x DIVISIBILIDAD COCIENTES NOTABLES FACTORIZACIÓN I 1. 2 y2 z2 x 2 y2 z2 mx2 yz es divisible por (x+y+z)? A) 4 1 D) -8 ¿Cuál será aquel polinomio cuadrático de coeficiente principal 4, capaz de ser divisible por 2x 1 y que al B) 2 C) E) -4 ser evaluado en (2) toma el valor de 5? RESOLUCIÓN A) 4x2 4x 3 B) x D) x y zq'x,y,z En la base a la identidad: 2 y2 z2 x2 y2 z2 mx 2yz 2 4x 4x 3 C) 4x2 4x 3 Con: x=1 ; y=1; z=-2 evaluando: (1-1+4)(1+1-4)+m….(2)=0 -8=2mm=-4 4x2 4x 2 E) 4x2 4x 2 RESOLUCIÓN RPTA.: E Sea este Polinomio Px 4x2 ax b : Por condición: 4x2 ax b 2x 1 .q'x 2 1 1 4 a 2 b 0 2 -a+2b=2.............................(1) Además: 4x2 ax b (x 2)q''x 5 Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5 2a+b = 11 .........................(2) De: 2(1)+(2) 15b=-3 : 5b=- Busque la relación que debe existir entre “p” y“q” a fin de que el polinomio: Px x3 3px 2q Resulte RPTA.: C ¿Para qué valor de “m” el polinomio: ser divisible por x a 2 A) P 3 q2 B) P 2 q3 C) Pq D) P.q 1 E) P q2 RESOLUCIÓN Aplicando dos veces ruffini bajo el principio de divisibilidad. 1 En (2) :2a=-8a=-4 Conclusión: P x 4x2 4x 3 2. 3. 0 -3P 2q -a a2 3ap -a a2 1 -a (a2 3p) 3ap 2q a3 -a -a 2a2 2 1 -2a 3a 3P R1 0 Si: 3a 3P 0 2 R1 0 a2 P a2 3 P3 Reemplazando en: R1 0 5. Px x3 6x 2 11x 6;es 3a3 2q a3 0 a3 q divisible por: (x-a), (x-b) y (x-c) indistintamente. a q 3 2 2 Conclusión: P3 q2. ¿Cuál será el residuo de: Px RPTA.: A 4. 1 xa b Determine “abc” sabiendo que el polinomio : Px a c (b c)x a bx 6x 2x 2 3 es divisible por x 3 x 2 1 A) -2 40 D) -1360 Si el Polinomio: B) -34 C) E) 2720 RESOLUCIÓN Por Teorema de divisibilidad 4 1 b 1c 1 c 1a1 A) 0 B)1 C) ab + bc + ca D) ab + cb + ca D) 1 ? RESOLUCIÓN Al ser divisible indistintamente lo será también por el producto es decir: Px (x a)(x b)(x c) q(x) Px x 1q'x R1 0 Px x 1q' 'x R2 0 x3 6x2 11x 6 Px x 3q' ' 'x R3 0 Empleando veces) -2 1 -2 1 3 ( -6 (a+b) (b+c) -2 -8 a+b-8 -8 +2 -1 Ruffini -6 -6 -2 -12 (a+b-8) (a+2b+c-81) 2(a+b+c-4) 6 -a-b+2 R1 (a+b-2) b+c-6 -36 R2 grado (monico) tres (c+a) a+2b+c-8 3er Uno x3 6x2 11x 6 x3 a b cx2 ab bc cax abc De donde: a+b +c =6 ab +bc + cd= 11 abc= 6 a+b-38 Se pide: R3 P x Si: a+b+c-4=0a+b+c=4 b+c-6=0 b+c=6 a+b-38=0a+b=38 en (1) c=-34 en (2) b=40 Luego: abc=2720. RPTA.: E 1 1 1 x ab bc ca Evaluando P x c ab x abc en x=1: R P1 0 RPTA.: A P x x 1 6. ¿Cuál será aquella división notable que genere al cociente a a 35 A) 30 a 25 A) 60 D) 600 RESOLUCIÓN Por condición: 30 m 10 n 2 B) a 1 a5 1 9. Por principio teórico de signo y variación de exponente de 5 en 5, es la B. Encuentre el valor de: que B) D) 0 RESOLUCIÓN 2 B) 133 C) E) 131 x 1 x1 x2 x3 ...xk ... 1 x 1 10 109 1 103 1 103 3 3 10 1 10 1 x 1 x 1 236 A) 396 132 D) 236 Acondicionando el divisor: 3 : T10 T50 T100 x RESOLUCIÓN de sabiendo 1 999 A) 1000001 1010101 C) 1001001 E) 1 Se desea conocer de cuántos términos está constituido el cociente RPTA.: B 3 1 T2 1 T3 Tk T10 x10 x10 .x50 .x100 x236 1001001 RPTA.: C Sabiendo que el cociente de la división m=20 RPTA.: B RESOLUCIÓN 8. n=3 Luego: 20³ = 8000 a40 1 C) 5 a 1 10 E) 8 ... a 1 . 5 a36 1 a1 9 C) 3 40 7. B) 8000 20 x 30 y m ; consta xn y2 de 10 términos. n Determine el valor de: m T50 x50 T100 x100 x3160 x236 De donde: 3 160 236 3 396 132 Luego: términos=132+1=133 # RPTA.: B 10. Si la división P x y x3 yP indicada: D) x-1 E) 1 432 genera un cociente notable. Averigüe al término antepenúltimo A) x 2y9 x6 y324 D) 0 E) x y 6 Efectuando notable la división x6n 1 x6n1 x6n2 x6n3 x2 x 1 x 1 Luego en: x6n1 x6n2 x6n3 ... x2 x 1 x 1 B) C) x36 y360 RESOLUCIÓN 314 Aplicando Ruffini RESOLUCIÓN Existen “6n” términos Si la división indicada es notable, debe cumplir que: P 432 3 P 2 P 3.432 P 32.22 36 términos y y x3 x36 y432 x3 y36 x3 12 36 1 36 1210 Existen Finalmente en: Después de dividir valor x6 y324 R q 2 1 0 101 el x6n1 1 cociente de ; nN x 1 . Entre x 1; se obtiene un nuevo cociente que al ser dividido por x 2 Según el teorema del residuo Si: x2 x 1 x Que al evaluarlo en este Cero RPTA.: B 11. “6n-1” q x x2 x 1 y 36 0 qx x6n2 x6n4 x6n6 ... x4 x2 1 1 antepenúltimo 1 1 ... 1 1 1 0 -1 -1 1 0 ... 0 1 0 12 T1 T2 ... T10 T11 T12 Tantep T10 x3 1 -1 -1 P2 3.33.24 Luego: 1 x 1 RPTA.: A 12. Factor Primo de: Q a,b 1+b+c+a(1+b+c+bc)+bc será: A) 1+c 1+ab D) 1+bc B) 1+b E) 1+abc obtendremos como residuo. A) 0 x+1 B) -x C) RESOLUCIÓN Asociando: C) Qa,b 1 b c bc a1 b c bc Extrayendo factor común Qa,b 1 b c bc1 a Qa,b 1 b c1 b1 a a2 b2 c2 d2 2ad 2bc a = a 2 2ad d2 b2 2bc c2 = a d b c a d b c a d b c 2 Qa,b 1 c 1 b 1 a 2 RPTA.: A Constante RPTA.: B 13. ¿Cuántos factores primos binómicos admite el polinomio; Px X n2 n 15. ¿Cuál será el divisor trinomio del polinomio en variables: m,n,p. m3 n P n3 P m P3 m n ? x x x x 1;n N. A) 1 3 D) n 3 2 B) 2 A) m-n-P P C) m-n+P m+n+P E) mn+nP+Pn C) E) ninguno RESOLUCIÓN B) m+nD) Asociando de 2 en 2: n n RESOLUCIÓN Px x .x x x x x 1 2 3 2 Mediante la distribución en el segundo y tercer término: Px xn (x2 1) x(x2 1) (x2 1) … …...... …..... m3 n P n3P n3m P3m P3n n Px (x 1) x x 1 2 Px (x 1)(x 1) xn x 1 Asociando: …...... RPTA.: B 14. …...... n Pn Uno de los divisores de: a2 b2 c2 d2 2ad bc Será: A) a-b+c-d c+d C) a-b-c + d a+b+c-d E) a-b-c-d RESOLUCIÓN Asociando convenientemente B) D) a+b- m n P nP n2 p2 m(n3 p3) 3 2 n Pn P …...... np P2 (n-P) m3 n2P nP2 mn² mnP mP2 (n-P) mm2 n2 nPm n P2 m n (m+n)(m-n) (n P) m n m2 mn nP P2 m Pm… P) n(m… P (n P)m n (n P)m nm Pm n P RPTA.: D 16. El Polinomio: Mx, y x y 3xy1 x y 1 3 a b c a2 b2 9 ab 3a b Será divisible por: RPTA.: D A) x 2 xy y 2 x y 1 18. Cuántos divisores admitirá el Polinomio: B) x2 xy y2 x y 1 Px;y a2bx4 b3 a3 x2y4 ab2y8 RESOLUCIÓN A) 8 15 D) 4 Asociando convenientemente Mx, y x y 1 3xyx y 1 3 Diferencia de cubos 2 M x, y x y 1 x y x y 1 -3xy(x+y-1) Extrayendo el factor común M x, y x y 1 x2 xy y2 x y 1 B) 7 C) E) 3 RESOLUCIÓN Empleando el aspa simple: Px,y a2bx4 b3 a3 x2.y4 ab2y8 a2x2 b2y4 bx2 ay4 RPTA.: C 17. C) x 2 xy y 2 x y 1 Un factor primo racional de: Px,y a2x2 b2y4 bx2 ay4 R a a3 b3 9ab 27 ; será: Px,y ax by2 ax by2 bx2 ay4 A) a+b+3 B) a-b+3 C) ab-3(a+b) Nº divisores: (1+1)(1+1)(1+1) D) a2 b2 ab 3a b 9 RPTA.: A 19. E) a2 b2 ab 3a b 9 RESOLUCIÓN R a a3 b3 3 3ab 3 3 a b 3 a2 b2 3 ab a 3 3b 2 Qx, y,z z4 2 x2y2 z2 x2 y2 Corresponde a la identidad Gaussiana, que proviene de: Halle la suma de los elementos de aquellos Polinomios irreductibles que se desprenden de: A) 4x 4z D) 2(x-y) B) 4y E) 2(x+y) 2 C) RESOLUCIÓN 3 Mediante un aspa simple Q z4 2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 2 x y 3 2 2 3 7 7 Por el término 4 2 general 2 2 x y z2 x y Tk 3 4 7k 2 k 1 efectuando por exponentes 25 k 6 Tk 2 ....................() Sumando estos elementos Por lo que piden: 25 k debe ser mínimo 6 k 7; Un divisor del Polinomio: luego en : Px,y 2x 2x 7y 3y(5y 12) 48x 25 7 6 T7 2 será: 22. x 2 16 ; halle el valor numérico del quinto término para x=1 A) 729 81 D) 243 Buscando la forma de un aspa doble: B) 126 C) E) 729 RESOLUCIÓN Px,y 8x2 14xy 15y2 48x 36y 0 Dando la forma de un C.N: SEMANA 5 8 x 22 x 22 2 2 x 2 x 2 COCIENTES NOTABLES FACTORIZACIÓN menor término del cociente x 2 2 x2 4 RESOLUCIÓN Hallar el racional notable. T7 23 8 RPTA.: E En el cociente notable 16 A) 3x-4y B) 4x-3y C)2x-3y D) 2x-3x E) 2x-5y+12 21. C) E) 8 4 2 3 RPTA.: C 20. B) -1 RESOLUCIÓN Qx,y,z z x yz x yz x yz x y =4z 4 2 A) 9 3 D) 5 z2 2 x y Q z 47 23 2 8 3 4 2 2 T5 x 2 x 2 (x 2)6 (x 2)8 x=1 T5 3 .(1) 729 RPTA.: E 6 23. 8 Halle el grado absoluto del primer término central del C.N. x15n 50 y15n 10 xn 1 yn 2 A) 11 63 D) 40 y ... x5 +1 C) 7 Hallamos centrales. términos y T11 x63y40 T11 x7 9 9 4 4 10 70 siguiente cociente x y . Calcule el x2 y3 30 A) sexto B) quinto C) octavo D) cuarto 10 k y 3 k 1 x10y? x20 2k x10 k 5 El lugar es quinto 26. Luego de factorizar: RPTA.: B suma de los factores primos. A) x4 x2 3 G.A. T10 106 Si… x195y140 x190y147 ... son términos consecutivos del desarrollo de un C.N. Halle el número de términos. A) 61 58 D) 60 el P(x) x8 x4 1; halle la 36 RPTA.: B 24. En T10 x y 10 NT 59 1 60 Tk x2 y T10 x 7 los 21 RESOLUCIÓN 20 4 7 E) décimo 15n 50 15n 10 n6 n1 n2 x y x y 38 lugar que ocupa el término que contiene a x10. Por la condición necesaria y suficiente se debe de cumplir: luego: x5 Número de términos = G.A notable RESOLUCIÓN 4 y 20 20 E) 72 7 7 RPTA.: D 25. B) 106 20 39 B) 59 E) 65 RESOLUCIÓN Formando un C.N. de: C) B) x2 3 C) x2 3 D) x4 2 E) x4 1 RESOLUCIÓN Aplicando la identidad de Argan a P(x) x2 x 1 x2 x 1 x4 x2 1 Luego: fac. primos= x4 x2 3 RPTA.: A 27. P x x x x x 1 x Luego de factorizar 6 P(x) x x x x x 1 en x , indique el número 8 7 5 4 3 3 B) 3 C) 29. E) 2 P(x) x8 x4 1 x7 x5 x3 4 x2 1 x3 x P(x) x2 x 1 x2 x 1 x x 2 1 x 1 x2 x 1 2 B) a-b C) E) ab F(x) abx2 a2 b2 x ab b bx 3 F x abx2 a2 b2 x ab a x x 1 2 x2 1 ax P(x) x2 x 1 x2 x 1 4 RESOLUCIÓN P(x) x2 x 1 x2 x 1 x Factorizar: A) a+b a D) b x2 1 x3 x4 x2 1 3 2 , e indicar la suma de los T.I. de los factores primos. P(x) x2 x 1 x2 x 1 4 2 1 RPTA.: C RESOLUCIÓN x 2 de coef = 1 de factores primos. A) 5 4 D) 6 P x x6 x4 2x2 1 F(x) ax b bx a RPTA.: A 30. Al factorizar: P(x) x2 x 1 x2 x 1 x 1 10x2 17xy 3y2 5x y P(x) Indicar la suma de sus x3 x 1 Hay 4 factores primos 28. Factorizar: RPTA.: C términos primos. de sus factores A) 7x-4y+1 B) 7x-1 P x x6 x4 2x2 1 C) 4x-7y-1 D) 4y-1 indicar la suma de coeficientes de un factor primo. E) 5x+2y-1 A) 1 1 D) 2 B) 0 E) -2 RESOLUCIÓN C) RESOLUCIÓN P(x) 10x2 17xy 3y2 5x y 0 5x -y 2x -3y 4 3 1 4 3 D) 2 A) 0 1 P(x) 5x y 2x 3y 1 RPTA.: A 31. Factorizar: 3 un factor 1 5 2 3 A) 3x +2 -2x+1 D) x+2 B) -3x1 4 1 6 13 12 13 12 4 -5 -8 -4 1 5 8 4 1 -2 3 -6 2 -4 0 C) -2 E) 4x+3 RESOLUCIÓN 0 0 P(x) x 1 x 1 x 2 x2 3x 2 Aplicando Ruffini 8 -3 -2 1 2 12 6 7 2 14 4 0 6 7 2 -1 1 6 -1 1 primo 7 -4 -1 E) C) -8 2 12 6 5 RESOLUCIÓN P(x) 12x 8x 3x 2 , e indicar lineal. B) x 2 x 1 P(x) x 1 2 3x 2 2x 1 2 Luego: M.A P(x) 2x 1 6x 7x 2 2 x 1 x 2 112 2 3 3 RPTA.: E 33. Al factorizar: P(x;y) x4 4y4 Calcule el número factores algebraicos. P(x) 2x 1 3x 2 2x 1 RPTA.: A 32. Factorice: P(x) x5 5x4 7x3 x2 8x 4 A) 4 6 D) 7 B) 3 de C) E) 8 RESOLUCIÓN P(x;y) x4 4y4 4x2 y2 2xy 2 Indique el promedio aritmético de los T.I. de los factores primos. P(x;y) x2 2y2 2 2xy 2 2 2 P(x;y) x 2xy 2y x 2 2 2xy 2y Nf .A 2 2 1 4 1 3 RPTA.: B 34. Factorice RPTA.: B 36. P(x) x25 x20 1 P(x) x4 2x2 9 , e indicar factores. A) 2 4 D) 5 el número B) 3 2 2 2 Nf 2 2 4 2 P(x) x x x 1 (x) , luego 37. cantidad de algebraicos. A) 2 3 D) 6 A) 2 1 D) 4 C) 2 1 x2 1 x2 B) 3 2 de C) E) 5 RESOLUCIÓN P(x) x2 x4 2x3 1 x2 1 x4 2x2 RESOLUCIÓN P(x) x2 x 1 x 1 P(x) x 1 x2 1 P(x) 2x3 2x2 2x2 (1 x) x2 x(1 x) Son 2 factores cuadráticos 38. Señale un factor primo de: P(x) x 1 x 1 x 1 P(x) x 1 (x 1) Factorice: Indique el número factores cuadráticos. la E) 7 coef 3 1 factores B) 5 P(x) x x2 en indique RPTA.: C Factorizar 3 P(x) y2 y 1 y3 y 1 P(x) x10 x5 1 x15 x5 1 RPTA.: C 35. P(x) y5 y4 1 2x P(x) x 2x 3 x 2x 3 E) 2 Cambio de variable: x5 y P(x) x4 6x2 9 (2x)2 C) RESOLUCIÓN P(x) x4 2x2 9 4x2 4x2 P(x) x2 3 B) 4 C) RESOLUCIÓN A) 7 3 D) 5 de E) 6 2 Calcule la suma de coeficientes, de un factor primo del polinomio factorizado. 2 Nf.A 3 2 1 6 1 5 RPTA.: A 40. P(x) 2x 1 4x(x 1) 2 7 A) 4x2 6x 3 P(X;Z) 32 x5y2z3 B) 4x2 5x 1 C) 4x2 7 4x2 7x 1 A) 23 10 D) 72 D) E) 2x² + 3x + 1 RESOLUCIÓN 7 E) 71 Ojo: y2 no es variable, es parámetro 2 Cambio de variable: y=2x+1 C) NF.A 6 4 1 24 1 23 P(x) 2x 1 2x 1 1 B) 8 RESOLUCIÓN P(x) 2x 1 4x2 4x 1 1 7 Calcule el número de factores algebraicos en (x) , el polinomio. RPTA.: A y7 y2 1 y2 y 1 y5 y4 y² y 1 un factor es : 4x² + 6x + 3 39. Cuántos factores presenta: SEMANA 4 ESTÁTICA RPTA.: A 41. lineales P(x;y) x y x4 y4 4 A) 1 2 D) 3 B) 0 C) ¿Cuál es la gráfica que mejor representa el diagrama de cuerpo libre de la barra homogénea en equilibrio, mostrada en la figura? E) 6 RESOLUCIÓN P(x;y) x2 y2 2xy 2 x4 y4 . P(x;y) 2 x4 2x3y 3x2y2 2xy3 y4 y 2 y 2 x² xy x² xy A) B) D) C) E) 2 P(x;y) 2 x2 xy y2 No tiene factores lineales. RPTA.: B RESOLUCIÓN RPTA.: E 42. RESOLUCIÓN D.C.L de la masa “m” En el sistema que se muestra en la figura, el cuerpo de masa m = 0,5 kg está sobre el plato de una balanza, en esta situación la balanza indica 0,2 kg. ¿Cuál es la masa del bloque P (en kg) si el sistema se encuentra en equilibrio? mg N B) 0,6 m g 30° P C) 0,5 T=P=m’g 30º A) 0,8 Polea liso P/2 que: Para el equilibrio se cumple Fy 0 D) 0,3 E) 0,2 N P mg 0 2 P mg N 2 m g (0,5)kg (0,2)kg 2 m = 0,6 kg. RPTA.: B 43. Los bloques A y B se encuentran en equilibrio en la forma mostrada en la figura. Halle la relación de sus masas, si las poleas son ingrávidas. A) 3/5 B) 3/10 A g C) 1/4 = 0 D) 2/5 B 53° E) 1/2 RESOLUCIÓN D. C. L para c/u de los bloques N 2t T mA g N mBg 4 5 RESOLUCIÓN mA g kx ´ N Aplicando equilibrio de fuerzas (F = 0) se cumple que: N 4 Para A 2T = mAg 5 270N Para B T = mBg Luego: 2mBg mAg 270N 4 5 Para el equilibrio se cumple: Fy 0 mB 2 mA 5 kx 540 RPTA.: D 44. Si las esferas idénticas de masa m = 27 kg se mantienen en equilibrio en la posición mostrada en la figura. Calcule la deformación que experimenta el resorte de constante de rigidez k = 1800N/m que se encuentra en posición vertical. (g = 10 m/s2) A) 10 cm B) 20 cm 45. 1800x = 540 x = 0,3 m = 30 cm RPTA.: C Un cable flexible y homogéneo, de masa M y 13 m de longitud, se encuentra en equilibrio en la posición mostrada en la figura. Si no hay rozamiento, calcule la longitud “x “(en metros). A) 2 B) 5 X C) 8 D) 7 E) 6 30° 53° C) 30 cm D) 40 cm E) 50 cm =0 RESOLUCIÓN D.C.L. del cable N2 N1 P1 Sen30º P2 Sen53º P P Para que el cable permanezca en equilibrio (F = 0) se cumple que: 13 x 1 x 4 Mg. Mg. 13 2 13 5 65 5x = 8x 13x = 65 x = 5m RPTA.: B 46. Un joven de masa m = 60 kg se encuentra sujeto de una cuerda inextensible de 5 m de longitud, a través de una argolla lisa, tal como se muestra en la figura. Si las paredes están separadas 4 m entre si, halle la magnitud de la tensión en la cuerda. (g = 10 m/s2) A) 375 N B) 600 N C) 300 N D) 450 N E) 500 N RESOLUCIÓN D.C.L. de la argolla T T TSen TCos TSen TCos Método del triángulo Fx 0 TCos=TCos = 37º Fy 0 300N TSen+TSen =600 2TSen = 600 N TSen = Donde: 60N 37º 3T 300 5 RPTA.: E Calcule la magnitud de las tensiones (en N) en las cuerdas A y B respectivamente, si el bloque de masa m = 6 kg se encuentra en equilibrio, en la figura mostrada. (g = 10 m/s2) 53° A 37° B A) 40; 30 B) 48; 36 C) 36; 16 m D) 35; 50 E) 60; 30 RESOLUCIÓN D.C.L. nodo “O” TA 37º 53º 53º TA 48N TB 36N RPTA.: B 48. Si el coeficiente de rozamiento estático entre la superficie inclinada y la caja de masa M = 10 kg es = 0,1. ¿En qué intervalo de valores debe variar la magnitud de la fuerza F mantener (en N) para la caja en equilibrio? F es paralela al plano inclinado. (g = 10 2 m/s ) TB M 3u 4u 60N TA Por ser un triángulo notable 37º 53º se cumple que: TA = 4k; TB = 3k; w = 60 N = 5 k 60N Donde: k 12N 5 Luego: T = 500N 47. TA A) 26 F 45 B) 52 F 68 C) 86 F 104 D) 45 F 52 E) 68 F 86 49. RESOLUCIÓN x fs 0,1 (80) 8N =8N N N fuerza horizontal F , se lleva hacia arriba un bloque de 50N con velocidad constante sobre el plano inclinado que se muestra en la figura. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el plano y el bloque es 0,5. Determine la magnitud de dicha fuerza (g = 10 m/s2) 60 Fmin una 1º caso: Cuando la caja trata de siderlizar hacia abajo (F es mínima) y Mediante A) 25N B) 5N C) 65N D) 105N E) 275N 80N F 100 Fx 0 53° Fmin 8N 60N 0 RESOLUCIÓN Fmin 52N 2º caso: cuando la caja trata de siderlizar hacia arriba y x V = cte 50 53º Si el bloque lleva velocidad constante, se halla en equilibrio, luego: 80N 100 frc cN F 3 F 5 N 60 N Fmáx N 4 F 5 fs µN 0,1 (80) 8N x Fx 0 Fy 0 Fx 0 FMax 8 60 0 FMax 68N 52 F 68 RPTA.: D Fx 0 3 1 F 40 N 5 2 Fy 0 4 F 30 N 5 Reemplazando normal): N 3 1 4 F 40 F 30 5 2 5 3 2 F 40 F 15 5 5 (fza. F 55 5 N F = 275N N=20 RPTA.: E 50. En la figura se muestra una barra de masa m = 3 kg en posición vertical y apoyada sobre una cuña de masa “M”. Halle la magnitud de la fuerza F (en N) para mantener el sistema en equilibrio. Despreciar todo tipo de rozamiento. (g = 10 m/s2) A) B) C) D) E) m F 30° 3 10 3 2 Luego F= NCos60º 1 F 20 10N 2 RPTA.: B 51. 20 10 0 7,5 15 Calcular el momento resultante (en N.m) respecto del punto O en la barra homogénea y horizontal de 3m de longitud y masa m = 5 kg, (g = 10 m/s2) 2m 20N 10N O 1m 40N RESOLUCIÓN g D.C.L. de la cuña: Mg A) +155 D)-155 NSen60 N C) -25 .. RESOLUCIÓN 60º F B) +75 E) -75 NCos60º 20N 2m 30 10 N o N 1m 40N 1.5m D.C.L. de la barra 50 N mg 10 3 N MR M40 M50 M20 M10 MR 40 75 40 0 MR 75 N.m. RPTA.: E NCos60 60 N NSen60 NSen60º= 10 3 N 52. RESOLUCIÓN Una barra homogénea en posición horizontal de masa m = 3 kg se encuentra en equilibrio, como se muestra en la figura. Hallar la magnitud de la diferencia de las fuerzas F T 2m 0 20 N 20 N 20 N 4m F R 40 40 N T A) B) C) D) E) F 3m 2m 50N 50 N 40 N 30 N 20 N 10 N RESOLUCIÓN F T 0 3m 2m 2,5 m 80 N Sobre la varilla se cumple: R= F + 20 ............................(1) Hallamos F Aplicando 2da. Cond. de equilibrio: MF0 0 30 N 50 N Fy = 0 54. T F 80 M0R 0 302,5 503 F5 15+30=F F=45 N T=35 N (F T) = 10 N RPTA.: E 53. El sistema mostrado en la figura está en equilibrio. Determine la magnitud de la fuerza de reacción en el apoyo O sobre la varilla. El peso de las poleas y varilla se desprecia. 2m 4m O g 80N A) 20 N B) 10 N C) 30 N D) 40 N E) 100 N (20)(2)=F(4) F=10N R=30N RPTA.: C Para el sistema en equilibrio que se muestra en la figura, hallar la deformación del resorte que está en posición vertical. La constante elástica es K = 300 N/m. La masa de la esfera homogénea y de las barras es m = 6 kg, (g = 10 m/s2) = 30° A) 15cm B) 20cm C) 25cm D) 30cm E) 35cm RESOLUCIÓN L A) 40 N B) 42 N C) 36 N D) 24 N E) 20 N liso 74° 30 30 L 60 R R 2 kg RESOLUCIÓN µF = 0 R(2L) 60Cos60º L 2R=60 T = 20 N 53º 1 2 T = 20 N R=15N 15Sen30 15 53º kx 2TCos53 15Sen30 15 30 30 R R 3 R 2(20) 5 R 24N 60 Fy 0 kx 60 15 kx 75 320x=75 75 x 300 1 x m 4 56. x 25cm RPTA.: C 55. Calcule la magnitud de la fuerza de reacción en la articulación sobre la varilla en equilibrio y de peso despreciable. Desprecie el rozamiento. (g = 10 m/s2) RPTA.: D En la figura se muestra dos barras homogéneas en equilibrio. Si la barra de masa M está a punto de deslizar sobre las superficies de contacto Halle el coeficiente de rozamiento estático “ “ entre las barras. 1m M 5/2 4m 2M A) 0,72 B) 0,82 C) 0,68 D) 0,52 E) 0,40 57. RESOLUCIÓN 2,5m N' 1m 2Mg N' f' rsmáx N' Una barra homogénea de masa m = 3kg se mantiene en la posición que se muestra en la figura. Hallar la magnitud de la fuerza horizontal mínima F para mantener el equilibrio. (g = 10 m/s2) Mg N =0 frsmáx 3 ' N 2 Para 2M 1m s = 0,4 F F 0 M 0 N' (1) 2Mg(2,5) N' 5Mg A) 45 N B) 12 N C) 33 N D) 57 N E) 51 N 3m Para M RESOLUCIÓN 5 Mg ' N 5 Mg Mg N y 30N x F 3 ' N 2 Fy 0 3 N 6Mg … 1 2 Fx 0 N 5Mg … 2 2 en 1 5 5Mg 6 Mg 2 25u2 6 2 12 u2 0 25 2 3 2(1,71) u 5 5 u 0,68 RPTA.: D fr (0,4)(N) G N Fy 0 N=30N Hallamos N´ M0F 0 30(1,5)=N’(1) N’=45N Fx 0 F + (0,4) (N)=N’ F + (0,4)(30)=45 F + 12 =45º F=33 N RPTA.: D 58. En la figura se muestra un cilindro homogéneo de masa m = 6kg a punto de deslizar sobre la superficie N horizontal. Hallar el coeficiente de rozamiento estático y la magnitud de la tensión en la cuerda AB. (g = 10 m/s2) estático entre la viga y el plano, si la viga está a punto de deslizar y girar sobre su extremo A F A B) 0,58 M F = 50N B A) 0,29 B 37° C) 0,62 A D) 0,75 16 ° B) 3/4; 90 N D) 5/6; 45 N E) 0,28 RESOLUCIÓN F A) 2/3; 45 N C) 5/9; 90 N E) 4/9; 50 N x RESOLUCIÓN D.C.L. del cilindro y 60N 40 0 30 50 7 25 M g T fs N Fy 0 M0F 0 ; N = 90 N 50.R=fs . R fr = 50= N 40 N T 50 N 59. MgCos16º Mg 0 N fs µs N 5 /9 Fy 0 T = 90N : 6º 1 en S g M RPTA.: C En la figura se muestra una viga homogénea AB sobre un plano inclinado. Halle el coeficiente de rozamiento M0F 0 24 Mg L F2L 25 12 F Mg 25 12 Mg N 25 Fx 0 7 fsmax Mg 25 12 7 Mg Mg 25 25 24 Mg F 25 24 Mg 25 7 12 RESOLUCIÓN T 0,58 T RPTA.: D 60. Para el sistema en equilibrio que se muestra en la figura, halle la magnitud de la fuerza de reacción en el punto de apoyo O, si los pesos de los bloques A y B se diferencian en 15N y la barra de peso despreciable se mantiene horizontal. T T=T’ T’ T A mg B m' g N T’’ N g 2m R=3 B A Para A 1m N T mg o Para B A) 2 N B) 6 N D) 3 N E) 9 N T m' g T' ' N m' g T' ' mg N mg m' g..T' ' N 15 T' ' RPTA.: D C) 5 N SEMANA 4 POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS 61. Calcule el número de diagonales medias de un polígono, en donde el número de diagonales es el cuádruple del número de ángulos internos. A) 20 35 D) 44 B) 27 E) 55 T’’ C) ´ RPTA.: E RESOLUCIÓN Dato: NºDiag.= internos) Piden: 4(Nº s 63. NºDiag.Medias= n(n 1) ? 2 respecto Reemplazando en el dato: n n 3 11 11 1 A) 72º 24º D) 69º 55 2 Calcule: B) 36º C) E) 60º RESOLUCIÓN RPTA.: E 62. AB a m MCB 4 n 2 n 3 8 n 11 D.M. = Un icoságono regular ABC… y un pentadecágono regular ABMN… están ubicados en distintos semiplanos 15 LADOS Se tienen los polígonos regulares ABCDE y ABPQRSTU, ambos en un mismo semiplano respecto a N AB , Calcule: m UAE . A) 72º 20º D) 24º B) 45º M x e2 C) B e1 A x E) 27º C RESOLUCIÓN A B e 20 LADOS x U P E C * Piden: x=? * e1 D T Q R S Externo * * 360 18º 20 360 e2 24º 15 e1 e2 42º e 360º e ; Piden x=? n BMC 2x e1 e2 180º En el Octógono: 360º e 45º 8 En el Pentágono 360 72º 5 45º x 72º e x x=27º 42º x = 69º 64. 9 es un número de diagonales que se pueden trazar desde 5 vértices consecutivos de un polígono RPTA.: D regular de “n” lados. Calcule “n”. A) 5 lados RESOLUCIÓN D B)7 lados e C C) 6 lados lados E) 9 lados D) 8 a e e a a E e B RESOLUCIÓN a Piden: Nº lados =n=? A Dato: Nº Diag. Trazados Desde 5 vértices =9 * Recordando: Nº Diag. Trazados desde “k” vértices consecutivos = k 1 k 2 nk Dato: AC CE Piden: S 180º n 2 ? i * ABC CDE ..............(L.A.L.) 2 * En un polígono de “n” lados. Reemplazando: 9 n(5) 65. 5 1 5 2 2 n=6 RPTA.: C Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un Polígono Regular ABCDE…, de “n” lados; si AC CE A) 540º 900º D) 1080º B) 720º E) 1260º “n” lados C) m BCA m DCE 360º e 2 n En c : 4 90º 360º 2 45º n n8 S 180º 8 2 1080º i RPTA.: D 66. En un decágono convexo, calcule el máximo número de ángulos internos de medida 100º. A) 3 5 D) 6 B) 4 C) E) 7 RESOLUCIÓN 80º 100º 80º 100º 100º 80º 100º 100º 80º Piden: máx. Nº * - Se determinan 4 triángulos notables de 45º y un rectángulo. si=100º Para 1 i 100º 1 e 80º * Para 4 i 100 4e 320º * Para 5 i 5e 400º (Esto es imposible) PQ=RS=6 RD=3 y CD= 3 2 PS=QR=11 BC=6 Perímetro= 18 +8 2 Por que: Se 360º RPTA.: E A lo máximo Solo se pueden conseguir 4 ángulos. 68. RPTA.: B 67. Calcule el perímetro de un octógono equiángulo ABCDEFGH, AB=EF= 2 2 ; HG 2 , AH 3, DE 1 y GF=8. A) 16+6 2 A) 190º 210º D) 220º B) e2 B 3 C e 3 2 en R e in 3 2 2 2 e F 8 Calculando: e - 360 n 360 e 45º 8 i 6 e5 Dato: i1 i2 ...i5 760º Piden: e6 e7 ...en ? e 2 2 E e Pide: Perímetro octógono=? * i4 e 4 e6 H G i5 D 1 1 i2 i1 3 P i3 6 2 2 e e3 e A e e1 RESOLUCIÓN 2 C) E) 230º D) 8 2 10 E) 18+8 2 Q B) 200º RESOLUCIÓN 18+6 2 C) 16+8 2 La suma de las medidas de cinco ángulos internos de un polígono convexo es 760º.Calcule la suma de las medidas de los ángulos externos correspondientes a los vértices restantes. S * Se sabe: e1 e2 ...en 360º...(I) * i1 e1 180º i2 e2 180º . . . . . . i5 en 180º 760 e1 e2 ...e5 180º(5) Reemplazando en los datos: 2p Reemplazando en (I) 140º + e6 e7 ...en 360º e6 e7 ...en 220º En un polígono regular cuyo semi-perímetro es p, el número que expresa su perímetro es el igual al número de diagonales. Además la medida del ángulo interior es p veces la medida del ángulo exterior. ¿Cuánto mide el lado del polígono regular? 1 5 1 3 1 D) 2 B) 1 4 360º P ...(II) n n n 2 2p...(III) C) (I) n n 3 2 n4 =(III) n 2 Reemplazando:”p” en (III) nx 1 x 2 2 RPTA.: D n 2 2 70. Si un polígono de n lados tuviera (n-3) lados, tendría (n+3) diagonales menos. ¿Qué polígono es? A) Triángulo Cuadrilátero C) Pentágono Hexágono E) Octógono E)1 RESOLUCIÓN B) D) RESOLUCIÓN n(n 3) ...(I) 2 180º n 2 RPTA.: D A) i p p e Piden: x=? e1 e2 ...e5 140º 69. * m Piden: “n” (¿Qué polígono es?) Dato: Para: “n” lados Nº Diagonales. = nLADOS * Sea “n” es Nº lados. Datos: semiperímetro: “p”= nx 2 (n+3) n(n 3) 2 2p=Nº Diagonales= 2 - Reemplazando el Nº lados en el 2do polígono NºDiag * n n 3 n n 3 n 3 n 3n 3 3 2 Resolviendo: n2 3n 2n 6 n2 9n 18 2 4n 24 n 6 (Hexágono) RPTA.: D 71. respectivamente; calcule la distancia del vértice C a dicha recta. La recta intercepta a AB y BC . Por el vértice B de un triángulo ABC, se traza una recta exterior. Calcule la distancia del punto medio de la mediana BM a la recta, sabiendo que las distancias de los vértices A y C a dicha recta miden 8 y 12 respectivamente. A)2 3 D)5 B) 10 A)7 3 D) 8 C) E) 7 RESOLUCIÓN Q B R P 12 H N 10 8 a A a M Dato: AH=8 CQ=12 Piden: NR =x=P * En el trapecio AHQC: Trazamos la base media MP 8 12 10 2 MPB (Base media) 10 x 2 MP * x=5 RPTA.: D 72. Las distancias de los vértices A y B de un triángulo ABC a una recta que pasa por su baricentro miden 3 y 4 C B)5 E)1 C) E) 40 RESOLUCIÓN B m 4 RESOLUCIÓN N a B m H G R Q S P 3 P * M * 3 x ...(I) 2 el BQG(NS=2); En =NS=2 MR 73. En 2x Dato: AD=50 Piden: 2EF+GD 2(x)+y=? ACG (Base media) AG=2X AD=2x+y 2x+y=50 74. En un trapecio BC // AD , un medios de AB y CD ; AC las bisectrices PQ = E , PQ BD F .La CF A) 1 intercepta a AD en G, BC=a, AD=50, calcule 2EF+GD. 0 50 a 5 50 a 3 100 a C) 3 de ABCD interiores de los ángulos A y B se interceptan en P y las bisectrices interiores de los ángulos C y D se interceptan en Q. Calcule la longitud del segmento PQ si AB=6 , BC=4, CD=8, AD=10 trapecio ABCD, BC // AD, P y Q son puntos A) D 50 RPTA.: E prolongación y G RPTA.: D 3 x 2 2 x=1 A * Luego: En (I) Q F C Dato: AH=3 BQ=4 “G” Baricentro BG=2GM = 2m Piden: CP=x En el trapecio AHPC (trazamos la base media: MR x E x A C B) D) 2 1 2 E) C) 3 2 RESOLUCIÓN B) 4 B C m m A C P Q 6 D) 50 M 10 8 4 N 4 D AD=4 “CH” entero Dato: AB=6 BC=4 CD=8 AD=10 Piden: PQ=x=? * * * Trazamos la base media 14 2, 5 CD = 5 2 MND (Isósceles) MN ND=NC=2,5 CD 5 MCD (Isósceles) MD=8MN=4 * 44 BCNM: x 2 * CHD: CH < 5 CH = 4 (53,37º) 53º = 2 x=0 RPTA.: C 75. En un trapecio ABCD, BC // AD y se ubica el punto medio M de B, tal que m MDA m MDC y se RPTA.: D 76. En un triángulo ABC; AB=5 y BC=30; Calcule la distancia del punto medio de AC hacia la bisectriz del ángulo ABC; si m ABC 106º . traza CH AD . Si BC 1 , AD 4 y CH toma su máximo valor entero, calcule m MDA . A) 37º B) 53º 87º 2 53º D) 2 A) 10 D) 4 C) B)8 C)6 E) 12 RESOLUCIÓN B E) 30º 5 4 RESOLUCIÓN B máximo Piden: m MDA ABN (Isósceles) AM=6 y ND=4 * es 1 53º 53º H 30 M A x N C 24 Q M 4 N A H 4 Dato: BC=1 L 5 Dato: BC=30 AB=5 m ABC 106º Piden: MN=x=? D L * Trazamos: AH * L CQ ABH y CBQ (37º, 53º) A) 3 6 D) 8 AH 4 y CQ =24 * Trapecio: (propiedad) 24 4 x 10 2 77. AHCQ RPTA.: A B) 45º C M 106º 5 106º 5 5 b A D a Pide: x=? Pide:(Longitud de la base media) = x ab x ? 2 * Trazamos CM // BD BCMD (Paralelogramo) DM=a; CM=5 m ACM 106º ACM(a b 8) ab x x 4 2 RPTA.: B Trazamos: CK // BD 79. C x x (a+b) a+b (a+b) Dato: Ac BD a D b A K 2 a b 2 BCKD (Paralelogramo) DK a;CK a b m ACK x ACK (Equilátero) 78. a Datos: :Trapecio Isósceles m AMD 106º AC BD 5 C) E) 37º a B E) 5 B RESOLUCIÓN * C) RESOLUCIÓN Calcule la medida del ángulo que forman las diagonales de un trapecio isósceles; si una diagonales el doble de la base media. A) 60º 30º D) 53º B) 4 x = 60º RPTA.: A Calcule la longitud de la base media de un trapecio isósceles, si las diagonales forman 106º y tienen por longitud 5m c/u. En un cuadrado ABCD, de lado 6, en CD y AD se ubican los puntos M y N, respectivamente, tal que CM=MD. Si la m MBN 45º . Calcule MN. A) 3 B)4 4 2 D) 3 2 E) 5 C) M RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN B º 45 6 53º 2 b 6 N * 80. D a Dato: BC=b AD=a m ACB 2m ADB 2 Piden: MN=x=? * A D 4 m MBN 45º Q 3 Dato: AB=BC=6 CM=MD=3 * M 2 3 37º 2 A 2 B C C Piden: AC=x=? 53º BCM (notable) 2 37º m ABN 2 * 37º ABN 2 AN=2 ND=4 MND (37º, 53º) Construimos el rectángulo ABQD m AQB m ADB ACQ (Isósceles) CQ=AC=x Luego: BQ = AD b+x=a x=a-b RPTA.: D x=5 RPTA.: E Un trapecio rectángulo ABCD, es recto en A y B. Si: m BCA= 2 m ADB , AD a y BC =b. Calcule AC. ab 2 A) a+b B) 2a-b D) a-b E) 2a+b C) SEMANA 4 TABLA PERIÓDICA 81. Indique cuál de las siguientes proposiciones enfoca con mayor precisión la ley periódica moderna: A) Las propiedades periódicas son función de las masas atómicas. B) La tabla periódica moderna se fundamenta en la ley periódica moderna. C) Las propiedades de los elementos son una función periódica de sus números atómicos. D) Las propiedades de los elementos son directamente proporcional a sus números atómicos. E) La actual ley periódica es una modificación de la planteada por Mendeleiev. 83. Determine que propiedades de la tabla periódica son correctas. I. En la actualidad la tabla periódica ya tiene ocho períodos pues el último elemento tiene un número atómico de 120. La tabla periódica está dividida en elementos representativos y de transición formando un total de 18 grupos o familias. Los elementos de transición interna se caracterizan por tener electrones en sus subniveles f en su configuración electrónica. II. SOLUCIÓN La Ley periódica moderna de Moseley, dice: “Las propiedades de los elementos varían en función periódica de sus números atómicos (Z)” III. RPTA.: C 82. Sobre la ley periódica moderna, señale la proposición incorrecta. i.Se basa en el número atómico de los elementos. ii.Tiene como sustento el trabajo de Moseley. iii.Tuvo como antecedentes los trabajos de Meyer y Mendeleiev. iv.Explica coherentemente la variación de las propiedades periódicas de los elementos. v.Las propiedades de los elementos son una función periódica de sus pesos atómicos. B) II, III C) I, III III E) Ninguna D) I, II, SOLUCIÓN I II. III. (F)Hay 112 elementos plenamente identificados. (V) 8 grupos A y 10 grupos B (V)elementos de transición interna terminan en: 2 1......14 ns n 2 f RPTA.: A 84. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de cada una de las siguientes proposiciones sobre la tabla periódica moderna: I. En cada grupo se encuentran los elementos que tiene propiedades físicas y químicas similares. El número atómico aumenta de derecha a izquierda en un período. En un período se ubican los elementos que presentan la SOLUCIÓN “Las propiedades de los elementos varían en función periódica de sus pesos atómicos” Corresponde a la ley anterior de Mendeleiév (1869) que ya no tiene validez. A) I, II II. RPTA.: E III. misma cantidad de niveles en su distribución electrónica. A) VVV VFV D) FFV B) VFF RPTA.: E 86. C) II. III. notable de A) Li,Na,K,Rb,Cs,Fr. E) VVF B) He,Ne, Ar,Kr, Xe,Rn. SOLUCIÓN I. No es grupo elementos: C) Hg,H,Cu, fe,Co,U. (V) En un grupo, las propiedades son semejantes (F) Aumenta Z D) F,Cl,Br,I, At. E) Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Ra. SOLUCIÓN Aumenta Z (V)Por ejemplo: todos los elementos del periodo 3, tienen 3 niveles de energía. Grupo Hg II B H IA Cu IB Hay elementos de grupos diferentes. RPTA.: C RPTA.: C 85. Indique que proposiciones son correctas: I. En la tabla periódica moderna, los elementos químicos están ordenados en 18 grupos. El elemento con la configuración de valencia 5s2 4d10 pertenece al período 5 y grupo IIB. La tabla moderna presenta 7 períodos. II. III. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II 87. Identifique, cuál relación elemento-grupo notable es incorrecta: A) Na : metal alcalino. B) Cl : halógeno C) Ca : alcalinotérreo D) S : halógeno E) Rn : gas noble. SOLUCIÓN S E) I, II y III Es anfígeno u calcógeno (VIA) RPTA.: D SOLUCIÓN I. II. III. (V) (V) completando configuración es: kr 5s2 4 d10 Periodo 5 Grupo II B (V) su 88. Se tiene 2 elementos, con sus respectivas configuraciones electrónicas. A: Ne 3s1 B: 1s2 2s2 2p6 3s2 Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. II. III. Ambos elementos son representativos. Ambos elementos pertenecen a un mismo grupo. El segundo elemento es un gas noble. A) VVV B) FVF C) VFF D) VFF A) FFF FFV D) VVF II. Grupo 20Ca :Ar 4S2 7 3 IIA III. (V) son de grupos “A” (F) (F) es un metal alcalino-terreo RPTA.: C 89. Indique si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). - Los elementos representativos son aquellos en los cuales se encuentra una buena correspondencia en las variaciones de las propiedades. Son elementos representativos: Ca, K, N, Br. - V N : He2 s 2p 35 B: Ne3S2 K 19 IA 3 A 3 N 7 II A 19k :Ar 4S1 2 Grupo Periodo A: Ne3S1 I A Elemento Z E) VVV (V) los elementos de grupos A muestran una variación regular de sus propiedades. (V) SOLUCIÓN - C) SOLUCIÓN I. E) FFF I. II. III. B) FVV Ca 20 Br 35 Los elementos representativos terminan su configuración electrónica en nsx npy , donde x+y = número de grupo. Br : Ar 4 s2 3p10 4p5 VII A Los 4 son de grupos “A” (V) Nº Romano = Nº electrones de grupo de valencia RPTA.: E 90. X y Z son dos elementos que tienen las siguientes propiedades: Elemento Configuración X gas noblens1 Z ns np gas noble Indique la correcta: 2 # e de valencia 1 5 7 proposición i.Elemento X está en el grupo IA y Z en IB. ii.El elemento X es un alcalino y Z alcalinotérreo. iii.Los elementos X e Z son metales. iv.El elemento X es representativo y Z es de transición. v.El elemento X está en el grupo IA y Z en el grupo VIIA. SOLUCIÓN x y 1 : G.Nns : G.Nns2 np5 Li S F Ba V Ag Co W Grupo IA VIIA RPTA.: E 91. I. II. III. Indique que proposición (es) es (son) correcta(s), respecto a los elementos de transición. Sus electrones de valencia se ubican en orbitales s y d. Hay configuraciones de valencia que debiendo terminar d4 y d9 , terminan en d5 y d10 , es el caso del y 29 Cu , 24 Cr respectivamente. Todos los elementos transición son metales. B) Sólo II C) Sólo III III E) II y III D) I, II y II. I. II. III. (V) metal de transición termina en nsx n 1 dy A) I C) III B) II D) I y III E) II y III I. Grupo IA 1 (V) 3Li: He2 s 56 Ba: xe6 s2 2 (V) 1 5 24 Cr : Ar 4s 3d distribuciones 1 10 29 Cu : Ar 4s 3d 16 9 mas (V) S : Ne3s 3p VIA F : He2 s2 2p5 VIIA (F)porque son metales de transición 10 1 47 Ag : kr 5 s 4d III. (V) RPTA.: D 92. Dados los siguientes grupos de elementos: X: Y: Li, Ba, S, F. Ag, V, Co, W. Elemento Z IIA 4 II. estables III. El grupo X está conformado sólo por elementos representativos. El grupo Y está formado por elementos formadores de ácidos. El grupo de elementos Y utiliza orbitales d en el nivel de valencia, mientras que del grupo X no lo hace. SOLUCIÓN SOLUCIÓN I. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es incorrecta? de A) Sólo I 3 16 9 56 23 47 27 74 RPTA.: B 93. Al estudiar las propiedades de tres elementos químicos se obtuvieron los siguientes resultados. Propiedades Nº Atómico A 20 B 24 C 26 Conductivid alta alta Alta ad eléctrica A 100º C líquido sólido sólido Sobre la base de los datos anteriores, indique la(s) proposiciones(es) correcta(S). I. II. III. A es un metal representativo mientras que B y C son de transición. C tiene un radio mayor que A. Las temperaturas de fusión y durezas de B y C son mayores que los de A. A) I C) III C) IIIA E) VIIIA D) VA SOLUCIÓN Según datos: Nº de neutrones = 40- 20 = 20 Nº de masa = 40 – 1 = 39 Z = 39- 20 = 19 Ar 4 s1 IA RPTA.: A 95. B) II D) I y III ¿Cuál de los siguientes elementos no está acompañada del período y grupo al cual pertenecen realmente? A) 11 Na : 3,I A E) I, II y III Cl : 3, VII A C) 34 Se :4, VI A SOLUCIÓN I. II. (V) el punto de fusión de A es menor de 100 ºC, típico de un metal alcalino –terreo. 2 20 A : Ar 4 s (F) 24 Los 3 son del periodo 4, pero el radio aumenta hacia la izquierda. A>B>C (V) porque A es alcalino terreo Un elemento tiene igual número de neutrones que el 40 20 Ca : dicho elemento tiene como número de masa una unidad menos que la masa del calcio. Determine a que grupo pertenece dicho elemento. A) IA B) D) 29 Cu :4,IIB E) 27 Co :4, VIIIB 29 IIA Cu : Ar 4 s13d10 Periodo 4 Grupo IB RPTA.: D 96. Identifique la proposición incorrecta(s) respecto a los metales. I. Son ejemplos de metales alcalinos, H, Na, K, Cs. Para un grupo a medida que aumenta el número atómico, los elementos aumentan su carácter metálico. Aproximadamente las ¾ partes de los elementos químicos son metales. RPTA.: D 94. 17 SOLUCIÓN B : Ar 4 s1 3d5 2 6 26 C : Ar 4 s 3d III. B) II. III. A) I B) II C) III D) I, II III. (V) E) II, III RPTA.: A SOLUCIÓN I. II. III. 99. (F) H no es metal (V) Aumenta Z Aumenta metálico (V) carácter Na, 11 13 RPTA.: A 97. B) K D) Cl Al, K, 37 Cl, 35 19 17 Rb, Mg, 12 Br, 9F. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. ¿Cuál de los siguientes elementos es un semimetal? A) He C) Ge E) Pb Tomando en cuenta la posición que ocupan en la tabla periódica, los elementos: - Respecto a su radio tienen orden creciente Na 19K 37 Rb. 11 - SOLUCIÓN Semimetales B Si Ge As Sb Te Po At - Son semimetales B, Si Ge, As, Sb, Te, Po y At. A) VVV FVF D) FVV RPTA.: C 98. - Marque verdadero (V) o falso (F) según corresponda: Todos los metales son buenos conductores de calor y la electricidad. En general, los no metales no conducen el calor ni la electricidad. Los metales son dúctiles y maleables. A) VVV VFF D) FFV B) VVF E) VFV C) I. II. (V) (V) B) VFV C) E) VVF SOLUCIÓN Ubicando los elementos en la tabla. Periodo Grupo 1 3 IA 11Na : Ne3s 19 k : Ar 4 s1 1 4 IA 37 Rb : kr 5s 5 IA 12 Mg : Ne3s2 3 II A : Ne3s2 3p1 3 III C : Ne3s2 3p5 3 VII A 13 A 17 SOLUCIÓN El aluminio tiene mayor electronegatividad que el magnesio, pero menor que el cloro. El F, Cl y Br, en este orden, mantienen electronegatividad decreciente. A 35 Br : Ar 4s2 3d10 4p5 4 A 2 5 9F : He2 s 2p VII 2 VII A F A Na Mg k Br Rb I. C (V) magnitudes son inversamente proporcionales. iv.El carácter metálico aumenta en un período con el aumento del número atómico. v.La electronegatividad de los elementos del grupo VIIA, aumenta con el aumento del número atómico. SOLUCIÓN En un grupo Mayor radio II. E.I. (V) Mayor E.N. III. Aumenta Aumenta R.A. (V) RPTA.: C Menor E.N. RPTA.: A 100. Analizando la variación de las propiedades periódicas, marque la alternativa correcta: i.El radio atómico aumenta en un período a medida que aumenta el número atómico y en un grupo a medida que disminuye el número atómico. ii.La energía de ionización disminuye tanto en un período como en un grupo con el aumento del número atómico. iii.Las energías de ionización de los elementos de un grupo, se pueden correlacionar con los radios de sus respectivos átomos. Ambas 101. Indique cuál de las siguientes proposiciones es incorrecta: i.En un período el radio atómico es inversamente proporcional al número atómico. ii.La electronegatividad es directamente proporcional al número atómico en un grupo. iii.En un grupo el radio atómico de los elementos aumenta, al aumentar el número atómico. iv.Los halógenos son los elementos más electronegativos de cada período. v.Los elementos del séptimo período son los menos electronegativos de cada grupo. RPTA.: D SOLUCIÓN En un grupo Aumenta E.I. 103. Se tiene dos elementos, con sus respectivas configuraciones electrónicas: Aumenta son inversamente Z Proporcionales RPTA.: B 102. ¿Qué diagrama muestra la variación general, en la tabla periódica moderna, como el aumento de la electronegatividad? A) Ne3 s2 3p4 Ar 4 s2 I. II. III. A) B) El primer elemento es más electronegativo que el segundo. Con respecto a sus iones divalentes positivos, el segundo tiene mayor radio iónico que el primero. El segundo tiene mayor radio atómico que el primero. A) VVV B) VFV C) FFV D) VVF E) FFF B) SOLUCIÓN C) Periodo Grupo A : Ne3s2 3p4 3 VI A A : Ar 4 s2 II A I. II. (V) porque A es no –metal y B es metal (V) r 2 r 2 III. Porque B izquierda (V) rB rA D) E) Ninguna es correcta SOLUCIÓN Aumenta E.N. Aumenta E.N. 4 B A 2 esta a la RPTA.: A 104. Determine las(s) proposición(es) incorrecta(s), respecto a la energía de ionización. I. II. III. Se define como la cantidad mínima de energía para retirar un electrón de un átomo en estado sólido. La energía de ionización crece al arrancar los electrones más internos de un átomo gaseoso. El1 El2 El3 . La afinidad electrónica es el fenómeno opuesto a la energía de ionización. A) I C) III B) II D) I, II E) I, III SOLUCIÓN Aumenta E.I. I. II. III. Aumenta E.I. (F) se mide cuando el elemento se encuentra en estado gaseoso. (V) si en un mismo átomo se desea arrancar más e , la E.I. aumenta cada vez más. (F) porque la afinidad electrónica es una energía liberada en muchas especies, pero es absorbida en otras especies. SEMANA 1 CUATRO OPERACIONES 105. Por cada cuatro docenas de manzanas que un comerciante compra, le obsequian dos manzanas. ¿Cuántos son de obsequio si llevó 4800 manzanas? A) 240 222 D) 192 B) 176 C) En los 4800 que llevo hay: 4800 =96 grupos de 50 , 50 donde habrá: 2 x 96 = 192 obsequio. manz. de RPTA.: D 106. Juan es el doble de rápido que Pedro. Si juntos pueden hacer una obra en 10 días, cuánto tiempo le tomará a Juan hacerlo solo? A) 13 días días C) 15 días días E) 17 días 14 D) 16 RESOLUCIÓN Juan hace: 2 K hacen 3 K Pedro hace: 1 K Juntos En 10 días hacen 30 K Juan lo haría solo en 30 K = 2K 15 días RPTA.: C 107. La mitad de un tonel contiene vino y cuesta S/. 800. Si se agregan 50 de vino de la misma calidad, el nuevo costo es S/. 1000. ¿Cuál es la capacidad del tonel? RESOLUCIÓN A) 200 300 D) 350 4 doc <> 12 x 4 + 2 = 50 manz. RESOLUCIÓN E) 184 B) B) 250 E) 400 C) T <> S/. 800 2 S/. = $ 7500 RPTA.: C 1000 + 50 50 < > S/. 200 T <> S/. 800 2 50 x 800 x 2 = 400 T 200 Como RPTA.: E 108. Un padre deja al morir a cada uno de sus hijos $ 12 500, pero uno de sus hijos no acepta y la herencia se reparte entre los demás, recibiendo cada uno $ 15 000. ¿Cuál es el valor de verdad de las siguientes proposiciones? I. El número de hijos es 6 II. El padre dejó a sus hijos $ 75 000 III. Si los hijos hubieran sido 11 con, las mismas condiciones, cada uno recibiría $ 7500. A) VFF VVV D) FVF B) VVF C) E) FFF RESOLUCIÓN c/u recibe adicionalmente $ 15000 $ 12500 = $ 2500 los hijos que recibieron son: 12500 5 2500 109. Un comerciante compra un lote de 60 televisores por $ 27000. Vendió después 3 docenas de ellos ganando $ 150 en cada uno de ellos. Halle el precio de venta de cada uno de los restantes si quiere obtener un beneficio total de $ 12600. A) $ 600 $ 800 D) $ 550 B) $ 750 C) E) $ 450 RESOLUCIÓN PcT = $ 27000 ; 60 Tv PcU = $ 27000 $450 / Tv 60 Tv Vende 36 Tv a $ 600 c/ Tv PV1 = 36 x 600 = $ 21600 Los restantes 24 Tv a $x c/ Tv PV2 = 24x Teniendo en cuenta que: PvT = PcT + GT Pv1 + Pv2 = PcT + GT 21600 + 24 x = 27000 + 12600 X = $ 750 RPTA.: B I. El número de hijos es: 5+1=6 (V) II. Herencia: 12500 x 6 = $ 75000 (V) III. Si uno no aceptaría c/u recibiría: (V) 75000 10 110. Diana compró manzanas a 4 por 3 soles y los vende a 5 por 7 soles. ¿Cuál es el valor de verdad de las siguientes proposiciones? I. Con 200 manzanas gana S/. 130 II. S/. 208 es la utilidad de 320 manzanas. III. En una manzana gana S/. 0,70 A) VVV VFV D) FVV B) VVF C) 60 x 12 = 720 manzanas E) FFF RESOLUCIÓN I. Compra: 4 manz 20 manz _______ S/. 3 ó _______ S/. 15 Vende: 5 manz 20 manz _______ S/. 7 ó _______ S/. 28 En la compra y venta de 20 manz. gana S/. 13, entonces: I. 200 manz gana 13 x 10 = S/. 130 (V) II. 320 manz gana 13 x 16 = S/. 208 (V) III. S/. 0,65 (F) RPTA.: B 111. Por una docena de manzanas que compré me obsequiaron 1 manzana. Si he recibido 780 manzanas, entonces son ciertas: I. Compre 72 decenas. II. Si cada manzana cuesta S/. 0, 40 me ahorre S/ 24,50. III. Gasté en total S/. 288. A) VVV VFV D) FVV B) VVF C) E) FFF RESOLUCIÓN 1 doc < > 12 + 1 = 13 manz. # “docenas” = 780 60 13 # decenas = 720 = 10 72 (V) II. En 60 manzanas, que fueron de regalo ahorré: 60 x S/. 0,40 = S/. 24 (F) III. Gasté en 720 manzanas: 720 x S/. 0,40 = S/. 288 (V) RPTA.: C En una manzana gana: S / .13 20 # manzanas compradas: 112. Hallar el mayor de dos números sabiendo que su suma es el máximo número de tres cifras diferentes y su diferencia es el máximo número de dos cifras iguales. Dar como respuesta la suma de las cifras de dicho número. A) 16 14 D) 18 B) 15 C) E) 12 RESOLUCIÓN .S = 987 ; D = 99 Mayor = S D 987 99 543 2 2 = 5 + 4 + 3 = 12 RPTA.: E 113. Un alumno pregunta al profesor la hora y esté le responde: “Quedan del día 6 I. II. III. horas menos de las transcurridas”. Entonces son ciertas: El ángulo que forman las agujas de un reloj es 90º. Hace una hora eran las 2 pm. Dentro de una hora las agujas formarán un ángulo de 120º. A) VVV VFF D) FVF B) FFV A) 6 10 D) 12 + 10 = 24 C) D=6 24 3 10 = 8 24 6 2 = 15h = 3 pm A las tres en punto se forma un ángulo recto. Hace pm 2 una hora x3 + 26 fue 2 Dentro de una hora será 4 pm, hora en la cual el ángulo que forman las manecillas son 120º I. II. III. (V) RPTA.: D 114. A un número se le agregó 10, al resultado se le multiplicó por 5 para quitarle enseguida 26, a este resultado se extrae la raíz cuadrada para luego multiplicarlo por 3, obteniendo como resultado final 24. ¿Cuál es el número? del 5 115. Mary tiene cierta suma de dinero que lo gasta de la siguiente manera: en gaseosas la mitad de su dinero, más S/. 2; en galletas la tercera parte del resto, más S/. 4 y en cigarrillos las (V) III. 26 RPTA.: B (V) II. x5 Aplicando el “método cangrejo”, tendremos: Horas transcurridas = I. E) 14 Ubicando las operaciones en el orden en que han sido mencionadas tenemos: RESOLUCIÓN ; C) RESOLUCIÓN E) FFF S = 24 B) 8 3 partes del 4 dinero que le queda, más S/. 3. Si aún le quedan S/. 2, entonces podemos afirmar como verdadero: Gastó en total S/. 76. Si cada paquete de galleta costó S/.1, entonces compró 16. Gasta en cigarrillos S/. 22 menos que en gaseosas. A) Solo I B) I y II C) II y III E) Todas D) I y III RESOLUCIÓN gasta En gaseosas En galletas En cigarrillos 2+2 1 +4 3 3 +3 4 queda 1 2 2 1 3 4 2 4 3 =2 Aplicando “Método del Cangrejo”, obtendremos cuánto tenía: 2+3 x4 +4 2 x x2 = 76 I. Gastó 76 2 = s/. 74 (F) 3 2 117. Tres amigos; Andrés, Beto y Carlos están jugando a las cartas, con la condición de que el que pierde la partida doblará el dinero de los otros dos. Habiendo perdido cada uno de ellos una partida, en el orden de presentación, resulta que quedaron al final con S/. 64, S/. 72, y S/. 36, respectivamente. Entonces: I. Andrés empezó con S/. 94. II. Después de la primera partida, se quedaron con S/. 16, S/. 104 y S/. 52, respectivamente. III. Después de la segunda partida, Beto tenía S/. 36 Son ciertas: S /.16 16 S /.1 (V) III. (V) Gaseosas – Cigarrillos = 40 18 = 22 RPTA.: C 3 116. Diana escribe cada día las 4 B) 248 Escribió Le quedó 3 3 4 1 3 4 B) Solo II C) II y III E) Solo I D) I y III A 1º partida 2º partida 3º partida Al final C) A 3º día 3 +3 4 1 3 4 3 +3 4 1 3 4 C x2 x2 x2 x2 72 36 El dinero en juego es: 6 4 + 72 + 36 = 172 Aplicando el “Método del Cangrejo”: E) 212 2º día x2 x2 64 B RESOLUCIÓN 1º día A) Todas RESOLUCIÓN partes de las hojas en blanco de su diario, más 3. Si al cabo de 3 días escribió todas las hojas, cuántas hojas tiene su diario? A) 252 240 D) 192 +3 RPTA.: A + En cigarrillos gastó S/. 18 # paquetes de galletas compradas = del # páginas del diario : 252 En gaseosas gastó S/. 40 quedó S/. 36 En galletas gastó S/. 16 quedó S/. 20 II. Aplicando “Método Cangrejo”, tendremos: 0+3 x 4 +3 x4 x 4 = 252 =0 64 2 32 2 16 B 72 2 36 104 2 C 36 104 2 52 2 172 68 172 68 94 I. (V) II. III. 52 26 Andrés empezó con S/. 94 172 78 Aplicando el “Método de las diferencias”: Después de la primera quedaron con: S/. 16, S/. 104 y S/. 52 (V) Después de la segunda partida Beto tenía S/. 36 18 (V) RESOLUCIÓN S/. 8 / prof 6 s S/. S/. 6/ prof 12 f S/. u = S/. 2/prof. T = S/. RPTA.: A 118. Se realizará una colecta para obsequiarle una minifalda a una alumna por el día de su cumpleaños. Si cada profesor colabora con S/. 8 sobrarían S/. 6; pero si cada uno de ellos diera 6 soles faltarían S/. 12. Luego: I. Son 9 los profesores. II. La minifalda cuesta S/. 66. III. Si cada uno diera S/. 5, estaría faltando S/. 21 para comprar la minifalda. Son ciertas: A) I y III III D) I y II B) II E) Todas C) T S /.18 = u S /.2 / prof 9 profesores (V) Costo de la minifalda = S /.6 x 9 prof 12 = prof s/. 66 ( V) Pero, si cada profesor diera S/. 5 la recaudación sería 5 x 9 = S/.45 faltaría S/. 21 para la minifalda (V) RPTA.: E 119. Anita, quién solo tuvo un hijo, quiere repartir cierto número de tamales a sus nietos. Si les da 5 tamales a cada uno le sobrará 12; pero si les da 8 tamales a cada uno le faltaría 6 tamales. Luego, son ciertas: I. II. III. Edwin, que es uno de los nietos, tiene 5 hermanos. El número total de tamales es 42. Si les diera 7 tamales a cada uno, no le sobraría ninguno. A) Solo I B) I y II C) Solo II E) Todas D) II y III D) hay 2 escarabajos más que arañas. E) no se puede precisar. RESOLUCIÓN Aplicando la “Regla del Rombo” y teniendo en cuenta que cada araña tiene 8 patas y cada escarabajo 6, tenemos: 8 RESOLUCIÓN Aplicando el “Método de las Diferencias” 5 tam/nieto tam s 8 tam/nieto tam f u = 3tam/nieto 18 tam 54 12 6 6 T # = T 18 tam 6 nietos u 3 tam / n I. Edwin tiene 5 hermanos (V) II. # tamales = 5 x 6 + 12 = 42 (V) III. 8 7 tam x 6 n = 42 tamales n (V) RPTA.: E 120. Armando tiene una caja donde hay 8 animalitos, entre arañas y escarabajos. Al contar el número de patas se obtiene en total 54, entonces: A) hay 6 arañas. B) hay 6 escarabajos. C) hay 2 arañas más que escarabajos. escarabajos = 8 x 8 54 5 86 # arañas = 8 5 = 3 = 5 3 = 2 escarabajos más que arañas. RPTA.: D 121. Un microbusero recaudó S/. 820, en uno de sus recorridos; habiéndose gastado 320 boletos entre pasajes entero y medio pasaje; los primeros cuestan S/. 3 y los últimos S/. 1,60. Además el número de universitarios supera al número de niños en 20 y tanto los niños como los universitarios son los únicos que pagan medio pasaje. Son ciertas: I. Suponiendo que los niños no pagan; el microbusero estaría perdiendo S/. 56 II. Hay 60 universitarios. III. Se gastó 240 boletos en pasaje entero. A) I y II B) II y III C) Todas E) Solo II D) Solo I RESOLUCIÓN Aplicando Rombo”. la “Regla del S/. 3 320 personas 122. Una canasta contiene 96 frutas, entre manzanas y naranjas. Cada manzana pesa 250 gramos y cada naranja 330 gramos. Si la canasta pesa en total (con frutas) 36 kg y además las frutas pesan 20 kg más que la canasta, son ciertas: I. Hay 46 manzanas. II. Hay 4 naranjas más que manzanas. III. Hay 50 naranjas A) II y III I y III D) Solo I S/.820 B) I y II C) E) Todas RESOLUCIÓN Aplicando Rombo” S/. 1,6 la “Regla del 330 g # “medios” = 320 x 3 820 100 3 1, 6 28000 g (*) 96 frutas Medios = U + N = 100 Además: U N = 20 U = 60 I. ; 250 g N = 40 40 niños pequeños 40 x S/. (*) 1,6 8 kg = 64 S/. (F) F = 28 kg ; C = F C = 20 Número de manzanas II. = (V) III. F + C = 36 96x330 28000 46 330 250 (V) Pasaje entero = 320 100 = 220 (F) RPTA.: E Número de naranjas = 96 46 = 50 (V) Naranjas Manzanas = 4 (V) RPTA.: E 123. ¿Que suma necesita el gobierno para pagar a 4 Coroneles, si el sueldo de 6 Coroneles equivale al de 10 Comandantes; el de 5 Comandantes al de 12 Tenientes; el de 6 Tenientes al de 9 Sargentos, y si 4 Sargentos ganan S/. 3280? A) 19680 16720 D) 20000 B) 1800 A) 36 28 D) 24 RESOLUCIÓN Tomando en cuenta las equivalencias y aplicando la “Regla de conjunta”, tenemos: S/. x <> 4 Cor. 6 Cor. <> 10 Com. 5 Com. <> 12 Ten. 6 Ten. <> 9 Sarg. 4 Sarg. <> S/. 3280 4 x 6 x 5 x 6 x X = 3280 x 9 x 12 x 10 x 4 X = 19680 RPTA.: A 124. Con 5400 monedas de a sol se hicieron 15 montones; con cada 3 de estos montones se hicieron 10, y con cada 2 de estos se hicieron 9. ¿Cuántos soles tenía uno de estos últimos montones? C) E) 20 RESOLUCIÓN Aplicando Conjunta” S/. 5400 3 M1 2 M2 1 M3 “Regla <> <> <> <> de 15 M1 10 M2 9 M3 S/. x 5400 x 3 x 2 x 1 = 15 x 10 x 9 x X X= C) E) 14530 B) 32 24 RPTA.: D 125. Eduardo, Mario y Hugo trabajan en construcción civil; Eduardo es el triple de rápido que Mario y Mario el doble de rápido que Hugo. Se sabe que juntos hacen una obra en 24 días; si Eduardo trabajando solo hace la mitad de dicha obra y luego Mario hace la tercera parte del resto, entonces cuál es el valor de verdad de las siguientes proposiciones, si Hugo termina la obra? I. Hugo hace su parte en 72 horas. II. Mario hace su parte en 18 días. III. De acuerdo a la condición la obra se termina en 108 días. A) VVV VFF D) FVV B) VVF E) VFV C) RESOLUCIÓN 6k d 2k : d 1k : d Eduardo : Mario Hugo En 24d Eduardo Juntos: 9k d x9 C) 400 kg kg E) 380 kg D) 390 “Regla de Aplicando conjunta” 216k hace: Mario hace : (108k)=36k Hugo hace 36k=72k : 1 (216k) 2 Hugo lo hace en: 10m3 abeto <> 7m3 acacia <> 10m3 9m3 acacia cerezo 5m3 <> 3,6m3 cerezo eucalipto 1 3 1m3 1m3 108k - eucalipto<> 1m3 agua agua <>1000kg x kg. <> 1m3 abeto 10.9.5.1.1 7.10.3,6.1.1000.1 72 k = 72 k d díasV II. B) 460 kg RESOLUCIÓN =108k I. A) 560 kg 36 k Mario lo hace en: = 72 2k d díasV III. Eduardo lo hace en: 108 k = 6k d 18 días Total =108 días V RPTA.: A 126. 10 m³ de madera de “abeto” pesan lo mismo que 7 m³ de madera de “acacia”; 10 m³ de madera de “cerezo” lo que 9 m³ de madera de “acacia”; 5 m³ de madera de “cerezo” lo que 3,6 m³ de madera de “eucalipto”, y esta última pesa lo mismo que el agua. Halle el peso de 1 m³ de madera de “abeto”. x= x = 560 RPTA.: A 127. En un zoológico hay 56 animales, entre aves y felinos. Si se cuenta el número de patas tenemos que es 196. Luego: I. II. III. Hay 42 felinos La diferencia entre felinos y aves es 24. Si vendiéramos todas las aves a S/. 5 cada una, recaudaríamos S/.70 Son ciertas: A) solo III I y II D) I y III B) solo I C) E) todas RESOLUCIÓN Aplicando Rombo”· “Regla 4 56 196 2 del Aplicando Cangrejo”: 56 4 196 # aves = 14 42 I. # felinos =56-14=42 V = 42-14 = 28 F II. III.Recaudación por aves RPTA.: D 128. Manuel tiene cierta cantidad de dinero que lo gasta de la siguiente manera: en 5 chocolates, de lo que tiene; en 3 refrescos, 1 de 3 lo que queda y en 4 galletas 4 del resto. Si aún le queda 9 9 S /.18 5 3 refres cos S /.9 18 3 S / .27 2 II. III. Por un chocolate, un refresco y un paquete de galleta pagó S/. 14 Gasto en total S/. 62 No es cierto que después de comprar refrescos le quedan S/.18 Son ciertas: A) solo I I y II D) II y III B) solo III 8 S / .72 3 1 chocolate <> Además: 4 galletas <> S/.9 S/.8 1 RESOLUCIÓN Gasta Queda =10 5 8 3 8 1 3 2 3 129. Francisco es un vendedor de bolsas. Una mañana vendió sus bolsas de un modo muy especial; cada hora vendió 3 de las bolsas que tenía en 4 III. 4 9 5 9 <> RPTA.: C I. II. Chocolates refrescos galletas galleta S/.2 I. 1Choc+1ref.+1galle<>3+9 +2= S/.14 V II. Tenía: S/.72; quedó: S/.10 gastó S/.62 V III.Si es cierto que le quedará S/.18. F C) E) todas 5 chocolates<> S/.45 S/. 10; I. del 1 refresco S /.3 27 = 14x5= S/. 70 V 5 8 10 “Regla esa hora y media bolsa más, quedándose al final de 3 horas únicamente con 2 bolsas. Luego: Vendió 170 bolsas Si cada bolsa lo vendía a S/. 3 obtiene S/. 504 Después de la segunda hora le quedaron 10 bolsas. Son ciertas: A) solo III B) II y III C) I y III E) N.A. D) I y II RESOLUCIÓN Vende 3 1 + 4 2 3 1 + 4 2 3 + 4 1 2 Queda 1 1 4 2 1 1 4 2 1 1 4 2 =2 Aplicando “cangrejo” 1 4 2 10 2 1 4 10 42 2 1 4 42 170 2 Tenía 170 y como le quedaron 2 I. Vendió 170-2=168 F II. Recaudó: 168 x3 =504V III.Después de la 2da. hora le quedó 10 bolsas V # mujeres 94 105 9150 24 105 75 # hombres = 94-24=70 RPTA.: A 131. Un comerciante paga S/. 1881 por cierto número de pelotas y vende parte de ellas en S/. 799, a S/. 8,50 cada una, perdiendo S/. 1 por pelota. ¿A cómo debe vender cada una de las restantes para ganar S/. 218 en total? A) S/. 9,50 10,50 C) S/. 11,50 12,50 E) S/. 13,50 RPTA.: B 130. En una fábrica trabajan 94 operarios entre hombres y mujeres; y los jornales de un mes han importado 237900 soles. El jornal de cada hombre es de 105 soles y de cada mujer de 75 soles. Si durante el mes han trabajado 26 días, cuántos operarios de cada clase hay en la fábrica? A) 70 hombres y 24 mujeres B) 68 hombres y 26 mujeres C) 65 hombres y 29 mujeres D) 72 hombres y 22 mujeres E) 74 hombres y 24 mujeres RESOLUCIÓN Pago total por Jornales S / .237 900 <> S / .9150 26 d = B) S/. D) S/. RESOLUCIÓN PcT S / .1881 ; Pcu S /.9,50 /pelota Al vender parte de ellas en: # Pelotas compradas= 1881 198 9,5 Pv1 S / .799 Pvu S / .8,50 # Pelotas vendidas= 799 94 98,5 quedan 198 94= 104 pelotas, para vender a S/. x c/pelota PvT Pv1 Pv2 PcT Gt 799 + 104 x =1881 + 218 x= S/. 12,50 RPTA.: D Aplicando “Regla del rombo” 105 94 9150 75 132. Compré cierto número de libros a 6 por S/. 7 y otro número igual a 17 por S/. 19. Si todos se venden a 3 por S/. 4 y gané S/. 117, cuántos libros vendí? A) 153 612 D) 624 B) 306 50 “Buenas” 50 1 64 38 12 RESOLUCIÓN Compré: 6 S/.7 Pc1 7x = 6 x = = 19 x 17 Pc1 Compré: 17 S/.19 Pc2 x Vende: 3 Pc2 S/4 PvT = RPTA.: D 134. Un examen consta de 70 preguntas, dando 5 puntos por pregunta correcta, 1 punto por pregunta en blanco y 2 por pregunta incorrecta. Un postulante obtuvo 38 puntos, dándose cuenta que por cada 5 buenas habían 12 malas. ¿Cuántas contestó en blanco? 8x 3 2x A) 36 16 D) 10 PvT B) 28 RESOLUCIÓN 8x 7x 19x 117 3 6 17 70 17k RPTA.: C 133. En un examen de R.M. se propuso 50 preguntas; por cada pregunta bien contestada se le asigna 2 puntos y por cada equivocación se le descuenta un punto. Un alumno contesta las 50 preguntas y obtiene al final 64 puntos. ¿Cuántas preguntas contestó bien? A) 30 36 D) 38 B) 34 E) 40 C) C) E) 24 PvT Pc1 Pc2 Gt Resolviendo x = 306 Vendí: 2 (306) = 612 64 -1 C) E) 672 2 RESOLUCIÓN Buenas : 5k Malas : 12k “Blanco”: 70-17 70- Puntaje total = 38 5k(5)+12k(2)+(7017k)(1) = 38 25k – 24k +70-17k =38 k=2 ” Blanco” : 70-17(2) =36 SEMANA 7 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL 1. Si: cos2 1 , IV C 16 Calcule: M 15 4 15 4 1 D) 4 A) sec csc 1 ctg B) 1 4 2. C) A) IV C 1 3 2 B) 3 E) 4 1 4 D) 2 x E) 3 15 4 RESOLUCIÓN 1 M y (-3;2) C) 1 + mostrada, M tan tan RESOLUCIÓN cos De la figura determine: (-3;2) 3 - sec csc sec csc M 1 ctg 1 ctg 4 4 1 15 M 1 1 15 M 1 4 1 5 1 1 5 2 (-2;-3) 3 2 3 3 tan 2 2 tan tan 3 tan RPTA.: E M4 3. RPTA.: E Se tiene un ángulo“ ” en posición normal que verifica las siguientes condiciones: i) cos cos ii) tg tg iii) sen 5 3 determine el valor de: M 5.csc 9 cos A) -11 -9 D) -8 B) -10 E) -6 C) RESOLUCIÓN i) ii) iii) cos 0 tan 0 IIIC 5 5 sen sen ; III 3 3 * Luego: y 5 , r =3 x= -2 3 2 M 5 9 3 6 9 3 5 RPTA.: C 4. 5. ctg 2, 4 csc 0; sabiendo además que " " gráfico, si O C) -2 D) C) E) 2 1 2 E) csc 0 1 2 P(n-1;4n-1) RESOLUCIÓN (-) Piden; n = ? Dato: " " IIIC ctg 2, 4 del B) 2 RESOLUCIÓN * “n” ctg 0,333... A) 1 1 P 2 sen cos 4 * Halle y es un ángulo en posición normal halle: B) 1 P 1 RPTA.: A Si: A) -1 0 D) -2 1 cos ? 4 y 1x P 2 r 4r 5 1 12 P 13 4 13 P 2 sen ctg 0,333... 24 10 x 0,3 y (+) x 12 12 x2 y2 13 y 5 5 n 1 3 4n 1 9 3(n 1) 4n 1 3n 3 4n 1 n 2 RPTA.: C x= -12 o r= (x,y) 13 y=-5 6. Si el punto (2m;-3m) pertenece al lado final de un ángulo “” en posición normal. Calcule : x 3 29 10 7 29 10 29 C) 10 11 29 10 3 29 E) 10 A) 13 sen2 cos2 ;m 0 A) -5 B) 5 C) 1 5 1 D) 5 E) 0 RESOLUCIÓN x = 2m 5 3er. C. 2 5 sen 29 29 2 cos 29 tg r m 13 x y (2m; -3m) y = -3m Sabemos: 2 5 2 L.F. Se pide: 2 r x y r m 13 Piden: 13 Sen2 Cos2 ? y 2 x 2 13 r r 29 29 2 2 E 29 5 4 29 5 11 29 E 10 RPTA.: D 8. 3m 2 2 m 2 13 m 13 m 13 D) RESOLUCIÓN L.I. o B) Si “b” es un ángulo de 4to cuadrante 5 y cosb 24 , 25 halle: RPTA.: B 7. 5 Si: tg 2 sen 0 V 5senb 6 tgb 12 secb Halle: 29 E csc cos 29 ctg 4 A) 12,85 10,35 D) 9,35 B) 12,15 C) E) 8,35 RESOLUCIÓN 24 ; b 4to C. 25 7 senb 25 25 cosb b 24 7 tgb RPTA.: B 7 24 Se pide: 7 7 25 V 5 6 12 25 24 24 V 9,35 RPTA.: D 9. 2Ctg 2 2 Si 10. 6 4 sen2 4 sen 1 Halle: A sec 8 tg Ctg A) 1 3 D) 4 Halle: B) 2 C) E) 5 RESOLUCIÓN G 17 sen cos 1 2 sen 24 sen 4 B) 3 C) cos 1 3 cos IV C E) 6 3 RESOLUCIÓN Ctg 2 2 cos Además IV cuadrante. y III C A) 2 4 D) 5 Si: 2 ctg 2 ctg 4 III C 1 Ctg 2 1 ctg 2 2 2 1 A sec 1 2 2 tg 1 2 2 3 A 1 1 2 2 A=3-1 A=2 -4 RPTA.: B 11. 17 (-4;-1) -1 E 17 sen cos 4 1 E 17 E3 17 17 Si: sen 1 2 ; tg 0 Halle: H csc 3 ctg A) 1 4 D) -1 B) 5 E) 3 RESOLUCIÓN sen 1 2 ; C) sen 0 II, I C 1 sen ; tg 0 2 II C 2 ctg 90º ctg tg ctg 4 ctg 7 1 RPTA.: E 3 Del gráfico calcule: E csc 13 ctg 3 2 E 3 1 1 E 23 E 25sen tg y E= -1 (24; 7) RPTA.: D 12. x Del gráfico calcule “ cot ” y 53º (-4; -8) A) 1 5 D) 7 B) 3 C) E) 9 RESOLUCIÓN x 3 7 5 7 3 D) 7 A) B) 4 7 25 C) -4 24 E) 4 7 -8 RESOLUCIÓN 4 7 ; x y 7 8 E 25 25 4 E 72 9 4k 5k 53º 3k RPTA.: E 13. 5k 37º 4k 53º 3k Siendo “ y ” son las medidas de dos ángulos en posición normal, tal que: 360º , 90º 180º 7 x cos cos sen sen 1 Dado que: tg 2 Calcule: E A) 1 B) 2 2 D) 2 1 2 C) RESOLUCIÓN P(m,n 1),Q n,m 1 Lf n1 m1 n(n 1) (m 1)m m n Como: n 2m 2m 2m 1 m 1 m E) -1 RESOLUCIÓN y 1 3 2 n 3 4m 2 m 1 m x P( 1 1 ) 3 3 II C 2 f f Si: tg = 1 2 E ctg E 2 RPTA.: D Si los puntos P (m, n + 1) y Q (n, m + 1) pertenecen al lado final de un ángulo “ ” en posición normal: Además: n = 2m Calcular: V ctg csc2 sen cos A) 1 2 B) -1 C) V ctg csc2 sen cos 1 1 V 1 2 2 2 1 V 1 2 1 V 2 RPTA.: A 15. Siendo “ ” y " " dos ángulos positivos del IC y menores de una vuelta para los cuales se cumple que: Cos 2 0 Halle el valor de: 2 2 2 D) 2 1 V ctg csc2 sen cos ctg = 2 cos cos 2 cos E E sen sen 2 sen 14. 1 k E) -2 5 sen 3 cos 5 cos 3 sen A) sen B) 2 D) 4 E) 1 cos C) RESOLUCIÓN cos 2 0 2 90º ctg ctg , 2 45º 180º y IC k 5 sen 90º 3 cos 5 cos 3 sen 90º 5 cos 3 cos 5 cos 3 cos 8 cos k k 4 2 cos RPTA.: D k 135º 2 0 135 ctg ctg 2 0 45 ctg tg 2 ctg 2 1 16. Si: ABCD es un cuadrado, del gráfico, calcule: ctg AD OB 0 45 Si: tg 2 1 2 RPTA.: E y B C 17. En la figura AOB es un cuarto de circunferencia. Halle: " tg " y x o A D A 2 2 1 2 D) 2 1 A) B) 1 C) 53º 2 1 E) A) 1 RESOLUCIÓN 7 24 24 D) 7 a B) 7 24 y a a x o B 45º x E) 24 7 C) y D) 1 1 3 E) A (x;y) 2 1 C) RESOLUCIÓN y=4k RESOLUCIÓN 37º 53º 3k 4k 3k 5k a+ 4k a x=-a=- 1 60º 2 1 x o 3 30º 2 7k 6 2 (- 3 1; 1) Del gráfico: Rayado Pitágoras): a 3k 2 (T. de 3 1 1 Ctg 3 1 Ctg a 4k 2 2 a2 6ak 9k2 a2 16k2 18. RPTA.: A 6ak 7k 2 7k a 6 y 4k 24 tg 7k x 7 6 RPTA.: E 19. Halle: ctg 37º Halle: Ctg Y o 60º X A) 5 4 3 4 D) B) 7 4 E) 5 4 C) 1 4 RESOLUCIÓN x y (-7;4) A) 1 3 3 1 y 4 B) 37º 4 4 4 3 x 21. x Ctg y 7 Ctg 4 20. RPTA.: D Determinar el menor de dos ángulos coterminales, si la suma de ellos es 1320º y el mayor está comprendido entre 900º y 1200º. A) 100º 240º D) 300º Si: ABCD es un cuadrado. Halle: M=4 ctg -tg B) 140º C) E) 420º RESOLUCIÓN C Sean: : Coterminales: D 2n,n …………………..(1) 37º 360º n x B Dato: 1320º ……………… (2) A) 1 3 D) 4 B) 2 900º 1200º C) …………….. (3) E) 5 (1) + (2): 2 1320º 360ºn 660º 180ºn RESOLUCIÓN P(-1;4) 3 4 En (3) 1 900º 660º 180ºn 1200º 4 37º 1, 3 < n <3 n=2 Luego: 1020º 300º B RPTA.: D M 4 ctg tg 1 4 M 4 4 1 M 1 4 M3 RPTA.: C 22. Dos ángulos coterminales que están en relación de 2 a 7 la diferencia de ellos es mayor que 1200º pero menor que 1500º. Halle los ángulos. A) 1400º y 576º * B) 2130º y 576º C) 2016º y 576º D) 1080º y 576º 360º n ….......(i); "n" 5k 5 2k … (ii) 2 E) 720º y 216º (ii) en (i): 5k - 2k = 360º x n k = 120ºx n 600º n RESOLUCIÓN ”k” en (ii): ...(iii) 2 7 240º n * 1000º < < 1700º 1000º<600º x n < 1700º n= 2 2k 7k ”n” en (iii) : 5k 1200º 480º + = 1680º RPTA.: C 1200 5k 1500 5k 4 360 1440 24. Dada la ecuación: k 288 cos 1 1 co s 1 sen Halle “ ”; si cada uno de 576 2016 RPTA.: C 23. Las medidas de dos ángulos coterminales son proporcionales a los número 5 y 2. Además la medida del mayor ellos está comprendida entre 1000º y 1700º; halle la suma de medidas de dichos ángulos. A) 1880º 1680º D) 1660º B) 1860º C) E) 1200º RESOLUCIÓN * Sean “” y “ ” ( > ) las medidas de los 2 ángulos coterminales, luego: ellos es un ángulo cuadrantal, positivo y menor a una vuelta. A) 720º 180º D) 270º B) 90º E) 360º C) RESOLUCIÓN * “ ”y“ ” cuadrantales son ángulos 0º 360º y 0º 360º 1 1 1 1 1 1 1 1 sen 1 ... 2 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1 ESTE TÉRMINO NO SE ANULA 90º ;180º; 270º 90º, 180º ; 270º Probando en la condición: cos 1 1 cos 1 sen cos 1 0 cos 1 180º 1 sen 0 sen 1 90º 270 1 2n n x sen cos 0 2 2n 1 2n 1 r IIIC x n 1 1 1 sen .... y 3 15 35 cos 0 Si y n 1 3n 1 r 2n 1 Luego: RPTA.: D 25. 1 1 1 2 2n 1 M M “n términos” n 1 n 1 3n 1 2n 1 n n 3n 1 n 1 2n 1 n 1 n n n RPTA.: A Calcular el valor de: n1 M 3n 1 A) -1 1 D) 2 tan (sec ) B) 1 2 C) 26. En la figura mostrada “ O” es el centro de la circunferencia y además: OA AB BC , determine: M cot 10tg y E) 2 RESOLUCIÓN C B A x o A) -1 B) 0 1 2 D) 2 E) 3 C) RESOLUCIÓN (5; 5r) 5r 3r r r r 2 2r 3r (4r; 2 2r) cot 5r 5 5r 2 2r 2 tg 4r 2 Luego: M 5 10 2 5 5 2 M0 RPTA.: B 27. Si la expresión: M 2 4 es real, Calcule: R sen tg cos ; cuando “ ” es un ángulo cuadrantal. A) -2 0 D) 1 B) -1 E) 2 RESOLUCIÓN 2 4 C) Si “M” es real: 2 0 4 0 2 4 24 y como de estas hay 3 cajas pequeñas y en cada una de estas hay dos cajas aún más pequeñas. ¿Cuántas cajas hay en total. es cuadrantal: Luego: a) 250 a) 181 R 1 28. Sea un ángulo positivo menor que una vuelta cuyo lado final no cae en el IC, y RPTA.: B otro ángulo 180º,0º con el cual se verifica: Determine el valor de: M A) 0 2 D) 3 tg sen 2 sen a) 25; 5 C) E) 4 a) 40 Si: 1 cos2 tan cos 0 90º 180º;0 tan 1 225º IC Luego: M tan 225º sen(90º ) 2 sen225º PROBLEMAS 1. Si en el almacén de la UNH hay 6 cajas grandes, en cada una de ellas hay 5 cajas medianas; en cada una c) 135 d) 126 e) 116 b) 28; 0 c) 26; 5 d) 25; 4 e) 24; 5 b) 44 c) 46 d) 48 e) 50 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 6. Se tiene 81 bolas idénticas, donde una de ellas pesa un poco menos que las otras (las demás pesan igual) ¿Cuántas pesadas mínimas se tendrán que realizar en una balanza de dos platillos para localizar la bola que pesa menos? b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 7. Se han envasado 5 tipos de conservas que son de piña, fresa, uva, mango y durazno; donde se puso a cada uno la etiqueta que no le corresponde. ¿Cuántos envases como mínimo se debe abrir para saber que contiene cada una? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8. Si el pasado mañana será, el ayer de anteayer de mañana del lunes. Y el aniversario de bodas de Juan será el pasado mañana de mañana de anteayer de pasado mañana. ¿Qué día festejará su aniversario de bodas Juan? 11 0 2 2 2 9. RPTA.: A b) 45 5. Si el sapito “Sapolio” debe subir una escalera de 35 escalones, donde en cada hora sube 5 escalones y luego baja 3 escalones. ¿En cuántas horas podrá subir la escalera? a) 2 RESOLUCIÓN e) 306 4. Si el caracol “Perezoso” sube por un árbol de cinco metros, pero cada día por cada 0,3m que sube baja 0,2m ¿Cuantos días tardará en llegar a la cúspide del árbol? a) 10 B) 1 d) 310 3. Si la empresa COCA COLA, promociona lo siguiente: con 7 chapas se puede canjear dos gaseosas, ¿Cuántas gaseosas como máximo podrá disfrutar una persona, si compro 20 gaseosas y cuantas chapas le sobraran al final? 2 1 cos tan c) 300 2. Si en una de las aulas de un jardín se observa que hay 5 cajas verdes, en cada una de ellas existen 4 cajas medianas de color rojo, en cada una de estas hay dos cajas pequeñas de color verde y en cada una de estas hay 4 cajas más pequeñas de color rojo. ¿Cuántas cajas rojas más que verdes existen? R sen tan cos b) 280 a) Sábado d) Lunes b) Domingo e) Miércoles c) Viernes Daniel le pregunta a Rosa: ¿Qué día de la semana es tu día libre para poder salir a bailar? y Rosa responde: Será el pasado mañana del ayer del mañana del siguiente día de hoy. Si se sabe que el anteayer del día posterior del subsiguiente día de hoy será jueves, ¿qué día saldrá a bailar Rosa con Daniel? a) Martes b) Domingo c) Viernes d) Miércoles 10. Sabiendo que el anteayer del ayer del pasado mañana del subsiguiente día del mañana de anteayer, será el mañana del mañana de hace tres días del martes. ¿Qué día de la semana será el anteayer del mañana del anteayer del mañana del anteayer del mañana y así sucesivamente tantas veces el anteayer del mañana como días tiene un año bisiesto; del día que subsigue al mañana del ayer de pasado mañana? a) Martes d) Miércoles b) Jueves e) sábado c) Viernes 11. Al visitar la casa de la familia Gonzáles, observé a tres parejas de esposos, un abuelo, una abuela, dos madres, dos padres, dos hijos, un nieto, dos nueras, dos suegras y dos suegros. ¿Cuántas personas, como mínimo, estábamos en dicha casa? a) 9 b) 7 c) 5 d) 6 e) 8 12. El parentesco que existe entre el tío del hijo del tío de Alejandro y el hijo del hijo del tío de Alejandro, es (Obs: Alejandro tiene un solo hijo). a) Tío – abuelo d) Padre – hijo María no vive más abajo que Irene Lucía no vive más arriba que Irene ¿Quién vive en el 5to piso? e) Sábado b) Son primos a) María d) Karen a) Entre C y E d) Frente a B c) Nieto abuelo a) Hugo; Pilar d) Carlos ; Sara b) Madre e) Primo b) 180 c) 190 b) 4 c) 7 d) 200 e) 210 d) 9 b) Laura e) Rosa 1. a) 15 2. b) 17 c) 19 d) 21 MARI LORENA K MERINO LARA a) A < B d) Faltan datos 3. 2 e) 23 Si: (+) (+) = (-) (-) Encontrar el valor de k en: COLUMNA A 3 AMOR SUMA K SUMENO MORENO COLUMNA B 3 b) A > B c) B = A e) No utilizar esta opción Hallar: “a + b + c” si: 7 + 76 + 767 + ... + (7676...76) = ..... abc 60 cifras c) Carla 18. En un edificio de 5 pisos viven las amigas: María, Lucía, Irene, Karen y Leticia, cada una de un piso diferente. Si se sabe que: Karen vive más abajo que Lucia, pero más arriba que Leticia Calcular la suma de cifras del resultado de “M” si: M 777 ... 777 222 ... 2225 "n 1"cifras "n"cifras e) 12 17. En cierta prueba, Rosa obtuvo menos puntos que María; Laura, menos puntos que Carla; Noemí, el mismo puntaje que Sara; Rosa más puntaje que Ana; Laura, el mismo que María y Noemí más que Carla. ¿Quién obtuvo el menor puntaje? a) María d) Ana SEGUNDA SEMANA c) Nieta 16. En cierto bus, subieron 38 pasajeros. De los cuales 15 pagaron pasaje adulto, 10 escolar, 8 universitario y 5 con pase libre. ¿Cuántos pasajeros tendrían que haber bajado, como mínimo, para tener la certeza, de que por lo menos dos de ellos han pagado el mismo tipo de pasaje? a) 3 c) Hugo ; Sara RAZONAMIENTO INDUCTIVO 15. Se tienen 20 puertas con sus respectivas llaves, pero no se sabe la correspondiente entre ellas. ¿Cuántos insertos como mínimo se deben efectuar para tener la certeza de la correspondencia entre llave y candado? a) 170 b) Marcos; Pilar e) Hugo ; Nora c) Suegra 14. La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi …. a) Hija d) Sobrina b) Frente a D c) Entre B y C e) Falta información 20. A una reunión asistieron tres amigos: Marcos Hugo y Carlos; y tres damas: Pilar, Nora y Sara. Terminada la actividad, cada uno de ellos salió acompañado por una dama. Hugo salió con la amiga de Nora. Pilar, que no simpatiza con Nora, salió antes que Marcos. ¿Quién acompaña a Sara y con quien salió Marcos? e) Son hermanos b) Hija e) Nieta c) Irene 19. Seis amigos: A, B, C, D, E y F, se sientan alrededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que: A se sienta junto y a la derecha de B, y frente a C D no se sienta junto a B E no se sienta junto a C ¿Dónde se sienta F? 13. ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) Madre d) Sobrina b) Lucía e) Leticia 4. a) 12 b) 15 c) 16 Hallar la suma de cifras de S. a) 46 d) 18 e) 25 S = 8 + 98 + 998 + ... + 9999...98 50 cifras b) 47 c) 48 d) 49 e) 50 10. Si la siguiente figura le trazamos 50 rectas paralelas a MN . ¿Cuántos triángulos se contarán en total? 5. Calcular el número total de esferitas en: M N a) 150 1 2 3 29 30 11. Hallar: b) 151 c) 152 d) 153 E 4 F180 S137 Si: S1 = 1 a) 870 6. b) 900 c) 930 d) 1200 e) 920 e) 154 F1 = 2 S2 = 1 + 1 F2 = 2 + 2 S3 = 1 + 2 + 1 F3 = 2 + 4 + 2 S4 = 1 + 3 + 3 + 1 F4 = 2 + 6 + 6 + 2 ¿Cuantos palitos conforman la siguiente torre? a) 1024 b) 2000 c) 2164 d) 2180 e) 2048 12. Determine la suma de las cifras del resultado de: E (x 1) (x 1) . . . (x 1) (x 2) (5 x) (5 - x) . . . (5 - x) (6 - x) 100 cifras 100 cifras a) 600 b) 604 c) 596 d) 614 e) 624 13. Calcular la suma de cifras del resultado de: 1 2 3 a) 3420 7. 4 47 b) 2525 c) 2870 48 d) 6250 49 E (777778) 2 (222223) 2 50 e) 3025 a) 45 Hallar el total de cuadrados pequeños: 1 b) 50 c) 55 d) 60 e) 65 14. Hallar el número total de palabras “AMANTES” 2 S E T N A M A 3 4 5 50 a) 2100 8. c) 2550 d) 2500 e) 3025 A una hoja cuadrada y cuadriculada con 100 cuadraditos por lado, se le traza una diagonal principal. ¿Cuántos triángulos como máximo podrán contarse en total? a) 50500 9. b) 1275 b) 50100 c) 10100 d) 10500 a) 64 T E S E T N A b) 128 N T E S E T N A N T E S E T c) 256 M A N T E S E A M A N T E S d) 512 e) 1024 15. Hallar el número total de palabra UNH F(1) ………. U N H F(2)………….. U N H F(3)……….......... U N H F(4)………………… U N H : …….. : …….. F(20)…………………………..U N H e) 10050 Hallar el valor de la fila (10) en: a) 72 Fila (1) = 1 Fila (2) = 3 + 5 Fila (3) = 7 + 9 + 11 E S E T N A M b) 73 c) 74 d) 75 e) 76 16. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra “AMOR” A a) 998 b) 999 c) 1000 d) 1001 M e) 1002 O R M O O R R O O M A R O M 2 3. Juan es el doble de rápido que Pedro. Si juntos pueden hacer un cierto trabajo en 8 días. ¿Cuánto tiempo tomará hacer a Juan el trabajo sólo? a) 9 a) 128 b) 32 c) 256 17. Calcular: d) 64 e) 16 4. “n” sumandos b) 18 1x3 3x5 5x7 ... 2 2 n(n 1) 2 a) 2 2 1 2 3 ... n b) (n 1) d) 8 e) n 5. n 2 c) 4 6. 18. Hallar la suma total del siguiente arreglo: 2 4 6 8 20 4 6 8 10 6 8 10 12 22 a) 8000 8 10 12 14 24 20 22 24 26 38 .. .. .. .. 26 b) 3000 19. Calcular: E ...... ...... ...... ...... c) 2000 d) 4000 “n” sumandos d) c) b) n n n1 e) n1 n 9. 20. Calcular: R a) 63 2112 1 1 1 1 .... 2x 4x6 4x6x8 6x8x10 20x22x24 b) c) 67 2112 65 2112 d) 57 2112 e) 61 2112 TERCERA SEMANA 1. Al preguntársele cuánto habría gastado de los 72 soles que tenía; éste responde diciendo que habría gastado la octava parte de lo que no gastó. ¿Qué cantidad no gastó? a) 32 2. b) 64 c) 20 d) 50 e) 60 Un padre tiene 360 soles y decide ir al cine con sus hijos. Si compra entradas de 50 soles le falta “n” soles y si compra entradas a 40 soles le sobra “n” soles. ¿Cuántos hijos tiene? a) 5n b) 6n c) 2n d) 8 e) n c) 100 ; 36 b) 12 ; 12 ; 16 e) 22 ; 10 ; 8 c) 13 ; 14 ; 13 b) 9 ; 25 ; 6 c) 12 ; 17 ; 11 e) 10 ; 15 ; 18 En un examen de admisión un postulante ha contestado 60 preguntas, obteniendo 170 puntos. Por cada repuesta buena gana 4 puntos y por cada respuesta mala pierde 1 punto. ¿Cuántas preguntas malas ha contestado? b) 14 c) 18 d) 13 e) 11 Si se posaran 3 palomas en cada poste, sobrarían 4 postes, pero si se posara una paloma en cada poste sobrarían 6 palomas ¿Cuántas palomas hay? a) 18 b) 15 c) 27 d) 36 e) 21 10. Cada vez que un niño visita a su abuelita, ésta le duplica el dinero que él lleva. El nieto siempre le agradece con S/ 40 la bondad de su abuela: un día el niño queriendo ganar más dinero realizó cuatro visitas sucesivas a la abuelita, pero fue tal la sorpresa del niño que al final de la cuarta visita se quedó sin un sol. ¿Cuánto llevó al iniciar la visita? a) S/. 30 PROBLEMAS e) 22 Se dispone 100 soles para comprar 40 artículos de 1 , 4 y 12 soles respectivamente comprándose por lo menos uno de cada precio. ¿Cuántos artículos de cada uno de estos precios deberán comprarse? a) 12 n n 1 d) 20 Compré 40 animales; pollos a 4 soles, palomas a 2 soles y pavos a 17 soles, si gasté 301. ¿Cuántos animales de cada clase compré? a) 9 ; 3 ; 28 d) 12 ; 18 ; 10 8. c) 16 b) 117 ; 19 e) 80 ; 56 d) 15 ; 17 ; 8 7. e) 19 Dividir 136 en dos partes tales que uno de ellos dividido por 5 de cómo residuo 2, la otra dividida por 8 da como resto 3. Indique la menor solución. a) 8 ; 12 ; 20 e) 1000 1 1 1 .... 1x2 2x3 3x 4 a) (n + 1) b) 12 a) 120 ; 16 d) 98 ; 38 2 d) 12 En una excursión cada niño pagaba 45 céntimos, cada adulto 1 sol, si el gasto total fue 17 soles. ¿Cuántos niños iban?. a) 8 S c) 10 b) S/. c) S/. d) S/. 39 e) S/. 41 35 37,5 11. Cuando le preguntan a un Joven por el número de hermanos, responde: “el número de mis hermanos excede al de mis hermanas en 2, además si tuviera una hermana menos, el número de mis hermanas sería la mitad del número de mis hermanos”. ¿Cuántas hermanas tiene el Joven? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 12. Un padre da a su hijo tantos céntimos como soles tiene en el bolsillo y se queda con 396 soles. ¿Cuántos soles tenía en el bolsillo? a) S/.400 b) S/.360 c) S/.310 d) S/.320 e) S/.410 PROBLEMAS 13. Se quiere colocar cierto número de fichas de modo que formen un cuadrado completo. En la primera disposición sobran 8 fichas; formando el cuadrado con una ficha más por lado faltan 23. ¿Cuántas son las fichas? a) 247 b) 253 c) 243 d) 233 b) 450 c) 620 d) 512 a) 7 b) 8 c) 9 d) 12 17. b) 8 c) 9 d) 11 e) 15 Un comerciante compró cierto número de libros por un valor de S/60, se le extraviaron tres de ellos y vende los que le quedan en S/ 2 más de lo que le había costado cada uno, ganando en total S/ 3. ¿Cuánto le costó en soles cada libro? a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 a) 20 cm b) cm b) 41 c) 43 d) 45 CUARTA SEMANA b) 34 c) 38 d) 40 e) 42 b) 14 5. b) 2 e) 24 c) 3 d) 5 e) 4 b) 34 c) 36 d) 38 e) 40 b) 35 c) 37 d) 38 e) 39 b) 70 c) 78 d) 68 e) 75 Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía. Si dentro de 6 años tú edad sumada a la mía es 18 años menos que la edad de él. ¿Qué edad tengo? b) 18 c) 20 d) 21 e) 24 Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, la diferencia, de nuestras edades será 8. ¿Qué edad tengo?. a) 32 9. d) 20 Hace 7 años la edad de un padre era el triple de la edad de su hijo; pero dentro de 9 años será solamente el doble. Hallar la suma de sus edades actuales. a) 16 8. c) 16 July tuvo a los 30 años, quintillizos; hoy las edades de los 6 suman 60 años. ¿Qué edad tendrá July dentro de 2 años?. a) 48 7. e) 16 Las edades de una pareja de esposo son proporcionales a la suma y a la diferencia de las edades de sus hijos cuyo producto es 7. Si dentro de 6 años el promedio de edad de las 4 personas será 29 años. Calcular la edad de uno de los esposos. a) 34 6. d) 14 Hace x2 años tenía 11 años y dentro de 3x2 años tendré 47. ¿Cuántas veces más que 10 es mi edad actual?. a) 32 e) 53 20. En un autobús se observa que hay 56 personas de los cuales 22 están sentadas. Los varones que están sentados son tantos como las damas que están paradas, y la cantidad de damas que están sentadas es la mitad de los varones que están parados. ¿Cuántos varones hay en el autobús? a) 26 4. c) 12 La edad de “Luchito” será dentro de 4 años un cuadrado perfecto. Hace 8 años era la raíz cuadrada de ese cuadrado. ¿Qué edad tendrá “Luchito” dentro de 8 años? a) 1 26 c) 30 cm d) 32 cm e) 53 cm 19. Halle un número primo, cuyo cuadrado sumando con los cuadrados de los dos números impares siguientes resulte un número de 4 cifras iguales. a) 37 3. e) 10 18. El día de los enamorados un ratoncito sale de su hueco hacia el hueco de su ratoncita dando alegres saltos de 11 cm, al encontrarla con otro regresa dando tristes saltos de 7 cm; pero habiendo recorrido en total 1,23 m se detiene ha suicidarse. ¿Cuánto le faltaba aun por recorrer? b) 11 a) 12 e) 10 16. Un microbús parte de la plazoleta Túpac Amaru en dirección a la UNH y llega al paradero final con 43 pasajeros. Sabiendo que cada pasaje cuesta 2 soles, y que ha recaudado en total 120 soles, en cada paradero bajaba un pasajero pero subían tres. ¿Cuántos pasajeros partieron del paradero inicial? a) 6 2. e) 520 15. En una familia el hermano mayor dice: “tengo el doble de hermanos que de hermanas”. La hermana menor dice: “si tuviera un hermano más, entonces las hermanas seríamos la tercera parte de los hermanos”. ¿Cuántos integran la familia, si los padres aún viven? Hace 4 años tenía la cuarta parte de los años que tendré dentro de 8 años. ¿Dentro de cuántos años tendré el cuádruple de los años que tenía hace 3 años?. (en años). a) 10 e) 223 14. En un corral se observan 3 gallinas por cada 5 patos y 4 conejos por cada 4 patos. Si en total se cuentan 176 cabezas. Hallar el número total de patas. a) 216 1. b) 30 c) 28 d) 26 e) 24 Kenyi le dice a Julia: “Yo tengo la edad que tu tenías cuando yo tenía la tercera parte de la que tienes menos 4 años; pero, cuando tenga la edad que tú tienes, tu tendrás 78 años. Hallar una de las edades. a) 36 años d) 42 años b) 19 años e) 32 años c) 55 años 10. La edad de Pepe es 3 años menos que la edad de Pipo y la mitad de la edad de Pepa. Si la tercera parte de la edad de Pepe, más 1/5 de la edad de Pipo, más 1/4 de la edad de Pepa es 13. Hallar la edad de Pipo. a) 10 b) 12 c) 15 d) 21 16/5 de la razón que habría si Javier hubiera nacido 5 años después y Rafael 10 años antes. ¿Qué edad tuvo uno de ellos, cuando nació el otro? e) 38 11. Betsy nació en 19ba y en el año 19ab cumplió (b + a) años. ¿En qué año cumplió “ab” años? a) 1 965 b) 960 1 c) 1 971 d) 1 975 e) 1 978 12. Si un padre tiene ahora 2 años más que sus dos hijos y hace 8 años tenía 3 veces la edad del hijo menor y 2 veces la del mayor, en ese entonces. ¿Qué edad tiene ahora el hijo menor? a) 28 b) 26 c) 20 d) 29 a) 10 años b) 16 c) 20 d) 5 e) 15 20. En el año 2002, un profesor de RM, sumó las edades y los años de nacimiento de sus 20 alumnos y obtuvo como resultado un número impar cuya suma de cifras es 10. ¿Cuántos de dichos alumnos ya cumplieron años? a) 7 b) 9 c) 10 d) 13 e) 14 e) 22 13. La edad que tendré dentro de “a” años es a lo que tenía hace “a” años como 5 es a 3. ¿Qué edad tendré dentro de “2a” años? Si mi edad actual es 40 años. a) 58 años d) 61 años b) 59 años e) 62 años c) 60 años 14. Juan lo dice a su hermano: “El cuadrado de mi edad al restarle del cuadrado de tu edad resulta 115 años”. Su hermano lo responde: “El mismo resultado se obtiene si restamos el cuadrado de la edad de nuestra madre del cuadrado de la edad de nuestro padre”. ¿Qué edad tenía la madre cuando nació su hijo Juan? a) 41 años d) 44 años b) 42 años e) 45 años b) 27 años e) 26 años b) 86 c) 108 d) 95 a) 14 b) 16 c) 18 d) 12 19. b) 81 c) 62 d) 68 e) 72 La edad de Javier es los 3/2 de la edad de Rafael. Si Javier Hubiera nacido 10 años antes y Rafael 5 años después, entonces la razón de ambas edades sería b) 21 s c) 22 s Una alarma emite x 2 d) 23 s e) 24 s “bips” en 5 2x 6 segundos. En qué tiempo máximo emitirá 9 “bips”? a) 7 s 3. b) 8 s 4. c) 9 s d) 10 s e) 11 s Un campanario da tantas campanadas como el doble del número de horas que indica si la hora es par; si es impar da tantas campanadas como el triple del número de horas que indica. Si para indicar las 5:00 demoró 22 s más que para indicar las 2:00. ¿Cuánto tiempo demorará el reloj para indicar las 11:00? a) 20 s b) 22 s c) 55 s d) 64 s e) 66 s Un campanario señala las horas con igual número de n campanadas. Si para indicar las 2 horas emplea 2n 1 segundos y para indicar las 7 horas emplea 2 e) 22 18. Al preguntársele a un matemático por su edad éste responde: “No soy tan joven para decir que tengo 60 años ni tampoco viejo para tener 80 años. Cada hijo me ha proporcionado tanto nieto como hermanos tiene, mi edad es exactamente el doble del número de hijos y nietos que tengo”. ¿Cuál es la edad del matemático?. a) 35 años 2. e) 85 17. Teresa le dice a Silvia: “Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 54 años”. ¿Cuál es la edad de Silvia?. El campanario de una iglesia estuvo tocando durante 15 segundos, si se escucharon tantas campanadas como 2 veces el tiempo que hay entre campanada y campanada. ¿Cuánto tiempo empleará este campanario para tocar 8 campanadas? a) 20 s c) 30 años 16. La edad de un padre sobrepasa en 5 años la suma de las edades de sus tres hijos. Dentro de 30 años el tendré el doble de la edad del hijo menor, dentro de 20 años tendrá el doble de la edad del segundo y dentro de 10 años tendrá el doble de la edad del mayor. La suma de todas las edades actuales es: a) 105 1. c) 43 años 15. En 1920 la edad de A era 4 veces la edad de B. en 1928 la edad de A fue el doble de la de B. ¿Cuál fue la edad de A en 1930? a) 24 años d) 28 años QUINTA SEMANA n1 2 segundos, qué hora señala en un tiempo de 4n 1 segundos? a) 10 b) 11 c) 9 a.m. d) 4 a.m e) 8 a.m. a.m. a.m 5. Se observa en un campanario que el número de campanadas excede en 3, a 4 veces el tiempo que hay entre campanada y campanada. Si el tiempo que emplea en tocar las campanadas es el cuádruple, del exceso del número de campanas sobre 6, cuántos segundos como máximo empleará para tocar 12 campanadas? a) 22 6. e) 18 b) 4; 4 c) 4; 5 d) 5; 4 e) 5; 4 b) 3:11 c) 3:15 d) 3:18 e) 3:20 Las horas transcurridas del día están representadas por un número de dos cifras y el exceso de dicho número con las cifras invertidas sobre nueve, representa las horas que faltan transcurrir. ¿Qué hora es, si no son las 12m.? a) 9 a.m. 9. d)25 Tres ladrones ingresan a una agencia bancaria a las 3 p.m., a los 3 minutos un empleado acciona la alarma que emite 8 “bips” cada 5 segundos; esto permite que la policía los capture. Si el total de “bips” emitidos hasta la captura fueron 1261, a qué hora exactamente fueron capturados? a) 3:08 8. c) 24 Un reloj indica la hora que es con igual número de campanadas, para indicar que son las 6 emplea 10 s. Si Julio hace una monografía que la comienza en la noche a una hora en que el reloj emplea 20 s en indicarla y la termina al día siguiente, a una hora en que el reloj emplea 6 s para indicarla, y sabiendo que luego duerme hasta las 7 am, para alistarse e ir a la CEPRE - UNH, cuántas horas durmió y cuántas empleó en hacer la monografía? a) 3; 5 7. b) 20 b) 11 c) 2 p.m. d) 7 pm. e) 9 pm. a.m. Son más de las 5 pero aun no son las 7 de ésta mañana. Si el tiempo que había transcurrido desde las 5 hasta hace 20 minutos es igual a 1/9 del tiempo que faltará transcurrir hasta las 7, pero dentro de 40 minutos. ¿Qué hora es? a) 5:30 b) 5:25 c) 5:20 d) 6:10 e) 6:15 10. Son más de las dos pero menos de las cinco; si el tiempo transcurrido desde las 2 hasta hace 2n minutos es el cuádruplo de este tiempo y a su vez es la novena parte del tiempo que falta transcurrir para las 5 dentro de 4.2n minutos, cuál es la hora? a) 2:10 b) 2:20 c) 2:30 d) 2:25 e) 2:15 13. Una tarde soleada Manuel va camino a la CEPRE UNH. (tiene seminario de aptitud matemática de 2 a 4 p.m.); pero al olvidar su reloj, observa que una antena de 8m de longitud proyecta una sombra de 6 m. de largo, después de lo cual concluye que llegará tarde ¿Qué hora es? a) 2:15 b) 2:20 c) 2:25 14. Un reloj se atrasa 2 minutos cada 1,8 h desde un día jueves a las 5 p.m. ¿Cuál es el día y la hora más próxima en que este reloj volverá a marcar la hora correcta? a) Lunes 5 p.m. b) Martes 5 p.m. c) Miércoles 5 p.m. d) Viernes 5 p.m. e) Sábado 5 p.m. 15. A las 12 m un reloj comienza a atrasarse a razón de 6 minutos cada hora y otro reloj empieza a adelantarse a razón de 4 minutos cada hora. Después de cuánto tiempo ambos relojes estarán marcando la misma hora, por primera vez? a) 20 b) días días a) 4 a.m. b) a.m. 5 c) 9 a.m. d) 6 a.m. e) 7 a.m. a) 80 días d) 225 días b) 120 días e) 250 días a) 09 b) /06 10/06 c) 11/06 c) 175 días 17. Un reloj que se adelanta a razón de 10 minutos cada hora, se pone a la hora a la una de la tarde del día jueves. En la mañana siguiente se observa que dicho reloj está marcando las 10 a.m. ¿Cuál es la hora correcta en ese momento? a) 8:25 a.m. d) 7 a.m. b) 7:40 a.m. e) 6 a.m. c) 8 a.m. 18. ¿Qué hora es según el gráfico? 12 1 10 2 3 3 9 8 7 12. Al preguntarle al profesor de Aptitud Matemática por su cumple; el comenta que nació en el mes de Junio, y que un día de dicho mes verifica que la fracción transcurrida del mes es igual a la fracción transcurrida del año. Si él nació 4 días antes, qué día cumple años? (considere un año bisiesto) 3 c) 4 días d) 5 días e) 15 días 16. Dos relojes marcan la hora exacta a las 12 m. y a partir de ese instante, uno comienza adelantarse 4 minutos cada 1,5 h y el otro se atrasa a razón de 5 minutos cada 2,5 horas; luego de cuánto tiempo volverán a marcar, simultáneamente, la hora correcta? 11 11. Si el exceso del número de horas que faltan para las 5 a.m. de mañana, sobre la mitad de lo que faltará para las 5 p.m. de hoy dentro de 4 horas, es tanto como, el exceso de lo que falta para las 6 a.m. de mañana, sobre lo que faltará para las 2 p.m. de hoy dentro de 2h. ¿Qué hora es? d) 2:28 e) 2:30 4 5 6 a) 5 h 8 min. b) 5 h 9 min. d) 5 h 7 min. e) 5 h 6 min. 19. ¿Qué hora indica el reloj de la figura? d) 12/06 e) 08/06 2 3 c) 5 h 12 min. a) S/. b) S/. c) S/. d) S/. e) S/. 360 320 280 350 300 8. En un depósito se mezcla 30 litros de agua y 50 litros de leche; luego se extrae 16 litros de la mezcla y se le reemplaza por la misma cantidad de agua. ¿Si de la nueva mezcla se extrae 18 litros, Cuántos litros de leche salen? a) 2 h 31 1 min 5 1 5 1 d) 2 h 32 min 5 b) ) 2 h 30 min c) 2 h 38 1 min 5 e) 2 h 33 1 min 6 1. b) 8:22 c) 8:25 d) 8:24 e) 8:29 Si el x 1 % de x 36 es 2x /5 , el valor de x es: a) 16 b) 9 c) 5 d) 4 e) 7 2. En un aula hay 80 alumnos; se sabe que 3 de 4 alumnos son mujeres, y de éstas 2 de cada 5 gustan escuchar música cuando estudian. ¿Cuántas mujeres estudian en silencio, si se sabe que todas estudian? a) 24 b) 28 c) 30 d) 32 e) 36 3. Dos tercios de los profesores de un colegio son mujeres. Doce de los profesores varones son solteros, mientras que los 3/5 son casados. ¿Cuál es el número de profesores? a) 90 b) 80 c) 70 d) 60 e) 50 4. De compras al mercado hoy, gasté 1/3 de lo que no gasté. De haber disminuido mi gastó en 1/3, me hubiera quedado S/. 120 más de lo que no gasté. ¿Con cuánto de dinero cuento actualmente? a) S/. b)S/.1 960 080 c)S/.1 180 d) S/. e) S/. 680 780 5. Una pelota es dejada caer desde una cierta altura. En cada rebote pierde 1/3 de la altura de la cual cayó. Si después del tercer rebote se eleva 48 cm, de qué altura inicial cayó? a) 120 b) 162 c) 300 d) 150 e) 180 cm. cm. cm. cm. cm. 6. Un depósito contiene 36 litros de leche y 18 litros de agua. Se extraen 15 litros de la mezcla ¿Cuánto litros de leche quedaron? a) 13 b) 26 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 9. En un depósito hay 30 litros de vino y 40 litros de agua. Si al extraer cierta cantidad de la mezcla en el depósito quedan 24 litros de agua, qué cantidad de mezcla se ha retirado. a) 34 b) 28 c) 30 d) 40 e) 60 litros litros litros litros litros 20. Una persona al ver la hora, confunde el horario con el minutero y viceversa, y dice: “son las 4: 42”. ¿Qué hora es realmente? a) 8:26 a) 5 c) 10 d) 15 e) 30 7. En un tonel hay 60 litros de vino A y 40 litros de vino B. Si cada litro de vino A cuesta S/.10 y cada litro de vino B cuesta S/.5, cuánto cuesta 45 litros de la mezcla. 10. Si gastara el 30 % del dinero que tengo y ganara el 20 % de lo que me queda, perdería $160. ¿Cuánto tengo? a) $ 850 b) $ 1 c) $ 1 d) $ 1 e) $ 1 000 200 500 400 11. En un salón de clases hay 16 varones y 24 mujeres. ¿Cuántas mujeres deben retirarse para que el porcentaje de hombres aumente en 24 %? a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 20 12. Un basquetbolista debe lanzar 160 veces al cesto. Si ya convirtió 40, cuántos más debe convertir para tener una eficiencia del 70%? a) 58 b) 64 c) 68 d) 72 e) 76 13. Hugo y Roberto, juntos, tienen S/.10 000. Si el 50% de lo que tiene Roberto equivale al 75 % de lo que tiene Hugo, cuánto tiene Roberto? a) S/. 1 500 d) S/. 4 800 b) S/. 2 500 e) S/. 6 000 c) S/. 4 000 14. Si la base de un triángulo disminuye 30% y la altura aumenta 40 %, en qué porcentaje varia su área? a) - 4 % b) -2 % c) +2 % d) -12 % e) +4% 15. Se tiene 80 litros de una mezcla que contiene Alcohol y Agua, al 60 % de Alcohol. ¿Qué cantidad de agua se debe agregar, para obtener una nueva mezcla al 20 % de alcohol? a) 160 b) 150 c) 180 d) 200 e) 240 16. En un recipiente hay 40 litros de alcohol al 90 % de pureza, en otro hay 60 litros de alcohol al 70 %. Si mezclamos, calcular el grado de pureza de la mezcla. a) 87 % b) 74 % c) 76 % d) 78 % e) 85 % 17. Un ómnibus tiene 70 pasajeros, de los cuales el 70 % están sentados, de las mujeres el 80 % y únicamente 10 % de los hombres. ¿Cuántos hombres viajan en el ómnibus? a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) 22 18. Un señor desea comprar un TV por S/.800, pero el vendedor le dice que si compra 4 le hace una rebaja, por lo que paga S/.2000 más. ¿Qué porcentaje del precio de lista representa la rebaja? a) 10 % b) 12,5 c) 15 % % d) 15,5 e) 20 % % 19. ¿Qué precio debe fijarse a un artículo que costo S/.400, sabiendo que se va a hacer una rebaja del 20% de dicho precio, y aún así se ganará el 20 % de costo? a) S/. b) S/.500 c) S/. d) S/.560 e) S/. 450 600 700 a) 6. 20. En una reunión el 44 % de los asistentes toman y el 37 % fuman; además el 25 % de los que toman, fuman. Si no toman y no fuman 84 personas, el número de personas es: a) 80 b) 380 c) 280 d) 260 e) 300 1/2 b) 1 c) 4 d) 5/2 e) 2 Se define: Calcule: a) 1 7. b) -1 c) 2 d) -3 e) 5 b) 3 c) 5 d) 8 e) 2 c) 4 d) 5 e) 7 Si: Calcular: SEPTIMA SEMANA a) 1 8. PROBLEMAS 1. Calcule “a” en: Si: x+2 = x + 3 Calcular: a) 2 40 a) 44 2. Si: b) 60 c) 65 2 6 a) –6 3. 9. d) 70 e) 54 3 x ; si : x 3 ( x 5) 2x 6; si : x 3 Hallar: R = 4 b) –8 c) 4 d) 2 e) a 3 b3 c) 4 d) 16 e) 10 =a-2 x = 4x – 3 x = 8x + 9 Calcular: Calcular: d) –6 e) 7 c) 120 d) 780 Se define “n” número positivo: n = n(n 1) 2 Calcular el valor de “x” en: d) 92 e) 96 e) 760 c) 5 d) 25 e) 10 b) 8x + c) 4x – 5 d) 4x + 5 e) x + 1 3 13. Sabiendo que: a b = a² + 2a, Además: (m n) = (m n) + 1 Calcular: m = 7 (5 (4 3)) a) 70 14. Si: = 21 c) 26 x a) 8x - 3 30 operadores Es decir que: b) 90 b) 20 12. Si: y: Se define en N: a+2 5. a) 89 a) 4 3 b) 900 c) –7 11. Si: m n = (m +n) (m n) ; además: (m + n) n = 2m . n; Hallar: 3 2 Calcular: A = 1 (102 38) a) 930 b) –4 Calcular: S = F(8) – F(4) 42 Además: m n =nm 4. Si: a b = a+b+2; Si: a-1 : elemento inverso de “a”. Hallar: E = (32-1)3-1 10. Si: F(n + 2) = nF(n); n Z ; además: F(2) = 2 a2 ab b2 b) 5 b) 3 a) 47/6 Si se cumple: a b = a) 2 Si: b) 64 x c) 25 =x+4 -1 x d) 36 ; e) 1 x+3 = x Además: =x+8 Calcular: E= a) -3 - x b) -4 c) 0 (11 # 21 ) 1 Efectuar: 4 #3 a) 2 b) 4 c) 9 x d) 4 e) 2 d) 16 e) 25 20. Calcula “x” en: (m-1*p-1)*(m-1*x) = m -1 dada la siguiente tabla: * m n p 15. Se define el operador: m m n p n n p m p p m n = ad + cb , si: a; b; c y d Z Calcular el valor de “x”: a) m b) n c) p 16. Si: b) 5 c) 7 d) 9 d) 0 e) 4 Hallar el valor de: (12 2)(276). a) 1 a) 3 e) n2 a b 21. Se define: 3a 2b = = 21 d) m2 e) 11 b) 2 c) 3 OCTAVA SEMANA 1 1 1 1 25 + + = 4 Además: PROBLEMAS Hallar: a) 12 b) 15 1. ¿Qué número continúa en la siguiente sucesión? c) 18 d) 10 2 , 2 , 2 , 4 , 24, ... e) 21 Dar como respuesta la suma de cifras del resultado. 17. Si: a) 36 b) 28 c) 18 d) 24 e) 30 2. Calcule la suma del vigésimo término y el número de términos. - 8 ; - 5 ; - 2 ; … ; 79. Hallar el valor de a) 81 a) 7 b) 9 c) 5 d) 8 e) 6 18. De acuerdo a la siguiente tabla: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 b) 2 c) 3 19. Dada la siguiente tabla: # 1 2 d) 4 3 4 1 3 4 1 2 2 4 1 2 3 3 1 2 3 4 4 2 3 4 1 c) 90 d) 80 e) 78 3. En la siguiente sucesión: 62; 57; 52; .... Determinar el séptimo término negativo. a) - 3 b) - 30 c) - 28 d) - 33 e) -8 4. Cuántos términos de la sucesión 6 ; 8 ; 10 ; … ; 504 serán cuadrados perfectos? Hallar: [3(23) 2 (33) ] [4(31)] a) 1 b) 79 e) 5 a) 5 5. Si: b) 7 c) 12 d) 10 e) 8 S1: 2;11; 20; 29... S2: 9;16; 23; ...;702 ¿Cuántos términos sucesiones? a) 20 b) 18 son comunes a ambas c) 11 d) 10 e) 5 6. Si a, a2 ,3 a,... son términos de una sucesión aritmética. Indicar el valor de a. a) 1 b) 4 c) 6 d) 8 e) 2 7. Que lugares ocupan los 2 términos consecutivos de la siguiente sucesión cuya diferencia de cuadrados es 640. 6 ; 10 ; 14 ; 18; … a) 20 ; b) 25 ; c) 21 ; d) 30 ; e) 31 ; 21 26 22 31 32 8. José desea comprar galletas de la siguiente manera: cada día 5 galletas más que el día anterior. ¿En qué día se cumplirá que lo comprado ese día será 3/2 de lo comprado 4 días antes y además sea 3 veces lo comprado el primer día? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 9. Calcule el término de lugar 300 sucesión: a) 5120 a) 17/40 c) 81 d) 92 e) 78 11. En la siguiente sucesión: 17; 32 ; 47; 62; ………..; ¿Cuál es el término más cercano a 600? a) 597 b) 599 c) 602 d) 607 S = 112 + 223 + 334 + ……(30 sumandos) a) 14880 b) 14960 c) 15000 d) 15100 e) 103850 a) 1492 a) 2/5 3 1 1 2 ......... 4 2 3 9 b) 1/6 c) 2/3 d) 9/4 b) 3390 c) 3395 d) 3380 e) 3490 b) 1575 c) 1750 d) 1842 e) 1594 19. En un trabajo de reforestación, laboran 5 personas. Cada día plantan 3 árboles más que el día anterior. El último día plantaron tantos árboles como el quíntuplo del número de días que estuvieron trabajando. ¿Cuántos árboles plantaron el segundo día, sabiendo que los plantados el primer día y el último día totalizan 143? a) 46 b) 49 c) 43 d) 40 e) 20 20. Sobre el piso se ha dibujado un polígono regular de 24 metros de lado, un atleta separa sobre uno de los vértices y recorre todo el polígono; y luego repite el proceso sucesivamente recorriendo en cada día un lado menos. Si ha recorrido en total 864 m ¿Cuántos lados tienen el polígono? a) 5 13. Dada la serie geométrica decreciente, indicar el valor de la suma límite: S 10 S = 2 + 3 + 5 + 7 + 8 + 11 + ……. + 62 e) 587 12. Calcule el valor de la siguiente serie: 8 18. Halle la suma de la serie: A. b) 80 6 12 16 18 20 ……………………........... Halle la suma de la fila 15. 10. La suma de “n” términos de una progresión aritmética es: Sn 2n2 4 . Halle el término 20 de dicha P. a) 76 c) 53/35 d) 47/74 e) 11/17 14 en la siguiente e) 9 e) 5140 2 e) 13 d) 22 b) 14/43 4 a) 3380 c) 29 d) 5132 17. Dado el siguiente arreglo numérico: Dar como respuesta la suma de cifras del resultado. b) 12 c) 5130 16. Calcule el valor de ‘S’ 1 1 1 1 S ...... 4 28 70 1720 1; 12; 29; 52; 81;… a) 18 b) 5122 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 NOVENA SEMANA 1. e) 4/9 ¿Cuál de las siguientes figuras se podrá realizar de un solo trazo, sin volver dos veces por un mismo tramo y sin levantar el lápiz? 14. Calcule el valor de la siguiente serie: S 5 6 7 9 9 12 11 15....... 100 sumandos (I) a) 6675 b) 6895 c) 6645 d) 6915 e) 6924 15. Halle el valor de la serie: S 1x3 2x5 3x7 ....... 19x39 (II) a) Solo I d) I y II 2. (III) b) Solo II e) I, II y III c) Solo III Una persona debe recorrer todas y cada una de las avenidas interiores de una sola intención sin recorrer A B C dos veces una misma avenida. ¿Por cuál de las tres puertas (A, B y C) debe salir?. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 9. a) B y C 3. b) A y B c) C d) B ¿Cuántos cubitos faltan para formar un cubo compacto? e) A ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura? a) 41 a) 12 4. b) 14 c) 16 d) 13 e) 15 b) 38 e) 35 ¿Cuántos triángulos hay en la figura? a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 b) 16 c) 18 d) 25 e) 22 11. Siendo: A) ¿Cuántos triángulos equiláteros hay en la figura? B) ¿Cuántos rombos tiene la figura? Dar como respuesta A – B Calcule el máximo número de segmentos en cada caso: a) 10 a) 456 ; 78 d) 412 ; 77 6. d) 37 10. ¿Cuántos hexágonos hay en la siguiente figura? a) 20 5. c) 36 b) 465 ; 87 e) 455 ; 87 c) 432 ; 67 ¿Cuántos cuadrados se cuentan como máximo en cada caso? b) 20 c) 5 d) 15 e) 3 12. ¿Cuántos ángulos menores de 90° pueden contarse en cada caso?. (Dar la suma de los resultados) I) II) 1 2 19 20 a) 265 b) 264 c) 267 13. Dada la siguiente figura: a) 24 ; 50 d) 51 ; 25 7. b) 25 ; 78 e) 25 ; 78 c) 25 ; 51 Sabiendo que cada casillero representa un cuadradito. Hallar la diferencia entre el número de cuadriláteros y el número de cuadrados en total a) 100 b) 211 c) 311 d) 401 e) 440 Hallar la diferencia entre el número de pentágonos y el número de cuadriláteros. e) 268 I. ¿Cuántos cuadriláteros tienen al menos un () en su interior? II. ¿Cuántas diagonales pueden trazarse como máximo? a) 42 – 120 d) 40 – 120 b) 45 – 120 e) 40 – 160 14. ¿Cuántos cuadrados hay?. 8. d) 266 c) 46 – 120 a) 30 b) 28 c) 42 d) 36 e) 25 DÉCIMA SEMANA 15. Hallar el número de paralelepípedos 1. Hallar el perímetro de la siguiente figura: a) 205 b) 208 c) 201 d) 204 e) 200 16. Hallar la máxima cantidad de triángulos que se pueden contar: a) 10 b) 82 c) 110 17. Sea: Columna A d) 102 a) 58 2. Número diagonales c) 64 d) 88 e) 100 Hallar el perímetro de la región sombreada. Si (R = 5 2) e) 56 Columna B Número total de triángulos total a) 20(+ 2 ) de d) 20+10 2 3. a) A > B d) Faltan datos b) 78 b) A = B c) A < B e) No usar esta opción 18. Halle el número total de triángulos: AD = 4; DM = MC; "O" y "D" son centros, calcular el área de la región sombreada, en u2. a) 305 4. a) 2455 b) 10 2 c) 20+10 2 +10 e) 10 2 +25 b) 324 c) 326 d) 306 e) 364 Hallar el área de la región sombreada, si: AO = OC = 4, en u2. b) 2290 c) 3450 d) 1375 e) 3665 a) 6- 19. En la figura. ¿Cuántos triángulos se cuentan en total? a) 11240 b) 800 c) 899 d) 210 5. b) 8-2 c) 4- d) 122 e) 6/2 Calcular el área de “A”, si: QR // PS e) 420 20. ¿Cuántos paralelogramos hay en total en la siguiente figura? a) 20 cm2 6. a) 599 b) 440 c) 720 d) 427 e) 999 b) 16 c) 24 d) 25 Si el área de la región sombreada es 8 u2. Calcular el área del cuadrado ABCD. e) 30 a) a) u2 7. 32 b) 48 c) 64 d) 36 a) 30 m2 b) 25 m2 c) 32 m2 d) 26 m2 e) 28 m2 e) 54 El área del romboide ABCD es 50 cm2. Calcular el área de la región sombreada, si: 3PQ = 2QD. 12. Si el lado del cuadrado ABCD mide 8 cm., entonces el área de la región sombreada en cm2 es: a) 18 b) 16 c) 15 d) 12 e) 11 a) 8cm2 8. b) 15 c) 10 d) 12 e) 18 13. Hallar el área del trapecio a) Calcular el área de la región sombreada, si "P" es punto de tangencia y "R" mide 2 cm. 25 6 m2 b) 25 5 m2 c) a) 3 - /3 cm2 d) 2 3 - 4/3 9. b) 3 3 - 2/3 30 5 c) 2 3 - 2/3 m2 d) e) 2 3 - 2/3 30 3 m2 e) Si el área del cuadrado OPQN es 32 u2, hallar el área del cuadrante AOB. 35 5 m2 14. ¿Qué parte de la región no sombreada es la sombreada? (M,N,P y Q son puntos medios). a) 8 u2 b) 12 c) 16 d) 24 N B e) 10 l 10. Calcular el área de la siguiente región sombreada. ABCD es un cuadrado. M, N, P y Q son puntos medios. AD = 8 cm. C a) 1/3 b) 2/3 c) 3/5 d) 5/3 e) 3/2 P M A Q D l 15. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado «L», E, Q AQ DC y P son puntos medios de , y BC respectivamente. ¿Cuál es el área de la región triangular APE? A a) 8(-2) cm2 d) 12(+2) cm2 b) 12(-2) cm2 e) 16( -2) B c) 4(+2) cm2 Sx cm2 E P 11. Si SABQ=12 m2; AC=4AQ; BC=6RC; BQ=3BP. Halle el área de la región sombreada. D a) 3L2/10 C b) 4L2/9 Q c) 3L2/16 d) L2/4 e) L2/5 16. En la figura calcular la región sombreada, si el área del paralelogramo ABCD es 120 m2. UNDÉCIMA MANA 1. Simplificar: (2n 3)! n ! (n 1)! n ! (2n 1)! (2n 2)! (n 2)! (n 1)! a) n – 1 2. a) 10 m2 b) 8 m2 c) 20 m2 d) 15 m2 e) 25 m2 H A 8m 4m 16 a) 7 13 b) 6m 15 c) 2 13 d) 2 11 e) 2 18. Halle el perímetro de la región sombreada, si ABC y EBD son cuadrantes y los tres círculos son iguales. a) (12+5 ) cm b) (5+12 ) cm c) (8+15 ) cm d) (12+7 ) cm e) (12+15 ) cm 1. E B D b) 10 c) 17 b) 26 d) 8 c) -24 e) 24 d) -26 e) 36 ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir desde A hacia B, siempre avanzando y sin pasar dos veces por el mismo camino? A C B a) 24 2. B b) 32 c) 48 R A R A Z O M N D L b) 3L2/10 L d) 2L2/5 A D N A R a) 24 C R Z A B e) 36 A O N R A d) 64 De cuantas maneras diferentes se puede leer la palabra RAZONAR: R 3. e) L2/6 C510 2C610 C710 C49 2C59 C69 C711 C 20. Calcule el área de la región triangular sombreada. c) L2/5 e) 100! 84! 6m 19. En la figura, calcule el área de la región sombrada sí: AM = 4,5 m; MC=8 m y ABCD es un rectángulo. a) 5L2 /12 d) 102! 45! 4 ! 5! 6! M 175 5! 6! 7! 4m a) (125 - ) m2 b) (75 25 )m 2 2 c) (50-2 ) m2 d) (25-3 ) m2 e) 45 5 m 2 2 c) 102! 85! Simplificar a) 24 A b) 120 83 a) 1 2. e) n Simplificar: H 3m d) n + 1 46 x 47 x 48 ... x 1000 103 x 104 x 105... x 1000 a) 102 85 3. c) n + 2 Simplificar: 17. En la figura calcular el número de vueltas que dará la rueda de 1m de radio para pasar del punto A al punto B. B b) 2n b) 32 c) 48 d) 64 Eduardo tiene 6 pantalones, 4 camisas y 5 pares de zapatos. Determine el valor de verdad de las proposiciones. Si tres de sus pantalones fueran iguales, podría combinar sus prendas de vestir de 80 maneras diferentes. Si la camisa blanca, siempre la usa con el pantalón azul, puede combinar sus prendas de vestir de 95 formas diferentes. e) 36 Si su zapato marrón y su pantalón verde siempre las usa juntos, podrá combinar sus prendas de vestir de 80 maneras diferentes. a) VVF b) VFV c) FVF d) FVV Tengo once bolas de distinto color y dos urnas iguales, ¿de cuántas maneras diferentes puedo colocar cuatro bolas en una urna y siete en la otra? 5. ¿Cuántas señales diferentes se pueden hacer izando hasta 4 banderas de distintos colores una sobre la otra? a) 48 6. c) 72 b) 24 d) 81 c) 32 2 2 2 b) 18 3 e) 64 d) 64 3 c) 56 3 d) 20 b) 36 c) 38 d) 39 a) 204 b) 999 c) 200 d) 81 b) 280 c) 504 d) 400 M I G 5. 6. a) 120 b) 30 M c) 60 d) 20 PROBABILIDADES PROBLEMAS e) 5 c) 13/49 María, Roxana y otras siete personas se sientan alrededor de una mesa circular. ¿Cuál es la probabilidad de que María y Roxana queden contiguas. b) 2/5 e) 3/5 c) 3/7 Una familia conformada por: papá, mamá y sus tres hijos, salen al campo una vez que llegaron prenden una fogata y se sientan alrededor de ella. ¿Cuál es la probabilidad de que los padres estén siempre juntos?. b) 1/3 e) ¼ c) 2/3 En una caja has 15 fichas, de las cuales 10 están pintadas. Una persona extrae al azar 3 fichas. Halle la probabilidad de que las fichas escogidas resulten pintadas. b) 12/71 e) 13/90 c) 24/91 7. Nueve personas se sientan alrededor de una mesa circular. ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellas nunca se sienten juntas?. a) 1/3 b) 1/4 c) 3/4 d) 2/3 e) 1/7 8. La probabilidad de que Nancy ingrese a la UNH es 0.7, que ingrese a la UNCP es 0.4, si la probabilidad de que no ingrese a ninguna es 0.12 Hallar la probabilidad de que ingrese a ambas a la vez. e) 904 I b) 2/49 e) 19/50 a) 15/37 d) 8/13 a) 0.42 d) 0.48 9. A c) 0,25 De un grupo de 20 mujeres y 30 varones, se escogen 2 personas por sorteo para formar una comisión. ¿Cuál es la probabilidad de que la comisión este formada por un varón y una mujer?. a) ½ d) ¾ e) 49 O b) 0,2 e) 0,45 a) ¼ d) ¾ e) 42 11. En el tablero, ubique letras en cada región que falta, con la condición que en cualquier fila, columna y diagonal siempre estén las letras A, M, I, G y O. Al llenar el tablero, ¿cuántas ordenaciones diferentes se pueden lograr con las letras ubicadas en las regiones sombreadas? A 4. c) 4/25 Un dispositivo contiene 5 elementos de los cuales 2 están desgastados. Al poner en funcionamiento el dispositivo se conectan de manera aleatoria 2 elementos. Halle la probabilidad d que resulten conectados no desgastados. a) 24/49 d) 21/25 e) 280 10. En una empresa se quiere contratar a 3 personas para cubrir las vacantes A, B y C y se observó que 8 personas se presentan para cualquiera de las 3 vacantes, 5 personas sólo se presentan para la vacante A y 3 personas sólo se presentan para la vacante B. ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir las vacantes? a) 120 3. 3 ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes crecientes (135; 246; 123) o decrecientes (987; 741) se pueden formar? b) 3/50 e) 2/5 a) 0,3 d) 0,18 e) 56 ¿Cuántas comisiones integradas por un chico y una chica pueden formarse de 5 chicos y 8 chicas, si cierto chico rehúsa trabajar con 2 chicas? a) 40 2. e) 272 ¿Cuántos números diferentes formados por 3 fichas de las que se muestran, se puede formar? a) 36 9. d) 528 ¿De cuántas maneras diferentes puede ser contestada una encuesta de 5 preguntas, si cada una se contesta con un sí o con un no? 1 8. c) 432 b) 56 a) 120 7. b) 256 En una sección de 50 alumnos se desea formar una comisión de 3 integrantes. ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno Juan López integre la comisión?. a) 1/25 d) 1/10 e) VFF 4. a) 330 1. b) 0.22 e) 0.58 c) 0.24 Si tenemos 12 libros en un estante. ¿Cuál es la probabilidad que siempre se incluya un libro determinado en una colección de 5 libros? a) 0,2325 d) 0,4167 b) 0,543 e) 0,4327 c) 0,4672 10. Se escogen al azar 4 sillas entre 10 de las cuales 6 son defectuosas. Hallar la probabilidad de que 2 exactamente sean defectuosas. a) 2/5 d) 6/11 b) 3/5 e) 3/7 c) 5/7 11. Se efectúan tres lanzamientos consecutivos de una misma moneda. Determinar la probabilidad de obtener sello, cara y sello, en ese orden. a) 1/2 d) 3/4 b) 1/3 e) 2/5 c) 1/8 12. Se lanza un dado dos veces consecutivas. Calcular la probabilidad de obtener por lo menos un tres en uno de los lanzamientos. a) 11/36 d) 5/36 b) 5/6 e) 1/4 c) 19/27 13. Un club desea formar una bandera representativa, de tres franjas verticales, una a continuación de otra, si se proponen siete colores diferentes. ¿Cuántas banderas tricolores diferentes se podrán formar? a) 35 d) 21 b) 210 e) 42 c) 5040 14. De un total de 52 cartas, se extrae 2 cartas a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que dichas cartas sean de espadas? a) 1/18 d) 1/19 b) 1/15 c) 1/12 e) 1/17 15. En la final de un concurso de matemática participan 6 alumnos de las cuales 3 son alumnos del colegio A, si se premia a los 2 primeros puestos con regalos diferentes. ¿Cuál es la probabilidad de que los alumnos del colegio A obtengan los premios? (No hay empates) a) 0,12 b) 0,15 c) 0,20 d) 0,25 e) 0,40