Universidad Técnica de Manabí FACULTAD DE MATEMATICAS, FISICA Y QUIMICA CARRERA DE INGENIERÍA ELECTRICA DEPARTAMENTO DE ELECTRICA Asignatura: Transitorios eléctricos Estabilidad – Criterio de las Áreas Iguales Autor: Roddy Valentín Montes García Jonathan Iduarte Zambrano Villapando Anthony Bryan Avila Zambrano Jean Carlos Andrade Garcia Portoviejo 2022 ESTABILIDAD- CRITERIO DE ÁREAS IGUALES La estabilidad es una propiedad de un sistema en un punto de funcionamiento dado sometido a una perturbación determinada. Del mismo modo, la misma red en el mismo punto de funcionamiento puede ser estable ante una perturbación e inestable ante otra. Consideremos el sistema representado en la primera figura, cuyo circuito equivalente se muestra en la segunda figura. Este sistema contiene un generador síncrono, representado por una fuente de tensión interna 𝐸′∠𝛿 detrás de una reactancia síncrona𝑋′𝑑 , unido a través de un transformador 𝑋𝑡𝑟 y de dos líneas en paralelo 𝑋11 𝑦 𝑋12 a un nudo de la red de transporte de frecuencia constante y tensión fija𝐸𝑟𝑒𝑑 ∠0. Este nudo se denomina nudo de potencia infinita o nudo infinito, y representa una red muy fuerte. En general, cuanto mayor es la potencia de cortocircuito de un nudo y cuanto mayor es la inercia de los generadores de la red a la que está conectado, más se acerca al ideal de nudo de potencia infinita. Todas las pérdidas del sistema han sido despreciadas. Representemos el comportamiento dinámico del generador síncrono mediante el modelo clásico, de modo que la tensión interna E′ queda fija y el ángulo δ varía siguiendo las oscilaciones mecánicas del rotor. Los valores E′ y 𝑋′𝑑 corresponden al periodo transitorio, ya que es el periodo que más influye sobre las primeras oscilaciones del generador, las más críticas desde el punto de vista de la estabilidad del sistema. Por otro lado, despreciamos el efecto del regulador de velocidad, Agrupando las reactancias, el sistema puede ser reducido al representado en la siguiente figura. Donde la reactancia 𝑋𝑡 incluye a la reactancia transitoria del generador y a todas las reactancias entre el generador y el nudo de potencia infinita. La potencia activa 𝑃𝑐 entregada por el generador síncrono es: 𝑃𝑒 = 𝐸′𝐸𝑟𝑒𝑑 𝑠𝑒𝑛𝛿 = 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛𝛿 𝑋𝑡 Donde: 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝐸′𝐸𝑟𝑒𝑑 𝑋𝑡 La potencia 𝑃𝑚𝑎𝑥 es la potencia eléctrica máxima que puede aportar el generador síncrono, y permanece constante en el tiempo. La potencia eléctrica saliente del generador Pe es también la potencia transmitida en el entrehierro, puesto que hemos despreciado la resistencia en el estator. Los estudios de estabilidad involucran el tratamiento con la ecuación de oscilación de la máquina, la cual en su forma más simple es una ecuación no lineal 𝐻𝑏 𝑑 2 𝛿(𝑡) = 𝑃𝑎𝑐𝑒𝑙 𝜋𝑓 𝑑𝑡 2 Las soluciones formales, no se pueden encontrar explícitamente; bajo las mayores simplificaciones apunta hacia integrales elípticas. El problema de estabilidad generalizado ha sido enfocado a los métodos clásicos, que se basan en la resolución por métodos numéricos. En el caso más simple, una máquina contra una barra de potencia infinita (One Machine Infinite Bus), o dos máquinas, el estudio de estabilidad puede ser efectuado con métodos que no requieren resolver la ecuación de oscilación, siendo los denominados métodos directos. El más simple de los métodos directos es el denominado criterio de áreas iguales. Para deducir el criterio de áreas iguales se hace para una máquina y una barra de potencia infinita, aunque las consideraciones efectuadas, pueden ser elevadas, pueden ser elevadas para el caso de un sistema general de dos máquinas. 𝑋𝐺∞= 𝑋′𝑑 + 𝑋𝑇1 + 𝑋𝑇2 + 𝑋𝐿𝑇1 //𝑋𝐿𝑇2 Esta máquina puede oscilar, respecto a la barra de potencia infinita, cumpliendo con la ecuación 2𝐻 𝑑 2 𝛿(𝑡) = 𝑃𝑎𝑐𝑒𝑙 = (𝑃𝑚𝑒𝑐 − 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐 ) 𝜔𝑠 𝑑𝑡 2 Siendo la velocidad angular relativa del rotor a la velocidad sincrónica, dada por: 𝜔𝑟𝑒𝑙 = 𝑑𝛿(𝑡) = 𝜔(𝑡 ) − 𝜔𝑠 𝑑𝑡 La potencia eléctrica (𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐 ) entregada por la máquina es: 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐 = ̅̅̅ |𝐸̅𝑖 ′||𝑉 ∞| 𝑋𝐺∞ 𝑠𝑒𝑛𝛿(𝑡) 𝑋𝐺∞ = 𝑋′𝑑 + 𝑋𝑇1 + 𝑋𝑇2 +𝑋𝐿𝑇1 //𝑋𝐿𝑇2 Considerando todo lo anterior se puede llegar a la ecuación de oscilación de la máquina conectada a la barra de potencia infinita, la cual es: 2𝐻 𝑑 2 𝛿(𝑡) 𝑑 2 𝛿(𝑡) =𝑀 = 𝑃𝑎𝑐𝑒𝑙 = 𝑃𝑚𝑒𝑐 − 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐 𝜔𝑠 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 Cabe recalcar que antes de que exista alguna perturbación dentro en la máquina, esta se encuentra operando en estado estable. La potencia mecánica (𝑃𝑚𝑒𝑐 ) inyectada al generador es igual a la potencia eléctrica de salida (𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐 ), por lo que la potencia total acelerante es cero (𝑃𝑎𝑐𝑒𝑙 ). Siempre que se desprecie, las pérdidas por rozamiento mecánico, por fricción del aire, por corriente de Facoult, etc. 𝑃𝑎𝑐𝑒𝑙 = 𝑃𝑚𝑒𝑐 − 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐 𝑃𝑎𝑐𝑒𝑙 = 0 𝑃𝑚𝑒𝑐 = 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐 En estas condiciones estables de operación, la velocidad real del rotor 𝜔(𝑡) , es igual a la velocidad sincrónica 𝜔𝑠 , de modo que la velocidad relativa del rotor es cero. Esta máquina puede oscilar respecto a la barra de potencia infinita, cumpliendo con la ecuación de oscilación: 2𝐻 𝑑 2 𝛿(𝑡) 𝑑 2 𝛿(𝑡) =𝑀 = 𝑃𝑎𝑐𝑒𝑙 = (𝑃𝑚𝑒𝑐 − 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐 ) 𝜔𝑠 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 Siendo la velocidad angular relativa del rotor a la velocidad sincrónica, dada por: 𝜔𝑟𝑒𝑙 = 𝑑𝛿(𝑡) = 𝜔(𝑡 ) − 𝜔𝑠 𝑑𝑡 La potencia eléctrica (𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐 ) entregada por la máquina puede ser obtenida de la relación potencia ángulo: 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐 = ̅̅̅ |𝐸̅𝑖 ′||𝑉 ∞| 𝑋𝐺∞ 𝑠𝑒𝑛𝛿(𝑡) Es por esto que considerando todo lo anterior de la ecuación de oscilación de la máquina conectada a la barra de potencia infinita es: 2𝐻 𝑑 2 𝛿(𝑡) 𝑑 2 𝛿(𝑡) =𝑀 = 𝑃𝑎𝑐𝑒𝑙 = (𝑃𝑚𝑒𝑐 − 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐 ) 𝜔𝑠 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 ̅̅̅ |𝐸̅𝑖 ′||𝑉 𝑑 2 𝛿(𝑡) ∞| 𝑀 = 𝑃 = (𝑃 − 𝑠𝑒𝑛𝛿(𝑡)) 𝑎𝑐𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑐 𝑑𝑡 2 𝑋𝐺∞ Conclusión: El equilibrio transitorio es un asunto de análisis bastante fundamental y que debe ser tomado en consideración por su importancia en cuanto al sistema eléctrico, es vital su estudio ya que es bastante adecuado examinar esta clase de sistemas si se quiere optimizar cualquier tipo de sistema eléctrico en general.
