TRABAJO COMPLETO INFORME ESTADISTICO 2021 2 (2) - copia
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Facultad de Ingeniería Informe Final Control de procesos del empaquetado y entrega de los productos terminado de la empresa intradevco sede Lurin-2021 Docente: Integrantes: 2021 Contenido Título: Control de procesos del empaquetado y entrega de los productos terminado de la empresa intradevco sede Lurin-2021 ...................................... 1 CAPITULO-1 ........................................................................................................ 3 1. Antecedentes/ Descripción del proyecto .......................................................... 3 2. PROBLEMA CENTRAL DEL PROYECTO ................................................. 8 3. OBJETIVOS GENERALES / ESPECÍFICOS ............................................. 10 CAPITULO–2...................................................................................................... 10 1. CONCEPTOS ESTADÍSTICOS .................................................................. 10 2. VARIABLES Y TIPO DE VARIABLES ...................................................... 11 3. MUESTRA ESTADISTICA Y TIPO DE MUESTREO ................................ 12 4. GRAFICOS Y TABLAS ESTADISTICOS POR VARIABLES ..................... 13 5. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL/ DISPERSION ............................. 28 6. DISTRIBUCION ........................................................................................ 56 7. INTERVALO DE CONFIANZA ................................................................. 64 CAPITULO-3 ...................................................................................................... 71 1. PRUEBA DE HIPOTESIS ESTADISTICA Y ANALISIS DE DATOS .......... 71 2. BONDAD DE AJUSTE ............................................................................... 82 3. PRUEBA NO PARAMETRICAS ................................................................ 89 4. REGRESION LINEAL SIMPLE Y MULTIPLE ......................................... 95 5. COEFICIENTE DE DETERMINACION Y CORRELACION ..................... 97 6. INTERVALO DE CONFIANZA ............................................................... 100 7. VARIANZA-COVARIANZA: .................................................................... 102 8. CONCLUCIONES: ................................................................................... 103 9. RECOMENDACIONES: ........................................................................... 104 10. ANEXO 1 ................................................................................................. 105 11. ANEXO 2: ENCUESTA PLICADA ........................................................... 109 CAPITULO-1 1. Antecedentes/ Descripción del proyecto Introducción Los envases son objetos manufacturados que contienen, protegen y representan una mercancía para su comercialización en la venta al detalle; éstos se diseñan de modo que tengan el mejor costo compatible con los requerimientos de protección del producto del medio ambiente. (Bernal, 2007, p.12) Son aquellos objetos manufacturados que protegen de manera unitaria o colectiva, bienes ó mercancías para su distribución física a lo largo de la cadena logística; es decir,durante las operaciones de manejo, carga, transporte, descarga, almacenamiento, estiba y posible exhibición, las cuales hacen que el producto esté expuesto a un trato no adecuado. En cuanto a envases y embalajes se puede afirmar que su principal función escontener y proteger con una presentación respetable, de excelente calidad, y estéticamente agradable, también destacar el nombre o marca del producto, y hacer que se distinga de productos similares. El empaque de un producto es muy importante en cuanto a diferenciación y recordación de marca se refiere, cabe destacar que es muy importante que en el envase se hagan las especificaciones de una manera clara, breve delproducto, y se tiene que describir de una forma sencilla el uso o consumo del producto que contiene, informando de manera gráfica o textual si el contenido puede causar riesgoo daño a la salud humana, animal o vegetal. El envase ayuda a que el uso o aplicación del contenido sea sencilla, sin desperdicio, con la dosificación adecuada y de fácil reutilización en caso de que el contenido sea utilizado más de una vez. (Bernal, 2007 , p.12) El empaque es de gran importancia para un producto, algunos de estos beneficios son: promocionar el producto, ya sea por el diseño, por la excelente presentación, o por la seguridad que ofrece el mismo, ya que el empaque tiene que ser un vendedor silencioso y eficaz; ofrecer un fácil manejo, para cualquier tipo de comprador o consumidor, es decir, se debe brindar un empaque ergonómico y que sobresalga frente a la competencia sin descuidar los costos. Así mismo, es indispensable tener en cuenta que los productos van a estar sometidos a cualquier tipo de trato, por tanto, el empaque debe tener propiedades tales como: resistencia a la compresión, vibración, caídas, choque lateral, humedades y temperaturas. De la misma manera es indispensable que no desprenda el aroma del contenido y según el producto que contenga debe ser impermeable a los gases húmedos o secos. Es importante tener en cuenta que algunos empaques -dependiendo de su contenido- deben informar al usuario sobre datos como: cantidad contenida, fecha de caducidad, y en su defecto utilizar un código de barras que contenga información útil para toda la cadena comercial en sus distintos procesos. En lo que respecta al tema ambiental, es aconsejable utilizar preferiblemente envases reutilizables, reciclables, y en un caso extremo incinerables, con el objeto de cumplir las normas de envase y embalaje residuales y de medio ambiente. (Bernal, 2007, p.13) El envase tiene muchas funciones, uno de ellos es proteger el producto mientras que el embalaje acondiciona y es intermediador para el transporte de la mercancía (Careagua, 2003). La globalización en la industria confiere la responsabilidad de ofrecer al mercado productos o servicios de acorde al modo de negocio o escenarios considerando el uso horario, culturas o formas de vida. La globalización permite establecer diversas formas de comercio una de ellas es la comercialización de productos de uso versátil, direccionado a la internacionalización y el proceso de adaptación en diferentes culturas. La globalización da paso a la estandarización de productos lo que otorga la poca o nula variación entre los distintos países o regiones donde se distribuye. Como ejemplo se muestra lo siguiente: Si un producto es necesario modificarlo de manera significativa para introducirlo en otra región, éste ya no es un producto estándar. El envase es parte primordial en la comercialización e introducción de un bien al mercado experimentando transformaciones de acuerdo a las condiciones y diseños como factor selecto para la venta nacional o internacional. (Negocios, 2013) El embalaje es utilizado para la distribución de mercancía encontrándose vinculado a la logística, formando parte de la estiba de mercancías y usos portuarios. (Cevallos y Alvarez, 2016, p.3) Antecedentes Cevallos y Alvarez (2016), en su tesis titulada “LOS ENVASES Y EMBALAJES DEL COMERCIO INTERNACIONAL Y LA NORMATIVA ECUATORIANA EN LA FELICITACIÓN DEL COMERCIO INTERNACIONAL”. Su estudio tuvo por objetivo analizar el manipuleo de carga y descarga de las mercancías para el desarrollo un plan estratégico que impulse el uso del empaque y embalaje que determine alternativas viables ajustadas a requerimientos internacionales. Para el desarrollo de esta investigación se aplicaron dos tipos de enfoques, cuantitativo y cualitativo, en el cual se plantearon problemas, y se definieron preguntas de investigación, se aplicará un método de recolección de datos no numéricos para conocer acerca de los envases y embalajes en el comercio internacional. (Hernandez&Fernandez, 2006). Para conocer acerca del problema de investigación es necesario aplicar un tipo de investigación exploratoria que permitirá obtener más precisión en el estudio, conociendo 25 detalles específicos y relevantes. Para el tipo de investigación exploratorio se elabora un marco teórico en el cual se tomarán en consideración temas relacionados a envases y embalajes que no han sido lo suficientemente estudiados. Otro tipo de investigación que se aplicará es la descriptiva, detallando aspectos importantes dentro del área de envases y embalajes en el comercio internacional. (Hernandez&Fernandez, 2006). Concluyendo, que la implementación de programas medio ambientales otorga competitividad a las organizaciones, la selección del envase y embalaje debe ajustarse a medidas globales, proporcionando productos de calidad. Estos programas medio ambientales gestionan el correcto manejo de desechos, permitiendo que los envases y embalajes cumplan otras funciones ajenas a las que fueron creados. Bernal (2007), en su tesis titulada “MEJORAMIENTO DEL PROCESO DE EMPAQUE DE LOS PRODUCTOS EN POLVO DE 25 KG. EN LA EMPRESA”. Su estudio tuvo por objetivo plantear las alternativas técnicas y económicas para estandarizar y mejorar el proceso de empaque de productos en polvo de 25 Kg en la empresa. Donde la problemática parte desde el procedimiento de empaque del producto hasta el resultado final del producto ya empacado. Así las cosas, es preciso anotar que actualmente el proceso de empaque en empresa es inadecuado, toda vez que genera pérdida de tiempo y provoca deficiencias. En ese orden de ideas, el presente estudio pretende diseñar una solución viable a los problemas anteriormente planteados mejorando el tiempo y la calidad del proceso de empaque. Sin duda, esta investigación representa un aporte importante en la preparación para el ejercicio profesional del ingeniero industrial, dado que permite aplicar los conocimientos adquiridos a lo largo de la carrera por ser un caso práctico que afianza la formación y la experiencia. Además, redunda en el mejoramiento de los procesos de producción de la empresa, la cual en consonancia con esta investigación la cual busca el mejoramiento de los procesos, tiene como estrategia el manejo de un sistema de mejoras continuas para conseguir su objetivo. Concluyendo, que aun empresas con importantes recursos de capital humano y de inversión, son susceptibles de beneficiarse de manera importante de una revisión de sus procesos, buscando una mejora continua de los mismos. Esto cobrara mayor importancia ante el esquema de alta competencia que enfrentara el país y las empresas colombianas en los procesos de globalización que se vislumbran en el mediano plazo. Castillo y Correa (20119), en su tesis titulada “Propuesta de mejora de procesos de una planta de empaque de uva de mesa y determinación de indicadores”. Su estudio tuvo por objetivo ordenar la disposición física de los factores de producción, máquinas, personas, materiales, almacenamiento, etc. Para el desarrollo de esta investigación se aplicó en este caso dos en específico: diagrama de flujo y curso grama analítico. Estas nos serviránpara estudiar los procesos actuales del empaque de uva de mesa y así poder identificar áreas de mejora. Diagrama de flujo, esta herramienta sirve para estandarizar la forma detrabajo en la empresa, de manera que todos los empleados realicen el trabajo de la mismaforma, con el objetivo de reducir el número de productos defectuosos durante el proceso,logrando así conseguir mayor satisfacción en los clientes (Ilzarbe & Vegas, 2008). Curso grama analítico, es una herramienta de representación gráfica mediante la cual se pueden documentar las actividades y tareas que se realizan durante un proceso, de forma sistemática y secuencial, considerando distancias y tiempos, con la finalidad de identificar errores y áreas de mejora (Ingenio Empresa, 2019). Concluyendo, que se ha logrado incrementar la capacidad de producción al eliminar las líneas de trabajo auxiliares e implementar tres niveles en todas las líneas de trabajo, aprovechando así el espacio vertical que posee la planta, lo cual dejó espacio disponible para implementar dos líneas adicionales, con lo que la capacidad de producción en la modalidad de peso incrementa en 66.2% y en peso fijo, 88.5%. También, la implementación de los indicadores de gestión permitirá a la empresa tener un mayor control sobre sus principales variables operativas como son el rendimiento y la mano de obra, lo que le facilitará la puesta en marcha de planes de acción para lograr cumplir con sus objetivos planteados, garantizando el máximo aprovechamiento de los recursos y el cumplimiento de los criterios de calidad, sin incurrir en mayores costos de producción. 2. PROBLEMA CENTRAL DEL PROYECTO El envase es el recipiente de cualquier material y de diversas formas concebido para contener mercaderías para su empleo a partir del mismo y destinado a individualizar, dosificar, conservar, presentar y describir unitariamente la mercadería que contiene. Respecto al "embalaje", se entiende como cualquier medio material destinado a proteger una mercadería para su expedición (manipuleo, carga y descarga, etc.) y/o su conservación en depósitos o almacenes. El término "embalaje" se distinguen dos significados el primero es la acción de embalar los objetos, colocando la mercadería dentro de determinado recipiente y, por el otro es la caja o cubierta, se utiliza para brindar protección a la carga ante riesgos. La oferta de venta debe estipular el tipo de embalaje que se incluyó en el precio de la mercadería (cláusula Incoterms) y, de acuerdo al país al que se cotiza, se debe tener en cuenta no solo las normas internacionales sobre los mismos, sino la vigente en los mercados de destino. La adecuada protección de la mercadería dependerá del correcto análisis de circunstancias como la duración del viaje y el medio de transporte. El embalaje de la mercadería debe adecuarse a las técnicas de manejo o manipulación usadas en el buque, puertos, aeropuertos, estaciones de ferrocarril o muelle de carga en camiones. Existe preocupación por las condiciones en que llegan los productos ecuatorianos al mercado externo, porque no están bien empacados. En algunos casos se pierde el comercio y con ello las divisas, lo que desencadena grandes pérdidas para el sector empresarial ,uno de los motivos incurre en el mal uso de los embalajes ,es decir donde se cubre al producto para que este llegue en buen estado, la falta de recursos para utilizar mejores sistemas de embalaje afectan a algunas empresas debido a lo costoso que puede ser el embalaje de productos de rápida descomposición, y eso provoca que no sea cancelada la mercadería enviada y por lo tanto vuelva hacia la empresa provocando una perdida para la empresa. Ante la problemática que atañe al embalaje de los productos que son enviados al exterior una de las soluciones es la implementación de proyectos para fabricar embalajes que se puedan emplear localmente, embalajes que cuenten con las normas internacionales de calidad así como las normas fiduciarias donde el productor pueda estar tranquilo de que su producto está siendo embalado con embalajes de buena calidad. Las gestiones de desechos para envases y embalajes aun no son consideradas por las empresas ecuatorianas, los envases y embalajes pueden ser utilizados para cumplir otras funciones ajenas a las que fueron creados, los programas de reciclaje se consideran una buena opción para la correcta gestión de desechos (Cevallos y Alvarez, 2016, p.3). 2.1 Formulación del problema Problema general ¿Cuál es la relación que existe entre el control de proceso de producción del empaquetado y la entrega de los productos terminados hacia al almacén, Lurín 2021? Problemas específicos ¿Qué relación existe entre la eficacia del empaquetado durante del proceso y la entrega de los productos terminados hacia el almacén, año 2021? ¿Cuántos son los errores que genera el operario durante el proceso y la entrega de los productos terminados hacia el almacén, año 2021? ¿Cuál es la relación que existe entre las demoras de entrega de las cajas para el traslado y la entrega de los productos terminados hacia el almacén, año 2021? ¿Cuál es la relación que existe entre los incidentes o averías en la producción y la entrega de los productos terminados hacia el almacén, año 2021? 3. OBJETIVOS GENERALES / ESPECÍFICOS 3.1 OBJETIVO GENERAL Establecer la relación que existe entre el proceso del empaquetado y la entrega de los productos terminados hacia el almacén, año 2021. 3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Determinar relación existe entre la eficacia del empaquetado del proceso y la entrega de los productos terminados hacia el almacén, año 2021. Verificar los errores que genera el operario durante el proceso y la entregade los productos terminados hacia el almacén, año 2021. Determinar la relación que existe entre las demoras de entregas de las cajas para el traslado y la entrega de los productos terminados hacia el almacén, año 2021. Verificar la relación que existe entre los incidentes o averías de la maquina en la producción y la entrega de los productos terminados hacia el almacén, año 2021. CAPITULO–2 1. CONCEPTOS ESTADÍSTICOS POBLACIÓN Para la investigación se define que la cantidad de población de este estudio se encuentra constituida por todo el personal de operaciones de la planta de la empresa INTRADEVSO (área aerosoles) MUESTRA Se tomaron del área de operaciones a 25 personas de la empresa Intradevso (área aerosoles), para establecer la relación que existe entre el proceso del empaquetado y la entrega de los productos terminados a los clientes, en el año 2021 UNIDAD DE ANÁLISIS Un personal de operaciones de la empresa Intradevco (área aerosoles) 2. VARIABLES Y TIPO DE VARIABLES 2.1. VARIABLE: V1: control de procesos V2: Productos terminados 2.2. TIPO DE VARIABLES VARIABLE Genero Edad Cuanto tiempo tiene laborando en la empresa TIPO Cualitativa Nominal Cuantitativa Discreta Cuantitativa Continua Cuantas veces a la semana has encontrado errores en la Cuantitativa Discreta recepción de los productos para el empaquetado Cuantas veces a la semana las máquinas de producción tuvo incidentes o averías Cuantitativa Discreta Cuantos productos defectuosos en promedio encuentra al día Cuantitativa Discreta Cuantos minutos se demora en el llenado de las cajas Cuantitativa Continua Cuantos productos diariamente dañan dentro del proceso Cuantitativa Discreta de empaquetado Cuantos minutos se demora en el etiquetado de las cajas Cuantitativa Continua Cuantos minutos le toma sellar y embalar los pallets Cuantos minutos se demora en apilar las cajas para el traslado Cuantitativa Continua Cuantitativa Continua Cuantas veces al mes se han caído las cajas al momento Cuantitativa Discreta del apilado Cuantos accidentes ocurren al mes con el montacargas Cuantitativa Discreta Cuantos veces por semana encuentra inoperativo el Cuantitativa Discreta montacargas Cual es el tiempo promedio del traslado al almacén Cuantitativa Continua 3. MUESTRA ESTADISTICA Y TIPO DE MUESTREO MUESTRA ESTADISTICA Se tomaron del área de operaciones a 25 personas de la empresa Intradevco, para establecer la relación que existe entre el proceso del empaquetado y la entrega de los productos terminados a los clientes, en el año 2019. TIPO DE MUESTREO Se utiliza un muestreo no probabilístico por conveniencia 4. GRAFICOS Y TABLAS ESTADISTICOS POR VARIABLES 4.1. GENERO (VARIABLE CUALITATICA NOMINAL) Genero fi Fi hi Hi pi(%) Pi(%) F 12 12 0.48 0.48 48 48 M 13 25 0.52 1 52 100 Total general 25 1 100 fi(1): 12 personas de las encuestadas son mujeres hi(1): La probabilidad de que los hombres fueran mujeres es 0.48 pi%(2): El 52% de los encuestados son hombres Genero de los operarios 13.2 13 Frecuencia Absoluta 13 12.8 12.6 12.4 12.2 12 F 12 M 11.8 11.6 11.4 F M Genero 4.2. EDAD (VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA) Edad fi Fi hi Hi pi(%) Pi(%) 18-25 8 8 0.32 0.32 32 32 25-32 6 14 0.24 0.56 24 56 32-39 6 20 0.24 0.8 24 80 39-46 3 23 0.12 0.92 12 92 46-53 2 25 0.08 1 8 100 Total general 25 1 100 fi(3): 6 personas de las encuestadas tienen entre 32 y 39 años hi(2): La probabilidad de que los encuestados tengan entre 25 y 32 años es 0.24 pi%(2): El 24% de los encuestados tienen entre 25 y 32 años Edad de los operarios 9 8 8 Frecuencia Absoluta 7 6 6 6 18-25 5 25-32 4 32-39 3 3 2 2 39-46 46-53 1 0 18-25 25-32 32-39 39-46 46-53 Edad FUENTE: La encuesta fue elaborado por el presente grupo. 4.3. CUANTO TIEMPO TIENE LABORANDO EN LA EMPRESA (VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA). Tiempo laborando fi Fi hi Hi pi(%) Pi(%) 0-3 6 6 0.24 0.24 24 24 3-6 4 10 0.16 0.4 16 40 6-9 4 14 0.16 0.56 16 56 9-12 3 17 0.12 0.68 12 68 12-15 8 25 0.32 1 32 100 Total general 25 1 100 fi(2): 4 personas de las encuestadas tienen entren 3 a 6 meses trabajando en la empresa hi(3): La probabilidad de que los encuestados tengan entre 6 a 9 meses trabajando es 0.16 pi%(5): El 32% de los encuestados tienen trabajando entre 12 a 15 meses o más en la empresa Tiempo de labor en la empresa 9 8 Frecuancia Absoluta 8 7 6 6 0-3 5 4 4 4 3-6 3 3 6-9 2 9-12 1 12-15 0 0-3 3-6 6-9 9-12 12-15 Tiempo laborando FUENTE: La encuesta fue elaborado por el presente grupo. 4.4. CUANTAS VECES A LA SEMANA HAS ENCONTRADO ERRORES EN LA RECEPCIÓN DE LOS PRODUCTOS PARA EL EMPAQUETADO (VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA). ERRORES A LA SEMANA (Xi) 1 2 3 4 Total, general fi Fi hi Hi pi(%) Pi(%) 6 11 4 4 25 6 17 21 25 0.24 0.44 0.16 0.16 1 0.24 0.68 0.84 1 24 44 16 16 100 24 68 84 100 fi(2): 4 personas de las encuestadas tienen entren 3 a 6 meses trabajando en la empresa hi(3): La probabilidad de que los encuestados tengan entre 6 a 9 meses trabajando es 0.16 pi%(5): El 32% de los encuestados tienen trabajando entre 12 a 15 meses o más en la empresa Frecuencia Absoluta Errores a la semana 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 11 6 1 4 4 2 3 4 1 2 3 4 Errores FUENTE: La encuesta fue elaborado por el presente grupo 4.5. CUANTAS VECES A LA SEMANA LAS MÁQUINAS DE PRODUCCIÓN TUVIERONINCIDENTES O AVERÍAS (VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA). INCIDENTES O AVERIAS A LA SEMANA (Xi) 1 2 3 4 5 Total, general fi Fi hi Hi pi(%) Pi(%) 7 6 6 4 2 25 7 13 19 23 25 0.28 0.24 0.24 0.16 0.08 1 0.28 0.52 0.76 0.92 1 28 24 24 16 8 100 28 52 76 92 100 fi(1): 7 de 25 personas de las encuestadas han tenido 1 incidente o avería de las maquinas a la semana. hi(1): La probabilidad de que se sucedan incidentes o averías de las maquinas a la semanas es de un 0.28. pi%(2): El 24% de los encuestados han tenido 2 incidente o avería de las maquinas a la semana. Incidentes o averias a la semana 8 7 Frecuencia Absoluta 7 6 6 6 5 1 4 4 2 3 2 3 2 4 1 5 0 1 2 3 4 5 Incidentes o averias FUENTE: La encuesta fue elaborado por el presente grupo 4.6. CUANTOS PRODUCTOS DEFECTUOSOS EN PROMEDIO ENCUENTRA AL DÍA(VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA). PRODUCTOS DEFECTUOSOS AL DIA (Xi) 0-10 10-20 20-30 30-40 Total, general fi Fi hi Hi pi(%) Pi(%) 8 11 4 2 25 8 19 23 25 0.32 0.44 0.16 0.08 1 0.32 0.76 0.92 1 32 44 16 8 100 32 76 92 100 fi(2): 8 de 25 personas de las encuestadas han encontrado de 0-10 productos defectuosos al día. hi(2): La probabilidad de que se hayan productos defectuosos al día es de un 0.44. pi%(4): El 8% de los encuestados han encontrado de 30-40 productos defectuosos al día. Frecuencia Absoluta Productos defectuosos al día 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 11 8 0-10 10 20 4 20-30 2 0-10 10 20 20-30 30-40 Productos defectuosos FUENTE: La encuesta fue elaborado por el presente grupo 30-40 4.7. CUANTOS MINUTOS SE DEMORA EN EL LLENADO DE LAS CAJAS(VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA) MINUTOS (Xi) 5 7 9 11 TOTAL fi 7 11 4 3 25 Fi 7 18 22 25 hi 0.28 0.44 0.16 0.12 1 Hi 0.28 0.72 0.88 1 % 28% 44% 16% 12% 100% Xi*fi 35 77 36 33 181 (Xi-x ̅)2 5.02 0.06 3.10 14.14 22.31 %(1): El 48% de los operarios de producción se demoran 5 minutos en el llenado de las cajas. fi (4): 3 de 25 operarios se demoran 11 minutos en el llenado de las cajas. hi(2): La probabilidad de que los operarios se demoren 7 minutos en llenado de las cajas es de 0.44. FUENTE: La encuesta fue elaborado por el presente grupo 4.8. CUANTOS PRODUCTOS DIARIAMENTE DAÑAN DENTRO DEL PROCESO DEEMPAQUETADO (VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA) CANTIDAD 1 2 3 4 TOTAL fi 5 7 10 3 25 Fi 7 18 22 25 hi 0.20 0.28 0.4 0.12 1 Hi 0.20 0.48 0.88 1 % 20% 28% 40% 12% 100% Xi*fi 5 14 30 12 61 %(4): El 12% de los operarios de producción dañan 4 productos diarios. fi (3): 10 de 25 operarios dañan 3 productos diarios. hi(2): La probabilidad de que los operarios dañen dos productos 2 diario es de 0.28 FRECUENCIA ABSOLUTA CANTIDAD DE PRODUCTOS DAÑADO DIARIAMENTE POR EL PERSONAL 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 CANTIDAD FUENTE: La encuesta fue elaborado por el presente grupo (Xi-x ̅)2 1.00 0.00 1.00 4.00 6.00 4.9. CUANTOS MINUTOS SE DEMORA EN EL ETIQUETADO DE LAS CAJAS (VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA) MINUTOS 1 2 3 4 TOTAL fi 9 9 4 3 25 Fi 7 18 22 25 hi 0.36 0.36 0.16 0.12 1 Hi 0.36 0.72 0.88 1 % 36% 36% 16% 12% 100% Xi*fi 9 18 12 12 51 (Xi-x ̅)2 1.08 0.002 0.92 3.84 5.846 %(1): El 36% de los operarios de producción se demoran 1 minuto en etiquetar las cajas. fi (4): 3 de 25 operarios se demoran 4 minutos en el etiquetado de las cajas. hi(4): La probabilidad de que los operarios se demoren 4 minutos en el etiquetado de las cajas es de 0.12. FUENTE: La encuesta fue elaborado por el presente grupo 4.10. CUANTOS MINUTOS LE TOMA SELLAR Y EMBALAR LOS PALETS (VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA) Tiempo de sellado y embalado de palets 5-10 min fi Fi hi Hi pi(%) Pi(%) 11 11 0.44 0.44 44 44 10-15 min 10 21 0.4 0.84 40 84 15-20 min 4 25 0.16 1 16 100 Total general 25 1 100 fi(1): 11 personas de las encuestadas demoran entre 5 a 10 min para el sellado y embalado de palets hi(2): La probabilidad de que los encuestados demoren entre 10 a 15 min para el sellado y embalado de palets es 0.4 pi%(3): El 16% de los encuestados demoran entre 15 a 20 min para el sellado y embalado de palets Tiempo de sellado y embalado de palets Frecuencia Absoluta 12 10 8 6 5-10 min 10-15 min 4 15-20 min 2 0 5-10 min 10-15 min 15-20 min Tiempo FUENTE: La encuesta fue elaborado por el presente grupo 4.11. CUANTOS MINUTOS SE DEMORA EN APILAR LAS CAJAS PARA ELTRASLADO (VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA) Tiempo de apilado de cajas para el traslado 5-10 min 10-15 min 15-20 min 20-25 min Total general fi Fi hi Hi pi(%) Pi(%) 5 12 5 3 5 17 22 25 0.2 0.48 0.2 0.12 0.2 0.68 0.88 1 20 48 20 12 20 68 88 100 25 1 100 fi(1): 5 personas de las encuestadas demoran entre 5 a 10 min para el traslado de apilados de cajas para el traslado hi(3): La probabilidad de que los encuestados demoren entre 15 a 20 min para el traslado de apilados de cajas para el traslado pi%(4): El 12% de los encuestados demoran entre 20 a 25 min para el traslado de apilados de cajas para el traslado. Tiempo de apilado de cajas para el traslado 14 Frecuencia Abssoluta 12 10 8 6 4 2 0 5-10 min 10-15 min 15-20 min 20-25 min Tiempo FUENTE: La encuesta fue elaborado por el presente grupo 4.12. CONTEO DE CAÍDAS DE CAJAS AL MOMENTO DEL APILADO AL MES (VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA) Conteo de caídas de cajas al momento del apilado fi Fi hi Hi pi(%) Pi(%) 5-10 0 0 0 0 0 0 10-15 10 10 0.4 0.4 40 40 15-20 8 18 0.32 0.72 32 72 20-25 7 25 0.28 1 28 100 Total general 25 1 100 fi(3): 8 personas de las encuestadas hacen caer las cajas al momento del apilado en un mes. hi(2): La probabilidad de que los encuestados hagan caer las cajas de 10 a 15 veces durante el apilado al mes, es 0.4 pi%(1): El 0% de los encuestados hicieron caer las cajas, de entre 5 a 10 veces al mes. Conteo de caídas de cajas al momento del apilado Frecuencia Absoluta 12 10 8 6 4 2 0 5-10 10-15 15-20 20-25 # de veces FUENTE: La encuesta fue elaborado por el presente grupo 4.13. CUANTOS ACCIDENTES OCURREN AL MES CON EL MONTACARGA (VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA) Accidentes ocurridos fi Fi hi Hi pi(%) Pi(%) 1 2 3 4 5 Total general 5 6 12 1 1 25 5 11 23 24 25 0.2 0.24 0.48 0.04 0.04 1 0.2 0.44 0.92 0.96 1 20 24 48 4 4 100 20 44 92 96 100 fi(3): 12 personas de las encuestadas confirman que ocurren 3 accidentes al mes. hi(2): La probabilidad de que los encuestados menciones los accidentes es 0.44 pi%(3): El 48% de los encuestados mencionan q ocurren 3 accidentes al mes. ACCIDENTES QUE OCURREN AL MES CON EL MONTA CARGA 14 12 Frecuencia absoluta 12 10 8 6 6 fi 5 4 2 1 1 4 5 0 1 2 3 Accidentes FUENTE: La encuesta fue elaborado por el presente grupo 4.14. CUANTOS VECES POR SEMANA ENCUENTRA INOPERATIVO EL MONTACARGA (VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA) Monta carga inoperativo fi Fi hi Hi pi(%) Pi(%) 0-5 8 8 0.32 0.32 32 32 5-10 10 18 0.4 0.72 40 72 10-15 5 23 0.2 0.92 20 92 15-20 2 25 0.08 1 8 100 Total general 25 1 100 fi(2): 10 personas de las encuestadas confirman que el monta carga inoperativa de 5 a 10 veces por semana. hi(4): La probabilidad de que los encuestados mencionen que la inoperatividad del monta tcarga es de 0.20 pi%(3): El 20% de los encuestados mencionan que la monta carga se encuentra inoperativa de 10 a 15 veces por semana. INOPERATIVIDAD DEL MONTACARGA A LA SEMANA Frecuencia absoluta 12 10 8 10 8 5 6 4 2 2 0 0-5 5-10 10-15 15-20 Inoperatividad FUENTE: La encuesta fue elaborado por el presente grupo fi 4.15. CUAL ES EL TIEMPO PROMEDIO DEL TRASLADO AL ALMACÉN (VARIABLECUANTITATIVA CONTINUA) Traslado almacén min) de ( fi Fi hi Hi pi(%) Pi(%) 0-5 7 7 0.28 0.28 28 28 5-10 13 20 0.52 0.8 52 80 10-15 5 25 0.2 1 20 100 Total general 25 1 100 fi(2): 10 personas de las encuestadas confirman que el monta carga inoperativa de 5 a 10 veces por semana. hi(4): La probabilidad de que los encuestados mencionen que la inoperatividad del monta tcarga es de 0.20 pi%(3): El 20% de los encuestados mencionan que el monta carga se encuentra inoperativa de 10 a 15 veces por semana. TIEMPO PROMEDIO DE TRASLADO AL ALMACEN 14 13 Frecuencia absoluta 12 10 8 7 6 5 4 2 0 0-5 5-10 10-15 Tiempo FUENTE: La encuesta fue elaborado por el presente grupo 5. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL/ DISPERSION 5.1. GENERO Según los datos estadísticos la moda es la respuesta “M” en grado de genero de los operarios de la empresa. Para variable cualitativa Nominal no aplica la media. Para variable cualitativa Nominal no aplica la mediana. 5.2. EDAD Edad fi Fi Xi fi*Xi 18-25 8 8 21.5 172 25-32 6 14 28.5 171 32-39 6 20 35.5 213 39-46 3 23 42.5 127.5 46-53 2 25 49.5 99 Total general 25 783 MODA 𝑀𝑜 = Li + ( Δ1 Δ1+Δ2 ) ∗ 𝐴 = 100.8 𝐿𝑖 = 18 Δ1 = 8 − 0 = 8 Δ2 = 8 − 6 = 2 𝐴=7 MEDIA 𝑥= ∑ 𝑓𝑖 ∗ 𝑋𝑖 𝑛 = 31.32 ∑ 𝑓𝑖 ∗ 𝑋𝑖 = 783 𝑛 = 25 MEDIANA 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑀𝑒 = n = 12.5 2𝑛 − 𝐹𝑖 𝗍 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 + ⌊2 25.75 𝐿𝑖 = 25 𝑛 = 25 𝐹𝑖 𝗍= 8 𝑓𝑖 = 6 ⌋= 𝑓 𝑖 MEDIDAS DE DISPERSION Edad fi Fi Xi fi*Xi 18-25 8 8 21.5 172 ((Xi-X)^2)*fi 771.4592 25-32 6 14 28.5 171 47.7144 32-39 6 20 35.5 213 104.8344 39-46 3 23 42.5 127.5 374.9772 46-53 2 25 49.5 99 661.0248 Total general 783 25 1960.01 Varianza 𝑆2 = ∑(Xi − X)2 ∗ 𝑓𝑖n = 81.67 −1 ∑(Xi − X)2 ∗ 𝑓𝑖 = 1960.01 𝑛 = 25 Desviación estándar 𝑆 = √𝑆2 = 9.04 5.3. CUANTO TIEMPO TIENE LABORANDO EN LA EMPRESA Tiempo laborando fi Fi Xi fi*Xi 0-3 6 6 1.5 9 3-6 4 10 4.5 18 6-9 4 14 7.5 30 9-12 3 17 10.5 31.5 12-15 8 25 13.5 108 Total general 25 196.5 La moda seria: 𝑀𝑜 = Li + ( Δ1 ) ∗ 𝐴 = 13.85 Δ1+Δ2 𝐿𝑖 = 12 Δ1 = 8 − 3 = 5 Δ2 = 8 − 0 = 8 𝐴=3 La media seria: 𝑥= ∑ 𝑓𝑖 ∗ 𝑋𝑖 𝑛 = 7.86 ∑ 𝑓𝑖 ∗ 𝑋𝑖 = 196.5 𝑛 = 25 La mediana será: n = 12.5 2𝑛 − 𝐹𝑖 𝗍 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 + ⌊2 ⌋ = 3.75 𝑓𝑖 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 = 6 𝑛 = 25 𝐹𝑖 𝗍= 10 𝑓𝑖 = 4 MEDIDAS DE DISPERSION Tiempo laborando fi Fi Xi fi*Xi ((Xi-X)^2)*fi 0-3 6 6 1.5 9 242.6976 3-6 4 10 4.5 18 45.1584 6-9 4 14 7.5 30 0.5184 9-12 3 17 10.5 31.5 20.9088 12-15 8 25 13.5 108 254.4768 Total general 25 196.5 563.76 Varianza 𝑆2 = ∑(Xi − X)2 ∗ 𝑓𝑖n −1 = 23.49 Desviación estándar ∑(Xi − X)2 ∗ 𝑓𝑖 = 563.76 𝑆 = √𝑆2 = 4.85 𝑛 = 25 5.4. CUANTAS VECES A LA SEMANA HAS ENCONTRADO ERRORES EN LARECEPCIÓN DE LOS PRODUCTOS PARA EL EMPAQUETADO ERRORES A LA SEMANA (Xi) 1 2 3 4 Total general fi Fi fi*Xi (Xi-x)^2 6 11 4 4 25 6 17 21 25 6 22 12 16 56 1.5376 0.0576 0.5776 3.0976 5.2704 MEDIA MUESTRAL ∑ 𝒇𝒊 𝑿𝒊 𝒏 ̅𝒙 = 𝟓𝟔 = 𝟐. 𝟐𝟒 𝟐𝟓 Los operarios de producción han encontrado en promedio 2 errores em la recepción de los productos para el empaquetado. MEDIANA 𝑳= 𝒏 𝟐 𝑳 = 𝟐𝟓 = 𝟏𝟐. 𝟓 𝟐 Me = 2 MODA Los errores en la recepción de los productos para el empaquetado más frecuentes son de 2 errores a la semana. MEDIDAS DE DISPERSION ERRORES A LA SEMANA (Xi) 1 2 3 4 Total general fi Fi fi*Xi (Xi-x)^2 6 11 4 4 25 6 17 21 25 6 22 12 16 56 1.5376 0.0576 0.5776 3.0976 5.2704 VARIANZA MUESTRAL: 𝑺𝟐 = 𝑺𝟐 = ∑ 𝒇𝒊(𝑿𝒊 − ̅𝒙)𝟐 𝒏−𝟏 𝟐𝟓(𝟓. 𝟐𝟕𝟎𝟒)= 𝟐𝟓 − 𝟏 DESVIACION MUESTRAL 𝑺 = √𝑺𝟐 𝑺 = √5.49=2.34 𝟓. 𝟒𝟗 5.5.CUANTAS VECES A LA SEMANA LAS MÁQUINAS DE PRODUCCIÓN TUVIERON INCIDENTES O AVERÍAS INCIDENTES O AVERIAS A LA SEMANA (Xi) 1 2 3 4 5 Total, general fi Fi fi*Xi (Xi-x)^2 7 6 6 4 2 25 7 13 19 23 25 7 12 18 16 10 63 2.3104 0.2704 0.2304 2.1904 6.1504 11.152 MEDIA MUESTRAL ∑ 𝒇𝒊 𝑿𝒊 𝒏 ̅𝒙 = 𝟔𝟑 = 𝟐. 𝟓𝟐 𝟐𝟓 Las máquinas de producción a la semana tienen un promedio de incidentes o averías de 2.5 veces. MEDIANA 𝑳= 𝒏 𝟐 𝟐𝟓 𝑳 = 𝟐 = 𝟏𝟐. 𝟓 Me = 2 MODA Las máquinas de producción con incidentes o averías más frecuentes son de 1 veces a la semana. MEDIDAS DE DISPERSION INCIDENTES O AVERIAS A LA SEMANA (Xi) 1 2 3 4 5 Total general fi Fi fi*Xi (Xi-x)^2 7 6 6 4 2 25 7 13 19 23 25 7 12 18 16 10 63 2.3104 0.2704 0.2304 2.1904 6.1504 11.152 VARIANZA MUESTRAL: 𝑺𝟐 = 𝑺𝟐 = ∑ 𝒇𝒊(𝑿𝒊 − ̅𝒙)𝟐 𝒏−𝟏 𝟐𝟓(𝟏𝟏. 𝟏𝟓𝟐) = 𝟏𝟏. 𝟔𝟏𝟔 𝟐𝟓 − 𝟏 DESVIACION MUESTRAL 𝑺 = √𝑺𝟐 S=√𝟏𝟏. 𝟔𝟏𝟔 = 3.408 5.6.CUANTOS PRODUCTOS DEFECTUOSOS EN PROMEDIO ENCUENTRA AL DÍA PRODUCTOS DEFECTUOSOS AL DIA (Xi) 0-10 10-20 20-30 30-40 Total general fi Fi Xi fi*Xi (Xi-x)^2 8 11 4 2 25 8 19 23 25 5 15 25 35 40 165 100 70 375 100 0 100 400 600 MEDIA MUESTRAL ∑ 𝒇𝒊 𝑿𝒊 𝒏 𝟑𝟕𝟓 = 𝟏𝟓 𝟐𝟓 𝒙= Los operarios de producción se demoran en promedio 7 minutos en el llenado de las cajas. MEDIANA 𝑳= 𝒏+𝟏 𝟐 =13 𝒏+1 − 𝑭𝒊 − 𝟏 𝗍 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝑴𝒆 = 𝑳𝒊 + ⌊ 2 ⌋ = 𝟏𝟎. 𝟒𝟓 𝒇𝒊 𝐿𝑖 = 10 𝑛 + 1/2 = 13 𝐹𝑖 𝗍= 8 𝑓𝑖 = 11 MODA 𝑀𝑜 = Li + ( Δ1 ) Δ1+Δ2 ∗ 𝐴 = 13 𝐿𝑖 = 10 Δ1 = 11 − 8 = 3 Δ2 = 11 − 4 = 7 𝐴 = 10 MEDIDAS DE DISPERSION PRODUCTOS DEFECTUOSOS AL DIA (Xi) 0-10 10-20 20-30 30-40 Total general fi Fi Xi fi*Xi (Xi-x)^2 8 11 4 2 25 8 19 23 25 5 15 25 35 40 165 100 70 375 100 0 100 400 600 VARIANZA MUESTRAL: 𝑺𝟐 = ∑ 𝒇𝒊(𝑿𝒊 − ̅𝒙)𝟐 𝒏−𝟏 𝑺𝟐 = 𝟐𝟓(𝟔𝟎𝟎) = 𝟔𝟐𝟓 𝟐𝟓 − 𝟏 DESVIACION MUESTRAL 𝑺 = √𝑺𝟐 S=√𝟔𝟐𝟓 = 25 4.7 CUANTOS MINUTOS SE DEMORA EN EL LLENADO DE LAS CAJAS MEDIA MUESTRAL ∑ 𝒇𝒊 𝑿𝒊 𝒏 𝟏𝟖𝟏 𝒙 ̅ = 𝟐𝟓 = 𝟕. 𝟐𝟒 Los operarios de producción se demoran en promedio 7 minutos en el llenado de las cajas. MEDIANA 𝟐𝟓 = 𝟏𝟐. 𝟓 𝑳= 𝟐 El 50% de los operarios se demoran igual o menor a 7 minutos en el llenado de las cajas. Por otro lado, 50% del personal se demoran mayor o igual de 7 minutos. MODA Los minutos más frecuentes en la que se demora el llenado de las cajas es 7 minutos. MEDIDAS DE DISPERSION VARIANZA MUESTRAL: 𝑺𝟐 ∑(𝑿𝒊 − ̅𝒙)𝟐 𝑺𝟐 = (𝟐𝟐. 𝟑𝟏) 𝟐𝟓 − 𝟏 = 𝟎. 𝟗𝟐𝟖 DESVIACION MUESTRAL 𝑺 = √𝑺𝟐 S=√𝟎. 𝟗𝟐𝟖 = 0.963 4.8 CUANTOS PRODUCTOS DIARIAMENTE DAÑAN DENTRO DEL PROCESO DE EMPAQUETADO MEDIA MUESTRAL ∑ 𝒇𝒊 𝑿 𝒏 𝟔𝟏 𝒙 ̅ = 𝟐𝟓 = 𝟐. 𝟒𝟒 ≈ 𝟐 Los operarios de producción en promedio dañan 2 producto diario. MEDIANA 𝑳= 𝑳= 𝒏 𝟐 𝟐𝟓 = 𝟏𝟐. 𝟓 𝟐 El 50% de los operarios se dañan menor o igual a 2 productos diario. No obstante, el otro 50% del personal dañan 2 a más productos. MODA La cantidad de producto dañado frecuentemente es 3 producto por día. MEDIDAS DE DISPERSION VARIANZA MUESTRAL: 𝑺𝟐 ∑(𝑿𝒊 − ̅𝒙)𝟐 𝑺𝟐 = (𝟔) 𝟐𝟓 − 𝟏 = 𝟎. 𝟐𝟓 DESVIACION MUESTRAL 𝑺 = √𝑺𝟐 S=√𝟎. 𝟐𝟓 = 0.5 4.9 CUANTOS MINUTOS SE DEMORA EN EL ETIQUETADO DE LAS CAJAS MEDIA MUESTRAL ∑ 𝒇𝒊 𝑿𝒊 𝒏 𝟓𝟏 𝒙 ̅ = 𝟐𝟓 = 𝟐. 𝟎𝟒 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨𝐬 Los operarios de producción en promedio se demoran en etiquetar 2.04 minutos. MEDIANA 𝑳= 𝑳= 𝒏 𝟐 𝟐𝟓 = 𝟏𝟐. 𝟓 𝟐 El 50% del personal de producción se demoran menos o igual a 2 minutos. No obstante, el otro 50% se demoran igual o más de 2 minutos. MODA Los minutos más frecuentes de los operarios para el etiquetado de las cajas es 1 y 2 minutos. MEDIDAS DE DISPERSION VARIANZA MUESTRAL: 𝑺𝟐 ∑(𝑿𝒊 − ̅𝒙)𝟐 𝑺𝟐 = (𝟓. 𝟖𝟒𝟔) 𝟐𝟓 − 𝟏 DESVIACION MUESTRAL 𝑺 = √𝑺𝟐 S=√𝟎. 𝟐𝟒𝟒 = 0.494 = 𝟎. 𝟐𝟒𝟒 4.10 CUANTOS MINUTOS LE TOMA SELLAR Y EMBALAR LOS PALETS Tiempo de sellado y embalado de palets fi Fi Xi fi*Xi 5-10 min 10-15 min 15-20 min 11 10 4 11 21 25 7.5 12.5 17.5 82.5 125 70 Total general 25 277.5 MEDIA MUESTRAL ∑ 𝒇𝒊 𝑿𝒊 𝒏 ̅𝒙 = 𝟐𝟕𝟕. 𝟓𝟎 = 𝟏𝟏. 𝟏 𝟐𝟓 Se obtiene según el estudio realizado que el tiempo promedio de sellado y embalado de palets es de 11.1 min. MEDIANA 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑀𝑒 = n = 12.5 2𝑛 − 𝐹𝑖 𝗍 25 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑀𝑒 = 5 + − 11 𝗍 ⌊2 10 ⌋ = 5,15 El 50% según el estudio realizado se llega a la conclusión que el tiempo de sellado y embalado de palets es igual o menor a 5.15 min . Y el resto menciona que el tiempo de sellado y embalado de palets es mayor o igual de 5.15 min MODA 𝑀𝑜 = Li + ( Δ1 Δ1 + Δ2 ) ∗ 𝐴 = 9.583 𝐿𝑖 = 5 Δ1 = 11 − 0 = 11 Δ2 = 11 − 10 = 1 𝐴=5 MEDIDAS DE DISPERCION Tiempo de sellado y embalado de palets fi Fi Xi ((Xi-X)^2)*fi 5-10 min 11 11 7.5 1.17818182 10-15 min 10 21 12.5 0.196 15-20 min 4 25 17.5 10.24 Total general 25 11.614182 Varianza ∑(Xi − X)2 ∗ 𝑓𝑖 = 0.484 n−1 ∑(Xi − X)2 ∗ 𝑓𝑖 = 11.614 𝑆2 = 𝑛 = 25 Desviación estándar 𝑆 = √𝑆 2 𝑆 = √0.484 = 0.696 4.11 CUANTOS MINUTOS SE DEMORA EN APILAR LAS CAJAS PARA EL TRASLADO Tiempo de apilado de cajas para el traslado 5-10 min 10-15 min 15-20 min 20-25 min Total general MEDIA MUESTRAL fi Fi Xi fi*Xi 5 12 5 3 5 17 22 25 7.5 12.5 17.5 22.5 37.5 150 87.5 67.5 25 342.5 ∑ 𝒇𝒊 𝑿𝒊 𝒏 ̅ = 𝒙 𝟑𝟒𝟐. 𝟓𝟎 = 𝟏𝟑. 𝟕 𝟐𝟓 Se obtiene según el estudio realizado que el tiempo promedio de apilado de cajas para el traslado es de 13.7 min. MEDIANA n = 12.5 2𝑛 − 𝐹𝑖 𝗍 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 + ⌊2 ⌋ 𝑓𝑖 25 −5 𝗍 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑀𝑒 = 10 + ⌊ 2 ⌋ = 10.625 12 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑀𝑒 = MODA 𝑀𝑜 = Li + ( Δ1 ) ∗ 𝐴 = 12.5 Δ1 + Δ2 𝐿𝑖 =10 Δ1 = 12 − 5 = 7 Δ2 = 12 −5 = 7 𝐴=5 𝐿 𝑖 = 1 0 MEDIDAS DE DISPERSION Tiempo de apilado de cajas para el traslado fi Fi Xi ((Xi-X)^2)*fi 5-10 min 5 5 7.5 7.688 10-15 min 12 17 12.5 0.12 15-20 min 5 22 17.5 2.888 20-25 min 3 25 22.5 25.8133333 Total general 25 36.509333 Varianza 𝑆2 = ∑(Xi − X)2 ∗ 𝑓𝑖 = 1.521 n−1 ∑(Xi − X)2 ∗ 𝑓𝑖 = 30.509 𝑛 = 25 Desviación estándar 𝑆 = √𝑆 2 𝑆 = √1.521 = 1.233 4.12 CONTEO DE CAÍDAS DE CAJAS AL MOMENTO DEL APILADO AL MES Conteo de caídas de cajas al momento del apilado 5-10 10-15 15-20 20-25 Total general fi Fi Xi fi*Xi 0 10 8 7 0 10 18 25 7.5 12.5 17.5 22.5 0 125 140 157.5 25 MEDIA MUESTRAL ∑ 𝒇𝒊 𝑿𝒊 𝒏 ̅= 𝒙 𝟒𝟐𝟐. 𝟓𝟎 = 𝟏𝟔. 𝟗 𝟐𝟓 422.5 Se obtiene según el estudio realizado que el conteo promedio de caídas de cajas al momento del apilado es de 16.9. MEDIANA n 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑀𝑒 = = 12.5 2𝑛 − 𝐹𝑖 𝗍 2 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 + ⌊ ⌋ 𝑓𝑖 25 − 10 𝗍 2 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑀𝑒 = 15 + ⌊ ⌋ = 15.3125 8 El 50% según el estudio realizado se llega a la conclusión que el conteo de caídas de cajas al momento del apilado es igual o menor a 15.3125 . Y el resto menciona que el conteo de caídas de cajas al momento del apilado es mayor o igual a 15.3125. MODA 𝑀𝑜 = Li + ( Δ1 Δ1 + Δ2 ) ∗ 𝐴 = 14.1667 𝐿𝑖 = 10 Δ1 = 10 − 0 = 10 Δ2 = 10 − 8 = 2 𝐴=5 MEDIDAS DE DISPERSION ((XiX)^2)*fi Conteo de caídas de cajas al momento del apilado fi Fi Xi 5-10 10-15 15-20 0 10 8 0 10 18 7.5 12.5 17.5 1.936 0.045 20-25 7 25 22.5 4.48 Total general 25 6.461 Varianza ∑(Xi − X)2 ∗ 𝑓𝑖 = 0.269 n−1 ∑(Xi − X)2 ∗ 𝑓𝑖 = 6.461 𝑆2 = 𝒏 = 𝟐𝟓 Desviación estándar 𝑆 = √𝑆 2 𝑆 = √0.269 = 0.519 4.13 CUANTOS ACCIDENTES OCURREN AL MES CON EL MONTACARGA Accidentes ocurridos fi Fi Xi fi*Xi 1 2 3 4 5 Total general 5 6 12 1 1 5 11 23 24 25 1 2 3 4 5 5 12 36 4 5 25 62 MEDIA MUESTRAL ∑ 𝒇𝒊 𝑿𝒊 𝒏 ̅𝒙 = 𝟔𝟐 = 𝟐, 𝟒𝟖 𝟐𝟓 El personal menciona que el promedio de accidentes con el monta carga es de 3 veces al mes. MEDIANA 𝑳= 𝒏 𝟐 𝟐𝟓 𝑳 = 𝟐 = 𝟏𝟐. 𝟓 El 50% del personal menciona que ocurren igual o menor a 3 accidentes con el monta carga al mes . Por otro lado, 50% menciona que los accidentes que ocurren con el monta carga es mayor o igualde 3 veces. MODA El personal menciona 3 veces con más frecuencia con respecto a los accidentes con el montacargas. MEDIDAS DE DISPERSION Accidentes ocurridos fi Fi Xi (Xi-X)2 1 2 3 4 5 Total general 5 6 12 1 1 5 11 23 24 25 1 2 3 4 5 2.19 4 9 16 25 25 56.19 VARIANZA MUESTRAL: 𝑺𝟐 = 𝑆2 = ∑(𝑿𝒊 − 𝒙 ̅)𝟐 𝒏−𝟏 (56.19) = 2.34 25 − 1 DESVIACION MUESTRAL S=√2.34 =1.53 4.14.CUANTOS VECES POR SEMANA ENCUENTRA INOPERATIVO EL MONTACARGA Monta carga inoperativo 0-5 5-10 10-15 Total general fi 8 10 5 Fi Xi fi*Xi 8 18 23 2.5 7.5 12.5 20 75 62.5 25 192.5 MEDIA MUESTRAL ∑ 𝒇𝒊 𝑿𝒊 𝒏 𝑥̅ = 192.50 = 7.70 25 El personal menciona que en promedio el monta carga se encuentra inoperativos 8 veces a la semana. MEDIANA n = 13.5 2𝑛 − 𝐹𝑖 𝗍 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 + ⌊2 ⌋ 𝑓𝑖 25 −8𝗍 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑀𝑒 = 5 + ⌊ 2 ⌋ = 7,25 10 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑀𝑒 = El 50% del personal menciona que ocurren igual o menor a 8 inoperatividades a ala semana . Por otro lado, 50% menciona que el monta carga se encuentra inoperativo es mayor o igual de 8 veces. MODA 𝑀𝑜 = Li + ( Δ1 ) ∗ 𝐴 = 6,43 Δ1 + Δ2 𝐿𝑖 = 5 Δ1 = 10 − 8 = 2 Δ2 = 10 − 5 = 5 𝐴=5 MEDIDAS DE DISPERSION Monta carga inoperativo fi Fi Xi fi*Xi ((Xi-X)^2)*fi 0-5 5-10 10-15 15-20 8 10 5 2 8 18 23 25 20 75 62.5 35 Total general 25 2.5 7.5 12.5 17.5 40 216.32 562.5 781.25 612.5 2172.57 Varianza ∑(Xi − X)2 ∗ 𝑓𝑖 = 90.52 n−1 ∑(Xi − X)2 ∗ 𝑓𝑖 = 2172.57 𝑆2 = 𝑛 = 25 𝑆 = √𝑆 2 Desviación estándar 𝑆 = √90.52 = 9.51 4.15.CUAL ES EL TIEMPO PROMEDIO DEL TRASLADO AL ALMACÉN Traslado al almacén ( min) 0-5 5-10 10-15 Total general MEDIA MUESTRAL fi Fi Xi fi*Xi 7 13 5 7 20 25 2.5 7.5 12.5 17.5 97.5 62.5 177.5 25 ∑ 𝒇𝒊 𝑿𝒊 𝒏 𝑋= 177.50 = 7.10 25 Se obtiene según el estudio realizado que el tiempo promedio de traslado al almacén es de 7 min. MEDIANA 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑀𝑒 = n+1 2 𝑛 = 13 − 𝐹𝑖 𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑀𝑒 = li + − 𝐹𝑖 − 1 2 Fi 25 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑀𝑒 = 5 + 2 − 7 = 5,42 13 El 50% según el estudio realizado se llega a la conclusión el tiempo de traslado al almacén es igual o menor a 5.42 min . Y el resto menciona que el tiempo d traslado de la mercadería a alalancen es mayor o igual de 5.42 min MODA 𝑀𝑂 = 𝐿𝐼 + ( ∆1 ) ∗ 𝐴 = 7.14 ∆1 + ∆2 L𝑖 = 5 Δ1 = 13 − 7 = 6 Δ2 = 10 − 5 = 8 𝐴=5 MEDIDAS DE DISPERSION Traslado de almacen( min) 0-5 5-10 10-15 Total general fi Fi Xi fi*Xi ((XiX)^2)*fi 7 13 5 7 20 25 2.5 7.5 12.5 17.5 97.5 62.5 189.28 731.25 781.25 25 22.5 Varianza 𝑆2 = ∑(Xi − X)2 ∗ 𝑓𝑖n −1 = 71.16 ∑(Xi − X)2 ∗ 𝑓𝑖 = 1701.78 𝑛 = 25 Desviación estándar 𝑆 = √𝑆2 = 4.85 𝑆 = √71.16 = 8 1701.78 6. DISTRIBUCION 6.1. DISTRIBUCION DE MEDIA CON VARIANZA CONOCIDA a) Se supone que la edad de los operarios de INTRADEVSO sigue una distribución normal de media 31,32 y desviación estándar de edad es 9,04. Se toma una muestra al azar de 25 de los operarios encuestados y se calcula la media. ¿Cuál es la probabilidad de que esta media este entre 29 y 34? Datos: 𝜇 = 31,32 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒: 𝑥 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝜎 = 9,04 𝑍= 𝑛 = 25 𝑃(29 ≤ 𝑥̅ ≤ 34) = 𝑃(𝑋 ≤ 34) − 𝑃(𝑋 ≤ 29) 𝑥̅ −𝜇 𝜎 √𝑛 ~𝑁(0,1) 𝑃(29 ≤ 𝑥̅ ≤ 34) = 𝑃 (𝑍 ≤ 34 − 31,32 29 − 31,32 ) − 𝑃 (𝑍 ≤ ) 9,04 9,04 √25 √25 𝑃(29 ≤ 𝑥̅ ≤ 34) = 𝑃(𝑍 ≤ 1,48) − 𝑃(𝑍 ≤ −1,28) 𝑃(29 ≤ 𝑥̅ ≤ 34) = 0,93056 − 0,10027 𝑃(29 ≤ 𝑥̅ ≤ 34) = 0,83029 b) El valor nominal del tiempo que tienen los operarios laborando en la empresa INTRADEVSO es de 7,86. Por las encuestas actuales se conoce que la desviación estándar del tiempo que los operarios tienen laborando es 4,85. Si se toma una muestra de 25 operarios. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de esa muestra sea mayor a 10? Datos: 𝜇 = 7,86 𝜎 = 4.85 𝑛 = 25 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒: 𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑍= 𝑥̅ −𝜇 𝜎 √𝑛 ~𝑁(0,1) 𝑃(𝑥̅ ≥ 10) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 10) 𝑃(𝑥̅ ≥ 10) = 1 − 𝑃 (𝑍 ≤ 10 − 7,86 ) 4,85 √25 𝑃(𝑥̅ ≥ 10) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 2,21) 𝑃(𝑥̅ ≥ 10) = 1 − 0,98645 𝑃(𝑥̅ ≥ 10) = 0,01355 6.2. DISTRIBUCION DE MEDIA CON VARIANZA DESCONOCIDA a) Se realiza una investigación en Intradevco, sobre la cantidad de accidentes mensuales ocurridos con el monta carga en la planta Lurín, se ajusta a una distribución normal donde la media muestral es 2.48 de 3 y la desviación estándar es 1.53, la investigación fue realizada a 25 trabajadores de dicha area de los que laboran en el lugar.¿Cual es la probabilidad de que que la media sea menor a 2.48 en la cantidad de accidentes que ocurren con el montacarga? Datos: µ 3 n 25 S 1.53 X 2.48 𝑃 (𝑋 < 2.48) 𝑃(𝑇 25 − 1 < 2.48 − 3 ) 1.53 √25 𝑃( 𝑇 24 <-1.69) CONCLUSION: La probabilidad que la media muestral sea menor a 2.48 en la cantidad de accidentes mensuales que ocurren con el montacargas es 0.05% b) Se realiza un estudio en el área de detergentes en Intradevco, sobre Cuantos veces por semana encuentra inoperativo el monta carga , se ajusta a una distribución normal donde la media muestral es 7.70 de 8 y la desviación estándar es 9.51, la investigación fue realizada a 25 trabajadores de dicha area de los que laboran en el lugar. ¿Cual es la probabilidad de que la media sea mayor a7.70 en la cantidad de veces por semana que se encuentra inoperativo el monta carga? Datos: µ 8 n 25 S 9.51 X 7.70 𝑃 (𝑋 > 7.70) 𝑃(𝑇 25 − 1 > 7.70 − 8 9.51 √25 𝑃 (𝑇 24 > −0.16 = 1 − 𝑃(𝑇 < −0.16 =-0.84) CONCLUSION: La probabilidad de que el media muestral sea mayor a 7.70 en la cantidad de veces por semana se encuentra inoperativa el montacargas es 0.2 6.3. DISTRIBUCION DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS PARA VARIANZA DESCONOCIDA a) Distribución de la diferencia de dos medias para σ2 desconocida e iguales Se realiza una investigación en Intradevco, sobre la calidad de la maquinaria de despacho en sus plantas de Cercado de Lima y Lurín. Un indicador de calidad es la cantidad de incidencias o averías que tiene una máquina de despacho por semana, que se asume siguen distribuciones normales independientes de media 4.77 veces en la planta de Cercado de Lima y 3.25 en Lurín. En la primera planta se realizan 28 conteos, obteniéndose una varianza de 7.31 y en la segunda 25 conteos, con una varianza de 5.49. Obtener la probabilidad de que la media muestral de Cercado de Lima sea como mínimo 2 unidades mayor a la media muestral de Lurín. Considere homogeneidad de varianzas. Población 1. Cercado de Lima 2. Lurín 𝜇1 = 4.77 𝜇2 = 3.25 Muestra 1. Cercado de Lima 2. Lurín n1 = 28 n2 = 25 2 S1 = 7.31 S22 = 5.49 Para varianza poblacional desconocida pero iguales 𝑃(𝑋̅1 > 𝑋̅2 + 2) = 𝑃(𝑋̅1 − 𝑋̅2 > 2) 𝑆𝑃 2 = (28 − 1)7.31 + (25 − 1)5.49 = 6.454 28 + 25 − 2 𝑃(𝑋̅1 − 𝑋̅2 > 2) → 𝑃 𝑡𝑛1+𝑛2−2 > ( 2 − (4.77 − 3.25) √(6.454) ( 1 + 1 ) 28 25 ) 𝑃(𝑡51 > 0.687) = 1 − 𝑃(𝑡51 ≤ 0.687) = 1 − 0.75 = 0.25 La probabilidad de que la cantidad de incidencias o averías que tiene una máquina de despacho por semana en Intradevco – Cercado de Lima sea al menos 2 unidades más que en Lurín será de 0.25 o 25%. b) Distribución de la diferencia de dos medias para σ2 desconocida y diferentes Se realiza una investigación en Intradevco, sobre la calidad del proceso de empaquetado en sus plantas de Ate y Lurín. Un indicador de calidad es la cantidad diaria de productos dañados en el proceso de empaquetado, que se asume siguen distribuciones normales independientes de media 22 en la planta de Ate y 18 en Lurín. En la primera planta se realizan 27 conteos, obteniéndose una varianza de 0.96 y en la segunda 25 conteos, con una varianza de 0.25. Obtener la probabilidad de que la media muestral de Ate sea como mínimo 5 unidades mayor a la media muestral de Lurín. Considere que las varianzas poblacionales son desconocidas, pero se sabe que son diferentes. Población 1. Ate 𝜇1 = 22 Muestra 2. Lurín 𝜇2 = 18 1. Ate n1 = 27 S12 = 0.96 2. Lurín n2 = 25 S22 = 0.25 Para varianza poblacional desconocida y diferentes 𝑃(𝑋̅1 > 𝑋̅2 + 5) = 𝑃(𝑋̅1 − 𝑋̅2 > 5) 0.96 0.25 2 ( + ) 27 25 𝑣= = 39.313 ≅ 39 0.96 2 0.25 2 ( 27 ) ( ) 25 + 27 − 1 25 − 1 𝑃(𝑋̅1 − 𝑋̅2 > 2) → 𝑃 𝑡𝑣 > ( 5 − (22 − 18) √0.96 + 0.25 27 25 ) 𝑃(𝑡39 > 4.685) = 1 − 𝑃 (𝑡39 ≤ 4.685) = 1 − 0.9995 = 0.0005 La probabilidad de que la cantidad diaria de productos dañados en el proceso de empaquetado en Intradevco – Ate, sea al menos 5 unidades más que en Lurín será de 0.005 o 0.05%. 6.4. DISTRIBUCION DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS PARA VARIANZA CONOCIDA a) Se tiene la siguiente información de la empresa INTRADEVCO, donde vemos que un grupo de operarios entre hombres y mujeres, muestran sus opiniones acerca de que dentro del área de empaquetado se generan errores en la recepción: Errores en la recepción hombres: 4; 𝜽𝟐 = 5.5 Errores en la recepción mujeres: 3; 𝜽𝟐 = 7.3 Si tomamos una muestra aleatoria de 11 mujeres y 14 hombres ¿Cuál es la probabilidad de que los errores en la recepción de los hombres sean al menos a 2; mayor que el de las mujeres? Datos: Hombres 𝑼𝟏 = 𝟒 𝜽𝟐 = 𝟓. 𝟓 𝒏𝟏 = 𝟏𝟒 Mujeres 𝑼𝟐 = 𝟑 𝜽𝟐 = 𝟕. 𝟑 𝒏𝟐 = 𝟏𝟏 Solución: ̄𝟏 ≥ 𝟐+𝒙 ̄ 𝟐) 𝒑(𝒙 𝒑(𝑥̄ 𝟏 − 𝑥̄ 𝟐 ≥ 𝟐) 𝒑(𝑍 ≥ 𝟐 − (𝟒 − 𝟑) √𝟓. 𝟓 + 𝟕. 𝟑 𝟏𝟒 𝟏𝟏 ) 𝒑(𝑍 ≥ 𝟎. 𝟗𝟕𝟐) = 𝟏 − 𝒑(𝒁 < 𝟎. 𝟗𝟕𝟐) 𝒑(𝑍 ≥ 𝟎. 𝟗𝟕𝟐) = 𝟏 − 𝟎. 𝟖𝟑𝟑𝟗𝟖 = 0.16602 Interpretación: La probabilidad de que los errores en la recepción de los hombres sean al menos a 2; mayor que el de las mujeres es de un 16.6%. b) En la empresa INTRADEVCO, donde vemos que un grupo de operarios entre hombres y mujeres, muestran sus inquietudes acerca de que dentro del área de empaquetado se generan incidentes y averías cada semana: N° de horas de averías de la maquina 1: 4; 𝜽𝟐 = 15.5 N° de horas de averías de la maquina 2: 3; 𝜽𝟐 = 21.3 Si tomamos una muestra aleatoria de 9 mujeres y 16 hombres ¿Cuál es la probabilidad de que los incidentes y averías de la maquina 1 sean al menos de 3 horas; menor que el de la maquina 2? Datos: Maquina 1 𝑼𝟏 = 𝟒 𝜽𝟐 = 𝟏𝟓. 𝟓 𝒏𝟏 = 𝟏𝟔 Maquina 2 𝑼𝟐 = 𝟑 𝜽𝟐 = 𝟐𝟏. 𝟑 𝒏𝟐 = 𝟗 Solución: ̄ 𝟏 ≥ 𝟐𝟎 + 𝒙 ̄ 𝟐) 𝒑(𝒙 𝒑(𝑥̄ 𝟏 − 𝑥̄ 𝟐 ≥ 𝟐) 𝒑(𝑍 ≥ 𝟑 − (𝟒 − 𝟑) √𝟏𝟓. 𝟓 + 𝟐𝟏. 𝟑 𝟏𝟔 𝟗 ) 𝒑(𝑍 ≥ 𝟏. 𝟎𝟗𝟓) = 𝒑(𝒁 < 𝟕. 𝟏𝟏) = 𝟎. 𝟖𝟔𝟐𝟏𝟒 = Interpretación: La probabilidad de que los incidentes y averías de la maquina 1 sean al menos de 3 horas; menor que el de la maquina 2 es de un 86%. 6.5. DISTRIBUCION DE LA PROPORCION a) En la empresa intradevco se fabrica producto de aerosoles. En su producción habitual, el 4% de los operarios dañan el producto. El área de almacenamiento recibe una caja de 150 unidades procedente del área de producción. Calcular la probabilidad de que haya más de un 5% de aerosoles dañados en la caja. 𝑃−𝜋 𝑃(𝑃 > 0.1) = 𝑃(𝑍 > Datos 𝜋(1−𝜋) 𝑛 ) √ 𝜋 = 4% = 0.04 𝑃(𝑃 > 0.1) = 𝑃(𝑍 > 0.63) = 1 − n=150 𝑃(𝑍 ≤ 0.63) p=0.05 𝑃(𝑃 > 0.1) = 1 − 0.73565 = 0.264 Con 5%, la probabilidad que haya más de un producto de aerosoles dañados es de 0.264. b) Se toma una muestra aleatoria de 200 cajas de producidas por día por los operarios de producción. Se sabe que 15 cajas son defectuosas. ¿cuál es la probabilidad de que haya más de un 10% de cajas defectuosas? 15 𝜋 = 200 = 0.075 𝑃(𝑃 > 0.1) = 𝑃(𝑍 > ) 𝜋(1−𝜋) 𝑛 √ 𝑃(𝑃 > 0.1) = 𝑃(𝑍 > n=200 𝑃−𝜋 0.1−0.075 0.075(1−0.075) √ 200 𝑃(𝑃 > 0.1) = 𝑃(𝑍 > 1.34) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 1.34) p=0.1 ) 𝑃(𝑃 > 0.1) = 1 − 0.90988 = 0.09 La probabilidad de que haya mas de un 10% de cajas defectuosas es 0.09 7. INTERVALO DE CONFIANZA 7.1. INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MEDIA MUESTRAL CON VARIANZA CONOCIDA 7.2. INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MEDIA MUESTRAL CON VARIANZA DESCONOCIDA La empresa Intradevco fabrican productos de limpieza, según ellos dicen que los operarios tienen un promedio de llenado cajas de 6 minutos. Para confirmar esta se hace una muestra aleatoria de 25 operarios siendo la media de 7 minutos y su desviación estándar 0.963. encontrar el intervalo de confianza del 95% para la media. Suponga que la distribución del llenado es aproximadamente normal. Datos: 𝑰𝑪 = 𝟕 − 𝟐. 𝟎𝟒𝟓 ∗ 𝟎. 𝟗𝟔𝟑 √𝟐𝟓 ≤ µ ≥ 𝟕 + 𝟐. 𝟎𝟒𝟓 ∗ 𝟎. 𝟗𝟔𝟑 √𝟐𝟓 𝑰𝑪 = 𝟕 − 𝟎. 𝟑𝟗 ≤ µ ≥ 𝟕 + 𝟎. 𝟑𝟗 𝑰𝑪 = 𝟔. 𝟔𝟏 ≤ µ ≥ 𝟕. 𝟑𝟗 Con una confianza del 95%, la media del tiempo de llenado de las cajas será de 6.61 a 7.39 minutos 7.3. INTERVALO DE CONFIANZA DE DOS MEDIAS CON VARIANZA CONOCIDA La empresa Intradevco realiza un estudio donde se tiene como resultado el tiempo de traslado promedio de cajas al almacen central es 7.10 y con un varianza de 71.11.¿ Hallar un intervalo de confianza de 95% para la desviación estándar del tiempo de traslado de las cajas al almacen central? Datos: n S2 NC S 25 71.11 95% 8.43 √(𝑛 − 1)𝑆 2 √(𝑛 − 1)𝑆 2 < Ơ < 𝛼 𝛼 𝑋1 (1 − 2 ; 𝑛 − 1) 𝑋 2 ( 2 ; 𝑛 − 1) √(25 − 1)71.11 √(25 − 1)71.11 < Ơ< 39.364 12.401 1.049 < Ơ < 3.331 Conclusion: Con un nivel de confianza del 95% se puede concluir que la desviación estándar no se encuentra entre los intervalos de 1.049 y 3.31. 7.4. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE LA PROPORCION En Intradevco – Lurín, se realizó un estudio sobre la cantidad de hombres y mujeres que laboran en el área de empaquetado y entrega de productos terminados. En una muestra aleatoria de 25 trabajadores, se encontró que 13 son hombres y 12 son mujeres. Calcule e interprete un intervalo del 95% de confianza para la diferencia de proporciones verdadera entre la cantidad de hombres y mujeres que laboran en el área de empaquetado y entrega de productos terminados de Intradevco – Lurín. Muestra 1. Hombre 2. Mujer 13 12 𝑃1 = = 0.52 𝑃1 = = 0.48 25 25 𝐶𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎: 1 − 𝛼 = 0.95 → 𝛼 = 0.05 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎: 𝑍 0.05 = 𝑍(0.975) = 1.96 (1− 2 ) 𝐼𝐶 (𝜋) = (0.52 − 0.48) ± 1.96√ 0.52(0.48) 0.48(0.52) + 25 25 𝐼𝐶 (𝜋) = 0.04 ± 0.277 −0.273 ≤ 𝜋 ≤ 0.317 Con un 95% de confianza, la verdadera proporción (porcentaje) de hombres y mujeres que laboran en el área de empaquetado y entrega de productos terminados de Intradevco – Lurín, se encuentra entre -0.273 y 0.317 (-27.3% y 31.7%) 7.5. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA A un grupo de 25 operarios de la empresa INTRADEVCO, se les encuesto acerca de que, si las máquinas de producción reciben el adecuado mantenimiento, se obtiene 𝑆 2 = 0.393. Calcule suponiendo que la población de incidentes y averías a la semana tienen una distribución normal, construya un IC del 95% para la varianza poblacional. Datos: NC = 0.95 -> α = 0.05 𝑆 2 = 0.393 Solución: 𝑋2 ∝ 0.05 , 𝑛 − 1 = 𝑋2 , 25 − 1 = 0.025 ; 24 = 3.816 2 2 𝑋2 1 − ∝ 0.05 , 𝑛 − 1 = 𝑋21 − , 25 − 1 = 0.975 ; 24 = 21.920 2 2 (𝑛 − 1)𝑆 2 ∝ 𝑋2 2 ; 𝑛 − 1 (25 − 1) 0.393 21.920 < 𝜃2 < < 𝜃2 < 0.430 < 𝜃 2 < (𝑛 − 1)𝑆 2 ∝ 𝑋2 1 − 2 ; 𝑛 − 1 (25 − 1) 0.393 3.816 2.471 Interpretación: Existe un 95% de confianza de que la varianza de la variable que estamos analizando se encuentre entre 0.430 y 2.471. 7.6. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCION En el área de empaquetado hemos obtenido como resultado , según estudio realizado con una muestra aleatoria de 25 operarios donde 5 de ellos están de acuerdo que existe accidentes con el monta carga por falta de capacitacion. Calcule e interprete con un intervalo de confianza 95% para la proporción que están a favor para la capacitación del personal de despacho. Datos: n=25 Nc=95% - Z: 1.96 5 25 P= =0.2 q=0.80 𝛼 𝑝𝑞 𝐼𝐶: 𝑃 ± 𝑍 (1 − ) √ 2 𝑛 (0.20)(0 √ . 80) 𝐼𝐶: 0.20 ± 1.96 25 𝐼𝐶: 0.20 ± 0.08 IC: 0.12 < π < 0.28 Interpretación: Con un nivel de confianza al 95%, la proporción de operarios que están a favor en la capacitación del personal que maneja el monta carga es 12% al 28% En el área de empaquetado hemos obtenido la siguiente información , según estudio realizado con una muestra aleatoria de 25 operarios donde 17 de ellos están de acuerdo que muchas veces el monta carga se encuentra inoperativo por falta de manteniendo de las mismas. Calcule e interprete con un intervalo de confianza 95% para la proporción que están a favor para la capacitación del personal de despacho. Datos: n=25 Nc=95% - Z: 1.96 17 25 P= =0.68 𝛼 𝑝𝑞 𝐼𝐶: 𝑃 ± 𝑍 (1 − ) √ 2 𝑛 (0.68)(0 √ . 32) 𝐼𝐶: 0.68 ± 1.96 25 𝐼𝐶: 0.68 ± 0.18 IC: 0.50 < π < 086 q=0.32 Interpretación: Con un nivel de confianza al 95%, la proporción de operarios que están de acuerdo que malogra el monta carga por la falta de mantenimiento es 12% al 28% Según el estudio realizado en la empresa Intravecso con obtenemos los siguientes datos: con una muestra aleatoria de 25 operarios donde 10 de ellos están de acuerdo con el tiempo promedioo que se demora el operario en trasladar los productos terminados al almacén . Calcule e interprete con un intervalo de confianza 95% para la proporción que están a favor para la capacitación del personal de despacho. Datos: n=25 Nc=95% - Z: 1.96 10 25 P= =0.40 q=0.60 𝛼 𝑝𝑞 𝐼𝐶: 𝑃 ± 𝑍 (1 − ) √ 2 𝑛 (0.40)(0.60 √ . 𝐼𝐶: 0.40 ± 1.96 25 𝐼𝐶: 0.40 ± 0.19 IC: 0.21 < π 0.59 Interpretación: Con un nivel de confianza al 95%, la proporción de operarios que están de acuerdo con el tiempo promedio de traslado de productos terminados al almacén es 21% al 59% En el área de empaquetado el personal de producción se realiza el llenado de las cajas. En una muestra aleatoria de 25 se encontró que 11 operarios están a favor del tiempo de llenado de las cajas. Calcular e interprete con un intervalo de confianza 95% para la proporción que están a favor del tiempo de llenado de las cajas. Datos: n=25 Nc=95% - Z: 1.96 11 P= =0.44 25 q=0.56 𝛼 𝑝𝑞 𝐼𝐶: 𝑃 ± 𝑍 (1 − ) √ 2 𝑛 (0.44)(0 √ . 56) 𝐼𝐶: 0.44 ± 1.96 25 𝐼𝐶: 0.44 ± 0.19 IC: 0.25 < π < 0.63 Interpretación: Con un nivel de confianza al 95%, la proporción de operarios que están a favor del tiempo de llenado de cajas es 25% al 63% En el área de empaquetado el personal de producción se dañan los productos diariamente. En una muestra aleatoria de 25 se encontró que 10 operarios están a favor de aplicar una mejora para reducir los daños a los productos. Calcular e interpretar con un intervalo de confianza 95% para la proporción que están a favor de la mejora. Datos: n=25 Nc=95% - Z: 1.96 10 P= =0.4 25 q=0.6 𝛼 𝑝𝑞 𝐼𝐶: 𝑃 ± 𝑍 (1 − ) √ 2 𝑛 (0.4)(0 √ . 6) 𝐼𝐶: 0.4 ± 1.96 25 𝐼𝐶: 0.4 ± 0.19 IC: 0.21 < π < 0.59 Interpretación: Con un nivel de confianza al 95%, la proporción de operarios que están a favor de la mejora es 21% al 59%. En el área de empaquetado, el personal de producción tiene un tiempo de demora en el etiquetado. En una muestra aleatoria de 25 se encontró que 20 operarios están a favor de que se aplique máquinas para el etiquetado. Calcular e interpretar con un intervalo de confianza al 95% para la proporción que están a favor de que se aplique máquinas para el etiquetado. Datos: n=25 Nc=95% - Z: 1.96 20 P= =0.8 25 q=0.2 𝛼 𝑝𝑞 𝐼𝐶: 𝑃 ± 𝑍 (1 − ) √ 2 𝑛 (0.8)(0 √ . 2) 𝐼𝐶: 0.4 ± 1.96 25 𝐼𝐶: 0.4 ± 0.16 IC: 0.24 < π < 0.56 Interpretación: Con un nivel de confianza al 95%, la proporción de operarios que están a favor de aplicar máquinas para el etiquetado es de 24% al 56%. CAPITULO-3 1. PRUEBA DE HIPOTESIS ESTADISTICA Y ANALISIS DE DATOS 1.1 PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL a) La empresa INTRADEVSO fabricante de empaquetados de aerosoles afirma que el promedio del tiempo laborando de los operarios es 9,86; cuya distribución de tiempos es normal. Una muestra de 25 operarios, mediante una encuesta da un promedio de 7,86 con una desviación estándar de 4,85. ¿Contradicen los datos la afirmación de la empresa a un nivel de significancia de 𝛼 = 0,05? Datos: 𝑢 = 9,86 𝜎 = 4,85 𝑛 = 25 𝑥̅ = 7,86 Paso 1: 𝐻0 : 𝑢 = 9,86 𝐻1 : 𝑢 ≠ 9,86 Paso 2: 𝛼 = 0,05 Paso 3: 7,86 − 9,86 𝑧= = −2.06 4,85 √25 Paso 4: Paso 5: conclusión Con un nivel de significancia del 5% existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula, contradiciendo la afirmación de la empresa ya que el promedio del tiempo laborando de los operarios es diferente a 9,86. b) El gerente de INTRADEVSO solicita que se calcule las edades de sus operarios actuales. Si anteriormente los promedios de edad de los operarios eran 30,22 tomada de 18 años a 53, con una desviación típica de 9,04. Si se obtuvo una muestra de 25 operarios actuales con una media de 31,32. Con un nivel de 𝛼 = 0,05. ¿El gerente quiere saber si la media de edades de sus anteriores operarios es mayor al de los actuales? Datos: 𝑢 = 30,22 𝜎 = 9,04 𝑛 = 25 𝑥̅ = 31,32 Paso 1: 𝐻0 : 𝑢 ≤ 30,32 𝐻1 : 𝑢 > 30,32 Paso 2: 𝛼 = 0,05 Paso 3: 31,32 − 30,22 𝑧= = 0,55 9,04 √25 Paso 4: Paso 5: conclusión Con un nivel de significancia del 5% existe evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula, afirmando que la media de las edades de sus anteriores operarios es menor al de los actuales. 1.2 PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS a) Prueba de hipótesis para la diferencia de medias con σ2 desconocida e iguales En Intradevco – Lurín, se realizó un muestreo a 13 hombres y 12 mujeres que laboran en el área de empaquetado y entrega de productos terminados, encontrando una edad promedio de 31 años con una desviación estándar de 3.8 años para los hombres y de 28 años con una desviación estándar de 2.5 años para las mujeres. Se desea probar a un nivel de significancia del 5% que la edad media de los hombres es mayor que de las mujeres, que laboran en el área de empaquetado y entrega de productos terminados en Intradevco – Lurín, en más de 2 años. Asuma que la población de edades de los empleados de Intradevco sigue una distribución normal. Asimismo, se sabe que la variabilidad de edades entre hombres y mujeres es igual. Población 𝜎1 2 = 𝜎2 2 Muestra 1. Hombres n1 = 13 𝑋̅1 = 31 S1 = 3.8 años 2. Mujeres n2 = 12 𝑋̅2 = 28 S2 = 2.5 años ℎ0 : 𝜇1 ≤ 𝜇2 + 2 ℎ1 : 𝜇1 > 𝜇2 + 2 (𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑚á𝑠 𝑑𝑒 2 𝑎ñ𝑜𝑠) 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝛼 = 0.05 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎: (𝜎: 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎, 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠) 𝑆𝑖: 𝑇𝑐𝑎𝑙 > 𝑇𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 ℎ0 𝑆𝑃 2 = (13−1)3.82 +(12−1)2.52 13+12−2 = 10.523 𝑇𝑐 = 31−28−(2) 1 1 13 12 = 0.77 √(10.523)( + ) ∝= 0.05 𝑁𝑅 ℎ0 1−∝ ℎ0 : 𝜇1 ≤ 𝜇2 ℎ1 : 𝜇1 > 𝜇2 𝑅 ℎ0 ∝ 𝑇𝑐 = 0.77 𝑇(1−∝;𝑛1 +𝑛2−2) = 𝑇(0.95;23) = 1.714 Conclusión: A un nivel de significancia del 5%, no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula, la edad media de los hombres que laboran en el área de empaquetado y entrega de productos terminados en Intradevco – Lurín, no es mayor que de las mujeres en al menos 2 años. b) Prueba de hipótesis para la diferencia de medias con σ2 conocida y diferentes En Intradevco, se desea comparar el tiempo de llenado de cajas en el proceso de empaquetado de los productos terminados, entre las plantas de Lurín y Ate. Para ello, en Lurín, se toma una muestra de 25 mediciones, con un promedio muestral de 7.24 min, y en Ate, la muestra es de 20 mediciones, con un promedio muestral de 6.93 min. Suponga desviaciones poblacionales de 1.23 min para la planta de Lurín y 2.76 min para Ate. ¿Existe evidencia de que en Intradevco - Lurín, se demoran más en el llenado de cajas en comparación a Ate? Considerando un nivel de significancia de 0.05 Población 1. Lurín 𝜎1 = 1.23 𝑚𝑖𝑛 Muestra 2. Ate 𝜎2 = 2.76 𝑚𝑖𝑛 1. Lurín n1 = 25 𝑋̅1 = 7.24 𝑚𝑖𝑛 2. Ate n2 = 20 𝑋̅1 = 6.93 𝑚𝑖𝑛 ℎ0 : 𝜇1 ≤ 𝜇2 ℎ1 : 𝜇1 > 𝜇2 (𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑗𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝐿𝑢𝑟í𝑛 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝐴𝑡𝑒) 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝛼 = 0.05 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎: (𝜎: 𝐶𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎, 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠) 𝑆𝑖: 𝑍𝑐𝑎𝑙 > 𝑍𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 ℎ0 7.24 − 6.93 − (0) 𝑍𝑐 = = 0.467 2 2 1.23 2.76 √ + 25 20 ℎ0 : 𝜇1 ≤ 𝜇2 ℎ1 : 𝜇1 > 𝜇2 ∝= 0.05 𝑁𝑅 ℎ0 1−∝ 𝑅 ℎ0 ∝ 𝑍𝑐 = 0.467 𝑍(1−∝) = 𝑍(0.95) = 1.96 Conclusión: A un nivel de significancia de 5%, no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula, por lo que no es mayor el tiempo de llenado de cajas, en el proceso de empaquetado de los productos terminados en Intradevco, en la planta de Lurín que en Ate 1.3 PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA PROPORCION a) En la empresa de INTRADEVCO, el supervisor del área de empaquetado le preocupa los equipos defectuosos que se encuentre diariamente, el 55% de los operarios afirman que las máquinas de producción no reciben el adecuado mantenimiento. Para ello, se muestrea aleatoriamente a 25 operarios de producción y encuentra a 11 que están de acuerdo que las máquinas no están recibiendo el mantenimiento adecuado. ¿se sigue cumpliendo lo mencionado por los operarios? Use el nivel de significancia 0.05. Datos: 𝑛=25 𝑝= 𝑥 11 = = 0.44 𝑛 25 α=0.05 π=55%=0.55 Solución: Paso 1: Planteo de Hipótesis 𝒉𝒐: 𝝅 ≥ 𝟎.55 𝒉𝟏: 𝝅 < 𝟎.55 Paso2: Nivel de significancia: α=0.05 Paso 3: Estadístico de prueba: 𝑧= 𝑝−𝜋 √𝜋(1 − 𝜋) 𝑛 = 0.44 − 0.55 √0.55(0.45) 25 Paso 4: Región crítica para α dado: 𝑍 (0.05) = −1,65 = −1.105 Interpretación: A un nivel de significación del 2.5% hay suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula. El porcentaje de operarios que están de acuerdo que las máquinas no están recibiendo el mantenimiento adecuado no es menor que 55%. b) En la empresa de INTRADEVCO, dentro del área de empaquetado se generan errores cada semana en la recepción de los productos, donde se afirma que el 65% los operarios tienen cada semana errores en la recepción de los productos. Por ello, se realiza un cuestionario a 25 operarios de producción y se comprueba que 11 de ellos han tenido por lo menos 2 errores cada semana. ¿Se sigue cumpliendo lo mencionado por los operarios? Use el nivel de significancia 0.025. Datos: 𝑛=25 𝑝= 𝑥 11 = = 0.44 𝑛 25 α=0.025 π=65%=0.65 Solución: Paso 1: Planteo de Hipótesis 𝒉𝒐: 𝝅 ≥ 𝟎.65 𝒉𝟏: 𝝅 < 𝟎.65 Paso2: Nivel de significancia: α=0.25 Paso 3: Estadístico de prueba: 𝑧= 𝑝−𝜋 √𝜋(1 − 𝜋) 𝑛 = 0.44 − 0.65 √0.65(0.35) 25 = −2.201 Paso 4: Región crítica para α dado: 𝑍 (0.025) = −1,96 Interpretación: A un nivel de significación del 2.5% hay suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula. El porcentaje de operarios que están de acuerdo que existen errores en la recepción de los productos no es menor que 65%. 1.4 PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCION La empresa Intradevco fabricante de productos de limpieza distribuye dos tipos de productos: En una encuesta se encuentra que 30 de 60 prefieren usar el producto de la empresa Intradevco y que 20 de 50 prefieren usar producto de la empresa Pirugas SAC ¿Se puede concluir al nivel de significación 0,05 que la empresa Intradevco se vende más rápido que la empresa Pirugas SAC? Datos: Intradevco Pirugas SAC P1=30/60=0.5 P2=20/50=0.4 N1:60 N2:50 P=X1+X2/ n1+n2 P=30+20/60+50= 0.54 1.Planteamiento de hipótesis H0: π1 ≤ π2 H1: π1 > π2 2. α=0.05 3. Prueba estadístico 𝑧= 0.5 − 0.4 √0.54(1 − 0.54)( 1 + 1 ) 60 50 Z=1.04 4.Rechazar o aceptar Con un nivel de significación de 0.05, podemos aceptar la hipótesis nula. Por consiguiente, la empresa Pirugas gas vende más rápido que la empresa intradevco. 1.5 PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA VARIANZA a) Se realiza una investigación en Intradevco, sobre la cantidad de accidentes mensuales ocurridos con el monta carga en la planta Lurín, según la investigación existe una varianza muestral de 2.34, dicho estudio encuesto a 25 obreros del área de detergentes, se sabe que la varianza poblacional en dicho área por estudios anteriormente realizados es de 3. ¿Al termino del estudio se desea saber si existe una disminución de la varianza con respecto a la cantidad de accidentes mensuales ocurridos con el monta carga? Con un nivel de significancia el 5% Paso 1: Planteamiento de la hipotesis Datos Ơ2 n S2 3 25 2.34 Paso 2: Nivel de significancia α=5% Paso 3: Estadistico de prueba 𝑋2 (𝑛−1)𝑆 2 𝑐𝑎𝑙= Ơ2 𝑋2 (25−1)2.32 𝑐𝑎𝑙= =18.56 3 Paso 4: Campana de gauss Paso 5: Conclusión: Con un nivel de significancia del 5% existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula, el número de accidentes con el monta carga es menor . b) Se realiza una investigación en Intradevco, sobre la el tiempo promedio de traslado de productos terminado al almacén llegando a la conclusión que existe desviaciones estándar menor a 72.12. Si la muestra aleatoria se realiza a 25 operarios de dicha área obteniendo una deviación estándar 71.16, con un nivel de significancia del 5% Paso 1: Planteamiento de la hipotesis Datos Ơ2 n S2 72.12 25 71.16 Paso 2: Nivel de significancia α=5% 𝐻0 : Ơ2 ≤ 72.12 𝐻1 : Ơ2 > 72.12 Paso 3: Estadistico de prueba 𝑋2 (𝑛−1)𝑆 2 𝑐𝑎𝑙= Ơ2 𝑋2 (25−1)71.16 𝑐𝑎𝑙= =23.68 72.12 Paso 4: Paso 5: Conclusión: Con un nivel de significancia del 5% existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula, el tiempo promedio de traslado de la mercadería al almacén es mayor. 2. BONDAD DE AJUSTE 2.1.POISSON Se supone que el numero de defectos o averías semanales de las máquinas de producción sigue una distribución Poisson. Se reúne una muestra de 64 y se observa el numero de defectos. Los resultados obtenidos son los siguientes: N° DE DEFECTOS O AVERIAS FRECUENCIA 0 1 2 32 15 9 Use nivel de significancia del 5%. Paso 1: 𝐻0 : 𝐿𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 𝐻1 : 𝐿𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 Paso 2: 𝛼 = 0,05 Paso 3: I. Parámetro de la distribución 3 4 o mas 6 4 0(32) + 1(15) + 2(9) + 3(6) + 4(4) = 1,047 64 II. Calculamos la probabilidad para cada X 𝜆= 𝑃[𝑥] = 𝑃(𝑥 𝑃(𝑥 𝑃(𝑥 𝑃(𝑥 𝑃(𝑥 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒(𝑥𝑖 ) 0 1 2 3 4 o mas total = 0) = 0,35 = 1) = 0,37 = 2) = 0,19 = 3) = 0,07 = 4) = 1 − (𝑃(0) + 𝑃(1) + 𝑃(2) + 𝑃(3)) = 0,02 (𝑜𝑖 − 𝐸𝑖 )2 2 𝑥𝑐 = 𝐸𝑖 𝐸𝑖 = 𝑁𝑃𝑖 𝑂𝑖 𝑃𝑖 𝐸𝑖 32 0,35 22,4 15 0,37 23,68 9 0,19 12,16 6 0,07 4,48 4 0,02 1,28 64 1 44 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒(𝑥𝑖 ) 0 1 2 3 o mas total 𝑒 −𝜆 ∗ 𝜆𝑥 𝑥! 𝑂𝑖 32 15 9 10 64 𝑃𝑖 0,35 0,37 0,19 0,09 1 𝑥𝑐2 𝐸𝑖 22,4 23,68 12,16 5,76 44 4,11 3,18 0,82 3,12 11,23 Paso 4: Paso 5: conclusión Con un nivel de significancia del 5% se ha encontrado evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis nula. La distribución defectos o averías no es Poisson. 2.2.BINOMIAL Buscamos saber a que distribución teórica se puede ajustar los datos encontrados. En la empresa INTRADEVSO se realiza un estudio que consistió en evaluar a 645 cajas de aerosoles, cada caja tiene 12 aerosoles de las cuales algunas se encuentran en buen estado y otras en mal estado. Los resultados al evaluarlos son: PRODUCTOS EN MAL ESTADO 0 1 2 3 4 300 150 100 50 45 Use significancia del 5%. Paso 1: 𝐻0 : 𝐸𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑚𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙. 𝐻1 : 𝐸𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑚𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 Paso 2: 𝛼 = 0,05 Paso 3: I. Parámetro de la distribución FRECUENCIA 0(300) + 1(150) + 2(100) + 3(50) + 4(45) = 1,054 645 1,054 𝑝= = 0,351 3 𝑞 = 0,649 II. Calculamos la probabilidad para cada X 𝑛𝑝 = 4 𝑃(𝑥 = 0) = ( ) (0,351)0 ∗ (0,649)4−0 = 0,177 0 4 𝑃(𝑥 = 1) = ( ) (0,351)1 ∗ (0,649)4−1 = 0,096 1 4 𝑃(𝑥 = 2) = ( ) (0,351)2 ∗ (0,649)4−2 = 0,052 2 4 𝑃(𝑥 = 3) = ( ) (0,351)3 ∗ (0,649)4−3 = 0,028 3 4 𝑃(𝑥 = 4) = ( ) (0,351)4 ∗ (0,649)4−4 = 0,015 4 (𝑜𝑖 − 𝐸𝑖 )2 𝑥𝑐2 = 𝐸𝑖 𝐸𝑖 = 𝑁𝑃𝑖 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒(𝑥𝑖 ) 0 1 2 3 4 total 𝑂𝑖 𝑃𝑖 300 150 100 50 45 645 𝐸𝑖 114,165 61,92 33,54 18,06 9,675 237,36 0,177 0,096 0,052 0,028 0,015 0,368 𝑥𝑐2 302,498 125,292 131,691 56,487 128,977 744,945 Paso 4: Paso 5: conclusión Con un nivel de significancia del 5% se ha encontrado evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis nula. El numero de productos en mal estado no siguen una Distribución Binomial. 2.3.PRUEBA DE INDEPENDENCIA Se realiza un estudio a 25 operarios por cada área de detergentes y aerosoles de la planta de lurin, para poder visualizar las incidencias que ocurren con frecuencia con el monta carga en dicha planta. Existe un relación entre incidencias con el monta carga de las áreas de detergentes y aerosoles , se usa alfa 5% Paso 1: Plantemiento de hipótesis H0 : No existe relación entre las incidencias de las áreas de aeroles y detergentes(independecia) H1 : Existe relación entre las incidencias de las áreas de aeroles y detergentes(no independecia) PLANTA DE LURIN AREAS DETERGENTE AEROSOLES ACCIDENTES 12 (11.88) INCIDENCIAS CON EL MONTA CARGA INOPERATIVIDAD 10 (15.12) TOTAL 22 TOTAL 15 (10.12) 27 13 (12.88) 23 50 28 Paso 2: Nivel de significancia α= 5% Paso 3: Estadistico de prueba 𝑋𝐶2 = ∑(𝑂𝑖 −𝐸𝑖 ) 𝐸𝑖 Calculamos la frecuencia: 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎(𝐸) = 𝐸11 = 𝐸12 = 27(22) 50 27(28) 50 = 11.88 𝐸21 = = 15.12 𝐸22 = 𝑋𝐶2 (13−12.88)2 12.88 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑎 ∗ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝐺𝑟𝑎𝑛 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 (12−11.88)2 11.88 + 23(22) 50 23(28) 50 = 10.12 = 12.88 ∑(𝑂𝑖 − 𝐸𝑖 )2 = 𝐸𝑖 (15−10.12)2 10.12 + (10−15.12)2 15.12 =4.09 Paso 4: Región critica 𝑔𝑙 = (#𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 − 1)(#𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 − 1) 𝑔𝑙 = (2 − 1)(2 − 1) = 1 + NRH0 RH0 X2 =4.09 X2 =(1-α; gl)= X2(0.95;1) 3.841 Paso 5: Conclusión: Se rechaza la hipótesis nula debemos concluir que no existe independencia en las incidencias de los montacargas de las áreas de aerosoles y detergentes. 2.4.PRUEBA DE HOMOGENEIDAD La empresa Intradevco realiza un estudio de factibilidad del tiempo promedio de traslado de la mercadería al almacén de las áreas de detergentes ya aerosoles , con un amuestra de 25 obreros teniendo las variables tiempo de labor en la empresa ( experiencia) y las edades. PLANTA DE LURIN TIEMPO DE TRASLADO DE PRODUCTOS TIEMPO LABOR/EMP. EDAD TOTAL AREAS DETERGENTE AEROSOLES 12 6 18 30 25 31 TOTAL 18 43 61 Paso 1: Planteamiento de hipótesis H0: No hay diferencia entre los tiempos de traslados de los productos de las áreas de aerosoles y detergentes (son iguales) H1: Si hay diferencia entre los tiempos de traslados de los productos de las áreas de aerosoles y detergentes (no son iguales) Paso 2: Nivel de significancia α= 5% Paso 3: Estadístico de prueba 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎(𝐸) = 𝑋𝐶2 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑎 ∗ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝐺𝑟𝑎𝑛 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 ∑(𝑂𝑖 − 𝐸𝑖 )2 = 𝐸𝑖 PLANTA DE LURIN TIEMPO DE TRASLADO DE PRODUCTOS TIEMPO LABOR/EMP. AREAS DETERGENTE AEROSOLES 12 (8..85) 6 (9.15) EDAD 18 (21.18) 30 TOTAL 𝐸11 = 𝐸21 = 30(18) 61 31(18) 61 = 8.85 𝐸12 = = 9.15 𝐸22 = 𝑋𝐶2 (12−8.85)2 (25−21.85)2 21.85 8.85 + 30(43) 61 31(43) 61 25 (21.85) 31 = 21.18 = 21.85 ∑(𝑂𝑖 − 𝐸𝑖 )2 = 𝐸𝑖 (6−9.15)2 9.15 + (18−21.18)2 21.18 =3.14 Paso 4: Región critica 𝑔𝑙 = (#𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 − 1)(#𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 − 1) 𝑔𝑙 = (2 − 1)(2 − 1) = 1 + TOTAL 18 43 61 NRH0 RH0 X2 =3.14 X2 =(1-α; gl)= X2(0.95;1) 3.841 Paso 5: Conclusión: No existe suficiente evidencia estadística para rechazar la hipostasis nula; por tal motivo se llega la conclusión que si existe diferencia entre los tiempos de traslados de los productos de las áreas de aerosoles y detergentes (no son iguales) 3. PRUEBA NO PARAMETRICAS 3.1.PRUEBA DE HIPOTESIS DE SIGNO Se presentan la cantidad de productos dañados diariamente por los operarios. Se toma una muestra de 25 operarios que fueron encuestados al azar. Se afirma que la mediana de los productos dañados es mayor a 2, con un nivel de significancia de 5% OPERARIOS PRODUCTOS DAÑADOS DIARIAMENTE 1 4 (+) 2 2 (0) 3 2 (0) 4 3 (+) 5 1 (-) 6 1 (-) 7 3 (+) 8 2 (0) 9 3 (+) 10 1 (-) 11 3 (+) 12 1 (-) 13 3 (+) 14 3 (+) 15 4 (+) 16 3 (+) 17 2 (0) 18 3 (+) 19 2 (0) 20 3 (+) 21 2 (0) 22 1 (-) 23 2 (0) 24 3 (+) 25 4 (+) R+=13 R-=5 1. Me ≤ 2 Me > 2 2. α=0.05 3. n= 25 p= 0.5 q= 0.5 k=0,1,2,3,4,5 4. r+ =25/2=12.5 Ξ 13 R+ ≤ r+ 5 ≤13 P=2p (R+ ≤ r+ → P=1/2) 𝑛 (18 )𝑥 𝑟 𝑎𝑛−𝑟 = 2 ∗ [ (18 )(0.5)0 (0.5)18 + 𝑟 0 𝑘=0 (18 )(0.5)1 (0.5)17 + (18 )(0.5)2 (0.5)16 + (18 )(0.5)3 (0.5)15 1 2 3 (18 )(0.5)4 (0.5)14 + (18 )(0.5)5 (0.5)13 ]= 0.096 4 5 𝑃 = 2∑ + 5. P=0.096≥ 0.05 CONCLUSION: CON UN NIVEL DE SIGNIFICANCIA DE 0.05 SE PUEDE CONCLUIR QUE LA MEDIANA DE LOS PRODUCTOS DAÑADOS DIARIAMENTE POR LOS OPERARIOS ES MENOR E IGUAL A 2. 3.2.PRUEBA DE RACHAS Tenemos el número de productos dañados diariamente en un día por los operarios. Determinar si los datos proceden de una muestra aleatorio. Usar un nivel de confianza del 95% 1 2 3 4 5 Con una media muestral de los datos es 2. Solución R:2 (número de racha) H0: la muestra es aleatorio H1: la muestra no es aleatorio DATOS CRITERIOS RACHAS 1 1 2 0 3 + 2 4 + 2 5 + 2 N1: 1 (número de racha negativo) N2: 1 (número de racha positivo) 2(1)(1) UG= 1+1 + 1 = 2.5 (2∗1∗1)(2∗1∗1−1−1) OG=√ (1+1)2(1+1−1) =0 2−2.5 Z= 0 = 0 , entonces Z > 1.96 No se rechaza la H0 CONCLUSIÓN: Se puede aceptar que los datos son aleatorios. 3.3.PRUEBA DE RANGOS DE WILCOXON En el área de producción de Intradevco – Lurín, se realiza un experimento para determinar la eficacia del mantenimiento de su maquinaria, para lo cual se cambia de personal técnico y se evalúa la cantidad de averías que se registró en las 6 semanas anteriores al cambio del personal y las 6 posteriores respectivamente. (𝛼 = 0.05) Registro de averías semanales: Antes Después 7 4 6 6 7 4 5 6 7 5 6 3 A continuación, se presenta las diferencias en la información presentada: Antes 7 6 7 5 7 Después 4 6 4 6 5 Diferencias 3 0 3 -1 2 Valor 3 0 3 1 2 Absoluto Se calcula la suma de los rangos para las diferencias positivas y negativas: Ordenación Diferencia Valor de valor Se asigna absoluto absoluto 0 -1 2 3 3 3 0 1 2 3 3 3 0 1 2 3 3 3 Suma ordenación 1 2 3 4 5 Rango 1 2 (3+4+5)/3=4 T+ 6 3 3 3 T- 1 2 4 4 4 14 1 𝑇 = 𝑀í𝑛(𝑇+, 𝑇 −) = 1 𝑛(𝑛 + 1) 5(5 + 1) 𝐸(𝑡) = = = 7.5 4 4 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 5(5 + 1)(10 + 1) 𝜎(𝑡) = = = 13.75 24 24 ℎ0 : 𝜇1 = 𝜇2 (𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑡é𝑐𝑛𝑖𝑐𝑜) ℎ1 : 𝜇1 ≠ 𝜇2 (𝐻𝑎𝑦 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑡é𝑐𝑛𝑖𝑐𝑜) 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝛼 = 0.05 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎: 𝑇 − 𝐸(𝑡) 1 − 7.5 𝑍𝑐𝑎𝑙 = = = −1.753 √13.75 √𝜎(𝑡) (𝛼 = 0.05): 𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 ℎ0 , 𝑠𝑖 − 1.96 < 𝑍𝑐𝑎𝑙 < 1.96 Conclusión: A un nivel de significancia de 5%, Se acepta la hipótesis nula, por lo tanto no hay eficacia en el mantenimiento de la maquinaria con el nuevo personal técnico, en el área de producción de Intradevco – Lurín. 3.4.PRUEBA U DE MANN WITNEY En el área de producción de Intradevco – Lurín, se realiza un experimento diseñado para evaluar la eficacia de una maquinaria de producción alemana recientemente instalada en comparación con la convencional americana, se registra por 8 semanas las fallas de ambas. Registro de averías semanales de cada maquinaria: Americana 7 6 7 6 7 5 8 Alemana 4 5 4 5 4 3 3 ℎ0 : 𝜇1 = 𝜇2 (𝐿𝑎 𝑚𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝑙𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑚á𝑠 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒) ℎ1 : 𝜇1 ≠ 𝜇2 (𝐿𝑎 𝑚𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝑙𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑒𝑠 𝑚á𝑠 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒) 7 3 𝛼 = 0.05 𝑛1 = 8 𝑦 𝑛2 = 8 Observac ión Ordenaci ón Rango Americana 7 6 7 6 7 5 8 7 Total 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 7 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6 1 6 (1+2+3)/3 =2 (4+5+6)/3 =5 (7+8+9)/3 =8 R1 13.5 10.5 13.5 10.5 13.5 8 16 13.5 99 (10+11)/2=1 0.5 Alemana 4 5 4 5 4 3 3 3 Total (12+13+14+15)/4= 13.5 R2 5 8 5 8 5 2 2 2 37 𝑛1 (𝑛1 + 1) 8(8 + 1) − ∑ 𝑅1 = (8)(8) + − 99 = 1 2 2 𝑛2 (𝑛2 + 1) 8(8 + 1) 𝑈1 = 𝑛1 𝑛2 + − ∑ 𝑅2 = (8)(8) + − 99 = 63 2 2 𝑈𝑚í𝑛 = 1 𝑛1 𝑛2 (8)(8) 𝜇𝑢 = = = 32 2 2 𝑈1 = 𝑛1 𝑛2 + 𝜎𝑢 = √ 𝑍𝑐𝑎𝑙 = (8)(8)(8 + 8 + 1) 𝑛1 𝑛2 (𝑛1 + 𝑛2 + 1) =√ = 9.522 12 12 𝑈𝑚í𝑛 − 𝜇𝑢 1 − 32 = = −3.256 𝜎𝑢 9.522 (𝛼 = 0.05): 𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 ℎ0 , 𝑠𝑖 − 1.96 < 𝑍𝑐𝑎𝑙 < 1.96 Conclusión: A un nivel de significancia de 5%, Se rechaza la hipótesis nula, por lo tanto, la maquinaria de producción alemana es más eficiente que la americana, en el área de producción de Intradevco – Lurín. 3.5.PRUEBA DE KRUSKALL WALLIS Se desea determinar el número de errores en la recepción de los productos para el empaquetado en un rango de 4 errores por semana, para lo cual se realizó una encuesta a los trabajadores del área obteniendo los siguientes resultados: Número de errores en la recepción de los productos ERRORES ERRORES ERRORES ERRORES 1 2 3 4 2 9 4 3 6 4 7 3 1 8 8 7 5 5 5 2 4 2 5 1 Desarrolle la prueba de hipótesis respectiva, utilice la prueba de Kruscal Wallis, significancia del 0.05. H0: Las muestras de número de errores en la recepción de los productos provienen de poblaciones idénticas. H1: Las muestras de números de errores en la recepción de los productos provienen de poblaciones diferentes. Número de errores en la recepción de los productos ERRORES 1 Rango ERRORES 2 Rango ERRORES 3 Rango 2 6 9 20 4 13.5 6 15 4 13.5 7 16.5 1 1.5 8 18.5 8 18.5 5 25 5 25 5 25 4 13.5 2 6 5 25 Suma 61 83 98.5 Promedio 12.2 16.6 19.7 Calcula estadístico H: ERRORES 4 3 3 7 2 1 Rango 6.5 6.5 16.5 6 1.5 37 7.4 12 𝑅𝑖2 12 612 832 98.52 372 𝐻= Σ − 3(𝑛 + 1) = ∗( + + + ) − 3(20 + 1) 𝑛(𝑛 + 1) 𝑛𝑖 20(20 + 1) 5 5 5 5 𝐻= 𝐻= Datos: 𝑛 = 20 𝑛𝑖 = 5 𝐾 = 4−1= 3 𝛼 = 0.05 12 612 832 98.52 372 ∗( + + + ) − 3(20 + 1) 20(20 + 1) 5 5 5 5 12 ∗ (744.2 + 1377.8 + 1940.45 + 273.8) − 63 𝐻 = 762.95 63 El valor de tabla Ji 0.352 Conclusión: Como H>Ji se rechaza la H0, por tanto, las 4 muestras provienen de poblaciones diferentes. 3.6.PRUEBA DE FRIEDMANN 20 operarios evaluaron las horas de parada en 4 maquina obteniéndose los siguientes datos. Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Maquina 4 Maquina 5 Horas 1 15 13 13 10 11 Horas 2 10 11 13 12 15 Horas 3 10 18 12 17 15 Horas 4 13 17 14 14 13 Probar si existen diferencias significativas entre los métodos de aprendizaje con un nivel de significancia del 0.05. Paso 1: H0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = 𝜇4 (𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠) H1: Al menos dos medias son diferentes. Paso 2: Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Maquina 4 Maquina 5 Suma Promedio Horas 1 4 2 2.5 1 11 20.5 4.1 Horas 2 1.5 1 2.5 2 15 22 4.4 Horas 3 1.5 4 1 4 15 25.5 5.1 Horas 4 3 3 4 3 13 26 5.2 Paso 3: Para H=5 k=4 Entonces 𝑋𝑟2 = 12 Σ(20.52 + 222 + 25.52 + 262 ) − (3 ∗ 5(4 + 1)) 5 ∗ 4(4 + 1) 𝑋𝑟2 =192.66 Paso 4: 7.815-𝑥 2 𝑡(3 ; 0.95) Como 𝑋2 𝑟 > 𝑋2 𝑡; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑜. Conclusión: Se puede concluir que al menos hay diferencias en al menos 2 medias. 4. REGRESION LINEAL SIMPLE Y MULTIPLE 4.1.REGRESION LINEAL SIMPLE En la empresa INTRADEVSO los cupos que se otorga a sus trabajadores depende de muchos factores velocidad, eficiencia, puntualidad, etc. Cada cupo esta valorizado en 20 S/. En el siguiente cuadro se tiene la cantidad de cupos que la empresa brinda a los operarios en función al tiempo de demora del empaquetado de aerosoles: Cupos 2 3 3 1 4 1 2 3 Tiempo de 3 2 2 4 1 4 3 2 empaquetado(1) a) Identifique las variables de Interés y clasifique cada uno de ellos ¿Cómo se relacionan ambas variables? Variable Independiente: Tiempo de empaquetado (minutos) X Variable Dependiente: Cupos (s/.) Y Los cupos que se otorga a un operario dependen del tiempo que se demore en el empaquetado. RELACION INVERSA b) Estime el modelo de Regresión lineal estimada Y cupos 2 3 3 1 4 1 2 3 X tiempo 3 2 2 4 1 4 3 2 𝑥2 9 4 4 16 1 16 9 4 𝑦2 4 9 9 1 16 1 4 9 𝑥𝑦 6 6 6 4 4 4 6 6 ∑𝑦 = 19 ∑𝑥 2 = 63 ∑𝑥 = 21 ∑𝑦 2 = 53 ∑𝑥𝑦 = 42 𝑦̂ = 𝛽̂0 + 𝛽̂1 𝑥 𝑛∑𝑥𝑦 − ∑𝑥∑𝑦 8 ∗ 42 − 21 ∗ 19 𝛽̂1 = = = −1 𝑛𝛴𝑥 2 − (𝛴𝑥)2 8 ∗ 63 − (21)2 ∑𝑦 − 𝛽̂1 ∑𝑥 19 − (−1)(21) 𝛽̂0 = = =5 𝑛 8 𝑐𝑢𝑝𝑜𝑦̂ = 5 − 1𝑥𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 c) Pronosticar: ¿Cuánto en Promedio recibirá de cupos un operario que se ha demorado en atender 2,5 minutos? 𝑐𝑢𝑝𝑜 ̂ = 5 − 1𝑥𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑐𝑢𝑝𝑜 ̂ = 5 − 1(2,5) = 2.5 Interpretación de 𝛽̂1 , cuando el tiempo de empaquetado aumenta en un minuto el porcentaje de la eficiencia disminuye en 1%. 4.2.REGRESION LINEAL MULTIPLE La gerencia de producción de Intradevco a solicitado a su jefe de planta de Lurín el siguiente informe. Se desea saber cuántos productos diariamente dañan dentro del proceso de empaquetado los obreros que laboran en dicha planta ; teniendo en cuenta el tiempo que tienen laborando en la empresa (meses) y su edad (años), además de ello se tomó una muestra aleatoria de 25 obreros. Cuantos productos dañan diariamente dentro del proceso de empaquetado (Y) 1 2 3 4 5 Edad (X1) Cuanto Tiempo que viene laborando en la empresa (X2) 22 29 36 43 50 2 5 8 11 12 SOLUCIÓN: ENCONTRAR LA “Y” REGRESIÓN: Cuantos productos dañan diariamente dentro del proceso de empaquetado (Y) 1 2 3 4 5 Sumatoria 15 Edad (X1) Cuanto Tiempo que viene laborando en la empresa (X2) X1Y X2Y X1X2 X1 X2 22 29 36 43 50 130 2 5 8 11 12 38 22 58 108 172 250 610 2 10 24 44 60 140 44 145 288 473 600 1550 484 841 1296 1849 2500 6970 4 25 64 121 144 358 2 2 REEMPLAZANDO LOS DATOS EN LAS ECUACIONES RESOLVEMOS LAS ECUACIONES REEMPLAZAMOS EN EL “Y” REGRESION INTERPRETACION: B0: Los productos diariamente se dañan dentro del proceso de empaquetado esperada, cuando la edad y el tiempo que labora en la empresa es cero es 0.04 B1: Por cada incremento de edad de los obreros, la cantidad de productos se incrementará en 0.02 manteniendo constante el tiempo de labor en la empresa. B2: Por cada incremento de una unidad del tiempo de labor en la empresa y la cantidad de productos que dañan en el proceso de empaquetado aumentara en 0.299 5. COEFICIENTE DE DETERMINACION Y CORRELACION 5.1.COEFICIENTE DE DETERMINACION Y CORRELACIÓN La siguiente información seleccionada al azar corresponde a los años que laboran un grupo de 25 operadores en Intradevco - Lurín y el tiempo que se demoran en el llenado de 01 caja: X Y (Años laborando) (Tiempo en min. de llenado de 01 caja) 1 11 1.2 11 1.5 11 1.5 9 2 9 2.5 9 3.2 7 3.5 7 5 7 5.5 7 6.5 9 6.5 7 7 7 8 7 10 7 10 5 10 7 13 5 13 5 13.5 7 13.5 5 14 7 14.2 5 14.5 5 15 5 Halle e interprete el coeficiente de Correlación y Determinación Coeficiente de Correlación: Y X (Tiempo en min. (Años de llenado de 01 laborando) caja) 1 11 1.2 11 1.5 11 1.5 9 2 9 2.5 9 3.2 7 3.5 7 5 7 5.5 7 6.5 9 6.5 7 7 7 8 7 10 7 10 5 10 7 13 5 13 5 13.5 7 13.5 5 14 7 14.2 5 14.5 5 15 5 SUMATORIA 195.6 181 𝑟= X^2 Y^2 XY 1 1.44 2.25 2.25 4 6.25 10.24 12.25 25 30.25 42.25 42.25 49 64 100 100 100 169 169 182.25 182.25 196 201.64 210.25 225 2127.82 121 121 121 81 81 81 49 49 49 49 81 49 49 49 49 25 49 25 25 49 25 49 25 25 25 1401 11 13.2 16.5 13.5 18 22.5 22.4 24.5 35 38.5 58.5 45.5 49 56 70 50 70 65 65 94.5 67.5 98 71 72.5 75 1222.6 25(1222.6) − (195.6)(181) = −0.832 √25(2127.82) − 195.62 . √25(1401) − 1812 −1 < 𝑟 < −0.8 → 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑎 Existe una correlación intensa entre los años que laboran los operadores en Intradevco – Lurín (X) y el tiempo que se demoran en el llenado de 01 caja (Y). Asimismo, la relación es de manera inversa, es decir mientras más años tengan laborando en la planta los operadores, menor será el tiempo de demora en llenado de cajas. Coeficiente de Determinación: 𝑅2 = (−0.832)2 = 0.692 = 69.2% El 69.2% de la variabilidad de Y (tiempo que se demoran en el llenado de 01 caja) es explicado por el modelo de regresión ajustado. 6. INTERVALO DE CONFIANZA En la empresa Intradevco se desea encontrar el intervalo de predicción y el intervalo de confianza par el valor medio a un 95% para evaluar el tiempo de traslado de mercaderías hacia el almacén con la inoperatividad del monta carga que existe (10 veces x mes) Modelos de regresión simple estimado: Ŷ = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋 Calculo de coeficientes: 𝑛∑𝑋𝑌−∑𝑋∑𝑌 𝛽1 = 𝑛∑𝑋 2 −(∑𝑋)2 Tiempo de traslado del mercaderia (Y) Sumatoria Promedio 7 13 5 0 25 6.25 𝛽1 = 𝛽0 = Inoperatividad del montacarga (X) 8 10 5 2 25 6.25 ∑𝑌−𝛽1 ∑𝑋 𝑛 x2 y2 64 100 25 4 193 48.25 25 ∗ 211 − 25 ∗ 25 = 1.11 25 ∗ 193 − (25)2 𝛽0 = 25−1.11∗25 25 = −0.11 Ŷ = −0.11 + 1.11𝑋 Ŷ = −0.11 + 1.11(10) = 10.99 xy 49 169 25 0 243 60.75 56 130 25 0 211 52.75 𝑆𝐶 (𝑋) = ∑𝑋 2 − 𝑛𝑋 2 = 193 − 25 ∗ 6.252 = -783.56 ∑𝑌 2 − 𝑛𝑌 2 ) − 𝑏1 (∑𝑋𝑖 𝑌𝑖 − 𝑛𝑋𝑌 𝐶𝑀𝐸 = = 𝑛−1 (243−25∗6.252 )−1.11(211−25∗52.75) 24 = 20.67 1 𝐼𝑃 = Ŷ ± 𝑡(1−𝛼;𝑛−2) ∗ √𝐶𝑀𝐸(𝑛 + 2 𝑡 = (1 − (𝑋0 −𝑋)2 𝑆𝐶(𝑋) 0.05 ; 23) = 2.069 2 1 𝐼𝑃 = 10.99 ± 2.069 ∗ √20.67(25 + 𝐼𝑃 = 10.99 ± 0.94 𝐼𝑃 = 10.05 11.98 (10−6.25)2 −783.56 )= 7. VARIANZA-COVARIANZA: Del ejercicio anterior de regresión lineal múltiple (4.2) Cuantos productos dañan diariamente dentro del proceso de empaquetado (Y) 1 2 3 4 5 SUMATORIA PROMEDIO 2 Ố 𝑌= 2 15 3 Edad (X1) Cuanto Tiempo que viene laborando en la empresa (X2) Y2 𝑿𝟐𝟏 𝑿𝟐𝟐 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟏 𝑿𝟐 22 29 36 43 50 2 5 8 11 12 1 4 9 16 25 484 841 1296 1849 2500 180 36 38 7.6 55 6970 4 25 64 121 144 358 22 58 108 172 250 610 2 10 24 44 60 140 44 145 288 473 600 1550 ∑𝑌 2 55 -𝑌𝑝𝑟𝑜𝑚2 = -(3)2 = -6.8 𝑁 25 ∑𝑥12 𝑆𝑦𝑥1 = - 𝑋1𝑝𝑟𝑜𝑚2 = 6970 -(36)2 = -1017.2 ∑𝑥2 358 2 Ố 𝑥2 = - 𝑋2 𝑝𝑟𝑜𝑚2 = -(7.6)2 = -43.44 𝑁 25 Ố 𝑥1 = 𝑁 2 ∑𝑦𝑥1 − 𝑛 25 (yprom)(x1prom) = 610 -(3)(36)=-83.6 25 ∑𝑦𝑥2 140 𝑆𝑦𝑥2 = − (yprom)(x2prom) = -(3)(7.6)= -17.2 ∑𝑥1𝑥2 𝑛 251550 𝑆𝑥1𝑥2 = − (x1prom)(x2prom) = -(36)(7.6)= -211.6 𝑛 VC 25 -6.8 -83.6 -17.2 -83.6 -1017.2 -211.6 -17.2 -211.6 43.44 8. CONCLUCIONES: Se concluye del estudio, que a pesar de que la muestra, indique que la mayoría de trabajadores, logren realizar el trabajo de sellado y embalado de palets en el rango de 5 a 10min, esto no es determinante para representar a la población, ya que la muestra arroja un intervalo de confianza de 1.3% a 27.5%. La probabilidad de que la cantidad diaria de productos dañados en el proceso de empaquetado en Intradevco – Ate, sea al menos 5 unidades más que en Lurín será de 0.05%. Es decir, que los operarios de ATE no están tan capacitados, ya que en LURIN hay menos probabilidades de que dañen los productos al momento del empaquetado. Existe una correlación intensa entre los años que laboran los operadores en Intradevco – Lurín (X) y el tiempo que se demoran en el llenado de 01 caja (Y). Asimismo, la relación es de manera inversa, es decir mientras más años tengan laborando en la planta los operadores, menor será el tiempo de demora en llenado de cajas. 9. RECOMENDACIONES: La recomendación con respecto a la variable de accidente mensuales que ocurren con el montacarga, se sugiere programar capacitaciones constantes a los operarios en el usos y buena operatividad del montacarga. La recomendación más optima con respecto a la variable inoperatividad del montacarga es poner más énfasis en la programación de los mantenimientos de las maquinarias que ya existe, ya que es la principal causa para que existan tales errores. El supervisor de área de empaquetado debe capacitar al personal tanto en el proceso de traslado de las cajas y en el proceso de empaquetado que se ha realizado. Esto, generara que los operarios tengan una mejor eficiencia al momento de realizar su trabajo, trayendo consigo mejores resultados a la empresa INTRADEVCO. Que no exista alto porcentaje de rotación del personal (contratación de nuevo personal), dicha decisión traería como consecuencias la falta de experiencia y la probabilidad que aumente los errores en el empaquetado y etiquetado. 10. ANEXO 1 11. ANEXO 2: ENCUESTA PLICADA Gen ero Ed ad M 1825 M Cuantas veces a la semana has Cuanto encontra tiempo do tiene errores laborand en la o en la recepció empresa n de los producto s para el empaque tado 3-6 meses Cuanta s veces a la seman a las maquin as de produc ción tuvo inciden tes o averías Cuantos producto Cuantos Cuantos s product minutos diariame os se nte defectu demora dañan osos en en el dentro promedi llenado del o de las proceso encuent cajas de ra al día empaque tado 2 2 0-10 25- Mas de 1 32 año 1 3 0-10 F 2532 6-9 meses 2 1 0-10 M 1825 0-3 meses 1 3 10-20 M 39- Mas de 1 46 año 1 1 10-20 F 32- Mas de 1 39 año 2 3 10-20 F 32- Mas de 1 39 año 2 3 0-10 F 3239 1 1 10-20 0-3 meses 9 miniuto s 7 miniuto s 7 miniuto s 9 miniuto s 5 miniuto s 5 miniuto s 5 miniuto s 7 miniuto s Cuantos producto s diariame nte dañan dentro del proceso de empaque tado Cuantos productos diariament e dañan dentro del proceso de empaquet ado Cuantos producto s diariame nte dañan dentro del proceso de empaque tado Cuantos producto s diariame nte dañan dentro del proceso de empaque tado Cuantos producto s diariame nte dañan dentro del proceso de empaque tado Cuantos producto s diariame nte dañan dentro del proceso de empaque tado Cuantos productos diariament e dañan dentro del proceso de empaquet ado 4 4 miniutos 10-15 minutos 15-20 minutos 15-20 3 0-5 5-10 miniutos 2 2 minutos 5-10 minutos 5-10 minutos 15-20 3 0-5 0-5 miniutos 2 3 minutos 10-15 minutos 10-15 minutos 10-15 2 0-5 0-5 miniutos 3 2 minutos 10-15 minutos 10-15 minutos 15-20 3 5-10 5-10 miniutos 1 1 minutos 5-10 minutos 5-10 minutos 10-15 2 5-10 0-5 miniutos 1 1 minutos 5-10 minutos 5-10 minutos 10-15 2 0-5 0-5 miniutos 3 2 minutos 5-10 minutos 10-15 minutos 15-20 2 5-10 5-10 miniutos 2 2 minutos 15-20 minutos 15-20 minutos 10-15 1 0-5 10-15 miniutos M 1825 0-3 meses 3 3 10-20 F 3946 6-9 meses 4 1 10-20 F 1825 9-12 meses 4 5 0-10 F 46- Mas de 1 53 año 4 5 30-40 M 1825 0-3 meses 2 1 10-20 M 2532 3-6 meses 2 2 10-20 F 1825 0-3 meses 3 2 10-20 F 2532 3-6 meses 2 1 20-30 F 2532 6-9 meses 1 4 0-10 F 1825 0-3 meses 2 2 10-20 M 1825 9-12 meses 2 4 20-30 F 32- Mas de 1 39 año 3 4 0-10 9 miniuto s 5 miniuto s 7 miniuto s 11 miniuto s 11 miniuto s 5 miniuto s 7 miniuto s 7 miniuto s 5 miniuto s 7 miniuto s 7 miniuto s 7 miniuto s 3 1 minutos 10-15 minutos 10-15 minutos 20-25 3 5-10 5-10 miniutos 1 1 minutos 5-10 minutos 5-10 minutos 25-30 1 5-10 0-5 miniutos 3 2 minutos 5-10 minutos 10-15 minutos 10-15 2 15-20 5-10 miniutos 1 1 minutos 5-10 minutos 20-25 minutos 10-15 1 0-5 10-15 miniutos 3 4 miniutos 15-20 minutos 20-25 minutos 15-20 3 5-10 10-15 miniutos 3 2 minutos 5-10 minutos 10-15 minutos 10-15 1 5-10 5-10 miniutos 4 3 minutos 10-15 minutos 15-20 minutos 20-25 3 10-15 5-10 miniutos 3 3 minutos 10-15 minutos 10-15 minutos 10-15 3 5-10 5-10 miniutos 2 2 minutos 5-10 minutos 10-15 minutos 10-15 1 0-5 0-5 miniutos 3 1 minutos 10-15 minutos 10-15 minutos 15-20 3 5-10 5-10 miniutos 2 2 minutos 5-10 minutos 10-15 minutos 20-25 3 10-15 5-10 miniutos 3 1 minutos 10-15 minutos 15-20 minutos 20-25 3 10-15 5-10 miniutos M 32- Mas de 1 39 año 2 2 20-30 M 46- Mas de 1 53 año 1 1 0-10 M 3946 9-12 meses 2 2 10-20 M 3239 6-9 meses 3 3 20-30 M 2532 3-6 meses 4 4 30-40 7 miniuto s 5 miniuto s 7 miniuto s 9 miniuto s 11 miniuto s 2 1 minutos 10-15 minutos 10-15 minutos 15-20 3 10-15 5-10 miniutos 1 1 minutos 5-10 minutos 5-10 minutos 10-15 1 0-5 0-5 miniutos 2 2 minutos 10-15 minutos 10-15 minutos 15-20 2 5-10 5-10 miniutos 3 3 minutos 15-20 minutos 15-20 minutos 20-25 3 10-15 10-15 miniutos 4 4 miniutos 15-20 minutos 20-25 minutos 25-30 5 15-20 10-15 miniutos
