PARÁBOLA DEFINICIÓN: Una parábola P es un conjunto de puntos Q(x, y) cuya distancia a un punto fijo F (llamado foco) es igual a su distancia hacia una recta fija L (llamada directriz). P = Q(x,y) / d(Q,F)=d(Q, L ) https://encrypted-tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQw6xjd9BT7OdoYNPlNPCDJT5E9dOWNTMdHt_oE5M7v6dFwH9gk ELEMENTOS 1. EJE FOCAL: Es el eje de simetría de la parábola, que pasa por el foco y el vértice. 2. RECTA DIRECTRIZ (L): Es la recta fija de la parábola, perpendicular al eje focal. La recta directriz jamás corta a la parábola. 3. FOCO: Es el punto fijo de la parábola 4. VÉRTICE V (h, k): Punto que pertenece a la intersección del eje focal y de la parábola. El vértice es el punto medio de la distancia entre el foco y la recta directriz. foco es el punto medio del lado recto. * RR 4 p * d ( R, F ) d ( F , R) 2 p d (F , L ) 2 p d (V , F ) d (V , L ) p , V P donde : p parámetro real. d (F , L ) 2 p 5. LADO RECTO (RR´): Segmento perpendicular al eje focal que pasa por el foco. Su longitud es 4 p . El https://encryptedtbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQp9jJkulQvHXlG5 Qj_e3147luVxv_7udpWGbTMp7ukazsjsid0 ECUACIÓN 1. PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X Px : y k 4 p x h 2 V (h, k ), F (h p, k ), L : x h p Observaciones a) En la ecuación la variable “x” es lineal. b) Si Px : y 2 4 px c) Si V(0, 0) , entonces d) La ecuación general es: y 2 Dx Ey F 0 2. PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y PY : x h 4 p y k 2 V (h, k ), F (h, k p), L : y k p Observaciones a) En la ecuación la variable “y” es lineal. b) Si: c) Si V(0, 0), entonces PY : x 2 4 py d) La ecuación general es: x2 Dx Ey F 0 EJERCICIOS (LIBRO DE INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO, AUTOR VENERO. PAGS 367, 356 – 357) ELIPSE DEFINICIÓN: Una elipse E es un conjunto de puntos P(x, y) cuya suma de las distancias hacia dos puntos fijos F1 y F2 (llamados focos) es constante y mide 2a, a >0. E = P(x,y) / d(P,F1)+d(P,F2)=2a, a>0 http://www.universoformulas.com/imagenes/matematicas/geometria/elipse.jpg ELEMENTOS 1. EJE FOCAL: Es el eje de simetría de la elipse, que pasa por el centro, los focos y los vértices. 2. CENTRO C (h, k): Es el punto medio ente las rectas directrices, los focos, del eje mayor y del eje menor. 3. FOCOS F1 Y F2: Son puntos fijos de la elipse. * d ( F1, C ) d (C , F 2) c, c 0 *F1F 2 2c 4. VÉRTICES V1 y V2: Son puntos que pertenece a la intersección del eje focal y la elipse. Determina el eje mayor de longitud 2a. * Eje mayor V 1V 2 2a * d (V 1, C ) d (C ,V 2) a 5. EJE MAYOR V 1V 2 : Segmento que pasa por el centro y foco. 6. EJE MENOR B1B2 : Segmento perpendicular al eje mayor, que pasa por el centro. Su longitud es 2b. * Eje menor B1B 2 2b, b 0 * d ( B1, C ) d (C , B 2) b Observación: * d ( B1, F1) d ( B1, F 2) a ** d ( B 2, F1) d ( B 2, F 2) a 7. RECTAS DIRECTRICES (L1 Y L2): Son rectas fijas correspondientes a los focos F1 y F2, respectivamente, perpendicular al eje focal. La recta directriz jamás corta a la elipse * d (C , L1 ) d (C , L2 ) 9. LADOS RECTOS ( RR y SS ): a2 a c e Segmentos perpendiculares al eje focal que pasa por los focos F1 y F2, respectivamente. Su longitud es 2b2/a. El foco es el punto medio del lado recto. 2a 2 2a c e donde : e excentricidad . * d (L1 , L2 ) 8. EXCENTRICIDAD (e): Está dado por: * RR d ( P, F1) d ( P, F 2) e , P E. d ( P, L1 ) d ( P, L2 ) 2b 2 SS a b2 * d ( R, F1) d ( F1, R) a b2 * d ( S , F 2) d ( F 2, S ) a NOTA: * 0 e 1 * Si e 0 : Elipse Circunferencia. La distancia entre los focos tiende a cero. la "e" de una circunferencia es cero. * Si e 1: Elipse es más al arg ada. http://gc.initelabs.com/recursos/files/r145r/w1139w/Archivos_U9/22.jpg NOTA: Toda elipse cumple la relación: a b c , a b, a c 2 2 2 https://encrypted-tbn1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTH8uuVKtZEPsXuRGClwyfilqF2dMwAqX8SUaagzewmMseBiXlNIg ECUACIÓN 1. ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X Ex x h : a2 2 y k b2 2 1 a2 C (h, k ), V (h a, k ), F (h c, k ), B (h, k b), L : x h c a L :x h e Observaciones a) En la ecuación la constante mayor (a) está en denominador de variable “x”. b) La elipse es horizontal c) la x2 y 2 Si V(0, 0), entonces: Ex : 2 2 1 a b 2. ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y EY x h : b2 2 y k a2 2 1 a2 C (h, k ), V (h, k a), F (h, k c), B(h b, k ), L : y k c a L :y k e Observaciones a) En la ecuación la constante mayor (a) está en denominador de la variable “y”. b) La elipse es vertical. c) x2 y 2 Si V(0, 0), entonces: EY : 2 2 1 b a EJERCICIOS (LIBRO DE INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO, AUTOR VENERO. PAGS 391, 392) HIPÉRBOLA DEFINICIÓN: Una elipse H es un conjunto de puntos P(x, y) cuyo valor absoluto de la diferencia de las distancias hacia dos puntos fijos F1 y F2 (llamados focos, la distancia entre los focos es 2c, c>0) es constante y mide 2a, a >0, c >a. H = P(x,y) / d(P,F1) - d(P,F2) =2a, a>0 https://armandogk.files.wordpress.com/2011/04/img00024-20110410-1444.jpg https://armandogk.files.wordpress.com/2011/04/img00026-20110410-1444.jpg?w=245&h=300 ELEMENTOS (FIG. 02) 1. EJE FOCAL: Es el eje de simetría de la elipse, que pasa por el centro, los focos y los vértices. 2. CENTRO C (h, k): Es el punto medio de las rectas directrices, las rectas asintóticas, los focos, del eje transverso y del eje conjugado. 3. FOCOS F1 Y F2: Son puntos fijos de la elipse. * d ( F1, C ) d (C , F 2) c, c 0 *F1F 2 2c 4. VÉRTICES V1 y V2: Son puntos que pertenece a la intersección del eje focal y la hipérbola. Determina el eje transverso de longitud 2a. * Eje transverso V 1V 2 2a * d (V 1, C ) d (C ,V 2) a 5. EJE TRANSVERO V 1V 2 : También llamado Eje Real, es un segmento que pasa por el centro. 6. EJE CONJUGADO B1B2 : También llamado Eje Imaginario, es un segmento perpendicular al eje transverso, que pasa por el centro. Su longitud es 2b. * Eje conjugado B1B 2 2b, b 0 * d ( B1, C ) d (C , B 2) b 7. RECTAS DIRECTRICES (L1 Y L2): Son rectas fijas correspondientes a los focos F1 y F2, respectivamente, perpendicular al eje focal. La recta directriz jamás corta a la hipérbola. * d (C , L1 ) d (C , L2 ) hipérbola. Es decir a medida un punto de la hipérbola tiende al infinito, la distancia entre la recta y el punto tiende a cero. Forman las diagonales (se intersectan en el centro) del rectángulo (o cuadrado: a = b) de área (2a) (2b). a e 2a e donde : e excentricidad . * d (L1 , L2 ) 8. EXCENTRICIDAD (e): Está dado por: d ( P, F1) d ( P, F 2) e , P H. d ( P, L1 ) d ( P, L2 ) * e 1 * En toda Hipérbola Equilátera la e 2. 9. LADOS RECTOS ( MN y RS ): Segmentos perpendiculares al eje focal que pasa por los focos F1 y F2, respectivamente. Su longitud es 2b2/a. El foco es el punto medio del lado recto. 2b 2 * MN RS a b2 a b2 * d ( R, F 2) d ( F 2, S ) a * d ( M , F1) d ( F1, N ) 10. ASÍNTOTAS ( A1 y A2 ): Son rectas asintóticas que se intersectan en el centro de la LIBRO DE INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO, AUTOR VENERO. PAG. 404) NOTA: 1. Toda elipse cumple la relación: c2 a2 b2 , , c a 0, c b 0 2. Se puede presentar 3 casos: a > b, a = b , a < b. Si a = b, la hipérbola es equilátera. En toda hipérbola equilátera la excentricidad es 2. ECUACIÓN 1. HIPÉRBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X Hx x h : 2 a2 y k 2 1 b2 C (h, k ), V (h a, k ) , F (h c, k ), B (h, k b), a b L : x h , A : y k ( x h) e a Observaciones a) En la ecuación la constante positiva (a2) está en denominador de la variable “x”. b) Si V(0, 0), entonces: H x : x2 y 2 1 a 2 b2 c) La ecuación de la recta asintótica se obtiene, reemplazando el 1 por cero en la ecuación. LIBRO DE INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO, AUTOR VENERO. PAG. 407 2. HIPÉRBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y HY y k : a2 2 x h b2 2 1 C (h, k ), V (h, k a) , F (h, k c), B(h b, k ), a a L : y k , A : y k ( x h) e b Observaciones a) En la ecuación la constante positiva (a2) está en denominador de la variable “y”. b) Si V(0, 0), entonces: y 2 x2 HY : 2 2 1 a b c) La ecuación de la recta asintótica se obtiene, reemplazando el 1 por cero en la ecuación. LIBRO DE INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO, AUTOR VENERO. PAG. 408 EJERCICIOS (LIBRO DE INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO, AUTOR VENERO. PAGS. 422, 423, 434) ACTIVIDAD PARÁBOLA ELIPSE HIPÉRBOLA Autor Moisés Villena Muñoz, Cónicas.
