Teoria del Control 1 Unidad II Parte 1 (1)

Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Teoría de Control I
Unidad II
Análisis en Estado Transitorio
Parte 1
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Índice
Conceptos básicos de Control de Sistemas Lineales
1.
Señales normalizadas de prueba (Escalón, rampa, impulso,
parábola)
2.
Partes de una Respuesta
3.
Sistemas de primer orden.
4.
Sistemas de segundo orden.
5.
Influencia de los polos dominantes en la respuesta
dinámica de un sistema.
6.
Respuesta y análisis de sistemas de orden superior.
7.
Análisis de estabilidad (criterio de Routh)
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
1. Señales Normalizadas de Prueba
(escalón, rampa, impulso y parábola)
En el análisis y diseño de sistemas de control, se debe tener
una base de comparación del comportamiento, las
respuestas de varios sistemas a estas señales de entrada.
Muchos criterios de diseño se basan en tales señales o en la
respuesta del sistema a los cambios en las condiciones
iniciales. El uso de señales de prueba se justifica porque
existe porque existe una correlación entre las características
de respuesta de un sistema para una señal de entrada de
prueba común y la capacidad del sistema de manejar las
señales de entrada reales
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Las señales de prueba que se usan regularmente son
funciones en escalón, rampa, impulso y parábola, etc. Con
éstas señales de prueba es posible realizar con facilidad
análisis matemáticos y experimentales de sistemas de
control, ya que las señales son funciones en el tiempo
simples.
La forma de la entrada a la que el sistema estará sujeto con
mayor frecuencia en una operación normal determina cuál
de las señales de entrada típicas de debe de usar para
analizar las características del sistema.
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Objetivo
Señales de prueba recomendado
c(t)
Si el sistema está sujeto
a entradas de choque.
A
Impulso
Regulación
t
Si el sistema está sujeto
a perturbaciones
repentinas
c(t)
Escalón
Regulación
t
Funciones del tiempo
que cambian en forma
gradual
c(t)
Rampa
Seguimiento
t
Si el sistema estará
sometido a cambios
exponenciales
c(t)
Parábola
Seguimiento
t
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
2. Partes de una Respuesta
La respuesta c(t) en el tiempo de un sistema consta de dos etapas:
1. Transitoria: sucede desde el valor inicial al valor final de la
respuesta (Ks*A)
2. Estacionaria: sucede cuando la respuesta se estaciona dentro de un
rango más menos el 5% o el 2% del valor final Ks*A cuando el
tiempo (t) tiende al infinito
Dónde:
: Etapa Transitoria
Etapa Estacionaria
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
3. Sistemas de Primer Orden
Se caracterizan mediante el diagrama de bloques:
R(s)
Ks
C(s)
+-
Cuya Función de Transferencia y diagrama de bloques reducido:
R(s)
C(s)
Dónde el sistema se caracteriza mediante los parámetros:
Ks : denominada ganancia estática, y establece la relación entre la amplitud de
salida y la amplitud de entrada. Sus unidades dependen de la relación de unidades de
salida / entrada
τ : denominada constante de tiempo y usualmente se mide en segundos ó minutos
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Respuesta natural de sistemas de Primer Orden ante entrada Escalón en lazo abierto
R(s)
C(s)
=
Resolviendo las Fracciones Parciales para
=
y
t=t*
c
c
∗
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Ejemplo 1:
c 𝑡 = 1∗1 1−𝑒
Ks=1
=1
∗
= 1−𝑒
Se proponen:
t* 𝜏
1∗1
2∗1
3∗1
4∗1
5∗1
c(t)
0*1
1−𝑒
0
1*1
1−𝑒
0.6321
2*1
1−𝑒
0.8646
3*1
1−𝑒
0.9502
4*1
1−𝑒
0.9816
5*1
1−𝑒
0.9931
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Ejemplo 2:
c 𝑡 = 1∗1 1−𝑒
Ks=1
=2
∗
= 1−𝑒
Se proponen:
t* 𝜏
clc
clear all
Ks=1;
tao=2;
A=1;
fdtst=tf([A],[1])
fdt=tf([Ks],[tao 1])
step(fdt*A)
hold on
step(fdtst)
hold on
hold off
hold off
1*2
2*2
3*2
4*2
5*2
c(t)
0*2
1−𝑒
0
1*2
1−𝑒
0.6321
2*2
1−𝑒
0.8646
3*2
1−𝑒
0.9502
4*2
1−𝑒
0.9816
5*2
1−𝑒
0.9931
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Ejemplo 3:
c 𝑡 = 1∗1 1−𝑒
∗ .
.
Ks=1
=0.5
= 1−𝑒
Se proponen:
t* 𝜏
clc
clear all
Ks=1;
tao=0.5;
A=1;
fdtst=tf([A],[1])
fdt=tf([Ks],[tao 1])
step(fdt*A)
hold on
step(fdtst)
hold on
hold off
hold off
1*0.5
2*0.5
3*0.5
4*0.5
5*0.5
c(t)
0
1−𝑒
0
0.5
1−𝑒
0.6321
1.0
1−𝑒
0.8646
1.5
1−𝑒
0.9502
2.0
1−𝑒
0.9816
2.5
1−𝑒
0.9931
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Ejemplo 4:
c 𝑡 = 2∗1 1−𝑒
Ks=1
=1
∗
=2 1−𝑒
Se proponen:
clc
clear all
Ks=1;
tao=1;
A=2;
fdt=tf([Ks],[tao 1])
step(fdt*A)
t* 𝜏
1
2
3
4
5
c(t)
0*1
2 1−𝑒
0
1*1
2 1−𝑒
1.2642
2*1
2 1−𝑒
1.7292
3*1
2 1−𝑒
1.9004
4*1
2 1−𝑒
1.9632
5*1
2 1−𝑒
1.9860
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Ejemplo 5:
c 𝑡 = 1 ∗ 0.5 1 − 𝑒
Ks=0.5
=1
∗
= 0.5 1 − 𝑒
Se proponen:
clc
clear all
Ks=0.5;
tao=1;
A=1;
fdtst=tf([A],[1])
fdt=tf([Ks],[tao 1])
step(fdt*A)
hold on
step(fdtst)
hold on
hold off
hold off
1
2
t* 𝜏
3
4
5
c(t)
0
0.5 1 − 𝑒
0
1
0.5 1 − 𝑒
0.3160
2
0.5 1 − 𝑒
0.4323
3
0.5 1 − 𝑒
0.4751
4
0.5 1 − 𝑒
0.4910
5
0.5 1 − 𝑒
0.4965
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Ejercicio 1:
Se tiene un circuito RC en serie con una fuente de alimentación de corriente directa de 5
Volts, la resistencia es de 100 ohms y el capacitor de 3 Farads.
1. Obtener su Modelo matemático.
2. Plantea su diagrama de bloques considerando la Tensión en el Capacitor como salida y la
Fuente de alimentación como Entrada
3. Obtener la Función de Transferencia considerando la Tensión en el Capacitor como salida
y la Fuente de alimentación como Entrada
4. Obtener la respuesta para responder las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el valor máximo de Tensión de Carga del Capacitor (Ks*A)?
b) ¿En que tiempo la respuesta alcanza el 99% del Valor de Ks*A y que valor tendrá?
c) Si se usa una resistencia de 100 ohms y un capacitor de 0.02 Farads ¿Qué cambios
en la respuesta se observan al comparar con la respuesta inicial?
d) ¿Que valor de Resistencia se deberá usar si se usa un capacitor de 2 Farads, y se
desea que se alcance el 98% del valor de Ks*A en 3 min (180 seg)?
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Solución Ejercicio 1:
Se tiene un circuito RC en serie con una fuente de alimentación de corriente directa
de 5 Volts, la resistencia es de 100 ohms y el capacitor de 3 Farads.
R
e0
i
1. Obtener su Modelo matemático.
(1)
(2)
C
Vc
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
2
Solución Ejercicio 1:
Plantea su diagrama de bloques
(1)
(2)
Despeja de ec (2) a i(t) sustituye en ec (1) y despeja a
( )
( )
( )
( )
(3)
(4)
e0(t)
+-
1
𝑅𝐶
Vc(t)
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Solución Ejercicio 1:
3
Obtener la Función de Transferencia considerando la Tensión en el
Capacitor como salida y la Fuente de alimentación como Entrada
(1)
(2)
Por el método directo se aplica la Transformada de Laplace para las ec 1 y 2 y se
relacionan para obtener la FdT
(4)
(5)
( )
( )
( )
(6)
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Solución Ejercicio 1:
a)
b)
4
¿Cuál es el valor máximo de Tensión de Carga del Capacitor (Ks*A)?
¿En que tiempo la respuesta alcanza el 99% del Valor de Ks*A y que valor tendrá?
c 𝑡 = 5∗1 1−𝑒
a)
∗
Ks=1
=RC=(100)(3)
clc
clear all
Ks=1;
tao=300;
A=5;
fdtst=tf([A],[1])
fdt=tf([Ks],[tao 1])
step(fdt*A)
hold on
step(fdtst)
hold on
hold off
hold off
t* 𝜏
b)
C(t)
0
0
300
3.160
600
4.323
900
4.801
1200
4.908
1500
4.965
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Solución Ejercicio 1:
c)
Si se usa una resistencia de 100 ohms y un capacitor de 0.02 Farads ¿Qué cambios en la respuesta se
observan al comparar con la respuesta inicial?
c 𝑡 = 5∗1 1−𝑒
∗
Ks=1
=RC=(100)(0.02)
clc
clear all
Ks=1;
tao=2;
A=5;
fdtst=tf([A],[1])
fdt=tf([Ks],[tao 1])
step(fdt*A)
hold on
step(fdtst)
hold on
hold off
hold off
t* 𝜏
c)
C(t)
0
0
2
3.160
4
4.323
6
4.801
8
4.908
10
4.965
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Solución Ejercicio 1:
a)
4
¿Que valor de Resistencia se deberá usar si se usa un capacitor de 2 Farads, y se desea que se
alcance el 98% del valor de Ks*A en 3 min (180 seg)?
c 𝑡 = 5∗1 1−𝑒
∗
Ks=1
=RC=(22.5)(2)
4 𝜏=180
4*R*2=180
180
𝑅=
4∗2
d) R= 22.5 𝑜ℎ𝑚𝑠
clc
clear all
Ks=1;
tao=45;
A=5;
fdtst=tf([A],[1])
fdt=tf([Ks],[tao 1])
step(fdt*A)
hold on
step(fdtst)
hold on
hold off
hold off
t* 𝜏
C(t)
0
0
45
3.160
90
4.323
135
4.801
180
4.908
225
4.965
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Solución Ejercicio 1:
Se tiene un circuito RC en serie con una fuente de alimentación de corriente directa de 5
Volts, la resistencia es de 100 ohms y el capacitor de 3 Farads.
1. Obtener la respuesta para responder las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el valor máximo de Tensión de Carga del Capacitor (Ks*A)?
R: 5 Volts
b) ¿En que tiempo la respuesta alcanza el 99% del Valor de Ks*A y que valor tendrá?
R: En 1500 seg, alacanzará 4.97 que equivale al 99% de 5 Volts
c) Si se usa una resistencia de 100 ohms y un capacitor de 0.02 Farads ¿Qué cambios
en la respuesta se observan al comparar con la respuesta inicial?
R: Reduce el tiempo que le toma en alcanzar el 99% de 5 Volts de 1500 seg
a 10 seg.
d) ¿Que valor de Resistencia se deberá usar si se usa un capacitor de 2 Farads, y se
desea que se alcance el 98% del valor de Ks*A en 3 min (180 seg)?
R: Dado que el 98% de 5 Volts equivale a 4𝜏, se obtiene de ahí un valor para
la resistencia de 22.5 ohms.
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Ejercicio 2:
La siguiente grafica se obtuvo del mismo sistema RC en serie del ejercicio 1, considerando
una fuente de 3 V, con una resistencia de 300 ohms, el valor del capacitor se desconoce.
1. Obtener la Función de Transferencia aproximada al 99% que genero la grafica
2. ¿De qué valor es el capacitor utilizado?
3. Obtener la Función de Transferencia aproximada al 98% que genero la grafica
4. ¿De qué valor es el capacitor utilizado?
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Solución Ejercicio 2:
Resuelve los siguientes puntos:
1. Obtener la Función de Transferencia aproximada al 99% que genero la grafica
2. ¿De qué valor es el capacitor utilizado?
1)
5 =15
=3
Ks*A=12
Ks*3=12
Ks=4
2)
𝜏=3
300*C=3
3
300
C = 0.01 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑠
𝐶=
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco
Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz
Solución Ejercicio 2:
Resuelve los siguientes puntos:
3. Obtener la Función de Transferencia aproximada al 98% que genero la grafica
4. ¿De qué valor es el capacitor utilizado?
3)
4 =15
=3.75
Ks*A=12
Ks*3=12
Ks=4
4)
𝜏=3.75
300*C=3.75
3.75
𝐶=
300
C = 0.0125 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑠