NUMEROS ENTEROS

COLEGIO CAMPRESTE DE
MELGAR
Formando seres integrales, autónomos y felices.
NOMBRE:
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS
DOCENTE: INGRID LIZETH
GUASCA GARNICA
ÁREA: MATEMÁTICAS
PERIODO: I
GRADO: SEPTIMO
FECHA:
TALLER N° 1
FECHA ENTREGA:
NÚMEROS ENTEROS
Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas
a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de
conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya
evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de
darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de
cantidad.
Los números negativos
Los números negativos antiguamente conocidos como
“números deudos” o “números absurdos”, datan de una
época donde el interés central era la de convivir con los
problemas cotidianos a la naturaleza.
Los números negativos, además complementan o extienden
el conjunto de los números naturales, generado por un
defecto de los números naturales: la generalidad para la
operación de resta y división. Por ejemplo 5 – 9 resulta –4,
que no es natural, no se cumple entonces la propiedad de
clausura o cerradura en los naturales.
El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, en general,
la operación de resta crea otro conjunto, que viene hacer el
conjunto de los números negativos. Los números naturales
junto con los negativos formarán luego el conjunto de los
números enteros; es decir los números naturales
complementados con los negativos. Observemos el
siguiente gráfico:
Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al
siglo V, en oriente, y no llega hasta occidente hasta el siglo
XVI. En oriente se manipulaban números positivos y
negativos, estrictamente se utilizaba los ábacos, usando
tablillas o bolas de diferentes colores.
Sin embargo, los chinos no aceptaron la idea de que un
número negativo pudiera ser solución de una ecuación.
Corresponde a los Indios la diferenciación entre números
positivos y negativos, que interpretaban como créditos y
débitos, respectivamente, distinguiéndolos simbólicamente.
La notación muy difundida para los números positivos y
negativos fue gracias a Michael Stifel. La difusión de los
símbolos germánicos (+) y (-), se popularizó con el
matemático alemán Stifel (1487 – 1567) en el siglo XV, antes
de ello se utilizaba la abreviatura de p para los positivos y m
para los negativos.
RECTA NUMÉRICA
En la recta numérica podemos representar los números
enteros, los negativos se ubican a la izquierda y los positivos
a la derecha.
Recordemos que los numeros enteros se clasifican en:

Enteros positivos o Números naturales:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11…

Enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5…

Cero
PLANO CARTESIANO
Hasta fines del siglo XVIII los números negativos no eran
aceptados universalmente. Gerolamo Cardano, en el siglo
XVI, llamaba a los números negativos “falsos”, pero en su
Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente. John
Wallis (1616 - 1703), en su Aritmética Infinito (1655),
“demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que
“esos entes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito
y menores que cero”.
Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal, en
su Anteitung Zur Algebra (1770) trata de “demostrar” que (1).(-1) = +1; argumentaba que el producto tiene que ser +1
ó -1 y que, sabiendo que se cumple (1).(-1)=-1, tendrá que
ser: (-1).(-1) = +1.
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan
en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las
abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las
ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe
el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la
posición de puntos, los cuales se representan por
sus coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de
las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que
un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano
tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa
como:
P (x, y)
COLEGIO CAMPRESTE DE
MELGAR
Formando seres integrales, autónomos y felices.
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a
cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las
unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas
o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de
origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las
unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas)
hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas
y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas
coordenadas.
DOCENTE: INGRID LIZETH
GUASCA GARNICA
ÁREA: MATEMÁTICAS
PERIODO: I
GRADO: SEPTIMO
Opuesto aditivo o inverso aditivo:
(+6) + (-6) = 0
(+104) + (-104) = 0
Todo número entero adicionado con su opuesto aditivo da
como resultado cero.
PROPIEDADES DE LA RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
Clausurativa o Interna:
a − b Pertenece enteros
10 − (−5) Pertenece enteros
No es Conmutativa:
a-b≠ b-a
5−2≠2−5
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
La multiplicación de
varios números
enteros es
otro número entero, que tiene como valor absoluto el
producto de los valores absolutos y, como signo, el que
se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
Regla de los signos
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS
ENTEROS
Clausurativa o Interna:
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO
ENTERO
El valor absoluto de un número entero es el número natural
que resulta al suprimir su signo.
|−a| = a
|a| = a
Ejm: |-5| = 5
|13| = 13
PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS ENTEROS
Clausurativa o interna:
(-8) + (-19) = -27
(+47) + (-18) = +29
La suma obtenida al adicionar números enteros es un
número entero.
Conmutativa: a+b=b+a
(-67) + (+89) = +22
(+89) + (-67) = +22
En toda adición el orden de los sumandos no altera la
suma.
Asociativa:
(-14) + (+24) + (-5)
(-14 + 24) -5 = -14 + (+24 -5)
(+10) -5 = -14 + (+19)
+5 = +5
Al asociar dos o más sumandos de una adición, en distinto
orden, la suma no se altera.
Modulativa o de elemento neutro:
0 + (-41) = (-41)
(+27) + 0 = (+27)
La adición de un número entero con cero da como resultado
el mismo número entero.
a·b
2 · (−5)
Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]
6 · (−5) = 2 · (−15)
-30 = -30
Conmutativa:
a·b=b·a
2 · (−5) = (−5) · 2
-10 = -10
Elemento neutro: todo número entero multiplicado por 1 da
el mismo número entero
a ·1 = a
(−5)· 1 = (−5)
Distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2)· 8 =- 6 - 10
-16 = -16
Sacar factor común:
a · b + a · c = a · (b + c)
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
La división de dos números enteros es igual al valor absoluto
del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el
divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación
de la regla de los signos.
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MELGAR
Formando seres integrales, autónomos y felices.
DOCENTE: INGRID LIZETH
GUASCA GARNICA
ÁREA: MATEMÁTICAS
PERIODO: I
GRADO: SEPTIMO
PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN DE NÚMEROS
ENTEROS
9.
No es una operación interna:
10. En la cuenta corriente del banco tenemos $1250. Se
paga el recibo de la luz, que vale $83; el recibo del
teléfono, que vale $37, y dos cheques de gasolina de
$40 cada uno. ¿Cuánto dinero queda en la cuenta
corriente?
(−2) : 6
No es Conmutativa:
a/b ≠ b/a
6 / (−2) ≠ (−2)/6
1.
EJERCICIOS
Realiza un resumen de la historia por medio de una
historieta.
2.
Realiza un mapa conceptual de las propiedades de
números enteros.
3.
Dibuja una recta numérica y representa los siguientes
números enteros usando colores, luego ordénalos de
mayor a menor:
+8, −9, +5, 0, −1, +6, −7, +11, −6.
4.
En una ciudad en un día de otoño el termómetro varió
entre las siguientes temperaturas: Máxima: +3 °C.
Mínima: −4 °C.
a) Representa ambos valores en una recta numérica.
b) Indica sí pudieron marcarse estas temperaturas ese día
en la ciudad, si alguna no se pudo presentar indica cual es:
−2 °C, +4 °C, −5 °C, +1 °C, 0 °C, +2 °C.
c) Representa las temperaturas indicadas anteriormente en
una recta numérica.
5.
6.
Pitágoras nació el año 585 a.C y murió el año 495 a.C
¿Cuántos años vivió Pitágoras?
11. Compramos un refrigerador. Cuando lo enchufamos a
la red eléctrica está a la temperatura ambiente, que es
de 25 °C. Si cada hora baja la temperatura 5 °C, ¿a qué
temperatura estará al cabo de 6 horas?
12. Un día de invierno amaneció a 3 grados bajo cero. A las
doce del mediodía la temperatura había subido 8
grados, y hasta las cuatro de la tarde subió 2 grados
más. Desde las cuatro hasta las doce de la noche bajó
4 grados, y desde las doce a las 6 de la mañana bajó 5
grados más. ¿Qué temperatura hacía a esa hora?
13. Ubica en el plano cartesiano los siguientes puntos:

P(-4,6)

Q(-8,-6)

R(0,-3)

S(-5,0)

T(0,7)

U(5,6)

V(4,-5)
14. Coloca V o F a cada una de las siguientes frases.
Justifica en caso de que la respuesta sea falsa:



Realiza las siguientes operaciones con números
enteros:


-5 + 3 + 5 – 13 =


(-4) + 5 –(3) – 10 =


5-6-15+8-9 =


(3-8) - (10-15) =


23 – 18 +30 –(2-4) =


3(4-3) + 6 =


5(-3+5-6+9-10) – 3(3-10) =

(-12+21) - (4-10) =
Como representarías las siguientes situaciones con
números enteros:





Juan le debe 56 pesos a María.
Un submarino desciende 100 metros en el océano
Felipe asciende 100m por encima del mar
La temperatura en Rusia baja 15 grados por debajo
de 0°.
Pitágoras nació en el año 585 años a.C.
7.
En una estación de esquí la temperatura más alta ha
sido de -2°C, y la más baja, de -23°C. ¿Cuál ha sido la
diferencia de temperatura?
8.
Un avión vuela a 11000 m y un submarino está a -850
m. ¿Cuál es la diferencia de altura entre ambos?
Al eje de las x se le conoce como eje de las ordenas
( )
Al eje y se se conoce como origen
Si sumamos dos números negativos el resultado
será negativo ( )
Si multiplicamos dos números positivos el
resultado será positivo ( )
La división cumple con la propiedad conmutativa (
)
Al dividir dos números enteros el resultado siempre
será un numero entero ( )
La resta es conmutativa ya que a-b es igual a b-a (
)
Los números negativos fueron aceptamos desde
un inicio por las personas ( )
Antes de usar el signo menos (-) se usaba la letra
m para representar los números negativos ( )
“Ars magna” fue una obra de Jhon Wallis ( )