Matemáticas Fundamentales UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO Matemáticas Fundamentales Armenia, Quindı́o - Colombia Taller 1. Completar la siguiente tabla con los sı́mbolos ∈ (pertenece a) o ∈ / (no pertenece), según si el número de la columna izquierda pertenezca o no al conjunto dado arriba. −2 N Z Q I R 6∈ ∈ ∈ 6∈ ∈ − 13 12, 121212... √2 q2 − 5 6 2.4545 4.023434... √ 5 2+4 2.b 4 4 -1.1235 2 π 5.23434356... 2. Indique con una V o una F, según si el enunciado es verdadero o falso. Si es falso justifique su afirmación. a) Todo número racional es un número natural b) Todo número irracional es un número real √ c) 5 −32 es un número irracional d ) Ningún decimal finito es irracional e) Algunos racionales son decimales infinitos no periódicos f ) Todo decimal periódico es racional g) Todo número racional es decimal infinito h) Todo decimal periódico se puede expresar en forma de fracción i) N ∪ Z = Q 2021-II Matemáticas Fundamentales 1 Matemáticas Fundamentales j ) A todo punto sobre la recta le corresponde un número irracional k) Z ∈ R l ) Todo número racional es un número irracional a m) Todo fraccionario con b 6= 0, representa un decimal finito. b √ √ n) 3 + (− 3) es un número racional ñ) Z ∪ Q = R o) El producto de dos números irracionales siempre es un número irracional 3. Encuentre la fracción correspondiente de los siguientes números d f ) −12.125 a) 2.45 b) 0.43 d g) 4589.12678 b c) 0.43 h) −0.0091b 6 b d ) 13.13 e) 1.32222 . . . d i ) 0.3456 4. Indicar la propiedad de los números reales que justifica cada una de las siguientes igualdades a) 2 · (a + b) = (a + b) · 2 f ) cx + cy = c · (x + y) b) 5 + (9 + 1) = (5 + 9) + 1 g) 4 · (a · b) = (4 · a) · b c) (−r) + r = 0 h) π + (−π) = 0 d ) 12 + a · (x + y) = 12 + (ax + ay) i ) 2 + (3 + 7) = (3 + 7) + 2 e) a + 0 = 0 + a = a j) a · b = b · a 5. Efectúa las operaciones a) 2 × 7 × (−6) × (−10) × 5 b) (−2) + (−4) 2 c) 8 × (−6) × 7 × 3 3 1 2 1 1 d) − − ÷ + 4 6 3 2 2 e) 3 4 × (− 59 ) × 0 b + 0.3 f ) 1.b 2 − 0.25 g) [1.3 ÷ 2] − [1.3 ÷ 3] 2021-II Matemáticas Fundamentales 2 Matemáticas Fundamentales 2 h) × 3 1 ÷ 4 5 1 − 2 6 ÷ i) [6−(−1)]·[−3−(−9)] (−2)·(−3)·(−4)+(−3)·(−4) j) 8×(−9) −13+7 − 5 2 + 3 3 3·[(−3)(−2)(−7)+(−5)·(6)] [(−7)(−2)+(−4)·3]·[7−(−3)(−2)] −34−(−4) (−5)(−2) · 67 × 56 − 2 13 l ) 3 + 31 ÷ 2 − 14 ÷ 3 1 m) 1 + 2 1+ 1 1− 4 1 2 1 1− · − +1 ·4 2 3 4 n) 1 5 1 1 ÷ + ·2 2− + 3 3 2 4 k) 1 5 − ÷ ñ) 1 + 1 5 1 1 1 1+2 − − 1 1 1+ 1 3 1 1− 1 1 +4 1+ 1 5 6. Completa con <, > o = a) Si x > 0 y y > 0, entonces x · y 0 b) Si x < 0 y y > 0, entonces x · y 0 c) Si x 6= 0 y y = 0, entonces x · y 1 d ) Si x < 0, entonces 2 0 x 0 7. Reescribe el número sin usar el sı́mbolo de valor absoluto, y simplifique el resultado a) | − 2 − 7| e) |3| + | − 10| | − 4| f) |3| | − 2| g) (−4) √ h) 6−1 b) | − 3 + 8| c) |3 − 12| d) 4 − 1 3 8. Expresa el enunciado como desigualdad a) y es no positivo. b) d esta entre −6 y 5. c) p no es mayor que −2. d ) t no es menor que 5. e) r es menor o igual que π. 2021-II Matemáticas Fundamentales 3 Matemáticas Fundamentales f ) El negativo de z no es mayor que 6. g) El valor absoluto de x es menor que 8. h) El recı́proco de c es al menos 13. 9. Simplifique y escriba las respuestas usando solo exponentes positivos. 2 a) 3 6 −6 x y 2 b) (−4x−2 )2 (6x3 )5 !6 x−1/2 y −2/3 z −1 c) 81/3 x−1 y −1/2 z 0 3 −3 −1 4 −2 2 3 y 3 x y d) · 24 x2 y −4 23 x3 y −1 ! ! 3a2 b−1/2 z −2 c−1 4b13/14 e) · a6 c7 16a−4 b3/7 z −2 c−6 f) 3(a + b2 )2 12(a − b)−2 4(a − b)2/3 (a + b2 )−3 g) (125x1/4 y −1/4 )−3/9 (x1/3 y −2/4 ) 10. Convierta en la forma radical. No simplifique a) 4x7/2 c) 8(x + y 2 )1/2 b) x3/2 − y 3/2 d ) −r1/4 11. Convierta en forma de exponente racional. No simplifique √ 3− 7 √ 5 b) 2xy 6x2 a) √ 4 p 8 (4xy 3 )7 p√ 3 d) x − 2y 2 c) 12. Simplifique y escriba en la forma radical simple. Todas las variables representan números reales positivos. √ 243x4 p b) 5 64x40 y 10 z 15 q 4 c) 3 2a 9b5 p 3 √ d) 2x4 a) 2021-II e) q 3 2a4 9b5 √ √ 4m 15 f) √ 20m √ √ 3 3 g) 16a6 b7 c2 · 4a6 b3 c p h) 8 x2 (x − y)4 Matemáticas Fundamentales 4 Matemáticas Fundamentales i) q p 4 4x2 y l) p 3 4x6 y 5 q 7 m) 6 p p 6 n) 3x5 y 4 · 4 6x7 y 4 1 4x5 y 3 q p j ) 16 3 6412 y 27 k) 7 p 3 3x 6x5 y 7 13. Racionalice los números, es decir, realice las operaciones sobre la expresión algébraica que elimina los radicales del numerador. √ p 3 2y 3 √ 2y d) √ x √ e) 7ab 6x a) 4y 2 c) √ 5 b) 3m2 6m2 14. Reducir los términos semejantes en cada una de las expresiones dadas. a) 3m2 + 7mn − 12m2 − 5mn + 4m3 − m2 − 13m2 x+2 b) 2mx+1 − 6m − 8mx+1 − 7mx+2 − 8mx+1 2 6 m−2 1 1 4 c) − am−1 − bm−2 + ab − bm−2 − 0.4am−1 + bm−2 25 50 5 25 5 1 2 4 2 4 2 1 d ) a + b − 5a + b − 4c + + c − 5a + b2 + c 2 3 7 3 3 2 4 1 3 3 e) x − x y + 3x4 − y 4 − 0.3x4 − x3 y − 12 5 2 5 f ) 0.2r + 3t − 2.5t + 0.5r − 4r + 2.5t g) 0.6a + 0.2b + 1.3c − 0.7a + 1.9b − 0.3c + 2a − 3c h) −2a + b − 5c + 8 + 6a + 2b − 19 − 5c − 3a − 3c − 3b − 1 + 3c 5 i ) −4pq 3 − 6rs − pq 3 − 2 14 rs + 6pq 3 2 4 1 j ) 2(x − 1)a − (x − 1)2a − (x − 1)a − 8(x − 1)2a 2 3 15. Escriba los siguientes enunciados como expresiones algebraicas a) El triple de a. b) La suma de a y b es igual al cuadrado de c c) La resta entre los dos tercios de x y la raı́z cúbica de y. d ) La diferencia entre a y b elevada al cuadrado. e) La suma de tres números consecutivos pares. f ) El cubo de un número disminuido en tres veces el mismo número. g) El precio de x juguetes a 3300 pesos cada uno. 2021-II Matemáticas Fundamentales 5 Matemáticas Fundamentales h) El perı́metro de un triángulo equilátero cuyo lado mide x metros. i ) La longitud de una circunferencia cuyo radio mide r metros. j ) El volumen de una esfera cuyo radio mide r metros. k ) El área de un triangulo cuya base es x metros y altura es y metros respectivamente. 16. Halle el grado y el número de términos de las siguientes expresiones: a) 3x2 y − 5x3 y − x5 y 2 c) 3a(−ab + c) b) 4x3 − 12x + 12 d ) 6mn3 + 3m2 n2 − 3m3 n 17. Para cada término algebraico, determine su factor literal, grado, signo y coeficiente numérico. a) 2xy 2 b) −0.75m2 n3 3 c) ab2 r5 4 18. Clasifique cada una de las siguientes expresiones algebraicas según el número de términos que la integran: a) x2 + xy 2 − 2y 3 d ) wvy 2 − 2 b) 2u2 v 4 z a+b+c+d c) 2 e) xa−1 − 2xa−2 − 2xa 19. Efectuar las operaciones indicadas y simplifique. Ayuda: Utilice los productos notables. a) (4x − 1)3 f ) [(a + b) − (a − b)]2 ) b) (an+2 − bn )2 g) (x − y − z)3 c) (a − b)(a + b) √ √ d ) (3 − x)(3 + x) h) (x − 3y)2 + (x − 2y)2 e) (x − y + 2z)3 j ) (x + 1)2 + (x + 1)3 i ) (a + b + c)2 − (a + b)2 − c2 20. Descomponer en factores Factor común abc + abc2 15y 3 + 20y 2 − 5y 15c3 d2 + 60c2 d3 2021-II 93a3 x2 y − 62a2 x3 y 2 − 124a2 x Matemáticas Fundamentales 6 Matemáticas Fundamentales 100a2 b3 c − 150ab2 c2 + 50abc − 200abc2 x2 − 15x + 54 Trinomio cuadrado perfecto x2 + 12x − 364 16 + 40x2 + 25x4 a2 + 42a + 432 9b2 − 20a2 b + 25a4 c2 − 4x − 320 49m6 − 70am3 n2 + 25a2 n4 Trinomio de la forma ax2 + bx + c a2 4 − ab + b2 6x2 + 7x + 2 1 25 + 25x4 36 − x2 3 3 + 11a + 10a2 Diferencia de cuadrados perfectos 12m2 − 13m − 35 25 − 36x4 12x2 − 7x − 12 100m2 n4 − 169y 6 Suma o diferencia de cubos per- 256a1 2 − 289b4 m1 0 fectos x2 100 − 8a3 + 27b6 y8 z4 81 4x2n − a3 b3 − x6 1 9 Trinomio de la forma x2 + bx + c x3 y 6 − 216y 9 28 + a2 − 11a a6 + 125b1 2 21. MISCELANIA DE EJERCICIOS DE FACTORIZACIÓN. 2021-II (x + y)4 − 1 (x + y)2 − (y − x)2 −m − n + x(m + n) 4a6 − 1 x18 − y 18 x − xy + 1 − y 2 5 + 7x4 − 6x8 16 − (2a + b)2 4 − 4(3n ) + 32n x5m − x3m b4m x3 y 6 − 216y 9 x9 − 64x3 − x6 2x2 − 5xy + 6x − 15y 1 − m2 (a+b−1)(a2 +1)−a2 −1 18a2 + 17ay − 15y 2 x2 − 32 x + 1 − 49 a8 x6 + 4x3 − 77 a2 − b3 + 2b3 x2 − 2a2 x2 −a9 − a6 x10 + x5 − 20 32n − 3n − 20 (5n)2 + 13(5n) + 42 9(x − y)3 − (x − y) a10 − a8 + a6 − a4 100x2 − 121y 2 m12 − 1 (a + c)2 − 18(a + c) + 65 16u2 v 2 − 144z 2 m2 − 8m − 1008 1000h3 + 27k 3 x3 + 3x2 + 3x + 1 −x2 + 12x − 36 a2 + 2a(a + b) + (a + b)2 m2 − n2 + m3 − n3 64(m + n)3 − 125 4x8 − 20x4 y + 25y 2 − a7 − a 15x4 − 17x2 − 4 m3 − n3 + (m − n) 3ax2 − 3a 16z 2 2 8 3 − 8a + a2 x3 − x y3 y3 1 9 Matemáticas Fundamentales 12m2 − 13m − 35 7 Matemáticas Fundamentales a2 −d2 +n2 −c2 −2an− a2 + 9 − 6a − 16x2 4xk − 4x2 2cd 16x7 − 81x3 − 16x4 + 81 2021-II a2 − k 2 + 9b2 + 6ab − x3 − 6x2 − 7x Matemáticas Fundamentales 8