Distribuciones discretas
Distribución Binomial
2º BACH CCSS
Cuaderno de ejercicios
MATEMÁTICAS JRM
Nombre y apellidos …………………………………………………………………………......
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 2
RESUMEN DE OBJETIVOS
1. Variables aleatorias discretas. Distribución de probabilidad. Media, varianza y desviación.
OBJETIVO 1. Conocer los siguientes conceptos relacionados:
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
Variable Aleatoria Discreta.
Distribución de probabilidad de una V.A.D.
Media o esperanza de una V.A.D.
Varianza y desviación de una V.A.D.
2. Variables aleatorias con distribución de Bernoulli.
OBJETIVO 2: Conocer las características y los parámetros de una
variable aleatoria de Bernoulli
Distribución de probabilidad
0
1-p
0
0.4
1
0.6
1
p
Media:
Varianza:
3. Variables aleatorias con distribución de Binomial.
OBJETIVO 3: Conocer las características y los parámetros de una
variable aleatoria binomial
y saber calcular su distribución
de probabilidad.
Distribución de probabilidad
0
0
1
2
3
4
0.0625
0,25
0.375
0,25
0,0625
1
2
3
…
n
( )
Media:
Varianza:
4. Ajuste de una variable estadística discreta a una distribución Binomial.
OBJETIVO 4: Estudiar las características de una variable estadística
} para construir el modelo
cuantitativa discreta que tome valores {
de distribución binomial
que mejor se ajuste a dicha variable,
calculando el parámetro como:
̅
0
1
2
3
65
78
43
14
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
(siendo ̅ la media muestral de los datos)
Página 3
1. Variables aleatorias discretas. Distribución de probabilidad. Media, varianza y desviación.
OBJETIVO 1. Conocer los siguientes conceptos relacionados:
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
Variable Aleatoria Discreta.
Distribución de probabilidad de una V.A.D.
Media o esperanza de una V.A.D.
Varianza y desviación de una V.A.D.
Variables aleatorias discretas.
Una Variable Aleatoria Discreta es una variable X que toma aleatoriamente un número finito de valores numéricos
{
}. Ese conjunto de valores se denomina recorrido de la variable X.
La probabilidad con la que la variable X toma cada uno de esos valores del recorrido se denomina distribución de
probabilidad de la variable X y es una medida de probabilidad, es decir, cumple todas las propiedades de una medida
de probabilidad.
…
…
∑
Ejemplo:
Si lanzamos un dado equilibrado y llamamos X al número obtenido, entonces X toma todos los valores del 1 al 6 con
probabilidad
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
Media, varianza y desviación típica de una variable aleatoria discreta.
Si una tenemos una variable aleatoria X y su correspondiente distribución de probabilidad:
…
…
Se definen los siguientes parámetros:
Media o esperanza:
Varianza:
Desviación típica:
∑
∑
Cálculo práctico de la Varianza:
√
∑
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Página 4
Ejercicio 1.1.
La variable aleatoria X tiene la distribución de probabilidad dada por la siguiente tabla:
-1
0,2
0
0,2
2
0,4
4
0,1
5
0,1
a) Comprueba que es una distribución de probabilidad y represéntala gráficamente.
b) Calcula las siguientes probabilidades:
,
,
,
c) Halla la media, la varianza y la desviación:
.
y
Solución
a)
b)
c)
-1
0
2
4
5
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Página 5
Ejercicio 1.2.
La variable aleatoria X tiene la función de probabilidad dada por la siguiente tabla:
1
0,15
2
0,2
a) Calcula el valor de k y represéntala gráficamente.
b) Calcula las siguientes probabilidades:
,
c) Halla la media, la varianza y la desviación:
3
k
4
0,3
,
5
0,11
y
.
Solución
a)
b)
c)
1
2
3
4
5
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 6
Ejercicio 1.3.
Se lanzan dos dados cúbicos y equilibrados con las caras numeradas del 1 al 6 y se define la variable aleatoria X que
toma el valor de la suma de los dos resultados obtenidos.
a) Determina la función de distribución de probabilidad de la variable X y representa su gráfica.
b) Calcula las siguientes probabilidades:
,
,
y
c) Halla la media, la varianza y la desviación:
.
Solución
a)
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
b)
c)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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Página 7
Ejercicio 1.4.
La función de probabilidad de una variable aleatoria X viene dada por la siguiente tabla:
1
2
a) Calcula el valor de k y represéntala gráficamente.
b) Calcula las siguientes probabilidades:
,
c) Halla la media, la varianza y la desviación:
Solución
3
4
k
2k
,
5
y
.
a)
b)
c)
1
2
3
4
5
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 8
Ejercicio 1.5.
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X, que toma los valores 2, 4, 6 y 8, es directamente
proporcional a dichos valores:
2
4
6
8
a) Calcula la distribución de probabilidad de X y represéntala gráficamente.
b) Calcula las siguientes probabilidades:
,
,
c) Halla la media, la varianza y la desviación:
.
Solución
y
a)
b)
c)
2
4
6
8
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 9
Ejercicio 1.6.
Un concursante del tiro al plato va a efectuar tres disparos seguidos. La probabilidad de que acierte cualquiera de ellos
es de 3/5. Llamamos X al número de aciertos que consigue:
1. Determina el recorrido de la variable X.
2. Determina la distribución de probabilidad de X, utilizando el diagrama de árbol con A=acierta, F=falla
3. Calcula
Solución.
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Página 10
Ejercicio 1.7.
Se extraen, sin reposición, dos bolas de una urna que contiene tres bolas blancas y dos
negras. Se llama X al número de bolas blancas extraídas.
1. Determina el recorrido de la variable X.
2. Determina y representa la distribución de probabilidad de X
3. Calcula
Solución
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2. Variables aleatorias con distribución de Bernoulli.
OBJETIVO 2: Conocer las características y los parámetros de una
Variable Aleatoria Bernoulli
Distribución de probabilidad
0
1-p
0
0.4
1
0.6
1
p
Media:
Varianza:
Variable aleatoria de Bernoulli.
Una Variable Aleatoria de Bernoulli es una variable X que solo toma los valores 0 y 1. La probabilidad p de que X tome
el valor 1 se denomina parámetro de la variable X.
0
1-p
1
p
Ejemplos:
1. Si tenemos una moneda trucada con
4 y
, la lanzamos una vez y llamamos X al número de
caras obtenidas entonces X toma los valores 0 y 1 con probabilidad 0.6 y 0.4 respectivamente.
0
0.6
1
0.4
2. Sabemos que el 5% de las piezas que produce una fábrica son defectuosas. Si escogemos una muestra al azar con una
única pieza y llamamos X al número de piezas defectuosas de la muestra entonces X sigue una distribución de Bernoulli
de parámetro 0,05:
0
0.95
1
0.05
Fórmulas para la media y la varianza una distribución de Bernoulli.
Si una tenemos una variable aleatoria X y su correspondiente distribución de probabilidad:
0
1-p
1
p
Entonces se tiene los siguientes valores para los parámetros de X:
Media o esperanza:
Varianza:
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 12
Ejercicio 2.1.
Se lanza una sola vez una moneda desequilibrada con P(C)=0,60 y se define la
variable aleatoria X que cuenta el “número de caras obtenidas”.
a) Justifica qué distribución sigue la variable X, determina esa distribución y
representa su gráfica.
b) Halla la media, la varianza y la desviación:
, con la definición y con
las fórmulas de la distribución de Bernoulli.
Solución
a)
b)
Con la definición:
0
1
Con las fórmulas:
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 13
Ejercicio 2.2.
Se sabe que el 40% de los habitantes de cierta ciudad consumen diariamente café. Se
pregunta a una sola persona si toma café todos los días. Se define la variable aleatoria X
que cuenta el “número de respuestas afirmativas” obtenido.
a) Justifica qué distribución sigue la variable X, determina esa distribución y
representa su gráfica.
b) Halla la media, la varianza y la desviación:
, con la definición y con las
fórmulas de la distribución de Bernoulli.
Solución
a)
b)
Con la definición:
0
1
Con las fórmulas:
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 14
Ejercicio 2.3.
El director de marketing de un equipo de baloncesto ha calculado que el porcentaje
de seguidores de su equipo en una ciudad es del 35%. Se escoge al azar una sola
persona de esa ciudad y se le pregunta si es o no seguidor de ese equipo. Se define la
variable aleatoria X que cuenta el “número de respuestas afirmativas” obtenidas.
a) Justifica qué distribución sigue la variable X, determina esa distribución y
representa su gráfica.
b) Halla la media, la varianza y la desviación:
, con la definición y con
las fórmulas de la distribución de Bernoulli.
Solución
a)
b)
Con la definición:
0
1
Con las fórmulas:
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 15
Ejercicio 2.4.
Después de realizar varios sondeos sobre cierta población se ha conseguido
averiguar que únicamente el 15% de la misma es favorable a los tratamientos de
psicoterapia. Se pregunta a una sola persona si es favorable o no a dichos
tratamientos. Se define la variable aleatoria X que cuenta el “número de respuestas
afirmativas” obtenido.
a) Justifica qué distribución sigue la variable X, determina esa distribución
y representa su gráfica.
b) Halla la media, la varianza y la desviación:
, con la definición
y con las fórmulas de la distribución de Bernoulli.
Solución
a)
b)
Con la definición:
0
1
Con las fórmulas:
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 16
Ejercicio 2.5.
El 2% de los tornillos que produce una empresa son defectuosos. Se toma al azar
una muestra con un único tornillo y se llama X al número de tornillos defectuosos
de la muestra.
a) Justifica qué distribución sigue la variable X, determina esa distribución y
representa su gráfica.
b) Halla la media, la varianza y la desviación:
, con la definición y
con las fórmulas de la distribución de Bernoulli.
Solución
a)
b)
Con la definición:
0
1
Con las fórmulas:
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 17
3. Variables aleatorias con distribución de Binomial.
OBJETIVO 3: Conocer las características y los parámetros de una
variable aleatoria binomial
y saber calcular su
distribución de probabilidad.
Distribución de probabilidad
0
0
1
2
3
4
0.0625
0,25
0.375
0,25
0,0625
1
2
3
…
n
( )
Media:
Varianza:
Variable aleatoria Binomial
Una variable aleatoria X sigue una distribución Binomial de tamaño n y parámetro p cuando se repite n
pruebas independientes de Bernoulli con media p. En ese caso, se escribe
. Es decir, la variable X
{
}
tomará cada valor k del conjunto
con la siguiente probabilidad:
( )
Donde ( )
( )
( )
Fórmulas para la media y la varianza de una variable aleatoria binomial
Si una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de tamaño n y parámetro p,
su media y su varianza son:
Media o esperanza:
Varianza:
Ejemplo: Se lanza 3 veces una moneda desequilibrada con
“número de cruces obtenidas en esos 3 lanzamientos”.
, entonces
y se define la variable aleatoria X que cuenta el
0
1
2
3
0.216
0,432
0.288
0,064
( )
( )
( )
( )
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 18
Ejercicio 3.1.
Se lanza 4 veces una moneda desequilibrada en la que se obtiene cara el 30% de los
lanzamientos y se define la variable aleatoria X que cuenta el “número de caras obtenidas
en esos 4 lanzamientos”.
a) Justifica si X sigue o no una distribución binomial y, en caso afirmativo, indica cuál.
b) Determina la función de distribución de probabilidad de la variable X.
c) Halla la media, la varianza y la desviación:
, con la definición y con las
fórmulas de la distribución binomial.
Solución
a) Cada lanzamiento es una prueba de bernoulli con
y como los cuatro lanzamientos son
independientes entonces, X = “número de caras obtenidas” sigue una distribución binomial
0
1
2
3
4
0.2401
0,4116
0.2646
0,0756
0,0081
b)
( )
( )
( )
( )
( )
c) Con la definición:
0
1
2
3
4
Con las fórmulas:
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 19
Ejercicio 3.2.
Se sabe que el 40% de los habitantes de cierta ciudad consumen diariamente café. Se
pregunta a una muestra aleatoria de 6 personas si toma, o no, café todos los días. Se define
la variable aleatoria X que computa el “número de personas que responden
afirmativamente”.
a) Justifica si X sigue o no una distribución binomial y, en caso afirmativo, indica cuál.
b) Determina la función de distribución de probabilidad de la variable X.
c) Halla la media, la varianza y la desviación:
, con la definición y con las
fórmulas de la distribución binomial.
Solución
a)
b)
( )
c)
Con la definición
0
1
2
3
4
5
6
Con las fórmulas:
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 20
Ejercicio 3.3.
El director de marketing de un equipo de baloncesto ha calculado que el porcentaje de
seguidores en una ciudad es del 35%. Se realiza una encuesta al azar a 5 personas de esa
ciudad se les pregunta si son o no seguidores de ese equipo. Se define la variable aleatoria
X que cuenta el “número de respuestas afirmativas obtenidas”.
a) Justifica si X sigue o no una distribución binomial y, en caso afirmativo, indica cuál.
b) Determina la función de distribución de probabilidad de la variable X.
c) Halla la media, la varianza y la desviación:
, con la definición y con las
fórmulas de la distribución binomial.
Solución
a)
b)
( )
c) Con la definición:
Con la definición
0
1
2
3
4
5
Con las fórmulas:
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 21
Ejercicio 3.4.
Después de realizar varios sondeos sobre cierta población se ha conseguido averiguar que
únicamente el 15% de la misma es favorable a los tratamientos de psicoterapia. Se
pregunta al azar a una muestra de 6 personas si son favorables o no a dichos
tratamientos. Se define la variable aleatoria X que cuenta el “número de respuestas
afirmativas obtenidas”.
a) Justifica si X sigue o no una distribución binomial y, en caso afirmativo, indica cuál.
b) Determina la función de distribución de probabilidad de la variable X.
c) Halla la media, la varianza y la desviación:
, con la definición y con las
fórmulas de la distribución binomial.
Solución
a)
b)
( )
c)
Con la definición
0
1
2
3
4
5
6
Con las fórmulas:
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 22
Ejercicio 3.5.
El 10% de las tuercas que produce una fábrica son defectuosos. Se escoge al azar una
muestra de 8 tornillos y se define la variable aleatoria X que recoge el “número de tuercas
defectuosas en la muestra”.
a) ¿Qué distribución binomial sigue X? Justifica tu respuesta.
b) Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.
En la muestra, hay cinco tornillos defectuosos.
En la muestra, no hay ningún tornillo defectuoso.
En la muestra, solo un tornillo es defectuoso.
c) Halla la esperanza, la varianza y la desviación de la variable X.
Solución
a) La distribución de X.
b) Algunas probabilidades.
c) La esperanza, la varianza y la desviación.
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 23
Ejercicio 3.6.
En un gran grupo de personas el 60% son hombres y el 40% son mujeres. Se
elige al azar una muestra de 10 personas de ese grupo y se define la variable
aleatoria X que recoge el “número de mujeres escogidas”.
a) ¿Qué distribución binomial sigue X? Justifica tu respuesta.
b) Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.
Se escogieron exactamente 3 hombres.
Todas las personas escogidas eran mujeres.
Se escogió exactamente una mujer.
c) Halla la esperanza, la varianza y la desviación de la variable X.
Solución
a) La distribución de X.
b) Algunas probabilidades.
c) La esperanza, la varianza y la desviación.
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 24
Ejercicio 3.7. (P.A.U.)
La opinión que tiene la población sobre la gestión de su Ayuntamiento es favorable
en el 30% de los casos y desfavorable en el resto. Elegidas 10 personas al azar, halla
la probabilidad de que:
a) Exactamente tres la consideren favorable.
b) Ninguno la considere favorable.
c) Todos la consideren favorable.
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 25
Ejercicio 3.8. (P.A.U.)
Se reparte unas invitaciones a una fiesta, sabiendo que solo el 45% de
los invitados asistirán al acto. Se seleccionan al azar 7 invitados. Halla
la probabilidad de que:
a) Exactamente tres de ellos asistan al acto.
b) Ninguno asista al acto.
c) Todos asistan al acto.
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 26
Ejercicio 3.9. (P.A.U.)
En una ciudad se sabe que la probabilidad de padecer la gripe en el mes de enero es
de y se escoge al azar una muestra de 30 personas de esa ciudad. Se define la
variable X que cuenta el número de personas de la muestra enfermas de gripe pide:
a) Determinar justificadamente la distribución de la variable X.
b) Calcular la esperanza, la varianza y la desviación de la variable X.
c) Calcular la probabilidad de que exactamente ocho personas de la
muestra padezcan la gripe.
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 27
Ejercicio 3.10. (P.A.U.)
En la especie ovina, el color de lana blanco domina sobre el negro. Por ello, al cruzar
una oveja de lana blanca con un carnero de lana negra, la probabilidad de que el
cordero descendiente sea blanco es de 0.75. Si se realizan 8 cruces de este tipo
¿cuál es el número medio de corderos blancos esperado?
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 28
Ejercicio 3.11. (P.A.U.)
El departamento de control de calidad de una determinada marca de CD’s ha
detectado que el 5% de su producción total son defectuosos. En una muestra
aleatoria formada por de 25 CD’s se pide:
a) La probabilidad de que ninguno sea defectuoso.
b) La probabilidad de que exactamente dos sean defectuosos.
c) La esperanza y la desviación típica del número de CD’s defectuosos de la
muestra.
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 29
Ejercicio 3.12. (P.A.U.)
La probabilidad de que una empresa española esté en quiebra es de 0.15. Se realiza
una auditoría a 12 empresas españolas, escogidas al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellas estén en quiebra?
b) ¿Cuál es el número esperado de empresas en quiebra?
c) ¿Y su desviación típica?
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 30
Ejercicio 3.13. (P.A.U.)
El 4% de los CD’s que fabrica una determinada empresa resultan defectuosos. Los
CD’s se distribuyen en cajas de cinco unidades. Calcula la probabilidad de que en
una caja no haya ningún CD defectuoso.
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 31
Ejercicio 3.14. (P.A.U.)
En los concursos de tiro al plato, la probabilidad de que Carlos acierte en el
blanco es de 1/3. En cierto concurso se dispara 12 veces.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que Carlos acierte exactamente cinco veces?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que falle todos los disparos?
c. ¿Cuál es la probabilidad de acierte al menos una vez?
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 32
Ejercicio 3.15. (P.A.U.)
Se consideran las distribuciones binomiales
distribuciones tengan la misma varianza.
Solución: p = 0.07809953780 ; p = 0.9219004621
y
Halla los posibles valores de p para que ambas
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 33
Ejercicio 3.16. (P.A.U.)
En un casino se puede jugar al siguiente juego: el cliente saca una carta al azar de la baraja
española; si es un as, gana y si es otra, pierde. Después de cada extracción se devuelve la
carta. Un cliente decide jugar 15 veces. Se pide:
a) La probabilidad de que se gane exactamente en cuatro ocasiones.
b) La probabilidad de que se pierda las 15 veces que se juega
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 34
Ejercicio 3.17. (P.A.U.)
De una urna con dos bolas negras y una blanca se hacen cinco extracciones con
reemplazamiento (se devuelve la bola después de cada extracción) y se llama X al número
de bolas blancas extraídas.
a) ¿Qué tipo de distribución sigue la variable X?
b) ¿Cuál es su distribución de probabilidad?
c) Calcula su media y su desviación.
d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una bola blanca?
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 35
Ejercicio 3.18. (P.A.U.)
La probabilidad de que en una determinada empresa un empleado no acuda a trabajar
un día es de 0,08. Si en la empresa hay 50 trabajadores, se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que cierto día no falte nadie?
b) ¿Cuál es la probabilidad de cómo mucho hayan faltado a trabajar dos
empleados?
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 36
Ejercicio 3.19. (P.A.U.)
Se sabe que dos de cada ocho habitantes de una ciudad utilizan el transporte público
para ir al trabajo o la escuela. Se hace una encuesta a 140 habitantes de esa ciudad.
Determina:
a) El número esperado de ciudadanos que no utilizan el transporte público.
b) La probabilidad de que exactamente ochenta de los encuestados utilicen el
trasporte público.
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 37
Ejercicio 3.20. (P.A.U.)
Un tratamiento contra el cáncer produce mejoría en el 80% de los enfermos a los que
se les aplica. Se suministra a cinco enfermos y se pide:
a) Calcula la probabilidad de que los cinco pacientes mejoren.
b) Calcular la probabilidad de que, al menos, mejoren tres pacientes.
c) ¿Cuántos pacientes se espera que mejoren?
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 38
Ejercicio 3.21. (P.A.U.)
El 20% de los estudiantes de E.S.O. en España utilizan gafas. Hacemos una selección
aleatoria de 6 estudiantes de E.S.O. y llamamos X al número de estudiantes de la
muestra que tenían gafas. Se pide:
a) Justificar que tipo de distribución sigue la variable aleatoria X.
b) Calcular su media, su varianza y su desviación.
c) Determinar las siguientes probabilidades:
o
o
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 39
Ejercicio 3.22. (P.A.U.)
El 25% de los perros de padres marrones nacen negros. Una pareja de perros marrones
ha tenido 8 crías.
a) ¿Cuál es el número esperado de perros negros?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los cachorros sea negro?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que tengan, al menos, 2 cachorros negros?
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 40
Ejercicio 3.23. (P.A.U.)
Un jugador de ajedrez tiene una probabilidad de ganar una partida de 0,25. Si juega cuatro
partidas, calcula la probabilidad de que gane más de la mitad.
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 41
4. Ajuste de una variable estadística discreta a una distribución Binomial.
OBJETIVO 4: Estudiar las características de una variable estadística
} para construir el modelo
cuantitativa discreta que tome valores {
de distribución binomial
que mejor se ajuste a dicha variable,
calculando el parámetro de la siguiente forma:
̅
(siendo ̅ la media muestral de los datos)
(
0
1
2
3
65
78
43
14
̅
)
Ajuste binomial de una variable estadística.
Si una variable estadística X toma los valores {
de tamaño N, podemos construir un modelo binomial
modo que la media muestral
Para ello, bastará hacer
̅
∑
̅
y la media
y como
del modelo binomial coincidan.
entonces
(
Así pues, el ajuste binomial sería:
} entonces, a partir de las frecuencias absolutas de una muestra
que se ajuste al comportamiento de dicha variable X, de
̅
̅
̅
, de donde:
)
Es decir, a partir de las frecuencias absolutas de una variable estadística X que tome los valores {
X
0
1
2
n
…
f
Construimos un modelo binomial
…
}
con su correspondiente distribución de probabilidad
X
0
1
P(x=i)
2
…
n
…
Variables estadísticas óptimas para el ajuste binomial.
Para que el ajuste binomial de una variable estadística X no presente grandes diferencias con los datos reales de la
muestra aleatoria será necesario que la distribución de esos datos sea similar a alguna distribución binomial.
Variable estadística apropiada para ajuste binomial
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Variable estadística NO apropiada para ajuste binomial
Página 42
Ejemplo 1. Un concesionario de coches abrió 300 días durante el año 2011 y registró,
cada día, el número de coches que se vendieron ese día. Los datos obtenidos se
muestran en la siguiente tabla de frecuencias absolutas:
Nº de ventas
0
1
2
3
4
5
Nº de días
60
108
75
30
21
6
Ajusta la variable estadística X= “Número de ventas diarias” a una binomial
Solución
La distribución de datos indica que la variable X
SI es apropiada para un ajuste binomial.
Como la variable X toma los valores {
tipo
y como ̅
, entonces
} la binomial es del
̅
Su distribución de probabilidad y sus frecuencias esperadas para
una muestra de 300 días serían:
x
f
r
0
48
P(X=0) = 0.1586830255
1
106
P(X=1) = 0.3531385249
2
94
P(X=2) = 0.3143545251
3
42
P(X=3) = 0.1399150198
4
9
P(X=4) = 0.03113715759
5
1
P(X=5) = 0.002771746976
La distribución teórica de los datos es muy
similar a la distribución real de la muestra.
300
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
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Ejemplo 2.
Durante 80 semanas seguidas se anotó el número de días que llovió cada una de
esas semanas. Los resultados obtenidos se presentan en la siguiente tabla de frecuencias
absolutas:
Días de lluvia
0
1
2
3
4
5
6
7
Nº de semanas
24
13
8
6
4
7
8
10
Ajusta la variable estadística X= “Número semanal de días de lluvia” a una binomial
Solución
La distribución de datos indica que la variable X
NO es apropiada para un ajuste binomial.
Como la variable X toma los valores {
del tipo
y como ̅
entonces
} la binomial es
̅
Su distribución de probabilidad y sus frecuencias esperadas para
una muestra de 80 semanas serían:
x
f
r
0
2
P(X=0) =0.03289868946
1
12
P(X=1) =0.1447756660
2
22
P(X=2) =0.2730459629
3
23
P(X=3) =0.2860905040
4
14
P(X=4) =0.1798549423
5
6
P(X=5) =0.06784104989
6
1
P(X=6) =0.01421641979
7
0
P(X=7) =0.001276765481
La distribución teórica de los datos difiere
notablemente de la distribución real de la
muestra.
80
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 44
Ejercicio 4.1.
Se ha contabilizado el número de suspensos obtenidos por cada uno de los
50 estudiantes de 2º de ESO de un centro. Estos son los resultados:
X
0
1
2
3
4
5
6
f
8
16
11
7
4
3
1
Ajusta la variable estadística X= “Número de suspensos de cada alumno” a una binomial
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 45
Ejercicio 4.2. El ayudante de una pediatra de urgencias ha ido anotando los niños
que atendió en su consulta durante los últimos 200 días. Los resultados obtenidos son
estos:
Nº diario de niños
atendidos
0
1
2
3
4
5
6
Nº de días
4
16
24
40
80
30
6
Ajusta la variable estadística:
X= “Número diario de niños atendidos” a una binomial
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 46
Ejercicio 4.3.
Un servicio de 24 horas de atención
telefónica a los clientes atiende un máximo de 10 llamadas
cada hora. Un ordenador se programa para que registre el
número de llamadas atendidas durante cada una de las
150 últimas horas. Los datos que recogió ese ordenador se
resumen en el gráfico adjunto de frecuencias absolutas.
Ajusta la variable estadística X= “Número de llamadas atendidas cada hora” a una binomial
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 47
Ejercicio 4.4.
El Ayuntamiento de un pequeño municipio expide cada día
diferentes documentos. El Alcalde quiere conocer los detalles del volumen de
trabajo que supone la expedición de los mismos y ordena al administrativo
que anote diariamente cuántos documentos se expiden a lo largo de los 300
siguientes días hábiles. En el diagrama de sectores se resumen los
porcentajes obtenidos.
Ajusta la variable estadística:
X= “Número diario de documentos expedidos” a una binomial
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 48
Ejercicio 4.5. Una empresa de análisis de datos recibe el encargo de
averiguar la estabilidad laboral de los trabajadores españoles. Para ello,
realiza un muestreo al azar de 400 adultos a los que les pregunta por el
número de empleos diferentes que han desempeñado a lo largo de su
vida laboral. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla.
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f
32
68
92
88
56
24
20
12
8
Ajusta la variable estadística:
X= “Número de trabajos desempeñados” a una binomial
Solución
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 49
Ejercicios complementarios.
1. Variables aleatorias discretas. Distribución de probabilidad. Media, varianza y desviación.
1.1. Se construye un dado cargado de tal forma que la probabilidad de obtener cada resultado es proporcional al resultado. Calcula las probabilidades de los
sucesos elementales.
1.2. Se lanza una moneda tres veces y se define la variable aleatoria X como el número de cruces obtenido. Halla la función de probabilidad y su representación
gráfica.
1.3. Halla la media, la varianza y la desviación típica de la distribución dada por la siguiente función de probabilidad.
2
0.3
4
0.24
5
0.26
7
0.2
1.4. Se lanzan dos dados cúbicos con las caras numeradas del 1 al 6. Se considera la variable aleatoria X, que asigna a cada elemento del espacio muestral la
diferencia positiva de las caras obtenidas.
a) Representa la función de probabilidad.
b) Halla la media, la varianza y la desviación típica.
c) Calcula P(X<4).
1.5. Las caras de un dado trucado tienen las siguientes probabilidades: P(1) = 0,2 ; P(2) = 0,15 ; P(3) = 0,15; P(4) = 0,15 ; P(5) = 0,1 ; P(6) = 0,25
Halla la media y la desviación típica.
1.6. Un jugador lanza tres monedas. Gana tantos euros como caras obtenidas excepto cuando aparecen tres cruces, que pierde 10 euros. Si X es la variable
aleatoria que indica la ganancia, calcula:
a) El conjunto de valores de la variable aleatoria X.
b) La función de probabilidad de la variable X.
c) La media de la distribución y su desviación típica.
d) ¿Es favorable el juego al jugador?
1.7. Una variable aleatoria X toma los valores 2, 4, 5, 7, 8, 9 con probabilidades 0,15; 0,12; 0,21; 0,25; 0,16; 0,11; respectivamente.
a) Halla la esperanza matemática.
b) Halla la varianza y la desviación típica.
c) Halla:
y
1.8. (PAU) Halla la media, la varianza y la desviación típica de la distribución dada por la siguiente función de probabilidad.
2
0.2
5
0.3
7
0.5
1.9. Sea X una variable aleatoria cuya función de probabilidad dada por la siguiente tabla:
2
0,3
3
0,1
4
0,15
5
0,05
6
0,2
7
0,1
8
0,1
a) Representa gráficamente la distribución de probabilidad.
b) Halla la esperanza matemática.
c) Halla la varianza y la desviación típica.
d) Halla las siguientes probabilidades:
e) Halla la probabilidad de que a lo sumo X tome el valor 4.
f) Halla la probabilidad de que al menos X tome el valor 6.
1.10 (PAU) Un dado ha sido manipulado con el fin de alterar las probabilidades de obtener las diferentes caras. Así, si x representa la puntación alcanzada en
una tirada, se tiene:
Determina k para que la media de X sea 4.
1.11. (PAU) La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta viene dada por la siguiente tabla.
0
0,1
Sabiendo que
1
a
2
b
3
c
4
0,2
, halla la esperanza matemática y la desviación típica de X
1.12 Una urna contiene 3 bolas blancas y 2 negras. Sea la variable aleatoria X = “número de bolas blancas extraídas en cuatro extracciones”, obtén su
distribución de probabilidad, sabiendo que la bola se devuelve a la urna tras cada extracción.
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
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3. Variables aleatorias con distribución de Binomial.
3.1. Un estudio sobre la población activa de una ciudad revela que 4 de cada 15 trabajadores utiliza el metro. Se escoge al azar una muestra formada por 30
trabajadores y se considera la variable que expresa el número de usuarios de metro en dicha muestra.
a) Determina si la variable sigue una distribución binomial.
b) En caso afirmativo, halla los parámetros de la distribución.
3.2. En una distribución binomial de parámetros B(5; 0,3), halla la probabilidad de que la variable X tome los valores 1 y 3.
3.3 (PAU) El 30% de los tornillos de una gran partida son defectuosos. Si se cogen tres tornillos al azar, calcula la probabilidad de que:
a) Los tres sean defectuosos.
b) Solamente dos sean defectuosos.
c) Ninguno de ellos sea defectuoso.
3.4. (PAU) En un grupo de 16 personas, 10 son varones, y 6, mujeres. Se eligen al azar 3 personas del grupo. Calcula la probabilidad de:
a) Seleccionar exactamente dos varones.
b) Seleccionar al menos un varón.
3.5. (PAU) La opinión que tiene la población sobre la gestión de su Ayuntamiento es favorable en el 30% de los casos, y desfavorable en el resto. Elegidas 10
personas al azar, halla la probabilidad de que:
a) Exactamente tres la consideren favorable.
b) Ninguno la considere desfavorable.
3.6. (PAU) Se reparten unas invitaciones sabiendo que el 40% asistirán al acto. Se seleccionan al azar 10 invitados. Calcula la probabilidad de que:
a) Solo tres acudan al acto.
b) Acudan más de tres.
3.7. La probabilidad de que cierto jugador de baloncesto enceste una canasta de tres puntos es de 0,4.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que enceste exactamente dos canastas en seis lanzamientos?
b) ¿Qué probabilidad hay de que enceste al menos una canasta en seis lanzamientos?
c) Halla la media y la desviación típica de esta distribución.
3.8. En una ciudad se sabe que la probabilidad de padecer la gripe en el mes de enero es de . Se escoge una muestra al azar formada por 30 personas. Se pide:
a) Esperanza matemática y su interpretación.
b) Varianza.
3.9. Si se auditan 12 empresas y la probabilidad de que una de ellas esté en quiebra es de 0,15; ¿cuál es el número esperado de empresas en quiebra? ¿Y su
desviación típica?
3.10. Una determinada marca de CD’s ha detectado en su departamento de control de calidad que son defectuosos el 5%. En una muestra formada por 25 CD’s
se pide:
a) Probabilidad de que no haya ninguno defectuoso.
b) La media y la desviación típica de esta distribución.
3.11. (PAU) En una ciudad se han elegido al azar 730 habitantes. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de ellos hayan nacido el 7 de mayo?
3.12. (PAU) Se lanza una moneda cuatro veces. Calcula la probabilidad de que salgan más caras que cruces.
3.13. (PAU) Se lanza una moneda al aire 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos 3 caras?
3.14. (PAU) En un determinado juego se gana cuando al lanzar dos dados se obtiene suma de puntos igual a 10 o más. Un jugador tira en 12 ocasiones los dos
dados. Calcula las siguientes probabilidades.
a) Que gane exactamente en tres ocasiones.
b) Que pierda las 12 veces que juega.
c) Que gane al menos en la mitad de los lanzamientos.
3.15. (PAU) Un examen de opción múltiple está compuesto por 9 preguntas, con 4 posibles respuestas cada una, de las cuales solo una es correcta. Suponiendo
que uno de los estudiantes que realiza el examen responda al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a 6 preguntas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna?
3.16. (PAU) Se extrae una carta de una baraja española y se vuelve a introducir. Se considera la variable X = “número de ases o de oros extraídos”. La
experiencia se repite 8 veces. Se pide P(X = 3) y P(X < 3).
3.17. Una empresa de servicios destinados a los ayuntamientos presenta 20 proyectos cada año en otros tantos municipios. La probabilidad de que uno de sus
proyectos sea aceptado es de 0,3.
a) ¿Cuál es el número esperado de proyectos aceptados anualmente?
b) ¿Cuál es la desviación típica del número de proyectos aceptados?
3.18. En unas elecciones celebradas en un determinado país, la abstención ha alcanzado el 30% del censo electoral.
Si se seleccionan al azar 3 individuos inscritos en dicho censo, ¿qué probabilidad hay de que ninguno haya votado? ¿Y de que solo uno haya votado?
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 51
3.19. La última novela de cierto afamado autor ha tenido un importante éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4
amigos son aficionados a la lectura.
a) Describe la variable que indica el número de individuos del grupo que han leído dicha novela.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la obra 2 personas? ¿Y al menos 2?
3.20 (PAU) Si de 650 alumnos de 1.° de Bachillerato sólo 200 aprueban Matemáticas, halla la probabilidad de que al elegir 5 de estos alumnos al azar:
a) Ninguno apruebe Matemáticas.
b) Aprueben, a lo sumo, 2.
c) Al menos 4 aprueben.
3.21 (PAU) Halla la moda de la distribución de probabilidad
( ) ( )
( )
¿Se trata de una distribución binomial?
3.22 (PAU) Dos jugadores apuestan lo siguiente: el primero, que al lanzar un dado obtiene por lo menos dos seises en 6 tiradas; el segundo, que al lanzar una
moneda 10 veces obtiene por lo menos 7 veces cara. ¿Qué probabilidad tiene cada uno de conseguir su propósito?
3.32 (PAU) Un proceso de producción tiene una proporción de piezas defectuosas del 25%.
a) Si se toman nueve piezas, ¿cuál es la probabilidad de encontrar dos defectuosas?
b) ¿Cuántas piezas, como mínimo, se han de tomar para que la probabilidad de encontrar al menos una defectuosa sea mayor que 0,8?
3.33 (PAU) Vicente hace la compra habitualmente los sábados en un supermercado con buenos precios, pero no muy bien organizado, ya que solo el 90% de los
artículos están marcados. Si el sábado Vicente compró 10 artículos, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de ellos no estuviera marcado? ¿Y de que solo cuatro
estuvieran marcados?
4. Ajuste de una variable estadística discreta a una distribución Binomial
4.1. (PAU) El departamento de calidad de una fábrica de televisores realiza cuatro controles. De 600 aparatos revisados se han obtenido los datos de la tabla
adjunta. Ajusta a esta distribución empírica una distribución binomial y halla las frecuencias teóricas esperadas.
Nº de fallos
Nº de televisores
0
316
1
218
2
58
3
6
4
1
4.2. (PAU) Un jugador de baloncesto realiza 300 series de 3 lanzamientos desde la línea de 6,25, como entrenamiento para el concurso nacional de triples.
En la siguiente tabla se recogen las frecuencias absolutas del número de aciertos en cada serie.
Aciertos
Frecuencias
0
66
1
128
2
87
3
196
a) Ajusta razonadamente la distribución empírica a una distribución binomial.
b) Compara la distribución de frecuencias observada con la que has obtenido en el ajuste.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en la serie 301 de tres lanzamientos el jugador obtenga un 100% de canastas.
4.3. (PAU) A 200 alumnos de 1.° de bachillerato se les hace una de nivel de ortografía consistente en un dictado. Los datos obtenidos están en la siguiente tabla:
Nº de fallos
Nº de alumnos
a)
b)
0
65
1
78
2
43
3
14
Ajusta razonadamente esta distribucion a una binomial.
Compara la distribución de frecuencias observada con la obtenida en el ajuste.
4.4 (PAU) Un aparato electrónico tiene tres componentes iguales que funcionan independientemente. En la tabla se han anotado las frecuencias absolutas de
los componentes que fallan en 500 aparatos.
0
1
2
3
359
126
15
0
a)
b)
Ajusta los datos a una binomial, calculando las frecuencias teóricas.
¿Cuál es la probabilidad de que fallen al menos dos componentes?
4.5 (PAU) Quinientos opositores han participado en una prueba escrita que consta de 3 ejercicios. Los resultados obtenidos son los que figuran en la siguiente
tabla.
Nº de ejercicios aprobados
Nº de opositores
0
136
1
223
2
120
3
21
Ajusta a esta distribución empírica una distribución binomial y halla las frecuencias teóricas esperadas.
DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.
Página 52
