ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD GRÁFICOS DE BARRAS – GRÁFICOS CIRCULARES PROMEDIOS II PCR2022-I DESARROLLO DEL TEMA • • • TANTO POR CIENTO El tanto por ciento es una forma de comparar dos cantidades tomando a una de ellas como proporcional a 100. El siguiente ejemplo mostrará dos perspectivas distintas: A 32 16 27 200 400 300 ............................. ............................. ............................. Las siguientes fracciones nos ayudarán en cuanto a la velocidad y agilizarán nuestros cálculos: Porcentaje • 1/2 = .................................... • 1/8 = .................................... • 1/5 = .................................... • 1/10 = .................................. • 1/3 = .................................... • 1/6 = .................................... B l. Asumiendo que A es como 100, diremos que B es como 200. (B es 200% de A) II. Asumiendo que B es como 100, diremos que A es como 50. (A es 50% de B) VARIACIÓN PORCENTUAL Uno de los objetivos de esta clase es dejar claro. Así el concepto de variación porcentual solo existe cuando una misma variable es comparada en dos momentos diferentes. No existe una variación porcentual cuando comparamos dos variables diferentes en un mismo momento. Unidades En la segunda perspectiva, notamos que A resultó el 50% de B dado que A es la mitad de B. Esto matemáticamente se expresa: 1 x 100% = 50% 2 72 En general: A x 100% B 60 Por ejemplo: En cada caso determinar, qué porcentaje es A de B. • • • • • • • • • A B 13 99 14 22 31 4 7 8 15 100 100 50 50 25 25 20 10 10 Antes • • • Representa ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................. PAMER CATÓLICA REGULAR 2022-II Después El aumento en unidades es: ............. El aumento en fracción es: .............. El aumento porcentual es: .............. Unidades 48 40 Antes 1 Después ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD | 1-2 GRÁFICOS DE BARRAS – GRÁFICOS CIRCULARES PROMEDIOS II • • • La disminución en unidades es: ............. La disminución en fracción es: ............. La disminución en porcentual es: ............. y la cantidad final; y nos piden la cantidad inicial. Unidades 72 20% Situación 1 En las siguientes gráficas, nos dan la cantidad inicial y la variación porcentual y nos piden la cantidad final. Unidades Antes 30% • • 60 Aumento en unidades: ..................... Cantidad inicial: ..................... Unidades Antes • • Después 12 ,5% Después 49 Aumento en unidades: ..................... Cantidad final: ..................... Unidades Antes 12 48 ,5% • • Después Disminución en unidades: ..................... Cantidad inicial: ..................... Unidades Antes • • 10 % Después Disminución en unidades: ..................... Cantidad final: ..................... 36 Unidades Antes 25 80 % • • Después Aumento en unidades: ..................... Cantidad inicial: ..................... Unidades Antes • • Después 56 % 33,3 Disminución en unidades: ..................... Cantidad final: ..................... Unidades Antes 35% 40 Antes • • • Aumento en unidades: ..................... • Cantidad inicial: ..................... GRÁFICOS CIRCULARES Después Se aplican ususlamente cuando se necesita indicar la Aumento en unidades: ..................... Cantidad final: ..................... participación de varios rubros en un determinado ámbito, como por ejemplo, las preferencias de la población electoral, el reparto de utilidades, la distribución de la riqueza Situación 2 En esta segunda situación, se nos da la variación porcentual PAMER CATÓLICA REGULAR 2022-II Después por sectores, etc. 2 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADS | 1-2 GRÁFICOS DE BARRAS – GRÁFICOS CIRCULARES PROMEDIOS II 1. 100% 360° 13 a 50% <> 10% <> 20% <> . . . 180° 36° 72° . . . Total = 52 2 %= 1 f= 3 a= En un gráfico circular son tres elementos básicos a calcular: 2. 18 a 9 6 a Total = 90 Total = 2 2 %= 1 f= %= 1 3 f= a= 3 a= Nota: Como puedes observar, el cálculo fundamental es la fracción 3. del sector que estudiamos respecto al total. Obtener el porcentaje o el ángulo correspondiente obedece a cálculos 35 semejantes. a Total = 42 Ejemplo: 2 Si la fracción es: %= 1 f= 2 5 f= 3 a= El porcentaje se clacula así: Total en porcentaje 2 %= x 100% = ........................ 5 4. 13 a El ángulo corresponde así: 22 % = 2 x 36% = ........................ 5 Total en ángulos sexagesimales Total = 60 2 1 Ejercicios Calcular la fracción, el porcentaje y el ángulo que corresponde en cada caso: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD | 1-2 7 %= f= 3 a= 3 PAMER CATÓLICA REGULAR 2022-II GRÁFICOS DE BARRAS – GRÁFICOS CIRCULARES PROMEDIOS II PROMEDIOS II I. ¿Cuánto como mínimo debe obtener en Filosofía para aprobar con un promedio mayor o igual a 15? CONCEPTO El promedio de un conjunto de cantidades es un valor representativo, el cual puede pertenecer o no al conjunto en mención. Nota: Para obtener la nota final del curso se aproxima el promedio ponderado. El medio punto favorece al alumno. Solución: II. TIPOS DE PROMEDIOS Solución: A. Promedio aritmético o media aritmética (MA) Ejemplo: El promedio de 8 números es 40 y el promedio de otros 12 números es 30. Calcular el promedio de los 20 números. C. Promedio geométrico o media geométrica (MG) Solución: Ejemplo: Sean las siguientes las notas obtenidas en un ciclo de la universidad. • Matemática: 14 (peso 3) Importante: 1. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, el promedio aritmético queda aumentado en dicho número. 2. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número el promedio aritmético queda multiplicado por dicho número. B. (peso 2) • Realidad social: 18 (peso 2) • Filosofía: x (peso 3) PAMER CATÓLICA REGULAR 2022-II (peso 2) • Realidad social: 18 (peso 2) • Filosofía: x (peso 3) Nota: Para obtener la nota final del curso se aproxima el promedio ponderado. El medio punto favorece al alumno. Solución: C. Promedio geométrico o media geométrica (MG) Ejemplo: Sean las siguientes las notas obtenidas en un ciclo de la universidad. • Matemática: 14 (peso 3) Psicología: 16 Psicología: 16 ¿Cuánto como mínimo debe obtener en Filosofía para aprobar con un promedio mayor o igual a 15? Promedio ponderado (PP) Es aquel promedio que no surge de sumar todos los valores y dividirlos por el número total de valores, sino de asignarle un peso (de allí ponderado) a cada valor para que algunos valores influyan más en el resultado que otros. Siendo a1; a2; a3; a4; ...; an las cantidades dadas promediadas y w1; w2; w3; w4; ...; wn los pesos de dichas cantidades respectivamente, entonces: • • Se tiene una balanza con los brazos desiguales, se observa que cuando un objeto se coloca en el platillo de la derecha, pesa 36 g pero cuando se le coloca en el platillo de la izquierda, pesa 25 g. ¿Cuál es el peso real del objeto? 4 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADS | 1-2 GRÁFICOS DE BARRAS – GRÁFICOS CIRCULARES PROMEDIOS II Solución: 2. Se suele utilizar para promediar velocidades, tiempos, rendimientos, etc. A considerar: 1. Si los números son diferentes: Importante: 1. Solo es relevante la media geométrica si todos los números son positivos. Como hemos visto si uno de ellos es 0, entonces el resultado es 0. 2. La media geométrica es relevante cuando varias cantidades son multiplicadas para producir un total. 2. Si los números son iguales: 3. Para dos números a y b: ; ; Como consecuencia: D. Promedio armónico o media armónica (MH) y Ejemplo: Un automovilista recorre la primera vuelta de un circuito a 50 km/h; la segunda vuelta a 100 km/h; la tercera 150 km/h y la cuarta a 200 km/h. ¿Cuál fue la velocidad promedio del automovilista en sus 4 vueltas? 4. El promedio aritmético de una progresión aritmética es la semisuma del primer y último término. Solución: 5. La velocidad promedio es el promedio armónico de las velocidades aplicadas a distancias iguales. Importante: 1. La inversa de la media armónica es la media aritmética de las inversas de los valores de la variable. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD | 1-2 6. El promedio es un valor representativo de un conjunto de valores. 5 PAMER CATÓLICA REGULAR 2022-II GRÁFICOS DE BARRAS – GRÁFICOS CIRCULARES PROMEDIOS II EJERCICIOS DE CLASE Gráfico 1 Las ventas de los cuatro productos de una empresa, A, B, C y D, durante los años 1999 y 2000, están dados en el siguiente gráfico: Cantidad 2200 2000 1800 1700 1500 1200 1200 A 800 B A B D C D C 1999 2000 A. 120° C. 94° B. 126° D. 135° 5. Si 21 personas estudian francés, ¿cuántos estudian inglés y cuántos alemán, respectivamente? A. 34, 10 C. 24, 15 B. 15, 24 D. 15, 18 6. Si el 15% de los que estudian inglés son 12 personas, ¿cuántas personas tiene el instituto? Años A. 50 C. 150 B. 90 D. 200 7. Si 10 personas dejan de estudiar alemán para estudiar inglés, siendo ahora el nuevo porcentaje de personas que estudian alemán en 20%, hallar cuántas personas tiene el instituto. 1. ¿Cuánto se vendió del producto C en total durante los años 1999 y 2000? A. 3900 C. 3800 B. 2700 D. 2000 2. De acuerdo al gráfico, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I. La proporción de las ventas, en el año 1999, del producto D con respecto al total de ventas de ese año es 1/5. II. El único producto que en el año 2000 se vendió menos que en el año 1999 es A. III. En el año 2000 las ventas de los productos A y D superan, cada una, el 25% de las ventas totales de ese año. A. Solo I C. Solo I y II B. Solo II D. Solo I y III A. 100 C. 180 B. 150 D. 200 Gráfico 3 El gráfico siguiente muestra las notas mensuales de Carlos y Fernando en los meses de Abril a Noviembre correspondientes al curso de MATEMÁTICA. Nota Carlos 18 Fernando 16 14 12 10 08 06 04 02 Meses 0 A M J J A S O N D 3. ¿En cuál de los productos la empresa tuvo la menor variación porcentual en las ventas en los años 1999 al 2000? A. A C. C B. B D. D 8. ¿Cuál fue la nota más baja obtenida por Fernando? Gráfico 2 Un instituto que enseña tres idiomas elaboró la siguiente gráfica circular de estudiantes por idioma: A. 10 C. 08 B. 12 D. 14 9. ¿Cuál es el mes donde obtuvieron la misma nota ambos estudiantes? Francés Inglés 40% Alemán 25% C. Noviembre B. Mayo D. Septiembre 10. ¿Cuál fue la calificación obtenida por Fernando el mes en que Carlos obtiene su mínima nota? 4. ¿Qué ángulo corresponde a las personas que estudian francés? PAMER CATÓLICA REGULAR 2022-II A. Agosto 6 A. 11 C. 10 B. 12 D. 08 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADS | 1-2 GRÁFICOS DE BARRAS – GRÁFICOS CIRCULARES PROMEDIOS II 11. El peso promedio de todos los estudiantes de una clase A es 68,4 kg y de todos los estudiantes de la clase B es 71,2 kg. Si el peso promedio de ambas clases combinadas es 70 kg y el número de estudiantes de la clase B excede a la de A en 16 kg. ¿Cuántos estudiantes tiene la clase B? A. 64 C. 24 B. 40 D. 48 16. En una clase por cada nota 18 hay tres notas 10. Si solo se obtuvieron dichas notas, ¿cuál es el promedio de la clase? II. El producto de dichos números es cero. III. El último término es impar. A. I y II son verdaderas. B. 12 D. 15 A. 48 cm C. 52 cm B. 50 cm D. 55 cm 18. La edad promedio de 15 personas es 28 años. Si ninguna tiene menos de 25 años, ¿cuál es la máxima edad que podrían tener 3 de ellas en común? B. I y III son verdaderas. C. II y III son verdaderas. D. Todas son verdaderas. 13. Calcular la media geométrica de 21; 36; 42 y 98. A. 56 C. 9 B. 28 D. 42 D. 48 C. 46 B. 40 D. 56 A. 2 000 C. 1 800 B. 1 600 D. 2 800 20. Si el promedio de los "n" primeros múltiplos positivos de 3 es 57 y el promedio de los "m" primeros impares positivos es 53 entonces (m + n) es: 15. La media geométrica de tres números pares consecutivos es aproximadamente 19,93. ¿Cuál es el número mayor? A. 18 C. 22 D. 24 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD | 1-2 A. 32 19. Cinco personas caminaron en promedio 1 000 km cada uno. Si dos de ellos caminaron 800 km en promedio, y los tres restantes no se detuvieron antes de recorrer 900 km. ¿Cómo máximo cuánto habrá recorrido una de las personas? 14. Dos números son entre sí como 4 es a 9, si la media aritmética de dichos números es 39, ¿cuál es la media geométrica de los números? A. 36 C. 45 B. 20 C. 16 17. Se tiene 4 varillas de metal cuyo promedio de longitudes es 65 cm. Si cada una tiene una medida que a lo más es 70 cm, ¿cuál puede ser la mínima longitud de una de ellas? 12. Si diecinueve números consecutivos suman cero, entonces son verdaderas: I. El promedio de dichos números es cero. B. 30 A. 10 7 A. 80 C. 90 B. 85 D. 95 PAMER CATÓLICA REGULAR 2022-II
