ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 2016 – 1S CAPÍTULO: CONJUNTOS D E B E R 2 1.8 Conjuntos 1) (La paradoja del barbero) En un pequeño pueblo del Ecuador un barbero afirma: “Yo afeito a quienes no son capaces de afeitarse a sí mismos”. Si denominamos A al conjunto de las personas del pueblo que se afeitan a sí mismos, su complemento es el conjunto de las personas que no se afeitan a sí mismas. ¿A qué agrupación pertenece el barbero? 2) Indique claramente las características que debe cumplir una agrupación para ser considerada como conjunto. 3) Proporcione 2 ejemplos de agrupaciones que no representan conjuntos. 4) Proporcione 2 ejemplos de agrupaciones que sí representan conjuntos. 5) Especifique las diferentes maneras para describir un conjunto. 6) Identifique cuáles expresiones son conjuntos. Justifique su respuesta. a)
A = {1, A} b)
B = 1,{1} , {1} c)
C = 1,4,7 d)
D=
e)
∅ = {∅} {
{ }}
{{{{{∅}}}}} Respuesta: a) No, b) Sí, c) No, d) Sí, e) No 7)
8)
Defina: a) Cardinalidad de un conjunto. b) Conjunto vacío. c) Conjunto unitario. d) Conjunto finito. e) Conjunto infinito. f) Conjunto referencial. Proporcione 2 ejemplos de conjunto vacío. Proporcione 2 ejemplos de conjunto unitario. 9)
10) Proporcione 2 ejemplos de conjunto finito. 11) Proporcione 2 ejemplos de conjunto infinito. Página 1 de 31 12) Dado el conjunto referencial Re = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 , tabule los siguientes {
}
conjuntos: a)
b)
c)
{ ( ) ( )}
B = { x ( x > 2) → ( x es par )} C = { x ( x = 4) ↔ ( x = 5)} A = x x ≥ 3 ∧ x < 8 Respuesta: a) A = 3,4,5,6,7 , b) B = 1,2,4,6,8,10 , c) C = 1,2,3,6,7,8,9,10 {
}
{
}
{
}
13) Dados los conjuntos A = {*, a, {b, c}} , B = {b, s} , C = {{$}, &, {#},%} y D = {{+},i} , determine el valor de verdad de cada proposición: (
)(
)
a)
¬ b ∈ A ∨ & ∈ C b)
({+} ∈ D) → $%(a ∈ A) → ( s ∉ B)&' ( N ( D) = 2) ↔ (% ∈ C ) ({+} ∈ C ) ∨$%(b ∈ B) → (i ∈ C )&' c)
d)
Respuesta: a) 0 , b) 0 , c) 1 , d) 0 14) Dados los conjuntos A = x / x es vocal de la palabra mundial , B = e,b, g,h,k,u
{
}
{
}
C = { x / x es consonante de la palabra libertad } y D = {$,%,{&} ,?} , determine el valor de verdad de cada proposición: a)
b)
c)
d)
e)
" N A = 3 ∧ N C = 5 $ → " N B = 6 ∧ N D = 3 $ #
% #
%
{%} ∈ D → $% b ∈ C ∨ b ∈ B &' ! e ∈ A → i ∉ C # ↔¬ m ∈ B ) ( )$ (
)
"(
( () ) ( ( ) )
(
) ( )(
( () ) ( ( ) )
)
(m ∈ A) ∨ (% ∈ D) ∨ (% ∉ B) (# ∈ D) ∧$%(h ∈ B) → (d ∈ C )&' Respuesta: a) 0 , b) 1 , c) 1 , d) 1 , e) 0
1.9 Cuantificadores 15) ¿Para qué sirven los cuantificadores? 16) Defina: a) Subconjunto. b) Subconjunto propio. c) Conjunto potencia d) Conjuntos iguales. e) Conjuntos disjuntos. f) Conjuntos intersecantes. Página 2 de 31 17) Sea Re un conjunto que tiene un solo número, determine el valor de verdad de la 2
∀a ∈ Re, a +1 = a 2 + 2a +1 siguiente proposición: (
)
Respuesta: Verdadera. 18) Sea Re un conjunto finito de números, determine el valor de verdad de la siguiente proposición: ∃x ∈ Re, x −1 = 1+ x Respuesta: Falsa. 19) Sea Re = x x es persona , traduzca al lenguaje común las siguientes proposiciones: {
}
a) ∃x ∈ Re, x tiene menos de 20 años b) ∀x ∈ Re, x es ftubolista c) ¬∃x ∈ Re, x es latinoamericano d) ¬∀x ∈ Re, x es matemático 20) Dadas las siguientes proposiciones, tradúzcalas al lenguaje formal y escriba la correspondiente negación en español. a) Todos los estudiantes gustan de las ciencias. b) Existen personas que son buenos amigos. c) No todos los ecuatorianos son impuntuales. d) Existen celulares con los que se puede tomar fotos. 21) Dados los conjuntos A = {*, {*}, ∅, {∅}} y B = {π , {π }, ρ } , determine el valor de verdad de cada proposición: a)
b)
c)
({
)
! *,∅ ⊆ A ∧ ∅ ∉ A # ↔ π , π ⊆ B }
{ }
"{
$
π ,{π } ⊆ B → $& N P A = 8 ∨ N P B = 8 ') %
(
(
) (
)
}
({ } ) ( ( ( )) ) ( ( ( )) )
(∅ ⊆ P ( B)) ∨ (∅ ⊆ P ( A)) ∨ (π ⊆ P ( B)) Respuesta: a) 0 , b) 1 , c) 1 22) Considere el conjunto A = {@, $, {?,!}} , determine el valor de verdad de la siguiente proposición: $
%
{{?,!}} ⊆ P(A) ↔ {∅,{@}} ⊆ P(A) &' ∨$%+ N ( P ( P ( A))) = 256 ∧ {{{@}}} ∉ P ( P ( P ( A)))&',
Respuesta: Falsa. 23) Obtenga el conjunto potencia que corresponde a los siguientes conjuntos: a) A = 1,a,#,@ {
}
{{
b) B = 1, λ , Ω
}} c) C =
{{3},{1,4}} {{1},2,3} , B = {1,{2},3} y C = {1,2,{3}} Entonces, el valor de N ( P ( A) ∩ P ( B ) ∩ P (C )) es igual a: 24) Sean los conjuntos A =
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 6 Respuesta: b) Página 3 de 31 1.10 Operaciones entre conjuntos 25) Dados los conjuntos A y B no vacíos, determine la definición que es correcta: a)
b)
c)
d)
e)
{ ( ) ( )}
( A∩ B) = {x / ( x ∈ A) ∧ ( x ∈ B)} A − B = { x / ( x ∈ B) ∧¬( x ∈ A)} AΔ B = { x / !"( x ∈ A) ∧¬( x ∈ B)#$ ∨ !"( x ∈ B) ∧¬( x ∈ A)#$} A ⊂ B = { x / ( x ∈ A) → ( x ∈ B)} A∪ B = x / x ∈ A ∨ x ∈ B C
Respuesta: d) 26) Sean A y B subconjuntos de cierto referencial Re . Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela. a)
b)
c)
d)
e)
(
) (
) ( )
x ∈ ( A ∩ B) ≡ ¬( x ∈ A) ∧ ( x ∈ B) x ∈ ( A∩ B) ≡ %&¬( x ∈ A) ∨¬( x ∈ B)'( ( x ∈ ∅) → ( x ∈ A) ≡ 1 ( A ⊆ B) → ( B ⊆ A ) x ∈ A − B ≡ x ∈ A ∨¬ x ∈ B C
C
C
C
Respuesta: a) 27) Considere el conjunto Re = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 y los conjuntos A , B y C no {
(
}
)
vacíos, tales que: AC ∩ BC − C = 12 ( A∪C ) − B = {1,2,3,10,11} { }
( A∪ B) − C = {2,3,4,5,8,9} ( B ∪C ) − A = {7,8,9,10,11}
Tabule C . Respuesta: C = 1,6,7,10,11 {
}
28) Dados los conjuntos: Re = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} , A∩ B = {1,6} , A − C = {2,3,6} ,
(
A∪ B ∪C
)
C
= {10} ,
(
( B − C ) − A = {4,5},
)
C − A∪ B = {7,8,9}
Entonces es VERDAD que: a)
C − A = {7,8,9}
b)
B = {1,4,5,6,9}
c)
A∩ B ∩C = {1,9}
d)
C − B = {1,7,8}
e)
( B ∪C ) = {2,3}
C
Respuesta: a) Página 4 de 31 29) Sea el conjunto referencial Re = 1,2,3,4,5,6,7 y los conjuntos A = 1,2,3,4 , {
}
{
}
C
C
$
'
B = {2,5,6,7} y C = {5,6,7} ; entonces, el conjunto & A − B ∩ AC ∪ BC ) es igual %
(
) (
(
)
a: a) 1,2,3,4 {
b) 4,5,6 }
{
}
c) 1,2,4 {
d) 3,5,7 }
{
}
e) ∅ Respuesta: a) 30) Sean A , B y C subconjuntos no vacíos del conjunto referencial Re = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} , en el que se cumplen las siguientes condiciones: •
A = {2,3,4,5,6,10,11,12} •
B ∩C = {3,7,8,9} ( )
•
B − ( A∪C ) = {1} •
( A∩ B) − C = {10} Tabule el conjunto: B − ( A∩ B ) •
C − A∪ B = ∅ Respuesta: 1,7,8,9 {
}
31) Sean A y B subconjuntos no vacíos de un conjunto referencial Re , determine los elementos de A y B si se conoce: •
C
•
( A − B ) = {⊗,÷,∃,∞, ◊,Ω,Δ, π }
( A∩ A ) = {⊗,÷,∃,∀,∇,∞, ◊,Ω,Δ, π }
•
BC ∪ A = {◊,Ω,Δ, π ,∀,∇}
•
( A∪ B) = {◊,Ω} C
C
C
C
Respuesta: A = Δ, π ,∀,∇ , B = ∀,∇,⊗,÷,∃,∞, {
}
{
}
32) Los conjuntos Re , P , R y S , se definen como sigue: Re = { x x es cuadrilátero} P = { x x es paralelogramo} a)
b)
R = { x x es rectángulo} S = { x x es cuadrado} Elabore un diagrama de Venn que muestre la relación entre los conjuntos anteriores. Elabore nuevos diagramas de Venn para cada una de las operaciones entre conjuntos que se especifica: (
(i) P ∪ S
)
C
(
)
(ii) R ∪ S ∩ P
Página 5 de 31 33) Sean A , B y C subconjuntos del referencial Re , tales que: Re = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A∩ B = {1,2,3}
A∩C = {4,3}
B − C = {6,1,2}
C − A = {5,8,9}
A − C = {7,1,2} C − B = {4,8,9} Entonces el conjunto AΔ B ΔC es igual a: (
)
a) 4,9 b) 6,7,8,9 c) 1,2,3,8,9 d) 3,6,7,8,9 e) 0,1,2,3,6,7,8,9 { }
{
}
{
}
{
} {
}
Respuesta: d) 34) En el diagrama a continuación A , B y C son subconjuntos del referencial Re = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 5
I. Tabule los conjuntos: a)
( A∩ B) ∪C
b)
(A
C
)
∩C ∪ B
c) A − B
d) AΔC ∩ B
(
)
II. Sombree cada conjunto especificado en los ítems anteriores, utilice un diagrama para cada caso. 35) Escriba una expresión con operaciones de conjuntos para los siguientes diagramas de Venn: a) b) c) Página 6 de 31 36) Dado Re = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 y los conjuntos A , B y C tales que: A ⊂ B {
}
Ac = {3,4,5,8,9,10} B − C = {1,2,6,10}
C c − B = {4,9} B c = {3,4,8,9}
Tabule los conjuntos A , B y C . 1.11 Propiedades de las operaciones entre conjuntos 37) Sean A y B subconjuntos de un referencial Re , determine el valor de verdad de cada proposición. Si es verdadera, demuéstrela formalmente; y, si es falsa, proporcione un contraejemplo: a) Si x ∈ ∅ , entonces x ∈ A A ( )
c) Si x ∈ ( A∩ B ) , entonces x ∈ A d) Si x ∈ B , entonces x ∈ ( A∪ B ) e) Si ( A∪ B = ∅) , entonces A = ∅ y B = ∅ b) Si x ∈ A∪ B , entonces x ∈
38) Sean A y B subconjuntos de un referencial Re , con el uso del Álgebra Proposicional, A ⊆ B ≡ BC ⊆ AC demuestre formalmente que: 39) Sean A , B y C subconjuntos de un referencial Re , con el uso del Álgebra (
) (
) (
)
A − B ∪C = A − B ∩ A − C Proposicional, demuestre formalmente que: 40) Sean A , B y C subconjuntos de un referencial Re , con el uso del Álgebra (
)
A − ( B − C ) = ( A − B ) ∪ A − C C Proposicional, demuestre formalmente que: 41) Proporcione un contraejemplo para la proposición: A ⊆ B ∪ D → %& A ⊆ B ∨ A ⊆ D '( (
) (
) (
)
42) Sean A y B subconjuntos de un referencial Re, con el uso del Álgebra Proposicional, demuestre formalmente que: ⎡( A ∪ B ) ⊆ ( A ∩ B ) ⎤ ⇒ ( A = B ) ⎣
⎦
43) Demuestre formalmente que para cualquier par de conjuntos A y B se cumple que: (
)
( )
( )
(
)
N A∪ B = N A + N B − N A∩ B 44) Si A, B y C son tres subconjuntos del conjunto referencial Re , donde N Re = 20, N #$ A − B ∪C %& = 5, N #$ B − A∪C %& = 4, N #$C − A∪ B %& = 3, N A − B = 7 ( )
y (
(
)
(
)
)
(
)
C$
!
N # A∪ B ∪C & = 2 , entonces el número de elementos del conjunto "
%
(
)
( A∩ B) ∪ ( A∩C ) ∪ ( B ∩C ) es igual a: a)
3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Respuesta: d) Página 7 de 31 45) Dados los conjuntos A , B y C subconjuntos de Re = x / x ∈ Ν , x ≤ 10 que cumplen las siguientes condiciones: {
A∩ B = {3,9} (
C
(C ∪ B) = {1,2} }
( A∪ B ∪C )
A∩C = {9,10} C
= ∅ )
El conjunto B ∪C − A es igual a: b) 3,9,10 {
a) ∅ }
c) 1,2,3,6,7 d) 9 {
}
e) 4,5,6,7,8 {}
{
}
Respuesta: e) 46) Para los conjuntos no vacíos A , B y C , considere las siguientes proposiciones: p : !" N A = 3#$ → !" N P A = 9#$ q : #$ N B = 4 ∧ N C = 4 ∧ N B ∪C = 6 %& → #$ N B ∩C = 2%& r : !"2 < N C < 4#$ → !" N P C = 8#$ ( )
( ( ))
( () ) ( ( ) ) ( (
( )
( ( ))
) )
(
)
Identifique la proposición VERDADERA. (
(
)
)
(
)
(
)
a) q → p ∧ r b) r → p∨¬q c) p ∨ r ∧¬q d) ¬p ∧¬q ∨ r
(
)
e) q ↔ r ∧ p Respuesta: d) 47) Identifique la proposición VERDADERA sobre operaciones entre conjuntos: a)
b)
c)
d)
e)
( A ∩ B ) = A ∩ B ( A ∩ B ≠ ∅) → ⎡⎣( A ≠ ∅) ∧ ( B ≠ ∅)⎤⎦ A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) ( A ⊆ B ) ↔ ( A ⊆ B ) ⎡( A ⊆ B ) ∧ ( B ⊆ C ) ⎤ → ( C ⊆ A) ⎣
⎦
C
C
C
C
C
Respuesta: b) 48) En una encuesta realizada a 50 estudiantes que conocen ciudades de Manabí se obtuvieron los siguientes resultados: 10 conocen Chone, 21 conocen Manta, 26 no conocen Chone ni Manta. Entonces, el número de estudiantes que conocen Chone y Manta, es igual a: a) 3 b) 4 c) 7 d) 10 e) 14 Respuesta: c) 49) En un experimento para estudiar el secado de 80 hojas de plátano, se observó que 10 se secaron estando en sombra, con ventilador y con humedad controlada; 5 se secaron sólo en sombra; 3 sólo con ventilador y 6 sólo con humedad controlada; 15 se secaron con ventilador y humedad controlada, 30 se secaron con sombra y ventilador. Si todas las hojas fueron sometidas a alguna de estas 3 condiciones, determine el número de hojas que se secaron en sombra y humedad controlada. Respuesta: 41 Página 8 de 31 50) En una encuesta a un grupo de inversionistas se tiene que: •
100 invierten en acciones. •
120 invierten en valores. •
160 invierten en bonos. •
50 invierten en acciones y bonos. •
40 invierten en bonos y valores. •
10 invierten en acciones, valores y bonos. •
100 invierten en acciones o valores pero no bonos. Determine cuántos invierten sólo en valores. Respuesta: 50 51) En una encuesta a 100 amas de casa sobre las películas que vieron en el último mes se tiene que: 22 amas de casa vieron sólo Vengadores, 15 amas de casa vieron sólo Hombres de Negro y 18 vieron sólo Madagascar. 13 amas de casa vieron Vengadores y Hombres de Negro, 17 vieron Vengadores y Madagascar y 25 vieron Hombres de Negro y Madagascar. Si todas las encuestadas vieron al menos una de las 3 películas, ¿cuántas vieron las 3 películas? Respuesta: 5 52) En una encuesta realizada a personas que adquieren juguetes en vísperas de navidad se obtuvo la siguiente información: • 11 personas compran sólo en La Bahía. • 9 personas compran sólo en Pycca. • 14 compran en Mi Juguetería y la Bahía. • 5 compran en los tres lugares. • El número de personas que sólo compran en La Bahía y Pycca es igual al número de personas que sólo compran en Mi Juguetería y Pycca. • En La Bahía compran 3 personas más de las que compran en Pycca y en Pycca 3 personas más de las que compran en de las que compran en Mi Juguetería. ¿Cuántas personas compran en cualquiera de esos tres lugares? Respuesta: 55 53) En una clase de 60 estudiantes, 2/3 son mujeres y 2/5 de la clase están tomando clases de música. El máximo número de mujeres que NO están tomando clases de música es: a) 4 b) 16 c) 20 d) 36 e) 40 Respuesta: d) 54) Sean A , B y C subconjuntos no vacíos del conjunto referencial Re . La región sombreada del diagrama de Venn que se muestra, corresponde al conjunto: a)
(B
b)
BC ∪ (C C ∩ B) c)
( B − C ) ∩ AC ( A ∪ B ∪C ) ∩ AC ( A − B) ∪ #$( B − C ) − A%& d)
e)
C
∩ Re) ∪ (C C ∩ B) Respuesta: e) Página 9 de 31 55) Sea el conjunto referencial Re y los conjuntos A , B y C . Identifique la operación entre conjuntos que corresponde a la región sombreada: a) #$C − A∪ B %& ∪ #$ A∪ B − C %& (
b)
c)
d)
e)
( )
# A∩C − B% ∪ # A∩ B − C % ∪ #C − A∪ B % ) & $( ) & $ ( )&
$(
# A∩C − B% ∪ # A∩ B − C % ∪ #Re− A∪ B % ) & $( ) & $ ( )&
$(
# A∪ B − C % ∩ #C − A∪ B % ) & $ ( )&
$(
# B − A∩C % ∪ #C − A∩ B % )& $ ( )&
$ (
)
Respuesta: b) 56) Dada la región sombreada: Re Escriba 4 expresiones distintas con operaciones entre conjuntos para indicar el resultado de esta región sombreada. 57) Sean A , B y C tres subconjuntos no vacíos de un conjunto referencial Re : Respecto al diagrama de Venn adjunto, la región sombreada corresponde a: a)
b)
c)
d)
e)
( A − C ) ∪ ( B − A) #( A∩ B − C % ∪ #( B ∩C − A% ) & $
) &
$
#(C − A ∩ B% ∩ #( A − C ∩ B% ) & $
) &
$
B − ( A∩ B ∩C ) ( A∪ B) − ( A∩ B ∩C ) Respuesta: b) Página 10 de 31 58) Considere el diagrama de Venn adjunto. La región sombreada se puede representar por la siguiente operación entre conjuntos: Re
a)
A
B
b)
c)
d)
C
e)
⎡ B − ( A ∩ C ) ⎤ ∪ ⎡C − ( A ∩ B ) ⎤ ⎣
⎦ ⎣
⎦
⎡ A − ( B ∪ C ) ⎤ ∪ ⎡ B − ( A ∪ C ) ⎤ ⎣
⎦ ⎣
⎦
⎡ A − ( B ∩ C ) ⎤ ∪ ⎡C − ( A ∩ B ) ⎤ ⎣
⎦ ⎣
⎦
⎡ A − ( B ∩ C ) ⎤ ∪ ⎡ B − ( A ∩ C ) ⎤ ⎣
⎦ ⎣
⎦
⎡ B − ( A ∪ C ) ⎤ ∪ ⎡C − ( A ∪ B ) ⎤ ⎣
⎦ ⎣
⎦
Respuesta: b) 59) Si de un total de 150 alumnos que desean entrar a una institución, se tienen los siguientes datos: • 63 son mayores de 18 años. • A 66 les gusta hacer deporte. • 65 aprobaron el examen de selección. • 22 son mayores de 18 años y les gusta hacer deporte. • 25 les gusta hacer deporte y aprobaron el examen de selección. • 23 son mayores de 18 años y aprobaron el examen de selección. • 10 son mayores de 18 años, les gusta hacer deporte y aprobaron el examen de selección. Determine: a) La cantidad de alumnos que son mayores de 18 años, les gusta hacer deporte, pero no aprobaron el examen de selección. b) La cantidad de alumnos que les gusta hacer el deporte, aprobaron el examen de selección, pero no son mayores de 18 años. Respuesta: a) 12, b) 15 60) De un grupo de productos escogidos en un supermercado se sabe que: • 6 son altos en azúcar, grasa y sal. • 14 son altos en azúcar y grasa. • 16 son altos en azúcar y sal. • 36 son altos en azúcar. • 11 son altos en grasa y sal. • El número de productos altos solamente en sal es igual al doble del número productos altos solamente en grasa. • El número de productos altos en azúcar es igual al doble del número de productos altos solamente en sal. Determine el número de productos que son altos en grasa. Respuesta: 28 61) De un total de 19 estudiantes que realizan su práctica de laboratorio de química, se tiene que: 10 están realizando titulación, 14 están realizando filtración al vacío, 8 están realizando decantación, 5 están realizando filtración al vacío y decantación al mismo tiempo, 4 están realizando titulación y decantación, 3 estudiantes están realizando las tres actividades al mismo tiempo, 11 están realizando titulación o filtración al vacío pero Página 11 de 31 no decantación. Entonces, la cantidad de estudiantes que realizan sólo filtración al vacío es igual a: a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7 Respuesta: c) 62) En una encuesta sobre el consumo de bebidas, se obtuvieron los siguientes datos: • 67% beben A o B, y 13% beben ambas. • 59% beben B o C, y 11% beben ambas. • 75% beben A o C, y 15% beben ambas. • 3% beben A, B y C. • 16% no consumen ninguna de las tres. El porcentaje de personas que consume sólo la bebida A o sólo la bebida B, es igual a: a) 17 b) 25 c) 26 d) 34 e) 42 Respuesta: d) 1.12 Predicados de una variable 63) Defina: a) Predicado de una variable. b) Conjunto de verdad de un predicado. c) Predicado compuesto. ()
()
64) Dado el conjunto referencial Re y los predicados p x y q x , con el uso del Álgebra de Conjuntos, demuestre formalmente que: A!" p x ∧¬q x #$ = Ap x ∩ AC q x ()
()
()
()
()
()
65) Dado el conjunto referencial Re y los predicados p x y q x , con el uso del Álgebra de Conjuntos, demuestre formalmente que: A"# p x → q x $% = AC p x ∪ Aq x ()
()
()
()
66) Dado el referencial Re = −3,−2,−1,0,1,2,3 y los predicados: {
}
( ) ( x + 2) ( x −1) = 0 p x :
y q x : x 2 > 1 ()
Determine: a)
b)
c)
d)
e)
()
A"#¬p ( x ) ∧ q ( x )$% A"#¬p ( x ) → ¬q ( x )$% A"# p ( x ) ∨ q ( x )$% A"# p ( x ) ↔ q ( x )$% Ap x {
}
{
}
{
}
{
}
{
}
Respuesta: a) −2,1 , b) −3,2,3 , c) −2,−1,0,1 , d) −3,1,2,3 , e) −2,−1,0 Página 12 de 31 67) Sea el conjunto referencial Re = {10,15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50} y los predicados: q ( x ) : x!es!divisible!para!3 p ( x ) : x!es!múltiplo!de!10 Identifique la proposición VERDADERA. a) A "# p ( x ) ∧ q ( x )$% = {45} b) A "# p ( x ) ∨ q ( x )$% = {10, 20, 30, 45, 50} c) A "# p ( x ) ∨¬q ( x )$% = {10,15, 20, 25, 30, 35} d) A "# p ( x ) → q ( x )$% = {15, 25, 30, 35, 45} e) A "#¬p ( x ) ∧ q ( x )$% = {15, 25, 35, 45} Respuesta: d) 68) Dado Re = −2,−1,0,1,2,3,4,5 , determine el valor de verdad de cada proposición: {
}
a)
b)
∀x, x 2 < 10 ∃x, x + 5 = 1− x c)
(∃x,
d)
(∀x,
e)
)
) (
¬( x = 25)) → (∃x, ( x − 4) ( x + 3) = 0) x 2 = 16 → ∀x, x > −2 2
∃x, x = −x Respuesta: a) 0, b) 1, c) 0, d) 1, e) 1 69) Sea el conjunto referencial Re = {2, 4, 6, 7, 8} , identifique la proposición VERDADERA: d)
(
)
∃x ( x + 7 = 9) ∀x ( x − 2 > 1) ∃x ( x + a = a ) e)
∃x x 3 + 5 = 6 a)
b)
c)
∀x x +1< 8 (
)
Respuesta: b) 70) Dado el referencial Re = −3,−2,−1,1,2,3,4 y los predicados: {
}
p x : x 2 > 0 q x : 2x −1> 1 r x : x 2 = 25 s x : x es par ()
()
()
()
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: ()
e) ∃x r ( x ) i) ∃x ¬p ( x )
a) ∃x p x ()
f) ∀x r ( x ) j) ∀x ¬p ( x ) b) ∀x p x ()
g) ∃x s ( x ) k) ∀x ¬r ( x ) c) ∃x q x ()
h) ∀x s ( x ) l) ∃x ¬s ( x ) d) ∀x q x Respuesta: a) 1, b) 1, c) 1, d) 0, e) 0, f) 0, g) 1, h) 0, i) 0, j) 0, k) 1, l) 1 Página 13 de 31 71) Respecto al tema anterior, determine el valor de verdad de cada proposición: a)
b)
c)
d)
∀x, #$ p x → q x %& ∃x, #$q x ∧¬q x %& ∀x, #$r x ↔¬q x %& ()
()
()
(∀x r ( x)) ↔
()
()
()
(∀x ¬p ( x)) Respuesta: a) 0, b) 0, c) 0, d) 1 72) La NEGACIÓN de la proposición: ∀x
a)
b)
c)
d)
e)
(( p ( x ) → q ( x )) ∧ r ( x )) , es equivalente a: (
)
∃x (( p ( x ) → q ( x )) ∨ r ( x )) ∃x ((¬p ( x ) → ¬q ( x )) ∨¬r ( x )) ∃x (( p ( x ) ∨¬q ( x )) ∨¬r ( x )) ∃x (( p ( x ) ∧¬q ( x )) ∨¬r ( x )) ∃x ( p ( x ) → q ( x )) ∧ r ( x ) Respuesta: e) (() ( ()
( ))) , se obtiene: 73) Al NEGAR la proposición ∃x q x ∧ ¬q x → ¬p x
a)
b)
c)
d)
e)
( ( ))
∀x ( q ( x ) ∧ p ( x )) ∀x (¬q ( x )) ∃x (¬q ( x )) ∀x (¬p ( x )) ∀x q x Respuesta: c) ( ( ) ( ( ) ( ))) , es equivalente a: 74) La NEGACIÓN de la proposición: ∀x p x → ¬p x ∧ q x
a)
b)
c)
d)
e)
()
∀x ¬q ( x ) ∃x p ( x ) ∃x ¬p ( x ) ∀x ¬p ( x ) ∃x q x Respuesta: c) Página 14 de 31 75) Determine el valor de verdad de cada proposición, justifique formalmente su respuesta: a)
b)
c)
(∀x p ( x) ∨ ∀x q ( x)) → ∀x ( p ( x) ∨ q ( x)) (∃x p ( x) ∧ ∃x q ( x)) → ∃x ( p ( x) ∧ q ( x)) ()
()
Si N Re ≠ 0 , entonces ∀x ¬p x → ∃x ¬p x ( )
76) Para cada caso, defina los conjuntos referenciales y los predicados adecuados. Luego, con el uso de cuantificadores traduzca formalmente: a) Todo número entero es real. b) Algún ciudadano es libre. c) No es cierto que algún árbol es verde. 77) Escriba en español la negación de la proposición: “Ningún turista ecuatoriano paga por acceder al zoológico de Guayaquil”. 78) Escriba en español la negación de la proposición: “Algunos celulares inteligentes no almacenan más de mil fotos”. 79) Escriba en español la negación de la proposición: “Existen mamíferos acuáticos que no soportan una alta presión”. 80) Dadas las siguientes proposiciones, tradúzcalas al lenguaje formal y escriba la correspondiente negación en español. a) Todos los estudiantes, excepto los responsables, dejan las tareas para el último momento. b) Existen algunas personas que si obtienen un alto cargo administrativo entonces cambian su comportamiento con sus amigos. 81) Dada la proposición: “Si todos los mamíferos son vertebrados, entonces existe al menos un vertebrado que no es acuático”. a) Defina el conjunto referencial y los predicados adecuados, y tradúzcala al lenguaje formal. b) Escriba la negación de esta proposición en español. Predicados de dos variables 82) Defina: a) Predicado de 2 variables. b) Conjunto de verdad de un predicado de 2 variables. 83) Dados los referenciales Re x = −2,−1,0,1,2,3 y Re y = −1,0,1,2,3,4,5 y el predicado {
}
{
}
( )
p x, y : x > y , indique cuáles de las siguientes expresiones son predicados de una variable y cuáles son proposiciones. ( )
∀y∃x p ( x, y ) ∀x ¬p ( x, y ) a) ∀x p x, y b)
c)
Página 15 de 31 ( )
¬p ( x,2) ∀y p (1, y ) d) p x,3 e)
f)
84) La negación de la proposición: ∀x∃y &' x < y →
) (( x = 3) ∨ ( y ≥ 4))() es equivalente a: (
a) ∃x∀y %& x < y ∧ x = 3 ∧ y ≥ 4 '( b)
c)
d)
e)
( ) ( ) ( )
∃x∀y %&( x < y ) ∧ ( x ≠ 3) ∧ ( y < 4)'( ∃x∀y %&( x ≥ y ) ∧ ( x = 3) ∧ ( y ≥ 4)'( ∃x∀y &'( x ≥ y ) ∧ ( x ≠ 3) ∧ ( y ≥ 4)() ∃x∀y &'( x ≥ y ) ∧ ( x ≠ 3) ∧ ( y < 4)() Respuesta: b) 85) Dados los conjuntos referenciales Re x = −1,0,1,2 y Re y = 0,1,2,3,4 , determine el {
}
{
}
( ) ( y = x) ∨ ( y = −x) y determine el valor de conjunto de verdad del predicado p x, y :
verdad de las siguientes proposiciones: ( )
∀x∃y p ( x, y ) ∃x∀y p ( x, y ) ∀x∀y p ( x, y ) ( )
∃x p ( x,0) ∀y p (−1, y ) ∀y p ( 2, y ) a) ∃y∀x p x, y e) ∀x∃y ¬p x, y b)
f)
c)
d)
g)
h)
Respuesta: a) 0, b) 1, c) 0, d) 0, e) 1, f) 1, g) 0, h) 0 86) Dados los referenciales Re x = −1,0,1,2 y Re y = 0,1,2,3,4 , determine el conjunto de {
( )
verdad del predicado q x, y :
}
{
}
x > y y determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: ( )
∀x∃y q ( x, y ) ∃x∀y q ( x, y ) ∀x∀y q ( x, y ) ( )
∃x q ( x,0) ∀y q (−1, y ) ∀y q ( 2, y ) a) ∃x∃y q x, y e) ∀y∃x ¬q x, y b)
f)
c)
d)
g)
h)
Respuesta: a) 1, b) 0, c) 0, d) 0, e) 1, f) 1, g) 0, h) 0 Página 16 de 31 87) Dados los conjuntos referenciales Re x = 0,1,2,3 y Re y = 0,1,2,3,4,9 y el predicado
{
}
{
}
( )
p x, y : x = y
Identifique la proposición FALSA: a)
b)
c)
d)
e)
( ) {( ) ( ) ( ) ( )}
∃x∃yp ( x, y ) ∀x∃yp ( x, y ) ∃x∀yp ( x, y ) Ap ( x, y ) ≠ ∅ Ap x, y = 0,0 , 1,1 , 2,4 , 3,9 Respuesta: d) 88) Dados los conjuntos referenciales Re x = −1,0,1,2 y Re y = 0,1,2,3,4 , y el predicado {
}
{
}
( ) ( y = x) ∨ ( y = −x) , determine el conjunto de verdad de los siguientes p x, y :
predicados. ( )
p (1, y ) ( )
∀x p ( x, y ) a) p x,2 c) ∃y p x, y b)
d)
Respuesta: a) 2 , b) 1 , c) −1,0,1,2 , d) ∅ {}
{} {
}
89) Dados los referenciales Re x = −1,0,1,2 y Re y = 0,1,2,3,4 , y los predicados {
}
{
}
r x, y : y = 0 y t x, y : x 2 + y 2 = −1 , determine el conjunto de verdad de cada ( )
( )
predicado. ( ) {(−1,0) , (0,0) , (1,0) , (2,0)} , At ( x, y ) = ∅ Respuesta: Ar x, y =
90) Respecto al tema anterior determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
( )
∀x∃y r ( x, y ) ∃x∀y t ( x, y ) ∀x∀y t ( x, y ) ∃x∃y r x, y a)
b)
c)
( )
( )
∃x r ( x,0) → ∀y t ( y,0) d) ∀x r x,0 → ∃y t y,0 e)
Respuesta: a) 1, b) 1, c) 0, d) 0, e) 0, f) 0 91) La negación de: “Todas las computadoras tienen dañada alguna de sus teclas”, es: a) Al menos una computadora tiene dañada al menos alguna tecla. b) Ninguna computadora tiene dañada una de sus teclas. c) Existen computadoras que no tienen dañada tecla alguna. Página 17 de 31 d) Todas las computadoras tienen dañada la totalidad de sus teclas. e) No existen computadoras con teclas dañadas Respuesta: c) 92) Determine el valor de verdad de cada proposición: a) ¬#$∃x∃y ( p ( x, y ) → q ( x, y ))%& ≡ ∀x∀y #$ p ( x, y ) ∧¬q ( x, y )%& b) ¬#$∃y∃x ( p ( x ) ∧ q ( y ))%& ≡ ∀y∀x #$¬p ( x ) ∧¬q ( y )%& c) #$( Ap ( x ) = Re) ∧¬( Ap ( x ) = ∅)%& ≡ #$∀xp ( x ) ↔ ∃p ( x )%& Respuesta: a) 1, b) 0, c) 0 93) Dados los conjuntos referenciales Re x = −1,0,1,2 y Re y = 0,1,4 y el predicado {
}
{
}
p(x, y): “y es el cuadrado de x”, entonces es FALSO que: a) ∀x∃yp x, y b) ∀x∃y¬p ( x, y ) c) ∃x∃yp x, y d) ∃y∃xp ( x, y ) e) ∃y∀xp ( x, y ) ( )
( )
Respuesta: e) 94) Sean los conjuntos referenciales Re x = 1, 2, 3 , Re y = {a, b, c, d } y el predicado {
}
( )
p x, y : " x" es el número que indica el lugar que ocupa " y" en el abecedario Entonces es VERDAD que: a)
b)
c)
d)
e)
( )
∃y ∀x p ( x, y ) ∃x ∀y p ( x, y ) ∀y ∃x p ( x, y ) ∀x ∀y p ( x, y ) ∀x ∃y p x, y Respuesta: a) 95) Dados los conjuntos referenciales Re x = −1,0,2,4 , Re y = 1,2,5,10 y el predicado {
}
{
}
p x, y : x 2 +1 = y , determine: ( )
b)
( )
El conjunto de verdad: Ap ( 2, y ) c)
El valor de verdad de la proposición: ∀x∃yp x, y → ∃x∀yp x, y a)
El conjunto de verdad: Ap x, y ( )
( )
Respuesta: a) Ap ( x, y ) = {(−1,2) , (0,1) , ( 2,5)} , b) Ap ( 2, y ) = {( 2,5)} , c) 1 Página 18 de 31 96) Dados los conjuntos referenciales Re x = −2,−1,0,1,2,3 y Re y = −2,−1,0,1,2 , y el {
( )
predicado p x, y :
}
{
}
x ≤ y . Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: ( )
∃x∃yp ( x, y ) ∃x ( x,2) ∀yp (−2, y ) ∃y∀xp x, y a)
b)
c)
d)
Respuesta: a) 0, b) 1, c) 1, d) 1 97) Sean los conjuntos referenciales Re x = −3,−1,2,4 , Re y = 2,4,6 y el predicado {
( ) ( x − y)
p x, y :
a) 0 2
}
{
}
( ( ))
= x 2 − y 2 , entonces N Ap x, y es igual a: b) 2 c) 6 d) 8 e) 12 Respuesta: b) 98) Tomando en consideración: Re x = { x / x es un acontecimiento histórico del Ecuador} Re y = { y / y es una fecha} (
y el predicado p x, y : El evento x ocurrió en la fecha y )
Interprete en lenguaje natural cada proposición: a)
b)
∀x∃y #$ p x, y %& ∃y∀x #$ p x, y %& ( )
( )
c)
∀y∃x #$ p x, y %& d)
∃x∀y #$ p x, y %& (
)
( )
99) Dados los conjuntos referenciales Re x = −2,−1,0,1,2,3 y Re y = −2,−1,0,1,2 , y el {
}
{
}
( )
∀x∃y p ( x, y ) ∃x∀y p ( x, y ) ∃y p (3, y ) ∀y p (−2, y ) ∀y ¬p ( y, y ) predicado p x, y : x es menor o igual que y . Determine el valor de verdad de: a)
b)
c)
d)
e)
Respuesta: a) 0, b) 1, c) 0, d) 1, e) 0 Página 19 de 31 Razonamientos con predicados y cuantificadores 100) En una pequeña localidad del país “Todos los que tienen Facebook tienen Twitter e Instagram, pero Pancho no tiene Twitter”. ¿Cuál o cuáles de las siguientes conclusiones se pueden inferir a partir del enunciado anterior? a) Pancho no tiene Instagram. b) Pancho no tiene Facebook. c) Pancho tiene Instagram. Respuesta: a) No, b) Sí, c) No 101) Determine la validez del siguiente razonamiento: “Ninguna rana es batracio. Existen ranas que son acuáticas. René es un batracio acuático. Entonces, René no es una rana.” Respuesta: Válido. 102) Determine la validez del siguiente razonamiento: “Todas las bebidas alcohólicas son dañinas. Todas las bebidas dañinas causan enfermedades. En consecuencia, todas las bebidas alcohólicas causan enfermedades.“ Respuesta: Válido. 103) Determine la validez del siguiente razonamiento: “Nadie que tiene como interés primario ganar las elecciones es un verdadero liberal y todos los políticos activos son personas cuyo interés primario es ganar las elecciones; en consecuencia, ningún verdadero liberal es un político activo.” Respuesta: Válido. 104) Determine la validez del siguiente razonamiento: “Ninguna persona débil es un líder sindical, porque ninguna persona débil es un verdadero liberal y todos los líderes sindicales son verdaderos liberales.” Respuesta: Válido. 105) Determine la validez del siguiente razonamiento: “Todos los profesionales son respetables. Ningún vendedor de Yanbal es profesional. Existen profesionales que son doctores. Luego, si Carlos es un doctor respetable, Carlos no es vendedor de Yanbal”. Respuesta: No válido. 106) Sean H1 , H 2 , H 3 y H 4 hipótesis de un razonamiento y C su conclusión. Defina un referencial para el razonamiento y determine su validez. H1 : Todos los ratones son una plaga. H 2 : Existen roedores que son ratones. H 3 : Ninguna plaga es tomada como mascota. H 4 : Jerry es un roedor. C : Existen roedores que no son tomados como mascotas. Respuesta: Válido. Página 20 de 31 107) Dadas las siguientes hipótesis de un razonamiento: H1 : Todos los ecuatorianos son futbolistas. H 2 : Ningún futbolista es lento. H 3 : Algunos hombres son futbolistas. Una conclusión C que hace VÁLIDO el razonamiento es: a) Algunos ecuatorianos no son futbolistas. b) Todo futbolista es hombre. c) Todo futbolista es lento. d) Algunos hombres no son futbolistas. e) Algunos hombres no son lentos. Respuesta: e) 108) Considere las siguientes premisas de un razonamiento: P1 : Todos los barcelonistas son hombres. P2 : Algunos hombres son fieles. P3 : Hay mujeres que son fieles. P4 : No existen barcelonistas que no sean fieles. Entonces una conclusión para que el razonamiento sea válido es: a) Algunos barcelonistas no son fieles. b) Todas las mujeres no son fieles. c) Todas las mujeres son fieles. d) Todos los fieles son hombres. e) Todos los hombres barcelonistas son fieles. Respuesta: e) 109) Dadas las premisas de un razonamiento: P1 : Las tribus no contactadas son tribus nómadas. P2 : Las tribus nómadas son tribus cazadoras y guerreras. P3 : Existen tribus cazadoras que no son nómadas y habitan en Ecuador. P4 : La tribu Huaorani es una tribu no contactada. Determine al menos dos conclusiones, distintas a las hipótesis, con las cuales el razonamiento sea válido. () () ()
{∀x #$ p ( x) → q ( x)%&∧∀x #$q ( x) → r ( x)%&} → ∀x #$ p ( x) → r ( x)%& 110) Dado Re ≠ ∅ y los predicados p x , q x y r x , demuestre formalmente que: () () ()
{∀x #$ p ( x) → q ( x)%&∧∃xp ( x)} → ∃xq ( x) 111) Dado Re ≠ ∅ y los predicados p x , q x y r x , demuestre formalmente que: Página 21 de 31 112) Dadas las siguientes hipótesis: H 1 : Todo profesional tiene título. H 2 : Ningún irresponsable tiene título. H 3 : Algunos profesores tienen título. Entonces una conclusión que se puede inferir de las premisas anteriores es: a) Ningún profesional es profesor. b) Ninguno que tiene título es profesional. c) Existen profesores que son irresponsables. d) Ningún irresponsable es profesional. e) Algunos irresponsables son profesionales. Respuesta: d) 113) Dadas las siguientes premisas: P1 : Todos los que votan son adultos. P2 : Algunos abuelitos no votan. Una conclusión C que hace válido el razonamiento #$ P1 ∧ P2 → C %& es: a) Algunos abuelitos son adultos. b) Todos los que votan no son abuelitos. c) No todos los abuelitos votan. d) No todos los abuelitos son adultos. e) Todos los adultos son abuelitos. (
)
Respuesta: c) 114) Sean las premisas: P1 : Todos los números racionales son reales. P2 : Ningún número imaginario es real. P3 : Algunos números complejos son reales. (
)
Indique la validez del razonamiento P1 ∧ P2 ∧ P3 → C para cada conclusión planteada: a) Ningún número racional es complejo. b) Ningún número imaginario es racional. Respuesta: a) No válido, b) Válido 115) Si se tienen las hipótesis: H 1 : Todos los terremotos son temblores. H 2 : No todo temblor es terremoto. H 3 : Algunos terremotos son tsunami. Determine la validez del razonamiento para cada conclusión planteada: a) Algunos terremotos no son tsunami. b) Ningún terremoto es temblor. Respuesta: a) No válido, b) No válido Página 22 de 31 1.13 Pares ordenados y producto cartesiano 116) Defina: a) Par ordenado. b) Producto cartesiano. c) Terna ordenada. 117) Sean A = 1,2 y B = 3,4,5 el producto cartesiano A × B tiene: { }
a)
b)
c)
d)
e)
{
}
2 elementos 3 elementos 4 elementos 5 elementos 6 elementos Respuesta: e) 118) Un equipo de básquetbol, necesita un uniforme nuevo. En la tienda le ofrecen dos tipos, 𝑇 = 𝑜𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑛𝑜 𝑜𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ; en tres colores disponibles, 𝐶 = 𝑎𝑧𝑢𝑙, 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒, 𝑟𝑜𝑗𝑜 . Determine el conjunto T × C e interprételo. 119) Demuestre formalmente las siguientes propiedades del producto cartesiano: a)
b)
c)
( ) ( ) ( )
A× ( B ∪C ) = ( A× B) ∪ ( A× C ) A× ( B − C ) = ( A× B) − ( A× C ) A× B ∩C = A× B ∩ A× C 120) Sea 𝑆 = 100,101, ⋯ ,999 , determine: a) La cardinalidad de 𝑆. b) Especifique tres conjuntos A, B y C, tales que cada uno contenga los dígitos que permitan construir los números de tres cifras especificados en 𝑆. La relación que se debe formar es que cada elemento de los 3 conjuntos tenga la característica de que al menos un dígito sea un 3 o un 7. Ejemplos: 300, 707, 736, etc. 121) Se cumple la propiedad conmutativa en el producto cartesiano entre dos conjuntos cualesquiera A y B : a) Verdadero b) Falso 122) Determine los valores de a y b que hacen que se cumpla la siguiente igualdad entre pares ordenados: !
1$
# a + b, & = 1,a − b 2%
"
(
)
123) Demuestre formalmente que: ( A ⊂ D) ∧ ( B ⊂ E ) ≡ ( A× B) ⊂ ( D × E ) Página 23 de 31 124) Sean los conjuntos: A = { x ∈! −1 ≤ x ≤ 2} ( ! es el conjunto de los números enteros) B = { x ∈! −1 ≤ x ≤ 2} ( ! es el conjunto de los números enteros positivos) Determine: A × B y B × A 125) Sean A = 1,2 , B = a y C = 1,3 , tabule el conjunto: A × B × C { }
{}
{ }
126) Sean A , B y C conjuntos no vacíos de cierto referencial. Entonces es FALSO que: ( A∩ B) × C = ( A× C ) ∩ ( B × C ) A× ( B ∩C ) = ( A× B) ∩ ( A× C ) B × A = {( x, y ) / ( x ∈ B) ∧ ( y ∈ A)} Si N ( A) = N ( B ) , entonces A × B = B × A Si N ( A) = 4 y N ( B ) = 2 , entonces N ( P ( A× B )) = 256 a)
b)
c)
d)
e)
Respuesta: d) (
)
127) Sean A , B y C conjuntos no vacíos y disjuntos. Si se conoce que N A× B × C = 24 , (
( )
)
N A∪ B = 7 y N C = 2 , entonces la suma de las posibles cardinalidades del conjunto A es igual a: a) 1 b) 3 c) 6 d) 7 e) 12 Respuesta: d) 128) Dados los conjuntos disjuntos A y B ; y, un conjunto C tal que C ⊆ B . Si se sabe que N ( A) = 4 , N ( B − A) = 3 y N ( B − C ) = 2 , entonces el valor de N ( A × C ) es: a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 Respuesta: a) 129) Sean A , B y C tres conjuntos tales que: A = {a,b,c} , B = { x, y, z} y C = {1,2,3,4} Identifique la proposición FALSA. (
)
(
) ( )
a)
N A× B × C = N A× B ⋅ N C b)
{(a, x,1)} ⊂ A× B × C ( y,c,2) ∈ A× B × C N (C × C ) ≥ N ( B × A) {(a, z,3) , (c, x,3)} ⊆ A× B × C c)
d)
e)
Respuesta: c) Página 24 de 31 130) Dado el conjunto D = a,1,% . Identifique la proposición FALSA: {
( ( ))
a)
N P D = 8 b)
∅ ∈ P D c)
{a,1,%} ∉ P ( D) d)
)
{a,1} ∈ P ( D) e)
}
( )
(
N D × D = 9 Respuesta: c) 1.14 Relaciones 131) Defina: a) Relación de A en B . b) Composición entre dos relaciones. { } {
}
R = {( 3,2 ) ,(1,8) ,(5,4 )} es una relación de A en B . R = {( 2,3) ,( 6,1) ,( 4,5)} es una relación de B en A . R = {( 3,6 ) ,(1,4 ) ,(5,8) ,( 2,1)} es una relación de A en B . 132) Sean: A = 1,3,5 , B = 2,4,6,8 . Determine la proposición FALSA. a)
b)
c)
1
2
3
{
}
{
Respuesta: c) }
133) Sean: A = 1,3,5 , B = 2,4,6,8 , determine los elementos que conforman cada relación: {( x,y ) ( x ∈ A) ∧ ( y ∈B) ∧ ( x > y )} = {( x,y ) ( x ∈ A) ∧ ( y ∈B ) ∧ ( x > y )} a)
R1 =
b)
R2
134) Determine el dominio y el rango de las dos relaciones definidas en el ejercicio anterior. {
}
135) Sea: R : A → A una relación, donde A = 1,2,3,!,10 dada por {
{
}
R = (1,1) ,(1,2 ) ,(1,3) ,( 2,4 ) ,( 2,5) ,( 7,6 ) }
{
}
Respuesta: domR = 1,2,7 ,rgR = 1,2,3,4,5,6
{
} B = {1,2,3} , S = {( 2,1) ,( 3,1) ,( 2,4 ) ,( 3,5)} 136) Sean: A = 1,2,3,4,5 , C = {1,4,5,8} , {
}
R = (1,2 ) ,( 3,2 ) ,( 4,1)
y Determine, de ser posible: S ! R Página 25 de 31 {
}
137) Sean: A = 2,3,4,5,6 y R =
{( x,y ) ( x ∈ A) ∧ ( y ∈ A) ∧ x − y es divisible por 3} Tabule R por extensión. 138) Determine el dominio y el rango de la relación del ejercicio anterior. (
139) Sean S y T relaciones de X → Y , pruebe que: S ∩ T
)
−1
= S −1 ∩ T −1 140) Considere los conjuntos A = Martha,Susan, Hilda, Ivette, Ivonne,Victoria y {
}
B = { Jorge, Alfredo, José, Eduardo, Antonio, Alberto, David } . Si se define la relación: {( ) (
) (
} )
R1 = x, y / x ∈ A ∧ y ∈ B ∧" x tiene letras repetidas y esa letra consta en el elemento y"
Determine: a) El diagrama sagital de R1 b)
c)
dom R1 rg R1 141) Considerando los conjuntos del tema anterior, si se define la relación: R2 = {( x, y) / ( x ∈ B) ∧ ( y ∈ A) ∧"x!no!comienza!en!consonante!y!el!elemento!y!termina!en!vocal"} Determine: a) El diagrama sagital de R2 b)
c)
dom R2 rg R2 ( )
( )
(
)
142) Sean los conjuntos A , B y C tales que N A = 4 , N B = 5 y N A∪ B = 6 , el número de relaciones que se pueden construir de A ∩ B en B − A es igual a: a) 8 b) 16 c) 32 d) 64 e) 128 Respuesta: d) 143) Sean los conjuntos A = 2,4,6 y B = 1,3,5,7 , tabule los elementos que conforman {
}
{
}
cada relación, represéntelas en diagramas sagitales, y especifique su dominio y su rango: ) ( ) (
{( ) (
= {( x, y ) / ( x ∈ A) ∧ ( y ∈ B) ∧ ( y
)}
a)
R1 = m,n / m ∈ A ∧ n ∈ B ∧ 2m − n = 5 b)
R2
x
)}
≤ 100 144) Sean los conjuntos A = a,b,c,d y B = {1,2,3} , y las relaciones R 1 y R 2 de A en B , {
}
tales que: R1 =
{(a,1) , (b,3) , (c,3) , (c,1) , (d,2)} R2 =
{(d,3) , (b,3) , (a,1) , (c,1)} Página 26 de 31 Identifique la proposición VERDADERA: a) rg R 2 = B c)
(
)
N ( R − R ) = 3 d)
rg R 1 = B e)
rg R 1 ⊆ rg R 2 b)
N R 1∩ R 2 = 4 1
2
Respuesta: d) {
}
145) Dado el conjunto referencial: Re = 1,2,3,4,5 {
}
{
}
los conjuntos A = 2,3,5 B = 1,3,4,5 y las relaciones: (
) (
{
) ( )} = {(a,b) ( a ∈ (A − B) ∧ (b ∈ (A∩ B) ∧ (b > a )} R1 = (m,n) m ∈ (B − A ∧ n ∈ ( Ac ∩ B ∧ m = n
R2
Determine el valor de verdad de cada proposición, justificando su respuesta. a) Si R1 es una función, entonces R2 no es una función. b)
(
)
N R1 ∪ R2 = 3 Respuesta: a) 1, b) 0 1.15 Funciones 146) Defina: a) Función de A en B . b) Función inyectiva. c) Función sobreyectiva. d) Función biyectiva. { }
mediante: t = {( x,1) ,( y,3) ,( z,2 )} {
}
147) Dados los conjuntos X = x,y,z y A = 1,2,3 se define una relación t entre X y A a)
b)
c)
¿Es t una función de X en A ? En caso de t ser una función ¿Es inyectiva?¿Sobreyectiva? ¿Biyectiva? La relación inversa de t entre A y X , ¿es una función?. ¿Es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva? {
} {
f = {(1,2 ) ,( 2,3) ,( 3,4 ) ,( 4,5)} g = {(1,2 ) ,(1,3) ,( 2,4 ) ,( 3,5) ,( 4,5)} h = {(1,1) ,( 2,2 ) ,( 3,3)} }
148) Sean los conjuntos A = 1,2,3,4 , B = 1,2,3,4,5 y las relaciones: Determine cúal(es) es(on) función(es) de A en B . Página 27 de 31 149) Sean los conjuntos A = −3,−2,−1,0,1,2,3 y B = 0,1,2,3,4 . Si r1 , r2 y r3 son {
}
{
}
relaciones de A en B , tales que: r1 =
{( x, y ) / y = x +1} r2 =
{( x, y ) / x + y = 0} {( ) (
)}
r3 = 0,0 , −1,1 Justificando su respuesta, determine el valor de verdad de cada proposición: a) r1 ∪ r2 es una función. b)
r1 − r2 no es una función. c)
(r ∪ r ) − r es una función. 1
2
3
Respuesta: a) 0, b) 1, c) 1 A,B 150) Sean {
y f : A → B }
tales que A = {1,2,3,4} , f = (1,3) ,( 2,1) ,( 3,1) ,( 4,2 ) . Determine, de ser posible: f −1 ! f {
(
}
{
B = {1,2,3} y )
}
151) Sean los conjuntos A = 1,2,3 y B = 2,3,4,5 . Una de las siguientes relaciones es una función: a)
b)
c)
d)
e)
{( x, y ) ∈ A × B
R = {( x, y ) ∈ A × B
R = {( x, y ) ∈ A × B
R = {( x, y ) ∈ A × B
R = {( x, y ) ∈ A × B
R=
}
y = 2x }
y = x − 1} y = 3x} y = x + 3} y = x + 1 Respuesta: b) 152) Sea f una función definida de A en B y g una función de B en A tales que: {( ) ( ) ( ) ( )}
{( ) ( ) ( ) ( )}
f = ∗,1 , ?,a , ¡,1 , α ,a g = 1,? , a,∗ , β ,α , ∗,¡ Entonces es FALSO que: a)
f ! g no es una función sobreyectiva b) f no es inyectiva y g es sobreyectiva c)
A − B = {?,¡,α } d)
g ! f es una función inyectiva e)
rg f ! g = {a,1} ∧ rg g ! f = {?,∗} (
)
(
)
Respuesta: d) 153) Sean las funciones f : A ! B , g : C ! B y h : D ! C : {( ) ( ) ( ) ( )} f = α ,2 , β ,3 , γ ,4 , θ ,5
{( ) ( ) ( ) ( ) ( )} g = b,5 , c,2 , d,3 , e,4 , m,5
h = {(ϕ, b), (π , m), (ω, c), ( ρ, e), (η, c)} Página 28 de 31 (
(
)) con su respectivo diagrama sagital. a)
Determine la función f −1 ! g ! h
b)
Justificando su respuesta, complete el siguiente cuadro: ¿Es inyectiva? ¿Es sobreyectiva? f
g
h
f −1 ! ( g ! h )
(
)
¿Es biyectiva? 154) Dados los conjuntos A = { p, q, r, s} , B = {m, n, o, p} y las funciones de A en B {( p,m) , (q, p) , (r,m) , ( s,n)} g = {( p, p ) , ( q,m) , ( r,n ) , ( s,o)}
f =
Determine el valor de verdad de cada proposición: a)
f ∪ g es una función inyectiva. b)
g es sobreyectiva pero no inyectiva. c)
f es inyectiva pero no sobreyectiva. d)
g es una función biyectiva. e)
f es una función biyectiva. Respuesta: a) 0, b) 0, c) 0, d) 1, e) 0 155) Sean las funciones f : A ! B y g : C ! D : D
B
A
3
1
a
2
2
b
3
c
1
4
d
C
a
b
c
Identifique la composición de funciones que NO ES POSIBLE efectuar. a) f ! g b) g ! f c) f −1 ! f d) g ! g−1 e) f −1 ! g−1 Respuesta: b) Página 29 de 31 156) Sean los conjuntos A = casa,tela, pluma,lápiz y B = amarillo,rojo,verde,café , y {
}
{
}
las funciones f : A ! B y g : A ! B . f = casa,amarillo , tela,café , pluma,amarillo , lápiz,rojo
)(
)(
)(
)} {(
g = {( casa,café ) , (tela,amarillo) , ( pluma,rojo) , ( lápiz,verde )} Identifique la proposición VERDADERA: a)
f es inyectiva. b) f es sobreyectiva. c) g es biyectiva. d)
e)
g ! f existe. g no es sobreyectiva. Respuesta: c) 157) Sean los conjuntos A = a,b,c , B = 1,2,3 , C = r, s,t y D = x, y, z . Y sean las {
}
{
}
{
}
{
}
funciones f : A ! B , g : B ! C , h : C ! D tales que: {( ) ( ) ( )}
f = a,2 , b,3 , c,1 Justificando su respuesta, determine el valor de verdad de cada proposición: a)
b)
c)
(h ! g ! f ) (b) = x ( f ! g ) = {(1,2) , (2,3) , (3,3)} ( f ! g ) = {(r,a) , ( s,c) , (t,c)} −1
−1
158) Sean los conjuntos A = { x, y,s,t } , {( ) ( ) ( ) ( )}
B = {1,2,3,4} y las funciones {( ) ( ) ( ) ( )}
R = 1, x , 4,s , 3,t , 2, y y S = 2,t , 3, y , 1, x , 4, y . De ser posible, tabule la función S ! R−1 y elabore su diagrama sagital. Si es posible construir S ! R−1 , justificando su respuesta, indique si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Página 30 de 31 159) Sean las funciones f y g definidas de A en B tales que: {( ) ( ) ( ) (
)}
{( ) ( ) ( ) (
f = 5,β , 6,α , 9,α , 10,β )}
g = 5,α , 6,β , 9,γ 10,ε Entonces, es VERDAD que: a)
rg f ! g −1 = {α ,β } ∧ rg f −1 ! g = {γ } b)
AΔB = {5,6,9,10} c)
d)
g −1 ! f es una función sobreyectiva. g −1 no es una función inyectiva ∨ f es una función sobreyectiva. e)
dom g −1 ! f = {5,6,9,10} (
)
(
(
)
)
Respuesta: e) 160) Sean los conjuntos A = 1,2,3,4 y B = r,s,t , f una función definida de B en A y {
}
{
}
g una función definida de A en B , donde {( ) ( ) ( )}
f = r,2 , s,3 , t ,1 y {( ) ( ) ( ) ( )}
g = 1,r , 2,s , 3,t , 4,t . Entonces, es VERDAD que: a)
f ! g es una función inyectiva. (
)
b)
rg f ! g = A c)
( s,r ) ∈ g ! f ( g ! f ) = {( s,r ) ,(t ,s) ,(r,t )} d)
e)
−1
g ! f no es una función inversible. Respuesta: d) Página 31 de 31
