ALGEBRA LINEAL
TALLER II DETERMINANTES
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matemáticas
Martha C. Moreno
1. Considere
las siguientes
matrices:
3 0
0
−2 7 6
A = 2 −5 1
B = 5 1 −2
1 9 −4
3 8 4
1 −2 3
1
5 −9 6
3
2 1
E=
D=
−1 2 −6 −2
−1 3
2
8
6
0
G3×3 = (dij ) con gij = i(+ 2j
1 i=j
H3×3 = (hij ) con hij = j
i i 6= j
Calcular:
a. det(At B 2 )
b. det(C + 2D)
e. det(C −3I2 )
d. det(adj(A))
h. det(G + adjH)
2. Encontrar x ∈ R que
1
x −1
= 2
a.
3 1−x
1
b. det(A − xI) = 0 ,
F =
−5 6
1 2
1
3 1 5 3
−2 −7 0 −4 2
0
0 1 0 1
0
0 2 1 1
0
0 0 1 1
c. det(E)
d. det(F −3 )
e. det(C −1 DC)
g. det(G2 H 3 )
satisfaga:
0 −3
x −6
3 x−5
con
C =
1 0 −1
A= 2 0 1
0 0 −1
1
1
1
1
1
2
1
x
x
x3
=0
c.
3 x + 2 2x + 1 3x
3 2x + 1 x2 + 2x 3x2
2 3 −1 −2
2
1
−1
0 1 −1 −1
y B = −1 −2x 0
d. 2|A|−|B| = −1 con A =
1 1
2 −2
1
2 −1
4 −1 −1 0
3. Determinar si la proposición es verdadera o falsa (JUSTIFICAR)
A, B ∈ Mn×n .
a. det(AAt ) = det(A2 )
b. Si A es antisimétrica, entonces det(A) = 0
c. Si A es ortogonal, entonces det(A) = 1
d. Si det(A) = 0 ,entonces A = 0
e. Si det(A) = 0, entonces tr(A) = 0
f. det(A + B) = det(A) + det(B)
g. Si Ak = On×n para algún k entero positivo, entonces A es singular.
h. Si det(A) = −2 ,entonces el sistema AX = 0 tiene solamente la solución
trivial.
i. Si A es idempotente, entonces det(A) = 0
j. Si B = P AP −1 y P es no singular, entonces det(A) = det(B)
k. Si A y B son matrices no singulares, entonces A + B es no singular.
l. det(AB) = det(BA)
m. M y N son matrices 3 × 3 tales que det(2M −1 N) = 12 y det(N) = 3,
entonces det(M) = 21
y b t
a b c
n. x y z = x a s
z c u
s t u
o. Si
a b c
p q r
x y z
= 6, entonces
a+x b+y c+z
3x
3y
3z
−p
−q
−r
2
= −18
4. Completar:
αx + y + z = 1
a. El sistema: x + αy + z = 1
x + y + αz = 1
b. Si det(A) =
2 c
c. A = c c
8 7
3
5
Tiene única solución si α ∈ {
y AB = O, entonces B =
c
c es singular si c=
6
4u 2a −p
a b c
d. Si p q r = 3, y si B = 4v 2b −q , entonces: det(2B −1 ) =
4w 2c −r
u v w
e. Si Ak = O (nilpotente) entonces A =
f. A5×5 es antisimétrica entonces A =
g. si A y B son matrices 3 × 3 tal que 2A−1 = 6 y At (2B)−1 = 18,
entonces A2 B t =
h. Si A ∈ Mn×n es no singular entonces |(adjA)| =
−1
1
3
0
4
3
3
−1 −1
5
1 =
i. 2
−1
−3 −9 −1
−1
1 2 −3
3 5 −9 =
j. Usando i :
0 1 −1
5. sea A ∈ Mn×n (R) y suponga que det(A) 6= 0
a. Muestre que det(adj(A)) = det(A)n−1 .
b. Calcule adj(adj(A)) en términos de A.
4
1
0
c. Encuentre una matriz A tal que adj(A) = −4 −1 −6.
−2 1
0
¿ A es única ?
APLICACIONES
3
}
a b
6. Si A =
c d
de la figura:
, probar que det(A) representa el área del paralelogramo
(a + c, b + d)
(c, d)
(a, b)
2
5 5
7. Usando la adjunta encontrar la inversa de la matriz: −1 −1 0
2
4 3
4x + 5y = 2
11x + y + 2z = 3
8. Usando la regla de cramer resolver el sistema:
x + 5y + 2z = 1
9. Mensajes secretos:
Una forma muy sencilla de encriptar un mensaje es usando una matriz de
codificación no singular (Cn×n ), y por ejemplo el código o correspondencia:
a b c d e f ............... z
1 2 3 4 5 6 ...............26
El proceso consiste en escribir el mensaje en matrices columna (B) de
n elementos (teniendo en cuenta que los espacios se representan con el
número 0) y hacer el producto CB, el resultado obtenido corresponde la
mensaje codificado.
1 3
Por ejemplo si usamos la matriz C =
1 4
8
el mensaje: HOLA lo podemos escribir con el código como:
y
15
12
1
4
y
será:
su respectiva
codificacioón
1 3
8
53
=
1
4
15
68
1 3 12
15
=
1 4
1
16
Sorprendente que si recibe un mensaje como: 53 68 15 16, en realidad le
estan diciendo HOLA.
a. Códifique el mensaje: EL HALCON HA ATERRIZADO
b. DECODIFIQUE el mensaje: 28 33 21 28 78 97 23 24 15 20 12 12 37
49 22 27 56 74 1 1 39 48 29 34 37 49
10. Clasificar las matrices como definidas positivas, definida negativa o indefinidas:
1 −3 2
−2 2
4 7
1
2
a.
b.
c. −3 0 1
d.
2 3
7 3
2 3
2
1 5
5
