TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez “En la medida que una sociedad posee equipos científicos con conciencia de muestreo para sus investigaciones y análisis de resultados, existe un grado de desarrollo mayor de dicha sociedad”. Felix L. Seijas, l981 TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO ® Prof. Lic. Rubén José Rodríguez TAREAS Para un estudio más eficaz de esta unidad sugerimos que complete las tareas en el siguiente orden: 1. Lea las Generalidades de la Guía de Estudios: Objetivos de Aprendizaje, Desarrollo de la Unidad y Ejemplificación de los temas. 2. Asista a la clase presencial sobre la unidad. 3. Realice las Actividades de Autoevaluación: conceptos Clave, Completar y AutoTest. 4. Desarrolle las Aplicaciones de los Conceptos y el Ejercicio basado en la experiencia. 5. Compare sus respuestas con las que figuran en la Clave de Respuestas que aparecen al final de esta unidad y repase lo que sea necesario. Buenos Aires 1996 ® REGISTRO DE LA PROPIEDAD INTELECTUAL. DIRECCIÓN NACIONAL DE DERECHO DE AUTOR. HECHO EL DEPÓSITO QUE MARCA LA LEY 11.723. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL -1- TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez OBJETIVOS DEL APRENDIZAJE Luego de completar el estudio de esta unidad, Ud. estará en condiciones de 1. Desarrollar los pasos en la selección de la muestra en una investigación de mercados. 2. Escoger el tipo de muestra (probabilística o no probabilística) adecuada al proyecto de investigación. 3. Elegir el método de muestreo que se utilizará para seleccionar los integrantes de la muestra. 4. Determinar el tamaño muestral necesario para un determinado error de muestreo. GENERALIDADES COMENTARIOS SOBRE LA CLASE NOCIONES BÁSICAS DE MUESTREO En el proceso de tomar decisiones –tanto en el quehacer diario de las personas como de las empresas- se requiere disponer de la mayor información posible sobre el tema en cuestión. Generalmente, la información que se requiere está referida a un universo de unidades de análisis que tiene un tamaño muy grande (N). Si se desea hacer un relevamiento total, completo y exhaustivo de dicha población (Censo) se ha de insumir mucho tiempo y recursos. Para resolver estos problemas prácticos surgió la teoría del muestreo, que es un capítulo de la estadística y de la teoría aplicada de las probabilidades. Esta teoría trata sobre los fundamentos probabilísticos, las distribuciones estadísticas, los métodos o técnicas de selección, las fórmulas de cálculo de los errores de muestreo, las fórmulas y tablas de determinación del tamaño de la muestra, los métodos de estimación de los parámetros poblacionales a partir de los estadísticos muestrales. Nosotros daremos una guía básica de introducción a la teoría de las muestras. Esta teoría indica los procedimientos o técnicas para extraer una parte o muestra del colectivo o población que se quiere estudiar, o analizar en ella las características que interesen y el del resultado de este análisis inferir o afirmar algo del universo total. El muestreo se utiliza con mucha frecuencia en investigaciones de mercados, medios y opinión –en investigación social, en general-, puesto que ofrece algunos importantes beneficios con la realización de un censo: -2- TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez (a) Una muestra ahorra dinero: El costo de una encuesta personal a una muestra de 1000 personas es más económica que si se realizará a toda la población. (b) Una muestra ahorra tiempo: El tiempo consumido en el trabajo de campo de una encuesta por muestreo es mucho menor que el insumido en un censo. Además del tiempo necesario para imprimir los cuestionarios, capacitar a los encuestadores, etc. que insumirá un censo. (c) Una muestra puede ser más precisa: En la confiabilidad final de una encuesta intervienen distintas fuentes de error, uno es el error de muestreo (al tomar una muestra y no una población), y otro es el error no muestral (listado incompleto de la población –marco de referencia muestral -, tendenciosidad de las respuestas, falta de respuesta de los respondentes). En una encuesta por muestreo se puede mejorar la selección y capacitación de los encuestadores, la selección cuidadosa de la muestra puede mejorar deficiencias del marco muestral; y de ese modo reducir el error no muestral. Las encuestas pueden ser totales, parciales o mixtas. La encuesta es total o exhaustiva, cuando se entrevista a toda la población, se dice que la población fue censada. La encuesta es parcial cuando se examina a parte de la población, se dice que es una encuesta por muestreo. Encuesta mixta, cuando se entrevista a toda la población con un propósito (censo de población, familia y vivienda) y simultáneamente a una parte de ella con otros objetivos (encuesta que releva variables: ocupacionales, migratorias, habitacionales, del ingreso, demográficas y educacionales como la EPH: Encuesta Permanente de Hogares). El estadígrafo muestrista es el profesional que tiene la responsabilidad de decidir cuál es el método de muestreo más apropiado a ser empleado. Algunos conceptos básicos de muestreo que el alumno debe manejar son los siguientes: Unidades elementales (o elemento): Es la unidad acerca de la cual se solicita información. Esta unidad es la que suministra la base del análisis. “Son las unidades que representan las partes más pequeñas de los elementos capaces de presentar una característica particular” 1 1 ONU. Organización de las Naciones Unidas (1957). “Preparación de informes sobre encuestas a base de muestras”, ONU, Informes Estadísticos, Serie C, Nº 1, preparado por la subcomisión de Muestras Estadísticas de la Comisión de Estadística de la ONU, Junio l957, pág. 583. -3- TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez Unidades de muestreo: Cada uno de los elementos que comprende la base de la muestra y que figuran numerados e individualizados en el registro (marco muestra). “Son las unidades que sirven de base para las operaciones de muestreo, pueden ser: (i) las mismas unidades elementales o (ii) grupos de elementos que conforman un conglomerado de unidades elementales” 2 Descripción de la cobertura: Debe darse una descripción exacta de la región geográfica que alcanza la muestra, y delimita espacialmente al universo o población representada por la muestra. Por ejemplo: Capital Federal y 19 partidos del Conurbano Bonaerense. Al mismo tiempo, debe darse una descripción de la materia abarcada por la encuesta: el grupo social o las partes constitutivas de la población cubierta por la encuesta: “Así, por ejemplo, en una encuesta demográfica es necesario especificar si se ha incluido personas como los residentes en hoteles, los pacientes internados, el personal médico y paramédico, las personas sin domicilio fijo, personas de las fuerzas armadas, etc... ” 3 Fecha y duración: Dos períodos de tiempo son importantes en cualquier encuesta: (i) El período de referencia: la fecha o el período a que se refieren los datos, así como, (ii) La referencia a la duración: la fecha inicial y final del trabajo de campo. Ejemplificación de los conceptos básicos de muestreo 1. Encuesta sobre el mercado potencial para una escuela primaria y secundaria en la zona norte del Gran Buenos Aires (GBA). Unidad elemental: a) madres de 25 a 40 años con hijos en edad escolar residentes en la zona desde hace 1 años a la fecha, b) adolescentes que cursan del primer al cuarto años de la escuela secundaria. Unidad de muestreo: Escuelas privadas no religiosas de los diferentes municipios de la zona norte del GBA. Cobertura: a) Zona Norte del GBA, b) Madres que envían a sus hijos a la escuela primaria y adolescentes que concurren al nivel secundario a establecimientos educacionales privados no religiosos. 2 3 Idem cita 1, pág. 484. Idem cita 1, pág. 483. -4- TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez Períodos: 1) Referencia de los datos: expectativas y actitudes para el ciclo lectivo l997, 2) Fechas de campo: 25 de noviembre al 6 de diciembre de l996. 2. Sondeo de opinión pública sobre la actualidad política, económica y social, e intención de voto a diputados en las elecciones legislativas de octubre de l997. Unidad elemental: Hombre y mujeres de 18 a 65 años en el momento de la encuesta, residentes en la Capital Federal y en condiciones de votar. Unidad de muestreo: Unidad Primaria: Distritos electorales de la Capital Federal, Unidad Secundaria: Areas comerciales de los distritos. Cobertura: a) Capital Federal, b) Sujetos de 18 a 65 años en condiciones de votar. Períodos: 1. Referencial de los datos: 1.1. Situación política, económica y social del país en l996, 1.2. Elecciones legislativas en octubre de l997. 2. Fechas de campo: del 9 al 14 de diciembre de l997. 3. Prueba de producto de un herbicida. Unidad elemental: Ingenieros Agrónomos a cargo de establecimientos agropecuarios. Unidad de muestreo: Unidad Primaria: Municipios o Departamentos de la zona de la pampa húmeda, Unidad Secundaria: Establecimientos agropecuarios con terrenos para el pastoreo de más de 1000 hectáreas. Cobertura: Provincias de Buenos Aires y La Pampa. Períodos 1. Referencial de los datos: prueba del herbicida durante un mes. Aplicación de la primera parte del cuestionario del product-test, y la segunda, luego de la aplicación del producto en el terreno. 2. Fecha de campo: Enero y febrero de l996. 4. Estudio del mercado potencial nacional para el lanzamiento de un complemento dietario en cápsulas. Unidad elemental: Hombres y mujeres mayores de 18 años, residentes en centros urbanos del país de más de 500.000 habitantes, con hábitos alimenticios que conlleva una dieta desequilibrada (‘fast food’). Unidad de muestreo: Unidades 1ª Ciudades de más de 500.000 habitantes, 2ª Barrios o distritos escolares, 3ª Manzanas (conglomerado o áreas de nueve manzanas), 4ª Viviendas, 5ª Unidades familiares (hogares), 6ª Hombres y mujeres mayores de 18 años que poseen dichos hábitos alimenticios. Cobertura: Nacional. Períodos: 1. Referencia de los datos: hábitos alimenticios durante el último año. 2. Fechas de campo: del 15 al 30 de noviembre de l996. -5- TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez En los ejemplos 1, 2, 3 y 4 se trata de muestreos por etapas múltiples: “En el muestreo por etapas múltiples, la materia de la encuesta se considera formada por cierto número de unidades de la primera etapa, cada una de las cuales está compuesta de unidades de la segunda etapa, y así sucesivamente...existe una jerarquía de unidades, dividiéndose cada unidad de la primera etapa en unidades de la segunda etapa, etc.....se selecciona un número de unidades primarias, de cada una de estas se escoge cierto número de unidades secundarias, y así sucesivamente”.4 PASOS EN EL PROCEDIMIENTO DEL MUESTREO En el esquema que sigue diagramamos la secuencia de pasos para seleccionar una muestra. Unidades Elementales Unidades de Muestreo Paso 1 DEFINIR LA POBLACIÓN Cobertura Períodos Listas Directorios Paso 2 IDENTIFICAR EL MARCO MUESTRAL Guías Mapas 4 Idem cita 1, pág. 485. -6- TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez Muestras Probabilísticas Paso 3 SELECCIONAR EL TIPO DE MUESTREO Muestras No Probabilísticas Muestras Probabilísticas: Aleatorio simple Al azar sistemático Estratificado Por conglomerados o por áreas Paso 4 ELEGIR EL MÉTODO DE MUESTREO Muestras No Probabilísticas: Coincidental o por conveniencia Opinático Por cuotas Elección razonada Paso 5 DETERMINAR EL TAMAÑO DE LA MUESTRA Porcentaje de resultado que se investiga (p = 100 – q) Coeficiente de confianza (P z) Error de muestreo (E%) Error de estimación (e%) Nivel de significación (P ) Intervalo de confianza ( z * E%) Universos finitos ( N 100.000) o infinitos (N > 100.000) -7- TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez MARCO MUESTRAL El uso del muestreo como método de recolección del dato estadístico del estudio impone de inmediato la necesidad de adelantar todos los aspectos tendientes a la construcción del marco muestral, que es la base sobre la cual deben diseñarse los procesos de selección de las unidades de muestreo. De la accesibilidad, actualidad y estructura que presente el marco muestral dependerá el tipo de muestreo (ver) y los métodos de selección de las unidades (ver). “Un marco muestral es una lista de todas las unidades de muestreo disponibles para su selección en una etapa del proceso de muestreo. En la etapa final se extrae la muestra real de esta lista. Algunos aspectos más creativos en un proyecto de investigación de mercado pueden estar relacionados con la especificación de un marco muestral. Un marco puede ser una lista de clase, un padrón electoral, una guía telefónica, una lista de empleados (un registro nacional de empresas industriales o una guía de la industria, un directorio de clientes adherentes al sistema de tarjetas de crédito, un registro de cuentas corrientes, etc.) hasta un mapa catastral con representación de manzanas”. 5 La disponibilidad de un buen marco muestral define la población. Muchas veces no existe correspondencia entre la población y el marco muestral debido a diversos factores: elementos faltantes o incompletos, unidades de análisis repetidas, etc. Ejemplificación del marco muestral En la “Encuesta Permanente de Hogares” (Diseño de la muestra, Plan de muestreo y Organización del marco muestral de la EPH), para la primera etapa el marco muestral estuvo integrado por todos los aglomerados urbanos de más de 100.000 habitantes que sean capitales de provincias. Desde el punto de vista político-administrativo las provincias están divididas en departamentos (municipios). Estos departamentos han sido subdivididos a su vez, con fines censales, en radios que se agrupan en fracciones. Pero a medida que el tiempo transcurría los datos censales no ofrecían la adecuación a la realidad que se requería para organizar el marco sobre ellos. Así es que, en todo el proceso de incorporación de aglomerados urbanos al programa 5 Kinnear, Thomas y James Taylor (1993). Investigación de Mercados – Un enfoque aplicado, Ed. Mc Graw-Hill, l993, pág. 334. -8- TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez hubo que organizar los marcos partiendo de las cifras censales pero completándolos o corrigiéndolos con cualquier tipo de información disponible y realizando recorridos en terreno para establecer la delimitación definitiva de la zona a estudiar. Un aglomerado urbano: es un conjunto de localidades urbanas geográficamente continuas entre sí, sin interposición de zonas no urbanas, que exceden los límites de divisiones administrativas municipales o provinciales. Para diferenciarlo de su localidad se le antepone el adjetivo Gran: “Gran Buenos Aires” (GBA), que incluye a la Capital Federal y los partidos de Conurbano Bonaerense: Vicente López, San Isidro, Gral. San Martín, Tres de Febrero, Lomas de Zamora, Morón, y Lanús, (cuyas superficies se integran totalmente al aglomerado), más 15 partidos cuyas superficies se integran parcialmente al aglomerado, constituyendo así los 22 partidos del Conurbano Bonaerense (ver la página WEB: http://www.dpd.dginf.sg.gba.ar/provincia/conurbano.html ). El marco muestral queda formado, entonces, para la Capital Federal, por ejemplo, como un conjunto de distritos escolares (del I al XXI) que se subdividen en fracciones censales (que agrupan viviendas), que a su vez se subdividen en radios censales (grupo con un tamaño promedio de 300 viviendas), que a su vez se dividen en manzanas. 6 TIPOS DE MUESTEO Se entiende por tipo de muestreo el procedimiento mediante el cual se extrae una muestra de una población dada. En general la muestra es toda parte representativa de un conjunto, población o universo, cuyas características debe reproducir en pequeño lo más exactamente posible. Pero para que este subconjunto represente al universo, con el propósito de obtener resultados válidos para conjunto total investigado, debe tener un fundamento matemático. Los tipos de muestreo pueden ser probabilísticos o no probabilísticos. MUESTREO PROBABILÍSTICO “El muestreo es probabilístico cuando se puede determinar de antemano la probabilidad de selección de cada uno de los elementos de la población o universo bajo estudio...La selección de un elemento o de una de las muestras posibles debe ser un experimento aleatorio o de azar de esos 6 INDEC. “Encuesta Permanente de Hogares”, Diseño de las muestras, Primera Etapa, INDEC, pág. 9. -9- TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez que engendran la base de la teoría de la probabilidad, en la cual se fundamenta la estadística matemática. Nos hay que olvidar que la selección aleatoria o de azar es inherente al muestreo probabilístico...las muestras probabilísticas son susceptibles de tratamientos estadísticos y por ende son a través de los cuales se puede inferir los parámetros de las poblaciones....de esta forma se tendrá la precisión de los estimadores” 7 La representatividad de la muestra no depende, como generalmente se cree, del número de elementos, es decir, cuanto más grande es la muestra más representativa será, sino del procedimiento de selección al azar. Una muestra es probabilística cuando se utiliza un procedimiento de selección al azar, que es el que garantiza que cada miembro o elemento de la población tenga igual probabilidad de ser seleccionado o incluido en la muestra. “Solo si una muestra que ha sido seleccionada al azar puede ser considerada como representativa y, consecuentemente, se le podrán aplicar los métodos de la inferencia estadística, para la estimación de los parámetros de la población”. 8 Las condiciones básicas de la representatividad son cuatro: a) definir y delimitar la población a la que deberá generalizarse las conclusiones obtenidas a partir de la muestra; b) poseer una garantía de que cada elemento de la población tenga la misma probabilidad (fracción de muestreo n/N) de ser incluido en la muestra; c) poder utilizar un procedimiento de muestreo donde la selección de una unidad sea independiente –no sea influida por- de la selección de la otra. d) Tener la precaución de seleccionar una muestra los suficientemente amplia como para reducir al máximo el error debido al muestreo MÉTODOS DE MUESTREO PROBABILÍSTICO Las diversas técnicas, procedimientos o métodos para seleccionar una muestra se denominan también diseños muestrales. Los diseños de muestreo de probabilidad se caracterizan por una serie de condiciones básicas: 7 Seijas, Felix L. (1981). Investigación por Muestreo, Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, Universidad Central de Venezuela, Caracas, l981, pág. 87. 8 Arnau Gras, Jaime (1979). Psicología Experimental – Un enfoque metodológico, Ed. Trillas, México, capítulo 12: Muestra y Azar, pág. 201 y 203. - 10 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez (i) Se conoce la probabilidad que tiene cada elemento de la población de ser incluido en la muestra. (ii) La muestra es seleccionada mediante un procedimiento aleatorio según las probabilidades. (iii) Al hacer las estimaciones de la muestra se tiene en cuenta dichas probabilidades. Los métodos o diseños de muestreo probabilísticos más utilizados son: I. Muestreo al azar simple. II. Muestreo al azar sistemático. III. Muestreo estratificado. IV. Muestreo por áreas o conglomerados. Muestreo al azar simple Consiste en seleccionar los diferentes ‘n’ elementos de la muestra entre los ‘N’ elementos que constituyen la población, de modo que todas las muestras posibles (combinaciones posibles) de tamaño ‘n’, esto es: N n (que se lee: ‘combinaciones de N elementos combinados en grupos de tamaño de n’ elementos); y que tengan la misma probabilidad de ser elegidos: 1 N n La probabilidad final de que un elemento de la población forme parte de la muestra de tamaño n es: n 1 1 1 1 N N N N N Para la selección de los elementos de la muestra se procede del siguiente modo. 1º Disponer de un listado de la población desde el elemento 1 hasta el elemento N, y enumerar el listado. - 11 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez 2º Seleccionar, por algún procedimiento de azar, n elementos del listado de tamaño N. Para ello se utiliza la Tabla de Números Aleatorios o tabla de números al azar, como la TABLA 1 que se adjunta al final de esta guía. La Tabla 1 es un ejemplo de una página donde se han generado por computador números al azar, y dispuesto en columnas de cuatro dígitos y agrupados cada cinco filas.9 Ejemplificación del muestreo al azar simple Supongamos que de un listado de 5.000 médicos especialistas hay que seleccionar al azar una muestra de 20 mediante el procedimiento de los números aleatorios. Para ello, en primer lugar, es necesario numerar correlativamente cada uno de los médicos que componen la población, desde el nº 0001 hasta el nº 5000. Realizada esta operación se elige al azar una hoja de las tablas de números aleatorios y también al azar se toma una columna de la hoja elegida. De esta columna de números se seleccionan aquellos que son inferiores a 5000, hasta un total de 20. Tomando la primera columna de la Tabla 1 (Ver pág. 24) se obtienen los siguientes elementos muestrales. Se seleccionan los números hasta 4 dígitos menores a 5000. Así los primeros tres números a incluir en la muestra, son: 0143, 1031, 2022. 0143 2600 1031 0822 2022 4329 0862 3932 3220 2282 1491 1539 4368 2523 2325 0701 0591 2163 3471 0327 Si el número de elementos a elegir fuera muy grande se emplearían tantas hojas de números aleatorios como sean necesarios. 9 Mediante el paquete estadístico SPSS, se puede generar números aleatorios con la opción Selección aleatoria de casos (Random Number Seed) del menú Transformar (Transform) de la ventana de la Vista de Datos o de la Vista de Variables. - 12 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez Muestreo al azar sistemático Consiste en seleccionar los diferentes elementos de la muestra mediante intervalos preestablecidos, a partir de uno de ellos elegidos al azar. Se define la fracción de muestreo dada por el cociente: N n llamada fracción ‘k’. La primera unidad se selecciona al azar simple, y las subsiguientes se seleccionan sistemáticamente cada fracción ‘k’. Ejemplificación del muestreo al azar sistemático Si se quiere elegir una muestra de 80 personas entre 1600, la fracción ‘k’ es 1600/80= 20. Se procede del mismo modo que en el muestreo al azar simple: se lista, se enumera del nº 000 al nº 1599, se elige al azar el primer número de la TABLA 1, menor a 1599, en este caso el número al azar es el 0143, que será el primer elemento de la muestra. El segundo será igual a 143 + k = 163, y así sucesivamente. Muestreo estratificado La totalidad de las unidades elementales incluidas en el marco muestral pueden dividirse en grupos o estratos, efectuándose un muestreo distinto en cada estrato. Los estratos son categorías de variables cualitativas o cuantitativas alrededor de la cuales puede clasificarse la población, tales como edad, sexo, clase social. El muestreo estratificado puede ser proporcional o no proporcional al número de elementos del estrato en la población. En el muestreo estratificado proporcional se asigna a cada estrato en la muestra un número proporcional a la cantidad de casos del estrato en la población. Ejemplificación del muestreo estratificado Supongamos que se trata de elegir una muestra de n = 1.000 personas, de una población de 68.000 habitantes, en la que hay 37.400 mujeres y 30.600 hombres, los tamaños de los estratos muestrales serán: - 13 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez Nº de Personas en la Población % en la Población Nº de elementos en cada estrato N 1 : Mujeres 37.400 55.0 n 1: 550 N 2 : Hombres 30.600 45.0 n 2: 450 N : Total 68.000 100.0 n : 1.000 Estratos Es decir: nj = Nj n N donde j = 1, 2 = número de estratos. En el muestreo estratificado no proporcional, no se guarda la proporción en relación con la población. Generalmente, se realiza aumentando el porcentaje en los estratos más reducidos y disminuyendo de manera equivalente los demás con el fin, por ejemplo, de obtener una mayor representación de dichos estratos en la muestra, o de contar en ellos con un número suficiente de individuos para el análisis. En síntesis, el muestreo estratificado es ampliamente usado, ya que permite controlar el error de muestreo y dar mayor precisión a las estimaciones que en el muestreo aleatorio simple, para un tamaño de muestra n dado. Muestreo por áreas o conglomerados Las unidades que se quieren estudiar, se agrupan en áreas ocupadas por los elementos de la población. Se divide al conjunto total del universo en subconjuntos llamados conglomerados, que sean lo más homogéneos dentro de sí y lo más heterogéneos entre sí. Este procedimiento muestral presenta una serie de ventajas en comparación con los anteriores diseños muestrales. La principal ventaja se evidencia en el trabajo de campo (en el trabajo de relevamiento en el terreno) porque no se requiere disponer de los listados de los elementos de la población. Ejemplificación del muestreo por áreas Como ejemplos de muestreo de conglomerados tenemos: Manzanas de viviendas para estudiar las familias. Hogares para investigar las personas. - 14 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez Fincas para indagar sobre cabezas de ganado. Aulas de clase para entrevistar a los alumnos. Colegios para inquirir a los maestros. Urnas electorales para analizar los votos a favor de un candidato o partido político. Hogares con la televisión encendida para preguntar por el canal y el programa sintonizado. Cuando existen varios niveles de conglomerados donde unidades de conglomerados se incluyen en conglomerados mayores se habla de muestreo polietápico. Generalmente esos conglomerados o áreas son superficies o zonas geográficas de la población estudiada. Se habla de conglomerados cuando se forman grupos de elementos y de áreas cuando las unidades de muestreo son superficies o zonas geográficas. Así por ejemplo, se habla de conglomerados cuando se cuenta con aulas o cursos de una escuela, departamentos o divisiones de una empresa; y de áreas cuando se cuenta con subdivisiones territoriales naturales: municipios, distritos, barrios, manzanas. Todos los niveles o etapas del muestreo por áreas, así como el procedimiento para contactar al entrevistado están reglados por el azar El procedimiento práctico general es el siguiente: a) sobre cartografía del universo bajo estudio, con una escala que permita la identificación de manzanas y visualización de calles, se cuadricula la superficie total de modo que las coordenadas tengan un tamaño aproximado de tres por tres manzanas (PM: Punto Muestra). b) Se enumeran y se sortean con la tabla de números al azar la cantidad de puntos muestras necesarios para cubrir el tamaño de la muestra. Esta es la muestra base o muestra de áreas. c) En cada punto muestra seleccionado se determina la manzana original (nº 1), también por sorteo al azar, y las manzanas de reemplazo (manzanas números 2 al 9). d) En la manzana señalada como manzana original se establecerá, también al azar, la esquina de arranque, un intervalo de timbreo preestablecido (una vivienda por medio, por ejemplo) según la densidad de viviendas en la zona. e) El recorrido de todas las manzanas se efectuará en el sentido de las agujas del reloj, ubicándose el encuestador con el brazo derecho pegado a la pared, e iniciará el recorrido a partir de la esquina de arranque. Si el encuestador tuviera que hacer uso de las manzanas de reemplazo, para completar la cantidad de encuestas por punto muestra, lo hará según el procedimiento indicado. - 15 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez Como vemos, el procedimiento del azar introducido en todas las etapas evita la intervención de la subjetividad del encuestador. Opcionalmente, se puede sortear la persona presente en el hogar que cumpla la condición de ser entrevistado. Procedimiento para seleccionar abonados telefónicos Merece un comentario especial la utilización de la encuesta telefónica en el marketing directo, el telemarketing y en el telesurvey. A continuación se resumen el procedimiento general para seleccionar muestras al azar simple y sistemático de guías telefónicas. Para el ejercicio tomamos la Guía Telefónica l996-97 de la Zona Sur del Gran Buenos Aires, cubierta por Telefónica de Argentina. En su sección alfabética se extiende desde la página 117 (letra AAA) hasta la página 936 (letra ZYT). Es decir, la amplitud total del listado alfabético es de 820 páginas. Se desea extraer una muestra de 200 abonados particulares (n), excluyendo los comerciales, profesionales e industriales. 1º Sobre una hoja de acetato transparente se traza cinco líneas horizontales (ver croquis de una página de la guía de cinco columnas). Cada línea le corresponde a un abonado seleccionado al azar, de modo que se eligen cinco abonados particulares por cada página. Croquis página Guía Telefónica - 16 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez 2º Se divide el número de páginas (820) por el tamaño de la muestra (n = 200) y se multiplica por cinco (número de abonados que se va a seleccionar en cada página). La cifra resultante es el intervalo (k = 20,5 páginas) entre una página seleccionada y la siguiente. Es decir, 820 20,5 intervalo = 40 páginas 5 abonados por página = 200 (n) De modo que mediante el muestreo al azar sistemático se cubre todo el rango alfabético de abonados particulares de ese universo. 3º Se abre la guía en una página elegida al azar, se coloca la hoja de acetato, se marca el nombre que coincida con la raya y se procede a listar. Si el nombre coincide con una empresa, comercio o institución, se anota el nombre siguiente correspondiente a un abonado particular. 4º Se definen los reemplazos -en caso de ‘no contesta’ o ‘rechazo’también con un criterio sistemático y objetivo (4 reemplazos antes o después de la raya, por ejemplo). MÉTODOS DE MUESTREO NO PROBABILÍSTICO Muestreo por cuotas El objetivo del muestreo por cuotas es determinar a quienes se va a entrevistar en términos de variables demográficas o características específicas, como grupos de edades, sexo, nivel socioeconómico, ciudadanos que hayan votado en la elección presidencial anterior al partido XX, audiencia de un determinado programa, etc. La muestra se divide en cuotas (número de personas de determinada clase) según parámetros poblacionales (datos censales, resultados electorales nacionales, o cifras de una panel de audiencia). Cálculo de las cuotas de edad y sexo para una muestra de 400 personas de la Capital Federal 10 Edad Total Hombres 172 15-24 34 43% Mujeres 228 34 20% 39 57% Total 400 20% 17% 17% 16% 10 12% 16% 14% 14% 17% 53 14% 56 13% 65 y +años 29 32 54 16% 55-64 24 32 65 18% 45-54 22 36 70 18% 35-44 29 36 73 100% 25-34 23% 82 14% 21% INDEC (1991). Censo Nacional de Población y Vivienda, Capital Federal, Resultados definitivos, Características seleccionadas, Serie B, Parte 1, INDEC, págs. 66-67. - 17 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez Muestreo coincidental o accidental Se define la circunstancia o lugar donde realizar las encuestas, según criterios del investigador. En general se concurre a terminales de trenes, ómnibus, aviones, plazas, avenidas comerciales, a la salida de supermercados, de espectáculos públicos, en puertas de fábricas, bancos, colegios, etc. según los objetivos de investigación y las circunstancias y hábitos de concurrencia de las unidades elementales. Con frecuencia se combina con el muestreo por cuotas. Muestreo opinático El muestreo opinático tiene dos acepciones: a) Cuando se toma en cuenta la opinión de un experto sobre la definición de las unidades elementales. Es el caso de la formación de una muestra de líderes de opinión, prestigio y poder y se recurre a expertos en relaciones públicas y periodistas para listar los informantes clave; y b) Cuando se realizan reportajes a una muestra de opinantes para realizar una nota, o cuando las audiencias de programas radiales o televisivos llaman por teléfono a las emisoras para opinar o contestar una pregunta. Estas muestras no son representativas, y cualquier aumento en el tamaño de la muestra no mejorará su calidad muestral. Recordemos que la representatividad de una muestra depende del procedimiento de selección al azar. Muestras de elección razonada Este es un tipo de muestra no probabilística pocas veces considerada por los manuales en la materia. “Frecuentemente, y especialmente por razones prácticas, se recurre a la formación de una muestra por métodos no rígidamente casuales, adoptando criterios lógicos también respetables. En estos casos se tiene una muestra de elección razonada que puede ofrecer, en algunas ocasiones, resultados incluso mejores de los obtenibles con métodos matemáticos más rigurosos, especialmente cuando no se pueden construir muestras con elementos numerosos...En la elección razonada se debe utilizar todas las nociones y datos disponibles sobre la naturaleza y composición del universo en relación al estudio - 18 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez que se va efectuar. Se requieren conocimientos profundos del problema y una gran experiencia en quien debe programar el estudio...”. 11 TAMAÑO DE LA MUESTRA Para el cálculo de los tamaños muestrales hay que tener en cuenta los tamaños de las poblaciones o universos y si se van a estimar medias aritméticas (variables cuantitativas o métricas) o proporciones (variables cualitativas o categoriales). En la mayoría de los casos en investigación social y de mercados se trata de inferencia de proporciones. Las fórmulas para el cálculo difieren según sean poblaciones finitas (N 100.000) o infinitas (N > 100.000) Los componentes estadísticos que intervienen en las fórmulas para el cálculo del tamaño de la muestra son los siguientes: Porcentaje de resultado que se investiga (p = 100 – q) Coeficiente de confianza (P z) Error de muestreo (E%) Error de estimación (e%) Nivel de significación (P ) Intervalo de confianza ( z * E%) Universos finitos (N 100.000) o infinitos (N > 100.000) Tamaño de la muestra para poblaciones infinitas (Ver Tabla 2) Formula. 1 n 4* p*q e2 11 Tagliacarne, Guglielmo (1973). Técnica y Práctica de las Investigaciones de Mercado, Ed. Ariel, Barcelona, págs. 210-211. - 19 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez Error de estimación de proporciones para una población infinita (Ver Tabla 3) Fórmula 2 e% 2 * p*q n Tamaño de la muestra para poblaciones finitas (Ver Tabla 4) Fórmula 3 4*p*q*N n 2 e *(N1)(4*p*q) Error de estimación de proporción para una población finita Fórmula 4 e% 2* p*q N n * n N 1 La fórmulas y las tablas están calculadas para un nivel de confianza de 2 (sigma: letra griega ‘s’ minúscula) que corresponde a un intervalo de confianza del 95,5% (Pz). Donde los símbolos significan: * = Símbolo de multiplicación n = Tamaño de la muestra N = Tamaño de la población 4 = Cuadrado del puntaje ‘z’ equivalente a 2 Desvíos Standares ( ) para un intervalo de confianza del 95,5%. e2 = Cuadrado del error de estimación. e% = Error de estimación = z * Error de muestreo. p = Porcentaje del resultado que se investiga (p =.50 ó p% = 50%). - 20 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez q = Porcentaje complementario (q = 100 – p). E% = Error de muestreo = p*q n (N – 1) = Factor de corrección. Factor que se utiliza para reducir el error standard de la muestra (E%) por tratarse de una población finita o no muy numerosa (N 100.000). Para un preciso cálculo de los tamaños muestrales y errores de estimación de proporciones pueden consultarse las Tablas 2, 3 y 4. Al seleccionar muestras probabilísticas se pueden realizar inferencias estadísticas de los parámetros a partir de los estadísticos. La inferencia estadística es el proceso de hacer uso de los resultados muestrales para obtener conclusiones sobre las características de una población. Se utiliza procedimientos estadísticos que permitan estimar la proporción (%) real de la población. Es decir, se utilizan los estadísticos (proporciones muestrales) como estimadores de los parámetros (proporciones poblacionales) mediante un razonamiento inductivo o de generalización estadística. Dicha inferencia se realiza mediante un procedimiento de estimación por intervalo. El intervalo de confianza es un conjunto de resultados (%) en los que confiamos que contengan –con cierto margen de probabilidad- los valores verdaderos de la población. Dicho coeficiente de confianza (Pz) es la medición probabilística de que el intervalo fijado por el error de muestreo (E%) contenga el parámetro que se desea estimar. El nivel de significación ( ), representado por la letra griega ‘alfa’, es el complemento a la unidad del coeficiente de confianza: Pz + = 100%. Dado el coeficiente de confianza se obtiene un valor z (puntaje standardizado z), el cual representa el desvío para la probabilidad de la confianza deseada. Este valor ‘z’ es el que interviene en el cálculo de los tamaños muestrales. Si se suponen que las variables se distribuyen normalmente, dicho valores se encuentran tabulados (ver Tabla de Curva Normal, Estadística, Unidad VII). La estimación por intervalo presupone una ecuación o igualdad, en que la Proporción parámetro (Pp) va ser igual a la Proporción muestral (Pm) más/menos ( ) un cierto Error de estimación (e%). Dicho error depende de dos factores: a) del nivel de confianza fijado para la estimación, y b) del error de muestreo (E%) Parámetro (Pp) = Estadístico (Pm) Error de estimación (e%) Ejemplificaciones delde tamaño de la muestra Parámetro (Pp) = Estadísticopara (Pm)elcálculo (Intervalo confianza*Error de muestreo) - 21 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez Caso 1: Estimación de proporción para una población infinita Una empresa hotelera desea realizar una encuesta entre la población de más de 25 años de Capital Federal, a fin de determinar diversos aspectos relacionados con sus hábitos de alojamiento y específicamente desea estimar la proporción de personas que cuando vacacionan lo hacen en hoteles. ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra necesaria? El error máximo esperado que se desea cometer en la estimación de la proporción es del 5% (e%). Como se desconoce la proporción de personas que se alojan en hoteles cuando vacacionan se asume que p = q = 50%. Se desea hacer la estimación con un nivel de confianza del 95,5% (2 z). Solución 1 Aplicando la fórmula 1 y reemplazando los valores, tenemos que el número necesario para ese nivel de error es de n = 400. n = 4 * 50 * 50 / 52 = 400 casos Solución 2: Recurriendo a la Tabla 2, y entrando por la columna de ‘Probabilidad de p y q’, igual a 50/50 y en la intersección de la fila ‘limites de error (e%)’ de 5,0% se obtiene, por tabla, el n de 400 casos. Solución 3: En la Tabla 5 se dispone de un Ábaco o Nomógrafo de Barnes. Colocando una regla sobre las escalas se hace corresponder la escala de p y q (50%), con la escala del error deseado (5,0%) y se obtiene como resultado el número de observaciones buscado n = 400. Caso 2: Estimación de proporción para una población finita Una universidad privada que posee 2500 alumnos en diversas carreras desea hacer una encuesta para averiguar la preferencia del alumnado sobre distintas actividades deportivas a incorporar en su ‘campus’. ¿Cuál será el tamaño de muestra necesario si no se quiere cometer un error no mayor al 5% para intervalo de confianza del 95,5% (2 z)? Solución 1: Aplicando la fórmula 3 y reemplazando los valores tenemos que el número necesario para ese nivel de error es de n = 345 alumnos. N = 4 * 50*50*2500 / 52 * (2500 – 1) + (4*50*50) = 345 alumnos - 22 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez Solución 2: Utilizando la Tabla 4 nos ubicamos en la columna de límite de error 5%, en la fila correspondiente al tamaño de la población finita (N = 2500) y en la intersección de ambas obtenemos el tamaño de muestra necesario n = 345 alumnos. - 23 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez ANEXO DE TABLAS ESTADÍSTICAS - 24 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez - 25 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez - 26 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez - 27 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez - 28 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez - 29 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez APLICACIÓN DE LOS CONCEPTOS DE LA UNIDAD Caso 1: Una empresa de galletitas del interior del país, con sede en la ciudad de Córdoba y con distribución en Rosario y Santa Fé desea realizar una investigación de mercado por medio de un muestreo probabilístico. Conoce los tamaños de las poblaciones de consumidores potenciales y desea calcular los tamaños de muestras necesarios para realizar un muestreo por áreas. Tamaños de las muestras, errores de muestreo y estimación Área z p% q% N n E% e% Total 2 50 50 578.720 600 2.04 4.08 Gran Cba. 2 50 50 270.000 250 3.16 6.32 Gran Ros. 2 50 50 230.000 200 3.54 7.08 Sta. Fé 2 50 50 78.720 150 4.08 8.16 Nota: Obsérvese que el Error de estimación (e%) es igual al Error de muestreo (E%) multiplicado por 2 (z). Aplíquese las fórmulas 1 y 2, y por aproximación las Tablas 2 y 3. Caso 2: Una empresa editorial posee varias revistas de circulación nacional pero que en el ámbito de Capital Federal y Gran Buenos Aires tiene identificados a los lectores en tres estratos: actual, abandonador y potencial. Desea realizar una encuesta sobre hábitos de lecturas y grado de satisfacción, para lo cual quiere conocer el tamaño de muestra necesario para realizar un muestreo estratificado, con un nivel de confianza del 95,5% y con los márgenes de error que se consignan en el cuadro. - 30 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez Tamaños de las muestras, errores de muestreo y de estimación Estratos z p% q% N n E% e% Total 2 50 50 25.000 394 2.50 5.00 Actual 2 50 50 15.000 390 2,50 5,00 Abandonador 2 50 50 3.000 353 2.50 5.00 Potencial 2 50 50 7.000 378 2.50 5.00 Nota: Aplique la Tabla 4 para el cálculo del n y la fórmula 4 para el cálculo del e%. - 31 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN CONCEPTO CLAVE Identifique cada uno de los siguientes conceptos de la Unidad: Teoría Básica del Muestreo, escriba la letra del término correcto en el espacio en blanco junto a la descripción correspondiente. a. Marco muestra b. Beneficios del muestreo c. Referencia a la duración d. Muestreo probabilístico i. Censo j. Inferencia estadística k. Unidad de muestreo l. Período de referencia e. Condiciones de representatividad f. Muestreo al azar simple ll. Muestreo sistemático m. Unidad elemental g. Teoría del muestreo h. Muestreo por áreas n. Muestreo estratificado _____1. Un relevamiento total, completo y exhaustivo de la población. _____2. Es la teoría que indica los procedimientos o técnicas para extraer una muestra para inferir algo sobre el universo total. _____3. Ahorra dinero, tiempo y es más precisa. _____4. Es la unidad acerca de la cual se solicita información. Es la unidad base del análisis. _____5. Cada uno de los elementos que comprenden la base de la muestra e individualizados en el registro (marco muestral). _____6. La fecha o período a la que se refiere los datos de la encuesta. _____7. La fecha inicial y final del trabajo de campo. _____8 Es una lista de todas las unidades de muestreo disponibles para su selección, impresa o grabada en un archivo computacional. _____9. Cuando se puede determinar de antemano la probabilidad de selección de cada uno de los elementos de la población y que son seleccionados con procedimientos aleatorios. ____10. Cada elemento tiene la misma probabilidad de ser incluidos en la muestra y se utiliza la selección al azar de las unidades. ____11. Es el procedimiento de estimación de los parámetros a partir de muestras representativas. ____12. Se seleccionan según un procedimiento de azar (bolillero o tabla de números aleatorios) los n elementos del listado de tamaño N. - 32 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez ____13. Se seleccionan los elementos a intervalos sistemáticos definidos por la fracción K = N/n. ____14. Las unidades que se quieren estudiar se ubican en superficies o zonas geográficas. ____15. Las unidades pueden clasificarse en categorías de variables claves (demográficas, socioeconómicas) que forman sub-universos. COMPLETAR Complete cada espacio en blanco en los siguientes párrafos con el término más apropiado de la lista que aparece a continuación. Puede utilizar un término más de una vez. También puede suceder que algún término no corresponda a ningún párrafo. . Tipo de muestreo . Marco muestral . Muestreo probabilístico . Muestreo no probabilístico . Muestreo. . Teoría del muestreo . Muestreo coincidental . Muestreo opinático . Infinitas . Muestrales y no muestrales . Intervalo de confianza . Error de muestreo (E%) . Métodos de muestreo . Representatividad de la muestra . Muestreo por cuotas . Finitas . Error de estimación . . p*q N n * n N 1 p*q n . z* p*q n 1. La...............................es un capítulo de la estadística y de la teoría de las probabilidades. 2. El................................se utiliza frecuentemente en investigación social y de mercado. 3. En una encuesta por muestreo intervienen errores.............................4. Una lista de clase, un padrón electoral, una guía telefónica, una lista de empleados, pueden ser un..................................5. Se entiende por.................................el procedimiento (azar o no) mediante el cual se extrae una muestra de una población dada. 6. La...............................depende del procedimiento de selección al azar. - 33 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez 7. Los..............................son las diversas técnicas o procedimientos para seleccionar una muestra, también se llaman diseños muestrales. 8. En el...........................las unidades no tienen la misma probabilidad de ser incluidas en la muestra y no se utiliza el procedimiento al azar. 9. La muestra que fija la cantidad de entrevistas a realizar por cada encuestador según parámetros socio-demográficos, se llama................................................10. En el..........................se define la circunstancia o lugar donde realizar las encuestas, según criterios del investigador. 11. En el............................son los elementos de determinada población (audiencia) los que voluntaria y predispuestamente se incluyen en la muestra. 12. Las poblaciones...............................tiene un mayor a 100.000 elementos. 13. El..........................................es un conjunto de resultados (%) en los que confiamos que contengan –con cierto margen de probabilidad- los valores verdaderos de la población. 14. El......................................se genera por el hecho de tomar ‘n’ elementos (amplitud de la muestra) en vez de tomar los ‘N’ elementos (amplitud de la población. 15. El.....................................está definido por la probabilidad del intervalo de confianza expresado en puntaje ‘z’ (Pz) que multiplica al Error de muestreo (E%). AUTO-TEST ELIJA LA MEJOR RESPUESTA 1. La teoría de las muestras des una rama: a. de la matemática b. de la geometría c. de la estadística d. del álgebra 2. Los beneficios de la muestra respecto del censo son: a. el ahorro de dinero, cálculo y personal b. el ahorro de dinero, cuestionarios y encuestadores c. el ahorro de dinero, tiempo y análisis d. el ahorro de dinero, tiempo y mayor precisión 3. Los elementos que figuran numerados e individualizados en un registro son: a. unidades elementales - 34 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez b. unidades de muestreo c. unidades de análisis d. unidades de la variable. 4. Un listado de unidades de muestreo numeradas y registradas en un archivo es: a. un marco de referencia b. un marco teórico c. un marco operacional d. un marco muestral 5. Cuando en una muestra se utiliza un procedimiento de azar, y los elementos tienen la misma probabilidad de ser incluidos en la muestra se dice que es: a. una muestra accidental b. una muestra probabilística c. una muestra no probabilística d. una muestra intencional 6. Cuando se seleccionan por procedimientos de sorteo o de números al azar los n elementos de los N elementos, entonces la muestra es: a. al azar por áreas b. al azar estratificada c. al azar sistemática d. al azar simple 7. De una población de 1.500 se extrae una muestra al azar de n = 60, ¿cuál es el primer de la Tabla 1 que se incluirá en la muestra? a. 143 b. 1031 c. 862 d. 1491 8. De una población de N = 7.500 elementos se quieren extraer de modo sistemático una muestra de n = 300, ¿ es el intervalo de muestreo que hay que aplicar?. a. 15 b. 25 c. 35 d. 45 - 35 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez 9. Si en el ejercicio del caso 1 de Aplicación de los conceptos, aumenta al doble el Error de muestreo (E%) para el área de Gran Córdoba, ¿cuál será el tamaño de la muestra, con un error de estimación del 12,64% (e%)? a. 53 b. 63 c. 73 d. 83 10. Si en el ejercicio del Caso 2, el estrato de lectores actuales aumenta a 20.000, manteniéndose los niveles de errores, ¿cuál será el nuevo tamaño muestral? a. 392 b. 394 c. 396 d. 398 - 36 - TEORÍA BÁSICA DEL MUESTREO Rubén José Rodríguez CLAVE DE RESPUESTAS CONCEPTOS CLAVE 1) i 6) l 11) j 2) g 7) c 12) f 3) b 8) a 13) ll 4) m 9) d 14) h 5) k 10) e 15) n COMPLETAR 1) Teoría del muestreo 9) Muestreo por cuotas 2) Muestreo 10) Muestreo coincidental 3) Muestrales y no muestrales 11) Muestreo opinático 4) Marco muestral 12) Infinitas 5) Tipo de muestreo 13) Intervalo de confianza 6) Representatividad de la muestra 14) Error de muestreo (E%) 7) Métodos de muestreo 15) Error de estimación (e%) 8) Muestreo no probabilístico ELIJA LA MEJOR RESPUESTA 1. c 6. d 2. d 7. a 3. b 8. b 4. d 9. b 5. b 10. a - 37 -
