SATA020321B-GE-T01-TRIANGULOS-Prof. Paolo Urteaga

GEOMETRÍA
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Profesor
Paolo Urteaga
GEOMETRÍA
TRIÁNGULOS
• TRIÁNGULOS-CUADRILÁTEROS
TRIÁNGULOS
TRIÁNGULO
Definición.- Si A, B y C son tres puntos no colineales,
entonces la unión de los segmentos AB, BC y AC se
denomina triangulo.
TEOREMAS
1) α + β + θ = 180
B y°
β°
2) β + θ = x
Vértices: A, B y C
Lados: AB, BC y AC
3) x + y + z = 360
Notación:
Triangulo ABC: ∆ABC
Nota:
Se denomina región triangular a la reunión del triangulo
con todos los puntos de su interior.
x° α°
A
θ°
C
z°
4) Teorema de correspondencia:
B
c
El perímetro de una región triangular (2p):
α>θ ↔a >c
a
AB + BC + AC
donde “p” se denomina semiperímetro.
α°
A
θ°
C
TRIÁNGULOS
PROPIEDADES
5) Desigualdad triangular
B
a <b+c
b<c+a
a
c
c<a+b
A
C
b
α+β+θ= x
α+β= x + y
a−c <b<a+c
(Teorema de existencia)
Consecuencia:
a<p
b<p
c<p
α+β=x+y
α+β= x + y
TRIÁNGULOS
C
Otras propiedades importantes
B
BC + AD < AC + BD
a
c
b< x+y<c+a
A
y
x
b
Siendo 2p el perímetro del triángulo entonces:
y
x
p < x + y + z < 2p
z
D
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
1. Según las medidas de sus lados:
a) Triángulo escaleno
b) Triángulo isósceles
c) Triángulo equilátero
B
B
B
60°
β°
α°
A
a
a
c
θ°
b
a ≠𝑏
b≠𝑐
c≠a
a
α°
C
A
α°
Base
AB = BC
0 < α < 90
C
A
a
a
60°
60°
a
AB = BC = AC
C
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
2. Según la medida de sus ángulos:
b) Triángulo oblicuángulo
a) Triángulo rectángulo
2) Triángulo Obtusángulo
1) Triángulo acutángulo
B
a
β°
c
A
B
B
α°
90° − α°
b
C
α°
AB y AC: Catetos
BC: Hipotenusa
α + β = 90
a2 = b2 + c 2
(Teorema de Pitágoras)
β°
α°
θ°
A
C
0 < θ < 90
0 < α < 90
0 < β < 90
A
90 < α < 90
0 < θ < 90
0 < β < 90
θ°
C
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Observaciones
Si PQ = PR y m∠QPR = 60, se recomienda unir los
puntos Q y R para formar un triangulo equilátero.
Q
Q
60°
P
a
a
60°
60°
a
R
P
a
60°
a
SE RECOMIENDA TRAZAR BC
PARA FORMAR EL TRIÁNGULO
EQUILÁTERO ABC
R
Éstas son algunas de las formas que presentan las
medidas de los ángulos de un triángulo isósceles,
conviene recordarlas para reconocerlos en un
problema.
LINEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIÁNGULO
5) MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
3) BISECTRIZ INTERIOR
B
1) MEDIANA
B
Mediana
α° α°
L
ി
L: mediatriz de AB
Bisectriz
interior
A
b
A
M
b
C
A
B
B
B α°
α°
Altura
A
H
C
B
4) BISECTRIZ EXTERIOR
2) ALTURA
A
D
C
H
A
C
C
b M
b
B
Mediatriz
De BC
Bisectriz
exterior
A
C
NOCIONES DE PUNTOS NOTABLES
TEOREMAS CON LINEAS NOTABLES
PROPIEDADES
B
E
B
θ°
θ°
θ
x = 90 +
2
BG = 2(GN)
α°
α°
x
I
x°
β°
β°
β°
β°
A
C
A
α°
α°
𝑥=
θ
2
C
B
θ°
B β°
β°
K
L
H
x°
x + θ = 180
x°
θ°
A
C
A
α°α°
C
E
θ
x = 90 −
2
x=
α−β
2
TEOREMAS CON LINEAS NOTABLES
También:
x=
a+b
2
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son congruentes si sus lados y ángulos
son respectivamente congruentes.
Esta sola expresión nos dice a la vez seis cosas, a saber:
AB ≅ DE o AB = DE
AC ≅ DF o AC = DF
A ≅ D o mA = mD
B ≅ E o mB = mE
Para indicar que el “triángulo ABC es congruente al
triángulo DEF”, se escribe:
ΔABC ≅ ΔDEF
C ≅ F o mC = mF
Como regla practica podemos decir:
“En dos triángulos congruentes, a lados congruentes se
le oponen ángulos congruentes y viceversa, a ángulos
congruentes se le oponen lados congruentes”.
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
CASOS DE LA CONGRUENCIA DE TRIANGULOS
Primer caso.Dos triángulos serán congruentes si
tienen dos lados y el ángulo comprendido
respectivamente congruentes (Caso LAL).
≅
Segundo caso.- Dos triángulos serán congruentes si
tienen un lado y los ángulos adyacentes
respectivamente congruentes (Caso ALA).
≅
Tercer caso.- Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres
lados respectivamente congruentes (Caso LLL).
≅
Cuarto caso.- Dos triángulos son congruentes si tienen dos
lados y el ángulo opuesto al mayor de dichos lados
respectivamente congruentes. (Caso LLA)
≅
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
ANOTACIONES FINALES
01. Si dos segmentos consecutivos son congruentes y
perpendiculares, entonces se recomienda formar triángulos
rectángulos congruentes.
02. Si dos triángulos equiláteros tienen un vértice común, resulta
una configuración conocida que permite establecer la congruencia
de dos triángulos. Por ejemplo en las dos figuras mostradas a
continuación la congruencia se debe al caso (L-A-L).
a) En la figura al trazar CQ ⊥ ി
L, se obtiene:
ΔABD ≅ ΔCBE
ΔAPB ≅ ΔBQC
(L − A − L)
(A − L − A)
b) En la figura al trazar CQ ⊥ ി
L, se obtiene:
ΔABE ≅ ΔDBC
(L − A − L)
ΔAPB ≅ ΔBQC
(A − L − A)
En la figura:
=120
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE TRIANGULOS
TEOREMA DE LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO:
TEOREMA DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Todo punto de la Mediatriz de un segmento equidista de
los extremos del segmento.
Todo punto de la bisectriz, equidista de los lados del
ángulo.
L
P
PA = PB
PQ = PT
Además:
m
BR= BS
A
m
M
m
m
NOTA:
El triángulo APB es isósceles.
B
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
TEOREMA
RECOMENDACIÓN
En todo triángulo isósceles la altura relativa a la base es
también mediana, bisectriz interior relativa a la base y
está contenida en la mediatriz relativa a la mencionada
base.
Observe el siguiente gráfico, tenemos la bisectriz del
ángulo P y QH perpendicular a dicha bisectriz. En estos
casos se recomienda prolongar la perpendicular para
formar un triangulo isósceles.
B
En la figura:

a
Si ∆ABC: isósceles de base
AC, entonces
a
BH

A

m
H
m
C
Bisectriz interior
Mediana
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS
Toda recta trazada por el punto medio de un lado de
un triángulo paralela a otro lado interseca al tercer
lado en su punto medio.
M
m
En todo triángulo, una base media es paralela al tercer
lado y su longitud es la mitad de la longitud de dicho lado.
n
N
L
BN = NC
n
C
MN es la “Base Media” del triángulo ABC.
Si AM = MB y BN = NC,
entonces
n
m
M
N
b
MN ∥ AC
n
m
A
A
En la figura:
B
En la figura:
Si AM = MB y ി
L ∥ AC
entonces
B
m
TEOREMA DE LA BASE MEDIA
2b
Todo triangulo tiene 3
correspondiente a cada lado.
C
bases
AC
MN =
2
medias,
una
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
TEOREMA DE LA MEDIANA RELATIVA A LA
HIPOTENUSA
En todo triángulo rectángulo, la longitud de la mediana
relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la longitud
de la hipotenusa.
En la figura:
Si BM es mediana,
entonces
B
b
A
b
AC
BM =
2
M
b
C
El recíproco de éste teorema es cierto.
PROPIEDADES
01.- En el gráfico BM es mediana relativa a la hipotenusa
AC del triángulo rectángulo ABC.
x=−
02.- Propiedad en el triángulo rectángulo de 15
y 75.
AC
BH =
4
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Otras propiedades importantes
03.- La suma de las distancias de un punto interior
a los lados de un triángulo equilátero, es igual a la
medida de cualquiera de las alturas.
01.- Si AB=BC y PAC:
AH=PM+PN
AH=PM+PN+PL
02.- Si AB=BC y P es un punto de la prolongación
de AC:
CH=PM-PN
04.- En el gráfico: p es el semiperímetro del
triángulo ABC.
MN=p
MN ∥ AC
CUADRILÁTEROS
Sean A, B, C y D cuatro puntos coplanarios. Si tres cualesquiera de ellos no están alineados, y los segmentos AB,
BC, CD y DA se intersecan solamente en sus extremos, entonces la reunión de los cuatro segmentos se llama
cuadrilátero ABCD. Los cuatro segmentos se llaman lados, y los puntos A, B, C y D se llaman vértices.
Cuadrilátero convexo
Cuadrilátero no
convexo
PROPIEDADES PARA CUADRILÁTEROS CONVEXOS
α + β + θ + ω = 360
x + y = 180
x + y + z + u = 360
BC + AD < AC + BD
α + β = x +y
d<a+b+c
x=
−
2
CLASIFICACIÓN
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS
CONVEXOS SEGÚN EL PARALELISMO DE LOS
LADOS
PROPIEDADES
01.- PARALELOGRAMO
Es el cuadrilátero que tiene sus lados opuestos
paralelos.
1) AB=CD y BC=AD
AB ∥ DC
BC ∥ AD
2) A ≅ C y B ≅ D
3) AO=OC y BO=OD
4) α + β = 180
CLASIFICACIÓN
CLASIFICACIÓN DE LOS PARALELOGRAMOS
a) Romboide.- Es el paralelogramo propiamente
dicho, tiene lados consecutivos y ángulos
consecutivos diferentes.
b) Rectángulo.- Llamado también cuadrilongo, es
el paralelogramo que tiene todos sus ángulos de
igual medida. (Es un cuadrilátero equiángulo)
En todo rectángulo las diagonales son
congruentes.
a≠b
AC = BD
α≠β
CLASIFICACIÓN
c) Rombo.- Llamado también losange, es el
paralelogramo que tiene todos sus lados de igual
medida. (Es un cuadrilátero equilátero)
d) Cuadrado.- Es aquel paralelogramo cuyos
ángulos internos son rectos y todos sus lados de
igual medida. (Es equiángulo y equilátero a la vez)
En todo cuadrado sus diagonales son
congruentes, perpendiculares y bisectrices de los
ángulos opuestos.
AC = BD
AC ⊥ BD
AC ⊥ BD
EJEMPLO
Ejemplo 01
En el rombo ABCD: M es el punto medio de BC,
AM y BD se intersecan en el punto P tal que
mBPM=53. Si PM=5, calcular BD.
A) 32
B) 24
C) 30
D) 36
E) 48
Resolución:
Trazamos AC que corta a
BD en su punto medio O
(BO=OD). Luego P es
baricentro del triángulo
ABC, de donde:
AP=2(PM)=10
Y BP=2(PO)
En AOP:
PO=6 y BP=12
Por último: BO=OD=18
BD = 36
EJEMPLO
Ejemplo 02
ABCD es un rectángulo, en la prolongación de AD
se ubica el punto E, de modo que BE=16. Calcular
la medida del segmento que une los puntos
medios de CE y AD.
A) 5
B) 6
C) 9
D) 7
E) 8
Resolución:
En ΔBCE: LN es base media, entonces: LN=8
En ΔCDE: DN es mediana relativa a la
hipotenusa, luego:
CN=ND=NE=b
∧ m∠DCN=m∠CDN=α
ΔLCN ≅ ΔMDN (L-A-L)
x = 8
CLASIFICACIÓN
02.- TRAPECIO
CLASIFICACIÓN DE LOS TRAPECIOS
Es el cuadrilátero que tiene sólo dos lados
paralelos.
En todo trapecio los lados paralelos son llamados
bases, la distancia entre sus bases se llama altura
y el segmento que une los puntos medios de los
lados no paralelos se denomina mediana.
a) Trapecio escaleno.- Es aquel que tiene los lados
no paralelos diferentes.
a≠b
α≠
α +  = 180
CLASIFICACIÓN
OBSERVACIÓN:
Trapecio rectángulo.- Es aquel que tiene uno de
sus lados no paralelos perpendicular a las bases.
Si ABCD es un trapecio isósceles:
AC = BD
α=
b) Trapecio isósceles.- Es aquel que tiene los
lados no paralelos congruentes, sus diagonales
son congruentes.
04) Sea CH altura del trapecio isósceles ABCD (BC ∥
AD), entonces:
a+b
x=
2
b−a
y=
2
TEOREMAS EN LOS TRAPECIOS
TEOREMAS
1) En todo trapecio la medida de la mediana es
igual a la semisuma de las medidas de las bases.
La mediana es también paralela a las bases.
BC + AD
MN =
2
BC ∥ MN ∥ AD
2) Si P y Q son puntos medios de las diagonales
del trapecio ABCD (BC ∥ AD), entonces:
PQ =
AD − BC
2
BC ∥ PQ ∥ AD
PROPIEDADES
03) Para todo trapecio rectángulo:
04) Si ABCD es un trapecio rectángulo y CM=MD:
a+b
x=
2
x=y
Además:
05) Para todo trapecio rectángulo:
x=
b−a
2
x=
a + 2b
3
CLASIFICACIÓN
RECOMENDACIÓN
03.- TRAPEZOIDE
Si BC ∥ AD trazar la paralela a un lado (o a una
diagonal) para formar un paralelogramo. Por
ejemplo en la figura trazamos CT ∥ BA para
formar un paralelogramo ABCT.
Es el cuadrilátero que no tiene lados paralelos ni
características especiales.
AB ∦ DC
BC ∦ AD
CLASIFICACIÓN
PROPIEDADES
03) Si ABCD es un paralelogramo, BM=MC y
CN=ND:
01) Si ABCD es un paralelogramo:
BP = PQ = QD
x = 90
02) Si ABCD es un paralelogramo y BM=MC:
PD = 2(BP)
04) Si ABCD es un cuadrado:
x=m+n
PROPIEDADES
05) Si ABCD es un paralelogramo:
06) Si ABCD es un cuadrilátero convexo, Q es un punto
interior y “p” es el semiperímetro:
p < x + y + z + u < 3p
04) Cálculo de la medida del ángulo que forman las
bisectrices interiores de dos ángulos consecutivos.
a+c=b+d
x=
+
2
EJERCICIOS
EJERCICIOS DE CLASE
EJERCICIOS
01. Sabiendo que L1 ∥ L2 y θ es la medida de un
ángulo agudo, calcule el mínimo valor entero de x.
θ°
L1
α°
α°
x°
β°
β°
A) 41
D) 44
L2
B) 46
E) 39(UNI2019-II)
C) 45
Clave: B
EJERCICIOS
Resolución:
Piden:
xmín , x ∈ ℤ.
Se prolonga AB hasta corta a L2 en el punto C,
luego por ángulos alternos entre paralelas:
A
L1
θ°
m∠BCD = θ
Prolongamos CD hasta el punto F, luego:
m∠FDE = β
E
α°
α°
x°
B
En el triángulo BCD:
E es excentro relativo a BD
Por propiedad:
β°
β°
D β°
F
θ°
C
L2
x = 90 −
θ
2
→ θ = 2(90 − x)
Por dato:
θ < 90
→ 2 90 − x < 90
→ 45 < x
∴ xmín = 46
EJERCICIOS
02. En la figura se muestra una pieza triangular de un
rompecabeza que gira en el sentido horario, donde A’
y A’’ son las posiciones de A al momento de girar
sobre la recta L. Halle la medida del ángulo entre AA′
y la bisectriz del ángulo A’’.
A’
B
θ°
Pieza de
rompecabeza
L
A
A’’
θ
A) 90° + 2
C) 90° +
3θ
2
θ
B) 90 + 3
D) 90° -
θ
2
Rpta. D
EJERCICIOS
Resolución:
Se traza AA′ y la bisectriz del ángulo A’’.
Piden x.
Como la pieza gira, entonces los
triángulos mostrados son congruentes.
A’
B
x°
En ∆AA’C:
β°
θ°
Isósceles: m∠A’AC = m∠AA’C =β
Luego por el ∆ABC : 2α + 2β + θ = 180
2α°
A
β°
2β°
2β°
C
α°
α°
θ°
B’
; x= β+ α
A’’
θ
x = 90° - 2
EJERCICIOS
03. Se muestra en el gráfico parte de un mapa donde se
aprecia un continente. Las líneas discontinuas indican
rutas terrestre y marítima. Si m + n = 130°, calcule x, si
se sabe que “x” representa la medida angular de una
entrada al continente.
ω
x
n
θ
ω
Océano
Pitagórico
100°
θ
Océano
Básico
m
A) 20
C) 30
B) 25
D) 35
Rpta. C
EL TRIÁNGULO
RESOLUCIÓN :
ω
m
x
Dato: m + n = 130
Por pescado:
m + n = 100 + x
130 = 100 + x
n
θ
∴ x = 30
m
ω
θ
m
100°
EJERCICIOS
04. Fátima se da cuenta, luego de ordenar su estante de
libros, que sus folletos” forman ángulos α, β, y ω y están
en proporción de 1, 2 y 10, respectivamente. ¿Cuál será
la constante de proporcionalidad de los ángulos?
Considere que los libros del mismo color tienen la misma
altura y grosor despreciable.
A) 5
B) 6
C) 10
D) 12
Rpta. C
EJERCICIOS
RESOLUCIÓN :
180 − 12θ
B
En ∆ABM:
θ
6θ = 60
M
6θ
∴ θ = 10
2θ
θ
6θ
10θ 4θ
A
4θ
2θ
D
C
EJERCICIOS
05. En la figura se muestra una pieza de rompecabezas
en forma de triángulo. De tal manera que el usuario del
juego cognitivo se da cuenta que: AM = MC y θ > α. Si
HC = 5 cm, HM = 3 cm, halle el número de valores
enteros de AH.
B
H
α° θ°
A
A) 7
C) 5
M
B) 6
D)4
C
Rpta. C
EJERCICIOS
B
Resolución:
¿ Cuántos valores enteros puede tomar x?
∆AMN ≅ ∆CMH (ALA)
→ MN = 3 ∧ AN = 5
∆AHN
Por T. de existencia
6−5<x<6+5
H
α
x
1 < x < 11
θ
5
3
ω
A
β
M
ω
5
3
θ
β
C
… (1)
Del dato:
θ>α
Por T. de correspondencia:
x>5
… (2)
De 1 y (2)
→ 5 < x < 11
∴ x toma 5 valores enteros Clave C
N
EJERCICIOS
06. En el triángulo ABC se traza la ceviana interior
BD de modo que AD=BC. Si mC=2, mABD=90 y mDBC=3. Calcular el valor de .
A) 20
B) 15
C) 12
D) 18
Rpta. B
EJERCICIOS
RESOLUCIÓN :
B
Piden θ
Se traza CE tal que m∠BDE = 2θ
90 − θ 3θ
E
de donde ∆BDE es isósceles: BD = DE = b
90 − θ
→ m∠ EDA = 3θ
Luego ∆ADE ≅ ∆CBD (caso L-A-L)
a
b
→ m∠EAD = m∠DCB = 2θ
Por último en ∆ABC:
b
2θ + 90 − θ + 3θ + 2θ = 180
→ 6θ = 90
2θ
2θ
A
3θ
a
2θ
D
C
∴ θ = 15
EJERCICIOS
07. En un triángulo ABC recto en B se trazan las
cevianas CE y AF de manera que m∠BAF = α ;
m∠BCE = 30 – α y AF = CE = 10 u. Calcule la longitud
(en u) del segmento que une los puntos medios de
AF y CE.
A) . 4
C) 6
B) 5
D) 7
Rpta. B
EJERCICIOS
B
RESOLUCIÓN :
30° − α
60°
E
α
F
α
A
En ⊿EBF trazamos BN, por el T. de la
menor mediana: BN = EN = NC = 5
5
5
5
→ m∠BAM = m∠ABM = α
5
5
M
Siendo M y N puntos medios de
AF y EC respectivamente, piden
MN = x
En ⊿ABF trazamos BM, por el T. de la
menor mediana: BM = AM = MF = 5
x
30° − α
N
5
→ m∠NCB = m∠CBN = 30 − α
Luego en B: α + m∠MBN + 30 − α = 90°
→ m∠MBN = 60°
Por último ∆MBN es equilátero
∴x=5
C
PROBLEMAS
08. Se tiene un paralelogramo ABCD, en BC se ubica el
punto M tal que BM=2(MC); luego se ubican los puntos
medios N y L de AM y ND respectivamente. Calcular ML
si CD=12.
A) 6
B) 8
C) 10
D) 9
E) 5
Rpta. D
PROBLEMAS
RESOLUCIÓN:
Se pide: ML = x
2a
B
a
a
P
n
A
Sea P el punto medio de BM, luego:
12
b
L
(Base media AMB)
y NP ∥ AB ∥ DC
x
12
n
C
NP = 6
6
N
a
M
b
D
Por último, en el trapecio DNPC: LM
es mediana, entonces:
6 + 12
x=
2
x = 9
Rpta. D
EJERCICIOS
09. Si O es centro del cuadrado ABCD, BH=5, AH=3 y
NH=4; calcular el valor de x.
A) 18,5
D) 15
B) 22,5
E) 26,5
C) 30
Clave: E
EJERCICIOS
mONA = x
Se pide:
RESOLUCIÓN:
C
Se traza DM ⊥ NA (M en la prolongación
de NA), luego:
ΔBHA ≅ ΔAMD (A − L − A)
→ DM = 3 y AM = 5
B
m
O
α°
m
D
a
5
4
θ°
a
3
Trazamos BD y OQ ⊥ AM, luego en el
trapecio BHMD:
5+3
→ BO = OD = m, OQ =
=4
2
y HQ = QM = 4
Finalmente en el triángulo NQO:
O
θ°
x°
N
4
H
3
α°
A 1 Q
4
5
M
4
x°
N
8
Q
x = 26,5
EJERCICIOS
10. En una parcela en forma de paralelogramo ABCD, M
es punto medio del lindero CD. La perpendicular a AD
trazada por D corta al lindero BM en P. Si BP = 5 y PM =
2, calcular AP.
A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
E) 7
Clave: D
EJERCICIOS
Resolución:
b
B
Se pide: AP = x
C
α°
5
Prolongamos BM y AD hasta que se
corten en el punto E, luego:
a
P
θ°
2
∆CMB ≅ ∆DME
M
→ MB = ME = 7
θ°
x
y CB = DE = b
7
a
Para terminar observe el triángulo
APE:
α°
A
b
D
(A − L − A)
b
E
AP = PE
∴x=9
EJERCICIOS
11. En el triángulo ABC: mBAC = 120, AB = 12 y AC
= 8; desde un punto P de BC se traza PH
perpendicular a AC (H en AC) tal que AH = 1, calcular
PH
A) 3
B) 2 3
C) 3 3
D) 4 3
Rpta. C
EJERCICIOS
RESOLUCIÓN :
D
Piden PH = x
Se prolonga CA y notamos que la
medida del ángulo externo en “A” es
60°.
6
1
A
Se traza BD perpendicular a la
prolongación de CA.
60°
6 3
H 120°
Resulta el ⊿BDA notable( 30 y 60)
→ AD = 6 y BD = 6 3
8
Luego PH // BD y H es punto medio
( CH = HD = 7)
12
7
x
Por último en el ∆BDC Por el T. de la base
media:
30°
PH =
C
P
B
6 3
DB
=
2
2
x=3 3
EJERCICIOS
12. Según el gráfico, si BC = 4(AB) = 4(CD).
Calcule el valor de x.
A) 30
C) 45
B) 37
D) 53
EJERCICIOS
13. Si AB = BC = 2(AF) = 6 y AC = 8, calcule MF.
A) 5
C) 5 2
B) 7
D) 4 6
EJERCICIOS
14. En un triángulo ABC, m ∠ BAC = m ∠ ACB;
además, una recta interseca a AB , BC y a la
prolongación de AC en M, N y Q, respectivamente.
Si NQ = 2(MN) y AM = 3, calcule el mínimo valor
entero que puede tomar la longitud de MN.
A) 1
B) 4
C) 2
D) 3
EJERCICIOS
15. En la figura, AM = MB y m∠BCP = 30. Halle
m∠CBP.
A) 15
C) 12
B) 16
D) 18