Problemas Propuestos - Olimpiada de Matemáticas Problema 1 Encuentra el área sombreada de la siguiente figura. Solución: La figura está formada por 4 piezas iguales del tipo A y otras 4 también iguales del tipo B. La figura sombreada está formada por 2 del tipo A y 2 del tipo B, luego su área será igual a la mitad 2 2 del área del cuadrado inicial: 82 = 64 2 = 32 cm Problema 2 Para abrir la puerta del laboratorio que contiene la fórmula del producto secreto, hay que pulsar los cuatro botones en un orden determinado. Si no se hace en el orden correcto la fórmula se destruye. Al encargado de abrir la puerta le han dado las siguientes instrucciones: a) Los números colocados sobre los botones, en ningún caso coinciden con el orden en que deben ser pulsados. b) El primero y el último en pulsar están separados. c) El último no está en ningún extremo. Solución: El 4 no debe estar ni en primer ni en cuarto lugar, por tanto estará en segundo o en tercero. Si estuviera en tercer lugar, el 1 ocuparı́a el primer botón y estarı́a en su lugar de orden, o en el segundo o cuarto y estarı́a junto al 4. Imposible. Si el 4 estuviera en segundo lugar, el 1 ocuparı́a el cuarto, el 3 el primero y el 2 el tercero, siendo la clave Problema 3 Consigue con cuatro cuatros y usando operaciones matemáticas los números del 0 al 9. Solución: Existen varias posibilidades para cada caso, presentaré algunas. 0 = 4 − 4 + 4 − 4 = (4 − 4)(4 + 4) = 44 − 44 4×4 44 1 = 4 − 4 + 44 = = 4×4 44 r r 4+4 4 4 4 4 2= 4 + 4 =4− = + 4 4 4 r 4 4+4+4 3= = 4 − 44−4 = 4 − 4 4 4 4+4 4= + 4 = 4 + (4 − 4)4 = 44−4 × 4 4 r 4 4−4 5=4+4 = (4 × 4 + 4) ÷ 4 = 4 + 4 4 Elaborado por: Ana Lanza Matemáticas, UPNFM, 2020 √ 4+4 4×4 +4=4+ 44×4= +4 4 4 4 44 4 √ 7=4− +4= −4=4+ + 4 4 4 4 4×4 8=4+4+4−4=4×4−4−4= +4 4 √ 44 √ 4 4 − 4=4 4+ 9=4+4+ = 4 4 4 6= Problema 4 Un antiguo acertijo popular dice: • Cada mochuelo en su olivo y sobra un mochuelo. • Dos mochuelos en cada olivo y sobra un olivo. ¿Sabrı́as cuántos mochuelos y cuántos olivos son? Solución: Se puede resolver aplicando un popular tanteo, ya que las soluciones son fáciles de hallar: 4 mochuelos y 3 olivos. También puede hacerse de forma más general planteando un sencillo sistema de dos ecuaciones de primer grado. Si es m el número de mochuelos y a el número de árboles, se verifica: ) m=a+1 m =a−1 2 Entonces, m = 4, a = 3 Problema 5 Un número palı́ndromo es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, por ejemplo, 131. ¿Cuál es la menor cantidad de dı́gitos que deben eliminarse en el número 87979981 para que sea palı́ndromo? Solución: Existen varias formas de hacer, presentaré una de ellas. En 87979981 debe de quitarse el uno, de esta manera queda 8797998. Ahora, en 8797998 debe quitarse los dos nueves que se encuentran a la derecha. De esta manera queda 87978, el cual es un número palı́ndromo. Finalmente, se eliminaron 1, 9, 9. La respuesta es que se eliminaron 3 dı́gitos. Problema 6 Sean x y y números enteros, tales que al dividir x por y se obtiene el cociente q y el residuo r. ¿Cuál es el residuo que se obtiene al dividir x + 2ry por y? Solución: Como el residuo de dividir 2ry por y es cero, entonces el residuo de dividir x + 2ry por y es igual al residuo de dividir x por y; es decir, el residuo es r. Problema 7 Sean p y q dı́gitos. ¿Cuáles son los posibles valores de p para que el número ppppqqqq sea divisible por 45? Solución: Como el número ppppqqqq debe ser divisible por 45 entonces debe ser divisible por 5 y por 9, para que sea divisible por 5 q debe terminar en 5 o 0. Para que sea divisible por 9 la sumas de sus cifras debe ser un múltiplo de 9; es decir: p + p + p + p + q + q + q + q = 4p + 4q = 4(p + q) debe ser múltiplo de 9. Y como 4 y 9 son coprimos, es decir, su máximo común divisor es 1, entonces p + q debe ser múltiplo de 9, pero como q no es 9 entonces se tiene que p + q = 9 y ası́ p = 4 o p = 9. Problema 8 Sea el 4ABC un triángulo rectángulo, con ∠ABC = 90◦ . Sean E y F puntos medios de AB y AC, respectivamente, y sea G un punto entre B y C. Si el área del 4ABC es 24 cm2 , ¿Cuál es el área en cm2 del 4EF G? Haga el dibujo para auxiliarse. Elaborado por: Ana Lanza Matemáticas, UPNFM, 2020 Solución: EF k BC, entonces h = AB BC y además EF = , ası́ tenemos que: 2 2 EF G = 1 1 BC AB ABC 24 × EF × h = × × = = =6 2 2 2 2 4 4 Problema 9 ¿Cuál es el valor de la expresión 20203 − 1 ? 1 + 20202 + 20212 Solución: Observe que x3 − 1 (x − 1)(x2 + x + 1) = 2 1 + + (x + 1) 2(x2 + x + 1) x2 Luego, con x = 2020 se obtiene que (2020 − 1)(20202 + 2020 + 1) 20203 − 1 2020 − 1 2019 = = = 2 2 2 1 + 2020 + 2021 2(2020 + 2020 + 1) 2 2 Problema 10 Simplifique al máximo la expresión r 2020 2020 ) 2020 (k −k 2020 k Solución: Al trabajar con leyes de potencias, r 2020 = Elaborado por: Ana Lanza (k 2020 2020 ) k 2020 −k = (k 2020×2020 k 1 ) 2020 −k k 2020 − k = k 2019 − k = k(k 2018 − 1) k Matemáticas, UPNFM, 2020
