1.- PLANO CARTESIANO y DISTANCIA ENTRE PUNTOS

r
M. en C. Néstor Hernández Carrillo
i to
Geometría analítica
Ed
PLANO CARTESIANO
DF
El plano cartesiano es una construcción geométrica que permite trabajar curvas y figuras sobre dos
rectas posicionadas de modo perpendicular entre sí; una horizontal (denominado eje x o eje de las
abscisas) y otra vertical (eje y o eje de las ordenadas). De esta manera, el plano queda dividido en
cuatro regiones segmentadas como cuadrantes, los cuales se denotan con números romanos y se
cuentan en sentido antihorario (sentido contrario a las manecillas del reloj).
in
M
as
te
rP
Los ejes “x” e “y”, llamados ejes cartesianos, se cortan en un punto O llamado el origen del sistema
de coordenadas. Sobre los ejes coordenados se toma una escala que servirá para ubicar un punto P
especificando sus coordenadas x e y, siempre en ese orden: primero la coordenada x y luego la y.
Este par de coordenadas es único para cada punto y de esta manera P queda totalmente
especificado. En dicha escala, los valores ubicados del 0 hacia la derecha y del 0 hacia arriba son
positivos, y negativos si se localizan a la izquierda y hacia abajo del 0.
re
at
ed
El nombre responde al matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650), aunque la idea
en sí no fue invento suyo, ya que había comenzado a gestarse tiempo atrás, gracias al trabajo de
numerosos pensadores y científicos. El gran matemático y contemporáneo de Descartes, Pierre de
Fermat (1601-1665) llegó por su cuenta también a desarrollar los mismos principios que
combinaban la geometría con el álgebra en una nueva disciplina: geometría analítica.
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Geometría analítica
Trazado de puntos en el plano cartesiano
Ed
Para encontrar un punto P cuyas coordenadas (x,y) se conocen, se sigue el siguiente procedimiento:
-Se comienza por la coordenada x o por la y, es indiferente. Comenzando por la coordenada x, se
desplaza la punta del lápiz sobre el eje horizontal hacia la derecha, si la coordenada es positiva, o
hacia la izquierda si es negativa.
DF
-Una vez localizada la coordenada x, se debe mover el lápiz verticalmente hacia arriba si la
coordenada y es positiva o hacia abajo si es negativa. Si la coordenada y es 0, ya queda localizado el
punto de una vez.
as
te
rP
-Como último paso, dibujar el punto.
Ejemplos de puntos en el plano cartesiano
P1(3,4)
P1(-2,7)
P3(-4,-6)
P4(3,-5)
in




M
Graficar los siguientes puntos en el plano cartesiano:
re
at
ed
El plano cartesiano se puede dibujar a mano sobre un papel cuadriculado, con ayuda de una regla
milimetrada. La escala se mide con la regla o dividiendo los ejes mediante la cuadrícula ya impresa.
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rP
DF
Ed
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Geometría analítica
as
te
Obsérvese que el punto P1 está en el primer cuadrante (ambas coordenadas positivas), el punto P2
pertenece al segundo cuadrante (coordenada x negativa, coordenada y positiva), el P3 está en el
tercer cuadrante (las dos coordenadas son negativas) y P4 se ubica en el cuarto cuadrante
coordenada x positiva, coordenada y negativa).
Ejercicios de aplicación. Resuelve todo lo que se indica.
M
Los vértices de un rectángulo se encuentran en los puntos:
A (8,10)
B (-10,10)
C (-10,-4)
D (8,-4)
in
a)




¿Cuál es el perímetro del rectángulo y cuál es su área?
El perimetro de la figura es: 64 puntos;
El area de la figura es:252 punto^2
re
at
ed
b) Escribe las coordenadas de los vértices que se indican en la estrella.
A=(1,4)
B=(4,2)
C=(4,-1)
D=(1,-3)
E=(-2,-1)
F=(-2,-2)
r
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Triangulo
Trapecio
DF
Ed
c) Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano. Luego, une los segmentos en orden con
el color indicado, después escribe el nombre de figura formada.
Cuadrado
segundo cuadrante.
El punto 𝐴 pertenece al ___________
primer
El punto F pertenece al ___________
cuadrante.
tercer
El punto H pertenece al ___________
cuadrante.
El punto K pertenece al ___________
cuadrante.
cuarto
te
a)
b)
c)
d)
rP
d) Identifica los cuadrantes donde se ubican los puntos anteriores y completa las siguientes
frases:
ed
in
M
as
e) Observa la imagen y resuelve lo que se solicita:
re
at
Escribe las coordenadas de los puntos de la ciudad según la gráfica.
 Hospital ( , ) (7,6)
 Escuela ( , ) (-5,7)
 Restaurante ( , ) (-5,-3)
 Museo ( , ) (6,-4)
 Cine ( , ) (4,4)
 Biblioteca ( , ) (-8,1)
 Mercado ( , ) (-1,-1)
f)
Encuentra en la sopa de letras las palabras que completan el siguiente párrafo:
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at
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in
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DF
Ed
Descartes propuso el sistema de coordenadas _______________
cartesianas
René ___________
para la representación
________ de puntos en el espacio. Si trazamos dos rectas ________________
perpendiculares entre sí, el _____
plano
grafica
queda dividido en cuatro regiones llamadas _____________
que,
por
convención,
se
numeran
I, II,
cuadrantes
III y IV en sentido antihorario. La _________
horizontal recibe el nombre de 𝑒𝑗𝑒 𝑥 o eje de las
recta
__________ y la recta vertical recibe el nombre de _____
abscisas
eje 𝑦 o eje de las __________,
ordenadas y a su punto
de intersección se le conoce como _______,
_______________ son (0,0). En el plano
origen cuyas coordenadas
________,
a un par ordenado de valores le corresponde un punto y viceversa. El punto asociado a
cartesiano
un _____
ordenado
se obtiene localizando en los ejes la abscisa y la ordenada; el _______
punto donde se
par
intersecan las rectas paralelas a los ejes determina el punto asociado al par ordenado.
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Distancia entre dos puntos
rP
DF
Ed
Para estudiar la distancia entre dos puntos consideremos la siguiente figura.
En la figura podemos encontrar dos puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) en el plano cartesiano unidos por un
vector. La magnitud del vector coloreado en rojo y que une los puntos, es el valor que representa
distancia entre los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2).
as
te
Fórmula para calcular la distancia entre dos puntos y el teorema de Pitágoras
La fórmula para calcular dicha magnitud está dada por la siguiente expresión:
El valor de esta fórmula puede ser obtenido usando el Teorema de Pitágoras. Para ello,
consideremos el triángulo rectángulo de vértices
M
,
y
.
Como recordarás, Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
at
ed
in
Notemos que, los “catetos” corresponden a los segmentos de recta que van de 𝑥1 a 𝑥2, y de 𝑦1 a
𝑦2.
Para conocer sus medidas, tenemos que restar:
𝑥2 − 𝑥1
𝑦2 − 𝑦1
Se sustituye en el teorema de Pitágoras, y obtenemos:
𝑐² = 𝑎² + 𝑏² →
𝑐² = (𝑥2 − 𝑥1)² + (𝑦2 − 𝑦1)²
𝑐 = √(𝑥2 − 𝑥1)² + (𝑦2 − 𝑦1)2
re
Por lo tanto, la distancia (𝑑) 𝐴𝐵̅̅̅̅̅̅̅̅ entre dos puntos cualesquiera 𝐴(𝑥1, 𝑦1) y 𝐵(𝑥2, 𝑦2) está dada
por la fórmula:
Ed
También es válido invertir el orden de los puntos de las coordenadas (𝑥, 𝑦):
Ejemplos
as
te
rP
DF
1)
re
at
ed
in
M
Elegimos cualquier punto, puede ser el Punto 1, o puede ser el Punto 2. No importa a quién
tomemos como inicial, el resultado debe ser el mismo. En este caso vamos elegir al punto uno como
inicial, y punto dos como final.
De nuestra fórmula:
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rP
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Ed
2) Encuentre la distancia entre los puntos siguientes, considere el par ordenado P1 (-2, 3) y P2
(3,3).
Al igual que el ejercicio anterior, para poder calcular la distancia entre los dos puntos (P1P2), es
necesario aplicar la fórmula que implica el teorema de Pitágoras.
in
M
as
te
Vamos a tomar para este ejemplo P1P2 (P1 como punto inicial y P2 como punto final). Quedando
así:
ed
3) Ahora pondremos un ejemplo un poco más complicado: Uno de los extremos de un
segmento rectilíneo de longitud igual a 17 es el punto A (1, -11); si la ordenada del otro
extremo es 4, halla su abscisa.
at
No podemos bosquejar la recta, porque nos hace falta la abscisa, y es justo lo que el problema nos
pide, sin embargo, podemos puntualizar nuestros datos, para ver el procedimiento que llevaremos
a cabo, entonces.
re
d = 17
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Punto A = (1, -11)
Ed
Punto B = (x2, 4)
Llamaremos a “x2” a la abscisa que no conocemos, y que vamos a encontrar. Si establecemos la
fórmula de la distancia entre dos puntos, tendríamos lo siguiente:
DF
Vamos a despejar a “x2” de la fórmula. Entonces, quitamos la raíz cuadrada elevando ambos
miembros al cuadrado
rP
Con esto eliminamos la raíz cuadrada del segundo miembro, ahora pasemos la cantidad que está
sumando de “y2-y1” al primer miembro y ésta pasará a restar.
as
te
Donde está nuestra incógnita “x2” todavía tenemos un binomio al cuadrado, así que procedemos a
sacar la raíz en ambos miembros.
M
Perfecto, ahora solo despejamos a nuestra incógnita, pasando a sumar a “x1” al primer miembro.
Invertimos la igualdad, y tenemos finalmente lo que deseamos.
ed
in
Ahora simplemente sustituimos nuestros datos en lo que hemos despejado de la fórmula, y veremos
el resultado.
Y luego
at
Al extraer la raíz cuadrada de 64, recordemos que debemos tomar un valor + (positivo) y un –
(negativo).
Por lo que tendríamos dos abscisas, una sería:
re
Y la otra
r
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as
te
rP
DF
Ed
Esto nos llevaría a tener 3 puntos en el plano cartesiano.
Ejercicios de aplicación. Resuelve lo que se te indica
re
M
in
at
ed










a) Localiza los siguientes pares de puntos en el plano cartesiano, únelos con una línea y
encuentra la distancia entre ellos:
𝐴 (−2, 7),
𝐵 (6, −1) A a B=11.31
𝐶 (−3,5), B a C=10.81
𝐷 (5, 0)
𝐸 (0, 2), C a D=9.43
𝐹 (7, 3) D a E=5.38
𝐺 (2,6), E a F=7.07
𝐻 (5,8) F a G=5.83
𝐼 (7, 3),
G a H=3.60
𝐽 (3, −1)
H a I=5.38
I a J=5.65
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b) Retomando la imagen el plano de una ciudad, calcula las distancias existentes entre los
lugares que se solicitan en los incisos. Anota tus respuestas en cada línea:
as
te
a) La escuela y la biblioteca: 6.70
____________________
b) La biblioteca y el museo: ____________________
14.86
10.63
c) El mercado al hospital: ____________________
d) La escuela y el cine: ____________________
9.48
11.40
e) El cine y el restaurante: ___________________
ed
in
M
c) Observa la imagen y resuelve lo siguiente:
re
at
Encuentra la medida de cada lado del polígono:
𝑎: _________________________
7.07 U
𝑏: _________________________
11.04 U
8.24 U
𝑐: _________________________
𝑑: _________________________
7.07 U
𝑒: _________________________
8.60 U
42.02 U
¿Cuál es el perímetro del polígono? _____________________
d) Completa el siguiente crucigrama:
I
T
S
A
N
C
I
A
Ed
D
A
H
P
I
P
R
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E S
I A A
T
A
ST
N
A O
G
C
O
T
A
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R D
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M
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O
U
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C
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