GuiaFisicaPIODocenteFINAL2013

Universidad Simón Bolívar
Programa Igualdad de Oportunidades
Física
PIO DOCENTE
Prof. José Ruiz‐Camacho
Depto. de Física
Caracas, 2013
Capítulo 1:
Unidades y Cantidades Físicas
La física es una de las ciencias fundamentales que el hombre ha desarrollado a lo
largo de la historia, y desde tiempos que se remontan inclusive antes del nacimiento de
Cristo. La traducción de la palabra quiere decir “filosofía de la naturaleza”, luego,
consiste en entender el universo, desde lo macro a lo micro.
La física es una ciencia experimental basada en modelos de situaciones complejas
idealizadas y simplificadas. La física es considerada la base de toda la ingeniería y
tecnología, no existiría ningún diseño sin conocer los principios básicos de
funcionamiento, es decir, las leyes de la física. Esta ciencia muchas veces apela al
sentido común y a nuestra inteligencia, desarrollando así el pensamiento humano, lo
que llevó a grandes científicos de la talla de Galileo, Newton, Maxwell y Einstein a
formular ideas cuya influencia se ha extendido mas allá de la ciencia, para afectar
profundamente la vida del hombre.
Con esta guía se pretende estimular a la comprensión e incluso la emoción que
implica resolver problemas básicos y entender fenómenos cotidianos. Al ser esta una
ciencia experimental, los físicos observan los fenómenos de la naturaleza, tratando de
encontrar patrones y principios que los relacionen, siendo esencial la interacción teoríaexperimento que permita analizar los diversos problemas.
Estándares y Unidades
Los experimentos requieren mediciones cuyos resultados suelen describirse
cuantitativamente, por lo tanto, a estos fenómenos físicos conceptualizados
numéricamente se denominan cantidades físicas. Existen cantidades fundamentales y
cantidades derivadas de estas primeras, tales cantidades son comparadas con lo que se
conoce como estándar de referencia, las que son, a fin de cuentas, las que definen una
unidad de tales cantidades. El metro es una unidad de distancia y el segundo de
tiempo, siendo estas dos las más usuales y sirven para dar connotación física a valores
numéricos, tomados muchas veces en mediciones que en principio no implicarían nada.
Las mediciones exactas y fiables exigen unidades concretas y establecidas que los
observadores puedan duplicar en distintos lugares. El sistema de unidades empleado
por científicos e ingenieros es conocido comúnmente como “Sistema Métrico”, pero a
partir de 1960 su nombre oficial es Sistema Internacional o SI.
Las unidades básicas y sus definiciones son:

Metro (m). Unidad de longitud.
Definición: un metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz
durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.

Kilogramo (kg). Unidad de masa.
Definición: un kilogramo es una masa igual a la de un cilindro que se encuentra
en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, en Sèvres; Francia.

Segundo (s). Unidad de tiempo.
Definición: el segundo es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación
correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado
fundamental del átomo de cesio 133.

Ampere o amperio (A). Unidad de intensidad de corriente eléctrica.
Definición: un amperio es la intensidad de una corriente constante que
manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de
sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro
en el vacío, produciría una fuerza igual a 2•10-7 newton por metro de longitud.

Kelvin (K). Unidad de temperatura termodinámica.
Definición: un kelvin es la temperatura termodinámica correspondiente a la
fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

Mol (mol). Unidad de cantidad de sustancia.
Definición: un mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas
entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12.
Cuando se emplea el mol, es necesario especificar las unidades elementales, que
pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos
especificados de tales partículas.

Candela (cd). Unidad de intensidad luminosa.
Definición: una candela es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una
fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540•1012 hertz y
cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 vatios por estereorradián.
Fig.1.1: Instrumentos de medición
Ya definidas las unidades fundamentales, las cuales como se vio son fundadas en
principios bastante rigurosos para asegurar precisión, ahora es conveniente introducir
cantidades más grandes y más pequeñas de tales magnitudes físicas. En el sistema
métrico se utilizan su significado y abreviatura:
Tabla 1.1: Prefijos de unidades
Prefijo Significado Abreviatura
exa
1018
E
peta
1015
P
tera
1012
T
giga
109
G
mega
106
M
kilo
103
K
hecto
102
h
deca
10
da
Unidad
1
-
deci
10-1
d
centi
10-2
c
mili
10-3
m
micro
10-6
μ
nano
10-9
n
píco
10-12
p
fento
10-15
f
atto
10-18
a
Por ejemplo; 1 km (1 kilometro) el cual se refiere desde a luego a 1000 m (1000
metros), 1 milisegundo (0.001 segundos). Esto da mayor simplicidad a la notación y
simplifica bastante la escritura.
El uso de estos prefijos son muy importantes en el área de la física y la ingeniería,
por ejemplo, en longitud en el orden de micrómetros se encuentran algunas bacterias y
células vivas, en el orden de milímetros se encuentra el diámetro del la punta de un
bolígrafo; en masa el tamaño de una partícula muy pequeña de polvo es un microgramo
entre otras. Ahora se explicará cómo trabajar con esas unidades, y como interpretar su
sentido físico.
Factores de Conversión y Análisis Dimensional
Las cantidades físicas se expresan mediante símbolos algebraicos. Un símbolo
algebraico se forma por número y literal, al igual que las cantidades físicas; por ejemplo
una longitud se expresa como 20 m, 3 km, 10 cm, etc. Es por ello que los cálculos de las
cantidades físicas se realizan igual que lo hacemos con los símbolos algebraicos.
Desde el punto de vista operacional de la física es muy importante saber manejar la
conversión de unidades, ya que en los problemas en que se presenten las magnitudes
físicas, éstas deben guardar homogeneidad para poder simplificarlas cuando sea
necesario, es decir, deben ser de la misma especie. Por ejemplo, si se tienen: 8m+ 7m +
5m = 20m Éstas se pueden sumar porque son de la misma especie, pero si se tiene: 8m +
70cm + 10mm. Éstas cantidades no se pueden sumar hasta que no se transformen a un
sólo tipo de unidad.
Como se evidenció, en algunas ocasiones existe la necesidad de cambiar o convertir
las unidades que se están empleando. Esta conversión de unidades se puede efectuar
aplicando el principio de cancelación. Los Factores de Conversión son equivalencias
que nos permiten cambiar de un sistema de unidades a otro.
La conversión de una cantidad expresada en una determinada unidad, a su
equivalente en una unidad diferente de la misma clase, se basa en el hecho de que
multiplicar o dividir cualquier cantidad por uno no afecta su valor. Mediante este
método las conversiones pueden ser fácilmente realizadas, conociendo las cantidades
equivalentes que se presentan en la tabla a continuación.
Tabla 1.2: Algunas equivalencias de unidades
Longitud
Volumen
1 m = 100 cm
1 m3 = 1 000 litros
1 m = 1 000 mm
1 cm3 = 1 ml
1 cm =
10 mm
1 l = 1 000 cm3
1 m = 39.37 in
1 l = 1 dm3
1 m = 3.281 ft
1 galón = 3.785 litros
Tiempo
1 hora =
1 min =
60 min.
60 s
1 hora = 3 600 s
1 m = 1.094 yd
1 km = 1000 m
1 in = 2.54 cm
1 ft = 0.3048 m
1 ft = 30.48 cm
1 ft = 12 in
Fuerza
1 mi = 1.609 km
1 lb = 4.45 N
1 mi = 5280 ft
Nota:
1 yd = 3.0 ft
in = pulgadas
1 yd = 3.0 ft
ft = pies
1 yd = 91.44 cm
yd = yardas
mi = millas
1 in = 0.0254 m
Masa
1 kg = 1000 g
Pasos para realizar conversión de unidades:
1.- Escriba la cantidad que desea convertir.
2.- Defina cada una de las unidades incluidas en la cantidad que va a convertir, en
términos de la unidad o las unidades buscadas.
3.- Escriba dos factores de conversión para cada definición, uno de ellos recíproco del
otro.
4.- Multiplique la cantidad que desea convertir por aquellos factores que cancelen todas
las unidades, excepto las buscadas.

Ejemplo 1: pasar 15 pulgadas a centímetros (factor de conversión: 1 pulgada =
2,54 cm)
15 pulgadas × (2,54 cm / 1 pulgada) = 15 × 2,54 cm = 38,1 cm

Ejemplo 2: pasar 25 metros por segundo a kilómetros por hora (factores de
conversión: 1 kilómetro = 1000 metros, 1 hora = 3600 segundos)
25 m/s × (1 km / 1000 m ) : (3600 s / 1 h) = 90 km/h
Cuyo significado físico, como veremos, se refiere a velocidad

Ejemplo 3: obtener la masa de 10 litros de mercurio (densidad del mercurio: 13,6
kilogramos por decímetro cúbico)
Nótese que un litro es lo mismo que un decímetro cúbico.
10 litros de mercurio × (1 decímetro cúbico de mercurio / 1 litro de mercurio) ×
(13,6 kilogramos / 1 decímetro cúbico de mercurio) = 136 kg

Ejemplo 4: pasar 242° sexagesimales a radianes (Factor de conversión: 180° = π
rad)
242° x (π rad/180°) = 4,22 rad
Mediciones y errores en la medida
La física es una ciencia experimental, que trata de entender la naturaleza, por lo
tanto el acercamiento con el experimento es vital. El medir una cantidad física es
establecer un valor numérico al fenómeno, acorde con la naturaleza del mismo y lo que
representa. Toda medida debe de ir seguida por la unidad, obligatoriamente del
Sistema Internacional de Unidades de medida.
Cuando un físico mide algo debe tener gran cuidado para no producir una
perturbación en el sistema que está bajo observación. Por ejemplo, cuando medimos la
temperatura de un cuerpo, lo ponemos en contacto con un termómetro. Pero cuando los
ponemos juntos, algo de energía o "calor" se intercambia entre el cuerpo y el
termómetro, dando como resultado un pequeño cambio en la temperatura del cuerpo
que deseamos medir. Así, el instrumento de medida afecta de algún modo a la cantidad
que deseábamos medir.
Además, todas las medidas están afectadas en algún grado por un error
experimental debido a las imperfecciones inevitables del instrumento de medida, o las
limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben de registrar la información.
La teoría que involucra todo lo relacionado con la medición y sus errores puede
tornarse muy compleja a este nivel. Sin embargo, podemos hablar de algunos de ellos.
Errores sistemáticos:
Es aquél que se produce de igual modo en todas las mediciones que se realizan de
una magnitud. Puede estar originado en un defecto del instrumento, en una
particularidad del observador o del proceso de medición, etc. El más común es el error
de paralaje, ocurre cuando la visual afecta la medición, en la figura a continuación se
ejemplifica esto, el observador central se encuentra en la buena ubicación sin embargo
los otros dos no, por lo tanto toman medidas distintas.
Fig.1.2: Error de paralaje
Errores aleatorios:
Son aquellos originados por factores accidentales o fortuitos (Descuidos del
observador o variaciones de las condiciones experimentales). Estos disminuyen a
medida de que se toman más y más medidas.
Análisis estadístico de resultados
Al realizar un experimento se toman distintas medidas del mismo fenómeno, ahora
bien, ¿Cual es el correcto? La respuesta es sencilla, el valor que más se acerca al valor
verdadero es el promedio, o valor medio, que viene dado por
___
X
1 N
 xi
N i1
Donde los xi representan cada uno de los valores tomados experimentalmente y N es
el número total de estos valores.
Por ejemplo, si en un experimento medimos las misma cantidad física 3 veces (N = 3)
arrojando los valores 8, 5 y -1. El promedio es:
8  5  ( 1)
4
3
x
Mientras que el error asociado a estas medidas, usaremos lo que se conoce como
desviación estándar, σ, cantidad que cuantifica la dispersión, y la definiremos como:
1
N

 x
N
i 1
i
2
 x  x2  x
2
Llamaremos desviación cuadrática a la expresión:
 x  x 
N
2
i 1
Luego las medidas pueden ser reportadas como:
xi  ( xi   )
Ejemplo: Suponga que en cierto experimento se toman los valores de tiempo
correspondientes a la caída libre de un cuerpo, y se repite la experiencia en 10
oportunidades. Se llena la siguiente tabla con las medidas y la desviación cuadrática
Tabla 1.3. Datos experimentales
Desviación
Mediciones
ti (s)
1
8.50
0.0049
2
8.60
0.0009
3
8.90
0.1089
4
8.20
0.1369
5
8.50
0.0049
6
8.70
0.0169
7
8.50
0.0049
8
8.40
0.0289
9
8.50
0.0049
10
8.90
0.1089
Cuadrática (s2)
El valor promedio del tiempo nos queda: tprom = 8.57 s
Mientras que la desviación cuadrática de los datos será:
 t
 t   0.421s 2
2
i
Luego

1
N
N
2
 t i  t 
 0.21 s
i 1
Redondeando la desviación estándar a una sola cifra significativa, podemos reportar
el siguiente valor del tiempo con su incerteza asociada:
t = (8.6 ± 0.2) s
Capítulo 2: VECTORES
Algunas cantidades físicas, como por ejemplo la masa, el volumen, la densidad y la
temperatura se pueden describir totalmente con un número y una unidad, pero otras
cantidades físicas importantes tienen asociadas una dirección y un sentido, por lo que un
número no es suficiente para describirlas. Por ejemplo, para ir de Caracas a Maracaibo, el
avión debe volar hacia el oeste y no hacia el sur o el este. La rapidez con la que viaja el
avión combinada con la dirección y el sentido en el que viajan se llama velocidad.
Una cantidad física que se describe solamente con un número se conoce como
cantidad o magnitud vectorial. Por otra parte, una cantidad o magnitud vectorial a
aquellas medidas para las cuales necesitamos algo más que un número, es decir
necesitamos un número con unidades más una dirección en el espacio. Por ejemplo,
cuando a un objeto aplicamos un tirón o un empujón se le aplica una fuerza. Las fuerzas
son cantidades vectoriales, pues para describirlas necesitamos especificar no sólo su
intensidad, sino también la dirección en la que se tira o empuja. A este tipo de magnitudes
se les llama vectoriales pues tienen asociadas un vector.
Definición
Un vector es un segmento de recta orientado y dirigido que tiene un origen y un
extremo. En la física, usaremos los vectores para representar magnitudes vectoriales

como la velocidad, la fuerza, el campo eléctrico, entre otros. Denotaremos por AB , al


vector que tiene origen en el punto A y extremo en el punto B . También se puede usar

una letra con una flechita arriba, por ejemplo a .
B

AB
A
Fig. 1: Vector

AB
A diferencia de un escalar, que no es más que un numerito, un vector tiene tres
propiedades que lo definen: Módulo o magnitud, dirección y sentido.

Magnitud o Módulo: gráficamente representa la longitud del segmento dirigido
que contiene al vector. En física, la magnitud de un vector es importante pues
representa el valor de la cantidad vectorial representada por el vector. La


magnitud de un vector v se denota con | v |. Para denotar la magnitud de un
vector también se suele quitar la flecha a la letra, es decir que en este caso la
magnitud del vector se puede denotar v .

Dirección: los vectores están contenidos en una recta imaginaria. La dirección
de un vector no es más que el ángulo que forma la recta que contiene al mismo
con un eje de referencia arbitrario.

Sentido: este elemento de un vector indica la orientación del mismo. Está
indicado por el extremo del vector, es decir la punta de la flecha que lo
representa.
Representación matemática de un vector
Un vector se puede representar geométricamente como segmentos de rectas dirigidos
o flechas en el plano (R2) o en el espacio (R3), es decir bidimensional o tridimensional.
Matemáticamente, un vector se representa con una serie de coordenadas, tantas
como dimensiones tenga el espacio en el que se representa.
El sistema de referencia más usado para representar un vector es el sistema de
coordenadas cartesianas. Cuando la magnitud vectorial de interés es bidimensional, es
decir que se requieren dos variables para describirlo, se utilizan las coordenadas
cartesianas planas. En el caso en el que la magnitud vectorial sea tridimensional, es decir
que se requieren tres variables para describirlo, se utiliza el sistema de coordenadas
cartesianas espaciales.
Vectores en el plano
Como dijimos anteriormente, un vector es un segmento de recta orientado y dirigido
que tiene un origen y un extremo. Una manera de hallar las componentes de un vector es
a partir de estos últimos. Supongamos que tenemos un plano cartesiano XY, y tomemos

dos puntos arbitrarios cualesquiera, digamos A( Ax , Ay ) y B ( B x , B y ) . Llamemos v 

Las componentes del vector v 

AB .

AB , se definen a partir de las componentes de su
origen y de su extremo.
Las componentes de un vector, no son más que proyecciones del vector sobre cada
uno de los ejes cartesianos, la proyección del vector sobre el eje x es lo que llamamos
como componente x, y la proyección del vector sobre el eje y es lo que llamamos

componente y. Si el vector se llama a , la proyección del vector en el eje x es lo que se
llama la componente x del vector y se denota por a x . De manera análoga, la componente
y del vector es la proyección del vector en el eje y, y se denota por a y . Estas componentes

son las componentes rectangulares. En el caso del vector v , la componente paralela al
eje x la llamaremos v x y la componente paralela al eje y la llamaremos v y .La manera
natural de definir dichas componentes es restar a las componentes del extremo las
componentes del origen, es decir:

v  (v x , v y )  ( B x  Ax , B y  Ay ) (1)
y
By
Ay
B

v
A
vy
vx
x
Ax
Bx
Fig. 2: Vector en el plano con origen en el punto A y extremo en el punto B

Por simplicidad, ahora consideremos un vector a  (a x , a y ) , con su origen ubicado en
el origen del sistema de coordenadas:
y

|a|

a
ay
ay

ax

x
ax

Fig. 3: Vector a representado gráficamente en el sistema cartesiano, y triangulo formado

por el vector a y sus componentes.

En la figura anterior, se puede observar que el vector a , la componente a x y la

componente a y forman un triangulo rectángulo, de hipotenusa | a | con catetos a x y a y .

Luego, utilizando el teorema de Pitágoras se puede expresar el | a | en término de sus
componentes de la siguiente forma:

| a | a x2  a y2
(2)
La dirección de un vector en el plano XY, está determinada por el ángulo θ que forma

el vector con el semieje +x. El vector a , se puede representar en coordenadas polares

utilizando su módulo | a | y su dirección. El ángulo θ también se conoce como ángulo
polar.


a  (| a |,  )
(3)
Además, se pueden usar relaciones trigonométricas para expresar las componentes en
términos del módulo del vector y del ángulo polar. De esta manera, estamos pasando de
las coordenadas polares a las coordenadas rectangulares. Así se tiene que:
a x  a  Cos ( )
(4)
a y  a  Sen( )
(5)
También se puede hallar el ángulo polar en el caso que se conozcan las componentes
del vector, utilizando la siguiente relación trigonométrica
tg ( ) 
ay
(6)
ax
Despejando el ángulo de la expresión anterior, se obtiene lo siguiente:
  arctan(
ay
ax
) . (7)
CUIDADO: El uso de la ecuación (7) para hallar el ángulo θ tiene una complicación.
Supongamos a x  1 y a y  1. En este caso tg ( )  1 . Sin embargo, existen dos ángulos
cuya tangente vale ‐1 que son 135o y 315o(o ‐45o). Al usar una calculadora y pedir la
arctan(‐1), casi siempre el resultado que nos arroja la calculadora es ‐45o. Para evitar este
inconveniente, lo que debemos hacer es examinar las componentes. En nuestro caso, a x
es positiva y a y es negativa, por lo que el vector esta en el tercer cuadrante, entonces el
ángulo que buscamos es 315o. En el caso que el vector tuviese componentes, a x  1 y
a y  1 , el vector estaría en el segundo cuadrante por lo que el ángulo que nos interesa es
135o. El ‐45o que arroja la calculadora lo único que nos dice es que medimos el ángulo en
sentido horario. Esta ambigüedad está relacionada con el hecho de que dos ángulos que
difieren en 180o tienen la misma tangente.
EJEMPLO 1:

Obtenga las componentes del vector a ilustrado en la Figura 4, sabiendo que su
magnitud es a  5 y que el ángulo   60  .
y
a x ()

x

a
a y ()
Fig.4:
SOLUCIÓN:

El vector a , forma un ángulo α con respecto al eje x, pero medido en sentido horario,
es decir hacia el eje y negativo y no hacia el sentido positivo del eje Y. Luego, para usar las
ecuaciones (4) y (5), el ángulo θ=‐60o. Haciendo esto tenemos:
a x  a  Cos ( )  5  Cos (60  )  5 
a y  a  Sen( )  5  Sen(60 )  5  (
1
 2.5
2
3
)  4.33
2
EJEMPLO 2:

Obtenga las componentes rectangulares del vector D  (4,150  ) .
SOLUCIÓN:
Lo primero que haremos en este caso es realizar un dibujo aproximado de nuestro
vector.

D
y
  30 o
  150o

x
Fig.5
En este caso, nos dan el vector escrito en su representación polar. Para hallar las
componentes tenemos varias maneras. La primera es usar las ecuaciones (4) y (5).
Haciendo esto tenemos:
Dx  D  Cos ( )  4  Cos (150 )  4 
 3
 3.46
2
1
D y  D  Sen( )  4  Sen(150 )  4  ( )  2
2
Los resultados son consistentes con el dibujo del vector, en el cual esperábamos que la
componente x del vector diese negativa, y la componente y del vector diese positiva. Sin
embargo también pudimos haber trabajado con el ángulo complementario del θ, pues el
ángulo polar es mayor a 90o. El ángulo que en este caso lo estamos llamando φ, y vale 30o.
Como φ es menor a 90o, las funciones seno y coseno evaluadas en φ dan siempre
positivas, por lo que uno puede calcular las componentes sabiendo el cuadrante en el cual
se ubica nuestro vector. En este caso, sabemos que la componente Dx es negativa, y la
componente D y es positiva.
D x   D  Cos ( )  4  Cos (30  )  4 
3
 3.46
2
1
D y  D  Sen( )  4  Sen(150  )  4  ( )  2
2
En muchos casos, trabajar con los ángulos complementarios para hallar la dirección de
un vector es muy útil, pues evitamos la ambigüedad que produce el hecho de que dos
ángulos diferentes tienen la misma tangente.
Expresión analítica de un vector usando vectores
unitarios.
Como estuvimos comentando en la sección anterior, la representación analítica de un

vector se hace utilizando sus componentes rectangulares, por ejemplo el vector a se

denota de manera analítica por a  (a x , a y ) . Ahora aprenderemos una nueva manera
para representar analíticamente nuestros vectores, utilizando vectores unitarios.
Un vector unitario es un vector cuyo módulo vale 1. Se utilizan para indicar direcciones
y sentidos de interés. A cualquier vector se le puede asociar un vector unitario que nos
indica básicamente la dirección de la línea que contiene al mismo. Los vectores unitarios
se denotan con una letra, a la cual se le coloca el símbolo “^”. La manera general de

calcular el vector unitario asociado al vector a es:

a
â   (8)
|a|

a

a

Fig. 6: Vector a y su respectivo vector unitario
En particular, vamos a definir un par de vectores unitarios que apuntan en la dirección
y sentido positivo del eje x e y. Estos vectores son respectivamente iˆ y ĵ . Consideremos

un vector a cuyo origen coincide con el origen de coordenadas del sistema cartesiano.
y

a
ay

ĵ
iˆ
ax
x

Fig. 7: Vector a y sus respectivas componentes
Lo primero que haremos será construir dos vectores, utilizando las componentes a x y
a y . El producto de la componente a x por el vector unitario iˆ , ax iˆ es un vector de
longitud | a x | y que apunta en la dirección +x en el caso que a x sea positivo, y de –x en el
caso que a x sea negativo. De manera análoga, ay ĵ es un vector de magnitud | a y | que
apunto en la dirección +y en el caso que ay sea positivo, y en el caso que ay sea negativo
apunta en –y.


Ahora bien, vamos a unir el extremo del vector a x  a x i con el origen del vector


a y  a y j , y trazamos un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el

extremo del segundo. Este vector no es más que el vector a .

a
a y ĵ

j

i
a x iˆ

Fig. 8: Vector a y sus componentes
La suma de dos vectores es una propiedad que estudiaremos en detalle más adelante.



Sin embargo, les adelanto que el vector a no es más que la suma del vector a x  a x i con



a y  a y j . Luego, otra manera de representar analíticamente el vector a es:



a  axi  a y j
(9)
EJEMPLO 3:

Dado el vector de origen A(1,2) y extremo B(3,4) . Escribir el vector AB en función de

los vectores unitarios iˆ , ĵ . Además, encuentre la dirección de v 

AB .
SOLUCIÓN:

Para hallar las componentes del vector v 

AB
utilizamos la ecuación (1), que
involucra las componentes del origen y extremo del vector.

v  (v x , v y )  ( Bx  Ax , B y  Ay )  (3  1,4  2)  (2,2)



En términos de los vectores unitarios, podemos escribir v  2i  2 j .

v
4
3
2
1
A

vx
1
2
B
vy
3
4
Fig. 9
Ahora vamos a hallar, la dirección de nuestro vector, que no es más que el ángulo que
forma el vector con la dirección del semieje +x, medido en dirección anti horaria. Para ello
utilizamos la expresión (6):
tg ( ) 
vy
vx

2
 1    arctan(1)  45 
2
EJEMPLO 4:




Considere el vector a  i  3 j . Hallar la dirección del vector a así como el vector

unitario a .
SOLUCIÓN:

Las componentes del vector a son a x  1 y a y  3 . Para hallar la dirección del
vector utilizamos nuevamente la expresión (6):
tg ( ) 
ay
ax
3
 3    arctan(3)  71.57 
1

El signo menos en el ángulo, lo que significa es que la dirección de nuestro vector esta



medida en sentido horario. Al dibujar el vector a  i  3 j , vemos que se encuentra en el
segundo cuadrante del plano xy. Por lo que el ángulo que estamos buscando es el
complementario de 71.57  . El ángulo entonces es   180 o  71.57 o  108.43o .
ay
71.57

a

 1 ax
3
2 108.43
1
1
2
3
Fig.10
Ahora bien, debemos calcular el vector unitario. Para ello, lo primero que debemos

hacer es calcular | a |.

| a | a x2  a y2  (1) 2  (3) 2  1  9  10

Luego, el vector unitario a que se pide calcular es



a
i 3j
1 
3 
â  

i
j
|a|
10
10
10
Vectores en 3D
En el caso que los vectores de interés sean tridimensionales, el sistema para
representarlo es un sistema de coordenadas espaciales. Este sistema tiene tres ejes
coordenados, tiene el eje x e y que tiene el sistema de coordenadas planas, pero tiene
otro eje que se llama z. De manera análoga al caso en dos dimensiones, debemos definir
un vector unitario en la dirección del eje Z. Este vector unitario se conoce como
k .
siguiente figura ilustra cómo se representa geométricamente un vector en el espacio.
Fig.11 Vector en el espacio.
La representación matemática del vector en la figura anterior es:

‐ A  ( Ax , Ay , Az ) (10) ó

‐ A  Ax î  Ay ˆj  Az kˆ (11)
El módulo de un vector en el espacio se calcula de la siguiente manera:

| A |
Ax2  Ay2  Az2 (12)
La
OPERACIONES CON VECTORES
Como se ha dicho anteriormente, los vectores tienen una representación grafica y una
representación analítica y/o matemática dada por sus coordenadas. Por lo tanto, para
realizar las operaciones con vectores existen métodos que permiten hacerlo de manera
gráfica o de manera analítica.
Suma o Adición de Vectores
En una suma de vectores, cada vector tiene su origen en el extremo del vector
anterior. El vector suma, es un vector que tiene su origen en la punta del primer vector y
su extremo en la punta del último vector.
Métodos Gráficos
Método del triángulo: este método consiste en formar un triángulo utilizando
 
los dos vectores que se quieren sumar. Sean dos vectores a y b arbitrarios:

b

a
Fig.12
La secuencia de pasos para sumar estos dos vectores es:



Colocar el origen del vector b en el extremo del vector a

b

a
Fig.13



Unir el origen del vector a con el extremo del vector b colocando un nuevo

vector, que tiene su origen en el origen del vector a y su extremo en la cola del

 
vector b . Este vector es el vector a  b .

b

a
 
a b
Fig.14
En el caso que se quieran sumar por ejemplo tres o más vectores, la manera de
hacerlo usando esta idea es colocar el origen de cada vector en el extremo del anterior, y
luego unir, tal como se ilustra a continuación:

a

b

c

c

a

b
  
a b c
Fig.15
Método del paralelogramo: este método consiste en hallar la suma de dos vectores
 
utilizando un paralelogramo. Sean dos vectores a y b arbitrarios:

b

a
Fig.16
 
Los pasos para hallar a  b utilizando este método son:



Colocar el origen del vector a sobre el origen del vector b

a

b
Fig.17


Trazar un vector paralelo e idéntico a a (misma magnitud, dirección y sentido)

sobre el extremo del vector b

a

b

a
Fig.18


Trazar un vector paralelo e idéntico a a (misma magnitud, dirección y sentido)

sobre el extremo del vector b

b

a

b

a
Fig.19

 
El vector a  b va en la dirección de la diagonal principal del paralelogramo, y


su sentido va desde los orígenes de a y b hasta los extremos de los vectores
paralelos dibujados

a
 
ab

b

b

a
Fig.20
Método Analítico
Para sumar dos o más vectores bidimensionales (o tridimensionales), basta sumar
componente a componente. Es decir:
 
a  b  (a x  bx , a y  b y , a z  bz )  (a x  bx )iˆ  (a y  b y ) ˆj  (a z  bz )kˆ (13)
EJEMPLO:






Sean los vectores A  3i  4 j y B  2i  2 j . Hallar las componentes del vector
  
S  A B .
SOLUCIÓN:

Para hallar las componentes del vector S basta con sumar componente a
componente:
  

 

S  A  B  (3  (2))i  (4  2) j  i  6 j



Vamos a ilustrar esto en un dibujo, en el cual se dibujaran los vectores A  3i  4 j y



B  2i  2 j y los sumamos usando el método del triángulo.
6
5
4
3

B

B

S
2

A
1
 2 1




1

3
2

Fig. 21: Vectores A  3i  4 j y B  2i  2 j sumados geométricamente. Se aprecia que las



componentes del vector suma son S  i  6 j
Propiedades de la suma de vectores.

   
Propiedad conmutativa: a  b  b  a

     
Propiedad asociativa: (a  b )  c  a  (b  c )



Elemento neutro: existe un elemento neutro, que se denota por 0 , y cumple
  
a0 a

Elemento inverso: para todo vector a , existe un elemento inverso que se




denota por  a , y cumple que a  (a )  0. Geométricamente, el vector  a

es un vector que tiene la misma magnitud y dirección que el vector a , pero
sentido opuesto.

a

a


Fig. 22: Vector a y su elemento inverso  a
Para hallar la representación analítica del elemento inverso de un vector basta con
multiplicar por ‐1 todas sus componentes, es decir:

 a  ( a x )iˆ  (a y ) ˆj .
Resta o Sustracción de Vectores
 

La resta de dos vectores a  b , se puede pensar como la suma del vector a , con el


  

vector inverso a b , es decir a  b  a  (b ) . Luego, si se quiere restar dos vectores a y



b , basta con invertir el sentido del vector b , y este último se lo sumamos a a .
Método Gráfico
 
Para restar dos vectores a y b se debe:



Hallar el vector inverso a b , es decir  b . Para esto basta con invertir el

sentido de b .

b

b
Fig. 23

Luego, se puede usar el método del triangulo o del paralelogramo para sumar


a con  b , siguiendo los pasos explicados anteriormente para la suma de
vectores.

b

a
 
a b

a

b
Fig. 24
Método Analítico
 
Para hallar las componentes del vector a  b basta hallar restar las componentes de


a con las componentes de b . Es decir:
 
a  b  (a x  bx )iˆ  (a y  b y ) ˆj  (a z  bz )kˆ (14)
EJEMPLO:

  
  


Sean los vectores A  2i  j y B  3i  2 j . Halle el vector D  A  B .
SOLUCIÓN:
  
El vector D  A  B está dado por:









D  ( Ax  B x )i  ( Ay  B y ) j  (2  3)i  (1  (2)) j  i  (1  2) j  i  3 j
Producto de un vector por un escalar
El producto de un vector por un escalar se obtiene efectuando la multiplicación
entre el escalar (que lo llamaremos λ) y cada una de las componentes del vector. Es decir:

  a    a x iˆ    a y ˆj    a z  kˆ (15)

El vector   a cumple las siguientes propiedades:


Tiene magnitud |  |  | a |


Tiene la misma dirección que a



Si λ > 0, el vector   a tiene el mismo sentido que a . En caso contrario, si λ<0


el vector   a tiene sentido opuesto al sentido del vector a .
EJEMPLO:
Hallar el vector


 
C  i  2 j  k .
 

2 A  B  3C
donde




A  2i  3 j  4 k ,
  

B  i  j  2k y
SOLUCIÓN:
Este problema combina todas las operaciones con vectores que hemos estudiado por
ahora: la adición y sustracción de vectores así como el producto de un escalar por un
 

vector. La manera de operar es la siguiente: primero calculamos los vectores 2 A , B y 3C y
luego realizamos la suma algebraica que se pide. Haciendo esto tenemos:




 




2 A  2  (2i  3 j  4k )  2  2i  2  3 j  2  4k  4i  6 j  8k
  

B  i  j  2k


 




3C  3  (i  2 j  k )  3  (1)i  3  2 j  3 1kˆ  3i  6 j  3kˆ



Ahora procedemos a realizar la suma algebraica 2 A  B  3C . Así tenemos:
 





 


2 A  B  3C  (4i  6 j  8k )  (i  j  2k )  (3i  6 j  3kˆ)
 




2 A  B  3C  (4  1  (3))i  (6  1  (6)) j  (8  2  (3))k
 




2 A  B  3C  (4  1  3)i  (6  1  6) j  (8  2  3)k
 


 
2 A  B  3C  8i  j  9k
Producto Escalar
El producto escalar es una operación entre vectores que como su nombre lo indica, el

resultado de dicha operación es un escalar. El producto escalar entre un vector a y vector

 
b se denota por a  b (razón por la cual también se conoce como producto punto) y está
definido geométricamente de la siguiente manera:
 
a  b a x bx  a y  b y  a z  bz (16)
 
Donde θ es el ángulo que forman los vectores a y b . Para medir el ángulo entre dos
vectores, se debe colocar el origen de uno de los vectores sobre el origen del otro, y allí se
procede a medir el ángulo.

a

a

b


b
Fig.25
Propiedades del producto escalar

   
Conmutativa: a  b  b  a

  
   
Distributiva: a  (b  c )  a  b  a  c
También el producto escalar entre dos vectores se puede calcular a partir de sus


componentes. Sean los vectores a  a x iˆ  a y ˆj  a z kˆ y b  bx iˆ  b y ˆj  bz kˆ , el producto
escalar de estos dos vectores se define de manera analítica:
 
a  b  a x bx  a y  b y  a z  bz (17)
EJEMPLO:
Obtenga el producto escalar de los vectores que se muestran en la figura 26, sabiendo

que | a | 8 y | b | 10
y

b

a

120
60 
x
Fig.26
SOLUCIÓN:
En este caso, tenemos el módulo de ambos vectores, además podemos conocer del
dibujo el ángulo que forman ambos vectores,   120 o  60 o  60 o . Luego, el producto
escalar de ambos vectores esta dado por:

  
a  b | a |  | b | Cos ( )  8  10  Cos (60 o )  40
Otra manera de hallar este producto escalar, aunque con los datos que tenemos es
más trabajosa, es calcular las componentes de los vectores y a partir de ellas calcular el
producto punto. Hagamos esto, para verificar nuestro resultado y confiar plenamente en
cualquiera de nuestras ecuaciones. Vamos a calcular las componentes de nuestros
vectores:
a x  a  Cos ( )  8  Cos (60 o )  8 
a y  a  Sen( )  8  Sen(60 o )  8 
3
4 3
2
bx  b  Cos ( )  10  Cos (120o )  10 
by  b  Sen( )  10  Sen(120o )  10 
1
4
2
1
 5
2
3
5 3
2
Como los vectores están en el plano XY, las componentes a z  0 y bz  0 . Procedemos
a hallar el producto escalar:
 
a  b  a x bx  a y  b y  a z  bz  (4)(5)  (4 3 )(5 3 )  0  0  20  20  3  0  20  60  40
EJEMPLO:

 
Halle el ángulo que forman los vectores a  i  3 j y


 
b   2 i  j  3k .
SOLUCIÓN:
La manera de resolver esta problema es usando el producto escalar a partir de su
definición geométrica y de su definición analítica. La razón de esto, es que la definición
geométrica involucra el ángulo entre ambos vectores que es nuestra incógnita, y la
definición analítica toma en cuenta las componentes del vector, que las conocemos.
Tenemos entonces:
 
 
a  b  a x bx  a y  by  a z  bz y también tenemos a  b  a  b  Cos ( ) .
Podemos
igualar
ambas
expresiones
y
tenemos
entonces
a x bx  a y  b y  a z  bz  a  b  Cos ( ) . Despejamos ahora el Cos ( ) y nos queda:
Cos ( ) 
a x bx  a y  by  a z  bz
a b

 
Tenemos que hallar la magnitud de cada uno de los vectores. El vector a  i  3 j es
un vector en el plano, mientras que


 
b  2i  j  2 k
es un vector en el espacio.
a  a x2  a y2  (1) 2  (3) 2  1  9  10
b  bx2  by2  bz2  (2) 2  (1) 2  (2) 2  4  1  4  9  3
\
Luego, se tiene que:
Cos ( ) 
(1)  (2)  (3)  (1)  (0)  (3)  2  3
1



10  3
3 10 3 10
1
  arcCos (
)  83.95 o
3 10
Producto Vectorial
A diferencia del producto escalar, el producto vectorial es una operación entre dos

vectores que da como resultado un vector. El producto vectorial entre dos vectores a y

 
b se denota por a  b (por lo que se llama también producto cruz).
  
Definimos, el producto cruz entre dos vectores c  a  b , como un vector que es


perpendicular tanto al vector a como al vector b , cuyo módulo cumple:

 
| c || a |  | b | Sen( ) (18)
 
Donde θ es el ángulo entre los vectores a y b .
  
El sentido que tiene c  a  b esta dado por la regla de la mano derecha. Dicha regla
consiste en colocar los dedos, excepto el pulgar, en el sentido del primer vector, con el
dedo pulgar extendido hacia arriba. Luego, se procede a dirigir la punta de los dedos hacia
la dirección y sentido del segundo vector, hasta alinearlos con el mismo. El sentido de
  
c  a  b es el indicado por el dedo pulgar luego de realizar este procedimiento.



Fig.27: Ilustración de la regla de la mano derecha para hallar el sentido del vector c  a  b
Propiedades del producto vectorial

Anti conmutatividad: A diferencia del producto escalar, el producto vectorial
 
 
es anti conmutativo, es decir a  b  b  a . Esto es consecuencia
precisamente del uso de la regla de la mano derecha.


Distributiva: El producto cruz es distributivo bajo la suma, es decir
  
   
a  (b  c )  a  b  a  c . De manera análoga, también se cumple que

    
(a  b )  c  a  c  b  c .
  
  
NO es asociativo: a  (b  c )  (a  b )  c .
  
Para hallar las componentes del producto vector c  a  b , siendo los vectores


a  a x iˆ  a y ˆj  a z kˆ y b  bx iˆ  b y ˆj  bz kˆ , se procede a calcular el siguiente determinante:
iˆ
 
a  b  ax
bx
ˆj
ay
by
kˆ
az   a y bz  az by  iˆ   az bx  ax bz  ˆj   ax by  a y bx  kˆ .(19)
bz
Los vectores unitarios un sistema cartesiano cumplen lo siguiente:
iˆ  ˆj  kˆ ; ˆj  iˆ  kˆ
ˆj  kˆ  iˆ ; kˆ  ˆj  iˆ
kˆ  iˆ  ˆj ; iˆ  kˆ   ˆj
iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  0




 
 
EJEMPLO: Sean los vectores a  i  2 j  3k y b  2i  5 j  k . Calcule a) El vector
 
 
a  b . b) Utilice el vector a  b para hallar el ángulo entre los dos vectores.
SOLUCION:
 
a) Para hallar el vector a  b basta hallar
iˆ
 
a  b  ax
bx
ˆj
ay
by
kˆ
az   a y bz  az by  iˆ   az bx  ax bz  ˆj   axby  a y bx  kˆ
bz



 
a  b  ((2)(1)  (3)(5))i  ((3)(2)  (1)(1)) j  ((1)(5)  (2)(2))k



 
a  b  (2  (15))i  (6  (1)) j  (5  (4))k




 
 
a  b  (2  15)i  (6  1) j  (5  4)k  17i  7 j  k
 
 
b) Para hallar el ángulo entre los vectores a y b utilizando a  b , recordamos que el
módulo del producto vectorial cumple que:

  
| a  b || a |  | b | Sen( )
Así tenemos que:
 
 
| ab |
| a b |
    arcSen(   )
Sen( )  
| a ||b |
| a ||b |
Procedemos a calcular cada uno de los módulos
 
| a  b | (17) 2  (7) 2  (1) 2  339

| a | (1) 2  (2) 2  (3) 2  14

| b | (2) 2  (5) 2  (1) 2  30
Así tenemos que:
 
| a b |
339
  arcSen(   )    arcSen(
)  63.95 o
| a ||b |
14 10
EJERCICIOS
1.
2.
3.



1
Sean los vectores A  (5,2) , B  (3,3) y C  ( ,1) . Hallar:
2

a) A

b) Dirección de B
 
c) A  B
 
d) A  B

e) 3 A
 
f) A  B
 
g) A  B
 
 
h) A  ( B  3 A  C )


Sean los vectores a  3iˆ  2 ˆj y b  4iˆ  ˆj calcular:
  
a) El vector suma, S  a  b y su módulo.
  
b) El vector diferencia, D  a  b y el ángulo que forma con el eje OX.



c) El vector c  2a  3b y el vector unitario que define la dirección y sentido de c.
Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son: F1  5 N y
F2  7 N , que forman respectivamente los siguientes ángulos con el eje OX: 60º y 30º
respectivamente. Calcular:
a) La fuerza resultante.
b) Su módulo.
c) Ángulo que forma con el eje OX.
4.
Se tienen tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son: F1  6 N , F2  3N y
F3  4 N , que forman, respectivamente, los siguientes ángulos con el eje OX: 45º, 30º y
60º. Las tres fuerzas están en el mismo plano. Calcular el módulo de la fuerza resultante y
el coseno del ángulo que forma con el eje OX.
5.
Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de referencia el punto
O  1, 2, 0  y de extremo P  3, 1, 2  . Calcular:
a) Componentes del vector OP.
b) Módulo y cosenos directores, es decir el coseno de los ángulos que forma con
cada eje.
c) Un vector unitario en la dirección de él pero de sentido contrario.
6.
7.
 






Dados los vectores a  2i  4 j  6k y b  i  2 j  3k . Calcular:
 
a) El vector suma a  b , su módulo y cosenos directores.
 
b) El vector diferencia a  b y el vector unitario que define su dirección y sentido.
 
  
Dados los vectores a  i  j  2k y b   1,3, 4  . Calcular:
a) El producto escalar de ambos vectores.
8.
b) El ángulo que forman entre sí.
 

Dados dos vectores a  2i  j ,



 
b  3i  2 j  k y c   0, 2,1 . Calcular las
siguientes operaciones, y en caso que la operación no esté definida explique:
  
a) (a  b )  c
 

b) a  b  c


  
c) (a  b )  c producto mixto.
  
d) (a  b )  c
  
e) a  b  c doble producto vectorial.

f)

  
(a  b )  c
9.
 
Si el producto vectorial de dos vectores es a  b  3iˆ  6 ˆj  2kˆ y sus módulos son 4
y 7 , respectivamente, calcular su producto escalar.

Sea W el trabajo realizado sobre un cuerpo, por una fuerza F que genera un

 
desplazamiento D de dicho cuerpo, definido como W  F  D . Calcule el trabajo
10.
realizado por una fuerza de módulo 100 N aplicada con un ángulo de 
6
radianes
respecto de la horizontal de modo que produce un desplazamiento de 2 3 m en
dirección del eje de las abscisas.
Sol: W  300 Nm .

Suponga que el vector velocidad v de un cuerpo que describe una trayectoria
  
curvilínea durante su movimiento, está definido por la siguiente ecuación v    r ,


donde  representa el vector velocidad angular de dicho cuerpo y r es el vector de


posición móvil. Hallar la velocidad de un cuerpo si su velocidad angular es   2k y su
11.
 3
3 ˆ
vector posición es r  iˆ 
j.
8 10
12.
 3
3
Sol: v  iˆ  ˆj .
5
4
Si tenemos tres vectores perpendiculares entre sí de módulos a, b, c. Diga cuál de
las siguientes afirmaciones es cierta:
  
a) a  b  c es un vector de magnitud nula.
  
b) (a  b )  c es un escalar de magnitud nula.
  
c) a  (b  c ) es un escalar de magnitud nula.
 
1
ab
d)    es un vector de magnitud .
c
(c  a )  b
13.
Hallar la suma de los siguientes vectores mostrados en la siguiente figura (todos los
vectores tienen el mismo módulo):
a) aiˆ  ajˆ
b) aiˆ  0 ˆj
c) 0iˆ  0 ˆj
d) 0iˆ  ajˆ
Capítulo 3: CINEMÁTICA
La mecánica es la parte de la física encargada de estudiar el movimiento de los objetos y su
evolución en el tiempo, bajo la acción de una fuerza, haciendo un análisis de sus causas. Para su
estudio la mecánica se divide en tres ramas: cinemática, estática y dinámica.
La cinemática es una de las ramas de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos
sin tomar en cuenta las causas que producen dicho movimiento. La dinámica es la rama de la
mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos analizando las causas que determinan
dicho movimiento. La estática es la rama encargada de estudiar el equilibrio de los cuerpos.
Las variables que describen la cinemática son el tiempo, desplazamiento, la velocidad (como
cambia la posición a medida que cambia el tiempo) y la aceleración (como cambia velocidad
medida que cambia el tiempo) las cuales son expresadas, según el sistema internacional, en
unidades de segundos (s), metros (m), metros/segundos (m/s) y metros/segundos al cuadrado
(m/s2) respectivamente. Luego el desplazamiento, la velocidad y la aceleración son pensadas
como función del tiempo.

La posición:
r (t )

La velocidad:
v(t )

La aceleración:
a (t )
Conocidas estas variables se pueden calcular la trayectoria que seguirá el móvil, tiempo en
detenerse, velocidad, aceleración máxima y cualquier otra interrogante del movimiento en sí
del objeto.
Supongamos al objeto moviéndose en el espacio tridimensional (lo más general posible), el
cual puede ser contextualizado en un sistema de referencia cartesiano (con los vectores
unitarios i, j y k), siendo p la posición de la partícula, esta vendrá dado por el vector posición:

r (t )  x(t )i  y (t ) j  z (t )k
Fig. 3.1: Posición de la partícula en el espacio
El movimiento en una dimensión se describirá con el uso de una componente, y el
movimiento bidimensional con dos de las componentes. Ahora introduciremos una serie de
conceptos:
Velocidad Media e Instantánea
Consideremos una partícula que se mueve, describiendo la curva del dibujo. En cierto
instante de tiempo t1 la partícula esta en el punto P y un instante después, t2, en Q. el vector
desplazamiento lo definiremos como:



 r (t )  r Q (t )  r p (t )
Fig. 3.2: Vector desplazamiento de la partícula en el espacio
Luego definimos el vector velocidad media en un intervalo de tiempo como el cociente
entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente:



 r r Q (t )  r p (t )
vm 

t
tQ t P

La velocidad instantánea es aquella que se refiere a la velocidad de la partícula en un
tiempo sumamente pequeño, es decir, el intervalo de tiempo tiende a cero ( t
 0 ), luego
este vector es tangente a la trayectoria. Es un concepto que sirve para ganar generalidad.
Aceleración Media e Instantánea
El concepto de aceleración surge cuando la velocidad cambia, bien sea su módulo o
dirección (recordemos que es un vector). Cuando esto ocurre decimos que la partícula esta
acelerada.
La aceleración media de la partícula, cuando se traslada del punto P al punto Q es definida
como la razón entre la variación de velocidad en el intervalo de tiempo correspondiente:



 v v Q (t )  v P (t )
am 

t
tQ  t P

P
Q
Fig. 3.2: Aceleración media de la partícula en el espacio
La aceleración instantánea se obtiene a partir de la aceleración media de la partícula pero
en un tiempo sumamente pequeño, es decir el intervalo de tiempo tiende a cero ( t
 0 ).
Por lo tanto la aceleración instantánea es la variación de la velocidad instantánea.
EJEMPLO:
Una partícula está ubicada en la posición (6,0,‐8) en el instante t=0 s; (4,‐2,2) en el instante
t=2 s. Determine la velocidad media entre los intervalos t=0 s y t= 2 s
SOLUCIÓN:
En primer lugar, los vectores posiciones son escritos como:

r (t  0)  6i  0 j  8k  6i  8k

r (t  2)  4i  2 j  2k
Luego, la velocidad media en el intervalo de t=0 s a t=2 s.



 r r (t  2)  r (t  0) 6i  8k  (4i  2 j  2k )
vm 


t
20
2

Por lo tanto

v m  i  j  5k
Movimiento con aceleración constante
A partir del concepto de aceleración media:



 v v (t )  v 0

am 
t
t  t0


Llamando a
v (t )

al vector velocidad en el instante al tiempo t arbitrario y
v
0
al vector
velocidad en el instante inicial del movimiento. Podemos conocer esta velocidad en un tiempo
cualquiera despejando de esta última expresión:



v (t )  v 0  a m t
Una de las características del movimiento con aceleración constante es el hecho que la
velocidad varía uniformemente en el tiempo. Se puede expresar la velocidad media en

cualquier intervalo como la media aritmética de la velocidad inicial
v
0
y la velocidad en el

instante t (instante final)
v (t )



vm  v0
 v (t )
2
En consecuencia, podemos igual esta última ecuación con la expresión general de velocidad
media en el intervalo específico, resultando:




v 0  v (t )  r (t )  r 0
t
2
En consecuencia,



r (t )  r

 (t )
 ( v v ).t
0
0
2
Reemplazando la expresión de la velocidad



v
r (t )  r  (

0
0

 v 0  a m t
).t
2

am
(
t
)



t

(t ) 2
r
r 0 v0
2



Y de esta forma podemos obtener como es el vector posición en función del tiempo. Existe
una tercera relación, la cual implica despejar el tiempo de la ecuación de la velocidad y sustituir
en la ecuación de la posición:

2

2


v (t )  v 0  2 a m . r
Cabe señalar que esta es una ecuación escalar. Y de esta manera queda descrito el
movimiento uniformemente acelerado (aceleración constante en el tiempo). Por lo tanto la
aceleración obedece a la siguiente gráfica en función del tiempo:
Fig. 3.4: Gráfica de la aceleración versus el tiempo para un movimiento rectilíneo uniformemente variado.
Fig.3.5: Gráfica de la velocidad versus el tiempo para un movimiento rectilíneo uniformemente variado.
x
Fig.3.6: Gráfica de la posición versus el tiempo para un movimiento rectilíneo uniformemente variado.
Esto es lo que se conoce como movimiento uniformemente acelerado o variado (MUA).
Por otra parte, en base de lo anteriormente escrito, podemos analizar un caso
particular, aquel movimiento sin aceleración:
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante (no cambia en el
tiempo), por tanto, la aceleración es cero. En una dimensión (para simplificar la notación).
Obedece a la siguiente ecuación.
x  x0  v  t  t0 
v  v0 = constante
a0
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del
movimiento uniforme resultan:
Fig. 3.3: Posición y velocidad en el movimiento rectilíneo uniforme
Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante (no cambia en el
tiempo), por tanto, la aceleración es cero. En una dimensión (para simplificar la notación).
Obedece a la siguiente ecuación.
Movimiento en caída libre
Los cuerpos en caída libre, no son más que un caso particular del movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado, con la característica de que la aceleración es debida a la acción de la
gravedad, despreciando la resistencia que el aire pueda ofrecerle, la cual puede afectar
significativamente el movimiento del objeto y el tiempo que tarda en descender una longitud.
Por ejemplo, se puede experimentar con una hoja de papel y una libreta. Se observa que la
hoja de papel cae más despacio y con un movimiento irregular, mientras que la caída de la
libreta es vertical y es la primera en llegar al suelo. Ahora se hace una bolita con la hoja de
papel y dejémosla caer en forma simultánea con la libreta, y aquí, el resultado será que ambos
cuerpos caen verticalmente y al mismo tiempo, porque al comprimir la hoja de papel casi se ha
eliminado el efecto producido por la resistencia del aire (Este experimento se puede reproducir
fácilmente).
Cuando en un tubo al vacio se dejan caer simultáneamente una pluma de ave, una piedra y
una moneda, su caída será vertical y al mismo tiempo, independientemente de su tamaño y
peso, por lo que su movimiento es en caída libre. En conclusión, “todos los cuerpos, ya sean
grandes o pequeños, en ausencia de fricción, caen a la tierra con la misma aceleración”.
La aceleración de la gravedad siempre está dirigida hacia abajo y se acostumbra
representarla con la letra g, y para fines prácticos se les da un valor de, g = 9.8 m/s2 (Sistema
Internacional), por cuestiones de mera practicidad, g = 10 m/s2. Siendo “y” el eje vertical
positivo hacia arriba, vectorialmente esto se representa como:

a  g ( j )
Fig. 3.4: Movimiento en caída libre
Para la resolución de problemas de caída libre se utilizan las mismas ecuaciones del
movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, pero se acostumbra a cambiar la letra a de
aceleración por g, que representa la aceleración de la gravedad, por lo que dichas ecuaciones se
ven en la siguientes tablas. Las ecuaciones son las siguientes:



v (t )  v 0  a m t  v y (t )  v 0 y  g t




r (t )  r  v t 
0

2
0
2

am
g
(t ) 2  y (t )  y0  v 0 t  (t ) 2
2
2

2

v (t )  v  2 a . r  v (t )  v
0
m
y
2
0y
 2 g .( y  y0 )
EJEMPLO:
Un objeto se deja caer desde un edificio y tarda en llegar al suelo 4 s. Calcula la altura “h”
del edificio.
SOLUCIÓN:
Datos:
Formula:
VO = 0
h  vot 
Sustitución:
gt 2
2
h
(9.8m / s 2)(4s )2
2
t=4s
g = 9.8 m/s2
h = 78.4 m
h =?
EJEMPLO:
Un niño deja caer una pelota desde una ventana que está a 60 m de altura sobre el suelo.
¿Que tiempo tardará en caer?
SOLUCIÓN:
v0  0
h  60m
t ?
gt 2
h  v0 t 
2
gt 2
h
2
t  2h / g
t  2.(60m) / 9.8m/ s2
t  3.49s
Movimiento Parabólico
Este movimiento se trata en dos dimensiones, y en su análisis se hacen tres suposiciones
que son fundamentales:

La aceleración es debida a la gravedad, la cual es constante y apunta hacia abajo, por lo
tanto queda expresada vectorialmente (en un sistema de referencia convencional)
como:


a  a x (i )  a y ( j )  a  g ( j )

El efecto de la resistencia del aire es despreciable.

La rotación de la tierra no afecta el movimiento
Por otra parte, se puede comprobar a través de experimentos los siguientes hechos:

La trayectoria del proyectil es una parábola

El movimiento en el eje Y corresponde a un movimiento en caída libre, con la
aceleración producto de la gravedad. El movimiento en el eje X es un movimiento
rectilíneo uniforme.
Fig. 3.4: Movimiento Parabólico.
El vector posición es de la forma:

r (t )  x(t )i  y (t ) j
Al ser el movimiento rectilíneo uniforme en la dirección horizontal y uniformemente
acelerado en la dirección vertical (producto de la gravedad), resulta que:
x(t )  x0  vox t
1
y (t )  y0  voy t  gt 2
2
Por lo tanto

1
r (t )  ( x0  vox t )i  ( y0  voy t  gt 2 ) j
2
´
Que en forma compacta



1
r (t )  r0  v0 t  a t 2
2

r0  x 0 (i )  y0 ( j )
Siendo la posición inicial

v0 v 0 x (i)  v0 y ( j )
La velocidad inicial

a  g ( j )
Y la aceleración
En cuanto la velocidad de la partícula, y conociendo que el movimiento es rectilíneo
uniforme en la dirección horizontal y uniformemente acelerado en la dirección vertical, este
vector queda escrito:

v (t )  v
x
(t )i  v y (t ) j
v x (t )  v0 x
v y (t )  v 0 y  gt

v (t )  v
0x
(i )  (v0 y  gt )( j )
Y de esta forma conociendo la posición, velocidad y aceleración queda descrito este
movimiento. También podemos conocer el desplazamiento (magnitud del vector posición)

d  r (t )  x 2  y 2
Y su dirección es:
tg 
y
x
De forma similar se pueden encontrar la magnitud del vector velocidad (conocido como
rapidez) así como la dirección de este vector.
Movimiento Circular
Una partícula rotando entorno a un punto fijo con un radio constante diremos que
efectúa un movimiento circular. Para caracterizar este movimiento, es necesario, conocer el
vector posición del móvil, este se puede apreciar en la figura y usando un poco de
trigonometría escribir la expresión vectorial.
y
x
Fig. 3.5: vector posición en un movimiento circular
Las este movimiento viene descrito por el radio R (fijo y constante en el tiempo), y el
ángulo θ (variable en el tiempo θ= θ(t)). El vector posición:


r (t )  x(t )i  y (t ) j  r (t )  R cos( (t ))i  Rsen( (t )) j
La rapidez de la partícula, sabemos que viene dada por la expresión:


v
r
t
Ahora bien, con un corto análisis podemos reescribir convenientemente esta expresión.
Fig. 3.6: vector posición en un movimiento circular
Sea
s la distancia recorrida por el móvil sobre la trayectoria circular (conocida como el

arco de la circunferencia) desde
r1

hasta
r2 , resulta que estos dos últimos vectores tienen el

mismo módulo, y es precisamente el radio de la circunferencia
El arco de la circunferencia viene dado por:
s  R.

r1  r2  R
Cuando
t

es muy pequeño resulta que,
s   r

entonces
 r  R. , por lo
tanto la velocidad será:


v
La expresión,

t
r
t

v
R.
t
es la variación angular en el intervalo de tiempo considerado y se

define como el módulo del vector velocidad angular,

.
Luego:

v  R
La velocidad angular, es un vector que tiene su punto de aplicación en el eje de rotación
del sistema de partículas que constituyen en cuerpo, su sentido es el mismo sentido que el
movimiento del cuerpo. Lo anteriormente descrito se simboliza con el producto vectorial
(capitulo de vectores):



v   r
La otra cantidad por analizar es la aceleración en el movimiento circular uniforme. En un
M.C.U (movimiento circular uniforme), el cuerpo que gira describe arcos de circunferencia
iguales en tiempos iguales. Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de un carrusel de un
parque de diversiones.
Cuando un objeto gira manteniendo su distancia a un punto fijo, llamado centro de giro,
de manera que su rapidez lineal es constante, diremos que tiene un movimiento circunferencial
uniforme. En el M.C.U el módulo de la velocidad no cambia (por ser uniforme), pero si la
dirección (por ser curvilíneo). La velocidad es un vector tangente a la trayectoria circular, por lo
que es perpendicular al radio. La aceleración en general tiene dos componentes, una radial
(centrípeta) y otra tangencial:



a  ac  at
Fig. 3.7: velocidad y aceleración en un movimiento circular
En el movimiento circular uniforme, la aceleración tangencial es cero, mientras que la
aceleración centrípeta viene dada por:
 v v2
ac 
  2R
t R
Otros conceptos y relaciones importantes en cinemática del movimiento circular son:
El período es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta o revolución completa con
el MCU designándolo por T:
Período (T) = Tiempo empleado
Número de vueltas
Como una vuelta completa corresponde a 2π radianes, y el cuerpo la describe en un
período T, Δθ = 2π rad, Δt = T:
ω = 2π
T
La frecuencia, es el número de revoluciones que da el cuerpo en una unidad de tiempo,
se nombra con la letra ƒ y, como sabemos, la frecuencia y el período de un movimiento están
relacionados. Para relacionar ƒ y T, basta observar que estas magnitudes son inversamente
proporcionales y, así podemos establecer que si en el tiempo T (un período) se efectúa una
vuelta, en la unidad de tiempo se efectuaran ƒ vueltas (frecuencia):
ƒ= 1
T
o,
ƒ = Número de revoluciones
Tiempo empleado
Sus unidades son, vueltas/segundo (hertz = Hz), revoluciones por minuto (r.p.m.),
revoluciones por segundo (r.p.s.). Sin embargo, en el SI la frecuencia se expresa en Hertz (Hz),
que corresponde a una revolución por segundo.
EJERCICIOS
1.
Un móvil A inicia su movimiento con una rapidez constante de 10 m/s y 4 s después sale
del mismo punto y en el mismo sentido un móvil B con rapidez constante 15 m/s. ¿A qué
distancia del punto de partida alcanza el móvil B al A y qué tiempo tarda en alcanzarlo?
2.
Una recta paralela al eje de los tiempos en una gráfica X vs. t de un M.R.U. significa que
el móvil:
a) Tiene rapidez constante.
b) Tiene aceleración constante.
c) Está detenido.
d) Recorre distancias iguales en tiempos desiguales.
e) Ninguna de las anteriores.
3.
La aguja del velocímetro de un automóvil nos mide:
a) La rapidez del móvil.
b) La velocidad del móvil.
c) El desplazamiento realizado del móvil.
d) El tiempo de movimiento del móvil.
e) Ninguna de las anteriores.
4.
Cuando decimos que el móvil tiene una rapidez de 150 m/s significa que el recorre:
a) 150 m en 150 s
b) 150 m en 1 s
c) 15 m en 10 s
d) 1 m en 150 s
e) Ninguna de las anteriores.
5.
En una gráfica X vs. t del M.R.U. el valor de la pendiente de la recta representa:
a) La distancia recorrida por una partícula.
b) El tiempo de movimiento de una partícula.
c) La rapidez que tiene una partícula.
d) La distancia y el tiempo.
e) Ninguna de las anteriores.
6.
El cambio neto de posición experimentado por un cuerpo al pasar de un punto a otro se
le llama:
a) Movimiento.
b) Rapidez.
c) Desplazamiento.
d) Distancia recorrida.
e) Ninguna de las anteriores.
7.
La rapidez es una magnitud:
a) Escalar
b) Vectorial
c) Escalar ‐ Vectorial
d) Fundamental
e) Ninguna de las anteriores.
8.
Jesús está trotando a una velocidad constante de 4 km/h y está a un kilómetro por
detrás de María, quien corre a una velocidad constante de 3 km/h en la misma dirección que
Jesús. ¿Al cabo de cuánto tiempo alcanzará Jesús a María?
9.
a)
¼ hora.
b)
½ hora.
c)
¾ hora.
d)
1 hora.
e)
1 hora y media.
Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con un velocidad de 29.4 m/s2.
Calcular:
a) ¿Qué altura habrá subido al primer segundo?
b) ¿Qué velocidad llevará al primer segundo?
c) ¿Qué altura máxima alcanzará?
d) ¿Qué tiempo tardará en subir?
10.
Un balón de fútbol se deja caer desde una ventana, tarda en llegar al suelo 5s calcular.
a) desde que altura cayó.
b) ¿con que velocidad cae al suelo?
11.
Una piedra lanzada hacia arriba tarda 2.8 seg en el aire antes de chocar contra el piso a)
¿Hasta que altura subió? b) ¿Con qué velocidad llega al piso?
9-604
1.45
1.45
2.8 seg.
12.
De la azotea de un edificio se deja caer un objeto y tarda 3.1 seg. en chocar contra el
piso. a) ¿Qué altura tiene el edificio? b) ¿Con que velocidad choca contra el piso?
Capítulo 4: DINÁMICA
Así como la cinemática se encarga de la descripción del movimiento de los cuerpos, aunque
sin entrar en detalles de la causa que origina estos, la dinámica estudia precisamente por qué
se mueven los cuerpos, es decir, cuáles son las causas que crean la variación de su estado de
movimiento.
Interacciones Fundamentales
Resulta pertinente mencionar que en la naturaleza existen una gran variedad de
interacciones (forma de comunicación entre los componentes de un sistema), sin embargo ellas
pueden explicarse usando cuatro tipos de interacciones fundamentales, la diferencia entre ellas
reside en las cuatro propiedades intrínsecas (propias) que caracterizan a los componentes más
elementales de la materia: carga eléctrica, carga débil o “sabor”, carga fuerte o “color” y masa‐
energía y cada una es responsable de las interacciones electromagnéticas, nuclear débil,
nuclear fuerte y gravitacional, respectivamente.
La Interacción Gravitacional, se manifiesta como atracción mutua entre entes que poseen
masa‐energía. Es responsable de la caída de objetos en el campo gravitacional terrestre,
trayectoria parabólica de proyectiles, mantiene la órbita de los planetas entorno al sol, de todo
el sistema solar alrededor de la galaxia, y tiene un rango infinito de acción en cuanto a la
distancia de los entes que están interactuando.
La Interacción Electromagnética, se manifiesta como atracción o repulsión mutua entre
entes que poseen carga eléctrica, que puede ser positiva o negativa. Esta interacción va desde
nivel microscópico (mantiene unido a los electrones del núcleo de un átomo, a los átomos
unidos a las moléculas, etc.) hasta los rayos y relámpagos, y al igual que el caso gravitacional
tiene un rango infinito de acción en cuanto a la distancia de los entes que están interactuando.
La Interacción Fuerte es la responsable de la existencia del núcleo atómico, se manifiesta
solo en partículas elementales. Ella entra en acción en la interacción de quarks (partículas
elementales que componen a los protones y neutrones) y estos interactúan entre sí a través de
una propiedad intrínseca llamada color (no confundir con lo que conocemos comúnmente
como color) tiene un rango de acción del orden de 10‐15 m, en cuanto a la distancia de los entes
que están interactuando.
La Interacción Débil es la responsable de la radioactividad tipo β de algunos elementos
químicos y otros efectos, y se manifiesta solo en partículas elementales. Ella entra en acción en
la interacción de quarks (partículas elementales que componen a los protones y neutrones) y
estos interactúan entre sí a través de una propiedad intrínseca llamada sabor (no confundir con
lo que conocemos comúnmente como sabor) tiene un rango de acción del orden de 10‐18 m, en
cuanto a la distancia de los entes que están interactuando.
Ahora bien, cada interacción es entre entes que poseen una propiedad intrínseca específica,
el concepto de fuerza aparece en el momento de cuantificar estas interacciones.
Como se mencionó, es la dinámica que estudia el origen del movimiento a través del
concepto de fuerza, y sería Newton quien asentaría unas bases bastante sólidas en el estudio
de esta área de la mecánica, con tres principios a partir de los cuales se explican la mayor parte
de los problemas planteados por la dinámica, en particular, aquellos relativos al movimiento.
Revolucionando los conceptos básicos de la física.
Leyes de Newton.
Primera Ley de Newton. Ley de la Inercia.
La ley de la inercia se podría enunciar como: “Todo cuerpo permanece en su estado actual
de movimiento con velocidad uniforme o de reposo a menos que sobre él actúe una fuerza
externa neta o no equilibrada”. Donde la fuerza neta sería la suma vectorial de todas las fuerzas
que puedan actuar separadamente sobre el cuerpo.




n

F neta  F 1  F 2  ...  F n   F i
i 1
n
El símbolo

se llama sumatoria, se utiliza para simplificar la notación, en este caso es la
i 1
sumatoria desde la fuerza i=1 hasta n-sima fuerza.
La ley de inercia es la razón por la cual es tan peligroso para los astronautas en el espacio
separarse de la nave sin un cordón que los una a ella, ya que si chocan con algo y salen
impulsados, como la fuerza neta es casi nula sobre ellos, seguirán desplazándose
uniformemente y separándose de la nave sin posibilidad de volver a ella (a no ser que tengan
un pequeño impulsor).
Otro ejemplo, de la primera ley, es cuando una persona se lanza en paracaídas. Inicialmente
la persona se mueve aceleradamente por la acción de la gravedad (muy similar a la caída libre).
La fuerza de roce del aire que se opone a su caída, va incrementándose a medida que aumenta
la velocidad. Llegará un momento en la que la fuerza de roce contrarresta la acción del peso, y
el paracaídas viaja a velocidad constante. De allí en adelante, si no varían estas condiciones,
como la fuerza neta es cero, el paracaídas continuara con una velocidad constante,
obedeciendo la ley de inercia. Finalmente, la persona llegará al suelo y se detendrá.


Fr
P
Fig. 4.1: Caída en paracaídas, primera ley de Newton
Segunda Ley de Newton.
Esta ley es la más importante, en cuanto nos permite establecer una relación algebraica,
numérica entre el concepto de fuerza y aceleración. Se podría enunciar como: “La aceleración
que toma un cuerpo es proporcional a la fuerza neta externa que se le aplica”. La constante de
proporcionalidad es la masa del cuerpo, por lo cual:




n

F neta  F 1  F 2  ...  F n   F i
i 1


F neta  m a


Esta expresión nos relaciona F , m y a de una forma unívoca. Básicamente nos dice
que el resultado que producen una serie de fuerzas sobre un cuerpo, es que dicho cuerpo se
acelere en la misma dirección y sentido que la suma de las fuerzas (conocida como fuerza neta)
que le son aplicadas y con una intensidad o módulo que será la misma que la resultante de las
fuerzas dividida entre la masa del cuerpo.
Así pues un cuerpo experimenta una aceleración mientras está siendo sometido a una
fuerza resultante no nula. Si dicha fuerza cesa el cuerpo adquiriría un movimiento rectilíneo
uniforme o se quedaría en reposo, según el caso.
La fuerza es una cantidad que se mide, según el sistema internacional, en Newton (N).
Por ejemplo, cuando un cohete está sobre en la plataforma de lanzamiento, su peso es
exactamente opuesto a la fuerza que ejerce la plataforma de lanzamiento sobre el (esta fuerza
se conoce como normal). Estas fuerzas diametralmente opuestas dan como resultado una
fuerza externa neta de cero. Dado que el cohete está inicialmente en reposo y no existe
ninguna fuerza externa neta, se mantendrá en reposo. Una vez que el motor del cohete se
enciende, la fuerza externa ya no es equilibrada y el cohete comienza a moverse. En este caso,
la fuerza externa genera un empuje sobre el cohete que lo acelera. También se puede observar
la tercera ley de newton aplicada sobre este ejemplo, esta será explicada en el próximo
apartado.
Fig. 4.2: Despegue de un cohete
EJEMPLO:
Un automóvil cuya masa es 1500 Kg va desplazándose a 20 m/s. El conductor frena
uniformemente (aceleración constante), logrando detener el automóvil, al cabo de 5 s.
a)
¿Cuál fuerza fue requerida para lograr esto?
b)
¿Qué ejerció esta fuerza sobre el automóvil?
Solución:
Son datos:
m  1500kg
vi  20m / s
Se quiere determinar
algebraicamente y el origen de
esta fuerza
t  5s

F ?

Sabemos que la fuerza viene dada por la expresión

F  m a , luego debemos conseguir
la aceleración que experimento el carro, esto se hará utilizando una expresión de cinemática y
valiéndonos que la velocidad final
v f  0 y que el movimiento es una dimensión.



v f (t )  v i  a t  a 
v f  vi (0  20)m / s

t
5s
a  4m / s 2
EL signo negativo indica que efectivamente el automóvil está desacelerando “frenando”.

Luego la fuerza

F  m a  F  (1500kg )(4m / s 2 )
F  6000 N
En este caso, el menos indica que la fuerza fue aplicada fue efectivamente contrario al
movimiento.
Cuando el conductor frena, los cauchos ejercen una fuerza de fricción hacia adelante sobre
el pavimento. El pavimento a su vez, ejerce una igual y opuesta sobre los cauchos, dirigida hacia
atrás (lo que se conoce como tercera ley de Newton). Esta fuerza ejercida por el pavimento
sobre el automóvil, opuesta a la dirección de su movimiento, es la causa de la aceleración
negativa. Si no hubiese existido la fricción (cauchos o pavimentos lisos) hubiese sido imposible
detener el automóvil.
Tercera ley de Newton.
La tercera ley de Newton expresa una interesante propiedad de las fuerzas: éstas siempre
se van a presentar en parejas. Se puede enunciar como: “Si un cuerpo A ejerce, por la causa que
sea, una fuerza F sobre otro B, este otro cuerpo B ejercerá sobre A una fuerza igual en módulo y
dirección, pero de sentido contrario”. Visto prácticamente, “toda acción tiene una reacción”.
En el ejemplo a continuación, la niña de la patineta (A) ejerce una fuerza sobre el niño de la
patineta (B), que en principio se encuentra en reposo. Esta fuerza ejercida por la niña (acción)
origina una fuerza de igual magnitud y dirección pero de sentido opuesto lo que origina una
aceleración y con ello el movimiento de A y B en direcciones opuestas (debido a las fuerzas
aplicadas sobre ellos).
Fig. 4.2: Acción‐Reacción, tercera ley de Newton
Gracias a esta ley se pueden entender fenómenos como que, para saltar hacia arriba
¡empujamos la Tierra con todas nuestras fuerzas hacia abajo!. Al hacer esto la Tierra también
ejerce esta misma fuerza sobre nosotros, pero con sentido contrario (es decir, hacia arriba) y
como la masa de la Tierra es enorme en comparación con la nuestra, el resultado es que
nosotros salimos despedidos hacia arriba pero la Tierra no se mueve apreciablemente.
Entonces, si a toda fuerza que se ejerce se opone otra de sentido contrario ¿no deberían
anularse las fuerzas y nada se podría mover?. Pues no es así, porque las fuerzas se ejercen en
cuerpos diferentes. Así en el ejemplo del salto, nosotros empujamos a la Tierra y la Tierra a
nosotros, pero estas fuerzas no se anulan porque, como es evidente, nosotros y la Tierra somos
cuerpos distintos.
Tipos de Fuerzas
En el desarrollo de problemas físicos se presentan comúnmente ciertas fuerzas de acción y
reacción de gran interés, que son el producto de las interacciones entre elementos de un
sistema, algunas de ellas son:

La Fuerza Normal N
Por normal se entiende la fuerza con la que una superficie se opone a un cuerpo que se le
sitúa encima, o simplemente está en contacto con tal superficie. Si no existiera esta fuerza el
cuerpo se ''hundiría'' en la superficie. Ésta es, por tanto, la fuerza de reacción que, obediente al
tercer principio de Newton, la superficie opone al empuje que el cuerpo, por encontrarse
encima, hace sobre ella. Por lo tanto es igual en modulo y dirección que el peso pero sentido
opuesto.
Esta fuerza es siempre normal a la superficie, es decir, perpendicular a ésta. Para calcular su
valor hay que ser bastante cuidadoso y hacer un balance de las fuerzas en los ejes que
tomemos como referencia, utilizando la normal para compensar las otras fuerzas de la forma
en que sea necesario. Esta es una fuerza de contacto y junto al roce, la suma de estos dos
vectores, se conoce como reacción con la superficie
EJEMPLO:
Calcule la fuerza Normal que una mesa ejerce sobre un cuerpo de masa 10 kg. Suponiendo
que el cuerpo está en reposo sobre la mesa.

N

P
SOLUCION:
Si el cuerpo está en reposo significa que su aceleración total es nula. Entonces aplicando la
segunda ley de Newton a un eje vertical tendremos que



F  ma  0
N P0
Donde hemos supuesto que la mesa está perfectamente horizontal y por tanto la normal
tendrá sólo una componente en el eje Y. Así despejando se tiene que N  P , siendo P el peso
del cuerpo, por consiguiente:
N  mg

Las Fuerzas de Fricción (Roce) F
r
Son fuerzas macroscópicas que se manifiestan cuando dos objetos entran en contacto
ejerciendo fuerzas entre sí, pero a diferencia de las elásticas, las fuerzas que se ejercen en la
superficie son paralelas a la superficie de contacto, es decir, los objetos se rozan.
Microscópicamente lo que ocurre, es que las moléculas de la superficie de ambos objetos
interactúan electromagnéticamente entre sí, tratando de formar enlaces tratando de pegarse,
cuando uno de estos objetos se mueva con respecto al otro, paralelamente a la superficie de
contacto, tendrá que vencer o romper estos enlaces instantáneos que se han formado entre las
dos superficies de contacto, es decir, surge la fuerza de fricción o roce.
La magnitud de las fuerzas de fricción dependerá de los materiales o estructura molecular
de las dos superficies en contacto, de la textura de la superficie, de cuan en contacto estén
(compresión entre ellas), y si además hay movimiento de una superficie sobre la otra, en
general también dependerá de la velocidad relativa entre ellas. Por ejemplo, para todos es
conocido que suelas de goma contra concreto producen más roce que suelas de cuero contra el
mismo concreto.
Se distinguen dos tipos de fuerzas de fricción: La fricción estática y la fricción cinética.
Supongamos que tratamos de empujar un bloque pesado que descansa sobre una superficie
horizontal. Si aplicamos una pequeña fuerza, y observamos que el bloque no se mueve, es
porque debe existir otra fuerza, que llamamos de fricción estática

E
Fr
, la cual equilibra a la
fuerza aplicada, impidiendo el movimiento.
Si empujamos con una fuerza mayor que la anterior sin lograr que se mueva el objeto, es
porque también incrementado la fuerza equilibrante de fricción estática. Si se continúa
aumentando la fuerza aplicada, llegará un momento que el bloque empezará a moverse.
Cuando el bloque está a punto de deslizarse, la fuerza de fricción estática alcanza su valor
máximo,

E
Fr (max)
Una vez que el objeto está en movimiento, se observa que es más fácil mantener en

movimiento, es decir, la fuerza de roce retardatriz se hace menor que
Fr E(max) . En este caso la

fuerza de roce retardatriz se le conoce como fuerza de roce cinética
FrC .
Como resultado de muchos experimentos se ha determinado que las magnitudes de la

fuerza de fricción estática
Fr E

y cinética

FrC
son proporcionales a la fuerza normal
N
que
actúa sobre el bloque. La constante de proporcionalidad se le denomina coeficiente de fricción
estática
E
o coeficiente de fricción cinético
 C , según sea el caso.
Así, la fuerza de fricción estática es siempre menor igual al producto del coeficiente de
fricción estática
E

por la magnitud de la fuerza normal

E
N:

Fr   E N
Y la fuerza de fricción cinética es igual al producto del coeficiente de fricción cinético

 C por la magnitud de la fuerza normal N :

C

Fr   C N
El comportamiento de la fuerza de fricción, en los dos regímenes, estático y cinética puede
ser plasmada en una grafica que permita ver la evolución de la fuerza de fricción, en términos
de la fuerza aplicada sobre el objeto en estudio:
Fig. 4.3: Fuerza de fricción vs. Fuerza aplicada
EJEMPLO:
Considérese un cuerpo de 4 kg. que se está deslizando por una superficie plana y horizontal
con coeficiente de rozamiento (dinámico)   0, 25 . Si sobre este cuerpo no actúan más fuerzas
que el peso y dicha fuerza de rozamiento ¿con qué aceleración se mueve el cuerpo?
SOLUCIÓN:
Aplicando la ecuación de Newton al eje Y del movimiento obtenemos que, en este eje, las
fuerzas que aparecen son el peso y la normal y, por tanto:


F

ma
 y
y  N  P  ma y
Como a y  0 (un cuerpo sobre una superficie no va ''rebotando'' sobre ella, su altura,
medida sobre la superficie, es siempre cero) tendremos que N  mg . Aplicando ahora
F
x
 max tenemos que la única fuerza en el eje X es la de roce, y por tanto:
Fx  Fr    N  max
Sustituyendo el valor de la normal se obtiene: ax    g , de donde ax  2,5 m
s2
. El signo
negativo se debe a que, como estamos suponiendo implícitamente que el cuerpo avanza hacia
el signo positivo del eje X, el rozamiento se opondrá al avance y tendrá, por lo tanto, signo
negativo.

La Fuerza de Tensión T
Llamamos tensión a la fuerza que ejerce un segmento de cuerda sobre el segmento
adyacente, y por lo tanto, es la fuerza que ejerce un extremo de la cuerda sobre el objeto al
cual se encuentra unida. Cuando no existen fuerzas tangenciales sobre una cuerda liviana (por
practicidad se suele despreciar el peso de la cuerda) la tensión en cada extremo de una misma
cuerda es siempre igual (magnitud constante). Si esta tensión supera un cierto valor crítico la
cuerda se rompería.
Fig. 4.3: Tensión

La Fuerza Elástica F :
E
Se entiende por elasticidad a la propiedad que poseen los cuerpos de recuperar su forma
original una vez deformados por el efecto de una fuerza externa. A las fuerzas de restauración,
originadas en la parte interna del material, que tienden a regresar el cuerpo a su posición
original y que están aplicadas sobre el cuerpo que origina la deformación se llaman fuerzas
elásticas.
Experimentalmente se ha demostrado que la magnitud de la fuerza elástica, en general,
depende de la deformación y de la estructura molecular del material. Su dirección sería aquella
que permitiría al material volver a su condición de no deformación.
Esta fuerza puede ser calculada a través de la ley de Hooke, que en una dimensión, viene
dada por:


FE  k x
Donde k es la constante de elasticidad del resorte y
x
es la deformación o
desplazamiento medido desde el punto inicial.
Fig. 4.4: Ley de Hooke
Con un sistema de referencia convencional ubicado en el punto O podemos escribir una
expresión para la fuerza sabiendo que:
x  xa  x0
Sí
xo  0
xa  x
Y como la fuerza apunta hacia la izquierda (dirección negativa del eje x en un sistema de
referencia. Por lo tanto:


FE  kx(i )  FE  kx(i )
Resolución de problemas
Diagrama de Cuerpo Libre
Un diagrama de cuerpo libre no es más que una representación a través de vectores de
todas y cada una de las fuerzas que actúan sobre un determinado cuerpo, escogiendo un
sistema de referencia adecuado, aquel que es cónsono con la aceleración que está
experimentando el cuerpo.
Planos Inclinados
Es común en los problemas la presencia de planos inclinados. En estos casos habrá que
tener en cuenta que, así como la gravedad siempre se presenta de forma vertical y hacia abajo,
la normal será perpendicular al plano inclinado, por lo que ningún sistema de coordenadas
ortogonal (en el sentido convencional) tendrá exactamente comprendidas las fuerzas en acción
sobre sus ejes. Esta pequeña dificultad se acomoda de una manera simple, proyectándose las
fuerzas sobre los ejes que se utilicen como referencia fijando los ángulos adecuadamente.
Una buena elección suele ser tomar el eje Y en la normal al plano inclinado, y el eje X acorde
con su superficie de deslizamiento. De esta forma la normal estará totalmente comprendida en
el eje Y, y sólo habrá que considerar las proyecciones de la gravedad usuales; g.cosα para la
normal y g.senα la componente de la gravedad que hace desplazarse el vehículo hacia abajo en
el plano inclinado. Todo esto se puede ver en la figura 4.4
Fig. 4.4: Diagrama de cuerpo libre para un bloque ubicado en un plano inclinado.
EJEMPLO:
Considérese un cuerpo que desliza por una rampa inclinada 30° y con un coeficiente de
rozamiento   0, 2 . Calcular la aceleración con la que desciende dicho cuerpo suponiendo que
g  9,8 m
s2
. Sírvase para enfocar este problema el gráfico representado en la figura anterior
para desarrollar el problema.
SOLUCIÓN:
Primero tendremos de aplicar la ecuación de Newton


F

ma
para un sistema adecuado

de ejes. Se van a tomar como ejes unos tales que el eje X presente la misma inclinación que la
rampa (como indica la figura).
De esta forma planteando la ecuación primero para el eje Y se obtiene:
F
y
 ma y , y
como las fuerzas en el eje Y son la normal (componente positiva) y la proyección sobre este eje
Y del peso (componente negativa) tendremos que:
N  mg cos 30  ma y
Ahora hay que darse cuenta que, en el eje Y el cuerpo no se acelera porque, como en
ningún momento se despega de la superficie, siempre su posición Y es la misma y, por
consiguiente, a y  0 . Así se tiene que:
N  mg cos 30  0  N  mg cos 30
Para el eje X tenemos dos fuerzas, la proyección sobre el eje X del peso y la fuerza de
rozamiento. Así pues:
F
x
 max  mgsen30   N  max
Y haciendo las oportunas sustituciones podemos despejar ax , que es la aceleración del
cuerpo:
ax  gsen30   g cos 30  3, 2 m
s2
Cuando aparecen varios cuerpos unidos por cuerdas hay que hacer este mismo análisis para
cada cuerpo, incorporando como fuerza la tensión que ejercen las cuerdas y dándose cuenta de
que la aceleración será la misma para todos los cuerpos unidos entre sí por la cuerda, puesto
que su movimiento será solidario.
EJERCICIOS
1. Si se tienen dos cuerpos, que se pueden mover libremente, de diferentes masas y les
aplicamos la misma fuerza, entonces la mayor aceleración la tendrá:
a)
El cuerpo de menor masa.
b)
El cuerpo de mayor masa.
c)
El cuerpo que se desplace más lento.
d)
El cuerpo que no se mueva.
e)
Ninguna de las anteriores.
2. La fuerza que un plano ejerce sobre un bloque colocado sobre él, recibe el nombre de:
a)
Tensión.
b)
Normal.
c)
Roce.
d)
Peso.
e)
Ninguna de las anteriores.
3. La fuerza necesaria para mantener un cuerpo en movimiento con velocidad constante
es:
a)
Proporcional a su masa.
b)
Proporcional a su peso.
c)
Nula.
d)
Proporcional a su aceleración.
e)
Ninguna de las anteriores.
4. Las fuerzas de acción y reacción:
a)
Son aspectos parciales de una interacción.
b)
No originan movimiento.
c)
Actúan simultáneamente.
d)
Están aplicadas sobre cuerpos diferentes.
e)
Ninguna de las anteriores.
5. Sobre un cuerpo, apoyado sobre una superficie horizontal, actúan dos fuerzas: la
normal y el peso, ellas son:
a)
De igual magnitud y sentido.
b)
Perpendiculares entre sí.
c)
Actúan simultáneamente.
d)
De diferente magnitud y sentidos opuestos.
e)
Ninguna de las anteriores.
6. Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas de 12 N. y 5 N., formando entre sí un ángulo de 90°.
El módulo de la fuerza resultante que actúa sobre él es:
a)
7 N.
b)
17 N.
c)
60 N.
d)
13 N.
e)
Ninguna de las anteriores.
7. En el plano inclinado, cuando un cuerpo está apoyado sobre él, la dirección del vector
peso del cuerpo es:
a)
Perpendicular al plano inclinado.
b)
Paralelo al plano inclinado.
c)
Perpendicular al plano horizontal.
d)
De sentido opuesto a la normal.
e)
Ninguna de las anteriores.
8. La dirección de la fuerza de roce es:
a)
Perpendicular a la superficie de contacto.
b)
Paralela a la superficie de contacto.
c)
Paralela a la dirección normal.
d)
Perpendicular a la dirección del desplazamiento.
e)
Ninguna de las anteriores.
9. La ley de inercia o primera ley de Newton se cumple para:
a)
Los cuerpos en reposo únicamente.
b)
Todos los cuerpos independientemente de su estado de reposo o de
movimiento.
c)
Los cuerpos solo en movimiento
d)
Los cuerpos referidos a un sistema de coordenadas.
e)
Ninguna de las anteriores.

 
10. Si llamamos F a la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo y además F  0 , se
cumple que:
a)
La única posibilidad es que el cuerpo esté en reposo.
b)
La única posibilidad es que el cuerpo se mueva con velocidad constante.
c)
El cuerpo posee aceleración constante.
d)
El cuerpo está en reposo o se mueve a velocidad constante.
e)
Ninguna de las anteriores.
11. Si llevamos una balanza en equilibrio, con una masa m colocada en uno de los platillos
equilibrada esta con una masa patrón en el otro, al planeta Venus, podemos afirmar que:
a)
Seguirá en equilibrio ya que no se está pesando sino midiendo la relación
de masas.
b)
Modificará su posición de equilibrio, ya que la aceleración de gravedad
de Venus es diferente a la de la Tierra.
c)
Se modificará la lectura de la escala ya que la masa patrón aumenta.
d)
Se modificará la lectura de la escala, ya que la masa patrón disminuye.
e)
No se puede afirmar nada ya que nadie ha estado en Venus.
12. Si un cuerpo viaja a velocidad constante, entonces:
a)
Sobre él no actúa ninguna fuerza.
b)
Actúa una fuerza constante sobre él.
c)
La fuerza resultante que actúa es nula.
d)
Existe una fuerza variable que produce el movimiento.
e)
Ninguna de las anteriores.
13. Si la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo se incrementa un 50%, la aceleración
del cuerpo:
a)
Se incrementa en un 50 %.
b)
Se incrementa en un 100%.
c)
Se reduce en un 50%.
d)
Se reduce en un 100%.
e)
Ninguna de las anteriores.
14. Si un cuerpo se desliza sobre un plano inclinado de 30° sin rozamiento, la aceleración
del cuerpo es: (considere g  9,8 m
s2
)
a)
9,8 m
b)
4,9 m
c)
13, 2 m
d)
8, 6 m
e)
Ninguna de las anteriores.
s2
s2
.
.
s2
s2
15. Sobre un cuerpo de masa m, actúa una fuerza de 4 N, produciéndose en él una
aceleración de 2 m/s2. La fuerza que se debe ejercer sobre el mismo cuerpo para producir una
aceleración de 6 m/s2 es:
a)
2N
b)
4N
c)
6N
d)
12 N
e)
Ninguna de las anteriores.
16. Si una fuerza F, al actuar sobre un cuerpo de masa m, produce una aceleración a, la
misma fuerza al actuar sobre otro cuerpo de masa 2m, produce una aceleración:
a)
a
b)
2a
c)
4a
d)
a
e)
Ninguna de las anteriores.
2
17. En la figura se tienen dos fuerzas aplicadas
sobre un cuerpo de masa 4 Kg. El vector aceleración
del cuerpo es:
a)
8 m
b)
0,5 m
c)
0,5 m
d)
0,5 m
e)
Ninguna de las anteriores.
.
s2
s2
s2
s2
.
dirección horizontal y hacia la izquierda.
dirección horizontal y hacia la derecha.
18. Un bloque de masa m1  4 Kg . Se encuentra sobre una superficie horizontal sin
rozamiento. De este objeto se amarra una cuerda que pasa por una polea y se cuelga otro
bloque de masa m2  2 Kg . Tal como se muestra en la figura. ¿Cuál es la tensión de la cuerda?
a)
12 N.
b)
20 N.
c)
13,3 N.
d)
No se puede determinar.
e)
Ninguna de las anteriores.
Capítulo 5: TRABAJO y ENERGÍA.
La energía es un término muy utilizado en la vida cotidiana, estamos
acostumbrados a escuchar expresiones como “no malgastes energía”, “estoy agotado,
me quede sin energía”, “come para que tengas energía”, entre otros…, pero una
pregunta interesante que nos podemos hacer es ¿qué es energía? El concepto de
energía es un concepto difícil de definir, sin embargo, se pueden decir muchas cosas
sobre él. Por ahora intentaremos que puedas llegar a comprender el significado de la
palabra energía con bastante precisión sin necesidad de definirla.
En el campo de la ciencia, la energía es un concepto relativamente nuevo. En la
época de Newton, el concepto de energía se utilizaba solamente en el contexto de la
mecánica en sistemas ideales, es decir que no tuviesen roce.
Es realmente a comienzos del siglo XIX cuando se empieza a aplicar el concepto
de energía a fenómenos no mecánicos como los electromagnéticos, los térmicos y
mucho tiempo después con fenómenos ondulatorios. Para esta época, James Joule y
otros científicos construyeron modelos de conservación de energía, los cuales
explicaban la equivalencia entre energía mecánica y calor. De allí nace el principio de
la conservación de la energía, que fue un adelanto importantísimo y significativo para
la física y otras áreas de la ciencia y tecnología.
La energía es una propiedad que puede manifestarse de varias maneras. Por
ejemplo se puede hablar de la energía cinética relativa al movimiento, energía
potencial relativa a la posición, energía térmica relacionada con el movimiento de las
partículas de la materia.
La energía se va transformando como dice el principio de conservación de
energía. Por ejemplo, la energía potencial del agua en una represa se transforma en
energía mecánica al mover las turbinas. Posteriormente, esta energía cinética se
trasforma en energía eléctrica que se distribuye a diferentes lugares, y energía térmica
debido a que el sistema se calienta.
La energía también se transfiere de un sistema a otro. Por ejemplo, al calentar
agua en la cocina, se trasfiere energía en forma de calor de la hornilla hacia la olla, y
posteriormente este calor se trasfiere al agua lo que aumenta su energía térmica, y por
lo tanto se calienta. La energía desempeña un papel fundamental en el desarrollo del
mundo actual, lo que justifica el hecho de que debemos conocer con mayor precisión
de que se trata.
Trabajo
En esta sección se hará una introducción al estudio de la energía, presentando
un concepto que se llama Trabajo Mecánico. El concepto de trabajo es de gran
importancia en física al igual que el de energía, y ambos son usados con mucha
frecuencia en la vida cotidiana. Sin embargo, el uso de habitual de los estos conceptos
en la vida diaria no siempre coincide con su idea física, por lo que habrá que tratar la
intuición con cierto cuidado cuando la apliquemos a las situaciones en las que
intervienen el trabajo y la energía.
En el contexto de la vida diaria hablamos mucho de trabajo, por ejemplo “hoy
trabaje mucho en el liceo”, arreglar el carro me dio mucho “trabajo” y otras
expresiones de este estilo. Estas expresiones no tienen un significado físico preciso
pues se refieren a diferentes tipos de acciones. Por esta razón necesitamos definir el
trabajo en el contexto de la física de manera formal. En este contexto, nos referimos al
trabajo como trabajo mecánico.
En términos cualitativos el trabajo mecánico es una forma de medir la cantidad
de energía transferida al aplicar una fuerza. En física, cuando se habla de trabajo
intervienen:

1. Se ejerce una fuerza F arbitraria,
2. Algo se mueve por efecto de esa fuerza.
Sin más preámbulos vamos a definir el trabajo producido por una fuerza.

Supongamos que tenemos un cuerpo de masa m, sobre el cual actúa una fuerza F y

supongamos además que la partícula experimenta un desplazamiento r como
consecuencia de la acción de dicha fuerza. El trabajo mecánico, que lo denotaremos
con la letra W , realizado por la fuerza es:
 
W  F r
Recordando, la definición de producto escalar, podemos reescribir el trabajo

realizado por la fuerza F como:


W | F |  | r | Cos ( )
donde θ es el ángulo que forman la fuerza y el desplazamiento.

F
M

M

r
Fig. 5.1: Fuerza


F actuando sobre una masa M, y produce un desplazamiento r .
La función matemática coseno varía entre ‐1 y 1 cuando el ángulo θ varía entre
0o y 180o, haciéndose cero para el ángulo de 90o. Analizando físicamente estos valores
en la definición de trabajo tenemos que:
a) Cuando el ángulo θ=0o, la fuerza y el desplazamiento son vectores paralelos,
por lo que el coseno del ángulo que forman es 1, y el trabajo en este caso se
 
 
puede escribir como WF | F || r | Cos (0 o ) | F || r | .

F

r
M
Fig. 5.2(a): Caso en el cual la fuerza es paralela al desplazamiento
b) Cuando el ángulo θ está entre 0o y 90o, Cos( )  0 y el trabajo es positivo,
W  0 . Esto significa que la fuerza aplicada tiene una componente en la misma
dirección y sentido del desplazamiento.

F


r
M
Fig. 5.2(b):
0 o    90 o , Trabajo positivo
c) Cuando el ángulo θ vale 90o, el Cos ( )  0 y el trabajo es nulo, W  0 . La
fuerza aplicada es perpendicular al desplazamiento.

F
  90 o 
r
M
Fig. 5.2(c): 
 90 o , Trabajo Nulo.
d) Cuando el ángulo θ está entre 90o y 180o, Cos ( )  0 y el trabajo es negativo,
W  0 . Esto significa que la fuerza aplicada tiene una componente en la misma
dirección del desplazamiento pero con sentido opuesto.

F


r
M
Fig. 5.2(d):
90 o    180 o , Trabajo negativo
e) El próximo caso de interés, es el caso en el cual los vectores son antiparalelos,
es decir que forman un ángulo θ=180o. En este caso, el coseno de θ vale ‐1, y el
 
 
trabajo es WF | F || r | Cos (180o )   | F || r | .
  180o

F
Fig. 5.2(e):

r
M
90 o    180 o , Trabajo negativo
Las unidades de trabajo son el resultado de la unidad de fuerza, por unidad de
desplazamiento. En el sistema internacional de unidades, la unidad de trabajo resulta
de multiplicar Newton por metro y se denomina Joule:
1 Joule = 1 Newton x 1 metro
1 J = 1 N x 1 m.
El trabajo es una medida de la cantidad de energía transferida, por lo
cual la energía se mide en Joules. En el sistema de unidades c.g.s la unidad de trabajo
proviene de multiplicar Dinas por centímetro y se denomina ergio (erg).
EJEMPLO:
Un niño arrastra un trineo durante 100 metros. Para hacerlo tira de una cuerda
con una fuerza de 80 Newton formando un ángulo con el suelo de 30 . ¿Cuál es el
trabajo producido?
SOLUCION:
En este caso se tiene que una fuerza de magnitud 80 N permite que el trineo se
mueva 100 metros, que correspondería a la magnitud del desplazamiento. Así, para


calcular el trabajo realizado por la fuerza basta utilizar W | F |  | r | Cos ( ) , donde
  30 o . Utilizando esta fórmula se tiene que:


3
W | F |  | r | Cos ( )  80 N  100m  Cos(30 o )  80  100 
J  4000 3 J
2
EJEMPLO.
Un granjero hala un cochino de 50 Kg mediante una cuerda atada a su cuello.
Esta forma un ángulo de 37o con la horizontal. El cochino resbala por el piso horizontal
d=2 m. La fuerza de fricción es de 5 N y la fuerza aplicada por el granjero durante el
recorrido fue de 30 N. ¿Cuánto vale el trabajo realizado por cada una de las fuerzas
aplicadas sobre el cochino?
SOLUCIÓN:
Lo primero que debemos hacer es analizar las fuerzas que actúan sobre el cochino,
para ello vemos el diagrama de fuerzas de la figura. La fuerza gravitacional (peso) y la
normal son ambas perpendiculares al desplazamiento, por lo tanto no realizan trabajo.
Fig. 5.3
W peso  m  g  d  Cos (90 o )  0 , Wnormal  N  d  Cos (90 o )  0
La fuerza de fricción esta aplicada en sentido opuesto al desplazamiento, por lo
tanto el ángulo entre la fuerza de fricción y el desplazamiento es de 180o. Luego, el
trabajo que realiza la fuerza de fricción es:
W fc  f c  d  Cos (180 o )  5 N  2m  (1)  10 J
La fuerza aplicada por el granjero tiene una componente en la dirección del
desplazamiento, por lo tanto también realiza trabajo. El trabajo realizado por esta
fuerza es:
WF  F  d  Cos (37 o )  30 N  2m  (4 / 5)  48 J
También podemos hallar el trabajo neto, que no es más que la suma de los
trabajos realizados por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en estudio,
en nuestro caso el cochino.
Wneto  W peso  W N  W fc  WF  0  0  (10 J )  48 J  38 J
EJEMPLO.
Se desea halar una caja de masa M=10 Kg por una rampa de longitud 5 m,

ejerciendo sobre la misma una fuerza F de magnitud 300 N, tal como se ilustra en la
figura 5.5. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie inclinada es 0.2,
Calcule: a) El trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúa sobre la caja. b) El
trabajo neto realizado.
l  5m

F
M
  60o
Fig. 5.4. Ejemplo 3
SOLUCION:
a) Para poder hallar el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúa
sobre la caja, lo primero que debemos hacer es hallar cada fuerza, es decir
plantear el problema con un diagrama de cuerpo libre sobre la caja (fig. 5.5).


Sobre este cuerpo actúan 4 fuerzas: el peso P , la fuerza de fricción F r , la


fuerza F y la fuerza normal N .

j

i

F

N
Px  PSen60o
  60o

Fr

Py  PCos 60o

P
Fig. 5.5 Diagrama Cuerpo libre de la caja
Primero debemos aplicar la segunda ley de newton


 F  ma , para un sistema
de ejes adecuado. Se tomara un sistema de ejes de tal forma que la dirección del eje X
tenga la misma inclinación de la rampa, con el sentido positivo hacia arriba, tal como
se ilustra en el Diagrama de cuerpo libre. Así tenemos que plantear las ecuaciones para
cada eje. Para el eje Y tenemos  Fy  ma y . En el eje Y tenemos dos fuerzas, la fuerza
normal que apunta en la dirección positiva del eje, y la componente del peso Py , que
apunta en la dirección negativa. Como en el eje Y no hay movimiento a y  0 . Así
tenemos la siguiente ecuación:
N  mgCos60 o  0  N  mgCos60o  (10 Kg )  (9,8m / s 2 )  (0.5)  49 N
Sabemos ahora que la fuerza normal es de magnitud N  49 N , el peso
P  m  g  98 N y la fuerza F  300 N . Falta conocer la fuerza de fricción cinética
entre la caja y la rampa. Para ello recordamos que:
Fr   c  N  (0.2)  (49 N )  9.8 N
Ya conocemos cada una de las fuerzas que actúa sobre la cajita. Ahora,
procedemos a calcular el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan
sobre la caja.
La fuerza normal es perpendicular al desplazamiento, por lo tanto no realiza

trabajo, es decir W N  0 . La fuerza F apunta en el sentido positivo del eje x, al igual
que el desplazamiento ya que la caja sube.
 
WF  F  r  F  l  Cos (0 o )  300 N  5m 1  1500 J
La fuerza de fricción tiene la misma dirección que el desplazamiento
pero sentido opuesto, el desplazamiento apunta hacia el sentido positivo del eje x,
mientras la fuerza de fricción lo hace en el sentido negativo. Luego la fuerza de fricción
cinética y el desplazamiento son anti paralelos, por lo que forman un ángulo de 180o.
 
WFr  F r r  Fr  l  Cos (180 o )  (9.8 N )  (5m)  (1)  49 J
Falta calcular el trabajo realizado por el peso. Para ello debemos ver


cuánto vale el ángulo entre el peso P y el desplazamiento r , y en la figura a
continuación (Fig. 5.6) se puede apreciar que dicho ángulo vale 150o.

r

  60o
  60o  90  150o

P
Fig. 5.6
Luego el trabajo realizado por el peso es:
 
WP  P  r  P  l  Cos (150 o )  98 N  5m  Cos (150 o )  424.35 J
También pudimos calcular el trabajo realizado por cada componente del peso, y
luego sumarlas para obtener el trabajo realizado por el mismo. Por ejemplo la
componente del peso Py es cero pues esta componente es perpendicular al
desplazamiento, mientras que la componente Px es anti paralela al desplazamiento,
por lo que WPx   | Px | l   P  Sen(60 o )  l  (98 N ) 
3
 5m  424.35 J . Luego,
2
WP  W Px  W Py  424.35 J  0 J  424.35 J , que es lo que esperábamos que diese.
b) Ahora procedemos a calcular el trabajo neto. El trabajo neto no es más que la
suma de los trabajos realizados por cada fuerza.
W Neto  W F  W Fr  W N  W P  1500 J  49 J  424.35 J  1026.65 J
Trabajo de una fuerza variable: caso del resorte
Estudiaremos ahora el caso de un resorte que se comprime o estira. En el
capitulo anterior vimos que la fuerza ejercida por un resorte es directamente
proporcional a su deformación (Ley de Hooke), válido para deformaciones pequeñas.
F  k  x
Fig. 5.7. Sistema masa‐resorte
La fuerza ejercida por un resorte no es constante durante el desplazamiento. La
relación matemática que hemos empleado hasta ahora no es válida. Nota que para la
posición de equilibrio, la fuerza es nula mientras que para una deformación x, la fuerza
del resorte sobre el otro cuerpo es F=kx.
En el caso que se quiera hallar el trabajo realizado por una fuerza variable,
basta con calcular el área bajo la curva de una gráfica de Fuerza vs. Desplazamiento. En
el caso del resorte, vamos a construir una gráfica F vs. X de la función F=kx (modulo de
la fuerza del resorte).
Fuerza
Trabajo =área
bajo el triángulo
F  kx
x
Fig. 5.8. Fuerza elástica de un resorte en función de la elongación.
En el gráfico de la figura 5.7 el área bajo la curva corresponde al área de un
triángulo rectángulo:
base  altura
,
2
Lo que permite evaluar el trabajo realizado por la fuerza de un resorte para un
deformación x determinada desde el punto de equilibrio del resorte. Sustiyendo el
valor de la base por x, y el de la altura por F=kx, se tiene que:
W
(kx) x kx 2

2
2
EJEMPLO:
Colgamos un dinamómetro de constante k=50 N/m una mandarina, este se
estira 4 cm. ¿Qué trabajo realizó el resorte sobre la mandarina?
SOLUCION: El resorte ejerce sobre la mandarina una fuerza vertical hacia arriba, la cual
va aumentando linealmente con el estiramiento hasta un valor máximo, donde se
equilibran la fuerza del resorte con la fuerza gravitacional que actúa sobre la
mandarina. El trabajo realizado por la fuerza del resorte vale:
W
2
kx

2
(50
N
)  (4  10 2 m) 2
m
 0.04 J
2
FUERZAS CONSERVATIVAS
Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza no depende del recorrido sino
sólo de los puntos inicial y final, es decir, independientemente del itinerario seguido. Si
un cuerpo se desplaza desde un punto A hasta otro B bajo la acción de una fuerza
conservativa el trabajo realizado por dicha fuerza será el mismo independientemente
del itinerario del cuerpo.
Estas fuerzas son muy importantes porque para ellas se puede definir una
magnitud denominada energía potencial. Ejemplos de fuerzas conservativas son las
fuerzas constantes (aquellas cuyo valor es el mismo para todos los puntos del espacio)
como el peso por ejemplo y centrales (las que presentan la forma funcional).
Energía
Antes de dar un concepto de energía, retomemos un poco la discusión que
teníamos en la primera parte del capítulo. Vamos a considerar algunos ejemplos de la
vida cotidiana para empaparnos con la definición física de energía.
El agua contenida en la represa del Gurí al caer hace que se muevan unas
turbinas, lo que genera un trabajo. Entonces, decimos que el agua contenida en la
represa tiene energía.
Otro ejemplo lo podemos ver en el organismo humano. La energía contenida en
la comida nos permite caminar, hacer ejercicio, movernos y así efectuar trabajos. De
igual manera la gasolina contiene energía, ya que eso permite que el motor produzca
la fuerza que hace girar las llantas y por lo tanto mover los vehículos, efectuando un
trabajo.
Los ejemplos anteriores tienen en común el hecho de que para poder realizar
un trabajo tienen que poseer energía. Luego, en el contexto físico podemos decir que
la energía es la como la capacidad que tiene uno o varios sistemas para realizar un
trabajo. En la sección anterior, hablamos del trabajo como medida de la energía
transferida entre el sistema que ejerce la fuerza y el sistema sobre el cual se ejerce.
Por lo tanto, la energía tiene las mismas unidades que el trabajo mecánico.
La energía se puede manifestar de muchísimas maneras, por ejemplo se puede
hablar de energía eléctrica, energía solar, energía térmica, entre otras. Sin embargo,
por ahora nuestra meta es estudiar las maneras más fundamentales en las cuales la
energía se puede manifestar. Estas son:
Energía Cinética
Es la energía que tiene un objeto por desplazarse a cierta velocidad. Es decir, es
la energía de un objeto debido a su movimiento. Es un poco sorpresivo el hecho de
que un objeto por el solo hecho de moverse tenga energía, pero no tenemos más que
pensar efectivamente en el caso de un choque.
Por ejemplo, imaginemos un caso en el cual un conductor pierde el control de
su carro y se estrella contra un poste de luz. Luego, el auto queda deformado en la
zona donde colisionó, por lo que hubo un trabajo para deformarlo, y por ende el carro
entonces debe tener energía acumulada. En el caso que el auto vaya a una velocidad
muy alta se espera un daño considerable en el mismo, mientras que si va a una
velocidad baja, el daño debería ser menor. En el primer caso decimos que el carro
llevaba mucha energía por lo tanto el daño fue mayor comparándolo con el segundo
caso en el cual el daño se espera sea menor. Con esto lo que se quiere ilustrar, es que
un objeto si tiene más velocidad, tiene más energía cinética. La energía cinética la
denotaremos por E c (algunos libros la denotan por K).
La energía cinética de un cuerpo es igual a la mitad del producto de la masa del
cuerpo por su rapidez al cuadrado:
Ec 
1 2
mv
2
La energía cinética de un cuerpo depende de su velocidad y de su masa. Un
automóvil tendrá menor energía cinética cuando se desplaza despacio en una avenida
a 30 Km/h que cuando viaja en una autopista a 120 Km/h. Un automóvil tendrá mayor
energía cinética que una motocicleta cuando viajan a la misma rapidez.
EJEMPLO:
Un vehículo de 1500 Kg viaja por la carretera con una rapidez de 36 Km/h.
a)¿Cuál es su energía cinética? b) ¿Cuánto valdrá su energía cinética si su velocidad
aumenta a 72 Km/h?.
SOLUCION
a) Para trabajar en el sistema M.K.S., lo primero que tenemos que hacer es
transformar las velocidades en Km/h a m/s. Para ello realizamos lo siguiente
36
Km 1000m 1h


 10m / s
h
1Km 3600
Luego, cuando el auto viaja a 36 Km/h (10 m/s), la energía cinética vale según la
definición
Ec 
b)
m
1 2 1
mv   1500 Kg  (10 ) 2  7.5  10 4 J
s
2
2
Cuando la velocidad vale 72 Km/h (20 m/s), la energía cinética vale:
Ec 
m
1 2 1
mv  1500 Kg  (20 ) 2  3 105 J
s
2
2
Podemos comparar la energía cinética final con la energía cinética inicial, y
veremos que al aumentar la velocidad al doble, la energía aumenta en un factor de
cuatro:
ECF
3  10 5 J
4

E CI 7.5  10 4 J
Energía potencial
Una roca que se deja caer desde cierta altura, al llegar al suelo podría
penetrarlo o aplastar algún objeto en el piso. Si la altura de la cual dejamos caer la roca
es mayor, el efecto observado en el suelo será más dramático.
De la misma manera, la liga de una resortera al estirarla y luego soltarla, es
capaz de impulsar una piedra que esté a su lado, mientras más estirada esté la liga la
piedra sale con mayor velocidad, es decir adquiere mayor energía cinética.
En ambas situaciones, el objeto, ya sea la roca o la piedra, obtuvo algo como
consecuencia de haber ganado altura o de haber estirado la liga, éste algo es energía.
En general, los objetos tienen energía debido a su posición con respecto a otros
cuerpos, esta energía de posición o configuración se denomina Energía Potencial.
Nosotros estudiaremos dos tipos energía potencial: La energía potencial gravitatoria
y la energía potencial elástica.
La energía potencia la denotaremos por E p (en algunos libros se denota con la
letra U). Las fuerzas conservativas tienen asociadas una energía potencial.
Recordemos, que el trabajo no es más que una medida de la energía transferida al
mover un objeto mediante la aplicación de una fuerza. Además, el trabajo de una
fuerza conservativa depende solo de los puntos finales e iniciales de la trayectoria del

cuerpo. Supongamos que tenemos una fuerza F conservativa, y tiene asociada una

energía potencial E p . La energía que gana o pierde la partícula a causa de la fuerza F
será E p . Luego, el trabajo realizado por la fuerza, que no es más que la energía
transferida es:
WF  ( E pf  E pi )  E p
Energía potencial gravitacional
La energía potencial gravitacional es una forma de energía de posición de un
objeto debido a la presencia de otro cuerpo masivo, tal como la tierra. Esta energía
depende de la separación vertical entre ellos. A medida que un objeto esté más
separado verticalmente de ella diremos que tiene mayor energía potencial. Esto lo
podemos apreciar en la vida cotidiana. Cuando saltamos de diferentes alturas,
sabemos por experiencia que, a medida que la caída se hace desde lugares más altos,
el golpe que sentimos en la planta de nuestros pies es mayor. Esto es porque al
subirnos a una altura mayor adquirimos mayor cantidad de energía potencial
gravitacional que en el descenso se transforma en energía cinética. La fuerza
conservativa asociada a la Energía potencial gravitacional es el peso. Vamos a definir la
energía potencial gravitatoria a partir del trabajo realizado por el peso. Consideremos
un cuerpo de masa M que se mueve en la dirección vertical (eje Y).
M
movimiento
movimiento
y2
y1
y2
M
y1
(a )
(b)

Fig. 5.9 La fuerza gravitacional P realiza trabajo sobre la masa. La energía potencial gravitacional(a)
disminuye si el cuerpo baja (b) aumenta si el cuerpo sube.
Queremos calcular el trabajo realizado por el peso WP cuando el cuerpo se
mueve desde un punto a una altura y1 hasta otro punto a una altura y2 .
Consideremos el caso cuando la masa M baja (Fig. 5.8ª). El peso y el desplazamiento de
la partícula son paralelos, pues ambos apuntan hacia abajo. Luego, en ese caso el
trabajo realizado por el peso se escribe:

WP  P | r | mg  ( y1  y2 )  mgy1  mgy2
En el caso que la masa M suba, la expresión que tenemos antes también es
válida, pues en ese caso y1  y2  0 y el trabajo es negativo porque el peso y el
desplazamiento tienen direcciones opuestas.
La ecuación anterior muestra que podemos expresar el trabajo realizado por el
peso en términos de los valores de la cantidad mgy en los puntos finales e iniciales
del movimiento. Luego, definimos la energía potencial gravitacional como:
E pg  mgy
Su valor inicial es E pgi  mgy1 y su valor final es E pgf  mgy2 . Vemos que
entonces
el
trabajo
se
puede
escribir
efectivamente
de
la
manera
WF  ( E pf  E pi )  E p :
WP  mgy1  mgy 2  E pgi  E pgf  ( E pgf  E pgi )  E pg
Energía potencial elástica:
Al comprimir o estirar un resorte se aplica una fuerza externa que realiza el
trabajo sobre él. Como la fuerza va en la dirección del desplazamiento del resorte, el
trabajo que ella ejerce es positivo. Por lo cual ocurre un aumento de energía en el
resorte y una pérdida de energía en el agente externo. La energía cedida al resorte al
resorte se almacena en él, y a esta energía se le denomina energía potencial elástica.
En general, la energía potencial elástica es la energía almacenada en cualquier material
elástico que esta estirado o comprimido. Una banda de goma almacena energía
potencial elástica al estar estirada. En un resorte, esta energía potencial elástica
depende de la posición del resorte con respecto al punto de equilibrio.
La fuerza externa que actúa sobre el resorte equivale a la fuerza ejercida por el

resorte sobre el agente externo Fresorte (acción y reacción). La fuerza sobre el agente
externo satisface la ley de hooke:


Fresorte  k  x
Por el principio de acción y reacción, la fuerza del agente externo cumple




Fext   Fresorte , por lo tanto Fext  k  x .
El trabajo realizado por esta fuerza externa para desplazar el resorte desde una
posición xi hasta una posición x f es como vimos en secciones anteriores:
W
1
1 2
2
kx f  kxi
2
2
El trabajo realizado por la fuerza externa sobre el resorte es igual al cambio de
energía potencial elástica almacenada en el resorte.
W
1
1 2
2
kx f  kxi  E pe
2
2
Si consideramos el sistema mano‐resorte, tenemos que el trabajo realizado por
la fuerza elástica del resorte vale:
1
1 2
2
W  ( kx f  kxi )  E pe
2
2
Luego, la energía potencial elástica es E p 
1 2
kx , donde x es la compresión o
2
estiramiento del resorte con respecto al punto de equilibrio, x=0.
Teorema del Trabajo y la energía
Cuando actúan fuerzas sobre una partícula, la energía cinética de la misma
cambia en una cantidad igual a la suma de los trabajos realizados por cada una de las
fuerzas actuantes, es decir:
WNeto  Ecf  Eci  Ec
EJEMPLO:
Se aplica una fuerza horizontal de 100 N a un cuerpo de 2 kg que está
inicialmente en reposo, en una superficie horizontal sin fricción. ¿A qué velocidad se
moverá al cabo de 20 metros?
SOLUCIÓN:
Apliquemos el teorema del trabajo y la energía a este problema. Para ello
primero hacemos un diagrama de cuerpo libre del sistema para ver que fuerzas actúan
sobre la partícula de masa M. Recordemos que WNeto  Ecf  Eci  Ec , siendo i y f los
instantes inicial y final, respectivamente. Vemos que en este caso Eci es nula, porque
el cuerpo parte del reposo.
vo  0
M  2 Kg
d  20m

N

F
vf  ?

P
Fig. 5.10
En este caso, la fuerza normal y el peso son perpendiculares al desplazamiento
por lo que no realizan trabajo. Luego la única fuerza que realiza trabajo en este caso es

la fuerza F , la cual es paralela al desplazamiento por lo que
WF  F  d  100 N  20m  2000 J . Tendremos entonces que el trabajo neto es
W Neto  WF  W N  W P  2000 J  0 J  0 J  2000 J . Por otro lado, Eci  0 pues la
partícula parte del reposo, y la Ecf 
1 2
mv . Sustituyendo en la expresión del teorema
2
del Trabajo y la energía se tiene que:
WNeto 
1 2
mv
2
Ahora despejamos la velocidad. Así tenemos que v  2
W Neto
. Sustituyendo
m
los valores en la expresión nos queda que:
v 2
2000 J
m
 20 5
2 Kg
s
Principio de conservación de la energía
Vamos a considerar una partícula que esté sometida a varias fuerzas
conservativas (ya sea el peso, fuerza elástica o ambas) y algunas fuerzas no
conservativas. Recordemos el teorema del trabajo y la energía:
WNeto  Ecf  Eci  Ec
Ya que la partícula está sometida a varias fuerzas, algunas conservativas y otras
no conservativas, el trabajo neto no es más que la suma del trabajo realizado por las
fuerzas conservativas y el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas, es decir
Wneto  WFC  WFNC . Sustituyendo esta expresión en la ecuación del teorema del trabajo
y energía tenemos:
WFC  WFNC  E cf  E ci  E c
Ahora bien, recordemos que el trabajo realizado por una fuerza conservativa lo
podemos expresar en términos de la variación de energía potencial WFC  E p .
Reemplazando esto en la expresión anterior tenemos que:
 E P  WFNC  E c
Ahora bien, despejamos de la expresión anterior el trabajo de las fuerzas no
conservativas, escribimos en término de las energías cinéticas y potenciales iniciales y
finales:
E c  E P  WFNC  ( E cf  E ci )  ( E Pf  E Pi )  WFNC
Vamos a definir una nueva cantidad llamada la energía mecánica. La energía
mecánica no es más que la suma de la energía cinética y energía potencial de una
partícula, es decir su energía total. La denotaremos por E M .
EM E C  EP
Así, se tiene que podemos reescribir ( E cf  E ci )  ( E Pf  E Pi )  WFNC en
términos de la energía mecánica en los puntos inicial y final:
( Ecf  E pf )  ( Eci  Eci )  WFNC  EMf  EMi  WFNC
De aquí, podemos enunciar que la variación de energía mecánica es
igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas:
E M  E Mf  E Mi  WFNC
Ahora bien, consideremos el caso en el cual solo actúan fuerzas conservativas.
Vemos que en este caso WFNC  0 . En este caso tenemos que EM  0 , es decir:
EMf  EMi  0  EMf  EMi  ( Ecf  E pf )  ( Eci  Eci )
Es decir, que si sobre un cuerpo actúan solamente fuerzas conservativas, su
energía mecánica se conserva. Esto lo conoceremos como conservación de la energía
mecánica. Esto lo podemos apreciar cuando dejamos caer libro por ejemplo desde una
altura determinada, el inicialmente tiene pura energía potencial, y al ir cayendo va
perdiendo energía potencial pero ganando energía cinética, es decir en ese caso la
energía potencial gravitatoria en ese caso se transforma en Energía Cinética.
EJEMPLO:
Una pelota desliza sin rozamiento en una pista de hielo sin rozamiento, tal
como se ilustra en la figura. Si parte desde el reposo a una altura de 7 m, ¿A qué
velocidad estará cuando se encuentre tan solo un metro sobre el suelo?
A
7m
B
1m
Fig. 5.11
SOLUCIÓN:
Llamemos al instante inicial A, en el cual la pelota se encuentra a una altura de
7 metros con respecto al suelo, y B al instante en el cual la pelota se encuentra a una
altura de un metro con respecto al suelo y viaja con velocidad v B , que es la incógnita.
Tenemos entonces que:
ECA  E PA  ECB  E PB ,
donde ECA  0 , pues v A  0 , E PA  mghA , ECB 
1 2
mvB , E PB  mghB . Reemplazando
2
esto en la expresión de la conservación de la energía tenemos que:
mgh A 
1 2
mv B  mghB ,
2
Ahora procedemos a despejar v B . Así tenemos que:
2mg
1 2
mvB  mghA  mghB  v B2 
(h A  hB )  vB  2 g (hA  hB )
2
m
Por último reemplazamos, la gravedad y las respectivas alturas.
v B  2 g (h A  hB )  2(9.8
m2
m
m
m
)(7m  1m)  2(9.8 )(6m)  117.6 2  10.84
s
s
s
s
Cuando aparecen fuerzas no conservativas, la partícula o sistema en estudio no
conserva su energía mecánica. Por ejemplo, cuando un bloque desliza sobre el piso y
actúa la fuerza de fricción cinética, notamos que el bloque gradualmente va perdiendo
su velocidad hasta detenerse, es decir pierde energía cinética. En este caso, la energía
del bloque se nota que el bloque y el suelo se calientan, es decir que la energía del
bloque se transforma en energía térmica o calor. La fuerza de fricción además de ser
una fuerza no conservativa es una fuerza disipativa, es decir que al actuar sobre un
cuerpo hace que este disipe su energía transformándose en calor.
EJEMPLO:
La figura muestra a una partícula de masa M=5 Kg que está en reposo
inicialmente y es impulsada por un resorte de constante elástica k=500 N/m que está
comprimido una distancia x=1 m. La pista tiene un rizo circular de radio R=2m y solo es
rugosa en el plano inclinado. El plano inclinado tiene una inclinación α, y su coeficiente
de roce cinético es  c  0.2 . Use g=10 m/s2.
Fig. 5.12
Hallar:
a) La velocidad que tiene la partícula cuando está en el punto más alto del rizo.
b) La distancia L que recorre el bloque en el plano inclinado antes de detenerse.
SOLUCIÓN:
a) Llamaremos A al instante inicial, cuando la masa comprime al resorte, B al
momento en el cual la cajita se encuentra en la parte más alta de rizo, y C el
punto final de la trayectoria, cuando se detiene la cajita. Entre el punto A y el
punto B se cumple la conservación de la energía mecánica, pues no hay fricción
en ese trayecto, solo actúan una fuerza elástica y el peso, además de la fuerza
normal que no realiza trabajo, pues siempre es perpendicular a la trayectoria.
Se tiene entonces que:
ECA  E PA  ECB  E PB ,
Como el bloque se suelta desde el reposo en el punto A, tenemos que ECA  0 , y
tomando como referencia el suelo para el potencial gravitatorio, tenemos que la
energía potencial gravitatoria es cero. Pero, tenemos energía potencial elástica, pues
el resorte esta comprimido, así se tiene que E PA 
la energía cinética es ECB 
1 2
kx . En el punto B, tenemos que
2
1
Mv B2 y la energía potencial es gravitatoria, y vale
2
E PB  MghB , donde hB  2 R . Reemplazando todo esto tenemos:
1 2 1
1
kx  Mv B2  MghB  Mv B2  2MgR
2
2
2
Despejando v B tenemos:
1
1
kx 2
Mv B2  kx 2  2MgR  v B2 
 4 gR  v B 
M
2
2
vB 
kx 2
 4 gR 
M
(500
kx 2
 4 gR
M
N
)(1m) 2
m2
m2
m
m
m
 4(10 2 )(2m)  100 2  80 2  20
s
5Kg
s
s
s
b) Ahora, utilizamos la fórmula más general de conservación de la energía
mecánica, pues en la rampa hay una fuerza no conservativa como lo es la
fricción.
E M  E MC  E MA  WFNC
La energía mecánica en el punto A, es puramente energía potencial elástica y
vale E MA  ECA  E PA  0 
1 2 1 2
kx  kx , mientras que en el punto C, como es el
2
2
punto más alto de la trayectoria, la velocidad vc  0 luego la energía cinética en este
punto es cero, mientras la energía potencial en el punto C es EPC  MghC . La única
fuerza no conservativa que aparece es la fricción, debemos hallar su trabajo.

j

i

N
Px  PSen45o
  45
o

Fr
hC  LSen ( 45 o )
Py  PCos 45o

P
Fig. 5.13
Aplicando la segunda ley de Newton, en la dirección del eje Y tenemos que
N  MgCos(45o )  0  N  MgCos(45o ) .
Luego
la
fuerza
de
fricción
es
Fr   c  N  0.2  mgCos(45 o ) . Como la fricción es anti paralela al desplazamiento se
tiene que WFr   Fr  L  0.2 MgCos(45o )  L . Así tenemos que:
1
EMC  EMA  Mghc  kx 2  0.2MgLCos(45o )
2
Además, tenemos que la altura la que llega la caja es hC  LSen(45 o ) . Así
tenemos finalmente:
1
1
MgLSen(45 o )  kx 2  0.2MgLCos(45 o )  MgLSen(45o )  0.2MgLCos(45o )  kx 2
2
2
MgL( Sen(45 o )  0.2Cos (45 o )) 
1
1
kx 2

L
o
o
2 Mg ( Sen(45 )  0.2Cos (45 )) 2
1 2
kx 
2
N
(1m) 2
m
 14.09m
2
2
m
(5kg )(10 2 )( )  0.2( )
2
2
s
500
La conservación de la energía es un principio sumamente importante en el
campo de la ciencia. Incluso, es un concepto que abarca otras formas de energía
aparte de la cinética y la potencial como se hablo al inicio del capítulo, cuando por
ejemplo las represas hidroeléctricas transforman la energía potencial del agua, en
energía cinética al mover las turbinas y posteriormente esta energía se transforma en
energía eléctrica. El principio general que abarca esto se llama principio de
conservación de la energía y básicamente lo que dice es:
“La energía no se crea ni se destruye, solo se transforma”
La conservación de la energía mecánica, no es más que un caso particular del
principio de conservación de la energía. Este principio fue postulado por Joule, en a
principios del siglo XIX, al estudiar la equivalencia entre energía mecánica y calor.
Potencia
Cuando compramos un auto no nos importa el trabajo que puede realizar el
motor sino cuán rápido puede hacerlo. De la misma manera, cuando una bomba eleva
agua hasta un tanque lo que nos interesa es si el trabajo lo puede realizar en unos
minutos o una hora. Por esta razón en física se define una cantidad llamada potencia,
que no es más que la rapidez con la que se realiza un trabajo.
La potencia es la razón entre el trabajo realizado por una fuerza y el tiempo
empleado para realizarlo.
P
W
t
 
Podemos reemplazar la definición de trabajo, W  F  r , en la expresión
anterior y tenemos la potencia en términos de la fuerza y la velocidad de la partícula:
 

 

W F r
r
P
 F  ( )  F  v media

t
t
t
La potencia tiene unidades de trabajo por unidad de tiempo. En el sistema
internacional de unidades, la potencia se expresa en Watt (W). Un Watt es la potencia
desarrollada al realizar el trabajo de un Joule en un segundo. Es decir 1 W = 1 Joule/s.
Como dijimos anteriormente, el trabajo es una medida de la energía
transferida. Por esta razón, se define la potencia media como la rapidez de
transferencia de energía; la razón entre el cambio en la energía y el intervalo de
tiempo en el cual ocurre.
Pmedia 
E
t
La potencia es un concepto con el cual estamos familiarizados por su aparición
en la vida cotidiana. Por ejemplo, los bombillos vienen calificados por su potencia:
60 W, 80 W, 100 W, entre otros; un bombillo de 100 W utiliza un intervalo de tiempo
de un segundo para transformar 100 J de energía eléctrica en energía térmica (pues el
bombillo se calienta) y radiación (pues el bombillo emite luz).
EJEMPLO:
Calcula la potencia que debe tener una bomba de agua para ascender 1000 de agua
por minuto a una altura de 10 metros.
SOLUCION:
Primero calculemos el trabajo que debe realizar esta bomba para ascender esta agua.
El trabajo realizado para subir el agua, no es más que mgh, es decir la variación de
energía potencial, y el tiempo empleado para subirla es 1 minuto, que es igual a 60
segundos. Además, 1000 litros de agua equivalen a 1000 Kg de agua.
W mgh


P
t
t
m
)(10m)
9.8  10 4 J
s2

 1.6  10 4 W
60 s
60 s
(1000kg )(9.8
Generalmente, la unidad que se usa para describir la potencia de un motor es el
caballo de fuerza (hp). Un caballo de fuerza equivale a 746 W. Un motor transforma
energía eléctrica en otra forma de energía así por ejemplo en el problema anterior, el
motor transformo la energía eléctrica en energía cinética y potencial, su potencia en
hp es de 21.447 hp.
EJERCICIOS.
1.
En física, el trabajo mecánico es lo mismo que:
a) Esfuerzo.
b) Desplazamiento.
c) Fuerza.
d) Energía transferida a un sistema.
e) Ninguna de las anteriores.
2.
En física decimos que la potencia mecánica es:
a) Capacidad de realizar trabajo mecánico.
b) Trabajo mecánico realizado.
c) Capacidad de realizar trabajo en función del tiempo.
d) Todas las anteriores.
e) Ninguna de las anteriores.
3.
Cuando decimos que una máquina A tiene más potencia que una maquina B,
queremos decir que:
a) La máquina A puede realizar más trabajo que la B.
b) La máquina A tarda más tiempo que B en realizar el mismo trabajo.
c) En el mismo tiempo la máquina B efectuará menos trabajo que A
d) La máquina A es más lenta que la B.
e) Ninguna de las anteriores.
4.
Decimos que una fuerza es conservativa cuando:
a) Conserva la energía mecánica sobre el que actúa.
b) Su trabajo depende solo de las posiciones inicial y final.
c) Conserva la cantidad de movimiento del cuerpo sobre el que actúa.
d) Su trabajo es independiente de la distancia entre las posiciones inicial y
final.
e) Ninguna de las anteriores.
5.
En un lanzamiento vertical hacia arriba afirmamos:
a) La energía cinética inicial es el doble de la energía potencial gravitacional a
la mitad de la altura.
b) La energía mecánica es mayor que la energía cinética inicial.
c) La energía cinética inicial nunca es igual a la energía potencial.
d) La energía potencial nunca es igual a la energía mecánica.
e) Ninguna de las anteriores.
6.
La energía mecánica de un cuerpo se conserva siempre que:
a) Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo varíen con la distancia.
b) Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo sean disipativas.
c) El trabajo de las fuerzas depende únicamente de las posiciones inicial y
final.
d) El trabajo de las fuerzas entre dos puntos cualesquiera sea constante.
e) Ninguna de las anteriores.
7.
Cuando se eleva verticalmente un cuerpo a velocidad constante hasta una
altura h, el trabajo realizado por la fuerza de atracción gravitatoria es:
a) Nulo.
b) Igual y de signo contrario al realizado por la fuerza externa que aplica el
agente exterior.
c) Igual y de signo contrario al realizado por la fuerza resultante.
d) Dependiente del valor de las otras fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
e) Ninguna de las anteriores.
8.
Cuando un cuerpo se mueve en círculo a velocidad constante, la fuerza que
realiza su aceleración realiza trabajo:
a) Máximo.
b) Nulo.
c) Mínimo.
d) Negativo.
e) Ninguna de las anteriores.
9.
¿A qué altura habrá sido elevado un cuerpo de masa 10 Kg. Si el trabajo
empleado fue de 500 J?
a) 5 m.
b) 50 m.
c) 0,5 m.
d) 0,2 m.
e) Ninguna de las anteriores.
10.
El carro de un funicular tiene un peso mg y sube hasta una altura h. ¿Cuál es el
trabajo total realizado por el peso en un viaje de ida y vuelta?
a) mgh.
b) Cero.
c) 2mgh.
d) Depende del ángulo formado por el cable del funicular con la horizontal.
e) Ninguna de las anteriores.
11.
En un movimiento parabólico el trabajo realizado por la fuerza de atracción
gravitatoria sería:
a) xmg.
b) Cero.
c) 2.hmax.mg.
d) (La longitud de la parábola).mg.
e) Ninguna de las anteriores.
12.
Una grúa puede elevar 2000 Kg de material a una altura de 50 m en 20 s¿Cuál
es la potencia desarrollada por el motor que accionó la grúa?
a) 50000 J.
b) 2000 W.
c) 50 KW.
d) 500 KW.
e) Ninguna de las anteriores.
13.
Una fuerza de 12 N actúa sobre un cuerpo moviéndolo 7 m. Calcular el trabajo
cuando: a) se mueve en la misma dirección de la fuerza b) se mueve en la dirección
opuesta c) la dirección de la fuerza y la dirección del desplazamiento forman un ángulo
Sol: a) 84 J ,b) ‐84 J, c) 72.74 J y 0 J.
14.
Un cuerpo de 2 kg desciende en caída libre. a) ¿Qué fuerza constante es preciso
aplicarle, en el instante en que su velocidad es de 20,4 m/s, para detenerlo en 2 s? b)
¿Qué trabajo se realiza sobre el cuerpo desde que se aplica la fuerza hasta que se
detiene?.
15.
Sol: a) 40N, b) –816 J.
Por un plano inclinado de 3 m de alto y 4 m de base, se traslada con velocidad
constante un bloque de 100 kg, mediante una fuerza paralela al desplazamiento (no
hay fricción). a) ¿Qué trabajo se habrá realizado cuando el bloque llegue al final del
plano inclinado?. b) ¿Con qué fuerza se ha empujado el bloque? c) ¿Cuál ha sido la
ventaja de usar el plano inclinado, en vez de elevarlo verticalmente?.
Sol: a) 2940 J, b) 588N, c) La fuerza aplicada es menor.
16.
Un proyectil de 2 g sale del cañón de un fusil a 300 m/s: a) Calcular la energía
cinética del proyectil a la salida del cañón. b) Si la fuerza que actúa sobre el proyectil
mientras está en el cañón es de F = 360 ‐ 720x, determinar la longitud del cañón.
Sol: a) 90J, b) 0,5 m.
17.
Un motor de 800 W trabaja durante 2 horas y media ¿Qué trabajo realiza en J y
Kwh? (1Kwh=36.105J)
Sol: a) 72.105 J , b) 2 Kwh
18.
Un automóvil de masa 2000 Kg realiza un desplazamiento de 200 m para variar
su rapidez de 14 m/s a 22 m/s. Calcular a) el trabajo que realiza la fuerza no
equilibrada que dio origen al cambio de rapidez, b) el módulo de la fuerza aplicada.
Sol: a) 288000 J, b) 1440 N.
19.
Un caballo va por la orilla de un río y tira de una barcaza con la fuerza de 400 N,
mediante una cuerda que forma un ángulo de 37º con la dirección del río. Determinar
el trabajo que realiza al recorrer 200 m.
20.
Sol: 64000 J.
Un alpinista de 75 kg trepa 400 m por hora en ascensión vertical. ¿Qué energía
potencial gravitatoria gana en una ascensión de dos horas?
Sol: 588 J.
21.
Desde una torre de 40 m de altura se dispara un proyectil de 1 kg, formando un
ángulo de 37º con la horizontal, con una velocidad de 120 m/s. Calcular la velocidad
del proyectil cuando llega al suelo, por consideraciones energéticas, despreciando el
rozamiento con el aire.
22.
Sol: 123 m/s.
En la cima de unas montañas rusas un vehículo está a una altura de 40 m sobre
el suelo y avanza a 5 m/s. Calcular la energía cinética del vehículo cuando está en una
segunda cima situada a 20 m sobre el suelo, si se desprecian los rozamientos. La masa
del vehículo con sus ocupantes es de 1.000 kg.
23.
Sol: 208,5 J.
Si una masa de 10 g cae, sin velocidad inicial, desde una altura de 1 m y rebota
hasta una altura máxima de 80 cm. ¿Qué cantidad de energía ha perdido?
Sol: 0,0196 J.
24.
Un pequeño objeto de masa m se suelta desde el punto A del rizo. Calcular:
a) Velocidad del cuerpo en el punto C, b) Fuerza que ejerce la vía sobre el cuerpo en
dicho punto.
Sol: a)
Rg , b) 7mg
25.
Un cuerpo se lanza sobre un plano horizontal con una velocidad inicial de 6
m/s; sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 0,3, calcúlese el tiempo que tarda
en detenerse y el espacio recorrido.
Sol: 6,12 m, 2,04 s.
26.
Un bloque de 5 kg es lanzado hacia arriba sobre un plano inclinado 30º con una
v0  9,8 m / s . Se observa que recorre una distancia de 6 m sobre la superficie inclinada
del plano y después desliza hacia abajo hasta el punto de partida. a) Calcular la fuerza
de rozamiento que actúa sobre el bloque. b) Hallar la velocidad del cuerpo cuando
vuelve a la posición inicial.
Sol: a) 15,5 N, b) 4,6 m/s.
27.
Un bloque de 35,6 N de peso avanza a 1,22 m/s sobre una mesa horizontal (sin
rozamiento). Si en su camino se encuentra con un resorte cuya constante elástica es
3,63 N/m. ¿Cuál es la máxima compresión del resorte?
Sol: 1,22 m
CAPÍTULO 6: CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL,
IMPULSO Y COLISIONES.
Como vimos en el capítulo 4, la segunda ley de Newton es un principio físico muy
útil para resolver problemas en dinámica en los cuales estén involucrados interacciones
como la gravitatoria, fuerzas elásticas, fuerzas de contacto como la normal o la fuerza de
fricción y otras interacciones que conocemos.
Sin embargo, hay problemas que involucran fuerzas que no se pueden resolver


directamente utilizando la segunda ley de Newton,  F  ma . Un ejemplo de este tipo
de problemas es el choque entre un camión pesado y un carro y nos preguntamos, ¿hacia
dónde salen los restos luego de la colisión?, ¿Cuánta energía cinética se pierde en
deformaciones de los vehículos? O cuando se está en una partida de billar, ¿Cómo saber
cuál es la dirección en la cual se debe impactar la bola blanca para meter las otras bolas en
los agujeros?
Ambas situaciones tienen un ingrediente común, no se conoce mucha información
sobre la fuerza que actúa entre el auto y el camión ni de la fuerza que actúa entre las
bolas de billar. En este capítulo estudiaremos una cantidad física llamada cantidad de
movimiento y un principio de conservación llamado conservación de la cantidad de
movimiento. Este principio, al igual que el principio de conservación de energía es de
suma importancia en el área de la física. Estos nuevos conceptos, nos permitirán resolver
problemas como el choque de los carros o la colisión de las bolas de billar, sin necesidad
de conocer la fuerza que actúa entre los objetos que colisionan.
En el campo de la mecánica clásica o newtoniana, la conservación de la cantidad de
momento nos permite estudiar situaciones que serian muy difíciles de resolver usando las
leyes de newton, donde dos cuerpos ejercen una fuerza de magnitud muy grande en un
intervalo de tiempo muy pequeño. Además este principio permite estudiar otros
fenómenos como la explosión de una bomba.
Concepto de cantidad de movimiento e impulso.
Para plantear la definición de la cantidad de movimiento, partiremos de la



definición de la segunda ley de Newton, FNeta   F  ma . Supongamos que tenemos una
partícula y/o sistema físico, sobre el cual actúan fuerzas constantes como las que hemos
estudiado en el capítulo de dinámica (fuerza de fricción, fuerza de roce, Normal, peso,
entre otras) y que se mueve con aceleración constante. Recordemos que en ese caso:



 v f  vi v
a

t
t
Ahora sustituyamos esta ecuación en la segunda ley de Newton:
 




 m(v f  vi ) mv f  mvi (mv )
FNeta  ma 


t
t
t


Definimos la cantidad de movimiento de una partícula como p  mv . La cantidad
de movimiento es un vector, cuya magnitud es mv y que va en la dirección y sentido de la
vector velocidad. Definiendo esta cantidad, podemos notar que la segunda ley de Newton
se puede reescribir en términos del vector cantidad de movimiento:


p
FNeta 
t
De aquí, podemos despejar la variación de la cantidad de movimiento y nos queda,
y definiremos un nuevo vector llamado impulso de la fuerza neta, el cual lo denotaremos

por J :

 
J  p  FNeta  t
Podemos además escribir la fuerza neta como la suma de las fuerzas que actúan

 

sobre el sistema en estudio, es decir FNeta  F1  F 2 .....  FN . Luego, el impulso de la
fuerza neta se puede escribir como:


 



 
J  p  FNeta  t  ( F1  F 2 .....  FN )  t  F1  t  F 2 t  .....  FN  t
 
Luego, definimos el impulso de una fuerza como I  F  t . Así, se tiene que el
impulso de la fuerza neta, se puede escribir como la suma de impulsos de cada una de las
fuerzas que actúan sobre el sistema.


  
J  p  I 1  I 2  .....  I N
Conservación de la cantidad de movimiento
La conservación de la cantidad de movimiento es un principio que es consecuencia
cómo veremos de la tercera ley de Newton, también conocida como principio de acción y
reacción. Para comprender esto, vamos a considerar un sistema formado por dos cuerpos
que interactúan entre sí pero que no experimentan más interacciones, es decir, que la
suma de las fuerzas externas al sistema formado por los dos cuerpos es cero. Diremos,
que las fuerzas externas a un sistema son las fuerzas ejercidas por cualquier objeto
externo al sistema, mientras que las fuerzas internas son las interacciones entre las
partículas de un sistema.
Llamemos al primer cuerpo A y al segundo cuerpo lo denotaremos por B. La única
fuerza que siente el cuerpo A es la fuerza producida por el cuerpo B, que la denotaremos

por FA / B (Fuerza en la partícula A debido a la partícula B). De manera análoga, la única

fuerza que experimenta el cuerpo B, es la fuerza producida por A, es decir F B / A . Esta
interacción de la que hablamos puede ser un contacto (por ejemplo el choque entre dos
partículas, o la atracción gravitatoria entre dos estrellas del espacio). Es decir, que las
partículas interactúan entre si de alguna manera, y es la única interacción que
experimentan.

FA / B
A

FB / A
B
Fig. 10: Sistema formado por el Cuerpo A y Cuerpo B. La única interacción presente es la que
experimentan los dos cuerpos entre sí, la cual puede ser a distancia o de contacto
Ahora bien, podemos pensar el sistema AB (formado por el cuerpo A y por el
cuerpo B) como la unión del sistema A (que contiene solo el cuerpo A) con el sistema B
(que contiene solo al cuerpo B). Apliquemos la segunda ley de Newton a cada uno de los
cuerpos, en términos de la cantidad de movimiento. Para el cuerpo A tenemos:


p A
 FA  t (1),



p A
Sobre el cuerpo A la única fuerza que actúa es FA / B  FA / B 
(2)
t
Ahora, escribimos la segunda ley de Newton para el cuerpo B:
 p B
 FB  t (3)



pB
Sobre el cuerpo A la única fuerza que actúa es FB / A  FB / A 
(4)
t
Ahora recordamos que la fuerza de interacción entre el cuerpo A y B se deben a la
tercera ley de newton o principio de acción y reacción, por lo que estas fuerzas cumplen:


F A / B   FB / A (5)
Ahora sustituimos las expresiones (2) y (4) en la expresión (5) y nos queda que:


p A
pB

t
t
(6),
podemos simplificar el t y nos que


p A  p B
(7)
Ahora bien, recordemos que la variación de cualquier cantidad, no es más que el
valor en el instante final menos el valor en el instante inicial. Haremos esto para la
cantidad de movimiento del cuerpo A y la cantidad de movimiento del cuerpo B. Así se
tiene que:








p AF  p AI  ( p BF  p BI ) (8)  p AF  p AI   p BF  p BI (9)
Ahora pasamos la cantidad de movimiento final de cada partícula a la izquierda, y
la cantidad de movimiento inicial de cada partícula al lado derecho de la ecuación. Así
tenemos que:




p AF  p BF  p AI  p BI
(10)
 

Definiendo la cantidad de movimiento total del sistema como P  p A  p B ,
tenemos entonces que:


PF  PI
(11).
Es decir que en un sistema formado por dos partículas que interactúan entre sí, y
el sistema no está sometido a fuerzas externas se conserva la cantidad de movimiento
 

total P  p A  p B se conserva. Esto es un resultado importantísimo en física, pues vemos
que no se tiene que conocer la fuerza interna, solo basta conocer la cantidad de
movimiento lineal de cada cuerpo en el instante inicial y final. A partir de la prueba que se
acaba de ilustrar para un sistema de dos partículas, enunciaremos el principio de la
conservación de la cantidad de movimiento:
“En un sistema físico en el cual la sumatoria de las fuerzas externas que actúan
sobre el mismo es CERO, la cantidad de movimiento total del sistema es constante”
Este principio puede ser generalizado a un sistema que esté formado por más de
dos partículas. En este caso basta con definir la cantidad de movimiento total del sistema
 





como P  p A  p B  p c  .......  m A v A  m B v B  mC vC  ..... . Este principio es muy útil,
pues la cantidad de movimiento lineal se conserva en la explosión de una bomba, en
colisiones y otros fenómenos.
Colisiones (choques)
En este caso consideraremos un sistema formado por dos canicas o metras en una
pista de hielo, esto para suponer que no hay fuerza de roce entre las canicas y la
superficie. La canica A viaja hacia la derecha y la canica B viaja hacia la izquierda tal como
se muestra a continuación:

vA

vB
A
B
Fig. 1
Capítulo 7: Electromagnetismo
La materia está formada por unidades minúsculas llamadas átomos que, a su vez,
están constituidos por partículas más pequeñas: los neutrones y protones en el núcleo y
los electrones en la corteza, girando alrededor de los anteriores.
Los protones tienen carga positiva y los electrones negativas. En ocasiones los átomos
sufren una variación en el número de electrones, entonces el átomo adquiere carga
eléctrica, que será positiva cuando haya perdido algún electrón (ya que el número de
electrones será menor que el de protones) y negativa cuando adquiera nuevos electrones.
Cuando, por cualquier motivo, la carga total deja de ser nula, el átomo tiende a ceder
o a tomar electrones de los átomos cercanos para volver a su estado de equilibrio. La
electricidad es el movimiento de electrones entre átomos con distinta carga para lograr el
equilibrio electrónico.
Según la capacidad que presenten para permitir el paso de los electrones por su
interior se distinguen los siguientes materiales:
Aislantes: Ofrecen una gran resistencia al paso de los electrones. Algunos de ellos son:
el vidrio, la madera, la mayor parte de los plásticos, la goma, etc. Se utilizan para separar
cuerpos a distinto potencial y para evitar riesgos eléctricos.
Conductores: Presentan poca resistencia al movimiento de electrones en su interior.
Algunos de ellos son: los metales, principalmente el cobre (Cu) y el aluminio (Al) y las
disoluciones electrolíticas. Se utilizan para transportar energía eléctrica.
Semiconductores: Son aislantes bajo determinadas condiciones y conductores en
otras. Forman parte de la inmensa mayoría de los componentes electrónicos actuales y
son principalmente el silicio (Si) y el germanio (Ge).
1
Electrización
Los objetos aislantes o los conductores eléctricamente neutros pueden recibir carga
neta mediante distintos procesos. En uno de tales procesos, mediante frotación de dos
materiales aislantes, puede ocurrir entre ellos una transferencia de electrones quedando
uno con carga neta positiva y el otro con carga neta negativa. Una segunda forma de
electrizar, es la electrización de contacto, en el cual se acerca un cuerpo conductor a otro
cuerpo cargado, y buscando un equilibrio los electrones del objeto no cargado
inicialmente se redistribuyen ya sea cediendo o aceptando electrones; al separarlos los
dos quedan con carga del mismo signo. En otro procedimiento es si se coloca un metal
cerca de un objeto cargado y sin contacto con él se puede inducir en el metal una
separación de electrones. Si por ejemplo, lo conectáramos a tierra, se le da un camino
para que los electrones puedan escapar o entrar en el metal. Este proceso se denomina
electrización por inducción.
Ley de Coulomb
Dos cargas eléctricas puntuales se atraen (o repelen) entre sí con una fuerza dada
por:

1 q Q 
F
r

4 0 r 2
Q y q son los valores de las cargas involucradas, que deberán llevar su correspondiente
signo,  0 se denomina permisividad del vacío. A veces al valor se le denota con la letra k y
2
su valor aproximado es de k  9  109 Nm
C2
k
.
1
4 0
2
Principio de superposición
Las fuerzas que ejercen un sistema de cargas sobre otra es igual a la suma
(vectorial) de las fuerzas de cada una de las cargas del sistema sobre la otra. Quiere decir
esto que dado un sistema de cargas puntuales de posiciones ri y cargas qi, la fuerza que
ejercen sobre otra carga q situada en r será:




F Tq1  F 12  F 13  F 1n
EJEMPLOS
1.
Calcular la fuerza que produce una carga de 10  C sobre otra de 20 C , cuando
ésta última se encuentra ubicada, respecto de la primera, a:
a) 1 cm.
b) 2 cm.
c) 0,1 cm.
Resolución:
Datos: q1  10 C  1105 C y q2  20 C  2 105 C
Para

Nm 2 1105 C 1 105 C
1 q1  q2
 2  9 109 2 
xa  1cm  102 m se tiene que Fa 
2
4 0 xa
C
102 m 

Fa  1,8  104 N
2

1 q1  q2
1105 C 1105 C
9 Nm

 9  10

Para xb  2cm  2  10 m se tiene que Fb 
2
C2
4 0 xb2
 2 102 m 
2

Fa  4,5 103 N
2

Para xc  1cm  10 m se tiene que Fc 
1
4 0

2
q1  q2
1105 C 1 105 C
9 Nm



9
10
2
xc2
C2
103 m 

Fa  1,8  106 N
3
2.
Una bola de médula de sauco, A, tiene una carga de 40 C y está suspendida a 6
cm de otra bola, B, que ejerce una fuerza de 500 N sobre la carga A, ¿cuál es la carga de la
bola B?
Resolución:
Datos: q A  40 C  4 105 C , FAB  500 N y r  6cm  6 102 m
De la fórmula FAB 
1
4 0

q A  qB
se despeja qB , obteniéndose lo siguiente:
2
rAB
qB 
4 0 FAB r 2
 qB  5 106 C .
qA
Campo eléctrico
Es la fuerza por unidad de carga que experimentará una carga en cierta posición del
espacio. Obedece a la fórmula siguiente:

 F
E
q0
Debido también al principio de superposición, la expresión del campo eléctrico en una
posición r del espacio creado por un sistema de n cargas de valor qi a qn y posición ri será:




ET  E1  E 2  E n
La fuerza y el campo eléctrico son magnitudes vectoriales que cumplen el principio de
superposición. Por tanto se podrán sumar como vectores.
4
EJEMPLO
Calcular el campo eléctrico de una carga de 6 C aplicada a una carga de prueba inicial
que se encuentra en 4iˆ  2 ˆj del plano cartesiano.
Las fórmulas para el caso son:
F k
E
q  qP
r2
F
qP
Trabajando algebraicamente las dos ecuaciones se obtiene:
Ek
q
r2
Como r es la distancia entre ambas cargas la hallamos como el módulo del vector

r  4iˆ  2 ˆj utilizando sus componentes, y como no se aclara la unidad adoptamos el
metro. Por lo tanto:
r 2   4m    2m   16m 2  4m 2  r 2  20m 2
2
2
Sustituyendo todos los valores se obtiene lo siguiente:
E  9 109
Nm 2 6C
N

 E  2, 7 109
2
2
C
20m
C
Nota: Cuando dos cargas se enfrentan a una determinada distancia r una ejerce sobre
la otra una fuerza F igual y contraria a la que la otra carga le ejerce a la primera, si una
carga es positiva genera un campo eléctrico saliente que afectará a la carga que tiene
enfrente. La carga de prueba se toma simbólicamente y en estos casos se anula. En el

vector r  4iˆ  2 ˆj los números que acompañan a las letras son los módulos de las
componentes de dicho vector.
5
Potencia y Energía Eléctrica
Energía o trabajo eléctrico es lo que hace moverse a un conjunto de cargas. Sólo habrá
trabajo cuando exista movimiento de cargas en el circuito.
La potencia es el trabajo desarrollado en por unidad de tiempo. Cuanto mayor sea la
potencia de un aparato, mayor será la energía o trabajo que pueda desarrollar o que
consuma en un tiempo determinado, por ello se trata de una característica fundamental
de los receptores eléctricos. Se mide en vatios.
P
W
t
La energía desarrollada o consumida por un aparato en un periodo determinado es
igual a la potencia por el tiempo que está conectado.
La energía eléctrica se mide en vatios por hora [W∙h], o más habitualmente en
kilowatios por hora [kW∙h]. En ocasiones se mide en Julios [J], siendo 1J=1W∙1s.
Potencial Eléctrico. Diferencia de Potencial y Fuerza
Electromotriz.
El potencial eléctrico es el "nivel de energía eléctrica" al que se encuentra un cuerpo.
La diferencia de potencial o tensión es la diferencia existente entre el potencial de un
punto respecto a otro (que se toma como referencia).
VA  .
W
q0
Se llama diferencia de potencial entre los puntos A y B al trabajo necesario para
trasladar la unidad positiva de carga desde A hasta B. El trabajo necesario para trasladar la
6
carga desde el infinito hasta A será mayor que hasta B. Es evidente que, si se abandona
una carga positiva en A, esta es repelida hacia B por la carga que origina el campo. De esta
manera las cargas positivas tienden a caer de mayor a menor potencial, gastando así su
energía potencial.
La diferencia de potencial entre dos puntos distintos de un circuito o instalación
eléctrica puede ser provocada por un dispositivo que entregue energía, en cuyo caso la
tensión recibe el nombre de fuerza electromotriz (fem) o como consecuencia de la
pérdida de energía en un elemento por el que circula corriente, entonces hablamos de
caída de potencial o de tensión (cdt). La diferencia de potencial, tanto si es fem como si es
cdt, se mide en voltios [V].
Para lograr que un cuerpo se ponga a potencial es necesario provocar en él un exceso
o defecto de cargas. La energía necesaria para conseguirlo se llama fuerza electromotriz, y
los dispositivos que la generan fuentes de tensión o de alimentación, como son las
baterías y los generadores. Por tanto, fuerza electromotriz es lo que produce el
movimiento de cargas en el interior de una fuente de tensión.
Potencial es la circulación del campo eléctrico entre dos puntos A y B, es decir:
VB  V A  
W AB
q0
Tanto la energía como el potencial y el trabajo son magnitudes escalares y por tanto se
expresarán como un número normal (con sus correspondientes unidades). Además, en
virtud del principio de superposición el potencial eléctrico de un conjunto de partículas es
la suma del creado por cada uno de ellas. Como el potencial es escalar será tan fácil como
sumar sus magnitudes.
Algunos casos particulares de potencial eléctrico.
7
Carga puntual
Usando la ecuación con el valor de E para una carga puntual, que es e integrando
(sumando), se llega fácilmente a la conclusión de que:
V A r  
k q
r
Para calcular el potencial resultante que produce un grupo de cargas puntuales en un
punto dado, bastará con calcular por separado, cada uno de los potenciales y luego
sumarlos algebraicamente.
Campo eléctrico constante
Un sencillo uso de la fórmula de diferencia de potencial, nos lleva directamente a la
expresión:
V x    E  x
donde suponemos que el campo E es constante, y así el potencial depende de una cierta
cantidad unidimensional x. Un buen ejemplo sería el campo creado por un plano cargado
infinito. En este caso x sería la distancia al plano.
Condensadores
Un condensador es un dispositivo capaz de almacenar carga eléctrica. Básicamente
están formados por dos conductores situados uno frente al otro, lo más cerca posible,
dejando entre medias de ellos un aislante que puede ser el ''vacío'' o un dieléctrico.
Existe una relación de proporción entre el potencial creado entre los dos ''polos'' de un
condensador y la carga almacenada. Matemáticamente se puede expresar de una manera
simple como:
8
Q  C V
donde C es la constante de proporcionalidad, denominada capacidad. La unidad de la
capacidad es el faradio. Un faradio es una unidad muy grande. (Al estilo del culombio). Por
ello lo común es encontrarse con microfaradios, nanofaradios o picofaradios.
Asociación de Condensadores
Serie
En dos condensadores situados en serie, como se ilustra en la Figura N 5.1, la
diferencia de potencial total que cae entre el primero y el segundo condensador será la
suma de las diferencias parciales de cada condensador, es decir, VT  V1  V2 . No
obstante, al encontrarse unidos en serie la carga de ambos deberá ser igual, y además
será la carga total almacenada por la asociación. Así tenemos que Q1  Q2  QT y
podemos así obtener que VT  V1  V2 
Q Q

, y de aquí se deduce fácilmente que
C1 C2
la capacidad efectiva de la asociación es:
1 1
1
 
C C1 C2
Figura N5.1: Condensadores en serie.
Paralelo
Si situamos dos condensadores asociándolos en paralelo, como se puede ver en la
Figura N 5.2, tendremos que la diferencia de potencial entre ambos deberá ser igual, y
9
además será la diferencia de potencial total. Esto es así porque tenemos unidos los dos
''polos'' de los condensadores por un conductor, y por tanto la caída de potencial entre los
''polos'' opuestos tiene que ser la misma. A su vez, como cada condensador almacenará
una
carga
distinta,
tendremos
que
para
la
asociación
total
QT  Q1  Q2  C1  V  C2  V   C1  C2   V . Se ve pues, de manera sencilla, que la
capacidad efectiva o equivalente de dos condensadores asociados en paralelo obedece a:
C  C1  C2
Figura N5.2: Condensadores en paralelo.
Intensidad de Corriente
Se conoce como carga eléctrica (Q) de un cuerpo al exceso o defecto de electrones
que presenta y tiene distinto signo según se trate de defecto de electrones (+) o de exceso
(‐). Se mide en culombios [C].
Cuando se unen dos cuerpos con distinta carga a través de un elemento conductor, se
produce un movimiento de electrones desde el que tiene carga negativa hacia el de carga
positiva. Ese movimiento es lo que conocemos como corriente eléctrica o flujo ordenado
de electrones en el interior de un conductor para lograr el equilibrio electrónico entre dos
puntos a distinta carga o potencial.
La cantidad de electrones que circula por unidad de tiempo se denomina intensidad de
la corriente eléctrica y se mide en amperios [A]. La corriente de electrones en el interior
10
de un elemento conductor se asemeja al flujo de agua en el interior de un tubo. La
intensidad de la corriente se correspondería con el caudal (o número de litros por unidad
de tiempo) que atraviesa el tubo.
La corriente o flujo de electrones en un elemento conductor tiene un sentido de
movimiento que, lógicamente, será desde el material cargado negativamente hacia el
cargado positivamente, ese sentido del movimiento es el sentido real de la corriente. Sin
embargo, hasta hace unos años se creía que la corriente circulaba desde el signo (+) al
signo (‐) y para mantener la homogeneidad a la hora de representar el sentido de la
corriente, este es el criterio que se usa habitualmente, llamado sentido convencional de la
corriente.
La intensidad eléctrica se puede cuantificar por el número de cargas que circulan en un
determinado tiempo, es decir:
i
q
t
Para que circule una corriente entre dos puntos es necesario que ambos se
encuentren a distinto potencial. Aún así puede existir una diferencia de potencial entre
dos puntos pero esta condición no es única para que circule corriente. Para ilustrarlo
pensemos en una manguera conectada a la red de suministro de agua, siempre está
sometida a la presión de la red (equivale a la tensión en un circuito eléctrico) pero sólo
circula flujo (corriente en un circuito eléctrico) cuando está abierto el grifo (interruptor).
Cuando la corriente circula a través de un circuito se van produciendo pérdidas de
energía, la diferencia de potencial entre dos puntos debida a pérdidas de energía se llama
caída de tensión, y aparece siempre que circula una corriente a través de un elemento con
resistencia.
Resistencia y Conductancia.
La resistencia es la oposición que presentan los cuerpos al paso de la corriente
eléctrica. Se mide en ohmios [ ]. La oposición que presentan los cuerpos se debe a que los
electrones al moverse en el interior de los átomos se rozan produciendo choques que
11
desprenden energía en forma de calor. Cuanto mayor es el número de choques, mayor es
la resistencia que presenta el material. La resistencia depende de tres factores:
 La sección del elemento conductor (a mayor sección menor resistencia).
 La longitud del mismo (a mayor longitud, mayor resistencia).
 La naturaleza del conductor, sabemos que hay materiales que dejan pasar muy
bien la corriente y otros que no. La característica que define la mayor o menor
oposición del material al paso de la corriente es la resistividad , que se mide en
[ ∙mm2/m].
Estos tres factores se relacionan con la resistencia mediante la siguiente ecuación:
R
L
S
donde  es la resistividad en [ ∙mm2/m], L la longitud en [m] y S la sección en [mm2].
Ley de Ohm
Establece la relación existente entre tensión, intensidad y resistencia, permitiendo
determinar cualquiera de los tres parámetros conocidos los otros dos.
Según esta ley, “la intensidad de corriente que circula a través de una resistencia es
directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada entre sus extremos e
inversamente proporcional al valor de la resistencia". Esta ley se expresa
matemáticamente como:
i
V
V  I R
R
Circuitos de Corriente Continua
Un circuito eléctrico está formado por la asociación de una serie de elementos
conductores que hacen posible el mantenimiento por su interior de una corriente
12
eléctrica. Si los generadores producen una diferencia de potencial constante entre sus
bornes o polos, la corriente producida será continua. Tal es el caso de las pilas y de las
baterías.
En los circuitos de corriente continua pueden distinguirse básicamente dos tipos de
elementos, los generadores y los receptores. Los primeros aportan al circuito la energía
necesaria para mantener la corriente eléctrica, los segundos consumen energía eléctrica y,
o bien la disipan en forma de calor, como es el caso de las resistencias, o bien la
convierten en otra forma de energía, como sucede en los motores.
Para simplificar el estudio, se supone que las magnitudes o parámetros característicos
de estos elementos se concentran en los puntos del circuito donde se representan. Así, la
resistencia de los cables de conexión o se desprecia o se supone concentrada en un punto
como si se tratara de un elemento de circuito más. El estudio cuantitativo de los circuitos
eléctricos de corriente continua se efectúa como una aplicación de dos principios básicos:
El principio de conservación de la energía referido a la unidad de carga eléctrica, según
el cual en todo el circuito, o en cualquier tramo de él, la energía que pierde la corriente
eléctrica es igual a la energía cedida por el circuito al exterior. Es, en esencia, la ley de
Ohm generalizada e interpretada como balance de energías.
El principio de no acumulación de cargas, que indica que las cargas no pueden
acumularse. Eso significa que si no hay bifurcaciones, la intensidad de corriente es la
misma en todo el circuito, y si las hay, la intensidad de corriente que entra en un nudo o
punto de bifurcación ha de ser igual a la suma de las que salen de él.
Tales principios se conocen también como Leyes de Kirchoff.
Asociación de Resistencias.
Existen dos modos fundamentales de conectar o asociar las resistencias entre sí, en
serie y en paralelo o derivación. En la asociación en serie las resistencias se conectan una
13
tras otra de modo que por todas ellas pasa la misma intensidad de corriente. En la
asociación en paralelo la conexión se efectúa uniendo los dos extremos de cada una de
ellas a un mismo par de puntos. En este caso la diferencia de potencial entre los extremos
de cualquiera de las resistencias asociadas es la misma, pero, de acuerdo con el principio
de no acumulación de cargas, la intensidad total que llega al nudo o punto de bifurcación
se reparte entre ellas.
Se denomina resistencia equivalente de una asociación de resistencias a aquella
resistencia única por la que podría sustituirse la asociación sin alterar la intensidad que
circula por el circuito.
Serie
En el caso de una asociación en serie de tres resistencias, la fórmula de la resistencia
equivalente Re se obtiene como sigue. De acuerdo con la ley de Ohm aplicada a cada una
de ellas, se tiene: V1  IR1 , V2  IR2 y V3  IR3 donde V1 , V2 y V3 son las tensiones entre
sus extremos respectivos e I la intensidad de corriente que las atraviesa, igual para todas
ellas. De acuerdo con el principio de conservación de energía referido a la unidad de
carga, la cantidad total de energía que pierde la unidad de carga al atravesar las tres
resistencias será igual a la suma de las cantidades que pierde en cada resistencia, es decir:
V  V1  V2  V3  IR1  IR2  IR3  I  R1  R2  R3  . Si la ley de Ohm se aplica a la asociación
en su conjunto, se tiene: V1  IRe . Finalmente se obtiene:
R  R1  R2  R3
Ecuación que puede generalizarse a cualquier número de resistencias.
Paralelo
Si la asociación fuera en paralelo, al llegar al nudo la corriente se reparte entre las
diferentes resistencias y, de acuerdo con el principio de no acumulación de cargas, se
cumplirá, en este caso, la relación: I  I1  I 2  I 3 con V  V1  V2  V3 . Aplicando la ley de
14
Ohm a cada resistencia, resulta ahora: V  I1 R1 , V  I 2 R2 y V  I 3 R3 . Por lo tanto se
obtiene que V
R
V
R1
V
R2
V
R3
y por consiguiente:
1 1 1
1
 

R R1 R2 R3
En este caso es la suma de los inversos la que da lugar, no a la resistencia equivalente,
sino a su inverso. Por tal motivo en este tipo de asociación el valor de la R, resulta ser
inferior al de la más pequeña de las resistencias asociadas.
Análisis de circuitos
En el estudio del comportamiento de cualquiera de las partes o de los elementos de
un circuito, se precisa conocer cuál es la intensidad de corriente que circula por él. La
determinación de la intensidad o intensidades de corriente que circulan por todos y cada
uno de los elementos de un circuito dado recibe el nombre de análisis de circuito.
En el caso de circuitos simples con un solo generador, o con varios asociados en serie,
es posible llevar a término el análisis de circuitos aplicando de forma general los principios
anteriormente considerados, así como las fórmulas de asociación de resistencias. Sin
embargo, cuando existen varios generadores distribuidos por diferentes bifurcaciones o
ramas el problema del análisis se complica y es preciso recurrir a procedimientos más
potentes y también más laboriosos.
EJEMPLO
Considérese cuatro bombillas de R1  6 , R2  3 , R3  2 y R4  4 de resistencia
eléctrica y una pila de 4,5 V se monta un circuito como el de la figura. Se trata de: a)
Analizar el circuito. b) Determinar la diferencia de potencial entre los puntos A y B. c)
Calcular la energía que cede la pila al circuito en un minuto.
15
a) Analizar un circuito eléctrico significa determinar la intensidad, o intensidades,
de corriente que circulan por él. En circuitos con un solo generador (o con varios
asociados en serie) el procedimiento consta de las siguientes etapas:

Determinar la resistencia equivalente de todo el circuito. Ello equivale a convertirlo
en otro equivalente simplificado. En el presente caso se trata de una asociación mixta
serie‐paralelo.
REQ  paralelo  
R1 R2
6  3

 2
R1  R2 6  3
REQ  serie   R3  R4  2  4  6
por lo tanto la resistencia total equivalente del circuito será:
REQ  total   REQ  paralelo   REQ  serie   2  6  8

Aplicar la ley de Ohm al circuito equivalente simplificado.
  IREQ  total   I 
I


REQ  total 
4,5V
 0, 6 A
8
Si como en el caso presente, el circuito presenta derivaciones, calcular las
intensidades que circulan por cada una de las ramas. De acuerdo con el principio de no
acumulación de las cargas.
16
I  I1  I 2  I1  I 2  0, 6 A
Dado que en toda asociación en paralelo los puntos de confluencia o nodos son
los mismos, la tensión entre ellos es la misma y, por tanto, aplicando la ley de
Ohm, resulta:
V  R1 I1  R2 I 2  3I1  6 I 2
Resolviendo las dos ecuaciones anteriores se obtiene:
I1  0, 4 A y I 2  0, 2 A
b) Una vez el circuito ha sido analizado es posible responder a cualquier otra
pregunta sobre el mismo. La diferencia de potencial entre A y B se calcula efectuando
un balance de energía por unidad de carga. Cuando una carga unidad procedente de B
pasa por la pila recibe
joules de energía y al pasar por la resistencia R3 pierde I.R3,
luego el balance total será:
VB  VA    IR3
VAB  4,5   2  0, 6   3,3V
c) La energía que cede el generador al circuito en un tiempo t viene dada, de
acuerdo con el concepto de potencia, por el producto de la potencia del generador por
el tiempo.
Ee  Pt   It  4,5V  0, 6 A  60 s  162 J
Leyes de Kirchhoff
Si un circuito tiene un número de derivaciones interconectadas, es necesario aplicar
otras dos leyes para obtener el flujo de corriente que recorre las distintas derivaciones.
17
Primera Ley: la ley de los nudos o nodos,
enuncia que en cualquier unión en un circuito a
través del cual fluye una corriente constante, la
suma de las intensidades que llegan a un nudo es
igual a la suma de las intensidades que salen del
mismo.
 i  0  en un nodo 
i1  i2  i3  i4
Segunda Ley: la ley de las mallas afirma que,
comenzando por cualquier punto de una red y
siguiendo cualquier trayecto cerrado de vuelta al
punto inicial, la suma neta de las fuerzas
electromotrices halladas será igual a la suma
neta de los productos de las resistencias halladas
y de las intensidades que fluyen a través de ellas.
Esta segunda ley es sencillamente una ampliación
de la ley de Ohm.
V  0  en una malla 
V  V1  V2  0
En un elemento activo el sentido de la
corriente y de la tensión son iguales.
En un elemento pasivo el sentido de la
tensión es inverso al de la corriente.
Vi  i1 R1  i2 R2  i3 R3  V f
18
Unidades y Múltiplos
Las unidades según el sistema internacional S.I., de cada una de las magnitudes vistas
son:
Magnitud
Unidad
Símbolo
Intensidad Amperio
A
Tensión
Voltio
V
Potencia
Watio
W
Energía Watio∙hora
W∙h
Resistencia Ohmio
Los múltiplos y submúltiplos se designan según la siguiente tabla:
Factor Prefijo Símbolo
109
giga
G
106
mega
M
103
kilo
k
102
hecto
h
101
deca
da
10‐1
deci
d
10‐2
centi
c
10‐3
mili
m
10‐6
micro
10‐9
nano
19
n
EJERCICIOS
1.
Un objeto cargado positivamente:
a) Ha ganado protones.
b) Ha ganado electrones.
c) Ha perdido electrones.
d) Ha perdido neutrones.
e) Ninguna de las anteriores.
2.
Que un cuerpo se encuentre en estado neutro significa que:
a) Posee únicamente neutrones.
b) Posee más cantidad de neutrones que de protones.
c) Posee tantas cargas positivas como negativas.
d) No tiene cargas de ningún signo.
e) Ninguna de las anteriores.
3.
Si un cuerpo A cargado positivamente atrae a otro B, se puede concluir que el
cuerpo B está:
a) Cargado positivamente.
b) Cargado negativamente.
c) Eléctricamente neutro.
d) Cargado negativamente o es eléctricamente neutro.
e) Ninguna de las anteriores.
4.
Si se carga un cuerpo por frotamiento queda con carga:
a) Igual a la que frotó.
b) Diferente a la que frotó.
c) Positiva.
d) No se puede determinar.
e) Negativa.
55
5.
En el proceso de cargar un cuerpo por inducción sucede que el cuerpo se pone
en contacto con:
a) El inductor
b) Tierra
c) La barra de metal
d) Nunca se pone en contacto con ningún material.
e) Ninguna de las anteriores.
6. Cuando dos cuerpos se cargan por contacto, los cuerpos:
a) Adquieren electricidad del mismo signo.
b) Adquieren electricidad del signo contrario.
c) Su electricidad es positiva.
d) Su electricidad es negativa.
e) Ninguna de las anteriores.
7. Son materiales aisladores:
a) Sustancias electrolíticas, los metales, el plástico.
b) El plástico, la madera, los metales.
c) Sustancias electrolíticas, los metales, el cuerpo humano.
d) El plástico, la madera, el vidrio.
e) Ninguna de las anteriores.
8.
Son materiales conductores:
a) Sustancias electrolíticas, los metales, el plástico.
b) El plástico, la madera, los metales.
c) Sustancias electrolíticas, los metales, el cuerpo humano.
d) El plástico, la madera, el vidrio.
e) Ninguna de las anteriores.
56
9.

El campo eléctrico se define por la expresión E 

a) F  q0 .

b)
F 
c)
 1
F  q0 .
d)
F 

1
1
 q0 .
 q0 1 .
e) Ninguna de las anteriores.
10.
Si en la definición de campo eléctrico, se toma como carga de prueba una carga
negativa, el sentido del campo eléctrico es:

a) El mismo de F .

b) Contrario de F .

c) Perpendicular a F .

d) Paralelo a F .
e) Ninguna de las anteriores.
11.
En un circuito de mallas, antes de tomar un recorrido en las corrientes, hemos
de tener en cuenta:
a) Que las resistencias tienen polaridad.
b) Que los elementos activos tienen polaridad.
c) Que el resultado final dependerá de la polaridad de las resistencias.
d) Que el resultado final es independiente de la polaridad de los elementos
activos.
e) Ninguna de las anteriores.
12.
Si una carga q1  105 C y una carga q2  101 C se encuentran separadas a una
distancia de 10 cm. Hallar el módulo de la fuerza aplicada sobre q2 :
a) 90 N.
b) 900.10‐3 N.
c) ‐900.10‐3 N.
d) 9.105 N.
e) Ninguna de las anteriores.
57
13.
La resistencia equivalente del siguiente circuito será:
a)
4.5 R
.
2
b) 4.5R .
c)
8R
.
7
d)
5R
.
3
e) Ninguna de las anteriores.
14.
En el circuito anterior, la corrientes en la malla a será:
a) I a 
2V
.
5R
b) I a 
6V
.
R
c) I a 
5V
.
2R
d) I a 
3V
.
5R
e) Ninguna de las anteriores.
15.
Si una resistencia de 4 Ω disipa una potencia de “P watt” al pasar por dicha
resistencia una corriente de “I amp”. Entonces al pasar una corriente de “2I amp” la
potencia disipada de esa resistencia sería:
a) P.
b) 2P.
c) 4P.
d) 6P.
e) No se puede determinar.
58
16.
En el circuito a continuación se puede sustituir por:
a) Dos capacitores de 91 μF.
b) Un capacitor de 913 nF.
c) Un capacitor de 12 μF.
d) No se puede sustituir.
e) Ninguna de las anteriores.
17.
Se colocan dos cargas de 3 μC y ‐12 μC respectivamente a una distancia de 20
cm. Si se coloca una carga de – 4 μC a 30 cm de la carga positiva, ¿Cuál es la fuerza que
ésta experimenta?
a) Más de 550 N.
b) 528 N.
c) 13,23 N.
d) 0,528 N.
e) Ninguna de las anteriores.
18.
Se colocan tres cargas puntuales, dos con carga +q y una con carga – q, en los
vértices de un triángulo equilátero. El campo eléctrico en el centro del triángulo:
a) Es cero.
b) Apunta en la dirección de +x.
c) Apunta en la dirección +y.
d) Apunta en la dirección –x.
e) Apunta en la dirección de –y.
19.
Una partícula cargada, de masa m se mantiene suspendida entre dos placas
paralelas. La placa superior tiene carga positiva y la inferior tiene carga negativa. ¿Cuál
de las siguientes afirmaciones no es verdad?
a) El campo eléctrico entre las placas apunta hacia abajo.
b) La partícula tiene carga negativa.
c) Las placas están a distintos potenciales.
d) La fuerza electrostática sobre la partícula tiene un valor igual a mg.
e) El campo eléctrico debe ser cero.
59
20.
Una cocina tiene dos alambres de calentamiento de igual longitud pero de
diámetros distintos. Cuando se conectan por separado a la red de alimentación de 120
voltios. ¿Cuál de los dos alambres se calienta más?
a) El más grueso por tener mayor resistencia.
b) El más grueso por tener menor resistencia.
c) El mas delgado por tener menor resistencia.
d) El más delgado por tener mayor resistencia.
e) Se calientan igual.
21.
Cuando conectamos dos capacitares desiguales (C1>C2) en serie con una
batería, al comparar sus cargas y sus voltajes, podemos afirmar que:
a) Q1>Q2
b) Q2>Q1
c) V2>V1
d) V1>V2
e) Q1=Q2
60
Capítulo 9: VIBRACIONES Y ONDAS
Las vibraciones y las oscilaciones de los sistemas físicos constituyen uno de los campos de
estudio más importantes de la física. Todo sistema posee una cierta capacidad de vibración y la
mayoría de los sistemas pueden vibrar libremente de muchas maneras diferentes. En la
naturaleza existen numerosos ejemplos, que van desde el corazón de las personas, hasta los
movimientos sísmicos que experimenta la corteza terrestre.
El movimiento ondulatorio esta intrínsecamente vinculado al movimiento ondulatorio. Esta
relación es biunívoca, es decir, una vibración puede producir una onda, y su vez una onda
puede producir una vibración. El primer concepto importante a mencionar es el referido al de
ondas.
Una onda es una perturbación que se propaga
a lo largo de un medio mediante
oscilaciones ligadas a las partículas que lo constituyen. Son portadoras de energía pero no de
materia.
Las ondas se pueden clasificar de diversas maneras:
En función del medio en que se propaguen: mecánicas y electromagnéticas.
ONDAS MECÁNICAS: necesitan un medio elástico para propagarse, y la perturbación da
lugar a una magnitud mecánica, por ejemplo: un desplazamiento, una variación de presión,
éstas son las que estudiaremos ahora.
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS: no necesitan ningún medio de propagación, este es el caso
de la luz, donde la magnitud que varía es un campo, tanto eléctrico como magnético.
En función del movimiento de las partículas del medio y del movimiento de propagación de
la onda:
ONDAS LONGITUDINALES: El movimiento vibratorio tiene la misma dirección que su
propagación a través del medio; ej. un muelle (resorte).
ONDAS TRASVERSALES: El movimiento vibratorio tiene lugar en dirección perpendicular a
su propagación en el medio, ej. : una cuerda, superficie del agua, ola de un estadio. La
propiedad física que se propaga varía en dirección perpendicular al rayo.
Fig.9.1: Ondas longitudinales (superior) y ondas Transversales (inferior)
Magnitudes del movimiento ondulatorio
AMPLITUD: es la máxima elongación de la onda.
LONGITUD DE ONDA: Es la distancia entre dos posiciones idénticas de la onda, la longitud
de un ciclo. Lo más fácil es medirla entre dos picos.
PERIODO: T. Es el tiempo necesario para completar un ciclo.
FRECUENCIA: Es el número de ciclos que la onda completa en un tiempo determinado. Se
mide en hercios. Así, 400 Hz significa que la onda completa 400 ciclos cada segundo.
NÚMERO DE ONDAS: Se define como
k
2

Se refiere al número de ondas que caben en una longitud de
2
metros.
Existen sistemas simples como el péndulo que oscila en un plano, una masa sujeta a un
resorte o un circuito LC porque su configuración puede especificarse completamente, en todo
momento, a través de una sola característica o parámetro que varía en el tiempo de una forma
armónica entre un valor máximo y un valor mínimo. Por ejemplo, obsérvese el ejemplo de la
figura, si se pone a oscilar la masa que se encuentra atada al resorte se observa que si se desliza
una lamina de papel en la dirección perpendicular a la oscilación el movimiento viene dado por
una función tipo sinusoidal
Fig.9.2: Movimiento oscilatorio
Ahora bien, al considerar el movimiento en una dimensión, y conocido la forma sinusoidal
(seno o coseno) que sigue la trayectoria, es lógico pensar que la posición venga dada por:
x(t )  A cos(t   )
ó
x(t )  Asen(t   )
 la fase del movimiento (cantidad que viene dada
por la condición inicial de la oscilación) y  la frecuencia angular, que viene dada por:
Siendo A la amplitud del movimiento,

2
T
Ondas y sonidos
Cuando los cuerpos vibran comprimen el aire de su entorno, produciendo pequeños
cambios de presión q generan una serie de pulsos de compresión y enrarecimiento (dilatación)
que forma una onda sonora.
Vibraciones y sonidos:
Los fenómenos sonoros están relacionados con las vibraciones de los cuerpos materiales.
Los tres elementos básicos para la existencia de sonidos son:
‐ El objeto vibrante fuente sonora, que puede ser una cuerda, una lámina o las partículas del
aire en una cavidad.
‐ El medio, que puede ser sólido (madera, metal, cuero, plástico, nylon, etc...), liquido o
gaseoso como el aire.
‐ El receptor, que puede ser nuestro oído o algún instrumento que registre sonido.
La naturaleza longitudinal de las ondas sonoras se pone de manifiesto por el hecho de los
fluidos, tanto líquidos como gases son capases de trasmitirlas; por medio de compresiones y
enrarecimiento sucesivos, es decir, variaciones de presión periódica.
Características del sonido
Cuando hablamos de sonidos intensos y débiles, nos referimos a la intensidad del sonido.
Esta depende de la amplitud de la vibración, siendo un sonido más intenso cuando la amplitud
es mayor y un sonido más débil cuando la amplitud es, menor. El aire propaga el sonido. Si falta
el aire, el sonido no puede llegar a nuestro oído.
Entonces, ¿qué es un sonido? cuando un cuerpo es golpeado, chocado o frotado, las
moléculas de la materia que lo componen ejecutan un movimiento muy rápido, es decir, que
vibran, y esas vibraciones llegan a nuestro oídos transmitidas por el aire.
La propagación del sonido es uniforme en todas las direcciones y llega a cualquier punto
recorriendo una línea recta (rayo sonoro). Se comprende fácilmente que su intensidad
disminuye a medida que la distancia aumenta. En el aire el sonido se propaga con movimiento
uniforme a la velocidad de 340 metros por segundos; nuestro oído solo percibe los sonidos de
cuerpos que vibren, como mínimo, 16 veces por segundo, y como máximo aproximada mente
20.000 por segundo.
Como resultado de intensas investigaciones, los físicos han podido probar que en el agua de
mar la velocidad del sonido es de unos 1437mts por segundo, mientras que en los cuerpos
sólidos, como el vidrio o el acero, es de unos 5000mts por segundo. Es fácil comprobar que la
luz es mucho más rápida que el sonido. En efecto, durante una tormenta se tiene la impresión
visual del relámpago y después la sensación acústica del trueno, siendo conocido que se
producen al mismo tiempo.
Si, bajo el agua golpeamos entre sí dos guijarros, el sonido del choque llegara a nuestro
oído mucho mas claramente que en el aire, porque en el agua la velocidad de propagación es
más grande, y el sonido se difunde mejor en los medios líquidos y sólidos.
Como es sabido, el sonido se propaga en línea recta cuando el aire es inmóvil y la
temperatura constante, pero existen capas de aire con temperatura variable, entonces el rayo
sonoro se quiebre, es decir, se desvía, como si tratara de alejarse de la capa donde le velocidad
del sonido es más elevada.
Capítulo 10: ÓPTICA GEOMÉTRICA
La óptica se ocupa del estudio de la luz, de sus características y de sus manifestaciones. La
reflexión y la refracción por un lado, y la interferencia y la difracción por otro, son algunos, de
los fenómenos ópticos fundamentales. Los primeros pueden estudiarse siguiendo la marcha de
los rayos luminosos. Los segundos se interpretan recurriendo a la descripción en forma de
onda. El conocimiento de las leyes de la óptica permite comprender cómo y por qué se forman
esas imágenes, que constituyen para el hombre la representación más valiosa de su mundo
exterior.
El objeto de estudio será la óptica geométrica, la cual parte de las leyes fenomenológicas de
Snell (o Descartes según otras fuentes) de la reflexión y la refracción. A partir de ellas, basta
hacer geometría con los rayos luminosos para la obtención de las fórmulas que corresponden a
los espejos, en sus distintas formas, y lentes (o sus combinaciones), obteniendo así las leyes que
gobiernan los instrumentos ópticos a los que estamos familiarizados.
Propagación de la Luz y Camino Óptico.
Cuando una onda de cualquier tipo alcanza la frontera de dos medios distintos (agua‐aire,
aire‐vidrio, por citar algunos ejemplos) una parte de su energía se transmite al segundo medio,
dando lugar en el segundo medio a otra onda de características semejantes las de la onda
incidente y que recibe el nombre de onda transmitida. Otra parte, la energía se emplea en
generar otra onda que se propaga hacia atrás, en el primer medio y que se llama onda
reflejada. Estos procesos se conocen como refracción y reflexión, o también existe la
posibilidad que la luz sea absorbida por el medio, fenómeno de gran interés (absorción de
fotones,
que
son
partículas
elementales
responsables
de
las
manifestaciones
electromagnéticas, como lo es la luz).
La luz puede ser emitida y luego viajar de un lado a otro en línea recta con velocidad
c  3  108 m / s  300.000km / s si se propaga en el
vacío ( a estos efectos se puede
considerar el aire), sin embargo, la velocidad de la luz puede variar dependiendo del medio en
el que se propague. De hecho, La velocidad con que la luz se propaga a través de un medio
homogéneo y transparente es una constante característica de dicho medio, y por tanto, cambia
de un medio a otro. En la antigüedad se pensaba que su valor era infinito, lo que explicaba su
propagación instantánea.
Debido a su enorme magnitud, la medida de la velocidad de la luz “c” ha requerido la
invención de procedimientos ingeniosos que superarán el inconveniente que suponen las cortas
distancias terrestres en relación con tan extraordinaria rapidez. Métodos astronómicos y
métodos terrestres han ido dando resultados cada vez más próximos. En cualquier medio
material transparente la luz se propaga con una velocidad que es siempre inferior a c. Así, por
ejemplo, en el agua lo hace a 225 000 km/s y en el vidrio a 195 000 km/s.
En óptica se suele comparar la velocidad de la luz en un medio transparente con la
velocidad de la luz en el vacío, mediante el llamado índice de refracción absoluto n del medio:
se define como el cociente entre la velocidad c de la luz en el vacío y la velocidad v de la luz en
el medio, es decir:
n
c
v
El índice de refracción de un medio es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío
(c=3.108 m/s) y la velocidad de la luz en ese medio. No tiene unidades y siempre es mayor o
igual que 1.
EJEMPLO:
Si la velocidad de luz en el vidrio es de 2x108 m/s, ¿Cuál será el índice de refracción del
vidrio?
SOLUCIÓN:
Usando la ecuación del índice de refracción
c 3  108 m / s
n 
 n  1.5
v 2  108 m / s
El índice de refracción es un número siempre mayor que 1, salvo en el vacío que toma un
valor igual a la unidad.
Ahora bien, en estos procesos se conserva la frecuencia de la onda, lo que implica que la
longitud de onda t de la onda transmitida es diferente de la longitud de onda i de la onda
incidente, pues también cambia la velocidad de la onda en cada medio. Para el caso de una
onda luminosa:
t 
2
i 
f
1
f
c
t  2
 2 n1



c
i  1
n2
1
Siendo f la frecuencia, y n1 y n2 los índices de refracción de cada medio.
La luz es el agente físico que hace visibles los objetos. Es la claridad que irradian los cuerpos
en combustión, ignición o incandescencia. En términos físicos, la luz es una onda
electromagnética cuya frecuencia determina el color. En términos generales, el espectro
electromagnético abarca, según un orden creciente de frecuencia: las ondas de radio, las
microondas, el infrarrojo, la luz visible, la radiación ultravioleta, los rayos X y, finalmente, los
rayos gamma.
A continuación, se presenta un diagrama con el espectro electromagnético junto con unos
ejemplos y datos relevantes, tal como la región del espectro que visible por el ser humano.
Fig. 10.1: Espectro Electromagnético y región del visible en detalle.
Cabe señalar que tal como se indica el espectro visible abarca desde 700 a 400 nanómetros
(10‐9 m) y va, en este sentido, desde el infrarrojo al ultravioleta en la escala de colores, tal y
como luce un arco iris.
La luz se propaga en línea recta en un medio homogéneo, es decir, aquel medio que posee
las mismas propiedades en todas las direcciones. La
presente hipótesis de propagación
rectilínea de la luz explica fenómenos tales como:

Si en un recinto lleno de humo se hace pasar un rayo de luz se podrá observar que el
rayo posee borde definido, el cual es una línea recta.

Cuando se coloca una fuente luminosa en el centro de un cuarto ésta es capaz de
iluminar todos los objetos opacos, generándose de estos últimos sus respectivas
sombras ya que los espacios detrás de los objetos son inaccesibles a la luz.
Reflexión y Refracción de Rayos Paralelos en Superficies
Planas.
Cuando un rayo luminoso incide sobre una superficie que separa dos medios distintos, en
general, sucede que una fracción del haz que se refleja (permanece en el mismo medio) y la
otra se refracta (se propaga por el otro medio)
Leyes de la Reflexión
Al igual que la reflexión de las ondas sonoras, la reflexión luminosa es un fenómeno en
virtud del cual la luz al incidir sobre la superficie de los cuerpos cambia de dirección,
invirtiéndose el sentido de su propagación. En cierto modo se podría comparar con el rebote
que sufre una bola de billar cuando es lanzada contra una de las bandas de la mesa.
La visión de los objetos se lleva a cabo precisamente gracias al fenómeno de la reflexión. Un
objeto cualquiera, a menos que no sea una fuente en sí mismo, permanecerá invisible en tanto
no sea iluminado. Los rayos luminosos que provienen de la fuente se reflejan en la superficie
del objeto y revelan al observador los detalles de su forma y su tamaño.
De acuerdo con las características de la superficie reflectora, la reflexión luminosa puede
ser regular o difusa. La reflexión regular tiene lugar cuando la superficie es perfectamente lisa.
Un espejo o una lámina metálica pulimentada reflejan ordenadamente un haz de rayos
conservando la forma del haz. La reflexión difusa se da sobre los cuerpos de superficies más o
menos rugosas. En ellas un haz paralelo, al reflejarse, se dispersa orientándose los rayos en
direcciones diferentes. Ésta es la razón por la que un espejo es capaz de reflejar la imagen de
otro objeto en tanto que una piedra, por ejemplo, sólo refleja su propia imagen.
Fig. 10.2: Reflexión especular (superior) y reflexión difusa (interior) de la luz.
Sobre la base de las observaciones antiguas se establecieron las leyes que rigen el
comportamiento de la luz en la reflexión regular o especular. Se denominan genéricamente
leyes de la reflexión.
1. Cada rayo de la onda incidente y el correspondiente rayo de la onda reflejada forman un
plano perpendicular al plano de separación de los medios.
2. El ángulo que forma el rayo incidente con la recta normal a la frontera (ángulo de
incidencia) es igual al ángulo de esta normal con el rayo reflejado (ángulo de reflexión).
Fig. 10.3: Reflexión de la luz.
Sea  i el ángulo que forma el haz incidente respecto a la normal y  r el ángulo que forma el
haz incidente respecto a la normal. Luego, la óptica geométrica prueba que:
i  r
Principio de Huygens
La reflexión total es el fenómeno que ocurre cuando un rayo de luz incide desde un medio
más denso a uno menos denso con un ángulo superior al ángulo crítico.
Una aplicación de la reflexión total es la fibra óptica, que es una fibra de vidrio, larga y fina
en la que la luz en su interior choca con las paredes en un ángulo superior al crítico de manera
que la energía se transmite sin apenas perdida. También los espejismos son un fenómeno de
reflexión total.
Leyes de la Refracción
Se denomina refracción luminosa al cambio que experimenta la dirección de propagación
de la luz cuando atraviesa oblicuamente la superficie de separación de dos medios
transparentes de distinta naturaleza. Las lentes, las máquinas fotográficas, el ojo humano y, en
general, la mayor parte de los instrumentos ópticos basan su funcionamiento en este
fenómeno óptico.
El fenómeno de la refracción va, en general, acompañado de una reflexión, más o menos
débil, producida en la superficie que limita los dos medios transparentes. El haz, al llegar a esa
superficie límite, en parte se refleja y en parte se refracta, lo cual implica que los haces
reflejado y refractado tendrán menos intensidad luminosa que el rayo incidente. Dicho reparto
de intensidad se produce en una proporción que depende de las características de los medios
en contacto y del ángulo de incidencia respecto de la superficie límite. A pesar de esta
circunstancia, es posible fijar la atención únicamente en el fenómeno de la refracción para
analizar sus características.
Al igual que las leyes de la reflexión, las de la refracción poseen un fundamento
experimental. Junto con los conceptos de rayo incidente, normal y ángulo de incidencia, es
necesario considerar ahora el rayo refractado y el ángulo de refracción o ángulo que forma la
normal y el rayo refractado. Las leyes que rigen el fenómeno de la refracción pueden,
expresarse en la forma:
1. Cada rayo de la onda incidente y el correspondiente rayo de la onda transmitida
forman un plano que contiene a la recta normal a la superficie de separación de los dos
medios.
2. El ángulo que forma el rayo refractado con la normal (ángulo de refracción) está
relacionado con el ángulo de incidencia de tal manera que:
n1 sen i  n2 sen r
Ley de Snell
Siendo el cociente entre el ángulo de incidencia y el refractado una constante:
sen i
 ctte.
sen r
Fig. 10.4: Refracción de la luz.
La refringencia de un medio transparente viene medida por su índice de refracción. Los
medios más refringentes son aquellos en los que la luz se propaga a menor velocidad; se dice
también que tienen una mayor densidad óptica. Por regla general, la refringencia de un medio
va ligada a su densidad de materia, pues la luz encontrará más dificultades para propagarse
cuanta mayor cantidad de materia haya de atravesar para una misma distancia. Así pues, a
mayor densidad, menor velocidad y mayor índice de refracción o grado de refringencia.
Cuando la luz pasa de un medio a otro cuyo índice de refracción es mayor, por ejemplo del
aire al agua, los rayos refractados se acercan a la normal, dicho de otra forma, el ángulo medido
desde la normal disminuye. Si el índice de refracción del segundo medio es menor los rayos
refractados se alejan de la normal.
Fig. 10.5: Rayo refractado que atraviesa tres medios diferentes.
Consideremos que n1 > n2 y aumentamos el ángulo de incidencia, llega un momento en que
el ángulo de refracción se hace igual a
refractado. Como el seno de

2

2
(90°), lo que significa que desaparece el rayo
es 1 el ángulo de incidencia, para el cual ocurre este
fenómeno viene dado por:
n1sen i  n2 sen r  n1sen i  n2 sen( )
2
n1sen i  n2  sen C  n2
n1
En consecuencia, llamamos al ángulo de incidencia, ángulo crítico y viene dado por:
 C  arcsen(n2 n )
1
Este ángulo de incidencia,  C recibe el nombre de ángulo crítico, ya que si aumenta más el
ángulo de incidencia, la luz comienza a reflejarse íntegramente, fenómeno que se conoce como
reflexión total.
Fig. 10.6: Refracción, ángulo crítico y reflexión total.
Formación de Imágenes
La imagen es un punto de intersección de distintos rayos luminosos. Dependiendo de cómo
se cruzan los rayos luminosos, las imágenes se clasifican en reales o virtuales. En una imagen
real los rayos luminosos convergen en un punto, en una imagen virtual, el punto de
intersección se forma por la prolongación de rayos divergentes.
En ocasiones los rayos de luz que, procedentes de un objeto, alcanzan el ojo humano y
forman una imagen en él, han sufrido transformaciones intermedias debidas a fenómenos
ópticos tales como la reflexión o la refracción. Todos los aparatos ópticos, desde el más sencillo
espejo plano al más complicado telescopio, proporcionan imágenes más o menos modificadas
de los objetos.
La determinación de las relaciones existentes entre un objeto y su imagen correspondiente,
obtenida a través de cualquiera de estos elementos o sistemas ópticos, es uno de los propósitos
de la óptica geométrica. Su análisis riguroso se efectúa, en forma matemática, manejando
convenientemente el carácter rectilíneo de la propagación luminosa junto con las leyes de la
reflexión y de la refracción. Pero también es posible efectuar un estudio gráfico de carácter
práctico utilizando diagramas de rayos, los cuales representan la marcha de los rayos luminosos
a través del espacio que separa el objeto de la imagen.
Formación de Imágenes en Espejos Planos
Los espejos son superficies muy pulimentadas, con una capacidad reflectora del 95% o
superior de la intensidad de la luz incidente.
En un espejo plano el haz incidente se refleja completamente y para el estudio del
comportamiento solo se usan las dos primeras leyes de Snell. En la figura, se muestra una
imagen F formada a partir del objeto A luego de la reflexión de los rayos en un espejo plano.
Como se observa como los rayos incidentes divergen.
Fig.10.7: Reflexión en un espejo plano. Generación de la imagen.
En un espejo, plano las posiciones
relacionadas:
  ´ .

y
´ de un objeto y su imagen están simplemente
La imagen es virtual, pues se forma con las prolongaciones de los
rayos, así como no se presenta ningún tipo de magnificación ni inversión, como si puede ocurrir
en otros casos.
Espejos Esféricos.
Un espejo esférico está caracterizado por su radio de curvatura R. En el caso de los espejos
esféricos solo existe un punto focal F=F´=R/2 cuya posición coincide con el punto medio entre el
centro del espejo y el vértice del mismo. Se encontrará a la izquierda del vértice para los
espejos cóncavos y a la derecha para los espejos convexos.
El aumento (factor de magnificación) del espejo será A =y´/y, es decir, la longitud de la
imagen entre la longitud del objeto y dependerá de la curvatura del espejo y de la posición del
objeto.
b
a
Fig.10.8: Espejos esféricos. a Espejo cóncavo. b Espejo convexo.
Algunas definiciones de gran utilidad para este tipo de espejos son las siguientes:

Centro de curvatura de un espejo curvo esférico: es el centro de la esfera que
describe el espejo. Se denota con la letra C.

Eje óptico: el diámetro horizontal de la esfera.

Foco: el punto del eje óptico donde convergen los rayos que inciden paralelos al eje
óptico

Distancia focal: la mínima distancia que hay desde el espejo al foco. Vale la mitad del
radio de curvatura.
Convenio de Signos:
Las distancias entre la fuente de luz y el espejo se consideran negativas cuando el objeto se
encuentre a la izquierda del espejo y se consideran positivas cuando el objeto de encuentre a la
derecha del espejo.
La construcción de imágenes es muy sencilla si se utilizan los rayos principales:

Rayo paralelo: Rayo paralelo al eje óptico que parte de la parte superior del
objeto. Después de refractarse pasa por el foco imagen.

Rayo focal: Rayo que parte de la parte superior del objeto y pasa por el foco
objeto, con lo cual se refracta de manera que sale paralelo. Después de refractarse pasa
por el foco imagen.

Rayo radial: Rayo que parte de la parte superior del objeto y está dirigido hacia
el centro de curvatura del espejo. Este rayo no se refracta y continúa en la misma
dirección ya que el ángulo de incidencia es igual a cero.
Lentes Delgadas: Convergentes y Divergentes
Las lentes son objetos transparentes, limitados por dos superficies esféricas o por una
superficie esférica y otra plana, que se hallan sumergidas en un medio, asimismo transparente,
normalmente aire. Desempeñan un papel esencial como componentes de diferentes aparatos
ópticos. Con lentes se corrigen los diferentes defectos visuales, se fabrican los microscopios, las
máquinas fotográficas, los proyectores y muchos otros instrumentos ópticos.
Tipos de lentes
De la combinación de los tres posibles tipos de superficies límites, cóncava, convexa y plana,
resultan las diferentes clases de lentes. Según su geometría, las lentes pueden ser bicóncavas,
biconvexas, plano‐cóncavas, plano convexas y cóncavo‐convexas.
Desde el punto de vista de sus efectos sobre la marcha de los rayos es posible agrupar los
diferentes tipos de lentes en dos grandes categorías: lentes convergentes y lentes divergentes.
Las lentes convergentes se caracterizan porque hacen converger, en un punto denominado
foco, cualquier haz de rayos paralelos que incidan sobre ellas. En cuanto a su forma, todas ellas
son más gruesas en la zona central que en los bordes. Las lentes divergentes, por su parte,
separan o hacen diverger los rayos de cualquier haz paralelo que incida sobre ellas, siendo las
prolongaciones de los rayos emergentes las que confluyen en el foco. Al contrario que las
anteriores, las lentes divergentes son menos gruesas en la zona central que en los bordes.
En las lentes convergentes el foco imagen está a la derecha de la lente, f´ > 0. En las lentes
divergentes el foco imagen está a la izquierda de la lente, f´ < 0. Las lentes convergentes son
más gruesas por el centro que por los extremos, mientras que las divergentes son más gruesas
por los extremos que por el centro.
Se define además la potencia de una lente como la inversa de su distancia focal imagen
P=1/f´ y mide la mayor o menor convergencia de los rayos emergentes, a mayor potencia
mayor convergencia de los rayos. La unidad de potencia de una lente es la dioptría, que se
define como la potencia de una lente cuya distancia focal es de un metro.
La construcción de imágenes es muy sencilla si se utilizan los rayos principales:

Rayo paralelo: Rayo paralelo al eje óptico que parte de la parte superior del objeto.
Después de refractarse pasa por el foco imagen.

Rayo focal: Rayo que parte de la parte superior del objeto y pasa por el foco objeto,
con lo cual se refracta de manera que sale paralelo. Después de refractarse pasa por
el foco imagen.

Rayo radial: Rayo que parte de la parte superior del objeto y está dirigido hacia el
centro de curvatura del dioptrio. Este rayo no se refracta y continúa en la misma
dirección
Lentes Convergentes
Son más gruesas en el centro que en los extremos. Se representan esquemáticamente con
una línea con dos puntas de flecha en los extremos. Según el valor de los radios de las caras
pueden ser: biconvexas (1), plano convexas (2) y menisco convergente (3).
Fig.10.9: Lentes convergentes.
Lentes Divergentes
Son más delgadas en la parte central que en los extremos. Se representan
esquemáticamente por una línea recta acabada en dos puntas de flecha invertidas.
Según el valor de los radios de las caras (que son dioptrios) pueden ser: bicóncavas (4),
plano cóncavas (5) y menisco divergente (6).
Fig.10.10: Lentes divergentes.
Elementos de las lentes
Una lente está compuesta por dos superficies esféricas, cada una con su centro de
curvatura. Pueden ser de diferentes tipos. La línea que une los centros de curvatura se llama eje
principal.
Fig.10.11: Elementos de una lente
El centro geométrico de la lente es el Centro óptico, O.
Centro de curvatura, C y C', son los centros de las superficies que forman sus caras.
Todas las rectas que pasan por el Centro óptico son ejes secundarios.
Fig.10.12: Elementos de las lentes.
Foco principal imagen en las lentes convergentes es el punto situado sobre el eje en el que
inciden los rayos que vienen paralelos al eje principal.
En las lentes divergentes es el punto del eje del que parecen diverger los rayos que vienen
del infinito después de atravesarla.
Existe un foco objeto y un foco imagen. Las distancias focales son las distancias entre el
foco principal y el centro óptico.
El Prisma Óptico
Un prisma óptico es, en esencia, un cuerpo transparente limitado por dos superficies planas
no paralelas. El estudio de la marcha de los rayos en un prisma óptico es semejante al realizado
para láminas paralelas, sólo que algo más complicado por el hecho de que al estar ambas caras
orientadas según un ángulo, las normales correspondientes no son paralelas y el rayo
emergente se desvía respecto del incidente.
El prisma óptico fue utilizado sistemáticamente por Isaac Newton en la construcción de su
teoría de los colores, según la cual la luz blanca es la superposición de luz de siete colores
diferentes, rojo, anaranjado, amarillo, verde, azul, índigo y violeta. Experimentos concienzudos
realizados con rayos de luz solar y prismas ópticos permitieron a Newton llegar no sólo a
demostrar el carácter compuesto de la luz blanca, sino a explicar el fenómeno de la dispersión
cromática óptica.
Desde Newton, se sabe que el prisma presenta un grado de refringencia o índice de
refracción distinto para cada componente de la luz blanca, por lo que cada color viaja dentro
del prisma a diferente velocidad. De acuerdo con la ley de Snell, cuando la luz pasa del aire al
vidrio del prisma disminuye su velocidad, desviando su trayectoria y formando un ángulo con
respecto a la interface. Como consecuencia, se refleja y/o se refracta la luz. El ángulo de
incidencia del haz de luz y los índices de refracción del prisma y el aire determinan la cantidad
de luz que será reflejada, la cantidad que será refractada o si sucederá exclusivamente alguna
de las dos cosas. Estas diferentes clases de luz definen la gama conocida como espectro visible.
Fig.10.12: El Prisma
EJERCICIOS
1. Cuando un rayo de luz pasa del aire al agua no cambia la:
a)
Velocidad de propagación.
b)
Frecuencia.
c)
Longitud de onda.
d)
Su dirección.
e)
Ninguna de las anteriores.
2. Para afeitarse, una persona necesita ver su imagen derecha y del mayor tamaño posible.
¿Qué clase de espejo debe usar?.
a)
Plano.
b)
Cóncavo.
c)
Convexo.
d)
Opaco.
e)
Ninguna de las anteriores.
3. Cuando la luz pasa de un medio a otro de distinto índice de refracción, el ángulo de
refracción es:
a)
Siempre mayor que el de incidencia.
b)
Siempre menor que el de incidencia.
c)
Depende de los índices de refracción.
d)
Se frena bruscamente.
e)
Ninguna de las anteriores.
4. En las lentes divergentes la imagen siempre es:
a)
Derecha, menor y virtual.
b)
Derecha, mayor y real.
c)
Derecha, menor y real.
d)
Invertida virtual.
e)
Ninguna de las anteriores.
5. En las lentes convergentes la imagen es:
a)
Derecha, menor y virtual.
b)
Derecha mayor y real.
c)
Depende de la posición del objeto.
d)
Invertida virtual.
e)
Ninguna de las anteriores.
6. Disponemos de un espejo convexo de radio de curvatura 1 m. ¿Cómo es la imagen de un
objeto real?.
a)
Real, invertida y de menor tamaño.
b)
Virtual, invertida y de mayor tamaño.
c)
Virtual, derecha y de menor tamaño.
d)
Real, derecha y de mayor tamaño.
e)
Ninguna de las anteriores.
7. ¿Qué tipo de características de la luz pone de manifiesto el efecto fotoeléctrico?
a)
Su carácter corpuscular.
b)
Su carácter ondulatorio.
c)
Ni su carácter corpuscular ni su carácter ondulatorio.
d)
Su carácter galáctico.
e)
Ninguna de las anteriores.
8. Colocamos un objeto a 15 cm de distancia de una lente convergente de 30 cm de
distancia focal. La imagen formada es:
a)
Real, invertida y aumentada.
b)
Virtual, derecha y aumentada.
c)
Real, derecha y reducida.
d)
Retorcida e imaginaria.
e)
Ninguna de las anteriores.
9. En los autobuses urbanos se coloca un espejo sobre la puerta para que el conductor
pueda observar el interior del autobús en su totalidad. ¿Cómo es el espejo?.
a)
Cóncavo.
b)
Convexo.
c)
Plano.
d)
Opaco.
e)
Ninguna de las anteriores.
10. Los anteojos de corrección de la miopía usan lentes que son:
a)
Convergentes.
b)
Divergentes.
c)
Opacos.
d)
Negros y opacos.
e)
Ninguna de las anteriores.
11. Queremos hacer pasar un rayo de luz a través de un vidrio sin que se desvíe. Entonces
tendremos que utilizar:
a) Una lente plana paralela, en cualquier posición.
b) No se puede hacer.
c) Cualquier lente, atravesándola por el eje óptico.
d) Una lente convergente.
12. Dos rayos de luz inicialmente paralelos se cruzan después de atravesar una lente. Esto
puede ocurrir en el caso de que tengamos:
a)
Una lente de vidrio cóncava en el aire.
b)
Un hueco cóncavo lleno de aire en el interior de una masa de vidrio.
c)
Con otra disposición diferente de las anteriores.
d)
Sin ningún tipo de lente.
e)
Todas las anteriores.
13. El ángulo formado por el rayo incidente y el rayo reflejado en un espejo es . Si el espejo
rota un ángulo
en un eje perpendicular al formado por los dos rayos anteriores, el nuevo
ángulo que formarán entre ellos es:
a)
a+b
b)
a + 2b
c)
a–b
d)
2a – b
e)
Ninguna de las anteriores.
14. Un rayo incide con un ángulo i, por la cara de un prisma y sale por la cara opuesta en
forma rasante. El ángulo que forman las caras del prisma es de 90°. Si el ángulo de incidencia es
conocido, determinar el índice de refracción del prisma.
15. Determinar el índice de refracción de un medio en el cual la luz viaja a una velocidad de
225.000.000 m/s.
16. ¿A que velocidad ciaja la luz en un medio con índice de refracción absoluto de a=2,4?.
17. Un rayo luminoso incide en la superficie de separación de dos medios con índices de
refracción de 1 y 2. Si el rayo se origina en el medio 1 y se refleja completamente. ¿Cual de
las siguientes afirmaciones es correcta?
a)
El medio 2 es más denso.
b)
1>2.
c)
2>1.
d)
1=2.
e)
No se puede determinar la relación entre 1 y 2 sin conocer el ángulo de
incidencia.
18. Un rayo luminoso incide desde un medio 1 con índice de refracción 1, en la superficie
de separación con el medio 2 (de índice de refracción de 2), se produce un rayo reflejado y
uno refractado, ¿Cual de las siguientes afirmaciones es correcta?
a)
Si 1>2, entonces el rayo refractado se aleja de la normal respecto al
rayo incidente.
b)
Si 1>2, entonces el rayo refractado se aleja de la normal respecto al
rayo incidente
c)
Si 1<2, entonces el rayo refractado se aleja de la normal respecto al
rayo incidente.
d)
No se puede determinar el comportamiento del rayo refractado sin
conocer el ángulo de incidencia.
e)
Ninguna de las anteriores.