algebra PRODUCTOS NOTABLES

VOCACIÓN - ESTUDIO - CONVICCIÓN
Productos notables
Son resultados de ciertas multiplicaciones algebraicas que se obtienen de forma directa, sin la necesidad de
aplicar los axiomas de la distribución.
BINOMIO AL CUADRADO
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a – b)2 = a2 + b2 – 2ab
•
2
2
2
_ 7 - 2 i = 7 + 2 - 2 7 2 = 9 - 2 14
Nota:
Ejemplos:
• (x+5)2 = x2 + 52 + 2(x)(5) = x2 + 25 + 10x
• (m – 7)2 = m2 + 72 – 2(m)(7) = m2 + 49 – 14m
• (2x2 + 3)2 = (2x2)2 + 32 + 2(2x2)(3) = 4x4 + 9 + 12x2
1 2
1
1
1
2
2
b x + x l = x + 2 + 2x. x = x + 2 + 2
x
x
1 2
1
1
1
2
2
b x - x l = x + 2 - 2x. x = x + 2 - 2
x
x
IDENTIDAD DE LEGENDRE
(a + b)2 + (a – b)3 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Nota:
1 2
1 2
1
2
bx + x l + bx - x l = 2 dx + 2 n
x
Ejemplos:
• (x + 3)2 + (x – 3)2 = 2(x2 + 32)
• (m + 3n)2 – (m – 3n)2 = 4(m)(3n)
1 2
1 2
1
b x + x l - b x - x l = 4.x. x = 4
DIFERENCIA DE CUADRADOS
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Ejemplos:
• (x + 6)(x - 6) = x2 – 62 = x2 – 36
•
•
•
2
2
_ 5 + 2 i_ 5 - 2 i = 5 - 2 = 5 - 2 = 3
(n2 + 1)(n2 – 1) = (n2)2 – 12 = n4 – 1
(n4 + 1)(n4 – 1) = (n4)2 – 12 = n8 – 1
BINOMIO AL CUBO
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Forma reducida: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Forma reducida: (a + b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
Ejemplos:
• (x + 1)3 = x3 + 13 + 3(x)(1)(x + 1)
• (x – 1)3 = x3 – 13 – 3(x)(1)(x – 1)
• (3m – 2)3 = (3m)3 – (2)3 – 3(3m)(2)(3m – 2)
Nota:
1 3
1
1
1
1
1
3
3
b x + x l = x + 3 + 3x. x b x + x l = x + 3 + 3 b x + x l
x
x
1 3
1
1
1
1
1
3
3
b x - x l = x - 3 - 3x. x b x - x l = x - 3 - 3 b x - x l
x
x
Álgebra
AV LEGUIA 1185
VOCACIÓN - ESTUDIO - CONVICCIÓN
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
Ejemplos:
•
(x + 2) (x2 – 2x + 4) = x3 + 23 = x3 + 8
•
(x – 3) (x2 + 3x + 9) = x3 – 33 = x3 – 27
•
(3m + 1) (9m2 – 3m + 1) = (3m)3 + 13 = 27m3 + 1
•
_3 7 -
3
2 i_3 49 + 3 14 + 3 4 i = 7 3 -
23 = 7 - 2 = 5
IDENTIDADES DE STEVIN
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Ejemplo:
•
(x + 6) (x – 9) = x2 + (6 – 9)x + (6) (-9) = x2 – 3x – 54
•
(x – 3) ( x – 1) = x2 + (- 3 – 1)x + (-3) (-1) = x2 – 4x + 3
IDENTIDADES ADICIONALES
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a +b)(b + c)(a + c)
(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
(x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
Ejemplo:
A = (x + 2)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x2 + 2x + 4) + 64
A = (x2 – 4)(x4 + 4x2 + 16) + 64
A = (x2)3 – 43 + 64 = x6
IDENTIDADES CONDICIONALES
Si a + b + c = 0
• a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac)
• a3 + b3 + c3 = 3abc
Ejemplo:
Si a + b + c = 0, calcula el valor de:
3
3
3
2
2
2
M = a +b +c + a +b +c = 3-2 = 1
abc
ab + bc + ac
AV LEGUIA 1185
Álgebra
VOCACIÓN - ESTUDIO - CONVICCIÓN
Trabajando en clase
1. Si x + y = 10; xy = 5, calcula x2 + y2
2. Si x – y = 4; xy = 1, calcula x3 + y3
2
2
3. Si x + y = 6; x + y = 15
Calcula x – y, si x > y
4. Si x + 1 = 4 , calcula x2 + 12 + x3 + 13
x
x
x
Resolución:
Sabemos que:
1 2
1
1
2
b x + x l = x + 2 + 2x. x
x
→ 4 = x + 12 + 2
x
2
2
→ x2 + 12 = 14
x
8. Si: 2 + 1 = 8 , a y b números no núlos.
a b a + 2b
Calcula E =
Resolución:
Por dato:
2 + 1 = 8 " a + 2b = 8
a b a + 2b
a.b
a + 2b
→ (a + 2b)2 = 8ab → a2 + 4ab + 4b2 = 8ab
→ a2 – 4ab + 4b2 = 0
→ (a – 2b)2 = 0 → a – 2b = 0 → a = 2b
Entonces: a6 = (2b)6 = 64b6
Reemplazando:
→ 43 = x3 + 13 + 3(4)
x
→ x3 + 13 = 52
x
∴ x2 + 12 + x3 + 13 = 14 + 52 = 66
x
x
5. Si x – 1 = 3, calcula x2 + 12 +x3 – 13
x
x
x
6. Si a =
3 - 1 , calcula:
2
2
E= d a + 1 n +d a - 1 n
2
2
2
2
a6 + 17b6 =
a6 - 52b6
E=
También:
1 3
1
1
1
3
b x + x l = x + 3 + 3x. x b x + x l
x
a6 + 17b6
a6 - 52b6
=
64b6 + 17b6 =
64b6 - 52b6
27
4
9. Si 1 + 1 = 4 , a y b números no nulos.
a 3b a + 3b
(a ≠ b)
2
2
Calcula E = a +2 ab +2 b
a - b
10. Si x2 + 5x – 3 = 0, calcula el valor de:
U = (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)
11. Suponiendo que a + b + c = 0 y a, b y c no nulo,
calcula:
2
2
2
E= a + b + c
bc ac ab
7. Si:
M = (3b – 2a)(9b2 + 6ab + 4a2)
N = (2a 2a – 3b)(2a 2a + 3b)
Calcula:
M+N
9b3 - 3b2
Álgebra
81b6
12b6
AV LEGUIA 1185
VOCACIÓN - ESTUDIO - CONVICCIÓN
9
12. Si se sabe que: a9 + x = 7 , ¿cuál es el valor de
a
x
la expresión
4
9
a +4 x ?
a
x9
2
M =
M2 =
4
4
13. Si se sabe que:
a + 4 x9
a
x9
a
a 2 + 24
x9
a +2+
x9
x9
2
AV LEGUIA 1185
4
x9 4 x9 2
+
a
a
x9
a
_M - 2 i = f a9 +
x
2
(M2 – 2)2 = 7 + 2
M2 –2 = 3 → M = 5
Resolución:
Sea: M =
9
2
_M2 - 2 i = a9 + 2 + x
a
x
de la expresión
y
x3 = 14 , ¿cuál es el valor
+
y
x3
y
3
+4 x
y
x
4
3
14. Halle el valor numérico de
-1
-3
m- 3
P = fn - +
p
m 3 .n- 3
2
x9
a p
si ; m + n = 3 12 ;
mn = 2 3 18
Álgebra
VOCACIÓN - ESTUDIO - CONVICCIÓN
SIGO PRACTICANDO
16. Si x +
1
1
= 3, calcula x 2 +
x
x2
a) 1
b) 7
c) 2
d) –3
17. Halla x + y, dado:
xy(x + y) = 420
x3 + y3 = 468
a) 11
b) 10
c) 24
d) 12
24. Si xm + 1m = 2.m∈Z+ , calcula x3m + x-3m
x
(UNMSM 2013 – I)
e) 4
a) 2
b) 4
(UNFV 2011 – II)
e) 13
18. Si a + b = 4ab = 2, calcula a – b, si a > b
a) 4
c) 2 2
e) 6
b) 2
d) 6
3 + 1 , calcula:
20. Si:
E = (a + 1)2 + (a – 1)2
3 +2
3 −2
c)
b) 2( 3 + 2)
e) 2 3 − 2
d) 2 3
21. Reduce:
2017
 x 4 − 2x 2 + 1 


x3 + 8
.
M=


 (x 2 − 1)2 
 (x + 2)(x 2 − 2x + 4) 
a) –1
c) x2017
e) x3
b) 2
d) 1
a b
+ = 1,(a; b ≠ 0)
b a
a 4 + b4
Determina
a 2 b2
2014
22. Si
(PUCP 2009 – I)
a) 1
c) 3
e) –2
b) 2
d) –1
23. Simplificar:
(x + 1 + 2 x)(x +1 –2 x) + (x + 1)2
2(x + 1 + 2)(x + 1 – 2x)
(PUCP 2009 – II)
a) 3
c) 1
e) 2x – 1
b) 2
d) 4
Álgebra
e) 12
25. Si a(b + c) = –bc y a + b + c = 2, entonces el valor
de: a2 + b2 + c2
(UNMSM 2010 – II)
a) 4
b) 2
c) 2 2
d) 3
e) 4 2
x y
+
y x
(UNMSM 2000)
e) 2/3
26. Si satisfacen x + y = 5; xy = 2, halla
19. Reduce:
(3x+2)(3x–2)(9x2–6x+4)(9x2 + 6x + 4) – (3x)6
a) 0
c) 8
e) 729x6
6
b) -64
d) x
a)
c) 6
d) 8
a) 1/2
b) 1
c) 1/3
d) 3
27. Si a> 0, simplifica la siguiente expresión:
(ax + a–x)(ax – a–x)(a4x + 1 + a–4x)
(UNMSM 2004 – II)
a) a6x + a–6x
d) (ax – a–x)6
b) (a2x – a–2x)3
e) (a3x – a–3x)2
6x
–6x
c) a – a
28. Si 24x + 2–4x = 119 y x > 0; halla 2x – 2–x + 5
(UNMSM 2004 – I)
a) 8
c) 11
e) 9
b) 12
d) 4
29. Si x + y = 8, x + y = 34 ; x > 10, calcule el
cociente x
y
a) 25/9
c) 1/2
e) 5/4
b) 1/4
d) 9/25
30. Si a2 + b2 + c2 = 2(a + 2b + 3c) – 14,
halle el valor de M = a2 + b2 – c2
a) –4
b) –5
c) –6
d) –3
e) –1
AV LEGUIA 1185