PL2 MA195 2021 3

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
Facultad de Ingeniería Civil
Departamento Académico de Ciencias Básicas
Ciclo 2021-III
LABORATORIO CALIFICADO 2 DE MÉTODOS NUMÉRICOS (MA – 195 G)
Profesor
Día y Hora
:
:
FLORES GONZALEZ, LeonardoCUPE ROMÁN, Wilfredo Juan
08 de Febrero del 2022 – 10:05am – 11:45am
Pregunta 1 ( 6 puntos)
El método de Halley, para encontrar una raíz de la ecuación 𝑓(𝑥) = 0, fue diseñado para acelerar la
convergencia del método de Newton. Puede interpretarse como un método de un punto fijo, cuya
función g(x) es:
−1
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)𝑓′′(𝑥)
𝑔(𝑥) = 𝑥 −
(1 −
)
𝑓′(𝑥)
2(𝑓 ′ (𝑥))2
a) Hacer un programa en Octave que considere como datos de ingreso el punto inicial y la
tolerancia. Los resultados de salida serán:
a1) (2p) Los valores de 𝑛, 𝑥𝑛 , 𝑓(𝑥𝑛 ), 𝑓 ′(𝑥𝑛 ) , 𝑓 ′′(𝑥𝑛 ) , 𝑥𝑛+1 , |𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 |, de cada iteración.
a2) (2p) El valor de la raíz r y el número de iteraciones que se realizan con el método.
Nota: Considerar que el número de iteraciones termina cuando |𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 | < 𝑡𝑜𝑙.
b) (2p) Aplicar el método de Halley para encontrar una solución de la siguiente ecuación no lineal:
8𝑥 − cos(𝑥) − 2𝑥 2 = 0
Pregunta 2 ( 6 puntos)
Dada la ecuación 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 10 = 0.
a) (1p) Graficar la función con Octave y encontrar un intervalo donde se encuentre la raíz.
b) (2p) Para aplicar el método del punto fijo al problema anterior proponer una función 𝑔(𝑥) de tal
forma que se cumpla 𝑥 = 𝑔(𝑥).
c) (1p) Verificar que |𝑔′(𝑥)| < 1 graficando con Octave.
d) (2p) Iterar hasta que la diferencia de dos iteraciones sucesivas sea menor que 10−5.
Pregunta 3 ( 8 puntos)
a) (4p) Probar que 𝑥𝑛+1 = √𝑥𝑛 + 𝑎 converge, considerar que 𝑥0 = √𝑎 y 𝑎 > 0.
b) (4p) Indicar si: 𝑛 +
respuesta.
(−1)𝑛
𝑛
es o no una sucesión de Cauchy. Justificar detalladamente su