MÉTODO DEL MAPA DE KARNAUGH OBJETIVOS Aplicar Mapas de Karnaugh para simplificar funciones Booleanas CONTENIDOS -Mapas de Karnaugh para 2,3 y 4 variables MÉTODO DEL MAPA DE KARNAUGH El método del mapa de Karnaugh es un método gráfico para simplificar expresiones booleanas de seis o menos variables expresadas en forma de suma de productos y que representan circuitos combinacionales. Un mapa de Karnaugh ( mapa K ) es un diagrama que consiste en cuadrados. Si la expresión booleana contiene n variables, el mapa K correspondiente tendrá 2 n cuadrados, cada uno de los cuales representa un minitérmino. Se coloca un "1" en el cuadrado que representa un minitérmino si éste se encuentra presente en la expresión dada. Se pone "0" en el cuadrado que corresponde al minitérmino no presente en la expresión. La expresión booleana simplificada que representa la salida se obtiene entonces al combinar o al agrupar cuadrados adyacentes que contienen el número 1 . Lo cuadrados adyacentes son aquellos que representan minitérminos que difieren sólo por una literal. Para identificar celdas (cuadrados) adyacentes en el mapa K con el fin de realizar el agrupamiento, deben tenerse en cuenta los siguientes puntos: 1.El número de celdas en un grupo debe ser una potencia de 2, esto es, 2,4,8,16, etc. 2.Una celda que contenga un 1 puede incluirse en cualquier número de grupos. 3. Para minimizar la expresión al grado máximo posible, deben preferirse los grupos más grandes que puedan formarse. Es decir, no debe considerarse un grupo de dos celdas, si estas celdas pueden incluirse en grupo de cuatro celdas, etc. 4. Existen celdas adyacentes no sólo dentro del interior del mapa K , sino también en los extremos de cada columna y de cada renglón; es decir, la celda superior en cualquier columna es adyacente a la celda inferior en la misma columna. La celda más a la izquierda en cualquier renglón es adyacente a la celda más a la derecha en ese renglón, tal como se observa en las figuras. (d) Todas la formas posibles de lazos simples de cuatro celdas para cuatro variables (e) Todas la formas posibles de lazos simples de ocho celdas para cuatro variables Los mapas de Karnaugh para 2 y 3 variables en dos formas para cada una de ellas se indica en las figuras. Los minitérminos que representan las celdas se escriben dentro de estas mismas. DEFINICIONES 1.Un minitérmino de n variables booleanas es un producto booleano de las n literales en las cuales cada literal aparece una vez. Por ejemplo: ab, a ' b, ab' y a ' b' forman el conjunto completo de minitérminos de dos variables a y b 2. Un maxitérmino de n variables booleanas es una suma booleana de las n literales en las cuales cada literal aparece exactamente una vez. Por ejemplo: a b, a 'b, a b' y a 'b' forman el conjunto completo de maxitérminos de dos variables a y b 3. Cuando una función booleana se expresa como un producto de maxitérminos, recibe el nombre de suma de expansión de productos o se dice que está en forma normal conjuntiva (FNC) 4. Cuando una función booleana se expresa como una suma de minitérminos, recibe el nombre de producto de expansión de sumas o se dice que está en forma normal disyuntiva (FND) 5.Se dice que la función booleana expresada en la FND o la FNC está en forma canónica 6. Si una función booleana en n variables se expresa como la suma (producto) de todos los 2 n minitérminos (maxitérminos), se dice que está en FND completa (FNC completa) 7. Se dice que las funciones booleanas expresadas en FND completa o en FNC completa están en forma canónica completa. EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN BOOLEANA EN FORMA CANÓNICA 1.Método de la tabla de verdad Por ejemplo, Considere una función booleana f ( x, y, z) cuya representación en la tabla de verdad se da de la siguiente manera: x 1 1 1 1 0 0 0 0 y 1 1 0 0 1 1 0 0 z 1 0 1 0 1 0 1 0 f 0 1 1 1 0 0 0 0 Luego, f (x, y, z) xyz'xy ' z xy ' z' está en su FND La FNC de f es el producto booleano de los maxitérminos correspondientes a las literales en esos renglones. Mientras se forma el maxitérmino correspondiente a un renglón, la entrada 0 se sustituye por la variables correspondiente y la entrada 1 por el complemento de la variable respectiva. Por lo tanto , en el ejemplo se tiene que f (x, y, z) (x' y'z' )(x y'z' )(x y'z)(x y z' )(x y z) está en su FNC 2. Método algebraico Expresar f (x, y, z) x( y'z' ) en FND Solución f (x, y, z) x( y'z' ) f (x, y, z) xy ' xz ' f (x, y, z) xy ' (z z' ) xz ' ( y y' ) f (x, y, z) xy ' z xy ' z'xz ' y xz ' y' f (x, y, z) xy ' z xy ' z'xyz' Expresar f (x, y, z) x( y'z' ) en FNC Solución f (x, y, z) x( y'z' ) f (x, y, z) (x yy' )( y'z'xx ' ) f (x, y, z) (x y)(x y' )( y'z'x)( y'z'x' ) f (x, y, z) (x y zz' )(x y'zz' )( y'z'x)( y'z'x' ) f (x, y, z) (x y z)(x y z' )(x y'z)(x y'z' )(x y'z' )(x' y'z' ) f (x, y, z) (x y z)(x y z' )(x y'z)(x y'z' )(x' y'z' ) FNC Mapas de Karnaugh para 2 variables Simplificar las siguientes funciones booleanas usando el Mapa de Karnaugh 1. F x' y' x' y xy Solución F x' y'x' y xy F x' y Verificación F x' y'x' y xy F x' ( y' y) xy F x'.1 xy F x' xy F (x'x)(x' y) F 1.(x' y) F x' y …..Distributiva …..Complemento …..Identidad …..Distributiva …..Complemento …..Identidad 2. F x' y' xy ' xy Solución F x' y'x' y xy F y' x Mapas de Karnaugh para 3 variables F x' y' z'x' yz'x' y' z x' yz xy ' z z F x' y' z'x' yz'x' y' z x' yz xy ' z z(x x' ) F x' y' z'x' yz'x' y' z x' yz xy ' z zx zx' F x' y' z'x' yz'x' y' z x' yz xy ' z zx( y y' ) zx' ( y y' ) F x' y' z'x' yz'x' y' z x' yz xy ' z zxy zxy'zx' y zxy' Simplificar las siguientes funciones booleanas usando el Mapa de Karnaugh 1. F x' y' z'x' yz'x' y' z x' yz xy ' z Solución F x' y' z'x' yz'x' y' z x' yz xy ' z F x' y' z Verificación F x' y' z'x' y z'x' yz x' y' z x' yz xy ' z F (x' y' z'x' y' z) (x' yz'x' yz) xy ' z … Asociativa F x' y' (z'z) x' y(z'z) xy ' z …..Distributiva F x' y' (1) x' y(1) xy ' z …Complemento F x' y'x' y xy ' z ……Identidad F x' ( y' y) xy ' z ……Distributiva F x' (1) xy ' z ……Complemento F x' xy ' z ……Identidad F (x'x)(x' y' z) ……Distributiva F (1)(x' y' z) ……Complemento F x' y' z ……Identidad 3. F x' yz'x' y' z'xyz'x' yz xyz xy ' z Solución F x' yz'x' y' z'xyz'x' yz xyz xy ' z F y x' z' xz 4. F xy ' z x' y' z'x' yz'x' y' z x' yz xy ' z' Solución F xy ' z x' y' z'x' yz' x' y' z x' yz xy ' z' F x' y' 5. F x' y' z x' yz'xyz'x' yz xy ' z Solución F x' y' z x' yz'xyz'x' yz xy ' z F yz' x' y y' z Mapas de Karnaugh para 4 variables Simplificar las siguientes funciones booleanas usando el Mapa de Karnaugh 1. F a' bc' d abc' d'a' b' c' d abc' d ab' c' d a' b' cd abcd abcd Solución F a' bc' d abc' d'a' b' c' d abc' d ab' c' d a' b' cd abcd abcd F a' bc' d abc' d'a' b' c' d abc' d ab' c' d a' b' cd abcd F c' d abc'abd a' b' d Verificación F a' bc' d abc' d'a' b' c' d abc' d ab' c' d a' b' cd abcd abcd F a' bc' d abc' d'a' b' c' d abc' d ab' c' d a' b' cd (abcd abcd ) F a' bc' d abc' d'a' b' c' d abc' d ab' c' d a' b' cd abcd F a' bc' d abc' d'ab' c' d (a' b' c' d a' b' cd) (abc' d abcd ) F a' bc' d abc' d'ab' c' d a' b' d(c'c) abd(c'c) F a' bc' d abc' d'ab' c' d a' b' d(1) abd(1) F a' bc' d abc' d'ab' c' d a' b' d abd F (a' bc' d abd) (ab' c' d a' b' d) abc' d' F bd(a' c'a) b' d(ac'a' ) abc' d' ….. Idempotencia …..Asociativa …..Distributiva …..Complemento ….Identidad ….Asociativa ….Distributiva F bd(a c' )(a a' ) b' d(a 'c' )(a'a) abc' d' F bd(a c' ) b' d(a 'c' ) abc' d' F abd bc' d a' b' d b' c' d abc' d' F (abd abc' d' ) (bc' d b' c' d) a' b' d F ab(d c' d' ) c' d(b b' ) a' b' d F ab(d c' )(d d' ) c' d(b b' ) a' b' d F ab(d c' ) c' d a' b' d F abd abc'c' d a' b' d ….Distributiva ….Complemento, identidad ..Distributiva …..Asociativa Distributiva Distributiva Complemento, identidad Distributiva 2. F a' b' c' d'a' b' c' d a' b' cd'a' bc' d a' bcd abcd abc' d ab' c' d'abcd 'ab' cd' Solución F a' b' c' d'a' b' c' d a' b' cd'a' bc' d a' bcd abcd abc' d ab' c' d'abcd 'ab' cd' F b' d'bd abc a' c' d 3. F ab' cd ab' c' d a' b' c' d a' b' cd a' bc' d abc' d'abc' d abcd Solución F ab' cd ab' c' d a' b' c' d a' b' cd a' bc' d abc' d'abc' d abcd F b' d c' d ad abc' Ejercicios 1. Dada la tabla de verdad, escribir la función booleana canónica y simplificarla x y F 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 Simplificar las funciones booleanas usando mapas de Karnaugh 2. F xyz'xy ' z'x' y' z x' yz 3. F xyz'xy ' z'x' y' z'x' y' z 4. F x' y' z x' yz x' yz'xy ' z xyz 5. F xy ' z'xy ' z'x' y' z x' yz' 6. F a ' bc abc ab' c'abc' 7. F a' b' c abc ab' c'a ' b' c'a' b' c 8. F ab' c'abc'abc ab' c a' b' c 9. F ab' c'abc'a ' bc a' b' c a' b' c ab' 10. F ab ab' c'a ' b' c 11. F ab'ab' c'a ' b' c a ' (ab a ' ) 12. F x' yz xz y' z 13. F ab' c'ab' c abc'a' bc' 14, F a ' b' c a' bc ab' c abc abc' 15. F a' b' c'a' b' c ab' c'ab' c abc' 16. F a' b' c'a' bc a' b' c ab' c abc'abc 17. F a 'b'c'a (b.a ' )'abc 18. F a' b' c' d'a' bc' d a' b' cd'a' bcd'ab' c' d'ab' cd 19. F a' b' c' d a' bc' d'a' b' c' d'a' b' c' d'ab' c' d'ab' c' d 20. F a' b' c' d'a' bc' d'a' b' c' d a' bc' d a' bc' d a' b' c' d a' bcd a' b' cd'a' bcd'ab' c' d 21. F a' b' c' d'a' bc' d'a' bcd'a' bcd'ab' c' d'ab' c' d 22. F a' b' c' d'a' b' c' d'abc' d'abcd abcd abcd 'a' b' cd ab' cd'ab' c' d'ab' cd' 23. F c' db'ab' cd'ab' c' d'abc' d'b' cd ab' 24 F ac' d ab' cd'ab' c' d'abc' d'bcd 25. F a' b' cd a' bcd ab' cd ab' cd a' b' cd'a' bcd' 26. F a' b' cd'ab' cd'abcd 'abc' d abc' d abc' d' 27. F a' b' c'a' b' cd'a' bc' d'abcd 'ab' c' d'ab' c' d' 28. F a ' b' c a ' c(b'c'ac' ) ab' c'abc 29. F a' b' c' d'a' bc' d'a' b' cd'a' b' c' d'ab' c' d'ab' c' d' 30. F b' d' (a ' c ac) a ' bc' d bcd(a 'a) a ' b' c' d'abcd ' CONCLUSIONES -El mapa de Karnaugh sirve para simplificar funciones booleanas de manera óptima REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS - Rosales, D. Introducción a la lógica (3ª ed.). Amaru Editores, Lima, 1994. Recuperado de file:///C:/Users/David/Downloads/Introducci%C3%B3n%20a%20la%20l%C3%B3gica%2 0(%20PDFDrive.com%20)%20(3).pdf - Floyd, T. Fundamentos de sistemas digitales (9ª ed). Prentice Hall, Madrid, 2006. 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