3-EDO-lineal-Homogénea (1)

Ecuaciones Diferenciales – Apuntes de clase
Lic. Adriana Valverde Calderón
Solución de EDOs Lineales Homogéneas con coeficientes constantes
Sea:
donde
para
̅̅̅̅̅ son constantes.
Todas las soluciones de la EDO son funciones exponenciales o se construyen a partir de
funciones exponenciales.
En particular, para la ecuación:
buscamos las soluciones de la forma:
con primera deriva:
y segunda derivada:
De modo que sustituyendo en la ecuación (1) se tiene:
Como la función
, para que se cumpla la igualdad se debe tener:
La ecuación (2) es llamada Ecuación Auxiliar o Ecuación Característica respecto a la
ecuación (1)
Resolviendo la ecuación (2) la se obtendrán los valores de m o raíces de la ecuación
característica:
√
Se observa que las raíces de la ecuación característica dependen del discriminante, el cual
puede ser:
1
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Lic. Adriana Valverde Calderón
Caso1
Si la ecuación característica tiene dos raíces reales distintas
y
se hallan dos
soluciones:
y
Las cuales son linealmente independientes en
; por lo tanto forman un conjunto
fundamental.
La solución general de la ecuación será:
Caso2
Si la ecuación característica tiene raíces reales iguales
sólo se obtiene una
solución exponencial:
Pero si se conoce una de las soluciones, la otra estará dada por:
∫
∫
∫
∫
Como:
∫
La solución general de la ecuación será:
Caso3
Si la ecuación característica tiene raíces complejas:
y
; la
solución general será:
Si consideramos
;
Se desean soluciones reales a partir de las soluciones complejas:
̅
̅
2
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Usando el teorema del Principio de Superposición se obtienen las soluciones reales:
̅
̅
y
̅
̅
Solución general:
Ejemplo 1
Resolver:
Ecuación característica:
Soluciones linealmente independientes:
y
Solución general:
Ejemplo 2
Resolver:
Ecuación característica:
Se tiene una sola Solución:
y la Solución general estará dada por:
3
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Ejemplo 3
Resolver:
Ecuación característica:
Raíces de la ecuación característica:
√
√
Solución general:
(
√
(
)
(
√
))
Ejemplo 4:
Resolver el Problema de Valor inicial:
Ecuación característica:
Raíces de la ecuación característica:
Solución general:
Determinar las constantes arbitrarias
y
usando las condiciones iniciales previa
derivación de la solución:
Solución Particular:
4
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Lic. Adriana Valverde Calderón
INDICACIONES
Para resolver
Donde las
son constantes, se debe resolver la ecuación característica:
1) Si las raíces de la ecuación característica son reales y distintas, la solución general será:
2) Si
es una raíz de multiplicidad k, entonces la solución general debe contener la
combinación lineal
3) Si las raíces son complejas siempre aparecen en pares conjugadas.
Ejemplo:
Resolución:
Ecuación característica:
Raíces de la ecuación característica:
es una raíz simple;
es raíz doble.
Solución general de la EDO:
Ejercicios Propuestos
Obtener la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
1.
4.
2.
3.
5