Capitulo VII Regla de Tres

UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”
Capitulo VII: Regla de Tres
Concepto:
Es un método aritmético, que consiste en calcular un valor desconocido de una
magnitud, mediante la comparación de magnitudes proporcionales.
Simple directa
Simple
Simple inversa
Regla de tres
Compuesta
Regla de tres simple:
Se genera cuando se comparan dos magnitudes. Una regla de tres simple puede ser
directa o inversa, dependiendo de cómo se relacionen las magnitudes en
comparación.
1) Regla de tres simple directa
Sean M y N dos magnitudes directamente proporcionales, con sus respectivos
valores.
Magnitudes:
kg
M (DP) N
(DP) soles
a -------------- b
x
c -------------- x
=
b · c
a
2) Regla de tres simple inversa
Sean M y N dos magnitudes inversamente proporcionales, con sus respectivos
valores.
Magnitudes:
kg
M (IP) N
(IP) soles
m -------------- n
x
p -------------- x
Nota:
= m · n
p
obreros (DP) obra
obreros (IP) horas/diarias
h/d
(DP) obra
h/d
(IP) días
obreros (IP) días
¡Recuerde!
•
Magnitudes directamente proporcionales.
DP { Si la dos aumentan o las dos disminuyen.
•
Magnitudes inversamente proporcionales.
IP { Si una aumenta y la otra disminuye o viceversa.
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Ejemplos :
1.
Se sabe que 420 ovejas tienen alimentos para 60 días. Se desea que
dichos alimentos duren 12 días más sin cortarles la ración diaria.
¿Cuántas ovejas habrá que vender?
Solución:
Ovejas
420
x
(IP)
Días
____________
____________
60
72
x = 420 · 60 Æ x = 350
72
Se venderá: 420 - 350 = 70
2.
Si 36 obreros cavan 120 m de zanja diaria. ¿Cuál será el avance diario,
cuando se ausentan 9 obreros?
Solución:
Obreros
36
27
3.
Metros
120
x
x = 27 · 120
= 90 m
36
Una cuadrilla de 12 obreros pueden llenar un techo en 8 h. ¿Qué tiempo
tardarían 15 obreros, en llenar el mismo techo?
Solución:
Obreros
12
15
x = 12 · 2
15
4.
(DP)
____________
____________
(IP)
____________
____________
Horas
2
x
= 6.4 h
Se hacen disolver 240 g de azúcar en 5 litros de agua. ¿Cuántos litros de
agua deberán añadirse a esta mezcla para que un litro de agua de la
nueva mezcla no tenga sino 8 g de azúcar?
Solución:
Si en cada litro debe haber 8 g, en 240 gramos ¿cuántos litros habrá?
1
x
x = 1 · 240
8
___________
8
___________ 240
= 30
Pero ya se tienen 5 litros; luego aumentará:
30 – 5
Æ 25 litros
5.
“n” máquinas hacen una obra en 30 días; (n + 4) máquinas hacen la
misma obra en 20 días; en cuánto tiempo harán (n + 2) máquinas dicha
obra.
Solución:
Máquinas
(IP)
Días
n
____________
30
(n + 4)
____________
20
(n + 4)
=
n · 30
20
De donde: n = 8
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Ahora reemplazando:
Máquinas
(IP)
Días
8
____________
10
____________
30
x
x = 8 · 30 Æ x = 24
10
6.
Timoteo demora 8 h en construir un cubo compacto de 5 dm de arista,
después de 108 h de trabajo, ¿qué parte de un cubo de 15 dm habrá
construido?
Solución:
Horas
8
x
x = 8 · 153
53
(DP)
Volumen
____________
53
____________
153
= 216 h
Luego se deduce que en 108 h habrá hecho la mitad de la obra.
Regla de tres compuesta:
Se genera cuando se comparan tres o más magnitudes.
Procedimiento
•
•
•
•
Se deberán ubicar todas las magnitudes que intervienen en el problema.
Se colocan los valores numéricos que corresponden a cada magnitud (colocarlos
horizontalmente).
La magnitud incógnita se compara con cada una de las otras a fin de establecer
si es DP o IP.
Si una magnitud es DP, sus valores numéricos se invierten en el planteo y si
fuera IP se mantiene igual.
Problema general
Si: a1 de obra se realiza por b1 obreros en c1 días, con una dificultad de d1 y
e1 de eficiencia.
En cuántos días a2 de obra harán b2 obreros con e2 de
eficiencia y d2 de
dificultad de la obra.
Solución:
Obra
obreros
a1
a2
b1
b2
días
c1
x
dificultad
d1
d2
eficiencia
e1
e2
La magnitud “días”, se compara con cada una de las demás magnitudes.
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Comparando
Días Æ Obra: En más días, harán más obra y en menos días, harán menos obra.
(DP).
Días Æ Obreros: Más obreros, se demorarán menos días, y menos obreros, tardarán
más días en realizar la misma obra. (IP).
Días Æ Dificultad: Cuanto más dificultosa sea la obra, demorarán más días y cuanto
menor sea la dificultad, tardarán menos días (DP).
Días Æ Eficiencia: Cuanto más eficientes son los obreros, tardarán menos días y
cuanto menos eficientes son, tardarán más días. (IP).
obra
obreros
a1
a2
DP
b1
b2
IP
días
dificultad
c1
x
d1
d2
DP
eficiencia
e1
e2
IP
De donde:
x = c1 ·
a2 · b1 · d2 · e1
a1
b2
d1
e2
Ejemplos :
1.
12 gatos comen 30 pericotes en
segundos comerán 90 pericotes.
75
segundos;
18
gatos
en
cuántos
Solución:
Planteando y analizando:
gatos
pericotes
segundos
12 ______
30 _____
75
18 ______
90 _____
x
IP
DP
x = 75 ·
2.
12
18
·
90
30
∴
x = 150
20 hombres trabajando 9 horas diarias pueden hacer una obra en 15 días.
18 hombres, en cuántas horas diarias pueden hacer la obra en 25 días.
Solución:
Planteando y analizando:
3.
hombres
20 ______
18 ______
IP
días
15 _______
25 _______
DP
x =
·
9 ·
20
18
25
15
∴
h/d
9
x
x = 6 h/d
10 obreros pueden hacer una obra en 12 días trabajando 6 h/d. Después
de iniciado el trabajo se quiere terminar en sólo 8 días, disminuyendo
1/6 de la obra y aumentando 2 h/d. ¿Cuántos días se trabajó 8 h/d?
Solución:
Si toda la obra se puede hacer en 12 días; al trabajar “n” días a 6 h/d han
hecho n/12 de la obra, luego para terminar la obra en 8 días trabajarán (8 – n)
días más.
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Planteando:
obreros
días
h/d
obra
10 ______ n
_____ 6
___
n/12
10 ______(8 - n) _____ 8
___
[1 – (n/12)] – 1/6
IP
DP
(p - n) =
n ·
10
10
·
6
8
·
1 – n/12 – 1/6
n/12
De donde: n = 2
Los días que trabajaron 8 h/d fueron:
8 – 2 Æ 6 días
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IP
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Ejercicios
1.
Si por pintar un cubo de 5 cm de arista se pagó S/.3600 ¿cuánto se
pagará por un cubo de 15 cm de arista?
Solución:
Se pinta la superficie luego el área de todo es: 6a2
Área
Soles
6(5)2 __(D)____
6(15)2________
a
3600
x
a
x
2.
=
6 · (15)2 · 3600
6 (5) 2
Æ
x = S/.32400
Para realizar 300 m2 de una obra se necesitan 18 obreros.
hombres más se necesitarán para una obra de 1000 m2?
Solución:
¿Cuántos
Obra
Obreros
399 m2
(D)
18
1000 m2 ________ (18 + x)
Æ (18 + x) = 100 . 18
300
De donde: x = 42
3.
Se piensa construir una pared con 15 obreros en 20 días. ¿Cuántos
obreros será necesario contratar; si se quiere concluir la pared 8 días
antes?
Solución:
Obreros
Días
15
(I)
20
x
________ (20 - 8)
x = 15 . 20
12
De donde: x = 25
4.
60 caballeros tienen ración para 15 días. Si se aumentan 30 caballos más
¿para cuántos días alcanzará la ración anterior?
Solución:
Caballos
6a
9a
(I)
_______
x = 6a . 15
9a
Æ
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Días
15
x
x = 10 días
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5.
Un panteón en forma de cubo pesa 2160 g. El peso en gramos de un
minipanetón de igual forma pero con sus dimensiones reducidas a la
tercera parte es:
Solución:
Volumen
a3
(a/3)3
(D)
__________
x = (a3/27) · 2160
a3
Peso
2160
x
Æ 2160
27
x = 80 g
6.
Si “A” es el número de obreros que pueden hacer una obra en 3A/4 días
trabajando A/3 horas diarias, ¿Cuál es el número A de obreros si al
duplicarse hacen la misma obra en 72 h?
Solución:
Obreros
A
2A
Æ
2A =
______(I)_____
_____________
Total de horas
(3A/4) . (A/3)
72
A · 3A/4 · A/3
72
144.4 = A2 Æ A = 24
7.
15 obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 días. En ese momento
abandonan el trabajo 5 obreros. ¿cuántos días tardarán en terminar el
trabajo los obreros que quedan?
Solución:
Obreros
15
(15 - 5)
(I)
__________
Días
20
x
x =
8.
15 · 20 Æ x = 30
10
Un reloj se adelanta minuto y medio cada 24 horas. Después de 46 días
21 horas 20 min ¿cuánto se adelantó el reloj?
Solución:
Como: 40d 21h 20min =
3376
h
3
Planteamos:
Horas
24
3376/3
(D)
__________
min (adelanto)
3/2
x
x = (3376/3) · (3/2)
Æ x = 211 min
24
3
x = 4220 s
∴ x = 1h20'20"
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9.
Las máquinas A y B tienen la misma cuota de producción semanal,
operando 30 h y 35 h respectivamente. Si A trabaja 18h y se malogra
debiendo hacer B el resto de la cuota. ¿Cuántas horas adicionales debe
trabajar B?
Solución:
Como A hace todo en 30 h Æ en 18 h
Hace: 18 (1/30) Æ 3/5
Falta sólo: 1 – (3/5) Æ 2/5 (es lo que hace B)
Para B:
Horas
35
x
(D)
__________
Obra
1
2/5
x = 35 · 2/5
x = 14 h
10. A una esfera de reloj se le divide en 1500 partes iguales, a cada parte se
le denomina “nuevo minuto”, cada “nueva hora” está constituida por 100
“nuevos minutos”. ¿Qué hora indicará el nuevo reloj, cuando el antiguo
indique las 3 h 48 min?
Solución:
El reloj queda dividido en: 1500/100 = 15 nuevas horas; que equivale a 12
horas antiguas.
Como 3 h 48 min = 228 min antiguos.
Se tiene que:
Nuevos min.
15 (100)
(D)
x
__________
x =
1500 · 228
12 (60)
Æ
Antiguos min.
12 (60)
228
x = 475 nuevos min.
∴ x = 4 h 75 min
11. Un reloj marca la hora correcta un día a las 6 p.m. Suponiendo que cada
12 h se adelanta 3 min, ¿Cuánto tiempo pasará para que marque por
primera vez la hora correcta nuevamente?
Solución:
Se deduce que en 1 día (24 h) se adelante 6 min, luego para marcar por primera
vez la hora correcta es decir 6 p.m. debe adelantarse 12 h = 720 min.
Luego:
1 día
x
x =
(D)
__________
1 día · 720 min
6 min
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Æ
Adelanto
6 min
720 min
x = 120 días
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12. La onza trío de plata estuvo a 49 dólares y en el término de 9 meses bajó
a 10 dólares. Pero después de 9 meses más el precio está a 14.9 dólares.
Suponiendo que se mantiene el incremento mensual, ¿en cuánto tiempo
recuperará el precio inicial de $ 49?
Solución:
Incremento en 9 meses: 14.9 – 10 = 4.9
Incremento
Meses
4.9
9
(49 – 14.9)__________ x
x = (34.1) · 9
4.9
∴ x = 62 meses 19 días
13. Nataly por cada 100 huevos que compra se le rompen 10 y por cada 100
que vende da 10 de regalo. Si vendió 1800 huevos ¿cuántos huevos ha
comprado?
Solución:
a) Cuando vende: 100 entrega
1800 ________
x =
1800 · 110
100
= 1980 huevos
b) Cuando compra: 100
recibe
? ________
? =
100 · 1980
90
110
x
Æ
? =
90
1980
2200
14. 3 gallinas se comen en 3 días 3 kg de maíz, 9 gallinas, ¿en cuántos días
se comen 9 kg de maíz?
Solución:
Gallinas
Días
kg
3 ___
3 ___ 3
9 ___
x ___ 9
x = 3 . 3/9 . 9/3
Æ
x = 3 días
15. Una cuadrilla de obreros puede hacer una obra en 18 días. En los
primeros 10 días trabajó solamente
la mitad de la cuadrilla; para
terminar la obra trabajan 13 obreros durante 24 días. ¿Cuántos obreros
constituyen la cuadrilla?
Solución:
Como: “x” obreros en 18 días hacían una obra; x/2 obreros harían la misma obra
en 36 días. Luego planteamos.
Obreros
Días
Obra
x/2 __
10 ___ 10/36
13 ___ 24 ___ 26/36
De donde:
x = 13 . 24 . 10 Æ x = 24
2
10
26
∴ 24 obreros
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16. Un recipiente esférico se puede llenar en 8 min con una cañería que
arroja 3 litros por segundo. En cuánto tiempo se llenará un recipiente de
radio doble del anterior con un caño que arroja 4 µs.
Solución:
min
8 ___
x ___
x = 8
.
µs
volumen
3 ____ 4/3 πr3
4 ____ 4/3 π(2r)3
3/4 .
8/1
Æ
x = 48
∴ 48 minutos
17. La cantidad necesaria para vivir en una ciudad “A” es los ¾ de la que se
necesita para vivir en otro B. Según esto si 7 personas gastan en A,
durante 9 meses S/.90720; 5 personas durante 8 meses ¿Cuánto
gastarán?
Solución:
En B sería: 4/3 (90720) = S/. 120,960
Planteamos:
(D)
(D)
Personas Meses
7 ___
9 ___
5 ___
8 __
Soles
120960
x
x = 120960 . 5/7 . 8/9
Æ x = S/. 76800
18. Se contrataron 24 obreros para construir un túnel y faltando 15 días para
terminarlo, 4 de los obreros sufrieron un accidente y se retiraron de la
obra. ¿Cuántos días tardarán los obreros restantes en culminar lo que
falta de obra?
Solución:
Lo que debían hacer 24 obreros en 15 días lo harán 20 obreros en “x” días.
Entonces:
x =
24 · 15
20
Æ
x = 18
19. Si compro “a” manzanas más de lo que pienso comprar gastaré S/.A; en
cambio si comprara “b” manzanas menos de lo que pienso comprar,
gastaría tan solo S/.8 ¿cuántas manzanas pienso comprar?
Solución:
Sea “x” el número de manzanas que deseo comprar, entonces:
Si compro (x + a) gastaría S/.A (D)
Si compro (x – b) gastaría S/.B
Entonces:
x – b =
x =
(x + a) x B Æ Ax – Ab = Bx – aB
A
aB + Ab
A - B
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20. Se ha calculado que para producir 1 kg de carne, una vaca consume
(aprox.) 80 kg de pasto. Si 1 kg de pasto cuesta S/.3 ¿cuánto se invierte
para producir 5 kg de carne?
Solución:
1 kg de pasto cuesta S/.3
1 kg de carne cuesta S/.240
80 kg de pasto costará “x”
5 kg de carne costará “y”
x = 80 x 3 = S/.240
y = 5 x 240 = S/.1200
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Problemas Propuestos
1.
Un caballo atado con una soga de 3 metros de largo demora 5 días en
comer el pasto que está a su alcance. Si la soga fuera de 6 metros. ¿En
cuántos días comerá todo el pasto que está a su alcance?
a) 10
2.
e) 16
b) 62
c) 66
d) 64
e) 70
b) 68
c) 80
d) 62
e) 72
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22
b) 14
c) 12
d) 7
e) 8
b) 420 c) 450
d) 350
e) 520
Un reloj se atrasa 10 min cada día. ¿dentro de cuántos días volverá a
marcar la hora exacta?
a) 100
9.
d) 26
El vino obtenido en un recipiente de forma cúbica cuesta S/.60. ¿cuánto
más se pagaría por un contenido en un recipiente también cúbico pero
con una arista doble que la anterior?
a) 400
8.
c) 24
Para pintar un cuadrado de 10 m de lado se requiere 2 galones de
pintura. ¿Cuántos se necesitarán para pintar un cuadrado de 20 m de
lado?
a) 10
7.
b) 18
Si 20 obreros construyen 28 metros de pared en cada día, ¿cuál será el
avance diario, si se retiran 5 obreros?
a) 18
6.
e) 22
Para pintar una superficie de 55 m2 se necesitan 10 galones de pintura.
¿Cuántos galones más se requiere para pintar una superficie de 440 m2?
a) 70
5.
d) 19
A es 100% más eficiente que B y B 50% más eficiente que C. Si B puede
hacer una obra en 242 horas. ¿Cuánto tardarían los tres juntos en hacer
la misma obra?
a) 60
4.
c) 18
Por la compra de 1 docena de huevos me regalan uno, ¿cuántas docenas
compré si al final obtuve 286 huevos?
a) 22
3.
b) 20
b) 144 c) 122
d) 240
e) 360
Seis caballos tienen ración para 15 días si se aumenta 3 caballos más
¿para cuántos días alcanzará la ración anterior?
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
10. En 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra. Si se retiran
6 obreros ¿cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar la
obra?
a) 24
b) 25
c) 26
d) 27
e) 28
11. 20 kg de agua salada contiene 3 kg de sal. ¿Qué cantidad de agua habrá
que verter para que en la mezcla final por 4 kg de ésta solo haya 0.5 kg
de sal?
a) 1
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b) 2
c) 4
d) 3
e) 5
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12. Edy es el triple de rápido que Manuel y Javier el doble que Edy. Si Manuel
y Javier juntos hacen una obra en 20 días. ¿Cuántos días demorarán en
hacer la obra los tres juntos?
a) 12
b) 14
c) 16
d) 18
e) 8
13. Una cisterna suministra 400 litros de agua a cada una de las 25 familias
que habita el edificio y demora en vaciarse 150 días. Por arreglos en la
tubería debe hacerse durar el agua en el reservorio 50 días más. Se
alojan 5 familias más en el edificio. ¿En cuánto debe reducirse el
suministro de agua a cada familia para atender esta contingencia?
a) 100
b) 120
litros
litros
c) 150
litros
d)250
litros
e) N.A.
14. Con 8 obreros se puede hacer una obra en 20 días. Con 10 obreros 4
veces más rápidos que los anteriores ¿en cuantos días harán una obra 9
veces más difícil que la anterior?
a) 30
b) 31
c) 32
d) 34
e) N.A.
15. 44 obreros trabajando 10 horas diarias han empleado 12 días para hacer
una zanja de 440 m de largo, 2 m de ancho y 1,25 de profundidad.
¿Cuánto tiempo más emplearán 24 obreros trabajando 8 h/d para abrir
otra zanja de 200 m de largo, 3 m de ancho y 1 metro de profundidad?
a) 15 d
b) 12 d
c) 6 d
d) 3 d
e) N.A.
16. La guarnición de un fuerte era de 1250 hombres y se calculó que dando
600 g de pan a cada hombre, había harina para 150 días; pero se reforzó
la guarnición y no hubo harina más que para 125 días, dando la misma
cantidad de pan a cada hombre. ¿De cuántos hombres era el refuerzo?
a) 1500
b) 1250
c) 500
d) 250
e) 320
17. Se contrató 15 obreros, trabajando 10 h/d, para que terminaran una obra
en 30 días. Después de 8 días de trabajo se acordó que la obra quedase
terminada en 12 días antes del plazo estipulado y así se hizo. ¿Cuántos
obreros más debieron emplearse, teniendo en cuenta que se aumentó en
una hora el trabajo diario?
a) 12
b) 18
c) 15
d) 25
e) 22
18. Una cuadrilla de 42 obreros puede terminar un trabajo en 21 días. Al cabo
del décimo día de labor renunciaron 28 obreros y 4 días después
comunican al contratista que termine la obra en el tiempo fijado
anteriormente, para lo cual contrata nuevos obreros. ¿cuántos son estos?
a) 44
b) 11 c) 33
d) 55
e) 22
19. Tres alumnos resuelven 4 prácticas en la mitad del tiempo en que otros
dos los resuelven. ¿En cuántas horas resolverá uno de los alumnos de
este último grupo 2 prácticas, si dos alumnos del otro grupo las
resuelven en 3 horas?
a) 6 h
b) 7 h c) 8 h
d) 9 h
e) 10 h
20. Diez obreros pueden hacer una obra en 12 días trabajando 6 h/día.
Después de iniciado el trabajo se quiere terminar en sólo 8 días,
disminuyendo 1/6 de la obra y aumentando 2 horas por día. ¿Cuántos días
se trabajó 8 horas diarias?
a) 4 días
b) 5 días
c) 6
CLAVE DE RESPUESTAS:
1
2
3
4
5
días
d) 7
días
e) 8
días
6
7
8
9
10
b
a
c
a
d
e
b
b
b
a
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
c
b
c
c
d
d
c
a
c
c
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BIBLIOGRAFÍA
Lipschutz Seynour
“Teoría de Conjuntos”
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Rojo Armando
“Álgebra I”
Edit. El Ateneo
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“Ejercicios y Problemas
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Hasser-La Salle- Sulliva
Análisis Matemático Vol I.
Louis Leithold
Cálculo y Geometría Analítica
G. N. Berman
Ejercicios y problemas de
Análisis Matemático
Alvaro Pinzón
Conjuntos y Estructuras
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