Presentación del artículo: Intertextualidad y producción de sentido en el aprendizaje de 1 métodos algebraicos 1Rojano, T., Filloy, E., & Puig, L. (2014). Intertextuality and sense production in the learning of algebraic methods. Educational Studies in Mathematics, 87(3), 389-407. Contenido Introducción. Antecedentes. El origen del término intertextualidad. Investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje del álgebra desde el punto de vista semiótico. Marco teórico Intertextualidad y sentido de producción en álgebra. Estudio empírico. Intertextualidad en el método de sustitución. Análisis Intertextos y producción de sentido. Antiguas y nuevas aproximaciones sobre la lectura y escritura en álgebra. Observaciones finales. Introducción Los textos son vistos como intertextuales, desprovistos de cualquier tipo de significado independiente. La interpretación de un texto no es el descubrimiento de su significado, sino el seguimiento de sus relaciones con otros textos para la producción de sentido. La lectura e interpretación de los símbolos y expresiones de los estudiantes que comienzan a aprender álgebra, se realiza mediante los significados que se derivan de otros dominios, como la aritmética o lenguaje natural. Introducción Conceptos relacionados. Sistema matemático de signos. Un concepto amplio de texto (no cerrados, y no se limita a los textos escritos en una lengua vernácula). Una manera de concebir el proceso de lectura/transformación de un texto (que incluye la consideración del par espacio textual/texto). Antecedentes El origen del término intertextualidad La intertextualidad tiene uno de sus orígenes a mediados del siglo XX en las teorías de Ferdinand de Saussure. Mikhail Bakhtin enfatizó el rol de los contextos sociales en el que se lleva a cabo el intercambio de palabras. Tiene en cuenta el carácter social, cultural e histórico de la relación de un texto con otros textos. Julia Kristeva acuñó el término intertextualidad en 1966. para referirse a la idea de Bakhtin de que “Todo texto está construido como un mosaico de citas, todo texto es absorción y transformación de otros textos”. El concepto de intertexto es dual. Hay que hablar no sólo del intertexto como la posibilidad de leer un texto en una cultura o comunidad, sino también de intertexto personal, que permite dar cuenta de los textos que para un individuo están ligados al texto cuya lectura enfrenta, con el fin de producir sentido. El álgebra desde el punto de vista semiótico Radford (2000) emplea un marco teórico que tiene una doble función. Por un lado está la idea de que funcionamiento cognitivo se ve afectado por el uso de signos, y en la idea de que los signos con los que un individuo actúa y piensa pertenecen a los sistemas culturales simbólicos que trascienden lo individual. Puig(2003). La redacción de textos matemáticos en general, utiliza signos que se conciben como pertenecientes exclusivamente a la matemática y signos de alguna lengua vernácula. Desde el punto de vista del proceso de significación la distinción entre estos dos tipos de signo ya no es crucial. Propone que se considere el sistema de signos en su conjunto y calificar el sistema - y no los signos -como matemático, ya que es el sistema que es responsable del sentido de los textos. Marco teórico Intertextualidad y producción de sentido en álgebra. Intertextualidad y producción de sentido en álgebra Los procesos de producción de sentido son de interés en el estudio del desarrollo del pensamiento algebraico de los estudiantes con respecto a conceptos algebraicos de aprendizaje (como lo desconocido, las variables, ecuaciones, funciones, etc.), así como al aprendizaje de métodos algebraicos. Se presentan los elementos teóricos del intertexto y la intertextualidad para comprender mejor los procesos de producción de sentido de los métodos algebraicos de la sustitución y la resolución de problemas. Los textos, sistemas matemáticos de signos, y los procesos de lectura / transformación Los SMS (Filloy et al., 2008), son un conjunto de signos heterogéneos: signos específicos de las matemáticas, lenguaje natural, diagramas, figuras, indicaciones de las herramientas tecnológicas, etc. Los sistemas matemáticos de signos deben ser lo suficientemente amplios para permitir analizar las producciones de los estudiantes. Se usa una noción de texto también ampliada para abarcar las producciones de los sujetos, estas pueden ser orales, escritas e incluso pueden contener deícticos del lenguaje corporal. Un texto no sólo es un texto escrito en una lengua vernácula. Una composición musical, una pintura, una película, una conversación oral también son textos, cualquier conjunto de señales del que la persona que lo percibe produce sentido, es un texto. Los textos, sistemas matemáticos de signos, y los procesos de lectura / transformación El par espacio textual/texto. Mediante la combinación del concepto amplio de SMS y el concepto amplio de texto, los textos matemáticos no se consideran un texto escrito con el llamado lenguaje matemático (simbólico). En su lugar, los textos matemáticos se producen por medio de sistemas de signos matemáticos estratificados y heterogénea, a través de un proceso de lectura / transformación, en el que un texto, abierto como un espacio textual y puesto en una red de intertextualidad, se convierte en un nuevo texto cuyo sentido viene de las relaciones intertextuales. Estudio empírico La intertextualidad en la sustitución y el método cartesiano Una vez que se superan las dificultades que entraña hacer frente a la resolución de ecuaciones de primer grado con incógnita en ambos lados de la ecuación Ax B Cx D se puede considerar que el progreso hacia el logro de álgebra continúa en varias direcciones: 1) el aprendizaje de cómo resolver problemas de contexto que implican una cantidad desconocida (método cartesiano para el caso de una incógnita); 2) el aprendizaje de métodos de resolución para sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, lo que implica operar en una de las incógnitas, expresada en términos de la otra incógnita (método de sustitución algebraica). La intertextualidad en la sustitución y los métodos cartesianos Entrevistas-enseñanza a Liz(L) y Loretta (Lo) de 14 años, estudiantes con alto nivel de manipulación algebraica para resolver problemas lineales de una incógnita. Antecedentes: resolución de ecuaciones lineales con balanza y un modelo geométrico (modelos concretos). La idea general detrás de este tipo de entrevista es comenzar con secciones de elementos que hacen posible confirmar estrategias y conocimientos relacionados con el concepto o método que el estudiante tiene la intención de aprender. Posteriormente se presenta al entrevistado los objetos o problemas, cuya resolución requerirá para construir nuevos conocimientos. L y el método de sustitución L inicia resolviendo diez sistemas de ecuaciones, una de las cuales tiene sólo una de las dos incógnitas, por ejemplo: Luego se le presentan 5 sistemas como el siguiente que resuelve utilizando el método de prueba y error. Luego se le presenta el siguiente sistema: L y el método de sustitución. L.1 L: No sé. E: ¿Qué estás tratando de hacer? L: yo estaba buscando en la ecuación, pero ... y cómo podía solucionarlo, pero ... E: ¿Puedes no pensar en cómo hacer esto? ?Puedes no hacer todo lo que has estado haciendo hasta ahora? L: No, pero ... E: ¿Qué está mal? L: Yo estaba pensando que con pequeños lotes de terreno, pero no, no lleva a ninguna parte. L: Es muy difícil. El entrevistador se da cuenta de que L ha recordado un texto, el cual hace referencia a un contexto en el que aprendió a resolver los sistemas de ecuaciones simples, del tipo donde x y y son las incógnitas y los números a, b y c son dados (en este caso hay una clara manifestación de la intertextualidad). Por lo que el entrevistador le recuerda el problema que tenían resuelto juntos en una sesión de entrevista anterior (una sesión de entrevistas con instrucción). L y el método de sustitución. L.2 E: ¿Recuerdas el problema del perímetro? El que estábamos tan satisfechos de haber resuelto. Era un problema en el que se nos dijo que el perímetro fue de 5 veces el ancho... escribe: P = 5a L: Ajá, sí! E: Y luego nos dijeron que la longitud era... este es el ancho (dibuja) y la longitud … no me acuerdo, pero creo que era 12. L: Oh, sí! Ahora recuerdo. E: Sí, ¿verdad? L: Escribe: 4x - 3 = 6x E: ¿Por qué? L: Porque ... No, eso no está bien. E: No lo que has escrito aquí (señala 4x - 3 = 6x). Pero creo que estás en el camino correcto, como dijiste... Es un poco más difícil. L y el método de sustitución. L.3 L: (Silencio) E: Aquí (apuntando a P = 5a) ... en el problema del perímetro era igual a " 5a " y tuvimos un perímetro igual a qué? (Él escribe: P =) L: Para " L " , ¿verdad? E: Bueno, el perímetro de todo esto, ¿cierto? (apunta al dibujo). ¿Cuál es su valor? L: 24 más ... (él escribe: P = 24) ... " 2a " ... " 12a " E: No, esto y esto (señala a los dos tramos en el dibujo) ... 24. L: Oh! " 24a " . E: escribe: P = 24a. ¡Oh no! 24 más " 2a " (él escribe: P = 24 + 2a). L: Oh " 2a " . L y el método de sustitución. L.4 E: " 2a " , ¿verdad? Entonces, ¿qué estabas haciendo aquí? ¿Cómo sabes cómo encontrar el ancho? L: Bueno, puse " 5a " (señala a P = 5a) es igual a 24 más " 2a " (señala a P = 24 + 2a). E: Porque " P " era esto (señala a P = 5a) y " P " era esto (señala a P = 24 + 2a). L: Sí. L y el método de sustitución. L.5 E: tú igualaste esto y se obtuvo el resultado. E: Aquí (señala el sistema: 4x - 3 = y y 6x = y - 7), qué puedes ver de inmediato tal como están las cosas? E: Aquí puedes ver que el valor de " y " es ... L: 4 veces " x " menos 3 (señala 4x - 3 = y). E: Sí, puedes ver inmediatamente eso. Y, ¿puedes no usar eso? L: Bueno " 6x " es igual a " 4x " menos 3 (escribe: 6x = 4x - 3) ... menos (añade: 6x = (4x - 3) - ) ... Siete (completa: 6x = (4x - 3) - 7). E: Sí! Lo que has hecho es lo siguiente: Si esto (señala " y " en 4x - 3 = y) es esto aquí (señala " 4x - 3 " en 4x - 3 = y), y de la misma manera representa la misma cosa (señala a la " y " en el sistema: 4x - 3 = y y 6x = y - 7), lo pones aquí (apunta a la " y " en 6x = y - 7). L y el método de sustitución. L.6 E: ¿cierto? Y ¿qué se obtiene? L: Entonces ... Señala a: 6x = (4x - 3) - 7 escribe: 2x = 3) - 7, 2x = - 10 L: Así? I: El valor de " 2 x " es - 10 L: Aja! Entonces , el valor de " x " es ... menos 5. escribe: x = - 5 E: ¿Y la " y " ? L: 4 veces menos 5 es menos 20 (ella escribe: - 20). Menos 3, menos 20 menos 3, menos 23 es igual a " y " . Escribe: - 23 = y. L y el método de sustitución. Posteriormente L continúa para resolver los siguientes sistemas: y los resuelve de la misma manera, gracias al hecho de que ella recordó el problema del rectángulo y su solución. Con este texto antecedente - claramente más concreto teniendo en cuenta que se trataba de un perímetro que podía ver en un dibujo - ella fue capaz de crear un intertexto para resolver sistemas de ecuaciones utilizando el método algebraico de sustitución. Lo y el método cartesiano El método cartesiano consiste en: 1) el uso de letras para representar cosas desconocidas, 2) la obtención de las ecuaciones que traducen los datos del problema, 3) la resolución de las ecuaciones, 4) encontrando así la solución a la situación problemática planteada en un texto escrito en lenguaje natural, 5) la verificación de que los resultados cumplen los requerimientos planteados en la situación del problema. Lo y el método cartesiano Después de haber resuelto aritméticamente (usando método de ensayo y error) diez problemas de palabras, a Lo se presentó un nuevo problema que requiere el uso avanzado de sus competencias de sintaxis y que servirán como base para utilizar las bases de la producción de sentido para el método cartesiano. El objetivo no es resolver el problema en particular sino de proporcionar sentido al método cartesiano. El problema: Un reloj indica que son las 12 en punto. ¿Qué hora será cuando el minutero esté una vez más sobre la manecilla de las horas? Lo y el método cartesiano El diseño del guion de la entrevista clínica comienza con un intercambio entre E y Lo, en relación con la manera en que se planteó el problema, y esto se refleja en las etapas posteriores de la entrevista: Las manecillas inician por estar juntas en la parte superior (12:00 am o pm). Lo dibuja un reloj, realiza una serie de marcas que representan los arcos que la manecilla pequeña recorre para cada una de las 12 horas, y afirma que hay cinco marcas de la manecilla de minutos entre cada dos de las marcas de hora. Las manecillas no pueden estar juntos de nuevo entre las doce y la una, porque la manecilla grande pasa a través de la quinta marca 5 minutos después y la manecilla pequeña tomará una hora de correr la misma distancia. Como cada una de las dos manecillas se mueve a su propio ritmo, cuando la manecilla pequeña corra a través de un arco de cinco minutos, habrá transcurrido una hora y la manecilla grande habrá pasado a lo largo de toda la longitud de la circunferencia y estará de vuelta en el lugar donde una nueva hora empezará a transcurrir. La manecilla pequeña se ha movido a lo largo de un arco que se llamará x y la manecilla grande la alcanzará en el arco 5 + x (el primer lugar en donde las dos manecillas estarán juntas de nuevo). El minutero correrá a lo largo de la longitud de la circunferencia de 60 arcos de un minuto y, en consecuencia, inicia desde el punto 5 + x cuando vuelve una hora más tarde; la manecilla de las horas habrá avanzado 5 arcos de un minuto (ya que cada manecilla siempre se mueve a la misma velocidad), esta será en la posición 5 + x, y cuando el minutero se aleje de ese punto, la manecilla pequeña lo alcanzará, como la primera vez, en el punto 2(5 + x). Lo anterior se repetirá hasta que ambas manos están juntos a las 12 de la noche: 11 veces el arco 5 + x será igual a la longitud de toda la circunferencia, que es de 60 arcos de un minuto. Lo y el método cartesiano. Lo1 Lo: Éste " es muy raro, muy diferente... (Parece desconcertada). E: Sí, lo es. Te voy a enseñar un método para resolver este tipo de problema. E: ¿Dónde estará el minutero cuando la aguja de las horas esté a los 5 minutos, a la 1? Lo: Todo el tiempo en la parte superior. Han transcurrido 60 min? Yo: Bien, entonces, ¿dónde va a alcanzar a la aguja de las horas? Antes o después de las 5 líneas de los minutos? Lo: (Duda) creo que va a ser después, porque habrá pasado algo de tiempo. E: ¿Puedes calcular qué tiempo? Lo: No, esta es una cantidad desconocida. No sé cómo calcularlo. Lo y el método cartesiano. Lo.2 y Lo.3 Segmento Lo.2 E: Vamos empezar con lo que te había prometido. Vamos a llamar x la cantidad avanzada por la manecilla de las horas, desde la quinta marca en el reloj. ¿Dónde estará la aguja de las horas? Lo: No sabemos..., será el punto 5 + x, que tampoco sabemos. Segmento Lo.3 E: ¿Cuántas (5 + x) tendrán que transcurrir antes de que las dos manecillas estén en la parte superior? Lo dibuja un reloj, marca 5 + x, y se da cuenta de que entre cada hora hay un punto en el que se reúnen las dos manecillas; ella les cuenta y le da una respuesta. E: ¿Cuántas veces sucede eso? Dado que no ocurre entre las 12 y la 1, mediante conteo podemos ver cuántas veces se repetirá? Lo: Once. I: En otras palabras, podemos decir que once veces 5 + x es igual al número total de marcas. Lo 1 h ... (vacila). Será igual a 60. E: Muy bien. Once veces el arco 5 + x será igual a la longitud de toda la circunferencia, que es de 60 arcos de un minuto. Ahora escribe lo que acaba de decir. Lo escribe: 11 × (5 + x) = 60 Lo y el método cartesiano. Lo.4 E: Así que ahora se puede saber cuál es el valor de x es. Lo No sé, es la incógnita.. E: Mira lo que has escrito de nuevo. Lo: Si me pregunta cuál es el valor de x es en lo que hemos estado pensando, No sé... pero ... (no está seguro de ello), si lo que ' me estás preguntando es resolver esta ecuación (ella señal El segmento anterior es claramente una manifestación del hecho de que la competencia de Lo competencia en el SMS del álgebra para la resolución de una ecuación lineal se desconecta de una resolución algebraica de problemas de contexto. Una posible explicación de esto es que en este punto en particular en el entrevista, para Lo las acciones que corresponden a ambos procesos se llevan a cabo sobre la base de los textos expresados en sistemas de signos muy diferentes (en un caso se trata de resolver una ecuación expresada en el SMS del álgebra y en el otro de análisis de elementos conocidos y desconocidos de un problema expresado en lenguaje natural) cuya interconexión sólo tiene sentido cuando se entera del método algebraico para resolver los problemas planteados. a de nuevo a la ecuación 11 × (5 + x) = 60), bueno eso sí lo sé. Lo y el método cartesiano. Lo.5 y Lo.6 Segmento Lo.5 E: Resuélvelo entonces. Lo: escribe 55 + 11x = 60, 11x = 5; x tiene un valor de 5/11 . 6 Segmento Lo.6 E: ¿Puede demostrar que esto resuelve el problema? Lo Haré esto aritméticamente... (Lo piensa). Lo: Sí, porque antes de que corrió a través de 55 min y el otro 5 puede expresarse como 11x, en otras palabras, 11x = 5; 5/11. Lo y el método cartesiano. Esas operaciones con referentes en el problema de contexto le permiten a Lo construir el intertexto que relaciona la solución de la ecuación con la solución del problema, y se puede decir que este es un momento de producción sentido significativo en términos del método cartesiano. De ahora en adelante Lo es capaz de resolver de la misma manera los problemas de palabras que se le presentan posteriormente. En otras palabras, ella es capaz de llevar a cabo las cadenas de lectura / transformación de los espacios textuales compuestos de las sentencias de los problemas de contexto, que conducen a la resolución por medio de recurrir al intertexto que ella ha construido Análisis Intertextos y producción de sentido El análisis de los segmentos de entrevistas llevadas a cabo desde la perspectiva de producción de sentido permitió identificar los momentos clave en los que la evocación o referencia a un intertexto específico que previamente había sido construido, derivaba en relaciones intertextuales que permitieron producir sentido sobre los métodos del álgebra simbólica adecuada. Los ítems presentados pueden ser considerados espacios textuales El texto matemático inicial encierra la intencionalidad de que los alumnos se enfrenten a situaciones que requieren la producción de nuevo conocimiento y del aprendizaje de los nuevos métodos. Este aprendizaje ocurre en la producción de textos que se articulan a través de cadenas de acciones de lectura/transformación sobre ese texto inicial. El aprendizaje se lleva a cabo cuando ese encadenamiento implica la producción de sentido en el método algebraico de que se trate. Acciones de lectura y escritura del algebra: Viejas y nuevas aproximaciones teóricas. La investigación en la interpretación y producción de símbolos algebraicos que se llevaron a cabo en los años 1980 y 1990 contribuyó a la identificación de las dificultades de aprendizaje intrínsecos al álgebra simbólica, y atrajo la atención de los investigadores a hechos tales como la regularidad, frecuencia y persistencia de los errores cometidos por los estudiantes ( Booth, 1984 ; Freudenthal, 1983 ; Kieran, 1981 ; Küchemann, 1981 ; Matz, 1980 ), así como a la presencia de tendencias cognitivas en el aprendizaje de la sintaxis y los métodos algebraicos (Filloy y Rojano, 1984 , 1989 ; Filloy, Rojano, y Rubio, 2001 ). Los estudios publicados entre los años 1990 y la década pasada ahondaron en la naturaleza de las dificultades señaladas y proponen diferentes enfoques para la enseñanza del álgebra. Por otra parte, en esta última década ha habido un aumento en la presencia de la investigación con un enfoque semiótico de la educación matemática en general (por ejemplo, Arzarello y Robutti, 2001 ; Duval, 1995 ; Otte, 2001 ; Presmeg, 2005 ) y se publican trabajos con ese tipo de enfoque en el área del pensamiento algebraico (Filloy et al,. 2008 ; Puig, 2003 ; Radford, 2000 ; Rojano y Martínez, 2009 ). Las bases de los desarrollos presentados en este artículo incluyen las obras publicadas en Puig ( 2003 ) y en Filloy et al. ( 2008 ), en los cuales los elementos teóricos desarrollados por Peirce sobre producción de sentido y el significado que se le atribuye a los signos son adaptados a los textos matemáticos. Sobre la base de la noción de espacio textual formulada en general por Talens y Compañía ( 1984 ), Puig habla de espacios textuales en el campo del aprendizaje y la enseñanza del álgebra (Filloy et al., 2008 , pp 124. - 125; Puig, 2003 ). En este artículo hemos introducido la noción de intertexto y la intertextualidad con el fin de afinar el análisis de los procesos de producción de sentido, teniendo en cuenta que la comprensión de estos procesos es esencial para entender cómo los estudiantes aprenden métodos algebraicos. Consideraciones finales En cuanto a los contenidos de álgebra de la escuela, los casos incluidos en este artículo se refieren al progreso en el aprendizaje de métodos algebraicos. Esto, junto con los elementos teóricos del intertexto y la intertextualidad, se añade a los resultados reportados por Filloy et al. ( 2010 ), que se refieren a los progresos realizados por los estudiantes mientras aprenden el método cartesiano para resolver problemas que implican dos cantidades desconocidas. En el aspecto teórico, el estudio del 2010 enfatiza la condición más abstracta del SMS en el que se realiza la acción de operar con una incógnita cuando la incógnita es representado por una expresión algebraica que implica una segunda cantidad desconocida, mientras que en la investigación presentada aquí hacemos hincapié en los procesos por los cuales se produce sentido en el aprendizaje de métodos que son de naturaleza algebraica. En este artículo se muestra que mediante la introducción de las nociones de intertexto y la intertextualidad (adaptadas del campo de la semiótica), los fenómenos de aprendizaje algebraico pueden estudiarse en términos de procesos de producción de sentido y que sostienen que este cambio de enfoque, a su vez, hace que sea posible proporcionar explicaciones teóricas a las preguntas sin respuesta que surgieron en la investigación inicial sobre la transición de la aritmética al pensamiento algebraico de estudiantes de la escuela secundaria. Referencias Booth, L. (1984). Algebra: Children’s strategies and errors. Windsor, Berkshire: NFER-Nelson. de Saussure, F. (1959). Course in general linguistics. New York: McGraw-Hill. Original work published in French, 1916. Duval, R. (1995). Sémiosis et pensée humaine. Registres sémiotiques et apprentisages intellectuels [Semiosis and human thought. Semiotic registers and intellectual learning]. Berne: Peter Lang. Filloy, E. (1993). 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