A04: Guía de Ejercicios: Programación Lineal 1. Una empresa que produce dos tipos de láminas, las que reportan 8,000 y 6,000 U.M., respectivamente por cada metro producido. El proceso consta de una etapa previa de acondicionamiento del acero, otra de laminado propiamente dicho, y una tercera de pulido de la superficie resultante, disponiéndose diariamente para cada actividad de un número de horas limitado. Las horas requeridas por unidad de producto y las horas totales diarias disponibles para cada actividad se muestran en la tabla adjunta: Etapas del Proceso Acondicionamiento Laminado Pulido Horas Requeridas por Horas unidad de producto Totale Laminado 1 Laminado 2 s disponibles 4 2 60 2 4 48 6 2 76 En principio no existen limitaciones de material, si bien la empresa está obligada a producir al menos un metro de laminado 1, y un metro también de laminado 2 diariamente con objeto de generar una rentabilidad mínima. Por el contrario, debido a acuerdos en el sector siderúrgico de control de la competencia, no puede producir más de 15 metros diarios de laminado 1, ni más de 5 metros diarios de laminado 2. a) Con los datos anteriores calcular la programación de producción que maximiza los beneficios de la empresa. La máxima producción se da con producir 11 de la lámina 1 y 5 de la lámina 2. 25-5-2022 A04: Guía de Ejercicios: Programación Lineal 25-5-2022 b) Suponiendo que interesara contratar más horas diarias de las actividades del proceso, ¿cuál sería el valor máximo que se pagaría por cada hora adicional? El valor máximo que se podría pagar es de 1333.33 2. Se ha desarrollado una nueva Motocicleta. Como parte de la campaña de mercadotecnia, la compañía ha desarrollado una presentación de ventas en video que se enviará a compañías que hacen envíos se refiere a estos dos mercados objetivo como mercado de clientes actual y mercado de clientes nuevo. LAS EMPRESAS que reciban el nuevo video promocional también recibirán un cupón para un recorrido de prueba del nuevo modelo, durante un fin de semana. Un factor clave en el éxito de esta nueva promoción es la tasa de respuesta, es decir el porcentaje de individuos que reciban la nueva promoción y hagan el recorrido de prueba del nuevo modelo, se estima que la tasa de respuesta para el mercado de clientes actual es de 25% y para el mercado de cliente nuevo es de 20%. La tasa de ventas es el porcentaje de individuos que reciba la nueva promoción, haga el recorrido de prueba y efectúe la compra. Los estudios de investigación de mercado indican que la tasa de ventas el de 12% para el mercado de clientes actual y de 20% para el mercado de clientes nuevo. El costo de cada promoción, excluyendo los costos de recorrido de prueba, es de 5 dólares por cada promoción enviada al mercado de clientes actual y de 4 dólares por cada promoción enviada al mercado de clientes nuevo. La administración también ha decidido que se deberá enviar la nueva promoción a un mínimo de 30,000 clientes actuales y a un mínimo de 10,000 clientes nuevos. Además, el número de clientes actuales que haga el recorrido de prueba de la nueva motocicleta debe ser de por lo menos el doble del número de clientes nuevos que hagan recorrido de prueba de la nueva moto. Si el presupuesto de mercadotecnia, incluyendo los costos del recorrido de prueba, es de 1’200.000 dólares. Formule un modelo matemático que describa la situación anterior. Cliente Actual (X1) 25% 12% $5 30,000 2 Cliente Nuevo (X2) 20$ 20% $4 10,000 1 <- Tasa de respuesta <- Tasa de ventas <- Costo de promoción <- Clientes mínimos <- Clientes que hagan la prueba A04: Guía de Ejercicios: Programación Lineal Z= 0.12X1 + 0.20X2 25-5-2022 Modelo Matemático Función objetivo 5X1 + 4X2 + 0.5X1 + 0.2X2 ≤ 1,200,000 X1 ≥ 30,000 X2 ≥ 10,000 X1 & X2 ≥ 1 Restricción de costos Restricción de clientes actuales mínimos Restricción de clientes nuevos mínimos Restricción de no negatividad 3. Un granjero puede criar ovejas, cerdos y ganado vacuno. Tiene espacio para 30 ovejas, o 50 cerdos, o 20 cabezas de ganado vacuno, o cualquier combinación de estas (con la siguiente relación), 3 ovejas, 5 cerdos o 2 vacas usan el mismo espacio. Los beneficios (utilidades) dadas por animal son 500, 500 y 100 soles por ovejas, cerdos y vacas respectivamente. El granjero debe criar por ley, al menos tantos cerdos como ovejas y vacas juntas. La solución es criar 50 cerdos. A04: Guía de Ejercicios: Programación Lineal 25-5-2022 4. Una compañía desea invertir Lps.400,000 en publicidad. Se desea llegar a la mayor cantidad de clientes potenciales utilizando a lo sumo la cantidad señalada. Las opciones consideran colocación de anuncios en periódicos, radio y televisión. Se tiene que: Costo por anuncio Núm. de personas alcanzadas/anuncio Núm. de personas en el rango /anuncio Núm. de hombres mayores de 25 años/anuncio Máximo número de anuncios disponibles Mínimo número de anuncios Núm. total de personas/anuncio Prensa (1) 10000 10000 7000 5000 0 100000 Radio (2) 4000 3000 1000 500 100 7 380000 TV (3) 100000 75000 50000 25000 20 2 630000 Los objetivos de la compañía son: 1. Llegar a no menos de 3000 personas en el área. 2. Por lo menos el 50% de esas personas debe estar en el rango establecido. 3. Llegar a no menos de 100000 hombres mayores de 25 años. La solución optima es 6 anuncios de Prensa, 33 anuncios de radio y 2 anuncios de TV. A04: Guía de Ejercicios: Programación Lineal 25-5-2022 5. Un fabricante de refrescos produce tres modalidades (A, B y C), cada una en su propio formato: de 3 litros, 2 litros y 1 litro, respectivamente. Este fabricante está comprometido a entregar a un gran distribuidor (su único cliente) exactamente 20000 litros diarios de refrescos. Dispone de 25000 gramos diarios de un saborizante del que cada modalidad consume por botella: la botella de 3 litros, 2 gramos; la de 2 litros, 3 g; y la de un litro, 4 g. Conocidos los datos económicos de A, B y C, y siendo Xj los miles de botellas de la modalidad j a envasar diariamente, la fábrica ha planteado el siguiente modelo de programación lineal (c y b están expresados en miles): X1= Miles de botellas a fabricar 3 litros X2= Miles de botellas a fabricar 2 litros X3= Miles de botellas a fabricar 1 litros Max Z= 5X1 + 6X2 + 8X3 S.A 2X1 + 3X2 + 4X3 <= 25 Gramos de saborizante 3X1 + 2X2 + X3 = 20 Litros de Refresco X1, X2, X3≥ 0 Iteration 4 8 5 VAR.BAS Variable X1 X2 X3 Constraint 1 Constraint 2 SOLUCION X3 X1 Zj Cj-Zj Value 5.5 0 3.5 Dual Value 1.9 .4 X1 X2 X3 S1 R1 0 1 5 0 0.5 0.5 6.5 -0.5 1 0 8 0 0.3 -0.1 1.9 -1.9 -0.2 0.4 .4 -0.4 3.5 5.5 55.5 Reduced Cost 0 .5 0 Slack/Surplus 0 0 Original Val 5 6 8 Original Val 25 20 Lower Bound 4 -Infinity 7 Lower Bound 13.33 6.25 Upper Bound 24 6.5 Infinity Upper Bound 80 37.5 A04: Guía de Ejercicios: Programación Lineal 1. A la empresa le preocupa la posibilidad de que su proveedor de tapones (iguales para las tres modalidades) restrinja su suministro a un máximo de 6000 tapones diarios. Como ejercicio de postoptimizacion, introducir esta nueva restricción y determinar su repercusión. No afectó la solución inicial. 2. Mediante el correspondiente análisis de sensibilidad, determinar la repercusión en el PRECIO de envasado de posibles cambios en los precios de venta de las dos modalidades de menor capacidad, B y C (X2 y X3), cuanto pueden variar cada uno de ellos. La bebida B no se produce, pero su precio puede ir entre 0 y 6.5. La bebida C puede tener un precio entre 7 e infinito. 3. Determinar la validez del plan de producción ante posibles variaciones en la demanda total de refrescos, cuanto puede variar que se traducirían en un mayor o menor volumen a entregar diariamente al distribuidor, utilizando el análisis de sensibilidad. La producción puede variar entre 6.25 y 37.5 litros, y el plan seguiría siendo valido. 25-5-2022 A04: Guía de Ejercicios: Programación Lineal 4. El producto de 3 litros (modalidad A, X1) puede estar especialmente afectado por los cambios en los mercados de refrescos y materias primas. Mediante el análisis de sensibilidad, analizar el conjunto de diferentes planes de envasado y sus resultados en función de cualquier valor no negativo de la contribución unitaria al beneficio del producto A. Posibles soluciones consisten en aumentar la producción e incrementar el precio para hacerle frente a los cambios del mercado. Los precios tienen un rango de 4 hasta 24 UM, y la producción puede ir desde 6.25 hasta 37.5. 5. ¿Cuánto se puede pagar por un gramo adicional de saborizante, y cuantos gramos más se pueden comprar? Se pueden comprar 60 gramos más y se puede pagar un precio de 1.9 UM. 25-5-2022 A04: Guía de Ejercicios: Programación Lineal 25-5-2022 6. Una empresa elabora tres tipos de bebidas utilizando zumo de piña y zumo de melocotón. El dueño de la empresa ha comprado 1.500 litros de zumo de piña y 2.000 de zumo de melocotón. Los litros de zumo requeridos en la fabricación de cada bebida vienen dados en la tabla siguiente. Zumo de piña Zumo de melocotón Bebida 1 6 2 Bebida 2 3 3 Bebida 3 3 4 El precio de venta de cada bebida es 15 euros el litro. El coste del zumo de piña es de 1 euro el litro y 2 euros el litro de zumo de melocotón. Se conoce que la demanda de bebidas asciende a 400 litros. Max= 5 𝑋1 + 6 𝑋2 + 4 𝑋3 Sujeto a: 6𝑋1 + 3 𝑋2 + 3 𝑋3 ≤ 1500 Zumo de piña 2𝑋1 + 3𝑋2 + 4 𝑋3 ≥ 2000 Zumo de melocotón 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 ≥ 400 Demanda de bebida 𝑋1,𝑋2, 𝑋3 ≥ 0 Nota: utilice el software y obtenga la solución optima y la matriz de rangos, con ello responda las siguientes preguntas: A04: Guía de Ejercicios: Programación Lineal 25-5-2022 a) El plan de trabajo si en lugar de disponer de 1500 litros de zumo de piña dispusiera únicamente de 1200. ¿Qué tipo de solución se obtiene? Solución INFACTIBLE b) Indique como se vería afectado el plan de trabajo si el contrato con los proveedores de Zumo obligara a utilizar los 1500 litros de zumo de piña. No hay sobrante c) Identificar el rango de valores para el margen de utilidad de la bebida 2, dentro del cual resulta interesante producir y vender dicho producto. 4, infinito d) Sí un cliente importante solicita se le que produzca 100 unidades del producto 3 que sucedería con la utilidad como se verá afectada. La utilidad aumentaría. e) ¿Cuánto deberá ser la ganancia de X1 para poderse producir? 20, infinito f) ¿Cuáles son los recursos más limitados y por qué? Jugo de piña y Jugo de melocotón, porque en la tabla de rangos no hay sobrantes. g) ¿Cuánto se puede pagar por cada uno de ellos si se quiere comprar? Por el zumo de piña se puede pagar 4 UM y por el zumo de melón se puede pagar 2 UM. h) Se está pensando en producir un nuevo artículo cuya utilidad es 6 Lps. y requerimiento de recursos es 1,1,1. ¿Conviene producirlo? No conviene producirlo.
