Análisis Estructural – Deflexiones y Rotaciones en Vigas y Marcos Diego Cavazos de Lira Ejemplo del Método de la Doble Integración Encuentre las ecuaciones para la pendiente y la deflexión para la siguiente viga. Compare la deflexión en 𝐵𝐵 con la deflexión al centro del claro. Si se hace un corte del extremo derecho de la viga, el momento se puede expresar en función de 𝑥𝑥 como: 𝑀𝑀 = 𝑤𝑤 2 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥) 2 2𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑2 𝑦𝑦 = −𝑤𝑤(𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)2 𝑑𝑑𝑥𝑥2 Expandiendo el binomio elevado al cuadrado: 2𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑2 𝑦𝑦 = −𝑤𝑤(𝐿𝐿2 − 2𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑥𝑥2 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥2 Multiplicando el lado derecho por 𝑤𝑤 y arreglando: 2𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑2 𝑦𝑦 = −𝑤𝑤𝐿𝐿2 + 2𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤 − 𝑤𝑤𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑥𝑥2 Integrando por primera vez obtendremos la pendiente: 2𝐸𝐸𝐸𝐸 Y sabemos que integrando dos veces el diagrama de curvaturas se obtiene la deflexión: 𝑑𝑑2 𝑦𝑦 𝑀𝑀 = 𝑑𝑑𝑥𝑥2 𝐸𝐸𝐸𝐸 Sustituyendo nuestra función de momento: 𝑑𝑑2 𝑦𝑦 1 (𝐿𝐿 − 𝑥𝑥)2 = − � � 𝑤𝑤 2 𝑑𝑑𝑥𝑥2 𝐸𝐸𝐸𝐸 Moviendo de lugar las constantes para simplificar la integración. 𝑑𝑑𝑑𝑑 2𝑤𝑤𝑤𝑤𝑥𝑥2 𝑤𝑤𝑥𝑥3 = −𝑤𝑤𝐿𝐿2 𝑥𝑥 + − + 𝐶𝐶1 2 3 𝑑𝑑𝑑𝑑 Sabiendo que en 𝑥𝑥 = 0, la rotación es cero, debido al empotramiento, se entiende que 𝐶𝐶1 = 0. 𝑥𝑥 = 0; 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 → 𝐶𝐶1 = 0 𝑑𝑑𝑑𝑑 Limpiando: 2𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑤𝑤𝑥𝑥3 = −𝑤𝑤𝐿𝐿2 𝑥𝑥 + 𝑤𝑤𝑤𝑤𝑥𝑥2 − 𝑑𝑑𝑑𝑑 3 Integrando por segunda ocasión obtendremos la deflexión: 2𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = − 𝑤𝑤𝐿𝐿2 𝑥𝑥2 𝑤𝑤𝑤𝑤𝑥𝑥3 𝑤𝑤𝑥𝑥4 + − + 𝐶𝐶2 2 3 12 1 Análisis Estructural – Deflexiones y Rotaciones en Vigas y Marcos Diego Cavazos de Lira Sabiendo que en 𝑥𝑥 = 0, el desplazamiento es cero, debido al empotramiento, se entiende que 𝐶𝐶2 = 0. del desplazamiento máximo al final del claro. 𝑥𝑥 = 0; 𝑦𝑦 = 0 → 𝐶𝐶2 = 0 Limpiando: 2𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = − 𝑤𝑤𝐿𝐿2 𝑥𝑥2 𝑤𝑤𝑤𝑤𝑥𝑥3 𝑤𝑤𝑥𝑥4 + − 2 3 12 Ahora podemos calcular la rotación y la deflexión en el punto 𝐵𝐵, es decir, donde 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿. Sustituyendo en la primera ecuación sombreada: 2𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑤𝑤𝐿𝐿3 = −𝑤𝑤𝐿𝐿3 + 𝑤𝑤𝐿𝐿3 − 3 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜃𝜃𝐵𝐵 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑤𝑤𝐿𝐿3 =− 6𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑑𝑑 Sustituyendo en la segunda ecuación sombreada: 2𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = − 𝑤𝑤𝐿𝐿4 𝑤𝑤𝐿𝐿4 𝑤𝑤𝐿𝐿4 + − 2 3 12 Δ𝐵𝐵 = 𝑦𝑦 = − 𝑤𝑤𝐿𝐿4 8𝐸𝐸𝐸𝐸 También se pide comparar con el desplazamiento al centro del claro, es decir, 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿/2. Sustituyendo en la segunda ecuación sombreada: 2𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = − 𝑤𝑤𝐿𝐿4 𝑤𝑤𝐿𝐿4 𝑤𝑤𝐿𝐿4 + − 8 24 192 Δ𝐵𝐵 = 𝑦𝑦 = − 17𝑤𝑤𝐿𝐿4 384𝐸𝐸𝐸𝐸 Comparando: Δ𝐿𝐿 2 Δ𝐿𝐿 4 = − 17𝑤𝑤𝐿𝐿 384𝐸𝐸𝐸𝐸 4 − 𝑤𝑤𝐿𝐿 8𝐸𝐸𝐸𝐸 = 17 = 0.35 48 Lo que implica que al centro del claro sólo se tiene un desplazamiento del 35% 2
