CODEX 3 er P

TEORÍA Y PROBLEMAS SELECTOS
CÁLCULO II
Y COMO RESOLVERLOS
PROBLEMAS DE EXÁM
MENES UMSA INGENIERÍA
A ,U
UNI PERÚ--U.TOKIO JAPON
CODEX
VOL.III INTEGRALES DE LÍNEA
Y INTEGRALES MÚLTIPLES
J&J PAYE Hnos.
CÁLCULO II
CODEX
Derecho reservados de acuerdo al
D.L.- 5216-15
AUTORES:
JOSE PAYE CHIPANA
JOSUE PAYE CHIPANA
PRIMERA EDICIÓN
MAYO, 2015 LA PAZ- BOLIVIA
QUEDA AUTORIZADA LA
REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL
NO LUCRAR CON LA CIENCIA, PROMOVER LA INVESTIGACIÓN CON
COMPROMISO
NO AL OSCURANTISMO CIENTÍFICO
NOTA: FAVOR DE NO PINTAR NI SELLAR, OBSTACULIZA AL LECTOR
PROLOGO
El presente trabajo “CODEX CALCULO II VOL.III”, En su primera edición
contiene básicamente los temas: INTEGRALES DE LÍNEA, INTEGRALES
MÚLTIPLES Y APLICACIONES, son temas que se desarrollan en el Tercer
Parcial en el Curso de Cálculo II en INGENIERÍA.
En cada capítulo se expone un resumen de enunciados de definiciones y
teoremas, seguido de ejercicios desarrollados y de reto personal.
Deseo expresar mi mas profundo agradecimiento a mí FACULTAD DE
INGENIERÍA UMSA, quien va formando profesionales para el desarrollo
Técnico y Científico de nuestros país.
JOSE PAYE CHIPANA
JOSUE PAYE CHIPANA
DEDICATORIA
“A mí inspiración Jackeline W. Salazar
Flores, Eres mi único teorema
fundamental y aunque tengas
discontinuidades en ciertos puntos,
asíntotas negativas o soluciones
complejas, para mi
eres la ecuación perfecta”
ÍNDICE
PAGINA
1. PROBLEMAS DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA (2008-2014) …1
2. CAPITULO VI INTEGRALES DE LÍNEA ………………………………………....7
3. PROBLEMAS RESUELTOS INTEGRALES DE LÍNEA ……..………………..12
4. CAPITULO VII INTEGRALES MÚLTIPLES INTEGRAL DOBLE…………….18
5. PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRAL DOBLE Y APLICACIONES.…25
6. CAPITULO VIII INTEGRAL TRIPLE Y APLICACIONES……………………...50
7. PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRAL TRIPLE Y APLICACIONES ….53
8. PROBLEMAS DE RETO PERSONAL
(EXÁMENES DE UNI- LIMA PERÚ, U. TOKIO JAPON)……………………….61

JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
PREGUNTAS DE EXÁMENES DE PRIMER PARCIAL ORDENADOS DE ACUERDO A FECHA
Problemas Resueltos De Exámenes Pasados De Umsa Ingeniería De (2007-2014) Y Algunos
Exámenes De Cálculo II, (UNI –Peru) (U. Tokio-Japon)
1) (II/2014) Que condición debe cumplir f  x, y para que
 f x, ydA se utilice
para calcular el
R
área de una región R?
2) (II/2014) Escriba una propiedad de las integrales dobles y anote un ejemplo
3) (II/2014) Si f  x, y   g  x, y  ,en una región R, cual es el significado geométrico del Teorema:
 f x, y dA   g x, y dA ?
R
R
4) (II/2014) Cual es el valor de la integral
 dV . S: es el solido x
2
 y2  4 , z  0 , z  2
S
5) (II/2014) Calcular la integral
 y  x
2
dA R=  2,2  0,4
R

2
2
6) (II/2014) Calcular el Área de la superficie interior a la curva: x  y

2

 18 x 2  y 2

2
2
2
2
2
2
7) (II/2014) Calcular el volumen encerrado por las superficies: 4 x  y  z  4 ; z  4 x  y ,
z  0
interior a ambas
2
2
2
8) (II/2014) Calcular el área de parte del cono z  x  y ,que está en el interior del paraboloide
z  2x 2  2 y 2
9) (II/2014) Calcular el valor de la integral
 e
x y 2
dA R= 0,2 0,3 en cada rectángulo
R
10)
11)
(I/2014) Escriba una propiedad de la integral Doble y anote un ejemplo sencillo
(I/2014) Es integrable la función f  x, y   x  2 y definida en el rectángulo: 1  x  2 ,
0  y  2?

12)
(I/2014) Dibuje cuatro vectores del Campo Vectorial: f  x, y   2 x  y , x  2 y 
13)
(I/2014) Escriba un ejemplo para la propiedad:    F  G     F    G
14)
(I/2014) Calcule la integral


 y  x  1 dA ,





R  0,2  0,1
R
15)
(I/2014) Una esfera metálica de radio R=2 [cm] , es perforada en uno de sus diámetros por
una broca de radio 1 [cm] . Cuanto de material metálico queda? (dibuje adecuadamente su
solido)
16)
(I/2014) Calcular el área de la parte de la esfera x  y  z  4 , situada sobre el plano
2
2
2
z 1
17)
(I/2014) Calcular el volumen del helado   cos (esfera) y  

(cono coordenadas
4
esféricas)
1
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA

18)
(I/2014) Calcular el trabajo realizado por la fuerza F  2 x  y ,3 x  y  , a lo largo de los
lados del triangulo (0,0), (2,0), (0,2)
19)
20)
(II/2013) cómo define un campo Conservativo? Escriba un ejemplo.
21)
(II/2013) Cual es el significado geométrico de una integral Doble?
22)
(II/2013) Puede calcularse mediante integral doble el volumen de f  x, y   2 x  y , en la
región R  0,1 0,2?
23)
(II/2013) Cual es el significado del jacobiano en una transformación de coordenadas
Aplicada a integrales Dobles.

4
24)
(II/2013) Dibuje el Solido y calcule el Volumen del solido, limitado por:  
25)
2
2
(II/2013) Calcular el área del paraboloide z  9  x  y ; que se encuentra arriba del plano
z5
26)
(II/2013) Demuestre


1
y
que el campo F  cos x  ln y, xy  e ; es
  4 cos 
CONSERVATIVO y
calcule la función potencial
27)
(II/2013) Sea R la región elíptica limitada por: x  xy  y  3 ; Haciendo el cambio
2
x uv
y  u  v ;Calcule
 e
 ( x 2  xy  y 2 )
2
dA
R
28)
29)
(I/2013) Escriba una propiedad de la integral Doble y anote un ejemplo sencillo
(I/2013) Cual es el significado geométrico de una integral Doble
30)
(I/2013) Calcule
 f x, y dA , f x, y   2x  y
R  0,1 0,2?
R
31)
(I/2013) Graficar el campo vectorial: F  2 x  y, x  2 y 
32)
(I/2013) Graficar la región definida en el primer cuadrante, limitada por las curvas.
xy  2
xy  4 xy 3  3
(I/2013) Calcular el área de la superficie: x  y  z  4 z
2
33)

z  x2  y2
34)
xy 3  6 ; y calcular el área
2
cortada
por el cono

1/ 2
2
2
2
(I/2013) Calcular el Volumen del solido limitado por los elipsoides: 4 x  4 y  z  4 ;
4 x 2  4 y 2  z 2  16
35)
2


(I/2013) Calcular el trabajo realizado por la fuerza F  4 xy  y ,2 x  2 xy ; a lo largo de la
2
2

curva r (t )  (t 2 ,2t ) ; 0  t  2 (Grafique la curva)
36)
(II/2012) Si R es la región triangular limitada por la curva cerrada C recorrida positivamente
con vértices en: (0,0) , (2,0) , (0,2); Calcular: (a)
 y
2


 
 1 dx  x 2  1 dy
c
(b) 2
 x  y dydx
(c) analizar si se cumple ó no el teorema de Green
R
2
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
37)
 x2 
 dydx; R: encerrada por: x 2  y 2  4 x
(II/2012) calcular la integral   2
2 
R  x  y 
38)
2
2
(II/2012) calcular el área del cilindro: y  z  25 comprendida entre los planos y  2 x ;
x0
39)
(II/2012) calcular el volumen del solido encerrado por: z 
y  x , y  4x
40)
y
2
2
, z  0 , y  x , y  3x ,
2
x
y2 z2
y2 z2
2


 4 en el primer
x
(II/2012) calcular la integral: I   x x 
 dV ; V:
4
9
4
9
V
2
octante.
41)
(I/2012) Hallar el volumen limitado por: y  6 , z  2 y , z  x 2 , z  2  x 2
42)
(I/2012)
Calcular el área de la porción de la superficie z 2  x 2   y  2 
2
, interior a
x 2  y 2  2x
43)
(I/2012) Calcular la masa de la lámina plana que se muestra en la figura, si su densidad
superficial está dada por  x, y   xy
2
y
4
2
x
2
44)
(I/2012)
2
2
2
Calcular el área de la porción de la superficie z  x  ( y  2)
,interior a
x 2  y 2  2x
45)
 x2  2y

(I/2012) Calcular :   x dy   y dx , si c :  x  2 y  20 , en el primer cuadrante
c
 x0

46)
(I/2012) Hallar la masa del cuerpo de densidad constante, cuya forma esta limitada según
2
2
2
lo siguiente: Interior a la superficie x  y  z  4
47)
2
2
y exterior a x  y  3z , z  0
2
4
(I/2012) Hallar el área del lazo de la curva: y  x 4  x 
4 16 x 2
48)
(II/2011) (a) Analizar la verdad ó Falsedad de:
4 16 x 2
  (2 x  3 y)dydx  2  (2 x  3 y)dydx
4
0
0
0
justifique su respuesta (b) Deducir la expresión del jacobiano en coordenadas esféricas
49)
(II/2011) Invertir el orden de integración en: I 
4
8x
0
4 x x2
  f ( x, y)dydx
3
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
50)
CODEX-CÁLCULO II
(II/2011)



JOSUE PAYE CHIPANA
Calcular


:
 
I   2 xz  2 y  3e cos y dx  3 y z  2 x  e seny dy  x  1  2 y z dz
3z
2
3x
2
2
3
C:
camino
C
ABCD, A(0,0,0) ; B(2,0,0); C(2,0,0); D(2,3,1)
51)
2
2
2
(II/2011) Calcular el área de la superficie: x  y  z  0 en el primer octante y limitada
por x  y  6
52)
(II/2011) Calcular el volumen del solido interior a: x  y  z  8z
2
2
2
e interior a:
z 2  3x 2  3 y 2
53)
x 2  y 2  z 2  25 ;
(II/2011) En el solido semi esférico
z  0 la densidad varia
proporcionalmente a la distancia de todo punto al centro. Hallar las coordenadas del centro de
masa de este cuerpo
54)
(II/2011) Calcular la integral: I 








donde: F  x  y 2 i   2 x  j  2 yz  k , S:
 F  d S
R
superficial del plano 2x + y + 2z = 6 en el primer octante
55)
(I/2011)
Determinar
el
volumen
limitado
por:
9 x 2  4 y 2  36z 2  36
,
9 x 2  4 y 2  36z 2  144 , 9 x 2  4 y 2  36 z 2
56)
 x 2  y 2  4 xy 6
(I/2011) Calcular la integral doble:  ( x  y )dydx si R :  2
2
 x  y  1 xy 1
R
57)
(I/2011) Resolver:
2

2
1  (2 x  y ) 2  ( z  x) 2  ( y  3z ) 2 dxdydz R:
R
(2 x  y)  ( z  x)  ( y  3z ) 2  1
2
2
58)
2
2
(I/2011) Determinar el área interior a x  y  4 x y exterior a r  2sen3
59)
(I/2011) Calcular la integral de línea
 e
xy



ysenx  e xy cos x  2 xy 2 dx  xe xy senx  2 yx 2 dy
C
1
x   que une los puntos A( 0,  ) , B ( 2 ,1)
2
(II/2010) Hallar el área plana Interior a la circunferencia   5 y exterior a la cardioide
Donde C: es y 
60)
  51  cos 
61)
(II/2010) Hallar el volumen del combustible que transporta una cisterna, cuya sección
circular tiene un radio 1[m], su longitud es de 6[m] y sus extremos son esféricos. La altura del
combustible respecto del fondo tiene 1[m]
62)
2
2
(II/2010) Calcular el Área del paraboloide z  x  y
z 2  y 2  x 2  4z
63)
(II/2010) Comprobar el Teorema de Green en el Plano
que esta dentro de la esfera
 2 xy  x dx  x  y dy
2
2
siendo C
C
2
la curva cerrada que limita la región entre: y  x , y  x
4
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
64)
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
2
2
2
2
2
2
(II/2010) Hallar el volumen limitado por las superficies: x  y  z  9 ; x  y  z  25 y
z 2  3x 2  3 y 2 ; 3z 2  x 2  y 2
65)
66)
(II/2010) Calcular el volumen que se genera al hacer girar el área encerrada por las rectas:
y  4 x , y  x  10 y x 4 y alrededor del eje “y”
x y4 2 0,x y4 2  0
y y  x  4 2  0 : que sea exterior a la circunferencia
y 2  x 2  16
67)
x y4 2  0,
(I/2010) Calcular el área de la región limitada por las rectas:
(I/2010) Calcular la integral:
 2 zx
2

 2 zy 2 dxdydz
Siendo V el volumen exterior: a
z 2  x 2  y 2 e interior a z  x 2  y 2
68)
2
2
2
(I/2010) Calcular el área de la superficie z  x  y 16 que este al exterior de
z 2  x2  y 2
69)

calcule la integral

una parametrización de la elipse: 4 x  1  y 0
(I/2010) Considere la curva “C”
2
2
 x  y dx   y  x dy
C
(a) DIRECTAMENTE (b) APLICANDO ELÑ TEOREMA DE GREEN –RIEMANN
70)
(I/2010) Calcule el volumen de la porción del solido comprendido entre las superficies
z  12  y 2  x 2
71)
(I/2010)
2
2
; 4 z  y  x situado por encima de XY
Hallar

el
trabajo
realizado

por
una
fuerza
F  x, y, z   2 x  y  z; x  y  z ;3x  2 y  4 z al desplazar en sentido anti-horario una partícula
alrededor de una circunferencia sobre el plano z  1 con centro en el eje z y con radio 9
2
2
72)
(II/2009) Calcular la masa de un cuerpo limitado por las superficies 2az  x  y ;
2
x 2  y 2  z 2  a 2 , z  0 ( a es una constate positiva) sabiendo que su densidad volumétrica esta

dada por   x, y, z   15 1  z
73)

(II/2009) Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies: z  x  y , xy  a ,
2
xy  2a 2 , y 
74)
2
2
2
x
, y  2x , z  0
2
2
2
(II/2009) Calcule el área de la región interior a la circunferencia x  y  4 y a la derecha
de la recta x  1
75)
2
2
2
2
(II/2009) Hallar el área de la parte de la superficie esférica dada por: x  y  z  R
es perforada por agujero cilíndrico x  y  r
2
76)
2
2
donde R  r


2
2
(II/2009) Considere la curva “C” una parametrización de la elipse: 4 x  1  y 0
la integral
, si
calcule
 x  y dx  x  y dy
c
5
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
77)
CODEX-CÁLCULO II
(II/2009) Calcular la circulación


JOSUE PAYE CHIPANA

f  d r del campo de velocidades de un fluido dado por
c



2
2
2
f  x, y , z   arctan x 2 ,3 x , e 3 z tan z , a lo largo de la intersección de la esfera x  y  z  4
con el cilindro x  y  1 considerar z  0
2
78)
2
(I/2009) Sea R la región del plano R 2 , limitado por las curvas: x  y  1 , x  y  9 ,
2
2
x  y  4 y x  y  6 , Hallar el área de la región R (sugerencia u  x  y
79)
2
2
v  x y )
(I/2009) Calcular el área de la parte de la superficie z 2  x 2   y  2 
2
que es el interior a
x 2  y 2  2x  0
80)
(I/2009) Calcular el volumen limitado por las superficies: y  
b
a 2  x 2 ; z   n donde n
a
es una constante.
81)
x2 y
(I/2009) Calcular la masa de una lámina de densidad superficial igual a   x, y   e
,
sabiendo que la forma geométrica de la lamina esta dada por: x  y  1
4 2
82)
(I/2009) Calcular: I 
 e
x2
dxdy
0 y
2
6
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO II
CAPITULO VI
JOSUE PAYE CHIPANA
INTEGRALES DE LÍNEA




r t   x t  i  y t  j  z t  k
t  t1 ,t 2  es suave si x' t , y ' t , z ' t  son continuas y no simultáneamente nulas en t  t1 ,t 2 
Definición: Sea una Curva C del espacio R3 representada por
Si f ( x, y ) es función definida en una región del PLXY que contiene una curva C de


longitud finita: se define
f  x, y ds  lim  f xi , x j si [INTEGRAL DE LINEA DE
n
 0
C
i 1
LA FUNCION f  x , y  A LARGO DE LA CURVA
C ]
ds : Diferencial de longitud de curva (longitud de arco)
-se generaliza para el espacio R3
I   f  x, y, z ds
dx 2  dy 2
ds 
dx 2  dy 2  dz 2
ds 
C
PROPIEDADES
Si K  R ; di f,g son integrales sobre
1)
 kf x, y ds  k  f x, y ds
C
2)
C
  f  g x, y ds  f x, y ds   g x, y ds
C
3)
4)
C
C
 f x, y ds    f x, y ds
C
C
(sentido de anti horario positivo)
C
 f x, y ds   f x, y ds   f x, y ds
C
C1
(donde: C  C1  C 2 )
C2
CALCULO DE LA INTEGRAL DE LÍNEA
Para
calcular
I   f  x, y ds se
debe
parametrizar
C
la
Curva
C
 x  x(t )
C
 y  y (t )
t2
 I   f  x, y ds   f  x (t ), y (t )   x (t )   y (t )  dt
C
LA
INTEGRAL
2
2
REAL
Y SE
t1
ES DEFINIDA
CONOCIDOS YA EN CÁLCULO I
PUEDE
CALCULAR POR CAMINOS
En General se puede parametrizar C de 3 maneras

y  f ( x)  I   fdx
C
7
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
x  g ( y)  I   fdy

C
 x  x(t )
C
 I   fdt (recomendable)
 y  y (t )
C


f t    f1 t , f 2 t  representa un campo vectorial continuo sobre una curva
Definición: Si
suave
C




dado por r t   x t  i  y t  j  z t  k t  t1 ,t 2  entonces



w   f d r


d r  dx i  dx j
c

Representa al TRABAJO Total efectuado por el campo de fuerzas f t    f1 t , f 2 t 
sobre
una partícula que se mueve a lo largo de una curva
INDEPENDECIA DE LA TRAYECTORIA
TEOREMA:

Sea

la

integral
I   f  d r   P( x, y), Q( x, y )  d r  P( x, y)dx  Q( x, y)dy 
C
C
-Sean
P,Q
línea
continuas
en
una
C
región R que contiene a una curva
C
- Sean P1 y P2 puntos inicial y final de
Si se cumple
de
C
P Q

(CONDICIÓN DE EULER)
y x
Si cumple la (CONDICIÓN DE EULER) LA INTEGRAL NO DEPENDE DE LA TRAYECTORIA
C
solo depende de P1 y P2 puntos inicial y final de
- Si el camino
C
de la curva es cerrada y y cumple con la CONDICIÓN
I   P( x, y)dx  Q( x, y)dy   0
DE EULER
C
-Un campo vectorial

f  x, y   P( x, y ), Q x, y  es

f t   F
función escalar F ( x, y ) se cumple:
CONSERVATIVO si para alguna
P( x, y), Qx, y    F , F 
 x y 
F ( x, y ) se

denomina FUNCIÓN POTENCIAL de f
8
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA

C
INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA



I   f  d r   P( x, y)dx  Q( x, y )dy es
En este caso si cumple la condición de Euler
C
C

I   f  d r  F  d r  dFd ( x, y )  F  x, y  P1  F  x, y  P 2  F x, y  P1 
C
P2
C
C
I  F  x, y  P 2  F  x, y  P1
CALCULO DE LA INTEGRAL DE LINEA DE PRIMERA Y SEGUNDA ESPECIE
1) PRIMERA ESPECIE
Caso I
 x  x(t )
I   f  x, y ds C  
 I   fdt Los límites de t son dados por la Curva C
 y  y (t )
C
C
Caso II
Cuando en la ecuación Cartesiana de
la curva se encuentra expresiones de la forma:
 x  r cos
x n  y n si:  : 
 cos 2   sen 2  1
 y  rsen
 x  r cosh 
:
 cosh 2   senh 2  1
 y  rsenh
CIRCUNFERENCIA DESFASADA EN EL EJE “y”
3.5
y
r(t)=2sin(t )
3
x 2  y 2  ay
2.5
2
ECUACION POLAR
r  asen 
0  
1.5
1
0.5
x
-2
-1.5
-1
ECUACION
ALGEBRAICA
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5
-1
CIRCUNFERENCIA DESFASADA EN EL EJE “x”
y
r(t) =2cos(t)
2
x 2  y 2  ax
1.5
1
ECUACION POLAR
r  a cos 
0.5
x
-1
-0.5
ECUACION
ALGEBRAICA
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-0.5
-1

-1.5
-2


 
2
2
-2.5
LEMNISCATA
ECUACION
ALGEBRAICA
8
6
( x2  y 2 )2  a 2 ( x 2  y 2 )
4
2
-8
-6
-4
-2
ECUACION POLAR
2
4
6
r  a cos 2


    (LIMITE SOLO
4
4
-2
-4
-6
9
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
PARA EL LAZO X>0)
FOLIUM DE DESCARTE
y
6

ECUACION
ALGEBRAICA
r (t)=(3(2 )(sin(t) )(co s(t) ))/(( cos(t)) ^(3) +(sin(t) )^3)
x3  y 3  3axy
4
ECUACION POLAR
3asen cos 
cos3   sen 3

0  
2
2
r
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-2
-4
-6
MARIPOSA: Templey H. Fay.
4
ECUACION POLAR
y
r  e cos   2 cos 4
0    24
r(t )=e^(cos(t))-2cos(4t )
3
2
1
x
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
-1
-2
-3
-4
LIMITES
DE
DE
LOS
ANGULOS
Vamos
a

y
realizar una regla por analogía tomamos una
recta real: tenemos como referencia al cero
 ........ 7  6  5  4  3  2  1
REF X
 1  2  3  4  5  6  7........ 
0
x
de la misma manera trabajan con los ángulos
tomamos como referencia al eje
X
como 0ºo

0 en radianes
GRAFICO
y
LIMITE DE ANGULO

REF X
x
0  

2

10
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA

JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA

y
REF X

x


 
2
2


y
REF X
0 
x


y
REF X

x

  0
2

Si se puede obtener la ECUACIÓN POLAR de la curva
C
r  r  entonces
2
 dr 
I   fdt   f r  , d s si ds  r    d
 d 
C
C
2
2) SEGUNDA ESPECIE
 x  x (t )
I   P( x, y)dx  Q( x, y)dy  Solo es necesario paramétrica: C  
 Los límites
 y  y (t )
C
de
t
son dados por la Curva
C
I   P( xt , yt )dxt   Q( xt , yt )dyt 
C
11
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
83)
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
PROBLEMAS
(II/2013) cómo define un campo Conservativo? Escriba un ejemplo
SOLUCIÓN_____________________________________________________________________
Un campo vectorial

f  x, y   P( x, y ), Q x, y  es

f t   F
función escalar F ( x, y ) se cumple:
CONSERVATIVO si para alguna
P( x, y), Qx, y    F , F 
 x y 
F ( x, y ) se

denomina FUNCIÓN POTENCIAL de f
84)
(II/2013) Demuestre


1
y
que el campo F  cos x  ln y, xy  e ; es
CONSERVATIVO y
calcule la función potencial
SOLUCIÓN_____________________________________________________________________
12
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA

JOSE PAYE CHIPANA
85)

CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA


2
2
(I/2013) Calcular el trabajo realizado por la fuerza F  4 xy  y ,2 x  2 xy ; a lo largo de la

curva r (t )  (t 2 ,2t ) ; 0  t  2 (Grafique la curva)
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
86)
(II/2012) Si R es la región triangular limitada por la curva cerrada C recorrida positivamente
con vértices en: (0,0) , (2,0) , (0,2); Calcular: (a)
 y
2


 
 1 dx  x 2  1 dy
c
(b) 2
 x  y dydx
(c) analizar si se cumple ó no el teorema de Green
R
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
13
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA

JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
14
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA

JOSE PAYE CHIPANA
87)

CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
2
2
(II/2009) Calcule el área de la región interior a la circunferencia x  y  4 y a la derecha
de la recta x  1
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
15
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA

JOSE PAYE CHIPANA
88)

CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA


2
2
(II/2009) Considere la curva “C” una parametrización de la elipse: 4 x  1  y 0
la integral
calcule
 x  y dx  x  y dy
c
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
16
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA

JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA

6) (I/2014) Dibuje cuatro vectores del Campo Vectorial: f x, y   2 x  y, x  2 y 
SOLUCIÓN______________________________________________________________
6
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA

JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II



JOSUE PAYE CHIPANA




7) (I/2014) Escriba un ejemplo para la propiedad:    F  G     F    G
SOLUCIÓN______________________________________________________________
7
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
89)
(I/2010)

CODEX-CÁLCULO II
Hallar
el
trabajo

realizado
JOSUE PAYE CHIPANA
por
una
fuerza
F  x, y, z   2 x  y  z; x  y  z ;3x  2 y  4 z al desplazar en sentido anti-horario una partícula
alrededor de una circunferencia sobre el plano z  1 con centro en el eje z y con radio 9
2
SOLUCIÓN__________________________________________________________________
17
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO II
CAPITULO VII
JOSUE PAYE CHIPANA
INTEGRALES MÚLTIPLES
INTEGRAL DOBLE
DEFINICIÓN: Si f esta definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, entonces
la integral doble de f sobre R esta dada por:
n
 f ( x, y)dA  lim  f ( xi , yi )Ai
R
 0
i 1
siempre que el límite exista
Si existe el límite, entonces f es integrable sobre R
VOLUMEN DE UNA REGIÓN SOLIDA
Si f integrable sobre una región plana R f ( x, y)  0 para todo ( x, y) en R, entonces el
volumen de la región sólida que se encuentra sobre R y bajo la gráfica de f se define
como:
V   f ( x, y )dA
R
NOTA: POR DEFINICIÓN LA INTEGRAL DOBLE CALCULA volumen de la región sólida que
se encuentra sobre R
z = f(x,y)
f(i, i)
18
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE
TEOREMA
Si c es un número y f es integrable sobre una región cerrada F, entonces c.f es integrable y :
 F c.f(x,y).dA = c. F f(x,y).dA
TEOREMA
Si f y g son integrables sobre una región cerrada F, entonces:
 F [f(x,y) + g(x,y)].dA =   F f(x,y).dA +   F g(x,y).dA
El resultado de este teorema se puede extender a cualquier número finito de funciones
integrables.
Las demostraciones de los teoremas anteriores resultan directamente de la definición.
TEOREMA
Supongamos que f es integrable sobre una región cerrada F y m  f(x,y)  M  (x,y)  F entonces
si A(F) designa el área de la región F, tenemos: m . A(F)    F f(x,y).dA  M . A(F)
TEOREMA
Si f y g son integrables sobre F y f(x,y)  g(x,y)  (x,y)  F, entonces
  F f(x,y).dA   F g(x,y).dA
TEOREMA
Si se hace una partición de la región cerrada F en las regiones F1 y F2; es decir F1  F2 = 0 y F1  F2 =
F y si f(x,y) es continua en F se tiene:   F f(x,y).dA =  F1f(x,y).dA +  F2f(x,y).dA
INTEGRALES ITERADAS
Sea: I 
 f ( x, y)dA
,el vector diferencial
Flecha (Limite Superior)
R
Cola (limite inferior)
19
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
I   f ( x, y )dA
Caso I:
R
f (x)
R
h( x)  y  f ( x)
 a xb
Entonces la Región R : 
h ( x, y )
a
I   f ( x, y )dA 
b
R
f (x) b
  f ( x, y)dydx
h( x ) a
I   f ( x, y )dA
Caso II:
R
h( y )
f ( y)
a
R
h( y )  x  f ( y)
 b ya
Entonces la Región R : 
b
I   f ( x, y )dA 
R
f ( y) a
  f ( x, y)dxdy
h( y ) b
TRANSFORMACIONES (CAMBIO DE VARIABLE EN LAS INTEGRALES MULTIPLES)
Sea
 f ( x, y).dx.dy
R
de donde
 x   (u , v)

 y   (u , v )
(1)
y que esta transformación posee una
 ( ,  )  ( x , y )
 u  u ( x , y)
inversa única dada por: 
por lo que el Jacobiano de (1) J 

0
 (u, v )  (u, v )
v  v( x, y)
(JACOBINAO ES UN FACTOR DE DEFORMACIÓN DILATACIÓN O CONTRACCIÓN)Al recinto R del
plano x, y le corresponde un recinto R en el plano u, v.
20
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
Haciendo entonces una partición en R con rectas paralelas a los ejes u, v; le corresponde en el
plano x, y una partición de R por curvas continuas dadas por (1).
v
y
R
Ri
R
Ri
R
u
x
A un subrecinto Ri de R le corresponde un subrecinto Ri de R.
Buscamos la relación que existe entre las áreas de Ri y Ri ; para lo cual podemos considerar a Ri
compuesto por dos triángulos iguales; lo mismo que a Ri.
 ( , )
 f ( x, y)dx.dy   F (u , v). J .du.dv   F (u, v).  (u, v) .du.dv
R
R
R
Con lo que hemos obtenido la relación que liga las variables (x,y) con (u,v).
1
 x, y 

 u, v 
 u.v 

J 
 x. y 
 x, y 
 dvdu
I   f ( x, y)dydx  f (x
,y
) J 
(u,v) (u,v)  u.v 
R
R'
Donde: J 
TRASFORMACIONES ESPECIALES
CASO I) COORDENADAS POLARES:
Cuando existe expresiones de la forma:
y  rsen ; x  r cos 
x 2  y 2 por tanto
JACOBIANO:
J r
CASO II) POLARIZACIÓN GENERALIZADA (COORDENADAS POLARES)
Cuando existe expresiones de la forma:
( Ax) K  ( By) K  1 por tanto
x  Ar cos P  
2
2
 cos   sen   1
P
y  Brsen  
J  ABpr cos p1 sen p 1
21
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO II
COORDENADAS POLARES
si existen signos negativos las graficas tienen esa dirección. JACOBIANO:
CIRCULO: r  asen ; r  a cos
J r
r  asen
3.5
r  2 sen
y
JOSUE PAYE CHIPANA
r  a cos
r  2 cos
y
r (t)=2sin( t)
r(t)=2 co s(t)
2
3
1.5
2.5
1
2
0.5
x
1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
1
-0.5
0.5
-1
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5
-1
2
2
0  r  asen
-1.5
0  
-2.5
-2
x  r cos 3 
2
ASTROIDE: x 3  y 3  a 3
y  rsen 3
0  r  a cos 


  
2
2
2
2 2
2
2
2
LEMNISCATA: ( x  y )  a ( x  y ) ;
r  a cos 2
r 2  a 2 cos 2
JACOBIANO: J  r
2
2
JACOBIANO: J  3r cos sen 
y
8
x(t)=4cos(t)^(3) , y(t)=4sin(t)^(3)
6
6
4
4
x  4 cos 
3
2
-7
-6
-5
-4
-3
-2
y  4 sen3
-1
1
2
3
4
5
6
x
7
-8
-6
-4

4

2
-2
2
4
6
-2
-2
-4
-4
-6
-6
0  r  a cos 2

0  

0 
4
4 solo es para
los limites de
0ra
0    2
un cuarto de la región por existir asíntotas para el total
se debe multiplicar por cuatro
CARDIOIDE: si existen signos negativos las graficas tienen esa dirección.
la intersección con el eje x la realiza en +a y -a
la intersección con el eje x la realiza en 2a
y la intersección en el eje y en 2a"
y la intersección en el eje y en +a y -a "
r  a(1  sen )
8
r  a (1  cos  )
y
y
r(t)=2 (1 + sin(t))
r( t)=2( 1+ cos(t) )
5
r  a (1  sen  )
6
r  a(1  cos )
4
3
2
4
1
x
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
2
-1
-2
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-3
-4
-2
-4
0  r  a (1  sen )
0    2
0  r  a (1  cos  )
0    2
22
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
LIMACON:
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
r  a(1  bsen )
si existen signos negativos las graficas tienen esa dirección.
r  a(1  b cos )
y
8


6
8
6
y
r(t)=2(1+ 2COS(t))
f(x)=-X
f(x)=0
6
4
2
4
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
-2
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
-2
3
4
 
r  a (1  bsen  )

6
-4
-6
0  r  a (1  b cos  )
r  a (1  b cos  ) Lazo mayor
 
0   
2 6
Lazo mayor
0  r  a (1  bsen )


  
6
2
los limites de      
6
los limites de 0       solo es para un medio de la región
2
2
solo es para un medio de la región por existir
asintotas para el total se debe multiplicar por dos
Lazo menor      
2
2
6
3
3
FOLIUM DE DESCARTE: x  y  3axy ;
6
y
6
3asen cos 
cos3   sen 3
r
JACOBIANO: J  r
r (t)=(3(2 )(sin(t) )(co s(t) ))/(( cos(t)) ^(3) +(sin(t) )^3)
3asen cos 
cos3   sen 3

0  
2
4
0r 
2
x
-6
-5
-4
-3
-2
6
por existir asintotas para el total se debe multiplicar por dos
 
Lazo menor
   0
-1
1
2
3
4
5
6
7
-2
solo para el lazo
-4
-6
ROSAS DE n PETALOS: si n es par entonces 2n pétalos si n es impar entonces n pétalos
r  a cos n
r  a cos n
rosas de n pétalos que intersecan a los ejes
coordenados
r  cos 2 par JACOBIANO: J  r
r  cos 3
y
rosas de n pétalos que intersecan a los ejes coordenados
impar JACOBIANO: J  r
y
r(t)=2 cos(3 t)
2.5
f(x)=(0.57735 )x
r(t)=cos(2 t)
2
1
1.5

1
0.5
0.5

6
x
x
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
1
-0.5
-1
-0.5
-1.5
-2
-1
0  r  cos 2
0    2
0  r  cos 3
los limites de 0     solo es para un sexto de la

0  
6
6
región por existir asintotas para el total se debe multiplicar por seis
23
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
r  asen( n )
r  asen( n )
rosas de n pétalos que no intersecan a los ejes
coordenados
r  sin 2 par
JACOBIANO: J  r
rosas de n pétalos que no intersecan a los ejes coordenados
r  sin 3 impar
. JACOBIANO: J  r
y

r(t)=sin (3 t)
1
y
r(t)=sin (2 t)
1
0.5
0.5
x
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.5
-0.5
-1
0  r  a(1  sen )
0  
-1
0  r  a (1  sen )
0    2
CURVAS ESPECIALES:
MARIPOSA: Templey H. Fay.
r  a cos( ) 2 r  3 cos( ) 2
JACO BIANO: J  r
r  e cos   2 cos 4
y
4
r(t)=3cos(t)^2
y
r(t)=e^(cos(t ))-2cos(4t)
3
3
2
2
1
x
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1
3.5
-1
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
-2
-1
-3
-2
-4
0  r  a cos( ) 2
-3
0    2
-4
0  r  e cos   2 cos 4
0    24
24
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
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CODEX-CÁLCULO II
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APLICACIONES INTEGRAL DOBLE
Teorema o corolario de Green:
Donde la curva es cerrada para calcular el área de la región R
I   (P( x, y) dx  Q( x, y ) dy)   (
c
R
ÁREA DE SUPERFICIES: para z  f ( x, y)
MASA:
A   1 (Z x )2  (Z y )2 dA
R
m   ( x, y)dA si es homogénea
R
CENTROIDE (CENTRO DE GRAVEDAD) :
MOMENTOS DE INERCIA:
Q P
 )dydx
x y
 ( x, y)  1
x
1
 x ( x, y)dA
mR
y
I x   y2(x, y)dA I y   x2(x, y)dA
R
R
1
 y ( x, y)dA
mR
En el origen:
I 0  Ix  Iy
PROBLEMAS
90)
(II/2013) Cual es el significado geométrico de una integral Doble?
SOLUCIÓN_____________________________________________________________________
V   f ( x, y )dA
R
NOTA: POR DEFINICIÓN LA INTEGRAL DOBLE CALCULA volumen de la región sólida que
se encuentra sobre R
z = f(x,y)
f(i, i)
25
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

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CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
4 2
91)
(I/2009) Calcular: I   e x dxdy
2
0 y
2
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
26
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
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
CODEX-CÁLCULO II
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4 16 x 2
92)
(II/2011) (a) Analizar la verdad ó Falsedad de:
4 16 x 2
  (2 x  3 y)dydx  2  (2 x  3 y)dydx
4
0
0
0
justifique su respuesta (b) Deducir la expresión del jacobiano en coordenadas esféricas
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
27
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
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
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
5) (I/2014) Es integrable la función f x, y   x  2 y definida en el rectángulo: 1  x  2 ,
0  y  2?
SOLUCIÓN______________________________________________________________
5
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

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1) (II/2014) Calcular la integral
CODEX-CÁLCULO II
 y  x
2
JOSUE PAYE CHIPANA
dA R=  2,2 0,4
R
SOLUCIÓN_______________________________________________________________
1
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
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
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
4) (I/2014) Escriba una propiedad de la integral Doble y anote un ejemplo sencillo
SOLUCIÓN_______________________________________________________________
4
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
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93)

CODEX-CÁLCULO II
(II/2011) Invertir el orden de integración en: I 
4
8x
0
4 x x2
JOSUE PAYE CHIPANA
  f ( x, y)dydx
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
94)
(I/2010) Calcular el área de la región limitada por las rectas:
x y4 2 0,x y4 2  0
x y4 2  0,
y y  x  4 2  0 : que sea exterior a la circunferencia
y 2  x 2  16
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
28
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
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
CODEX-CÁLCULO II
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29
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

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95)
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
2
2
(II/2013) Sea R la región elíptica limitada por: x  xy  y  3 ; Haciendo el cambio
x uv
y  u  v ;Calcule
 e
 ( x 2  xy  y 2 )
dA
R
SOLUCIÓN____________________________________________________________
30
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
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96)

CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
(I/2013) Graficar la región definida en el primer cuadrante, limitada por las curvas.
xy  2
xy  4 xy 3  3
xy 3  6 ; y calcular el área
SOLUCIÓN_____________________________________________________________________
31
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
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97)
(II/2012) calcular la integral

CODEX-CÁLCULO II
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 x2 
2
2
R  x 2  y 2 dydx; R: encerrada por: x  y  4x
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
32
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
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98)

CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
2
2
2
2
I/2009) Sea R la región del plano R 2 , limitado por las curvas: x  y  1 , x  y  9 ,
x  y  4 y x  y  6 , Hallar el área de la región R (sugerencia u  x  y
v  x y )
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
33
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
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
CODEX-CÁLCULO II
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APLICACIONES
99)
x2 y
(I/2009) Calcular la masa de una lámina de densidad superficial igual a   x, y   e
,
sabiendo que la forma geométrica de la lamina esta dada por: x  y  1
34
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

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CODEX-CÁLCULO II
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SOLUCIÓN___________________________________________________________________
100)
(I/2010) Considere la curva “C”
calcule la integral


2
2
una parametrización de la elipse: 4 x  1  y 0
 x  y dx   y  x dy
C
(a) DIRECTAMENTE (b) APLICANDO EL TEOREMA DE GREEN –RIEMANN
35
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
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
CODEX-CÁLCULO II
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
2) (II/2014) Calcular el Área de la superficie interior a la curva: x  y
2

2 2
 18x 2  y 2 
SOLUCIÓN_______________________________________________________________
2
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
JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
101)
2
2
2
2
(II/2009) Hallar el área de la parte de la superficie esférica dada por: x  y  z  R
, si
2
2
2
es perforada por agujero cilíndrico x  y  r donde R  r
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
36
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
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
CODEX-CÁLCULO II
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37
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
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102)

CODEX-CÁLCULO II
2
2
2
(I/2013) Calcular el área de la superficie: x  y  z  4 z

z  x2  y2
JOSUE PAYE CHIPANA
cortada
por el cono

1/ 2
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
38
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
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
CODEX-CÁLCULO II
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39
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
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103)

CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
2
2
(II/2012) calcular el área del cilindro: y  z  25 comprendida entre los planos y  2 x ;
x0
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
40
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
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104)

CODEX-CÁLCULO II
(II/2012) calcular el volumen del solido encerrado por: z 
y  x , y  4x
JOSUE PAYE CHIPANA
y
2
2
, z  0 , y  x , y  3x ,
2
x
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
41
INGENIERÍA CIVIL
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
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105)

CODEX-CÁLCULO II
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(I/2012) Hallar el volumen limitado por: y  6 , z  2 y , z  x 2 , z  2  x 2
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
42
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

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106)
CODEX-CÁLCULO II
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(I/2012) Calcular la masa de la lámina plana que se muestra en la figura, si su densidad
2
superficial está dada por  x, y   xy
y
4
2
2
x
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
43
INGENIERÍA CIVIL
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
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107)

CODEX-CÁLCULO II
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 x2  2y

(I/2012) Calcular :   x dy   y dx , si c :  x  2 y  20 , en el primer cuadrante
c
 x0

SOLUCIÓN___________________________________________________________________
44
INGENIERÍA CIVIL
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
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108)

CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
2
2
2
(I/2010) Calcular el área de la superficie z  x  y 16 que este al exterior de
z 2  x2  y 2
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
45
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
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
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
(I/2009) Calcular el área de la parte de la superficie z 2  x 2   y  2 
2
109)
que es el interior a
x  y  2x  0
2
2
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
46
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
CODEX-CÁLCULO II
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47
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
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110)

CODEX-CÁLCULO II
(I/2009) Calcular el volumen limitado por las superficies: y  
JOSUE PAYE CHIPANA
b
a 2  x 2 ; z   n donde n
a
es una constante.
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
48
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
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
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111)

CODEX-CÁLCULO II
2
2
(II/2010) Calcular el Área del paraboloide z  x  y
JOSUE PAYE CHIPANA
que esta dentro de la esfera
z 2  y 2  x 2  4z
SOLUCIÓN__________________________________________________________________
49
INGENIERÍA CIVIL
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

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CODEX-CÁLCULO II
CAPITULO VII
JOSUE PAYE CHIPANA
INTEGRAL TRIPLE
Si la región R no es de uno los tipos citados anteriormente, se intenta descomponerla en
subregiones Ri
(i = 1,......,n)
sin elementos interiores comunes, siendo los Ri de los
modelos antes citados.
Por la propiedad de la aditividad respecto a la región de integración, es :

R
n
f ( x, y, z ) dxdydz    f ( x, y, z) dxdydz
i 1
Ri
CAMBIO DE VARIABLE (TRANSFORMACIÓN)
Sean R* y R dos regiones en los espacios (u,v,w) y (x,y,z)
 x  x (u , v, w)

respectivamente Sea : y (u , v, w)
 z (u , v, w)

un homeomorfismo de R* sobre R continuamente diferenciable sobre R* y tal que el
JACOBIANO J del mismo no cambie de signo en R*.
Sea f(x,y,z) continua sobre R. Entonces

R
f ( x, y, z )dxdydz   * f x(u , v, w), y (u , v, w), z (u , v, w)  J  (u , v, w) dudvdw
R
El J  representa un factor de ampliación o reducción local del volumen, al aplicar .
El elemento de volumen en R en coordenadas curvilineas es : dV= J  (u , v, w) dudvdw
50
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


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CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
 COORDENADAS CILÍNDRICAS:
Cuando existe expresiones de la forma:
x2  y 2
x  r cos ____r 0,
y  rsen ____ 0,2  _ o _   , 
z  z ________z  R
JACOBIANO:
J r
COORDENADAS CILÍNDRICAS GENERALIZADAS
x  Ar cos P 
y  Brsen P
z  Cz

JACOBIANO:
J  ABC Pr cos p 1 sen p 1
COORDENADAS ESFÉRICAS:
2
2
2
Cuando existe expresiones de la forma: x  y  z
x  sen cos  ____   0,
y  sensen ____   0,2 
z   cos  ________   0,  
JACOBIANO:
J  r 2 sen
COORDENADAS ESFÉRICAS GENERALIZADAS
x  arsen p cos q  ____ r  0,
y  brsen psen q ____   0, 2 
z  cr cos p  ________   0,  
JACOBIANO:
J  abcpqr2 sen2 p1 cos p1 senq1 cosq1 
51
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PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
APLICACIONES A INTEGRALES TRIPLES
MASA:
m   (x, y, z)dv
v
MOMENTOS DE INERCIA:

I  ( y 2  z 2 ) (x, y, z)dv
 x
v


2 2
I y  ( x  z ) (x, y, z)dv

v

2 2
I z  (x  y ) (x, y, z)dv

v
CENTRO DE MASA
x
1
 x ( x, y, z)dv
mv
y
1
 y ( x, y, z)dv
mv
z
1
 z ( x, y, z )dv
mv
52
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA

JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
PROBLEMAS
112)
(II/2013) Dibuje el Solido y calcule el Volumen del solido, limitado por:  

4
  4 cos 
SOLUCIÓN_____________________________________________________________________
53
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA

JOSE PAYE CHIPANA
113)

CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
2
2
2
(I/2013) Calcular el Volumen del solido limitado por los elipsoides: 4 x  4 y  z  4 ;
4 x 2  4 y 2  z 2  16
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
54
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA

JOSE PAYE CHIPANA
114)

CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
(I/2012) Hallar la masa del cuerpo de densidad constante, cuya forma esta limitada según
2
2
2
lo siguiente: Interior a la superficie x  y  z  4
2
2
y exterior a x  y  3z , z  0
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
55
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA

JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II
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56
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
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
JOSE PAYE CHIPANA
115)
(I/2010) Calcular la integral:

CODEX-CÁLCULO II
 2 zx
2

 2 zy 2 dxdydz
JOSUE PAYE CHIPANA
Siendo V el volumen exterior: a
z 2  x 2  y 2 e interior a z  x 2  y 2
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
57
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
116)
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
(II/2009) Calcular la masa de un cuerpo limitado por las superficies
2az  x 2  y 2 ;
x 2  y 2  z 2  a 2 , z  0 ( a es una constate positiva) sabiendo que su densidad volumétrica esta

2
dada por   x, y, z   15 1  z

SOLUCIÓN___________________________________________________________________
58
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
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
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
3) (II/2014) Calcular el volumen encerrado por las superficies: 4 x  y  z  4 ; z  4 x  y ,
2
 z  0
2
2
2
2
2
interior a ambas
SOLUCIÓN_______________________________________________________________
3
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
JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
59
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
JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CÁLCULO II
8) (I/2014) Calcular el volumen del helado   cos  (esfera) y  
JOSUE PAYE CHIPANA

4
(cono coordenadas
esféricas)
SOLUCIÓN______________________________________________________________
8
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
JOSE PAYE CHIPANA
117)

CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
2
2
2
(II/2009) Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies: z  x  y , xy  a ,
xy  2a 2 , y 
x
, y  2x , z  0
2
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
60
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

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PROBLEMAS DE RETO PERSONAL EXÁMENES ( UNI LIMA PERU )
INGENIERÍA EXÁMENES ( U.TOKIO – JAPON)
118)
(I/2010) Evaluar
 x
2
2
x 2  y 2 dV donde “S” es el sólido exterior a x  y  2 y y limitado
S
x 2  y 2 , x 2  y 2  z  12 , x  y  0
por las superficies z 
1 1 x
119)
e
(I/2010) Calcular:
y
x y
y
2
dydx   dA ,donde R es la región limitada por: x  5  e 
R
0 0
y
2
y
2
y
,
2
y
x  e  y , x  y  e  5, x 

y
 e2
2

2
(I/2010) (a) T u, v   u  v, u  v   x, y  ,
A  UV limitada por u  v  1 , u  v  1 , u  0 ,
v  0 Graficar la región R  T ( A) en XY y calcular su área (b) la siguiente suma de integrales
120)
está dada en coordenadas esféricas

 3 4

 2 6 cos sen  2
0 0 0
0
   F  , , d dd   
 F  , , d dd
0
3
3
2
donde F  ,  ,     sen  cos  sen 
expresarla como una sola integral y calcular su
valor
61
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PAYE
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

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

2
2
2
(I/2010) (a)Hallar el trabajo que realiza el campo de fuerzas F  x, y   x  y ,2 xy  x al
121)
desplazar una particula de masa “m” en sentido anti-horario a lo largo de la frontera de la región
limitada
y  4  x2
x  y  2,
por



(b)
Dado
el
campo
vectorial
F  x, y, z   1  2 x 2 e x seny, xe x cos y  2 y 2 z, f  y  .Hallar la función escalar f de modo que F
2
2


F
x

d


   x donde  es la trayectoria que une los puntos A(0,0,9),
sea gradiente y calcular
 

B 5e, ,10  , C ln 7,5,6 y D1,2 ,1 desde A hasta D
 4 


2
(I/2009) Dadas la trasformación T u, v   u  v, u  v y la región A contenida en el plano
122)
UV y acotada por u  v  1 , u  0 v  0
,
(a) Determinar el área la región R  T ( A) donde
T u, v    x, y  (b) Usando la transformación T, calcular

R
1
x  y2
2
dxdy
123) (I/2009) La siguiente suma de integrales está dada en coordenadas cilíndricas, Usando un
cambio
adecuado,
expresar
como
una
sola
integral
y
luego
evaluar:
2 2
4 z z 2
2
 r
0 1
2
2 1
2
3z
 r
0 0
4 r 2
 r
0 0
124)
2
0
2 2

sen r cos   z drdzd 
2
2
sen r 2 cos 2   z 2 drdzd 
0
sen  r 2 cos 2   z 2 dzdrd
2
(I/2009) Usando coordenadas esféricas, calcular la masa total del solido S interior al

elipsoide 4 x  y  z  16 y exterior al paraboloide y  z  12x si f  x, y, z   y  z
2
2
2
2
2
2

1
2 2
es
la densidad de masa en cada punto sólido S.
125)
(I/2009) Calcular
e
x
cos ydx  e x senydy Donde “C” esta expresada paramétricamente por
C
x(t )  cos t
3
126)
y(t )  sen3t
(I/2009)

Dados
los
campos

F  x, y, z   2 xyz , x z  z cos yz ,2 x yz  y cos yz 
2
2 2
2
vectoriales


y
x 1
 Calcular las integrales de línea de F y G a lo largo
G  x, y    2
, 2
2
2
 x  y  2x  1 x  y  2x  1 
de las curvas  1 y  1 respectivamente, si

 1 es una trayectoria que va desde A(0,0,1) hasta B (1, , 2)
2
 2  c' 2 c' '2 c' ' ' 2 , siendo c' 2 el contorno del rectángulo de vértices  5,1 ,  2,1 ,
c' ' 2 la curva cerrada y formada por las partes de las rectas x  y  2  0 , x  y  2  0 y la
parábola x  4  y
2
2
3
y c' ' ' 2 :  x  5   y  1
2
3
62
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PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO II

JOSUE PAYE CHIPANA

2
2
(I/2006) Sea T u, v   u  v ,2uv una transformación y sea A una región en el plano UV
127)
limitada por u  v  1 , u  0 , v  0 (a) Calcular el área de la región R  T ( A) (b) Hallar el valor
de

x 2  y 2 dxdy
R
128)
(I/2006) Calcular
 x2  z 2
y

 x  y  z x  y  z x  y  z dV   arctg 
S1
S2

dV Donde


S1 esta limitado por x  y  z  0 , x  y  z  0 , x  y  z  0 , 2 x  z  1
S2 es el solido que se obtiene al rotar alrededor del eje Y la región del primer cuadrante acotado
2
2
por: x  3 y , y  3 x y x  y  4 ,
2
2
(I/2006) Hallar el volumen del sólido limitado por el paraboloide z  x  y  4 x  6 y  17 y
129)
el plano z  x  8
130)
(I/2006) (a)Calcular
  y

2

 e x dx   x  arctg  y dy Donde  es la frontera de la región
2
comprendida entre las parábolas 4 x  y 2 , 2 x  8  y con orientación antihoraria, (b) Aplicar el
Teorema de Green para hallar el área encerrado por el lazo de la curva



Descrita por:

x t   t 2  1, t 3  t .
131)
(I/2005) Hallar
 x
2
R1

 y
y  x 3 y 2 dA   exp dxdy ,donde
x
R2
R1 Es la región acotada por las curvas y  x 3 , y  x
R2 Es la región acotada por las curvas y  x , y  2 x , x  1 , x  2
2
2
(I/2005) La región acotada por las curvas y  3 , x  y  1 , y   3 gira alrededor del
132)
eje Y (a) Hallar las ecuaciones esféricas de las superficies de revolución (b) Hallar el volumen
del sólido de revolución
(I/2005) Calcular
 y
S1
2

 y  1 dV   x 2  y 2  z 2 dV Donde
S2
y
y
S1
es
el
solido
limitado
por
los
cilindros
2 x  y  2e 2 ,
y
x  y  e2 , x  y  e2  5,
y
2
2x  y  10  2e y los planos z  4 , z  4
S2 es el solido acotado por las superficies z 
133)
x2  y 2 . z  3
2
2
2
(I/2005) Hallar el centro de masa del solido S limitada superiormente por x  y  z  9 e
interiormente por
z   x 2  y 2 ,si la densidad de masa en cada punto de S es
x 2  y 2  z 2  xyz
134)
(I/2005)

Hallar
el
trabajo
que

realiza
el
campo
de
fuerzas
F  x, y   2 x 5  x 3  6 xy  1  y 2 , 5 sen 2 y  5  3 x 2 al mover una partícula de masa “m” a lo largo
63
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PAYE
INGENIERÍA PETROLERA


JOSE PAYE CHIPANA
de
la
curva
CODEX-CÁLCULO II
C:
x2  y 2  4
 x dx  x(2 y  1)dy  zdz  donde 
2
135)
recorrida
en
JOSUE PAYE CHIPANA
sentido
anti
horario.
(b)

calcular
es la espiral x  cos t , y  sent , z  t , t  0,2 
(I/2003) (a) Hallar el valor de la siguiente suma de integrales:
    y 
y
0
3 f y

3

x
0 x
y 

 y 
dxdy    y 
x 2  y 2 dxdy  
3
y
0
f y
x2  y2
3

 y dxdy
x 2  y 2 dxdy 
g y
x2
3 3
2
2
2
Donde f  y   3  9  y , g  y   3  9  y (b)Hallar
  2 f  x , y   2 f  x, y  
R  x 2  y 2 dxdy Donde R
 
2
2
es la región limitada x  y  1 , x  y , x  y  1 , y   x  2 y f  c R
TABLA DE DERIVADAS E INTEGRALES
TABLA DE DERIVADAS
TABLA DE INTEGRALES
Potencias
1.
y u
n
(n  R)
y'  n  u
n1
 u'
u n 1
k
 u  u ' dx 
n 1
n
(n  1)
Exponenciales
2.
y  eu
3.
u
ya
y'  eu  u'
u
u
 e  u ' dx  e  k
y '  a  Lna  u '
au
 a  u ' dx  Ln a  k
u
u
Logarítmicas
4.
y  Lnu
5.
y  lg a u
y'
y'
u'
 u dx  Ln | u |  k
u'
u
u'
 lg a e
u
Recuerda que: lg a b 
lg c b
lg c a
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
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Trigonométricas

 cos u  u' dx  sen u  k
 sen u  u' dx   cos u  k
 sec u  u ' dx  tg u  k
6.
y  sen u
y '  cos u  u '
7.
y  cos u
y '   sen u  u '
8.
y  tg u
y'  sec2 u  u '
9.
y  arc sen u
y' 
10.
y  arc cos u
y' 
11.
y  arc tg u
12.
y  ku
y'  k  u'
 (u  v )  dx   u  dx   v  dx
13.
y uv
y '  u '  v'
Integración por partes:
14.
y  u v
y '  u ' v  u  v'
15.
16.
y' 
u'
1 u
u '
2
1  u2
2


u ' dx
1 u
u ' dx
1 u
2
2
 arc sen u  k
  arc cos u  k
u ' dx
 1  u 2  arc tg u  k
u'
1 u2
Operaciones más usuales en derivadas e integrales
y
u
v
y  uv
y' 
v  u ' u  v '
v
2
y'  v  uv1 u'  uv  Lnu v'
 u  dv  u  v   v  du
Regla de la cadena: Si y(x)=y[u(v(x))] 
dy
dy du dv



dx du dv dx
Derivada de la función inversa:
Si y = f(x) ; x = g(y)  g =1/f
65
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