2º BACHILLERATO ÓPTICA www.currofisico.es Newton: la luz como partı́cula Huygens: la luz como una onda El experimento de T. Young Las teorı́as antiguas consideraban la luz como un chorro de partı́culas emanadas de una fuente y que producı́an una sensación de visión al entrar en el ojo. El preconizador de mayor influencia de esta teorı́a corpuscular de la luz fue I. Newton explicando las leyes de la reflexión y la refracción. Cuando la luz incide sobre una frontera que separa dos medios transparentes, por ejemplo, el aire y el agua o el aire y el vidrio, parte de la energı́a de la luz se refleja y parte se transmite. El rayo reflejado forma un ángulo con la normal a la superficie igual al ángulo del rayo incidente, mientras que el rayo transmitido se acerca a la normal. Cuando una partı́cula rebota sobre una superficie plana y dura, donde no existe rozamiento,la componente de la cantidad de movimiento, de la partı́cula, paralela a la superficie no se ve modificada por el choque, pero la componente perpendicular a la pared se invierte. El ángulo de reflexión es igual al de incidencia, como es el caso de rayos luminosos reflejándose en un espejo plano. Newton en la refracción de la luz en un sistema aire-vidrio o aire-agua asumı́a que la velocidad de la luz debı́a ser mayor en el agua o en el vidrio que en el aire (lo cual es falso), y ası́ explicar la tendencia a acercarse el haz hacia la normal cuando entra en el agua o en el vidrio o separarse de la normal cuando pasa del aire a cualquiera de los dos medios anteriores. Suponı́a que las partı́culas luminosas eran atraı́das por el vidrio o el agua cuando se acercaban a la superficie, recibı́an un impulso momentáneo que hacı́a aumentar la componente de cantidad de movimiento perpendicular a la superficie. Huygens, fue capaz de explicar la reflexión y refracción admitiendo que la luz se mueve más lentamente en un medio como el vidrio o el agua que en el aire (la luz disminuye su velocidad al penetrar en un medio más denso). La descripción de una onda a través del espacio mediante el principio de Huygens suele traer algún que otro problema de tipo conceptual al hablar de frentes de onda que sirven como foco de ondas esféricas secundarias, que avanzan con una velocidad y frecuencia igual a la primaria, ası́ como la construcción de la envolvente. En el año 1801, Thomas Young reavivó la teorı́a ondulatoria de la luz. Fue uno de los primeros en introducir la idea de la interferencia como fenómeno ondulatorio. Su observación de interferencias con la luz fue una demostración clara de la naturaleza ondulatoria de ésta. Después de hacer pasar un haz de luz monocromática por un pequeño orificio, Young hizo atravesar este haz a través de dos pequeños orificios muy juntos. Cada orificio, S1 y S2 , actuaba como una fuente de ondas emitiendo ondas luminosas coherentes (ondas idénticas hablando coloquialmente) que acababan interfiriendo en una pantalla situada detrás. En ella aparecı́a un máximo central de luz, alternando con zonas oscuras y zonas de luz (patrón de interferencia). La aplicación del principio de Huygens a la propagación de ondas planas y esféricas tiene sus problemas. Si todos los puntos de un frente de onda fuesen realmente un foco puntual, habrı́a también ondas hacia atrás. Huygens no tuvo en cuenta estas ondas de retroceso. Pensó que las franjas luminosas se debı́an a que las ondas procedentes de cada orificio llegaban a la pantalla cresta con cresta, es decir, interferı́an constructivamente. Análogamente, las franjas oscuras se debı́an a que las crestas de las ondas de un foco coincidı́an con los valles de otros al llegar a la pantalla (interferı́an destructivamente). La luz es una onda electromagnética El espectro electromagnético Fizeau (1850) midió la velocidad de la luz en el agua y demostró que es menor que en el aire, destruyendo ası́ la teorı́a corpuscular de Newton. James Clerk Maxwell (1860) publicó su teorı́a matemática del electromagnetismo que predecı́a la existencia de ondas electromagnéticas que se propagan con la velocidad c = 3 × 108 m/s la velocidad de la luz, y sugirió que este resultado no es casual, sino que indica que la luz es una onda electromagnética. Cuando una corriente eléctrica oscila a lo largo de un hilo recto (o por una espira), la energı́a “se pierde”, irradiada por la corriente y se dispersa en forma de ondas en todas las direcciones. La carga eléctrica vibrante engendra en la región existente a su alrededor un campo magnético y eléctrico fluctuantes; cuando otras cargas eléctricas se introducen en este “campo electromagnético” fluctuante (como en una antena o receptor), actúan sobre ellas fuerzas eléctricas y magnéticas que vibran con la misma frecuencia que las oscilaciones originales del transmisor. Según la teorı́a electromagnética clásica, si una carga oscila con un movimiento armónico simple de frecuencia f , radia energı́a en forma de ondas electromagnéticas de igual frecuencia Todas las ondas electromagnéticas se generan cuando se aceleran las cargas eléctricas.Desde el punto de vista energético la radiación electromagnética es más energética cuanto mayor es su frecuencia. Representación de una onda electromagnética sinusoidal que se propaga moviéndose según la dirección del eje X con una velocidad c. A la vez se representa la secuencia temporal de los vectores del campo eléctrico y magnético en el plano Y Z. Las ondas electromagnéticas son ondas transversales. Según Maxwell la relación entre los valores máximos del campo eléctrico (Emax ) y del campo magnético (Bmax ) es: ω Emax = =c Bmax k teniendo en cuenta que la velocidad (en el caso de la luz c)de una onda se relaciona con la longitud de onda y el periodo mediante: c= ω = k 2π T 2π λ = λ T La velocidad de la luz en un medio material Cuando la luz viaja a través del aire, su velocidad es de 3×108 m/s. Al entrar en el bloque de vidrio, su velocidad se reduce aproximadamente hasta 2×108 m/s. Cuando vuelve a emerger al aire, su velocidad aumenta hasta su valor original. Esto es muy diferente de lo que sucede, por ejemplo, cuando se dispara una bala a través de un bloque de madera. En este caso, la velocidad de la bala se reduce a medida que viaja a través de la madera, debido a que parte de su energı́a inicial se utiliza para separar fibras de la madera. Cuando la bala vuelve al aire de nuevo, sale con la velocidad que tenı́a justo antes de dejar el bloque de madera. Para ver por qué la luz se comporta de esta forma, veamos la figura, que representa un haz luminoso entrando en un trozo de vidrio desde la izquierda: Una vez dentro del vidrio, la luz puede encontrase un átomo, provocando la oscilación de éste (representada por las flechas bidireccionales del dibujo). El átomo que oscila radia (emite) el haz luminoso hacia un átomo en el punto B, donde la luz es nuevamente absorbida. Los detalles de estas absorciones y emisiones habrı́a que explicarlos en términos de la mecánica cuántica. Por ahora, pensemos en el proceso como si la luz pasase de un átomo a otro del cristal (la situación es análoga a una carrera de relevos en la que un testigo pasa de unos corredores a otros del mismo equipo). Aunque la luz viaja de un átomo a otro a través del espacio vacı́o entre los átomos con una velocidad de 3 × 108 m/s, las absorciones y las emisiones de luz por los átomos, que necesitan tiempo para producirse, provocan que la velocidad media de la luz a través del vidrio disminuya. Una vez que la luz emerge al aire, las absorciones y emisiones cesan y la velocidad media de la luz vuelve a su valor original. Ası́, tanto si la luz está dentro como fuera de un material, siempre se propaga en el vacı́o con la misma velocidad. Leyes de la reflexión y refracción de la luz Un rayo pasa de un medio a otro Concepto de ángulo lı́mite El estudio experimental de estos fenómenos permite establecer las siguientes leyes generales: Los rayos incidente, reflejado y refractado, están en el mismo plano normal a la superficie de separación de los dos medios en el punto de incidencia. El ángulo de incidencia θ1 es igual al ángulo de reflexión θ2 (ángulo formado por la normal y el rayo reflejado). φ=φ La relación entre el ángulo de incidencia φ y de refracción φ0 viene dada por la expresión (Ley de Snell): senθ1 senθ2 = v1 v2 donde v1 y v2 son las velocidades de propagación de la luz en los medios 1 y 2 respectivamente. Se define el ı́ndice de refracción absoluto de un medio como la relación entre la velocidad de la luz en el vacı́o (o bien, en el aire) y la velocidad de la luz en el medio considerado: c n= v Si n1 y n2 son los ı́ndices de refracción absolutos de dos medios cualesquiera, en contacto, n1 = vc1 y n2 = vc2 , la ley de la refracción se escribirá como: n1 senθ1 = n2 senθ2 Valores tı́picos de Material n Vacı́o 1 Agua (20ºC) 1,33 Cuarzo 1,46 Poliestireno 1,55 ı́ndices de refracción Material n Aire 1,00029 Alcohol etı́lico 1,36 Vidrio (crown) 1,52 Diamante 2,41 Por ser el cociente de dos velocidades, el ı́ndice de refracción es adimensional. Dado que la máxima velocidad de la luz es el vacı́o, para cualquier medio material n > 1. Si n1 > n2 se dice que el medio 1 es más refringente que el medio 2, y si n1 < n2 se dice que el medio 1 es menos refringente que el medio 2. Cuando un rayo pasa de un medio más refringente (por ejemplo del aire al vidrio) el rayo refractado se desvı́a acercándose a la normal. Cuando un rayo pasa de un medio menos refringente (por ejemplo del vidrio al aire) el rayo refractado se desvı́a alejándose de la normal. Frecuencia, λ e ı́ndice de refracción Cuando la luz se propaga su FRECUENCIA NO VARÍA, lo que significa que si cambia de medio, y se modifica su velocidad, se modificará su longitud de onda. Sea λ0 la longitud de onda en el vacı́o de una determinada radiación, y λ0 la longitud de onda de ésta en un medio diferente. Tendremos: c v λ0 = y λ0 = f f y como n= c λo f λ0 −→ 0 −→ n = 0 > 1 −→ λ0 > λ0 v λf λ Conforme el ángulo de ı́ncidencia va siendo mayor más se aleja de la normal el rayo refractado. Hay un ángulo de incidencia para el cual el rayo el refractado lo hace con 90º, viajando por la superficie que separa los medios de distinto ı́ndice de refracción. A este ángulo de incidencia se le denomina ángulo lı́mite y para valores mayores de incidencia tenemos reflexión total. Al imponer θ2 = 90o en la ley de Snell, y como sen 90o = 1, tenemos: n1 senθL = n2 sen 90o senθL = n2 n1 para (n1 > n2 ) Dioptrio plano y profundidad aparente Un dioptrio es una superficie que separa dos medios transparentes de distinto ı́ndice de refracción. Por ejemplo en la luz blanca, conjunto de muchas longitudes de onda, NO todas las λ se propagan con la misma velocidad en el interior de un prisma, pero sı́ en el vacı́o. Lo anterior nos permite escribir la ecuación de Snell de otro modo: senθ1 n2 λ1 = = senθ2 n1 λ2 Al cruzar un prisma, el color rojo será el que menos se disperse y el color azul el que más se disperse ( se desvı́a un mayor ángulo). Consideraremos n1 como el ı́ndice de refracción en el que se encuentre el objeto. Dado que n1 y n2 tienen el mismo signo, s1 y s2 también, es decir, la imagen se forma siempre en el mismo lado en que está el objeto. Lámina de caras planas y paralelas Fibra óptica Foco y distancia focal en espejos esféricos Cuando un rayo de luz atraviesa una lámina de caras planas y paralelas el efecto es que el rayo no sufre desviación angular al salir de la lámina, pero se desplaza en paralelo una cierta distancia, que puede relacionarse con el espesor t de la lámina y con los ı́ndices de refracción de los dos medios. Las fibras ópticas tienen un núcleo rodeado de un material de revestimiento transparente con un ı́ndice de refracción más bajo. La luz se mantiene en el núcleo debido al fenómeno de reflexión interna total que causa que la fibra actúe como una guı́a de ondas. Este fenómeno sólo se produce para ángulos de incidencia superiores a un cierto valor crı́tico, θc . Para ángulos mayores la luz deja de atravesar la superficie y es reflejada internamente de manera total. En este tipo de espejos existe un punto llamado foco que tiene la propiedad de que todos los rayos que provienen del infinito (penetrando paralelamente al eje óptico) forman la imagen en él. La distancia que hay desde el espejo a este punto se denomina distancia focal. Si invertimos el trazado de rayos, cualquier rayo que parta del foco y se refleje en el espejo sale paralelo al eje óptico. El punto C se llama centro de curvatura del espejo (es donde pincharı́amos el compás para construir la circunferencia del espejo) y se cumple: f= R 2 Imagen en espejos planos n1 senθ1 n2 n2 senθ2 senθ3 = n2 senθ2 = Sustituyendo la primera ecuación en la segunda y operando llegaremos a que senθ3 = senθ1 . Ası́ pues, θ3 = θ1 . Por lo tanto el rayo emerge de la placa de forma paralela. Si la distancia a es la hipotenusa de un triángulo rectángulo: t a= cosθ2 En la figura después de la reflexión, los rayos divergen exactamente como si procediesen de un punto P 0 detrás del espejo. El punto P 0 se denomina imagen del punto P . Cuando estos rayos entran en el ojo, no pueden diferenciarse de los rayos que procederı́an de una fuente situada en P 0 (como si no hubiera espejo alguno).La imagen se denomina virtual debido a que luz no procede realmente de la imagen, sino que sólo lo parece. y para el triángulo contiguo de la derecha: 1. Un rayo procedente del extremo superior de la flecha, que sea paralelo al eje óptico se refleja pasando por el foco. d = a senγ = a sen(θ1 − θ2 ) Combinando estas dos ecuaciones obtenemos una expresión para la desviación paralela d: d= t sen(θ1 − θ2 ) cosθ2 Construcción de la imagen en espejos esféricos 2. Un rayo procedente del extremo superior de la flecha que pasa por el foco, se refleja hacia atrás paralelamente al eje. El punto P 0 está en la lı́nea que pasa por el objeto (P ) y es perpendicular al plano del espejo, a una distancia detrás de dicho plano igual a la distancia a que el objeto está del mismo. 3. Un rayo que pasa por el centro de curvatura del espejo, incide sobre éste perpendicularmente a su superficie y se refleja de nuevo a lo largo de su trayectoria original. Espejos concavos Espejos concavos Espejos convexos Cuando el objeto está en el foco no se forma imagen porque los rayos no se cortan. Los espejos convexos sólo producen imágenes virtuales, derechas y más pequeñas que el objeto. Cuando el objeto se encuentra más allá del centro de curvatura, la imagen es real, invertida y de menor tamaño que el objeto. Ecuación para el espejo esférico Si quisiéramos determinar numéricamente las distancias objeto (S) e imagen (S 0 ) podemos utilizar la ecuación 1 1 1 + 0 = s s f El criterio de signos de s, s0 y f es el matemático. El aumento lateral en un espejo esférico viene dado por: s0 y0 =− β= y s Cuando el objeto se encuentra en el centro de curvatura, la imagen es real, invertida y del mismo tamaño que el objeto. En el caso de un espejo plano donde R = ∞: Cuando el objeto está entre el foco y el espejo, la imagen es virtual derecha y más grande. 1 1 1 + 0 = s s ∞ y s = −s0 y β = 1. La ecuación del espejo esférico puede obtenerse Considerando el espejo esférico como un caso particular de un dioptrio esférico con n1 = −n2 . Cuando el objeto está entre el foco y el centro de curvatura, la imagen es real, invertida y más grande que el objeto. Óptica de la refracción Recibe el nombre de dioptrio un conjunto formado por DOS medios transparentes, isótropos y homogéneos, separados por una superficie. Según sea esa superficie, los dioptrios se clasifican en planos o esféricos. Las imágenes que proporcionan los dioptrios pueden ser REALES o VIRTUALES: -Una imagen es real cuando se forma por intersección de los rayos tras cruzar (o emerger) del sistema óptico. Pueden recogerse sobre una pantalla. -Una imagen es virtual cuando se forma por intersección de las prolongaciones de los rayos. No se pueden recoger en una pantalla. Ecuación general del dioptrio esférico: n2 n1 − n2 n1 − 0 = s s R Llamaremos lente a un sistema óptico formado por 2 dioptrios del que al menos uno suele ser esférico. Una lente delgada es aquella cuyo espesor es despreciable frente a las longitudes asociadas con sus propiedades ópticas. Algunas de estas longitudes son, por ejemplo, los radios de curvatura de las superficies esféricas, las distancias focales y las distancias a las que se encuentran el objeto y la imagen. Para la lentes delgadas se cumple la ecuación: 1 1 1 1 − 0 = =− 0 s s f f donde f y f 0 son la distancias focal objeto y distancia focal imagen respectivamente. Para las lentes delgadas se cumple que f = −f 0 , es decir que los puntos foco objeto y foco imagen están situados simétricamente al centro de la lente y sobre el eje óptico. Foco objeto y foco imagen Foco objeto F : punto del eje óptico tal que cualquier rayo procedente de él o que se dirija hacia él se propaga paralelamente al eje una vez refractado. A la distancia desde este punto al centro de la lente se denomina distancia focal objeto f foco imagen F 0 a un punto axial tal que cualquier rayo paralelo al eje, después de la refracción se dirige hacia él o diverge desde él. A la distancia desde este punto al centro de la lente se denomina distancia focal imagen f 0 Lente convergente: rayos que pasan por el foco objeto F y entran en la lente, se refractan y a la salida salen paralelos al eje óptico. Rayos que entran paralelos al eje óptico se refractan y a la salida pasan por el foco imagen F 0 Lente divergente: la distancia focal imagen es negativa. Rayos que entran paralelos al eje óptico se refractan y a la salida divergen. Las prolongaciones ficticias (hacia atrás) de estos rayos divergentes se cortan en el foco imagen F 0 Potencia de una lente: inversa de la distancia focal imagen. De modo, que su unidad es la dioptrı́a, si f 0 se mide en m. La potencia de una lente convergente, será un número positivo, y negativo para las lentes divergentes. Por ejemplo, una lente divergente de distancia focal imagen f 0 = −20 cm tiene una potencia de: P = 1 = −5 dioptrias −0, 2 m Aberración esférica Es una aberración geométrica debida a que no se cumple la aproximación paraxial. Los rayos próximos al eje (paraxiales) se concentran en un foco y los más alejados lo hacen en otro punto, de modo que la imagen es un disco circular.La aberración esférica se corrige con un diafragma que no permite el paso de los rayos alejados del eje. También puede utilizarse una combinación de lentes convergentes y divergentes que elimine la aberración por compensación del efecto de una con otra. Aberración cromática El ı́ndice de refracción depende de la longitud de onda y, por lo tanto, la distancia focal es diferente para cada color. La imagen de un punto es un punto para cada color. Construcción imágenes en lentes delgadas - Un rayo paralelo al eje, que se desvı́a hacia el punto focal a la derecha de la lente. - Un rayo que pasando por el centro de la lente (vértice) no se desvı́a. - Un rayo que pasa por el primer punto focal de la lente y emerge paralelo al eje. (Este tercero,a veces, no resulta necesario) Lente convergente: objeto entre −∞ y 2F 0 0 Imagen entre F y 2F , de menor tamaño, real e invertida. Lente convergente: objeto en F Imagen en +∞. Lente divergente En el caso de la lente divergente o negativa, la imagen es virtual para todas las posiciones del objeto, de menor tamaño y a derechas. Lente convergente: objeto en 2F Imagen en 2F 0 , de igual tamaño, real e invertida. Miopı́a y corrección, lente divergente Lente convergente: objeto entre F y la lente Imagen entre lente y −∞, de mayor tamaño, virtual y derecha. Hipermetropı́a y corrección, lente convergente Imagen entre 2f 0 e +∞, de mayor tamaño, real e invertida. Lente convergente: objeto entre 2F y F : Imagen entre 2F 0 y +∞, de mayor tamaño, real e invertida. En el caso de la lente divergente o negativa, la imagen es virtual para todas las posiciones del objeto, de menor tamaño y a derechas.
