Distribución de Probabilidad Condicional.

Distribución de probabilidad condicional
Si X y Y son variables aleatorias discretas conjuntas con función de
probabilidad conjunta p(x, y) y funciones de probabilidad marginal
px(x) y py(y), respectivamente, entonces la función de probabilidad
discreta condicional de X dada Y es:
Donde
Ejemplo:De un grupo de tres republicanos, dos demócratas y uno
independiente se ha de seleccionar aleatoriamente un comité de dos personas.
Denote con X el número de republicanos y con Y el número de demócratas del
comité. Encuentre la función de probabilidad marginal de Y.
La función de probabilidad marginal de Y:
y
0
6/15
1
8/15
2
1/15
La función de probabilidad condicional de X dado Y=1:
=
=
=
( , )
( )
( , )
( )
( , )
( )
/
/
X
/
/
/
0
p
0
¼
1
¾
2
0
De forma análoga, la función de probabilidad condicional de Y dado X
es:
Para el caso continuo tenemos que la funciones de densidad
condicional son:
f
f
( ,
(
( ,
(
)
)
)
)
Ejemplo:Una maquina automática expendedora de bebidas tiene una
cantidad aleatoria Y de bebida en existencia al principio de un día
determinado y dosifica una cantidad aleatoria X durante el día (con
cantidades expresadas en galones). La máquina no se reabastece
durante el día y, en consecuencia, X ≤ Y. Se ha observado que X y Y
tienen una densidad conjunta dada por:
Graficamos la función de densidad:
Esto es, los puntos (x, y) están uniformemente distribuidos en el triangulo con
las fronteras dadas. Encuentre la densidad condicional de x dada X = x. Evalúe la
probabilidad de que se venda menos de 1/2 galón, dado que la máquina contiene
1.5 galones al empezar el día.
La densidad marginal de Y:
Para calcular la probabilidad pedida obtenemos la función de
densidad condicional:
La probabilidad de que se venda menos de 1/2 galón, dado que la
máquina contiene 1.5 galones al empezar el día:
.
.
dx
.
.
dx
La función de distribución condicional de x dado y, se
expresa como:
O la función de distribución condicional y dado x:
Ejemplo:Un experimento consiste en lanzar tres veces una moneda.
Sean las variables aleatorias: X ="número de caras en las tres tiradas" y
Y ="diferencia en valor absoluto entre el número de caras y el de
escudos en las tres tiradas". Se pide:
a) Distribución de probabilidad de (X, Y)
b) Distribución condicionada de X a Y=3
c) Distribución condicionada de Y a X=2
y
El espacio muestral para el experimento es:
(c,c,c),(c,c,e),(c,e,c),(e,c,c),(c,e,e),(e,c,e),(e,e,c),(e,e,e)
X: "número de caras en las tres tiradas"
X=0,1,2 y 3
Y: "diferencia en valor absoluto entre el número de caras y el de escudos
en las tres tiradas".
Y=1 y 3
X(c,c,c) = 3
X(c,c,e) = X(c,e,c) = X(e,c,c) = 2
X(c,e,e) = X(e,c,e) = X(e,e,c) = 1
X(e,e,e) = 0
Y(c,c,c) = 3
Y(c,c,e) = Y(c,e,c) = Y(e,c,c) = 1
Y(c,e,e) = Y(e,c,e) = Y(e,e,c) = 1
Y(e,e,e) = 3
La función de distribución conjunta es:
X\Y
0
1
2
3
( )
1
0.000
0.375
0.375
0.000
3
0.125
0.000
0.000
0.125
( )
Funciones de probabilidad marginales:
X\Y
1
3
0
0.000
0.125
0.125
1
0.375
0.000
0.375
2
0.375
0.000
0.375
3
0.000
0.125
0.125
( )
0.750
0.250
1.000
( )
X
0
0.000
1
1.000
2
2.000
3
3.000
Distribución condicionada X a Y=3
X
0
1
2
3
( )
p(x/y=3)
0.5
0
0
0.5
Y
( )
1
0.75
3
0.25
Distribución condicionada Y a X=2
y
p(y/x=2)
1
1
3
0
En el Ejemplo 5.4 y el Ejercicio 5.5 consideramos la densidad conjunta
de Y1, la proporción de la capacidad del tanque que se abastece al
principio de la semana, y Y2, la proporción de la capacidad vendida
durante la semana, dada por:
a)
b)
c)
Encuentre la función de densidad marginal para Y2.
Para que valores de y2 esta definida la densidad condicional f (y1/y2)?
Cual es la probabilidad de que más de la mitad del tanque se venda dado
que se abastecen tres cuartas partes del tanque?
Si una partícula radiactiva se coloca aleatoriamente en un cuadrado con
lados de longitud unitaria, un modelo razonable para la función de
densidad conjunta para Y1 y Y2 es:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Encuentre las funciones de densidad marginal para Y1 y Y2.
Cual es P(.3 < Y1 < .5)? .P(.3 < Y2 < .5)?
Para que valores de y2 esta definida la densidad condicional f (y1/y2)?
Para cualquier y2, 0 ≤ y2 ≤ 1, .cual es la función de densidad condicional de
Y1 dado que Y2 = y2?
Encuentre P(.3 < Y1 < .5oeY2 = .3).
Encuentre P(.3 < Y1 < .5oeY2 = .5).
Compare las respuestas que obtuvo en los incisos a, d y e. Para cualquier y2,
0 ≤ y2 ≤ 1 .como se compara P(.3 < Y1 < .5) con P(.3 < Y1 < .5/Y2 = y2)?