Conducción con generación interna CONDUCCIÓN ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL CON GENERACIÓN INTERNA DE CALOR UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA Se aborda en este capítulo el estudio de paredes con generación interna de calor q ’’’ [W/m3]. Tal es el caso cuando tiene lugar una reacción química exotérmica (desprendimiento de calor), una reacción nuclear, una corriente eléctrica o bien como consecuencia del calor metabólico de los seres vivos. No hay que perder de vista que q’’’ también puede resultar negativo cuando, por ejemplo, hay una reacción química endotérmica (absorción de calor). Aquí sólo se considerará la generación de calor uniforme en el material, lo cual responde bien a las situaciones habituales, y que la conductividad del material no cambia con la temperatura. Pared plana: considérese una pared plana de espesor L según la figura, cuyas temperaturas extremas T1 y T2 se suponen conocidas. T1 T2 q''' x -L/2 +L/2 Figura 1. Pared plana Partiendo de la ecuación diferencial de difusión del calor: ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T (k x ) + (k y ) + (k z ) + q´´´ = ρ c ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂t Según las premisas establecidas, y como T=T(x): d (k dx dT ) + q´´´ = 0 dx ó d2 T k dx2 + q´´´ = 0 Integrando dos veces resulta: T(x) = − q´´´ 2 x + C1 x + C2 2k Aplicando las condiciones de contorno en los extremos de la pared. T(x=- L⁄2)=T1 T(x= L⁄2)=T2 1/6 Conducción con generación interna se obtienen las constantes de integración: C1 = − T1 − T2 L C2 = q´´´ L2 T1 + T2 + 8k 2 Y por tanto, la ley en la pared es: T(x) = q´´´ L2 4x 2 x T1 + T2 (1 − 2 ) − (T1 − T2 ) + ⏟ L L 2 ⏟8k pared plana q´´ generación interna que representa una parábola. Y la potencia calorífica q en un plano genérico x: q(x) = −kA dT = dx q⏟´´´ A x generación interna + T1 − T2 L ⏟ kA pared plana sin q´´´ Por tanto, las potencias caloríficas superficiales en las caras izquierda y derecha valdrán: q−L⁄2 = −kA dT L kA = −q´´´ A + (T1 − T2 ) | dx x=−L⁄2 2 L q+L/2 = −kA dT L kA = +q´´´ A + (T1 − T2 ) | dx x=L⁄2 2 L Las diferentes situaciones posibles que pueden presentarse son: Tmax ·T ´´´ q >0 Tmax T1=Tmax 1 q L⁄2 >0 q-L⁄2 >0 q −L⁄2 =0 T2 q L⁄2 >0 T2 T1 T1 T1 q L⁄2 >0 q −L⁄2 <0 T2 T1 q L⁄2 >0 q´´´ <0 q-L⁄2 >0 q L⁄2 <0 q-L⁄2 >0 q-L⁄2 >0 T2 T2=Tmin q L⁄2 =0 · T min 2/6 T2 Tmin Conducción con generación interna Puede apreciarse que se verifica: ▪ ▪ Con generación positiva, por la cara fría sale calor, mientras que por la cara caliente puede entrar calor, salir o ser nulo. Con generación negativa, por la cara caliente entra calor, mientras que por la cara fría puede entrar calor, salir o ser nulo. Haciendo la diferencia entre las potencias caloríficas superficiales: qL⁄2 − q−L⁄2 = q´´´ Vol = q´´´ L A que, evidentemente, corresponde con la potencia generada internamente en la pared, dada por el producto de la generación interna q´´´ por el volumen de la misma L·A. La coordenada en la cual la temperatura es máxima/mínima viene dada por: x*= (T2 − T1 ) k L q′′′ Y dicha temperatura máxima/mínima será: T* = q''' L2 (T1 -T2 )2 k T1 +T2 + + 8k 2 2 L2 q''' Obtenidas de hacer dT dx = 0. Si la coordenada x* cae fuera de la pared, la temperatura máxima en la pared coincidirá con alguna de las superficiales. Barra cilíndrica maciza: sea una barra cilíndrica maciza de radio R con generación interna uniforme q’’’ y temperatura superficial Ts. q''' dr Ts R r qr q´´´ dV qr+dr = qr + Figura 2.a. Barra cilíndrica ∂qr dr = qr + dqr ∂r Figura 2.b. Rebanada diferencial Partiendo de la ecuación diferencial de difusión del calor en coordenadas cilíndricas: 1∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T (k r r )+ 2 (k ∅ ) + (k z ) + q´´´ = ρ c r ∂r ∂r r ∂∅ ∂∅ ∂z ∂z ∂t 3/6 Conducción con generación interna Según las premisas establecidas, y como T=T(r): k 1d dT (r ) + q´´´ = 0 r dr dr 1d dT q´´´ (r )+ =0 r dr dr k ó En cualquier caso, integrando dos veces: q´´´ 2 T(r) = − r + C1 ln r + C2 4k Aplicando las condiciones de contorno: dT | dr r=0 = 0 (por simetría) y T(r = R) = Ts , se q´´´ obtienen las constantes de integración C1 = 0 y C2 = Ts + 4k R2 . La distribución de temperatura queda finalmente como: T(r) = Ts + q´´´ 2 (R − r 2 ) 4k Que constituye una parábola. Gráficamente: T T Tmax Tmin Ts r Ts r q´´´ >0 q´´´ <0 Y la potencia calorífica en un radio genérico: q(r) = −kA dT = q´´´ πr 2 L dr Que particularizada para el radio exterior de la barra: q(R) = q´´´ πR2 L La temperatura máxima (q'''>0) o mínima (q'''<0) estará localizada necesariamente en el centro de la barra: Tmax = Ts + q´´´ 2 R 4k q´´´ >0 Tmin = Ts + q´´´ 2 R 4k q´´´ <0 4/6 Conducción con generación interna Barra cilíndrica hueca: las ecuaciones para la barra cilíndrica maciza podrían haberse obtenido como un caso particular de otro más general constituido por una barra cilíndrica hueca de radios r1 y r2 y temperaturas superficiales T1 y T2, como se muestra en la figura: T2 T1 r1 r2 Al aplicar las condiciones de contorno: T(r=r1)=T1 T(r=r2)=T2 a la ley general de temperatura: T(r) = − q´´´ 2 r + C1 ln r + C2 4k resultan las constantes de integración C1 y C2: q´´´ 2 (r2 − r12 ) − (T1 − T2 ) 4k C1 = r ln r2 1 q´´´ 2 2 q´´´ 2 4k (r2 − r1 ) − (T1 − T2 ) C2 = T1 + r − ln r1 r 4k 1 ln r2 1 La ley de temperatura queda: T(r) = T1 − (T1 − T2 ) ln(r⁄r1 ) q´´´ 2 ln(r⁄r1 ) + [(r2 − r12 ) − (r 2 − r12 )] ln(r2 ⁄r1 ) 4k ln(r2 ⁄r1 ) Por aplicación de la ley de Fourier, la potencia calorífica será: q(r) = −kA dT 2πkL(T1 − T2 ) r22 − r12 = − πLq´´´ [ − r2] dr ln(r2 ⁄r1 ) 2 ln(r2 ⁄r1 ) que particularizada para r1 y r2: q(r1 ) = (r2 ⁄r1 )2 − 1 2πkL(T1 − T2 ) − πLq´´´ r12 [ − 1] ln(r2 ⁄r1 ) 2 ln(r2 ⁄r1 ) q(r2 ) = 2πkL(T1 − T2 ) 1 − (r1 ⁄r2 )2 + πLq´´´ r22 [1 − ] ln(r2 ⁄r1 ) 2 ln(r2 ⁄r1 ) La diferencia entre las potencias caloríficas superficiales de la caras interna y externa: q(r2 ) − q(r1 ) = πLq´´´ (r22 − r12 ) 5/6 Conducción con generación interna que corresponde con la potencia generada internamente en la pared, dada por el producto de la generación interna q´´´ por el volumen de la misma πL(r22 − r12 ). La localización r* del punto de temperatura máxima (q’’’>0) o mínima (q’’’<0) se obtiene: r ∗ = r|dT dr =0 1 2 2k (r2 − r12 ) − ´´´ (T1 − T2 ) 2 q √ = ln(r2 ⁄r1 ) La casuística que se presenta en este caso coincide con la que tiene lugar en una pared plana con generación interna. Es decir: ▪ Con q’’’>0 la potencia calorífica sale por la cara más fría, mientras que en la cara más caliente la potencia térmica puede ir hacia dentro de la pared, hacia fuera o ser nula. ▪ Con q’’’<0 la potencia calorífica entra por la cara más caliente, mientras que en la cara más fría la potencia térmica puede ir hacia dentro de la pared, hacia fuera o ser nula. Cuando se conoce la ubicación del punto de máxima temperatura en una pared (plana, cilíndrica, etc), es fácil calcular las potencias caloríficas hacia cada lado. Para una pared plana de área A: Tmax • L1 L2 q1= q1=q’’’V1=q’’’A·L1 q2=q’’’V2=q’’’A·L2 6/6
