experimento mrua

Unidad Profesional
Interdisciplinaria de Ingeniería y
Ciencias Sociales y Administrativas
UPIICSA
FISICA GENERAL EXPERIMENTAL
1INV11
EXPERIMENTO DEL MOVIMIENTO
RECTILINEO UNIFORME
PRACTICA 1
PRÁCTICA 1
EXPERIMENTO DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.
INTRODUCCIÓN.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME.
Cuando un cuerpo se desplaza con velocidad constante a lo largo de una trayectoria
rectilínea.
Si la velocidad de una partícula es constante, su velocidad instantánea durante un intervalo
de tiempo es la misma que la velocidad media durante el intervalo. Esto es 𝑉⃗→ = 𝑉⃗→𝑚
MOVIMIENTO RECTILÍNEO EN X (ESCALAR)
La velocidad media de una partícula se define como el desplazamiento ∆𝑟 de la partícula
dividido con respecto el intervalo de tiempo ∆𝑡 durante el que ocurre dicho desplazamiento.
La velocidad instantánea es igual al valor límite de la proporción ∆𝑟⁄∆𝑡
conforme ∆𝑡 tiende a cero.
La rapidez instantánea de una partícula se define como la magnitud de su velocidad
instantánea.
HIPÓTESIS DE INVESTIGACIÓN
Para un proyecto de investigación se considera una hipótesis aquella o aquellas guías
específicas de lo que se está investigando, aquello que el investigador está buscando y que será
el nuevo conocimiento o también todo aquello que una vez concluido se podrá probar. Pueden
considerarse también como predicados tentativos o frases del fenómeno o cosa investigada,
pero que solo proponen algo, es decir, su característica esencial es que ya terminadas (las
hipótesis) no deben ni de afirmar ni de negar el fenómeno o cosa que se está investigando,
recordar que las hipótesis se van a confrontar al final, por lo cual, debe ser susceptible de
verificarse, de tener un poder de predictivo o explicativo y ser sencilla; el proyecto de
investigación con las conclusiones que son el resultado del proyecto.
INTRODUCCION
Medición.
La medición es la acción de medir, o sea, determinar mediante instrumentos o mediante una
relación o fórmula previa un resultado dentro de los parámetros escogidos. La medición deriva
del verbo medir que a su vez viene de la palabra latina metriri que significa “comparar un
resultado o cantidad con una unidad de medida previa”. La medición sirve para determinar
magnitudes de un objeto en relación a otro objeto que sirve de patrón, que es definido antes
por un consenso. Hoy en día, estos modelos de comparación que usamos todos los días como,
por ejemplo, el kilo, la temperatura y los centímetros, están unificados en lo que se conoce
como el Sistema internacional de medidas (SI).
Errores de medición
 Error aleatorio Los errores aleatorios son aquellos que se dan cuando se hacen medidas
consecutivas de un mismo objeto o fenómeno, obteniendo valores diferentes en cada
caso. En las ciencias sociales los errores aleatorios están representados por condiciones
que afecten de manera particular a un miembro de la muestra que está siendo analizada.
 Error sistemático A diferencia de los errores aleatorios, los errores sistemáticos
dependen directamente del sistema que se está empleando para realizar la medición. Por
este motivo, son errores constantes. Si se emplean instrumentos descalibrados, estos
arrojarán medidas erróneas. El error se va a presentar incluso si se repite el proceso de
medición. En las ciencias sociales, el error sistemático se produce cuando hay una
condición que afecte de manera general el desempeño de todos los individuos de la
muestra.
 Error despreciativo Es aquel error que, por ser mínimo, no constituye un problema para
las mediciones que se están llevando a cabo.
 Error significativo El error significativo es aquel que representa un problema para el
trabajo que se está realizando. Si la diferencia de medidas es muy grande, evidentemente
se tratará de un error significativo. Hay casos en los que la diferencia es mínima pero
igualmente significativa.
 Error por defectos en el instrumento empleado Muchos de los errores que se cometen al
momento de hacer mediciones pueden ser atribuidos a los instrumentos que se emplean.
Existen algunos instrumentos que requieren ser calibrados para que las medidas
obtenidas sean precisas. Los termómetros deben ser sometidos a mantenimiento y
calibración cada cierto tiempo, para que no existan errores significativos en las medidas
de la temperatura.
 Error causado por la persona que toma la medida El ser humano es imperfecto. Por lo
tanto, cuando un individuo es el encargado de tomar las mediciones, existe un margen
de probabilidades de que se cometa un error.
 Error debido a las condiciones ambientales Las temperaturas, el sonido y otros estímulos
del ambiente también afectan las mediciones.
Notación científica.
La notación científica, también denominada notación exponencial, es una forma de escribir
los números basada en potencias de 10, lo que resulta especialmente útil para la representación
de valores muy grandes o pequeños, así como para el cálculo con ellos. Esto es particularmente
cierto en física y química en que estos valores son frecuentes, por lo que esta notación resulta
adecuada para mostrar claramente las cifras significativas y permitir inmediatas
comparaciones de magnitud. Por ejemplo, en valores aproximados: masa del electrón 0.000
000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 = 9.11 × 10-31 kg constante de Avogadro (cantidad
de materia: mol) 602 000 000 000 000 000 000 000 = 6.02 × 1023 entidades elementales mayor
distancia observable del universo: 740 000 000 000 000 000 000 000 000 m = 7.4 x 1026 m
masa del protón: 0.000 000 000 000 000 000 000 000 001 67 kg = 1.67 x 10-27 kg El exponente
indica los lugares que debe desplazarse la coma para pasar de notación científica a notación
decimal: a la derecha si es positivo y hacia la izquierda si es negativo. Cuando se trata de
convertir un número a notación científica el proceso es a la inversa.
Cifras significativas
Las cifras significativas de una medida son las que aportan alguna información. Representan
el uso de una o más escalas de incertidumbre en determinadas aproximaciones. Por ejemplo,
se dice que 4,7 tiene dos cifras significativas, mientras que 4,07 tiene tres. Para distinguir los
llamados significativos de los que no son, estos últimos suelen indicarse como potencias por
ejemplo 5000 será 5x103 con una cifra significativa.
También, cuando una medida debe expresarse con determinado número de cifras significativas
y se tienen más cifras, deben seguirse las siguientes reglas: Primera: si se necesita expresar
una medida con tres cifras significativas, a la tercera cifra se le incrementa un número si el que
le sigue es mayor que 5 o si es 5 seguido de otras cifras diferentes de cero. Ejemplo: 53,6501
consta de 6 cifras y para escribirlo con 3 queda 53,7; aunque al 5 le sigue un cero, luego sigue
un 1 por lo que no se puede considerar que al 5 le siga cero (01 no es igual a 0). Segunda:
siguiendo el mismo ejemplo de tres cifras significativas: si la cuarta cifra es menor de 5, el
tercer dígito se deja igual. Ejemplo: 53,649 consta de cinco cifras, como se necesitan 3 el 6
queda igual ya que la cifra que le sigue es menor de 5; por lo que queda 53,6. Tercera: cuando
a la cifra a redondear le sigue un 5 , siempre se redondea hacia arriba. Ejemplo: si el número
es 3,7500 se redondearía a 3,8.2
Hipótesis científica
La palabra “hipótesis” deriva del hipo: bajo, y tesis: posición o situación. Ateniéndose a sus
raíces etimológicas, hipótesis significa una explicación supuesta que ésta bajo ciertos hechos,
a los que sirve de soporte. La hipótesis es aquella explicación anticipada que le permite al
científico asomarse a la realidad. Otra definición de hipótesis que amplía la anterior, nos dice:
Una hipótesis es una suposición que permite establecer relaciones entre hechos. El valor de
una hipótesis reside en su capacidad para establecer esas relaciones entre los hechos, y de esa
manera explicarnos por qué se produce
Contrastación empírica
La contrastabilidad es la propiedad metodológica, que permite determinar si una hipótesis es
verdadera o falsa. Existen dos formas de contrastar una hipótesis, la formal y la empírica. La
contrastación formal consiste en fundamentar las hipótesis con bases teóricas ya establecidas,
en cambio la contrastación empírica se apoya en los hechos. Es la contrastación empírica la
que se utiliza en la física experimental y al procedimiento para constatar una hipótesis se le
conoce como Experimentación. Este procedimiento está formado por los siete pasos
siguientes:
1. Definición de Variables.- Definir las cantidades relevantes y de interés del fenómeno.
En esta etapa de desarrollo metodológico, se considera solo dos cantidades físicas que
pueden cuantificarse directamente (cantidades físicas que sean posible medir).
2. Diseño del Dispositivo.- Diseñar un dispositivo donde sea posible controlar y cuantificar
alguna de las dos variables y ésta considerarla como la variable independiente (X) y al
mismo tiempo sea posible cuantificar la otra variable considerada como variable
dependiente (Y). La variable independiente es aquella que será posible cambiarla en
forma controlada (Causa o Estímulo) y la variable dependiente es aquella que se
considerará como Respuesta o Efecto.
3. Reproductividad del Fenómeno.- Este paso consiste en reproducir varias veces el
fenómeno físico cambiando los valores de la cantidad física independiente y registrando
los valores de la cantidad física dependiente. Es importante destacar que es necesario
mantener durante este proceso de repetición, las condiciones externas sin variación
Método gráfico para un fenómeno lineal
El método gráfico es una forma fácil y rápida para la solución de problemas de Programación
Lineal, siempre y cuando el modelo conste de dos variables. Para modelos con tres o más
variables, el método gráfico es imposible. Consiste en representar geométricamente las
restricciones, condiciones técnicas y función objetivo.
Método de mínimos cuadrados
Es un procedimiento de análisis numérico en la que, dados un conjunto de datos (pares
ordenados y familia de funciones), se intenta determinar la función continua que mejor se
aproxime a los datos (línea de regresión o la línea de mejor ajuste), proporcionando una
demostración visual de la relación entre los puntos de los mismos. En su forma más simple,
busca minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre
los puntos generados por la función y los correspondientes datos. Este método se utiliza
comúnmente para analizar una serie de datos que se obtengan de algún estudio, con el fin de
expresar su comportamiento de manera lineal y así minimizar los errores de la data tomada.
La creación del método de mínimos cuadrados generalmente se le acredita al matemático
alemán Carl Friedrich Gauss, quien lo planteó en 1794 pero no lo publicó sino hasta 1809. El
matemático francés Andrien-Marie Legendre fue el primero en publicarlo en 1805, este lo
desarrolló de forma independiente.
Coeficiente de correlación lineal
El coeficiente de correlación lineal es un tipo de medida de regresión que se emplea para
conocer el grado de variación entre dos variables determinadas. Por lo tanto, se trata de una
magnitud estadística que permite cuantificar la dependencia entre dos variables y, en este caso
en particular, establecer una correlación lineal entre ellas. El coeficiente de correlación lineal
(CCL) es una medida que fue desarrollada por el matemático inglés Karl Pearson, uno de los
padres fundadores de la estadística matemática. En el presente caso, se trata de una de las
medidas de regresión más utilizadas para determinar la relación de índole lineal que se produce
entre dos variables.
Movimiento rectilíneo uniforme
En física, un movimiento es rectilíneo uniforme cuando un «objeto» (por ejemplo) viaja en
una trayectoria recta a una velocidad constante, dado que su aceleración es nula. El
movimiento rectilíneo uniforme se designa frecuentemente con el acrónimo MRU, aunque en
algunos países es MRC, por movimiento rectilíneo constante. El movimiento rectilíneo puede
ser también no uniforme, y en ese caso la relación entre la posición y el tiempo también tiene
una aceleración y puede variar su velocidad (MRUA).
DESARROLLO
Objetivos:
 Comprobar que los parámetros fueron correctamente calculados
 Graficar la línea recta de mejor ajuste sobre la gráfica de dispersión y así observar que
dicha línea pasa por los puntos experimentales
Materiales:
-Riel para colchón de Aire.
-Deslizador
-Compresor
-Procedimiento de Medición.
Montaje:
1.- Ensamble el riel para colchón de aire y las terminales de la compresora como indica la
2.- Coloque el riel para colchón de aire en una posición inclinada como indica la figura 1.2
3.- Coloque el deslizador en la posición de 100 cm. utilizando la escala del riel de colchón
de aire.
4.- Accione el compresor y deje deslizar libremente el deslizador
5.- Registre la distancia máxima alcanzada por el deslizador después del primer rebote
(denótela por X1) y después del segundo rebote (denótela por X2 ).
Efectúe este procedimiento cada integrante del grupo de trabajo. Anote sus mediciones en la
cinta marcada.
Diagrama:
Se registraron los tiempos y desplazamientos correspondientes al experimento de movimiento
rectilíneo uniforme.
Tiempos y desplazamientos.
Tabla 1
1
2
3
4
5
6
7
8
T(s)
0.033
0.0833
0.1566
0.2733
0.3933
0.5266
0.6333 0.7566 0.8633 0.98
D(cm)
1
2.5
4.7
8.2
11.8
15.8
19
22.7
9
25.9
10
29.4
Se establece una hipótesis de acuerdo a las variables del fenómeno. Ejemplos:
•La velocidad permanece constante 𝑉 = 𝐶𝑇𝐸
•El desplazamiento
transcurrido ∆𝑟𝛼 𝑡
es
directamente
proporcional
al
tiempo
Se puede establecer una hipótesis de acuerdo a la relación lineal que presenta el fenómeno. A
partir de la ecuación de la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
•𝑆 = 𝑚𝑡 + 𝑏
Hipótesis
“El desplazamiento es directamente proporcional al tiempo”
Método gráfico.
Método grafico
Consiste en construir una gráfica de dispersión bidimensional formadas por puntos en un plano
que son determinados por las parejas ordenadas de la tabla de resultados (tabla 1). En el eje
horizontal se gráfica la cantidad física independiente y en el eje de las ordenas la cantidad
física dependiente. En esta etapa ya es posible observas en formar general el tipo de
interrelación que existe entre las dos cantidades físicas. Este tipo de interrelación puede ser de
relación directa cuando el aumento de la cantidad física independiente ocasiona un aumento
de la cantidad física dependiente.
Sí en una gráfica de dispersión se observa una relación de proporcionalidad directa en las
variables graficadas, entonces una forma sencilla de expresar está relación de proporcionalidad
es por medio de una ecuación de una línea recta que represente el comportamiento del
fenómeno.
Si nuestro fenómeno es lineal se presentará una gráfica como la siguiente. Donde se observa
la trayectoria del fenómeno a analizar.
Ahora queremos conocer el valor de la ordenada al origen (b) y para esto necesitamos recordar
que b siempre coincide con el valor de Y correspondiente al valor de 𝑋 = 0, esta sería nuestra
primera coordenada (𝑋0, 𝑌0), entonces
𝑌0 = 𝑏, 𝑋0 = 0.
Se sustituye nuestros puntos iniciales en nuestra ecuación de la pendiente.
Ahora despejamos la ordenada al origen.
Donde X, Y son la segunda coordenada.
Realizaremos un análisis de unidades para comprobar que nuestros resultados son correctos.
De acuerdo a nuestra gráfica tenemos en el eje "x" el tiempo y en el eje "y" el
desplazamiento, se sustituye solo las unidades en la ecuación principal de la pendiente.
Ahora la ordenada
Grafica donde el desplazamiento es dependiente y el tiempo es independiente
Cálculo de la pendiente y ordenada.
(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )= (0.03333[s], 1[cm])
(𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 )=(1,9233333[s], 57.7 [cm])
m=
𝑦𝑓 − 𝑦𝑖
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
Sustituyendo valores de los puntos iniciales y finales.
𝑚=
(57.7[𝑐𝑚]) − (1[𝑐𝑚])
(1.92333[𝑠]) − (0.03333[𝑠])
𝑚=
56.7[𝑐𝑚]
𝑐𝑚
= 30
1.89[𝑠]
𝑠
Para la ordenada:
𝑏 = 𝑌𝑓 − 𝑚 𝑋𝑓
Sustituyendo valores:
𝑐𝑚
) (1.92333[𝑠])
𝑠
𝑏 = 57.7[𝑐𝑚] − 57.6999[𝑐𝑚]
𝑏 = (57.7[𝑐𝑚]) − (30
𝑏 = 1𝑥10−4 [𝑐𝑚 ]
Método de mínimos.
El propósito de esta interpretación analítica es la misma que la interpretación gráfica, pero
aquí utilizamos conceptos matemáticos que pertenecen a calculo diferencial para obtener los
parámetros de la línea de mejor ajuste.
Para realizar el método de mínimos cuadrados necesitamos las sumatorias de
∑𝑥, ∑𝑦, ∑𝑥𝑦, ∑𝑥2, ∑𝑦2, por lo tanto, sustituimos en “x” y “y” la simbología de nuestras
variables, ∑𝑡, ∑𝑆, ∑𝑡𝑆, ∑𝑡2, ∑𝑆2.
Por el método de mínimos cuadrados tenemos la siguiente tabla 2.
t(s)
0,03333
0,08333
0,15667
0,27333
0,39333
0,52667
0,63333
0,75667
0,86333
0,98000
1,08000
1,18667
1,28333
1,38667
1,47000
1,56667
1,66333
1,75000
1,82667
1,92333
∑(sumatoria)
19,83667
S(cm)
1,000
2,500
4,700
8,200
11,800
15,800
19,00000
22,70000
25,90000
29,40000
32,40000
35,60000
38,50000
41,60000
44,10000
47,00000
49,90000
52,50000
54,80000
57,70000
∑(sumatoria)
595,10000
t²(s²)
0,001
0,007
0,025
0,075
0,155
0,277
0,40111
0,57254
0,74534
0,96040
1,16640
1,40818
1,64694
1,92284
2,16090
2,45444
2,76668
3,06250
3,33671
3,69921
∑(sumatoria)
26,84361
S²(cm²)
1,000
6,250
22,090
67,240
139,240
249,640
361,00000
515,29000
670,81000
864,36000
1049,76000
1267,36000
1482,25000
1730,56000
1944,81000
2209,00000
2490,01000
2756,25000
3003,04000
3329,29000
∑(sumatoria)
24159,25000
tS(scm)
0,033
0,208
0,736
2,241
4,641
8,321
12,03333
17,17633
22,36033
28,81200
34,99200
42,24533
49,40833
57,68533
64,82700
73,63333
83,00033
91,87500
100,10133
110,97633
∑(sumatoria)
805,30833
De las siguientes ecuaciones obtendremos la ecuación de la pendiente y la ordenada.
𝑛
𝑛
𝑛
𝑚 ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑏 ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝐸𝑐. (1)
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑚 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏(𝑛) = ∑ 𝑦𝑖 (2)
𝑖=1
𝑖=1
Despejando b de la Ec. (1) y la Ec. (2)
𝑛
𝑛
𝑛
𝑏 ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑚 ∑ 𝑥𝑖2
𝑖=1
𝑖=1
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑚 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2
𝑏=
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
𝑖=1
𝐸𝑐. (3)
𝑛
𝑛
𝑛
𝑚 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏(𝑛) = ∑ 𝑦𝑖 − 𝑚 ∑ 𝑥𝑖
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 − 𝑚 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
𝑏=
𝐸𝑐. (4)
𝑛
Por el método de igualación, igualamos la Ec. (3) y la Ec. (4)
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑚 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2
∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 − 𝑚 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
=
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
(𝑛) ∗ (∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑚 ∑ 𝑥𝑖2 ) = (∑ 𝑦𝑖 − 𝑚 ∑ 𝑥𝑖 ) ∗ (∑ 𝑥𝑖 )
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑛 ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑛𝑚 ∑ 𝑥𝑖2 = (∑ 𝑥𝑖 ) (∑ 𝑦𝑖 ) − (∑ 𝑥𝑖 ) (𝑚 ∑ 𝑥𝑖 )
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑛
(∑ 𝑥𝑖 ) (𝑚 ∑ 𝑥𝑖 ) − 𝑛𝑚 ∑ 𝑥𝑖2 = (∑ 𝑥𝑖 ) (∑ 𝑦𝑖 ) − 𝑛 ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑛
(𝑚) ((∑ 𝑥𝑖 ) (∑ 𝑥𝑖 ) −
𝑖=1
𝑖=1
𝑛 ∑ 𝑥𝑖2 )
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑛
= (∑ 𝑥𝑖 ) (∑ 𝑦𝑖 ) − 𝑛 ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑖=1
𝑖=1
Ecuación de la pendiente
𝑚=
(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )(∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ) − 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖
(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ) − 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2
Para la ordenada despejamos m de las ecuaciones (1) y (2)
𝑛
𝑛
𝑛
𝑚 ∑ 𝑥𝑖2 + = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑏 ∑ 𝑥𝑖
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑏 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
𝑚=
𝐸𝑐. (5)
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2
𝑛
𝑛
𝑚 ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑦𝑖 − 𝑏(𝑛)
𝑖=1
𝑖=1
∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 − 𝑏(𝑛)
𝑚=
𝐸𝑐. (6)
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
Igualamos la Ec. (5) y la Ec. (6)
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑏 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 − 𝑏(𝑛)
=
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2
Desarrollando la ecuación.
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
(∑ 𝑥𝑖 ) (∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑏 ∑ 𝑥𝑖 ) = (∑ 𝑦𝑖 − 𝑏(𝑛)) (∑ 𝑥𝑖2 )
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑛
(∑ 𝑥𝑖 ) (∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ) − (∑ 𝑥𝑖 ) (𝑏 ∑ 𝑥𝑖 ) = (∑ 𝑥𝑖2 ) (∑ 𝑦𝑖 ) − (𝑏(𝑛) ∑ 𝑥𝑖2 )
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑛
(𝑏(𝑛) ∑ 𝑥𝑖2 ) − (∑ 𝑥𝑖 ) (𝑏 ∑ 𝑥𝑖 ) = (∑ 𝑥𝑖2 ) (∑ 𝑦𝑖 ) − (∑ 𝑥𝑖 ) (∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 )
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑏 (((𝑛) ∑ 𝑥𝑖2 )
𝑖=1
2
− (∑ 𝑥𝑖 ) ) =
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑛
(∑ 𝑥𝑖2 ) (∑ 𝑦𝑖 )
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 )(∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ) − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 )
((𝑛) ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 ) − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )
2
Análisis de unidades
De la ecuación de la pendiente.
𝑚=
Sustituyendo con unidades.
𝑛
− (∑ 𝑥𝑖 ) (∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 )
Ecuación de la ordenada.
𝑏=
𝑖=1
(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )(∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ) − 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖
(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ) − 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2
𝑖=1
𝑚=
𝑚=
(𝑠)(𝑐𝑚) − 𝑠𝑐𝑚
(𝑠)(𝑠) − 𝑠²
𝑠𝑐𝑚 − 𝑠𝑐𝑚
𝑠𝑐𝑚
𝑐𝑚
=
=
𝑠
𝑠² − 𝑠²
𝑠²
De la ecuación de la ordenada
𝑏=
(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 )(∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ) − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 )
((𝑛) ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 ) − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )
2
Sustituyendo con unidades
(𝑠 2 )(𝑐𝑚) − (𝑠)(𝑠𝑐𝑚)
𝑏=
(𝑠 2 ) − (𝑠)2
𝑠 2 𝑐𝑚 − 𝑠 2 𝑐𝑚
𝑠 2 𝑐𝑚
𝑏=
=
= 𝑐𝑚
𝑠2 − 𝑠2
𝑠2
Cálculo de la pendiente y la ordenada.
De la ecuación de la pendiente
𝑚=
(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )(∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ) − 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖
(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ) − 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2
Sustituyendo valores
𝑚=
(19,83667𝑠)(595,10000𝑐𝑚) − (20)(805,30833𝑠𝑐𝑚)
(19,83667𝑠²)(19,83667𝑠) − (20)(26,84361𝑠²)
11804.80232𝑠𝑐𝑚 − 16106.1666 𝑠𝑐𝑚
393.49347𝑠 2 − 536.8722𝑠 2
−4301.36428 𝑠𝑐𝑚
𝑐𝑚
𝑚 =
=
30
−143.37873𝑠 2
𝑠
𝑚=
De la ecuación de la ordenada.
𝑏=
Sustituyendo valores
(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 )(∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ) − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )(∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 )
((𝑛) ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 ) − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )
2
𝑏 =
(26,84361𝑠 2 )(595,10000𝑐𝑚) − (19,83667𝑠)(805,30833𝑠𝑐𝑚)
((20)26,84361𝑠 2 ) − (19.83667𝑠)2
15974.63231𝑠 2 𝑐𝑚 − 15974.63559𝑠²𝑐𝑚
𝑏 =
536.8722𝑠 2 − 393.49347𝑠 2
−4.38𝑥10−3 𝑠 2 𝑐𝑚
𝑏 =
= − 3.05484𝑥10−5 𝑐𝑚
2
143.37873𝑠
Coeficiente de correlación.
Un coeficiente de correlación expresa la situación relativa de un número de sucesos respecto
a dos variables. Una de sus características, es la referente a que esta entidad se determina en
el espacio de dos variables aleatorias (x, y) donde establece una función de distribución
conjunta que establece una dependencia entre las dos variables. Se puede demostrar que, si la
variable aleatoria “y” es directamente proporcional a la variable aleatoria “x”, entonces el
coeficiente de correlación es igual a 1. Sí la variable aleatoria “y” es inversamente
proporcional a la variable “x”, entonces el coeficiente de correlación es igual a -1; en
conclusión, son números cuyo valor varía entre los límites de +1 y -1 y su magnitud se
refiere al grado de asociación entre las variables. Es de mucha importancia determinar si la
variación observada por la cantidad física dependiente es atribuida a la variación de la
cantidad física independiente y no es debida a un proceso fortuito. El parámetro que permite
conocer estos efectos de variación es el llamado coeficiente de determinación 𝑟 2 , el cual
especifica la proporción de la variación observada en la cantidad física dependiente que es
atribuida a la variación de la cantidad física independiente.
𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊ó𝒏 = (𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊ón) ² = 𝒓²
(19.83667𝑐𝑚)(595.100𝑠) 2
]
20𝑛
2
𝑅 =
2
(19.83667𝑐𝑚)2
2 ) − (595.100𝑠) )
(26.84361(𝑐𝑚2 ) −
)(24159.25(𝑠
20𝑛
20𝑛
[805.3083(𝑐𝑚 ∗ 𝑠) −
𝑅2 =
(805.3083(𝑐𝑚 ∗ 𝑠) − 590.22018(
𝑐𝑚 ∗ 𝑠 2
𝑛 ))
𝑐𝑚2
𝑠2
(24.8436(𝑐𝑚2 ) − 19.6733( 𝑛 ))(24159.25(𝑠 2 ) − 17707.2005( 𝑛 ))
(𝑐𝑚)(𝑠)(𝑛) − (𝑐𝑚)(𝑠) 2
))
𝑛
𝑅2 =
𝑐𝑚2 𝑛 − 𝑐𝑚2
𝑠2𝑛 − 𝑠2
(7.1703(
))(6425.0495(
))
𝑛
𝑛
(215.088112(
(𝑐𝑚)(𝑠)(𝑛) − (𝑐𝑚)(𝑠) 2
]
𝑛
𝑅 =
(𝑐𝑚2 𝑛 − 𝑐𝑚2 )(𝑠 2 𝑛 − 𝑠 2 )
46069.53243(
)
𝑛2
2
46262.89592[
𝑅 = √1.0041(1)
𝑅 = 1.0020(1)
Se acepta que existe una relación lineal entre las variables, cuando su coeficiente de
determinación es de por lo menos de 0.985. Sí el coeficiente de determinación es 0.985 o
mayor se puede establecer una ecuación empírica (modelo matemático, ley física) que explique
tal fenómeno.
ANALISIS DE UNIDADES DEL COEFICIENTE DE RELACION
(𝑐𝑚)(𝑠) 2
]
𝑛
𝑟2 =
(𝑐𝑚)2
(𝑠)2
2
2
[(𝑐𝑚 ) −
][(𝑠 ) −
]
𝑛
𝑛
[(𝑐𝑚 ∗ 𝑠) −
Hacemos las restas que corresponden al denominador
(𝑐𝑚)2 𝑐𝑚2 𝑛 − 𝑐𝑚2
(𝑐𝑚 ) −
=
𝑛
𝑛
2
(𝑠)2 𝑠 2 𝑛 − 𝑠 2
(𝑠 ) −
=
𝑛
𝑛
2
Ahora hacemos el producto del resultado de las restas del denominador
𝑐𝑚2 𝑛 − 𝑐𝑚2 𝑠 2 𝑛 − 𝑠 2 (𝑐𝑚2 𝑛 − 𝑐𝑚2 )(𝑠 2 𝑛 − 𝑠 2 )
∗
=
𝑛
𝑛
𝑛2
Se procederá hacer la ley de extremos por extremos y medios por medios
(𝑐𝑚)(𝑠) 2
[(𝑐𝑚 ∗ 𝑠) −
]
𝑛
1
(𝑐𝑚2 𝑛 − 𝑐𝑚2 )(𝑠 2 𝑛 − 𝑠 2 )
𝑛2
(𝑐𝑚)(𝑠) 2 2
] (𝑛 )
𝑛
(𝑐𝑚2 𝑛 − 𝑐𝑚2 )(𝑠 2 𝑛 − 𝑠 2 )
[(𝑐𝑚 ∗ 𝑠) −
Realizamos la resta que se encuentra en el numerador y agrupamos ambos términos que están
elevados al cuadrado para tener un solo termino al cuadrado y realizamos su multiplicación
(𝑐𝑚 ∗ 𝑠) −
(𝑐𝑚)(𝑠) (𝑐𝑚)(𝑠)(𝑛) − (𝑐𝑚)(𝑠)
=
𝑛
𝑛
(𝑐𝑚)(𝑠)(𝑛) − (𝑐𝑚)(𝑠)
∗ 𝑛 = [(𝑐𝑚)(𝑠)(𝑛)] − [(𝑐𝑚)(𝑠)]2
𝑛
Factorizamos los términos del numerador y denominador de tal manera que queden así
(𝑐𝑚2 𝑛 − 𝑐𝑚2 ) = 𝑐𝑚2 (𝑛 − 1)
(𝑠 2 𝑛 − 𝑠 2 ) = 𝑠 2 (𝑛 − 1)
[(𝑐𝑚)(𝑠)(𝑛)] − [(𝑐𝑚)(𝑠)] = (𝑐𝑚)(𝑠)[𝑛 − 1]
Y la ecuación quedara así
[(𝑐𝑚)(𝑠)[𝑛 − 1]]2
[𝑐𝑚2 (𝑛 − 1)][𝑠 2 (𝑛 − 1)]
Haciendo las operaciones correspondientes para eliminar los “cm” y los “s” le ecuación
quedara así
(𝑛 − 1)2
=1
(𝑛 − 1)(𝑛 − 1)
Por lo tanto el coeficiente de relación es correcta ya que no depende de ninguna unidad de
medida.
A partir de la ecuación de la línea recta se obtiene la ecuación empírica del experimento.
Ecuación de la línea recta
𝑦=𝑚𝑥+𝑏
Ecuación empírica 𝑠 = 𝑚 𝑡 + 𝑏
Obteniendo la ecuación empírica y sustituyendo
Ecuación empírica
Xf=v(t)+xo
Sustitución
Si sabemos que 𝑣 =
57.7cm= 30.00006
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑐𝑚
𝑠
(1.933333s) + -2.28727x-5cm
y nuestra ecuación empírica es la posición con respecto al tiempo,
entonces obtenemos lo siguiente:
Por lo tanto 𝑣 = 𝑚
Se tiene el conocimiento teórico de movimiento rectilíneo uniforme MRU en donde se
conoce la siguiente ecuación 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡 , la comparamos con nuestra ecuación empírica:
Ecuación teórica 𝑥 = 𝑣𝑡 + 𝑥0
Ecuación empírica 𝑠 = 𝑚𝑡 + 𝑏
Se puede observar directamente la relación que tiene la pendiente con la rapidez del móvil y
la ordenada con la posición inicial del móvil.
Entonces se puede obtener la posición final del móvil en cualquier tiempo con nuestra
ecuación empírica.
Desarrollando la derivada
Cm=m(t)+b
cm= 30.00006
𝑐𝑚
𝑠
(1.933333(s) + -2.28727x10-5cm
Desarrollando la derivada con respecto al tiempo
V=30.00006
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑐𝑚
𝑠
Obteniendo la posición del móvil en el tiempo de 2s.
Xf=v(t)+xo
Xf=30.00006
𝑐𝑚
𝑠
(2s) +(-2.28727x10-5cm)
Xf=60.00009 cm
Conclusión:
El desplazamiento es directamente proporcional tiempo debido a que entre mas grande sea el
desplazamiento se requerirá mas tiempo mientras los valores sean constantes como se
demuestro en el experimento.
Con la siguiente formula y los datos obtenidos en el experimento se demuestra que si se
inserta una cantidad de tiempo grande el desplazamiento será igual de grande
Ultima posición=30.00006(velocidad)(tiempo)+-2.28727x10-5(primera posición)
Bibliografía
https://www.keyence.com.mx/ss/products/measure-sys/measurement-selection/basic/about.j
sp https://www.lifeder.com/tipos-errores-medicion/
https://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_cient%C3%ADfica
https://metroquimica.net/blogs/news/cifras-significativas
https://www.aulafacil.com/cursos/investigacion/ciencia-y-metodo-cientifico-ii/definicion-dehip otesis-cientifica-l21261 https://www.redalyc.org/pdf/844/84421585014.pdf
https://invdoperaciones.wordpress.com/metodo-grafico/ https://miprofe.com/minimoscuadrados/ https://www.sdelsol.com/glosario/coeficiente-de-correlacion-lineal/
https://es.khanacademy.org/science/fisica-pe-pre-u/x4594717deeb98bd3:cinematica-de-una particula-en-una-y-dos-dimensiones/x4594717deeb98bd3:movimiento-rectilineouniformemru/a/movimiento-rectilneo-uniforme