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56
CAPÍTULO 2
VECTORES FUERZA
z
2.7
B
2m
O
2
Vectores de posición
En esta sección presentaremos el concepto de vector de posición. Se
mostrará que este vector es importante al formular un vector de fuerza
cartesiano dirigido entre dos puntos cualesquiera en el espacio.
y
4m
Coordenadas x, y, z. A lo largo de este libro usaremos un siste-
2m
ma coordenado derecho para hacer referencia a la localización de puntos en el espacio. También usaremos la convención seguida en muchos
libros técnicos, la cual exige que el eje z positivo esté dirigido hacia
arriba (dirección cenital) de forma que mida la altura de un objeto
o la altitud de un punto. Por tanto, los ejes x, y se encuentran en el
plano horizontal, figura 2-34. Los puntos en el espacio se localizan con
relación al origen de coordenadas, O, por mediciones sucesivas a lo
largo de los ejes x, y, z. Por ejemplo, las coordenadas del punto A se
obtienen comenzando en O y midiendo xA 4 m a lo largo del eje x,
luego yA 2 m a lo largo del eje y, y finalmente zA 6 m a lo largo
del eje z. Así, A(4 m, 2 m, 6 m). De la misma manera, mediciones a
lo largo de los ejes x, y, z desde O hasta B generan las coordenadas de
B, es decir, B(6 m, 1 m, 4 m).
6m
1m
x
A
Fig. 2-34
Vector de posición. Un vector de posición r se define como un
vector fijo que ubica un punto en el espacio en relación con otro punto.
Por ejemplo, si r se extiende desde el origen de coordenadas, O, hasta
el punto P(x, y, z), figura 2-35a, entonces r se puede expresar en forma
de vector cartesiano como
r xi yj zk
Observe cómo la suma vectorial de cabeza a cola de las tres componentes genera el vector r, figura 2-35b. A partir del origen O, se “recorre”
x en la dirección i, luego y en la dirección j y finalmente z en la
dirección k para llegar al punto P(x, y, z).
z
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4m
z
zk
P(x, y, z)
r
r
yj
O
y
xi
xi
x
x
(a)
P(x, y, z)
zk
O
y
yj
(b)
Fig. 2-35
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57
2.7 VECTORES DE POSICIÓN
En el caso más general, el vector de posición puede estar dirigido
desde el punto A hasta el punto B en el espacio, figura 2-36a. Este vector también está designado por el símbolo r. A manera de convención,
algunas veces nos referiremos a este vector con dos subíndices para
indicar desde dónde y hasta qué punto está dirigido. Así, r también
puede designarse como rAB. Además observe que rA y rB, en la figura
2-36a están referenciados con sólo un subíndice puesto que se extienden desde el origen de coordenadas.
A partir de la figura 2-36a, por la suma vectorial de cabeza a cola y
con la regla del triángulo, se requiere que
2
B(xB, yB, zB)
r
rB
A(xA, yA, zA)
rA
Al despejar r y expresar rA y rB en forma vectorial cartesiana se
obtiene
r r"
r! (X"i
Y" j
Z"k)
(X!i
Y! j
y
x
(a)
Z!k)
o bien
r (X"
X!)i
(Y"
Y!)j
(Z"
Z!)k
(2-11)
Así, las componentes i, j, k del vector de posición r pueden formarse al
tomar las coordenadas de la cola del vector A(xA, yA, zA) para después
restarlas de las coordenadas correspondientes de la cabeza. B(xB, yB, zB).
También podemos formar estas componentes directamente, figura 2-36b,
al comenzar en A y recorrer una distancia de (xB xA) a lo largo del
eje x positivo (i), después (yB yA) a lo largo del eje y positivo (j) y
finalmente (zB zA) a lo largo del eje z positivo (k) para obtener B.
z
B
r
(xB xA)i
u
r
(zB zA)k
A
(yB yA)j
A
x
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rA r rB
z
y
(b)
Fig. 2-36
B
Si se establece un sistema de coordenadas x, y, z, entonces
se pueden determinar las coordenadas de los puntos A y B.
A partir de esta posición se puede formular el vector r que
actúa a lo largo del cable. Su magnitud representa la longitud
del cable, y su vector unitario, u r>r, proporciona la dirección
definida por , , .
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58
CAPÍTULO 2
VECTORES FUERZA
EJEMPLO 2.12
Una banda elástica de caucho está unida a los puntos A y B como
se muestra en la figura 2-37a. Determine su longitud y su dirección
medida de A hacia B.
2
z
B
2m
SOLUCIÓN
3m
2m
3m
r [ 2m
A1m
(a)
z
3i
B
{6 k}
y
r
x
1 m]i
2j
[2 m
0] j
[3 m
( 3 m)]k
6k m
Estas componentes de r también se pueden determinar directamente si se observa que representan la dirección y la distancia que
debe recorrerse a lo largo de cada eje a fin de llegar desde A hasta
B, es decir, a lo largo del eje x {3i} m, a lo largo del eje y {2j} m y
finalmente a lo largo del eje z {6k} m.
Por lo tanto, la longitud de la banda de caucho es
{2 j} m
{3 i} m
R ( 3 m)2
A
(2 m)2
(6 m)2 7 m
Resp.
(b)
Al formular un vector unitario en la dirección de r, obtenemos
B
u z¿
r
R
3
i
7
2
j
7
6
k
7
r7m
g 31.0
Las componentes de este vector unitario dan los ángulos directores
coordenados
b 73.4
a 115
y¿
A
x¿
3
3 115°
7
Resp.
2
cos 1 2 3 73.4°
7
Resp.
6
cos 1 2 3 31.0°
7
Resp.
cos 1 2
(c)
Fig. 2-37
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x
y
Primero establecemos un vector de posición desde A hasta B, figura
2-37b. De acuerdo con la ecuación 2-11, las coordenadas de la cola
A(1 m, 0, 3 m) se restan de las coordenadas de la cabeza B(2 m,
2 m, 3 m), de donde se obtiene
estos ángulos se miden desde los ejes positivos de un sistema de coordenadas localizado en la cola de r, como se muestra en
la figura 2-37c.
NOTA:
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59
2.8 VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LÍNEA
z
2.8 Vector fuerza dirigido a lo largo
de una línea
F
r
Con mucha frecuencia, en problemas tridimensionales de estática, la
dirección de una fuerza se especifica por dos puntos a través de los
cuales pasa su línea de acción. Tal situación se muestra en la figura
2-38, donde la fuerza F está dirigida a lo largo de la cuerda AB. Podemos
formular F como un vector cartesiano al observar que esta fuerza
tiene la misma dirección y sentido que el vector de posición r dirigido
desde el punto A hasta el punto B sobre la cuerda. Esta dirección común
se especifica mediante el vector unitario u r>r. Por lo tanto,
Aunque hemos representado F simbólicamente en la figura 2-38,
observe que tiene unidades de fuerza, a diferencia de r, que tiene unidades de longitud.
u
r
F
La fuerza F que actúa a lo largo de la cadena puede ser representada como un
vector cartesiano si se establecen primero los ejes x, y, z y se forma un vector de
posición r a lo largo de la longitud de la cadena. Después se puede determinar
el vector unitario correspondiente u r>r que define la dirección tanto de la
cadena como de la fuerza. Finalmente, la magnitud de la fuerza se combina con
su dirección. F Fu.
2
u
A
y
x
Fig. 2-38
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(X" X!)i (Y" Y!)j (Z" Z!)k
r
F &u & 2 3 & 2
3
R
(X" X!)2 (Y" Y!)2 (Z" Z!)2
B
Puntos importantes
• Un vector de posición localiza un punto en el espacio con respecto a otro punto.
• La manera más fácil de formular las componentes de un vector
de posición consiste en determinar la distancia y la dirección
que debe recorrerse a lo largo de las direcciones x, y, z, desde
la cola hasta la cabeza del vector.
• Una fuerza F que actúa en la dirección de un vector de posición
r puede ser representada en forma cartesiana si se determina el
vector unitario u del vector de posición y éste se multiplica por
la magnitud de la fuerza, es decir, F Fu F(r>r).
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60
CAPÍTULO 2
VECTORES FUERZA
EJEMPLO 2.13
z
2
El hombre que se muestra en la figura 2-39a jala la cuerda con una
fuerza de 70 lb. Representa esta fuerza al actuar sobre el soporte A
como un vector cartesiano y determine su dirección.
A
SOLUCIÓN
30 pies
8 pies
6 pies
B
y
r {12i 8j 24k} pies
12 pies
La magnitud de r, que representa la longitud de la cuerda AB, es
x
R (12 pies) 2
(a)
A
y¿
u b
F 70 lb
a
x¿
( 24 pies) 2 28 pies
Para formar el vector unitario que define la dirección y el sentido
de r y F tenemos
z¿
g
( 8 pies) 2
r
12
i
R
28
8
j
28
24
k
28
Como F tiene una magnitud de 70 lb y una dirección especificada
por u, entonces
u
r
F &u 70 lb2
12
i
28
8
j
28
24
k3
28
B
30i
(b)
Fig. 2-39
20j
60k lb
Resp.
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En la figura 2-39b se muestra la fuerza F. La dirección de este vector, u, está determinada a partir del vector de posición r, el cual
se extiende desde A hasta B. En vez de usar estas coordenadas de
los extremos de la cuerda, r también puede obtenerse directamente
al observar en la figura 2-39a que se debe recorrer desde A{24k}
pies, luego {8j} pies y finalmente {12i} pies para llegar a B. Así,
Los ángulos directores coordenados están medidos entre r (o F) y
los ejes positivos de un sistema coordenado con origen en A, figura
2-39b. A partir de las componentes del vector unitario:
cos 1 2
12
3 64.6°
28
Resp.
cos 1 2
8
3 107°
28
Resp.
24
3 149°
28
Resp.
cos 1 2
estos resultados tienen sentido si se les compara con los
ángulos identificados en la figura 2-39b.
NOTA:
C02 EST_H BBELER.indd
0
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61
2.8 VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LÍNEA
EJEMPLO 2.14
La fuerza que se muestra en la figura 2-40a actúa sobre el gancho.
Exprésela como un vector cartesiano.
z
z
FB 750 N
2m
B
5
( 3 )(5 m)
5
5m
2m
uB
B(–2 m, 3.464 m, 3 m)
rB
3
4
A
2
30°
A(2 m, 0 , 2 m)
FB
( 4 )(5 m)
y
y
x
(b)
(a)
Fig. 2-40
SOLUCIÓN
Como se muestra en la figura 2-40b, las coordenadas para los puntos A y B son
A(2 m, 0, 2 m)
y
4
4
3
"4 2 3 5 sen 30° m, 2 3 5 cos 30° m, 2 3 5 m 5
5
5
5
o bien
B(2 m, 3.464 m, 3 m)
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5
x
Por lo tanto, para ir desde A hasta B, deben recorrerse {4i} m, después {3.464j} m y finalmente {1k} m. Así,
u" 2
4i
r"
3 R"
( 4 m)2
0.7428i
3.464j
1k m
(3.464 m)2
0.6433j
(1 m)2
0.1857k
La fuerza FB expresada como un vector cartesiano se convierte en
F" FB u" (750 N)( 0.74281i
557i
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1
482j
0.6433j
139k N
0.1857k)
Resp.
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62
CAPÍTULO 2
VECTORES FUERZA
EJEMPLO 2.15
El techo está sostenido por cables como se muestra en la fotografía.
Si los cables ejercen fuerzas FAB 100 N y FAC 120 N sobre el
gancho de pared en A como se muestra en la figura 2-41a, determine la fuerza resultante que actúa en A. Exprese el resultado como
un vector cartesiano.
2
En la figura 2-41b se muestra gráficamente la fuerza resultante FR.
Podemos expresar esta fuerza como un vector cartesiano si formulamos FAB y FAC como vectores cartesianos y sumamos luego sus
componentes. Las direcciones de FAB y FAC se especifican al formar
vectores unitarios uAB y uAC a lo largo de los cables. Esos vectores
unitarios se obtienen a partir de los vectores de posición asociados
rAB y rAC. Con referencia a la figura 2-41a, para ir desde A hasta B
debemos recorrer {4k} m, y después {4i} m. Por consiguiente,
z
A
FAB 100 N
r!" 4i
FAC 120 N
4m
4k m
R!" (4 m)2
y
r!"
4
3 (100 N) 2
i
R!"
5.66
F!" F!" 2
4m
B
F!" 70.7i
C
( 4 m)2 5.66 m
4
k3
5.66
70.7k N
2m
x
Para ir desde A hasta C, debemos recorrer {4k} m, luego {2j} m y
finalmente {4j}. Por lo tanto,
(a)
z
r!# 4i
A
FAB
FAC
2j
4k m
R!# (4 m)2
(2 m)2
F!# F!# 2
rAC
rAB
80i
( 4 m)2 6 m
r!#
4
3 (120 N) 2 i
R!#
6
40j
2
j
6
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SOLUCIÓN
4
k3
6
80k N
y
FR
Por lo tanto, la fuerza resultante es
B
C
F2 F!"
F!# 70.7i
70.7k N
80i
40j
80k N
x
(b)
151i
40j
151k N
Resp.
Fig. 2-41
C02 EST_H BBELER.indd
2
11/19/09 2:4 :52 AM
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63
2.8 VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LÍNEA
PROBLEMAS FUNDAMENTALES
F2-19. Exprese el vector de posición rAB en forma de
vector cartesiano, después determine su magnitud y sus
ángulos directores coordenados.
F2-22.
Exprese la fuerza como un vector cartesiano.
2
z
z
B
A
F 900 N
3m
rAB
2m
4m
3m
2m
y
7m
4m
x
A
2m
F2-22
x
F2-19
F2-20. Determine la longitud de la varilla y el vector de
posición dirigido desde A hasta B. ¿Cuál es el ángulo u?
F2-23. Determine la magnitud de la fuerza resultante
en A.
z
z
A
FB 840 N
2 pies
6m
B
FC 420 N
3m
4 pies
u
B
2m
O
3m
x
4 pies
y
2m
C
A
x
y
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3m
B
y
F2-23
F2-20
F2-21.
Exprese la fuerza como un vector cartesiano.
F2-24. Determine la fuerza resultante en A.
z
z
2m
2 pies
A
A
2m
FC 490 lb
C
FB 600 lb
4 pies
6 pies
x
4m
3m
F 630 N
4m
y
3 pies
B
x
4 pies 2 pies
B
y
F2-21
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4 pies
F2-24
11/19/09 2:4 :54 AM
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64
CAPÍTULO 2
VECTORES FUERZA
PROBLEMAS
2
2-86. Determine el vector de posición r dirigido desde el
punto A hasta el punto B y la longitud de la cuerda AB.
Considere z 4 m.
•2-89. Determine la magnitud y los ángulos directores
coordenados de la fuerza resultante que actúa en A.
2-87. Si la cuerda AB tiene 7.5 m de longitud, determine
la posición coordenada z del punto B.
z
4 pies
A
6m
3m
B
3 pies
B
z
FB 600 lb
FC 750 lb
2.5 pies
A
y
3 pies
4 pies
2m
C
x
x
2 pies
y
Prob. 2-89
Probs. 2-86/87
*2-88. Determine la distancia entre los puntos extremos
A y B sobre el alambre, pero antes formule un vector de
posición desde A hasta B para luego determinar su magnitud.
2-90. Determine la magnitud y los ángulos directores
coordenados de la fuerza resultante.
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z
z
z
2m
A
3 pulg
1 pulg
A
30
y
600 N
500 N
4m
60
8 pulg
B
y
4m
2 pulg
x
B
Prob. 2-88
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4
C
8m
x
Prob. 2-90
11/19/09 2:4 :55 AM
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65
2.8 VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LÍNEA
2-91. Determine la magnitud y los ángulos directores
coordenados de la fuerza resultante que actúa en A.
•2-93. El candelabro está sostenido por tres cadenas que
son concurrentes en el punto O. Si la fuerza en cada cadena tiene una magnitud de 60 lb, exprese cada fuerza como
un vector cartesiano y determine la magnitud y los ángulos
directores coordenados de la fuerza resultante.
2-94. El candelabro está sostenido por tres cadenas que
son concurrentes en el punto O. Si la fuerza resultante en
O tiene una magnitud de 130 lb y está dirigida a lo largo
del eje negativo z, determine la fuerza en cada cadena.
z
FB 900 N A
2
z
FC 600 N
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C
O
6m
FB
3m
45
4.5 m
B
FC
FA
6 pies
y
6m
B
120
x
A
120 4 pies
C
y
120
Prob. 2-91
x
Probs. 2-93/94
*2-92. Determine la magnitud y los ángulos directores
coordenados de la fuerza resultante.
2-95. Exprese la fuerza F como un vector cartesiano; después determine sus ángulos directores coordenados.
z
z
F 135 lb
A
10 pies
C
F2 81 lb
70
F1 100 lb
3 pies
4 pies
5 pies
B
7 pies
y
x
x
Prob. 2-92
5
A
40
7 pies
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y
4 pies
B
30
Prob. 2-95
11/19/09 2:4 :5 AM
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66
CAPÍTULO 2
VECTORES FUERZA
*2-96. La torre se mantiene en su posición mediante tres
cables. Si la fuerza de cada cable que actúa sobre la torre
es como se muestra en la figura, determine la magnitud
y los ángulos directores coordenados , , de la fuerza
resultante. Considere x 20 m, y 15 m.
2-98. Los cables de retén se utilizan para dar soporte al
poste telefónico. Represente la fuerza en cada cable en
forma de vector cartesiano. Pase por alto el diámetro del
poste.
2
z
z
D
600 N
800 N
B
1.5 m
A
FB 175 N
24 m
FA 250 N
4m
2m
4m
D
C
16 m
O
C
B
6m
18 m
x
y
3m
4m
y
1m
y
x
Prob. 2-98
A
x
Prob. 2-96
•2-97. La puerta se mantiene abierta por medio de dos
cadenas. Si las tensiones en AB y CD son FA 300 N y
FC 250 N, respectivamente, exprese cada una de estas
fuerzas en forma vectorial cartesiana.
z
C
2-99. Se utilizan dos cables para asegurar la barra saliente en su posición y soportar la carga de 1500 N. Si la fuerza resultante está dirigida a lo largo de la barra desde el
punto A hacia O, determine las magnitudes de la fuerza
resultante y de las fuerzas FB y FC. Considere x 3 m y
z 2 m.
*2-100. Se utilizan dos cables para asegurar la barra
saliente en su posición y para soportar la carga de 1500 N.
Si la fuerza resultante está dirigida a lo largo de la barra
desde el punto A hacia O, determine los valores de x y z
para las coordenadas del punto C y la magnitud de la fuerza resultante. Considere FB 1610 N y FC 2400 N.
1.5 m
2.5 m
z
FC 250 N
2m B
x
A
FA 300 N
3m
C
z
D
30
FB
O
0.5 m
1m
x
B
6 m FC
y
Prob. 2-97
A
y
1500 N
x
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400 N
Probs. 2-99/100
11/22/09 10:01:51 AM
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67
2.8 VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LÍNEA
•2-101. El cable AO ejerce una fuerza sobre la parte
superior del poste de F {120i 90j 80k} lb. Si el
cable tiene una longitud de 34 pies, determine la altura z
del poste y la ubicación (x, y) de su base.
*2-104. La torre de antena se sostiene mediante tres
cables. Si las fuerzas de estos cables que actúan sobre la
antena son FB 520 N, FC 680 N y FD 560 N, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la
fuerza resultante que actúa en A.
2
z
A
z
F
A
FB
FC
24 m
O
8m
y
x
B
D
10 m
y
12 m
O
y
16 m
x
x
18 m
C
Prob. 2-101
Prob. 2-104
2-102. Si la fuerza en cada cadena tiene una magnitud
de 450 lb, determine la magnitud y los ángulos directores
coordenados de la fuerza resultante.
2-103. Si la resultante de las tres fuerzas es FR {900k} lb,
determine la magnitud de la fuerza en cada cadena.
•2-105. Si la fuerza en cada cable atado al cofre es de 70 lb,
determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante.
2-106. Si la resultante de las cuatro fuerzas es FR {360k} lb, determine la tensión desarrollada en cada
cable. Debido a la simetría, la tensión en los cuatro cables
es la misma.
z
z
D
FC
FB
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z
FD
FA
7 pies
E
B
FB
120
120
C
FC
FA
120
D
3 pies A
A
y
x
6 pies
FD
2 pies
x 2 pies
C
B
3 pies
y
3 pies
Probs. 2-102/103
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7
Probs. 2-105/106
11/19/09 2:4 :57 AM
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68
CAPÍTULO 2
VECTORES FUERZA
2-107. El tubo está soportado en su extremo mediante
una cuerda AB. Si la cuerda ejerce una fuerza F 12 lb
sobre el tubo en A, exprese esta fuerza como un vector
cartesiano.
•2-109. La placa cilíndrica está sometida a las fuerzas de tres cables que concurren en el punto D. Exprese
cada fuerza ejercida por los cables sobre la placa como un
vector cartesiano, y determine la magnitud y los ángulos
directores coordenados de la fuerza resultante.
2
z
z
6 pies
FC 5 kN
3m
FB 8 kN
F 12 lb
x
C
5 pies
B
45
y
30
y
3 pies
A
20
A
0.75 m
FA 6 kN
x
Prob. 2-107
Prob. 2-109
*2-108. La carga en A genera una fuerza de 200 N en el
cable AB. Exprese esta fuerza como un vector cartesiano,
que actúa en A y está dirigido hacia B.
2-110. El cable unido al brazo de la grúa ejerce una fuerza de F 350 lb. Exprese esta fuerza como un vector cartesiano.
z
z
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D
B
A
120
y
30
1m
B
120
35 pies
2m
F 350 lb
x
F 200 N
30
50 pies
A
x
y
B
Prob. 2-108
C02 EST_H BBELER.indd
8
Prob. 2-110
11/19/09 2:4 :57 AM
