EJERCICIOS 1. Fundenberg y Tirole (1992) desarrollan un juego de caza del ciervo a partir de una observación que, originalmente, hizo Rousseau. Los dos jugadores del juego pueden cooperar para cazar un ciervo o cada uno puede tratar de cazar una liebre por su cuenta. La matriz de pagos de este juego está determinada por Jugador B Jugador A Ciervo Liebre Ciervo 2,2 1,0 Liebre 0,1 1,1 SOLUCIÓN En este juego decimos que B supone que A tiene una estrategia mixta cuando va a tomar la decisión de cazar. Se supone que en este juego se amplía n jugadores y que cada uno deber cooperar para cazar el ciervo. Imaginando que los pagos dados al jugador B son los mismos y que los jugadores n-1 decidan usar estrategias mixtas. P= Probabilidad de A cuando juega ciervo Los pagos de B son Liebre 2p+0(1-p)=2p Ciervo p+ (1-p)=1 Liebre>Ciervo2p>1 o si p>0,5 2. Los jugadores A y B han encontrado 100 dólares en la acera y están discutiendo como deben repartirlos. Otro viandante sugiere el siguiente juego: “Cada uno de ustedes dice el numero de dólares que se quiere llevar (𝑑𝐴 ,𝑑𝑏 ). Si 𝑑𝐴 +𝑑𝐵 ≤100 cada uno se queda con la cifra que ha dicho y yo me llevo lo que reste. Si 𝑑𝐴 +𝑑𝐵 >100, yo me quedo los 100 dólares”. ¿Hay un único equilibrio de Nash en este juego de estrategias continuas? SOLUCION Los sobornos son 𝑑𝐴 , 𝑑𝐵 . Si 𝑑𝐴 + 𝑑𝐵 <100 y 0 si 𝑑𝐴 + 𝑑𝐵 >100 Cada una de las estrategias donde 𝑑𝐴 + 𝑑𝐵 =100 nos representan equilibrios de Nash, puesto que ningún jugador tiene un incentivo para cambiar. 3. El equilibrio de Nash con estrategias mixtas para el juego de la Guerra de los sexos descrito en el ejemplo 15.1 puede depender de los valores numéricos de los pagos. Para generalizar esta solución, supongamos que la matriz de los pagos está determinada por Estrategias de B Montaña Paya Estrategias de B Montaña Paya K,1 0,0 0,0 1,K Donde K≥1. Demuestre que, en el caso de este juego, este equilibrio de Nash con estrategias mixtas depende del valor de K. SOLUCIÓN El equilibrio de Nash es una combinación donde cada jugador tiene la facultad de escoger le jugada adecuada. Si el equilibrio no se cumple se aplican estrategias mixtas. Para observar más a fondo el ejemplo de la guerra de los sexos, en este juego existen pocas estrategias en el caso donde se opte una cantidad infinita de estrategias mixtas hay un equilibrio de Nash. La condición donde K toma valores iguales o superiores a uno nos da un número infinito de combinaciones que significan estrategias mixtas se pueden escoger donde se limita más el número de K no habría equilibrio. 4. En A Treatise on the Family (Harvard University Press, Cambridge, 1981), G.Becker propone su famoso teorema del Niño Mimado como un juego entre un niño (posiblemente mimado) A, y su padre, B. A mueve primero y elige una acción, r, que afecta a su propio ingreso 𝑌𝐴 (𝑟) (𝑌′𝐴 >0) y al ingreso del padre 𝑌𝐵 (𝑟) (𝑌′𝐵 >0). En la segunda fase del juego, el padre deja una cantidad L de dinero a su hijo. A l niño solo le importa su propio beneficio, 𝑈𝐴 (𝑌𝐴 +L), pero el padre maximiza 𝑈𝐵 (𝑌𝐵 -L)+ λ𝑈𝐴′ donde λ>0 refleja el altruismo del padre hacia hijo. Demuestre que el hijo optara por el valor de r que maximiza 𝑌𝐴 𝑌𝐵 a pesar de que no tiene intención altruista alguna. (Pista: primero tiene que calcular el legado optimo del padre y después la estrategia optima del hijo, dado el, posterior del padre.) SOLUCION Primero se muestra en términos de consumo final de los dos agentes (padre e hijo) 𝑰𝑷 (𝑨)= 𝑰𝑷 (𝑨)-B 𝑰𝑯 (𝑨)= 𝑰𝑯 (𝑨)+B Para encontrar equilibrio analizamos el último jugador que es el padre. Por lo tanto A el hijo. Si el padre escoge dejar la herencia al hijo entonces escoge el consumo 𝑰𝑷 (𝑨) e 𝑰𝑯 (𝑨) 𝑰𝑷 (𝑨)+ 𝑰𝑯 (𝑨)= 𝑰𝑷 (𝑨)+ 𝑰𝑯 (𝑨) Al padre le importa el consumo total del hijo 𝑰𝑯 , como el consumo propio 𝑰𝑷 . 5. Dos jóvenes adolescentes juegan al juego de la gallina, que consiste en acelerar su auto, el uno frente al otro, en un camino de un solo carril. El primero que se desvía es acusado de ser gallina, mientras que el que sigue de frente merece el reconocimiento del grupo de amigos. Por supuesto que si ninguno de los dos se desvía, ambos morirán en el consiguiente choque. La tabla siguiente presenta los pagos del juego. Estrategias de B Gallina Estrategias de B No gallina Gallina 2,2 1,3 No gallina 3,1 0,0 a. ¿Este juego tiene un equilibrio de Nash? b. ¿La amenaza de cualquiera de los dos de que no se acobardara es creíble? c. ¿La capacidad de un jugador para comprometerse firmemente con la estrategia de no acobardarse (por ejemplo, quitando el volante) sería deseable para este jugador? d. Si usted ha visto la película A Beautiful Mind, diga como interpretaría la escena del bar al tenor del juego de la gallina. ¿Puede explicar cuál era la visión de Nash? SOLUCION a. El equilibrio esta en 2,2 donde la estrategia A seria gallina y la B gallina. b. Si un jugador no quiere ser gallina la amenaza de ser cobarde seria creíble. c. El rival puede desviarse y sea una no gallina, pero puede cambiar. d. Con respecto a la película acercarse a la chica y lograr una cita sería una no gallina y quedarse sin la chica sería una gallina. 11. Supongamos que el modelo de Cournot-bayesiano descrito en el ejemplo 15.8 las empresas tienen costos marginales idénticos (10), pero la información sobre la demanda es asimétrica. En concreto, supongamos que la empresa A conoce la función de demanda (ecuación 15.37), pero que la empresa B cree que la demanda puede ser P=120-𝑞𝐴 -𝑞𝐵 P=80-𝑞𝐴 -𝑞𝐵′ Y que cada una tiene probabilidad de 0,5. Suponiendo que las empresas deben anunciar sus cantidades simultáneamente, ¿Cuál es el equilibrio de Nashbayesiano en esta situación? SOLUCION Situacion de la empresa B 𝛽𝐵1= (110-𝑞𝐴 -𝑞𝐵 ) (𝑞𝐵 ) 𝛽𝐵2= (70-𝑞𝐴 -𝑞𝐵 ) (𝑞𝐵 ) Por lo tanto 100−𝑞𝐴 𝑞𝐵1 = 2 70−𝑞𝐴 y 𝑞𝐵2 = 2 Entonces 𝛽𝐵1= 0,5(90-𝑞𝐴 -𝑞𝐵1 ) (𝑞𝐴 )+ 0,5(90-𝑞𝐴 -𝑞𝐵2 ) (𝑞𝐴 ) = (90-𝑞𝐴 -0,5𝑞𝐵1 -0,5𝑞𝐵2 ) (𝑞𝐴 ) Valor de 𝑞𝐴 𝑞𝐴 = (90 − 𝑞𝐴 − 0,5𝑞𝐵1 − 0,5𝑞𝐵2 ) 2 Resolviendo la ecuación las estrategias óptimas son 𝑞𝐴 = 30, 𝑞𝐵1 = 40 , 𝑞𝐵2 = 20
