ww
w
.
M
at
em
at
ic
a1
. co
m
ww
w
.
M
at
em
at
ic
a1
. co
m
ww
w
.
M
at
em
at
ic
a1
. co
m
..
Lun ¡(x):= L (::) 'VV(L). 3V,'(x,) I ¡[Dum(/)
" , '
n
.
V&"(xJl e V(L)
ocquivalentcmcntc:
t llll
.-~
f(t):= L ~ 'VE>O. 3lbO I VtE v 6 +(..\,)
Ü~ (lR.~ERY¡\·C I_()Ñi7 ·
ÚJ
=
f(x)
E
·
V(L)
~lecdt111 de la Ó apropiada
En general, como ya saocmos , la ellx:ción de Ó depende de la
Par(l demostrar 1(1 existencia de un limLtt.~ necesitamos pJllhar que dado
cualquier E >0, podemos encontrolr una Ó > O. tal (IUe
clcccílÍn previa de
f.
ww
w
.
M
at
em
at
ic
a1
. co
m
ww
w
.
M
at
em
at
ic
a1
. co
m
Si :-.e utili i'.a esta 5, entonces se tiene el !<oiguiente argumentn
O<lx -21< 5 =)lx+4[<7 y Ix-2 1 <rfl
Multiplicando mit'mbro a miembro el conseCUl.'nll.' obtenl.'mClS
0< Ix -2 1<¿J q Ix+41 Ix-21 <7(ifl)
t;;;;;) Ir+2x-Sl < €
=>l<r+2x-1}-71<t
F.o COIlM:CUl.'llcia ~ ha lkmOMradu que pilla cUalljUil.'f E > O. la elt:t,:cióll de ti
hace verdadera la proposición (rr). I:sto dcmue..;lra que: lim (r + 2x- 1) == 7
=min {I • V7}
'" ,
~ Delll<l<.;trarquc:~~~(~_~~)
Demostración
•
=-3
Según In Definición 2.6, tlchcmos probar que
(\fE>O. 35>0) 1 sixe Dom(f):;;: IR - {O. 112}. Y si
O < Ix _0 1 < wti
l.
I
12x + 3 - (- 3) «
q
ww
.
M
2x - 1
(a)
Para hallar 5 en lénninoJ. de E partiremos tic I f(x) - L I pam tran..;fomwla en olra que
contenga a lo!> factores Ig(x) 1y Ix - O I
I-t~
f + 31 = 812.,a~te1[x I = S [g(x) Ilx I
m
0< [xl < ó =) Slg(x)[ Ixl
Luego. en (a):
( ')
at
ic
2. Por hipótcsislxl < 5. falta por acotar la función g(x) = 2)."1- I • esto es. hallar un núme-
ro M > O tal que I g(x) I :s M . Como la gráfica de f(x) tiene unaasfntota en x = 112 cereann
a Xo = () , se debe imponer una restricción a 5 con el fin de obtener una desigualdad que
contenga el factor I g(x) [ . ~Io se logra eligiendo
!
BI :;;: tia - XoI :;;:
3. Si Ixl< Ss BI => Ixl < ~
1
4
.
1
~
-
01 =
t
-2 <
2.l'- I
<-
j
t;;;;;)
q
Ixl
< 6 r:::::>
S(2)lx l <
m
12./- 1I < 2
l g(x) I <2==M
E
<=> I x l < u l6 = 62
Por tanto .eligiendo Ó... min {1/4. e1 16} se tiene el argumento
olxl<o
c>
1-'--1< 2
r:::::>
Iz.,}_lllxl < 2(dI6)
2x- ,
. co
1 (.::) -3 <2x-l<--I
4
2
• 2
~ - -<x<-
~
4. Ahnr.l,en(l): 0<
a1
y Ixl
< "'16
(J\"IU U)
~ 812x~
.llxl <
16(ElI6)
~
"" 12x+3
-<-3)1 <
2x- 1
lo que har.:e verdadera la
~
Venwslrodón
prn~ici(íll (a) ~ !~~ ( ~ ~
Demostrar que
SijLt) -
E
= -3
!~~ (!xl _~ _3) = - I
2r~-3
-- (x+
1 ~-3) . .l:'>!'- I .x~3/2 . dcbcmos lnobarquc;
( V E'> O • 3 lb O)
I :.i x E
0 < lx -U di
l~
g
i)
Dom(/) = IR:. { - 1 • 1 .3J2} Y ~j
·(·I}I<
€
(a)
l. Pam determinar Ben Il:rmwinos
w de € partire mos oc I f(x)· L I par.:! Ir..tnsfunnarla en o lra que
M
contenga a los factores I g(x)wI y
.
2x
1ir-x-3
+
'1
=
Ix -
atIx+1112x-31
em
at
ic
a
1 (2x+])(x-1) 1
(x+I){2x-3)
11.
12x+31
=
1
11
.l-
= 'g(x)"x-I'
Ig(x}llx-11
Rúsqut:t!a de una eS Hpropiada para acotar I g(x) I
Luego.cll(a):
2.
Comox + 1
0< Ix-II < eS
o:::::)
< E
=(J y 2r - 3 =Own d\ls a~fntotas verticales de la gráfica de f. siendo x= 3f2 el
<! (: :1
) ~. c x < ~
o
punto más cercano de .lo = 1, el supuesto B lo elegimos de : O=
3. Si
Ix- II < O :$ 6
1 o:::::)
Ix - 1I <
De aqui acolarcmm; eada uno de
~
(;::;1 -
~
l (l~
lénninos de glx)
< x- I
~ la - .lo' =
-! I~ -11 =
<
a) 1< 2x< 1. ~ ~ < 2x + 3<.!! ~ 12x+31< JI
2
·2
2
2
2
3
5
3
I
I
2
b) :i <2x< -2 ~ -"2 <2x-3<-"2 ~ -2< -2.%-3 <-"3
el
(1)
m
""1 __' 1<2
2x - 3
2<x +I <2. ~ 4<_'~<1 ~ 1 _l~I<4
4
4
q
x+ 1
7
x+1
7
Enlum:cs:
I g(x) 1 =
(4)
44 =M
12x +2x-J
3 1 I < (")
Ix +III
2" (2) "7 ~ 1g(x) I < 7"
4. Luego cn(l ): 0< I x- II < li
~ (~)l x- ll <E
~ Ix-11 < 7r.J44 "" B~
*
ww
w
.
M
at
em
at
ic
a1
. co
m
11'.·21 < +}E
=>
Eligiendo S
S,
=
= min{ I , I2VJ3} se tienr: d argumento
I
O<lx-21<Sc)14+ -x+2
- I<!l
3
= 1.14+_'_1<
4
x+2
Ix-21<Qe
y
13
Y 11'.-21< 1,2
3
13
12
E
= lI4+
_ '_ IIX_21< (!~\('2E)
4
1'.+2
121 13
~
1r+4x+3
- 111 <
1'.+2
4
=
E
(xl +41'.2+
J)
x+
Sccumplc la proposición (a), lo que dcmuestmquc ¡im
. ... 2
~
~
Demostración
Dl.'ffiuéstrcsc que: lim (
ww
w
.
M
Sea ¡(x) = _~
= 15
""4
•
~_, ) =J
"\",-3
•• 4
<=> Dom(]) = (3 .... 00)
. . .1'.-3
Entonces. probaremos que si
at
em
lim (_ 1_) = I (::) ("[>0. 3lbO) I¡;ix€ Dom(f) = (3 ,+<><>}.ysi
..... 4
..,¡x:-j
U<lx-41<¿¡
~ l~
at
ic
-1 1<E
(a)
a1
l. Para determinar Sen términos de E partiremos de 1/(1'.) - LI
=
If(X)-'I=I --' - '1 = 1-,-"h-31 = 1-4-x
~
.,JX:3
~ (1 + ...rx+3)
.
1
co de las barra.~ de valor
Como el denominador es positivo'" x e Dom(f). podemos prescindir
m
absoluto y escrihir
If(x)-,I= ~
'~ Ix -41 = g(x) lx-41
1'.-3 (1 + x-3)
(1)
l.uego,cn(a): 0< 11'.-41 <8 <=> g(x) 11'.-41 <E
2. Bú.~ueda de una Bapropiada pam acolar g(x)
_~ y h(x) =
ycomof(x)
"\'x - 3
I+ . . .N
es una función que contiene un radical de índice par • el acotamiento de h(x) lo haremos a
partir del Dllm({). esto es .:-,i
Ohsérvcscqucg(x)csdproductodc f(x) =
x>3
c::)
,r:r::3
>0
c::)
1+ ~ > I ~ O <
1
< 1
I +..¡;-.::j
(2)
ww
w
.
M
at
em
at
ic
a1
. co
m
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w
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M
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em
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a1
. co
m
