dx + dt dt dt −π 2. Aplicando una fuerza externa al pistón de un cilindro se comprime el vapor de amonı́aco en él. En la siguiente tabla se muestra, para diferentes del volumen v (en litros) ocupado por el gas, la presión p (en kilopascal) ejercida por él para equilibrar la fuerza externa aplicada al pistón. i vi pi 1 0.50 1400 2 0.60 1248 3 0.72 1100 4 0.84 945 5 0.96 802 El trabajo total realizado por el gas es Z 1.25 W = p dv. 0.5 Escriba el rutero amoniaco.m en el que 2 6 1.08 653 7 1.25 500 a) Aproxime el valor de W utilizando la regla simple del trapecio. b) Dado que W se puede escribir como 6 Z X vi+1 pdv, vi i=1 aproxime W aplicando la regla simple del trapecio al cálculo de cada una de las integrales en esta suma. c) ¿Cuál es la diferencia entre la aproximación a W calculada en a y la calculada en b? d) Determine la spline cúbica s(v) que interpola los datos de la tabla y aproxime W por Z 1.25 s(v)dv 0.5 mediante la regla compuesta del trapecio con h = 0.05. e) Repita el procedimiento anterior reduciendo a la mitad el tamaño de h hasta que la diferencia entre dos aproximaciones sucesivas a W sea menor o igual que 10−2 . 3. Escriba un programa tipo function en Matlab que reciba como entrada una función de 2 variables f (x, y), los valores a, b, c, d y N y cuya salida sea el valor de la integral: Z bZ d f (x, y) dy dx a c donde la integral con respecto a y sea resuelta mediante la regla de los trapecios y la integral con respecto a x sea resuelta con la regla de Simpson. Departamento de Ingenierı́a Matemática, Universidad de Concepción 3 Semestre 2022-1
