CONVOLUCIÓN CLASE 2

SEÑALES & SISTEMAS
SISTEMAS LINEALES E INVARIENTES EN EL TIEMPO: CONVOLUCIÓN EN
TIEMPO CONTINUO
PASOS PARA EL DESARROLLO DE LA CONVOLUCIÓN EN TIEMPO CONTINUO
1. Cambio de variable t  τ
2. La respuesta el impulso h(τ) es invertida en el tiempo es decir h(-τ) y luego desplazada
por t para formar h(t - τ) , la cual es una función de τ con parámetro t
3. La señal x(τ) y la respuesta al impulso h(t - τ) , se multiplican para todos los valores de τ
con t fijo en algún valor
4. El producto x(τ) h(t - τ) es integrado en τ para producir un solo valor de salida y(t)
5. Los pasos 2 a 4 se repiten conforme t varia de -∞ a ∞ para producir un solo valor de
salida y(t)
Importante tener siempre presente que x(τ) h(t - τ) se integran respecto a τ y no respecto a
t, t es una constante respecto a τ
EJEMPLO 1
Sea un sistema LTI cuya entrada esta definida por x(t) y su respuesta al impulso es
h(t), determine la salida de y(t) de dicho sistema, mediante convolución
h(t)
x(t)
4
2
t
1
2
3
t
-1
1
2
∞
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ℎ 𝑡 =
𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
−∞
𝑥 𝑡
→𝑥 𝜏
ℎ 𝑡 → ℎ(𝑡 − 𝜏)
h(-𝜏)
4
-2
-1
1
2
𝜏
1 Intervalo
y(t)
4
2
t-2
𝒚𝟏(𝒕) =
t+1
𝟎
;
−∞ < 𝒕 < 𝟎
1
2
3
t
2 Intervalo
y(t)
4
2
1
t-2
𝒕+𝟏
𝒚𝟐(𝒕) =
𝒙 𝝉 𝒉 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉 =
𝟐 𝟒 𝒅𝝉
𝟏
𝒕+𝟏
=
𝟖 𝒅𝝉
𝟏
=
3
t+1
𝒕+𝟏
𝟏
𝒚𝟐 𝒕
2
t
𝟖 𝒕+𝟏−𝟏
𝒚𝟐 𝒕 = 𝟖𝒕 ;
𝟎≤𝒕<𝟐
3 Intervalo
y(t)
4
2
1
2
3
t-2
t+1
𝟑
𝒚𝟑 𝒕 =
𝟖𝒅𝝉
=
𝟖 𝟑−𝟏
𝟏
𝒚𝟑 𝒕 = 𝟏𝟔
;
𝟐 ≤𝒕<𝟑
t
=
𝟏𝟔
4 Intervalo
y(t)
4
2
1
2
3
t-2
𝟑
𝒚𝟒 𝒕 =
𝟖 𝒅𝝉 = 𝟖(𝟑 − 𝒕 − 𝟐 )
𝒕−𝟐
𝒚𝟒 𝒕
= 𝟖 𝟓−𝒕
;
𝟑≤𝒕<𝟓
t
t+1
5 Intervalo
y(t)
4
2
1
𝒚𝟓 𝒕
= 𝟎
;
𝟓 ≤ 𝒕 <∞
2
3 t-2
t+1
t
𝟎
y(t) =
; −∞ < 𝒕 < 𝟎
𝟖𝒕 ;
𝟎≤𝒕<𝟐
𝟏𝟔
𝟐 ≤𝒕<𝟑
;
𝟖 𝟓−𝒕
𝟎
;
;
y(t)
16
𝟑≤𝒕<𝟓
𝟓 ≤ 𝒕 <∞
8
1
2
3
4
5
t
EJEMPLO 2
Sea un sistema LTI cuya entrada esta definida por x(t) y su respuesta al impulso es
h(t), determine la salida de y(t) de dicho sistema, mediante convolución
h(t)
x(t)
1
1
t
-to
to
t
-to
to
∞
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ℎ 𝑡 =
𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
−∞
- Hago cambio de variable t  𝝉
- Reflejo y desplazo x(𝝉)
- Como x(𝝉) es señal par
- Defino intervalos.
x(𝝉) = x(−𝝉)
1 Intervalo
y(t)
1
t
-to +t
𝒚𝟏 𝒕
to +t
= 𝟎
-to
to
− ∞ < 𝒕 < −𝟐𝒕𝒐
2 Intervalo
y(t)
1
t
-to +t
-to
to +t
to
𝒙 𝒕 − 𝝉 = 𝜹 (𝒕𝒐 + 𝒕 − 𝝉)
Se Observa que la señal x(t- 𝝉) es un impulso desplazado
Para resolver la integral aplicamos las propiedades del impulso
Propiedades del impulso unitario
Producto
𝑥 𝑡 𝛿 𝑡 − 𝛼 = 𝑥 𝛼 𝛿(𝑡 − 𝛼)
Filtrado
𝑏
𝑥 𝑡 𝛿 𝑡 − 𝛼 𝑑𝑡
=
𝑥 𝛼 ,
𝑎
Escalamiento
𝛿 𝛼𝑡 =
1
𝛿(𝑡)
𝛼
𝑎 < 𝛼 < 𝑏 , 0 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟
2 Intervalo
y(t)
1
t
-to +t
-to
to +t
to
Aplicando la propiedad de filtrado
∞
𝑦2 𝑡 =
ℎ 𝜏 𝛿 𝑡𝑜 + 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
−∞
𝒚𝟐 𝒕 =
𝒉 𝒕 + 𝒕𝒐
;
−𝟐𝒕𝟎 < 𝒕 < 𝟎
3 Intervalo
y(t)
1
t
-to
-to +t
to
to +t
∞
∞
𝑦3 𝑡 =
ℎ 𝜏 𝛿 𝑡 − 𝑡𝑜 − 𝜏 𝑑𝜏
−∞
𝑦3 𝑡 =
ℎ 𝜏 𝛿 𝑡 − 𝑡𝑜 − 𝜏 𝑑𝜏
−∞
𝒚𝟑 𝒕 = 𝒉 𝒕 − 𝒕𝒐 ; 𝟎 < 𝒕 < 𝟐𝒕𝒐
4 Intervalo
y(t)
1
t
-2to
-to
to
2t0
4 Intervalo
y(t)
1
t
-to
to -to +t
𝒚𝟒 𝒕 = 𝟎;
to +t
𝟐𝒕𝒐 < 𝒕 < ∞
Ejemplo 4
Determine la convolución de:
h(t)
x(t)
1
1
-1
-1
1
1. Paso cambio de variable
2. Reflejo y desplazo x(τ); como la señal es par queda igual
3. Realizo la convolución, para cada intervalo en donde las señales se traslapan
1
-1
Ejemplo 4
Determine la convolución de:
h(τ)
x(-τ)
1
1
-1
-1
1
-1
1
h(τ)
1
1 Intervalo
1
Y1 = 0 ; -∞ < -2
t -1
t+1
-1
1
-1
h(τ)
2 Intervalo
𝑡+1
1
𝑦2 =
1
1 −1 𝑑𝜏
−1
𝑦2 = −𝑡 − 2 ; −2 < 𝑡 < −1
t -1
-1
t+1
1
-1
h(τ)
3 Intervalo
1 1
0
𝑦3 =
𝑡+1
1 −1 𝑑𝜏 +
−1
𝑦3 = 𝑡; −1 < 𝑡 <0
t -1 -1
t+1 1
-1
1 𝑑𝜏
0
h(τ)
4 Intervalo
0
1
1
1
𝑦4 =
1 −1 𝑑𝜏 +
𝑡−1
𝑦4 = 𝑡; 0 < 𝑡 <1
-1
t -1
1
t+1
-1
h(τ)
5 Intervalo
1
1
1
𝑦5 =
1 𝑑𝜏
𝑡−1
𝑦5 = 1 − t − 1
-1
t -1 1
-1
t+1
𝑦5 = 2 − 𝑡; 1 < 𝑡 <2
1 𝑑𝜏
0
h(τ)
1
1
-1
1
-1
6 Intervalo
𝑦6 = 0; 2 < 𝑡 < ∞
t -1
t+1
Ejercicio + 0,2
Demostrar la propiedad distributiva de la convolución el ejemplo 1
Ejercicio + 0,2
Determine la convolución de:
h(t)
x(t)
3
1
-1
1
3
h(τ)
x(τ)
3
1
-1
3
1
h(-τ)
3
-3
x(τ)
1
t-3
𝑦1 = 0 ,
t
-1
1
−∞ < 𝑡 < −1
𝑡
1
t-3
-1
t 1
𝑦2 =
1 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
−1
; −1 < 𝑡 < 1
1
t-3
-1
1
t
1
𝑦3 =
1 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
; 1<𝑡<2
−1
1
t-3
-1
1
t
1
𝑦4 =
1 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
𝑡−3
; 2<𝑡<4