Flujo Compresible en Ductos de Seccion Variable

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y DE
ENERGÍA
MECÁNICA DE FLUIDOS II
“FLUJO COMPRESIBLE EN DUCTOS DE SECCIÓN VARIABLE”
ING. HUAMAN ALFARO JUAN CARLOS
CALLAO - 2020
CICLO 2020-B
FLUJO COMPRESIBLE
El flujo compresible es aquel en el cual la densidad varía ante cualquier variación
de la presión o temperatura.
Los gases o fluidos compresibles tienen una gran capacidad elástica porque sus espacios
intermoleculares son “grandes” esto le permite modificar su volumen ante
cualquier
cambio de la fuerza que actúa sobre ellos.
Para analizar a los flujos compresibles contamos con el número de Mach (M):
M 
V
C
donde:
V : velocidad relativa del fluido
C: velocidad del sonido
(gases)
C KRT
M<1
M=1
M1
M>1
M>2
Flujo Subsónico
Flujo Sónico
Flujo Transónico
Flujo Supersónico
Flujo Hipersónico
Csólido > Clíquido > Cgas
Recordando:
 u  Cv  T
 h  Cp  T
K
Cp
1
Cv
R  Cp  Cv
PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA
PROCESO ISOCORO: (V=cte)
PROCESO ISOBÁRICO (P=cte)

PROCESO ISOTÉRMICO: (T=cte)


Para gases ideales:
 u  Cv  T
K
 h  Cp  T
Cp
1
Cv
R  Cv ( K  1)
R  Cp 
Cp
K
R  Cp  Cv


Cv 
R
R
( K  1)
Cp (K - 1)
K

Cp 

R
K R
K -1
donde:
T: temperatura absoluta
R: constante particular del gas
Ru
M
Ru: constante universal de los gases
Para el aire:
K = 1.4
Cp = 6010
pie 2
Cv = 4293
pie 2
R = 1717
pie 2
C = 49
2
= 1005.03 m º K . s2
º R . s2
= 716.5
º R . s2
J
J
º R .s
= 287
2
T (º R)
pies
s
= 20.04
Kg . º K
Kg . º K
T (º K)
m
s
Para gases:
Monoatómicos:
Diatómicos:
5
3
;
K 
7
5
;
Cp  4
Poliatómicos:
Ru = 1.986
K
Kcal
Ru
M
= 49720
Kmol . º K
En un flujo isoentrópico:
Ru
M
Ru
Cp  3.5
M
Cp  2.5
T2  P2 
 
T1  P1 
K 1
K
pie 2
 
  2 
 1 
º R .s
2
También:
s 
s  s2  s1 
q
T
T 
P 
s2  s1  Cp  Ln 2   R  Ln 2 
 T1 
 P1 
La transmisión de calor para un FEES:
KJ
Kmol . º K
K 1
El cambio de entropía para procesos reversibles:
Si el proceso es irreversible:
= 8.3143
q  h2  h1
1 2
dq
 T ) REV
7.2
FLUJO ISOENTRÓPICO
Es aquel que cumple la condición de ser adiabático y además siempre esta
asociado a procesos reversibles (interna y externamente).
7.2.1
PROPIEDADES DE ESTANCAMIENTO
Propiedades de remanso o propiedad del punto singular. Son las propiedades que
obtendría el fluido si se le llevara a una condición cero, con una elevación cero en
un proceso reversible sin transferencia de calor ni realización de trabajo.
P0
T0
0
h0




presión de estancamiento
temperatura de estancamiento
densidad de estancamiento
entalpía especifica de estancamiento
NOTA
* El punto de estancamiento es el lugar geométrico que ocupan todas aquellas
partículas que carecen de energía cinética.
* Todas las propiedades de estancamiento siempre permanecen constante en un
flujo isoentrópico.
a. TEMPERATURA DE ESTANCAMIENTO (T0)
Es la temperatura que alcanza una partícula fluida cuando es frenada adiabáticamente.
Todo instrumento mide temperatura de estancamiento.
Punto de
estancamiento
1
.
2
.
Partícula
Sabemos que por la primera ley de la termodinámica:
V22 V12

 g ( Z 2  Z1 )
1 q2  1w2  h2  h1 
2
2
V12
h2  h1 
2
h  Cp  T
pero:
V12
Cp  T2  Cp  T1 
2

V12
T0  T1 
2  Cp
(7.1)
Para cualquier punto:
T0  T 
V2
2  Cp
(7.2)
b. PRESIÓN DE ESTANCAMIENTO (P0)
Es la presión que alcanza la partícula cuando es frenada isoentrópicamente.
Por Bernoulli:
P1 V12
P2 V22
  Z1    Z 2
 2g
 2g

Punto de
estancamiento
1
.
para cualquier punto :
2
.
Partícula
V12
 

 2g
P2
P1
V12
P2  P1  
2
P0  P  
V2
2
(7.3)
(7.4)
7.2.2
RELACIONES ENTRE LAS PROPIEDADES DE ESTANCAMIENTO Y LAS
PROPIEDADES ESTÁTICAS
a) Relación entre T0 y T
Recordamos:
T0
V ( K  1)
V2 1
T0 T

1

 

 T
2TK R
T T 2  Cp T
T0
V 2 ( K  1)
tenemos que : T  1  2 C2
2
entonces:
P0  T0 
 
P1  T1 
M 
V
C
(7.5)
y P
K

P0  T0  K 1
 
P T 
P0  ( K  1) M 
 1 

P 
2

2
entonces:
pero:
T0
( K  1) M 2
 1
T
2
b) Relación entre P0
Recordamos:
K
K 1
como: C  K R T
K
K 1
(7.6)
c) Relación entre 0 y 
Recordamos:
1
T2   2 
 
T1  1 
K 1

 T0  K 1  0
 

T 

 
entonces :
0  ( K  1) M 
 1 

 
2

2
1
K 1
7.2.3
CONDICIÓN CRÍTICA
Es aquella que se alcanza cuando el fluido es sónico y la sección o región donde
ello ocurre se denomina sección critica y se designa como A*, y todas las
propiedades que existen en dicha región son propiedades criticas: P*, T*, h*, V*, *.
7.2.3.1
RELACIONES CRÍTICAS
Relación entre T0 y T*
Sabemos :
T0
( K  1)

T*
2
T0
( K  1) M 2
 1
T
2
como :

T*
2

T0
( K  1)
M=1
entonces:
(7.8)
K
P *  2  K 1


P0  K  1 
Relación entre P0 y P*:
1
Relación entre 0 y *:
Para el aire :
T*
 0.833
T0
(7.9)
 *  2  K 1


0  K  1 
(7.10)
K = 1.4
P*
 0.528
P0
*
 0.63394
0
(7.11)
DUCTOS DE SECCIÓN VARIABLE
TOBERAS
Se denomina así a los dispositivos o
ductos de cortos de sección variable
que transforma la energía entálpica
en energía cinética. Todos los
procesos
de
expansión
están
asociados
a
este
dispositivo
existiendo toberas subsónicas y
supersónicas e inclusive la sónica.
NOTA
El máximo numero de Mach que se puede obtener a la salida de una tobera
subsónica es 1, jamás un valor superior a este.
Cuando el Mach a la salida de la tobera es igual a 1, se dice que la tobera esta
bloqueada, chocada, ahogada o estrangulada.
DIFUSOR
Dispositivo o ducto corto
de sección variable que
transforma
la
energía
entálpica en energía de
presión. Es decir todos los
procesos de compresión
están asociados a este
dispositivo
existiendo
difusores subsónicos
y
supersónicos.
NOTA
La geometría del dispositivo no determina el nombre. El nombre lo determina el tipo
de régimen con el cual ingresa el flujo al dispositivo.
DUCTO CONVERGENTE – DIVERGENTE
Es un dispositivo que permite solamente acelerar el flujo, es el caso de un tubo de
venturi; en la sección mínima nunca se alcanza el estado sónico.
TOBERA CONVERGENTE – DIVERGENTE
Es un dispositivo de sección variable que permite obtener a la salida una condición
supersónica del flujo, si al ingreso el flujo es subsónico en la sección
mínima
siempre se alcanzara el estado sónico.
7.3.5
RELACIÓN ENTRE A* Y A:
0
también: M 1 
0
V1
C
M* 

V*

C
1V1A1 = *V*A*

m1  m*
Sabemos que:
M1 
1
V1
K R T1
V*
K R T*

V1  M K R T1

V*  K R T *
además:
A1
 *V*

A*
1 V1
;
 * T *


 0  yT0 
1
K 1
1  T1 
 
 0  T0 
1
1
 T *  K 1
Reemplazando:


A1  T0 
1  T * 2  T * 
  



 
1
A*
M
T
T
1
1
1




 T1  K 1
 T 
 0
K 1
entonces:
A1
1  2  ( K  1) M12  2 ( K 1)



A * M1 
K 1

A1 M 2  2  ( K  1) M 

A2 M 1  2  ( K  1) M 
2
2
2
1
K 1
2 ( K 1)
K 1
2 ( K 1)

1
M1
1
K 1
7.3.6
RELACIONES DEL FLUJO MÁSICO Y BLOQUEO:
0
Sabemos: m   .V . A
P
Para gases ideales:   RT
Luego:
0
m 
y
V  M.C  M KRT
K  P. A.M 


R T 
(a)
Si sustituimos:
 K 1

p  p 0 1  y M 2 
2


K
K 1
 K 1 2 
T  T0 1 
M 
2


1
Remplazando en (a):
 ( K 1)
PA
 K  1 2  2( K 1)
m  K ( 0 ) M 1 
M 
2
RT0


0
(b)
Si M=1 y A = A* la ecuación (b) se transforma:
0
m max 
P0 A *
 2 
K

RT0
 K 1
K 1
2 ( K 1)
(7.13)
Por lo tanto el fenómeno de bloqueo ocurre en el flujo compresible en un
conducto, cuando el M local llega a 1 en el área mínima del conducto; cuando
éste ocurre no se puede aumentar el flujo másico a través del conducto, a menos
que la relación de la presión de estancamiento entre la raíz cuadrada de To se
aumente.
7.4
FLUJO EN UNA TOBERA CONVERGENTE
La figura muestra una tobera convergente que extrae gas desde un tanque
grande hacia una región de presión variable; supondremos que la presión y la
temperatura en el tanque son constantes. La presión en la región de salida
(contrapresión) se puede vaciar por medio de una válvula de control que conecta
esta región con una bomba de vacío aguas abajo. También supondremos que no
existe fricción en las paredes ni transferencia de calor o trabajo.
Haciendo ciertas observaciones preliminares al flujo en la tobera:
a) Como la tobera es convergente, el flujo no puede pasar a través de M = 1.
b) El flujo a la entrada de la tobera evidentemente es subsónico ( M  0 ), luego en
toda ella lo será también, con la posible excepción a la salida.
c) El flujo no puede ser supersónico en la tobera, por lo que no pueden existir
ondas de choque, luego el flujo será isoenergético e isoentrópico en toda la
tobera.
d) Las propiedades de remanso son constantes e iguales a las propiedades del
gas en el tanque.
e)
El Mmax posible es 1, ocurriendo solamente en la salida (área mínima).
Nota: Flujo isoentrópico e isoenergético; cuando el flujo es isoentrópico sin trabajo.
f)
Hay un flujo másico máximo que puede ocurrir; se determina por los valores de K y R
del gas, de las propiedades de estancamiento en el tanque y el área de salida, el
máximo ocurre cuando el M es 1 en la salida de la tobera.
En la figura se muestran estos cambios de las propiedades a través de la tobera:
•
Las curvas y puntos “a” corresponden a la válvula de control cerrada; no hay flujo. La
presión en todo lugar es la del tanque y el M = 0.
•
Caso “b” pequeña abertura de la válvula, la contrapresión es menor que la presión
suministrada y existe flujo.
•
El gas se acelera del tanque hacia la salida de la tobera y la presión decrece. La P min y
Mmax ocurren en la salida. La presión en la salida de la tobera es igual a la contrapresión.
Si PB/Po se conoce: Psal  PB y M sal  f ( Psal )
P0
•
•
•
P0
P0
El M a la salida se puede determinar.
Caso ”c” similar a “b”, pero a una abertura mayor de la válvula, con una contrapresión
menor, mayor y M. El Mmax ocurre a la salida de la tobera y es menor que 1.
Caso “d”, la válvula se ha abierto lo suficiente para llevar a M =1, con una p = p* y
también igual a la contrapresión.
•
Caso “e” se abre la válvula mas que el caso “d”; se nota que no hay cambios en la
tobera, se alcanza el limite de la capacidad de la tobera, el M no puede exceder de 1 a
la salida y la Psalida no puede caer por debajo de la crítica, y el no puede exceder el valor
de bloqueo.
El fenómeno de bloqueo ocurre cuando M local llega a 1 en el área mínima del
conducto, no se puede aumentar el .
0
La única deferencia entre “d” y ”e” es que
m la contrapresión y la presión de salida ya no son
iguales.
El flujo después de salir de la tobera se debe ajustar al valor de la contrapresión que es
menor. El flujo corriente abajo es multidimensional, por lo que la curva de presión se
muestra como una línea ondulada. Abrir mas la válvula con una mayor disminución de la
contrapresión no cambia el flujo.
En una tobera simple, existen dos regímenes de flujo: flujo no bloqueado y flujo
bloqueado; esto depende de los valores relativos de la contrapresión y la P crítica.
•
•
Si PB/P0 > P*/P0

Si PB/P0 P*/P0
El flujo esta no bloqueado.
El flujo esta bloqueado.
El flujo a través de la tobera puede dividirse en dos regímenes:
1. En el régimen I: PB/P0  P*/P0 , el flujo en la garganta es Isoentrópico, Pe = PB.
2. En el régimen II:PB/P0 < P*/P0, el flujo en la garganta es Isoentrópico, pero ocurre
una expansión no isoentrópica en el flujo que abandona la tobera, P e = P* > PB.
En el régimen II de flujo se muestra en el diagrama T – s.
7.5
FLUJO EN UNA TOBERA CONVERGENTE – DIVERGENTE
La figura muestra una tobera convergente-divergente que empuja un gas desde
un tanque grande a P y T constantes hacia una región de salida de presión
variable. La contrapresión se puede variar abriendo o cerrando la válvula.
También se supondrá que no existe fricción en la pared, ni flujo de calor ni de
trabajo.
Las observaciones preliminares son:
a) Como la tobera convergente - divergente, el flujo puede pasar a través de
un M = 1; el flujo puede ser subsónico.
b) Si M1 = 1, en todos lados, debe serlo también en la garganta.
c) En la porción divergente podría existir el flujo supersónico y en consecuencia
podría haber ondas de choque en el flujo. Si éstas existen, el flujo no es
completamente isoentrópico aunque si isoenergético.
d) Si no hay ondas de choque, el flujo es isoentrópico. Si las hay, el flujo del
tanque hasta la primera onda es isoentrópico. El flujo corriente abajo de una
onda de choque también es isoentrópico pero con valores diferentes de
entropía, P0 y área critica.
e) El M máximo posible que puede ocurrir en cualquier lado del conducto corresponde a la
aceleración del fluido en un proceso isoentrópico del tanque a la salida de la tobera. El
Mmax posible sólo puede ocurrir en la salida y se determina con la relación de A salida con
el Agarganta.
f)
El flujo máximo posible en la tobera esta determinado por las corrientes del gas, las
propiedades del gas en el tanque y el área mínima, la cual se presenta en la garganta.
Las curvas de comportamiento las vemos en la siguiente figura:
1. Para el caso “a”, la válvula está completamente cerrada; no hay flujo, la presión es
uniforme y el M = 0.
2. Para el caso “b”, la válvula está ligeramente abierta; en la parte convergente el gas se
acelera y la presión decrece.
3.
Caso “c”, la válvula abierta ligeramente mayor que “b” con flujo másico mayor. Las
P
P casi simétricas
distribuciones de presión y M siguen siendo
con respecto a la garganta.
(M sal )  B
P0
P0
El Mmax ocurre en la garganta.
1
4. Caso “d”, la válvula esta abierta para llevar el M en la garganta a 1 donde el flujo sigue
siendo subsónico en todos lados excepto en la garganta.
El flujo es isoentrópico, pero ahora: Pt = P* y At = A*
El flujo másico ha alcanzado su valor máximo posible y se ha bloqueado.
Corriente abajo de la garganta la presión aumenta, originando que la contrapresión a la
cual la tobera convergente-divergente se bloquea es mayor que P*/P0.
La relación de presiones que origina que el bloqueo ocurra en primera instancia en la
tobera se denomina primera relación de presión crítica (rpc1) y se calcula:
(1)
A
rpc1 
P A
(
 sal , M  1)
P0 A * A t
es decir, encontrando la relación de presión correspondiente al valor subsónico de A/A*.
Si la válvula se abre más, como la garganta esta bloqueada el no se puede aumentar y
las condiciones corriente debajo de ella no se pueden afectar.
5. Caso “e”, representa el flujo para una abertura ligeramente mayor que “d”.
En la porción convergente el flujo se acelera, alcanza la velocidad sónica en la garganta
y se acelera a una velocidad supersónica corriente debajo de la garganta. La
aceleración supersónica termina en una onda de choque, luego corriente debajo de esta
onda el flujo experimenta una desaceleración subsónica y sale del conducto con un
Msal <1. La presión de salida y contrapresión son iguales. El m e es el mismo que el md.
6. Caso “f”, al abrir la válvula y disminuir la contrapresión provoca que la onda de choque
se mueva corriente abajo, el flujo no se ve afectado al disminuir la contrapresión. A
medida que la válvula se abre cada vez más, se lleva la onda de choque hasta la salida
de la tobera.
El flujo se acelera isoentrópicamente desde el tanque hasta la salida. El gas sale de la
tobera supersónicamente con un Msal correspondiente a la relación de áreas de la salida
con la de garganta. La Ps se determina solamente por la presión de remanso (P01) y el
Msal y es diferente de la contrapresión. El flujo se acelera isoentrópicamente por todo el
camino, desde el tanque hasta la onda de choque a la salida.
7.
Caso “g”, exactamente a la salida, la presión salta hasta la contrapresión conforme el
fluido sale a través de la onda; en éste la presión de salida duplica su valor.
8. Caso “h”, al disminuir más la contrapresión causa que la onda de choque salga de la
tobera y se convierta en multidimensional (tri).
9.
Caso “i”, la presión de salida alcanza la contrapresión, no hay ajuste de presión en el
gas que sale.
10. Caso “j”, se alcanza al disminuir más la presión, lo que requiere ajustes de presión
externos de expansión, pero no afecta al flujo.
En resumen en una tobera convergente-divergente hay 4 regímenes de flujo:
•
RÉGIMEN VENTURI (casos a - d) .- El flujo en todos lados es subsónico e isoentrópico,
acelerándose en la porción convergente y se desacelera en la divergente. El Mmax y Pmin ocurren en la
garganta.
•
RÉGIMEN DE CHOQUE (casos d - g) .- En la porción convergente el flujo es subsónico,
sónico en la garganta y parcialmente supersónico en la parte divergente. La aceleración termina en
una onda de choque que se mantienen la parte divergente en un sitio determinado por el valor exacto
de la contrapresión. El flujo experimenta una desaceleración subsónica desde la onda de choque
hasta la salida. El flujo está bloqueado.
•
RÉGIMEN SOBREEXPANDIDO (caso g - i) .- Por la tobera el flujo se acelera, en la garganta es
sónico y a la salida supersónico; la presión aumenta hasta la contrapresión corriente debajo de la
salida de la tobera.
•
RÉGIMEN SUBEXPANDIDO (caso i - j) .- Similar al sobreexpandido, con excepción de que los
ajustes de presión externos son expansivos en lugar de compresivos.
Las relaciones de presión crítica, están limitadas por las fronteras d, g y i y se calculan por:
rpc1 
rpc2 =
Donde:
P2
P
(M sal ) x (M sal )......( 2) cuando hay onda de choque en la salida.
P1
P0
 P2

 (M)
 P1

es función de la relación de presiones estáticas de la onda de choque,
entonces: Msal = M(A/A* = Asal/At).
rpc3 =
A
P A
(
 sal , M  1)
P0 A * A t
A
P A
(
 sal , M  1)......( 3)
P0 A * A t