PAUTA PRUEBA Nº 1
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Profesora: Marcela González A.
Profesor Auxiliar: Rodrigo Vergara C.
Fecha: 20 de abril de 2009
1.
(1,2 puntos) Una empresa de extrusión fabrica ensaladeras y recipientes de acero
inoxidable. En el proceso de fabricación utiliza como materia prima láminas de acero de
tamaño único. Con cada lámina se puede fabricar: (i) una ensaladera y dos recipientes, o (ii)
sólo seis recipientes. La empresa vende cada ensaladera a $800 y cada recipiente a $200.
Además, cada lámina de acero cuesta $60.
Se sabe por experiencia que no es posible vender más que cuatro recipientes por cada
ensaladera. El número total de láminas de acero disponibles es de 680. Formule el modelo
que permita a la empresa planificar la producción para maximizar su ganancia.
2.
(2,0 puntos) Un entrenador Jugador Posición Asistencia Lanzamiento Rebote Defensa
está tratando de definir su
1
D
3
3
1
3
equipo de basketball, donde
2
C
2
1
3
2
3
D-A
2
3
2
2
tiene la posibilidad de escoger
4
A-C
1
3
3
1
entre 7 jugadores clasificados
5
D-A
3
3
3
3
de acuerdo a sus habilidades
6
A-C
3
1
2
3
en asistencia, lanzamiento,
7
D-A
3
2
2
1
rebote y defensa. La escala de
clasificación parte desde 1 = excelente, hasta 3 = malo.
La tabla arriba muestra la posición (D: defensa; C: centro; A: ataque) en que cada jugador
puede jugar y su respectiva clasificación según las habilidades citadas.
Los 5 jugadores que integrarán el equipo deben atender a las siguientes restricciones:
− Al menos 3 jugadores deben ser capaces de jugar en la defensa (D) y por lo menos 2
deben ser capaces de jugar en el ataque (A).
− El promedio del equipo en rebote debe ser por lo menos 2.
− Si el jugador 1 juega, entonces los jugadores 4 y 5 también deben estar en el equipo.
− Si los jugadores 3 y 4 están en el equipo, el jugador 2 no podría estar en el equipo.
Formule el modelo que permita al entrenador seleccionar los jugadores que maximicen la
puntuación acumulada en la habilidad de lanzamiento.
3.
(1,4 puntos) Una empresa recién formada produce sólo tres productos: mesas, camas y
sillas. La producción de cada uno de estos productos requiere que se tenga disponible el tipo
de maquinaria adecuada, por lo cual, si se
2
fabrica un dado producto, se debe Tipo de producto Mano de obra (hrs) Madera (m )
Mesa
2
4
arrendar la respectiva maquinaria. El
Cama
3
5
arriendo de la maquinaria para hacer
Silla
2
2
mesas cuesta $220 por semana, el
arriendo de la maquinaria para hacer camas cuesta $145 por semana y el arriendo de la
maquinaria para hacer sillas, $100 por semana.
Además, se necesita una cierta cantidad de madera y mano de obra para realizar los
productos, cuyos requerimientos por producto se pueden ver en la tabla de arriba.
Cada semana están disponibles 157
horas de mano de obra y 170 m2 de
madera. El costo variable unitario y
el precio de venta de cada producto
se muestran en la tabla al lado.
Tipo de producto
Mesa
Cama
Silla
Precio de venta ($)
10
9
12
Costo variable ($)
5
4
7
Formule el modelo que permita maximizar la utilidad semanal de la empresa.
4.
(1,4 puntos) Un agricultor debe determinar la cantidad de trigo y maíz a plantar este año.
Se sabe que una hectárea de trigo puede rendir 25 quintales por año y requiere de un capital
inicial de $40 por hectárea. De la misma manera, una hectárea de maíz puede rendir 40
quintales al año y requiere de un capital inicial de $30 por hectárea. El agricultor tiene 70
hectáreas para cultivo y un capital para invertir de $2.400. Se sabe, además, que la
necesidad de riego por hectárea en el mes de octubre para el maíz es de 900 m3 y para el
trigo es de 600 m3. En el mes de noviembre, la necesidad de riego por hectárea es de 1.200
m3 para el maíz y de 800 m3 para el trigo. La disponibilidad de agua en octubre es de 54.000
m3 y en noviembre, de 96.000 m3. En los demás meses no hay restricciones en la
disponibilidad de agua. El precio de venta del maíz es de $5 por quintal y el precio del trigo
es de $6 por quintal.
a) Formule el modelo que permita al agricultor maximizar su ingreso anual.
b) Utilice el análisis gráfico para encontrar la solución óptima y el valor óptimo, identificando
claramente en el gráfico cada restricción, la función objetivo y la región factible.
c)
¿Cuál es el ingreso anual que el agricultor podría obtener por la venta de sus cultivos y
cuáles serían estos cultivos?
d) En el informe generado por LINDO para la resolución de este modelo, coloque en la
posición respectiva el valor óptimo y la solución óptima, colocando, además, el nombre
de las variables que usted definió en el espacio respectivo para este fin. Es importante
notar que no es necesario llenar todos los espacios en blanco.
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
__________
VARIABLE
________
________
ROW
2)
3)
4)
5)
VALUE
REDUCED COST
__________
__________
SLACK OR SURPLUS
_________
_________
_________
_________
__________
__________
DUAL PRICES
________
________
________
________
Observaciones: No está permitido el uso de calculadoras. No se olvide de colocar las
respuestas completas. No se aceptarán respuestas sin el debido desarrollo. Las consultas de
forma sobre la prueba se deben hacer desde su puesto de trabajo (sin levantarse).
Respuestas
Pregunta 1
Variables de decisión (0.3 ptos)
x: N° láminas usadas para el tipo de corte 1
y: N° láminas usadas para el tipo de corte 2
Función objetivo (0.3 ptos)
max{800 x + 200(6 y + 2 x) − 60( x + y )}
Restricciones
•
No más de 4 recipientes por ensaladera: 6y +2x ≤ 4x (0.3 ptos)
•
El número total de láminas de acero disponible: x + y ≤ 680 (0.2 ptos)
•
No negatividad: x, y ≥0 (0.1 ptos)
Pregunta 2
⎧1, si el jugador i está en el equipo
xi = ⎨
⎩0, en caso contrario
(0.2 pts)
Función objetivo
max z = {( 13 ) x1 + (1) x2 + ( 13 ) x3 + ( 13 ) x4 + ( 13 ) x5 + (1) x6 + ( 12 ) x7 }
(0.3 ptos)
Restricciones
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 5 (0.2 ptos)
Al menos 3 deben ser capaces de jugar a la defensa: x1 + x3 + x5 + x7 ≥ 3 (0.2 ptos)
Al menos 2 jugadores deben jugar al ataque: x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 2 (0.2 ptos)
Sólo 5 jugadores en el equipo:
El promedio del equipo en rebote debe ser al menos 2: (0.2 ptos)
x1 + 3x2 + 2 x3 + 3 x4 + 3x5 + 2 x6 + 2 x7 ≥ 10
Si el jugador 1 juega, entonces el 4 y 5 también (0.4 ptos)
x 4 + x5 − 2 x1 ≥ 0
Si los jugadores 3 y 4 están en el equipo, el jugador 2 no podría estar en el equipo: (0.3 ptos)
x 2 + x3 + x 4 ≤ 2
Variables binarias x1 , x2 , x3 , x 4 , x5 , x6 , x7 ∈ {0,1}; y ∈ {0,1}.
Pregunta 3
Definición de variables:
X1 = Cantidad de mesas a fabricada
X2 = Cantidad de camas a fabricar
X3 = Cantidad de sillas a fabricar (0,1 pts)
1 si se fabrican mesas
Y1
0 si no sucede así
1 si se fabrican camas
Y2
0 si no sucede así
1 si se fabrican sillas
Y3
0 si no sucede así
(0,2 pts)
Función objetivo: (0,2 pts)
Utilidades de la semana = (10X1 + 9X2 + 12X3) - (5X1 + 4X2 + 7X3) - ( 220Y1 + 145Y2 + 100Y3)
Máx z = 5X1 + 5X2 + 5X3 – (220Y1 + 145Y2 + 100Y3)
Restricciones:
(0,1 pts) Restricción 1 Cada semana están disponibles 157 horas de mano de obra:
R1) 2X1 + 3X2 + 2X3 ≤ 157
(0,1 pts) Restricción 2 Cada semana están disponibles 170 m2 de madera:
R2) 4X1 + 5X2 + 2X3 ≤ 170
(0,2 pts cada una) Restricción 3)4)5) Si se produce una cantidad Xi , es decir Xi > 0
entonces Yi = 1, definiendo M1, M2, M3 como números positivos muy grandes, tenemos las
siguientes restricciones:
R3) X1≤ M1Y1
R4) X2≤ M2Y2
R5) X3≤ M3Y3
(0,1 pts) Restricción 6)7) Restricción de no negatividad
R6) X1, X2, X3 ≥ 0; X1, X2, X3 enteros
R7) Y1,Y2,Y3 = 0 ò 1
Modelo completo para maximizar la utilidad de la empresa.
Máx. z = 5X1 + 5X2 + 5X3 – (220Y1 + 145Y2 + 100Y3)
s.a
2X1 + 3X2 + 2X3 ≤ 157
4X1 + 5X2 + 2X3 ≤ 170
X1≤ M1Y1
X2≤ M2Y2
X3≤ M3Y3
X1, X2, X3 ≥ 0; X1, X2, X3 enteros
Y1,Y2,Y3 = 0 ò 1
Pregunta 4
a) Formulación (0,1 puntos por cada ecuación) = 0,5 puntos
Max 150 x1 + 200 x2
sa
R1) x1 + x2 <= 70
R2) 40 x1 + 30 x2 <= 2400
R3) 600 x1 + 900 x2 <= 54000
R4) 800 x1 + 1200 x2 <= 96000
b) Solución gráfica (0,1 puntos menos por cada ecuación mal dibujada) = 0,3 puntos
Región Factible 0.1 puntos
c) Solución óptima y valor óptimo (0.2 puntos)
d) LP OPTIMUM FOUND AT STEP
1 (0,1 puntos por cada valo) = 0.3 puntos
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
VARIABLE
X1
X2
ROW
12500.00
VALUE
30.000000
40.000000
REDUCED COST
0.000000
0.000000
SLACK OR SURPLUS
DUAL PRICES
R1)
R2)
R3)
R4)
0.000000
0.000000
0.000000
24000.000000
NO. ITERATIONS=
1
0.000000
0.833333
0.194444
0.000000
