U3-03-Espacio de estado

REPRESENTACIÓN EN
ESPACIO DE ESTADO
Espacio de estado
El modelado y control de sistemas basado en la transformada de
Laplace, es un enfoque muy sencillo y de fácil aplicación. Permite
analizar sistemas utilizando una serie de reglas algebraicas en lugar
de trabajar con ecuaciones diferenciales. En este enfoque tiene más
valor la simplicidad que la exactitud.
Sistema (Realidad)
Saturación
Representación
de la realidad
Modelado
Ecuaciones diferenciales
y + 3 yy = f (t )
d
− sen = 0
dt
Otras No
Linealidades
Múltiples puntos
de equilibrio
Fricción
no lineal
Q p
−
+ p (t ) = f (t )
t t
G(s )
Linealización
Transformada
de Laplace
X (s )
Entrada
(una)
Características
dinámicas Lineales
5
s 2 + 2s + 5
km
 ms + 1
Y (s )
Salida
(una)
Función de Transferencia
Representación muy simplificada
de la realidad
Inconvenientes:
Sin embargo, la útil y sencilla descripción de sistemas mediante la función de
transferencia tiene las siguientes limitaciones:
• Solo es válida para sistemas lineales con una entrada
invariantes en el tiempo.
y una salida e
• Se necesita que las condiciones iniciales del sistema sean nulas.
• No proporciona información sobre la estructura física del sistema.
• No proporciona información de lo que pasa dentro del sistema.
Ningún sistema dinámico de interés
es
representado perfectamente bajo las restricciones
anteriores
Los sistemas reales presentan no linealidades,
pueden tener más de una entrada o salida, sus
parámetros cambian en el tiempo y sus
condiciones iniciales no siempre tienen un valor
de cero.
Afortunadamente:
Para muchos sistemas es posible considerar esas limitaciones, trabajar sobre un
punto de operación de interés, linealizar y utilizar las ventajas del análisis por
Laplace.
Sin embargo:
Otros sistemas y/o situaciones son tan complejos que no es posible utilizar este
enfoque.
Para este tipo de sistemas es muy común hacer uso de la representación en
espacio de estado.
La representación en espacio de estado presenta las
siguientes ventajas:
• Aplicable a sistemas lineales y no lineales.
• Permite analizar sistemas de más de una entrada o más de una
salida.
• Pueden ser sistemas variantes o invariantes en el tiempo.
• Las condiciones iniciales pueden ser diferentes de cero.
• Proporciona información de lo que pasa dentro del sistema.
• Resultados sencillos y elegantes.
Definiciones básicas
Sistema, se entenderá como una relación entre entradas y salidas.
Un Sistema es determinista, si a cada entrada le corresponde una y solo una
salida.
Sistema monovariable. Es aquel que solo tiene una entrada y una salida. Si el
sistema tiene más de una entrada o más de una salida se llamará multivariable.
Sistema causal o no anticipatorio. Es aquel que su salida para cierto tiempo, no
depende de entradas aplicadas en el pasado. Obsérvese que la definición implica
que un sistema no causal es capaz de predecir entradas futuras, por lo tanto la
causalidad es una propiedad intrínseca de cualquier sistema físico.
Sistema dinámico. Es aquel cuya salida presente depende de entradas pasadas y
presentes. Si el valor de la salida en y , depende solamente de la entrada aplicada
en u, el sistema se conoce como estático o sin memoria.
La salida de un sistema estático permanece constante si la entrada no cambia.
En un sistema dinámico la salida cambia con el tiempo aunque no se cambie la
entrada, a menos que el sistema ya se encuentre en estado estable.
Sistema invariante en el tiempo. Es aquel que tiene parámetros fijos o estacionarios con
respecto al tiempo, es decir, sus características no cambian al pasar el tiempo o dicho de otra
forma, sus propiedades son invariantes con traslaciones en el tiempo.
Representación por medio del espacio de estado
Con la representación en espacio de estado tenemos la capacidad de
conocer y controlar en cierta medida la dinámica interna de un sistema y
su respuesta.
Este método principia con la selección de las variables de estado, las
cuales deben de ser capaces en conjunto de determinar las condiciones
de la dinámica del sistema para todo tiempo.
Pueden existir varias representaciones en variables de estado para un
sistema.
En forma general, un sistema visto en espacio de estado tiene la siguiente
estructura
x = f ( x, t ) + g ( x, t )
Se considera que f(x, t) y g(x, t) son funciones suaves (una excepción pueden ser los
sistemas con discontinuidades). El vector
representa las variables de estado y el
vector u(t) representa el control. A la ecuación (1) se le llama ecuación del espacio de
estado.
x
Ahora se define la terminología empleada en espacio de estado:
Concepto de estado. El estado de un sistema al tiempo to es la cantidad de
información que junto con una entrada, nos permite determinar el
comportamiento del sistema de manera única para cualquier t.
Estado. Es el conjunto más pequeño de variables (denominadas variables de
estado) tales que el conocimiento de esas variables en .
conjuntamente
con el conocimiento de la entrada para determinan completamente el
comportamiento del sistema en cualquier tiempo t.
Variables de estado. Son las variables que constituyen el conjunto más pequeño
de variables que determinan el estado de un sistema dinámico. Si se requieren al n
variables ( x1, x2 ,..., xn ), se dice que el sistema es de orden n.
Vector de estado. Las n variables de estado forman el vector de estado, que
generalmente es un vector columna de dimensión [n x 1]. Donde n es el número
de variables de estado.
Sistemas lineales invariantes en el tiempo
Cuando se trata de sistemas lineales invariantes en el tiempo, la ecuación
(1), se transforma en:
(2)
x (t ) = Ax (t ) + Bu(t )
y(t ) = Cx(t ) + Du(t )
 x1 (t )   a11 a12
 x (t ) a
a22
 2  =  21

    
 x (t ) a
 n   n1 an 2
 a1n   x1 (t )   b11 b12
 a2 n   x2 (t ) b21 b22

+
      

 ann   xn (t ) bn1 bn 2
 y1 (t )   c11 c12
 y (t )   c
c22
 2  =  21

    
 y ( t )  c
 p   p1 c p 2
 c1n   x1 (t )   d11 d12
 c2 n   x2 (t )  d 21 d 22

+
      

 c pn   xn (t ) d p1 d p 2
(3)
 b1m   u1 (t ) 
 b2 m   u2 (t ) 


    
 bnm  um (t )
 d1m   u1 (t ) 
 d 2 m   u2 ( t ) 


    
 d pm  um (t )
Obtención de las ecuaciones de estado
Para realizar la representación en el espacio de estado, se necesita manipular las
ecuaciones del modelo de un sistema, de tal forma que se pueda obtener la razón
de cambio respecto al tiempo de cada variable de estado seleccionada.
La representación en espacio de estado puede ser derivada desde las ecuaciones
diferenciales que representan a un sistema, o desde cualquier arreglo de
ecuaciones diferenciales aunque estas no representen ningún sistema. Si no se
tiene el modelo matemático (ecuaciones diferenciales) será necesario obtenerlo
por medio de leyes o teorías (físicas, químicas, monetarias, entre otros.).
Una secuencia muy común para obtener el espacio de estado es la siguiente:
1. Identificar completamente el sistema. Conocer el sistema, que es lo que hace,
cuales son sus variables de interés, su comportamiento, su interrelación al
exterior, etc.
2. Identificar las leyes o teorías que gobiernan el comportamiento del sistema. Leyes
de termodinámica, Leyes dinámicas, segunda ley de Newton, Ley de voltajes y
corrientes de Kirchoff, Ley de Ampere, Ley de Ohm, Ley de Boyle, etc.
3. Definir las ecuaciones diferenciales que representen el comportamiento del
sistema. El grado de complejidad dependerá de la fidelidad del modelo al
comportamiento del sistema y de las necesidades de simulación, medición o
control. Los pasos 1,2,3 son básicos de cualquier modelado.
4. Seleccionar las variables de estado. Son las variables mínimas que determinan el
comportamiento dinámico del sistema. Si se escogen menos de las necesarias,
el espacio de estado no representa todo el comportamiento del sistema, si se
definen más, el espacio de estado es redundante.
5. Encontrar la dinámica de cada estado. Es decir, encontrar la razón de cambio
respecto al tiempo de cada variable de estado (su derivada).
6. Desplegar el arreglo de las dinámicas del estado como en la ecuación (1) o como
el arreglo de las ecuaciones (2)-(3) si las ecuaciones son lineales o linealizadas.
Ejemplo:
Represente por medio de espacio de estado el siguiente sistema
mecánico.
Resorte
u(t )
y (t )
k
masa
b
amortiguador
Donde: u(t) es la fuerza aplicada,
k
es la
constante del resorte, b es el coeficiente
de fricción viscosa. La fuerza del resorte
se considera proporcional a la posición y la
fuerza b del amortiguador es proporcional
a la velocidad.
masa.
y(t)
es la posición de la
Solución:
Utilizando la segunda ley de newton, se obtiene la ecuación de sumatoria de
fuerzas (esf):
masa  aceleraci ón = f . aplicada − f . amortiguador − f . resorte
f . = fuerza
(esf)
my(t ) = u(t ) − by (t ) − ky(t )
Se desea conocer la posición y la velocidad de la masa para todo tiempo. Por esta
razón se asignan como variables de estado.
x1(t ) = y (t )
x2 (t ) = y (t )
El siguiente paso es determinar las dinámicas del estado. Para la variable de
estado x1 ( t ) , su derivada es la variable de estado x2 ( t )
x1(t ) = y (t ) = x2 (t )
Mientras que la derivada del estado x2 ( t ) se obtiene de la ecuación de sumatorias
de fuerzas:
my(t ) = u(t ) − by (t ) − ky(t )

mx2 (t ) = u(t ) − bx2 (t ) − kx1(t )

k
b
1
x2 (t ) = − x1 (t ) − x2 (t ) + u(t )
m
m
m
Finalmente se agrupan las dos ecuaciones de estado:
x1(t ) = x2 (t )
k
b
1
x2 (t ) = − x1 (t ) − x2 (t ) + u(t )
m
m
m
como la representación es lineal, se puede indicar en matrices
1   x (t )   0 
 x1 (t )   0
1
k
b
=
+  1 u ( t )


 x (t ) −


 2   m − m   x2 (t )  m 
De la función de transferencia a la ecuación del estado
Método de salida de integradores. Se obtendrán las variables de estado integrando
sucesivamente la función de transferencia.
Suponga la siguiente función de transferencia
Ejemplo 1:
b1 s 2 + b2 s + b3
Y ( s)
= 3
U ( s) s + a1 s 2 + a 2 s + a3
Como primer paso se cruzan los denominadores
s 3 y + a1 s 2 y + a2 sy + a3 y = b1 s 2 u + b2 su + b3u
s 3 y + a1 s 2 y − b1 s 2 u + a2 sy − b2 su + a3 y − b3u = 0
Se realiza la primera integración, se toma una s como factor común:
s(s 2 y + a1 sy − b1 su + a2 y − b2 u) + a3 y − b3u = 0
(E1)
se define lo que queda dentro del paréntesis en (E1) como la primera variable de
estado.
x1 = s 2 y + a1 sy − b1 su + a2 y − b2 u
quedando (E1):
(E2)
sx1 + a3 y − b3u = 0
x1 = −a3 y + b3u
(E3)
La ecuación (E3) es la primera ecuación del estado. El procedimiento se repite, se
realiza la segunda integración. De (E2) se toma s como factor común:
x1 = s(sy + a1 y − b1u) + a2 y − b2 u
(E4)
se define lo que queda dentro del paréntesis en (E4) como la segunda variable de
estado.
(E5)
x = sy + a y − b u
2
1
1
quedando (E4):
x1 = sx2 + a2 y − b2 u
x 2 = x1 − a2 y + b2 u
(E6)
La ecuación (E6) es la segunda ecuación del estado. El procedimiento se repite, se
realiza la tercera integración. De (E5) se toma s como factor común:
x2 = s( y) + a1 y − b1u
(E7)
se define lo que queda dentro del paréntesis en (E7) como la tercera variable de
estado.
(E8)
x3 = y
quedando (E7):
x2 = sx3 + a1 y − b1u
x3 = x2 − a1 y + b1u
Las ecuaciones (E3), (E6), (E8) y (E9) forman el espacio de estado:
(E9)
x1 = −a3 x3 + b3u
x 2 = x1 − a2 x3 + b2 u
x3 = x2 − a1 x3 + b1u
y = x3
El resultado puede expresarse en forma matricial
 x1  0 0 − a3   x1  b3 
 x  = 1 0 − a   x  + b u
2  2 
 2 
 2
 x 3  0 1 − a1   x3   b1 
 x1 
y = 0 0 1 x 2 
 x3 
Ejemplo 2:
Si la función de transferencia carece de ceros entonces, puede
procede más directamente:
Y ( s)
K
= 3
U ( s ) s + 7 s 2 + 5s + 2
( s 3 + 7 s 2 + 5s + 2)Y ( s) = KU ( s)
y + 7 y + 5 y + 2 y = Ku
se define:
y1 = y, y2 = y , y3 = y
y la ecuación del estado queda:
y1 = y2
y 2 = y3
y 3 = −2 y − 5 y2 − 7 y3 + Ku
U (s)
K
s 3 + 7 s 2 + 5s + 2
Y (s)
Ejemplo 3:
Y ( s)
s + 4s + 5
= 4
U ( s) s + 17 s 3 + 5s 2 + 20s
3
2
Utilizando:
>> num=[1 4 0 5];
>> den=[1 17 5 20 0];
>> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
Se obtiene:
A=
-17
1
0
0
B=
1
0
0
0
C=
1
D=
0
-5 -20 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
x1 = −17 x1 − 5 x2 − 20 x3 + u

x2 = x1
x3 = x2
x4 = x3
4
0
5
y = x1 + 4 x2 + 5 x4
Transformada de Laplace de representaciones en
espacio de estado
Solo para sistemas lineales invariantes en el tiempo, una entrada, una salida, con
condiciones iniciales iguales a cero. De las ecuaciones (2)-(3)
x (t ) = Ax (t ) + Bu(t )
y(t ) = Cx(t ) + Du (t )
La transformada de Laplace de (2)-(3) es
sX ( s) − x0 = AX ( s) + BU ( s)
Y ( s) = CX ( s) + DU ( s)
(2)
(3)
Modificando las ecuaciones se tiene que
( sI − A) X ( s ) = x0 + BU ( s )
X ( s ) = ( sI − A) −1 x0 + ( sI − A) −1 BU ( s )
Y ( s ) = C ( sI − A) −1 x0 + C ( sI − A) −1 BU ( s ) + DU ( s )
si las condiciones iniciales son iguales a cero,

x0 = 0
, entonces

Y ( s) = C ( sI − A) −1 B + D U ( s)
o como normalmente se describe
Y ( s)
G( s) =
= C ( sI − A) −1 B + D
U ( s)
Ejemplo:
Obtenga la función de transferencia de la siguiente representación
en espacio de estado.
x1 = x2
x2 = −2 x1 − 3 x2 + u
y = x1
Y ( s)
G( s) =
= C ( sI − A) −1 B + D
U ( s)
1
s + 3 1

( sI − A) = 2
s + 3s + 2  − 2 s 
−1
 s + 3 1
 − 2 s  0
Y (s)
G( s) =
= 1 0 2
U (s)
s + 3s + 2 1

1
G( s) = 2
s + 3s + 2
CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD
Controlabilidad
Sea un sistema (escalar) dado en su representación en
espacio de estado
 .
( A, b, c)  x(t ) = Ax (t ) + bu (t )
 y (t ) = cx(t ).
Sean x(t0 ) y x(t1 ) puntos cualquiera del espacio de estado.
Se dice que el sistema (A,b,c) es controlable al tiempo t 0 si
existe una entrada u(t) que transfiere x(t0 ) a x(t1 ) al tiempo t 1.
32
A continuación se derivarán las condiciones bajo las cuales
un sistema (A,b,c) es controlable.
La solución de la ecuación de estado (con t 0 = 0) está dada
por
x(t ) = e x(0) + 0 e A(t − )bu ( )d .
At
t
Al tiempo t 1
x(t1 ) = e x(0) + 0 e A(t1− )bu ( )d .
At1
t1
Usando la fórmula de interpolación de Sylvester para la
matriz exponencial
n−1
e =  k (t ) Ak
At
k =0
se obtiene
n−1
x(t1 ) = e x(0) +  A b 0  k (t1 −  )u ( )d .
At1
k =0
k
t1
Definiendo
wk := 0  k (t1 −  )u ( )d
t1
tenemos que
n−1
x(t1 ) = e x(0) +  Ak b wk
At1
k =0
La ecuación anterior puede escribirse como
x(t1 ) − e At1 x(0) = b
 w0 
w 
Ab  An−1b  1 .
  
w 
 n−1 
Para que tenga solución la ecuación anterior, es necesario que
x(t1 ) − e At1 x(0)  Im b
Ab  An−1b
y como x(t0 ) y x(t1 ) son vectores cualquiera, entonces debe
de cumplirse que las columnas de la matriz
b
Ab  An−1b sean linealmente independientes.
La matriz
C = b
Ab  An−1b
se conoce como la matriz de controlabilidad del sistema.
Teorema 1. El sistema (A,b,c) es controlable si y solo si la
matriz de controlabilidad del sistema C = b Ab  An−1b
es no singular.
Para un sistema de orden 3 en forma canónica controlador,
donde
− a1
Ac =  1

 0
− a2
0
1
− a3 
0 ,

0 
1
bc = 0
 
0
tenemos que

C c = bc
Ac bc
1 −a1

2
Ac bc = 0 1
0 0


a1 − a2  1 a1

− a1  = 0 1

1  0 0
2
−1
a2 
a1  .

1 
En general, para un sistema de orden n en forma canónica
controlador, tenemos que
 1
 0

Cc = 
 

 0
a1
a2
1
0
a1
1



0
−1
an−1 
an − 2 

  .
a1 

1 
Para un sistema de orden 3 en la forma canónica de
controlabilidad, donde
0 0 − a3 
Aco = 1 0 − a2 ,


0 1 − a1 
1
bco = 0
 
0
tenemos que
1 0 0
C co = 0 1 0.


0 0 1
En general, para un sistema de orden n en la forma canónica
controlabilidad
C co = I n .
El sistema se dice alcanzable si existe una entrada que
transfiere la condición inicial x(0)=0 a cualquier estado x(n).
El sistema se dice controlable si existe una entrada que
transfiere una condición inicial x(0) cualquiera al punto cero.
Teorema 2. El sistema discreto (A,b,c) es alcanzable si y solo
si la matriz b
Ab  An−1b es no singular.
Observe que:
• La no singularidad de la matriz b Ab  An−1b es
condición suficiente para alcanzar el origen, pero no es
necesaria.
• Alcanzabilidad implica controlabilidad.
• Para sistemas continuos, ambos conceptos son equivalentes.
Observabilidad
El sistema (A,b,c) se dice observable al tiempo t0 , si es posible
determinar el estado x(t0 ) a partir del conocimiento de la
entrada u(t) y de la salida y(t) en un intervalo finito de tiempo.
Las condiciones bajo las cuales el sistema (A,b,c) es observable
se pueden obtener como se indica a continuación.
Considerando la salida del sistema y(t) y sus derivadas,
tenemos que
y (t ) = cx(t )
.
.
y (t ) = c x(t ) = cAx (t ) + cbu(t )
..
.
.
.
2
y (t ) = cA x(t ) + cb u (t ) = cA x(t ) + cAbu (t ) + cb u (t )

y ( n−1) (t ) = cAn−1 x(t ) + cAn−2bu (t ) +  + cbu ( n−2 ) (t ).
Lo anterior se puede escribir en forma matricial como
 0
  u (t ) 
 y (t )   c 

 .
 .
 


cA
0
 cb
  u (t ) 
 y..(t )  

  u..(t ) 
 y (t )  =  cA2  x(t ) +  cAb cb 



 


 
     
   
 n−2
  ( n−1) 
 y ( n−1) (t )  cAn−1 
cA
b

0


 

 u (t )


 
 


U (t )
Y (t )
O
T
En t=0, tenemos
Y (0) −TU (0) = Ox(0).
Con el conocimiento de Y (0) y U (0), el estado x(0) puede ser
determinado de manera única si las columnas de la matriz O
son linealmente independientes, esto es, si O es no singular, en
cuyo caso tendremos
x(0) = O −1[Y (0) − TU (0)].
La matriz
 c 
 cA 

O=
  
cAn−1 


se conoce como la matriz de observabilidad del sistema.
Teorema 3. El sistema (A,b,c) es observable si y solo si la
matriz de observabilidad es no singular.