Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Bahía Blanca Cátedra: Ingeniería Mecánica II Unidad Temática: Transformación del movimiento: Estudio cinemático y dinámico del mecanismo biela-manivela Estudio cinemático del mecanismo biela-manivela La cinemática (del griego κινεω, kineo, movimiento) es la rama de la mecánica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las fuerzas que lo originan y estudia la trayectoria de objetos, partículas, cuerpos en función del tiempo. La velocidad y la aceleración son las dos principales magnitudes que describen cómo cambia la posición en función del tiempo. En este caso estudiamos la posición en función del desplazamiento angular de la manivela. a) Ecuación del desplazamiento del pistón en función del ángulo de giro de la manivela Mecanismo: Conjunto de piezas o elementos que ajustados entre sí y empleando energía (mecánica, de presión, de combustión, etc.) hacen un trabajo y/o transmiten movimiento, destinados a asegurar el funcionamiento efectivo de un algo. Referencias L = longitud de la biela r = radio de la manivela C = carrera del pistón PMS = punto muerto superior PMI = punto muerto inferior x = desplazamiento del pistón (referido al PMS) α = desplazamiento angular de la manivela respecto a la posición correspondiente al PMS β = ángulo que forma la biela con el eje del cilindro El mecanismo de biela - manivela es un mecanismo que transforma un movimiento circular en un movimiento de traslación, o viceversa. El ejemplo actual más común se encuentra en el motor de combustión interna de un automóvil, en el cual el movimiento lineal del pistón (émbolo) producido por la combustión del combustible (nafta, gasoil, gas natural) se trasmite a la biela y se convierte en movimiento circular en el cigüeñal (manivela). Página 1 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Bahía Blanca Cátedra: Ingeniería Mecánica II Unidad Temática: Transformación del movimiento: Estudio cinemático y dinámico del mecanismo biela-manivela A continuación, obtendremos la ecuación del desplazamiento del pistón en función de α: ( ) ( )– [1] Para hacer que el desplazamiento x sea exclusivamente función del ángulo α nos valdremos de la siguiente relación, obtenida a partir del esquema del mecanismo que se muestra en la página anterior: (con ) Recordando además que: √ – √ Reemplazando en [1]: ( ( ) [ √ ) ] ( √ ) [2] En la gráfica se observa que para un ángulo α < 90º, esto implica que el mecanismo tardará menos tiempo en recorrer la primera mitad de la carrera que en completar la segunda mitad. También se observa que la curva presenta un punto de inflexión para α1 < 90º y otro para α2 > 270º. A modo de ejemplo, verificaremos con un mecanismo biela-manivela cualquiera que, para un ángulo α = 90º, el mismo ya ha recorrido más de la mitad de su carrera: Datos: Página 2 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Bahía Blanca Cátedra: Ingeniería Mecánica II Unidad Temática: Transformación del movimiento: Estudio cinemático y dinámico del mecanismo biela-manivela Si α = 90º resulta, reemplazando en [2]: ( ) ( ) √ ( ) √ ( Se verifica que x > r. Por lo tanto, el mecanismo ha recorrido más de la mitad de su carrera. b) Ecuación de la velocidad del pistón Si derivamos la ecuación de desplazamiento [2] con respecto al tiempo: [ ( ) ( √ )] Necesitamos expresar v en función de α. Para ello, recurrimos a la conocida regla de la cadena para derivación: [ ( ) ( √ )] dα/dt es la velocidad angular de la manivela, que llamaremos ω. Reemplazando en la expresión anterior: [ ( ) ( √ )] Ahora estamos en condiciones de derivar con respecto a : [ √ ] Tanto λ como sin α son menores a la unidad. Si elevamos al cuadrado ambas magnitudes y luego las multiplicamos entre sí, da como resultado un número muy pequeño. Por esta razón es válido considerar que la expresión √ es igual a 1. De ese modo nos queda: Página 3 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Bahía Blanca Cátedra: Ingeniería Mecánica II Unidad Temática: Transformación del movimiento: Estudio cinemático y dinámico del mecanismo biela-manivela Recordando que sin 2α = 2 sin α.cos α: [ ] [3] La siguiente es la representación gráfica de la ecuación [3]: Se observa que la velocidad es nula para α = 0º, α = 180º y α = 360º. Tiene su valor máximo en α1 < 90º y su valor mínimo en α2 > 270º. c1) Ecuación de la aceleración del pistón Derivando [3] con respecto al tiempo: [ [ ( )] ( )] ( ) ( ) [4] A continuación, la representación gráfica de [4]: La aceleración tendrá su valor máximo en α = 0º y su valor mínimo en α = 180º. La aceleración será nula en α1 < 90º (donde la velocidad es máxima) y en α2 > 270º (donde la velocidad es mínima). Página 4 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Bahía Blanca Cátedra: Ingeniería Mecánica II Unidad Temática: Transformación del movimiento: Estudio cinemático y dinámico del mecanismo biela-manivela A continuación, mostraremos juntas las curvas de desplazamiento, velocidad y aceleración en función del ángulo de giro de la manivela , con el objeto de poder apreciar mejor las relaciones existentes entre ellas: c2) Página 5 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Bahía Blanca Cátedra: Ingeniería Mecánica II Unidad Temática: Transformación del movimiento: Estudio cinemático y dinámico del mecanismo biela-manivela Determinación analítica de los ángulos α1 y α2 De acuerdo con lo visto en Análisis Matemático I, sabemos que es posible la existencia de puntos de inflexión para aquellos valores de la variable independiente en los cuales la función derivada segunda de una función dada es igual a 0. En nuestro caso, partimos de la función desplazamiento, siendo su derivada primera la velocidad y su derivada segunda la aceleración. En las gráficas correspondientes, ya hemos visto que la aceleración se anula en α1 y α2 y que esos valores dan lugar a puntos de inflexión en la curva ( ). Comenzaremos entonces igualando la expresión de la aceleración [4] a cero: ( ) [a] Necesitamos poner todo en función de α, para ello recurriremos a la siguiente identidad trigonométrica: [b] Reemplazando [b] en [a] y operando: ( ) Dividiendo ambos miembros por 2λ y ordenando: La anterior es una ecuación de segundo grado, que admite 2 soluciones o raíces. En este caso, una de las raíces será un valor que no pertenece al conjunto imagen de la función cos α, por lo que no se tendrá en cuenta. La otra raíz es la que nos permitirá calcular α1. Luego, haciendo , obtendremos . A modo de ejemplo, calcularemos α1 y α2 para una relación λ = 0,25: Resolviendo esta ecuación se obtienen las raíces la primera de ellas para determinar que ( . Haciendo √ ) y ( obtenemos √ ). Tomaremos . Observación: en el ejemplo se comprueba que α1 < 90º y que α2 > 270º. Sin embargo, es importante aclarar que estos valores de α en general no coinciden con los ángulos para los cuales se verifica (ver gráfico de desplazamiento). Página 6 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Bahía Blanca Cátedra: Ingeniería Mecánica II Unidad Temática: Transformación del movimiento: Estudio cinemático y dinámico del mecanismo biela-manivela c3) Análisis de la relación λ Sabemos que . El ángulo β será máximo para α = 90º, dado que sin α =1. Por lo tanto: La relación λ representa un índice máximo de inclinación de la biela. Siguiendo con nuestro ejemplo, donde λ = 0,25: Representación gráfica de βmax en función de λ. Por lo general, en motores automovilísticos, se adoptan en la práctica para la relación λ, valores comprendidos entre 0,22 y 0,30. Estudio dinámico del mecanismo biela-manivela a1) Fuerzas Alternas de Inercia La inercia es la propiedad física en virtud de la cual un cuerpo tiende a permanecer en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme. Esto ocurrirá siempre y cuando la fuerza neta o resultante que pudiera actuar sobre dicho cuerpo sea nula. En consecuencia, un cuerpo conserva su estado de movimiento original si no existe una o más fuerzas actuando sobre él. De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, se cumple que: [5] ma involucra aquellas masas del mecanismo sometidas a movimiento rectilíneo alternativo. El signo menos se debe a que Fa se opone al cambio del sentido del movimiento. En la práctica se considera que las masas sometidas a movimiento alternativo en un mecanismo biela-manivela son: - Pistón con sus aros - Perno de pistón - Pie de biela y 2/3 de la caña. Reemplazando [4] en [5]: Página 7 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Bahía Blanca Cátedra: Ingeniería Mecánica II Unidad Temática: Transformación del movimiento: Estudio cinemático y dinámico del mecanismo biela-manivela ( Aplicando propiedad distributiva: ) [6] A continuación, la representación gráfica de la ecuación [6]: En el primer término de [6] tenemos las fuerzas alternas de inercia que dependen del ángulo α y que se conocen como fuerzas alternas de primer orden Fa´. En el segundo término están las fuerzas alternas de inercia que varían en función del ángulo doble 2α. Por esa razón, se las denomina como fuerzas alternas de segundo orden Fa´´. A continuación, se muestran las curvas correspondientes a las Fa´ y a las Fa´´: Página 8 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Bahía Blanca Cátedra: Ingeniería Mecánica II Unidad Temática: Transformación del movimiento: Estudio cinemático y dinámico del mecanismo biela-manivela Comparando ambas curvas, se observa por un lado, que la frecuencia de las Fa´´ es el doble de la frecuencia de las Fa´. Por otra parte, la amplitud de las Fa´´ es igual a veces la amplitud de las Fa´. Al ser 1, la magnitud de las fuerzas alternas de inercia de 1º orden será mayor que la de las fuerzas alternas de 2º orden. a2) Diagrama de las fuerzas alternas de inercia en función del desplazamiento del pistón Es posible trazar un diagrama Fa = f(x), cuya forma será aproximadamente la siguiente: representa el trabajo neto realizado por las fuerzas alternas de inercia ∫ cuando el pistón realiza dos carreras completas (lo que equivale a decir, en un motor de 4 tiempos, cuando el mismo completa un ciclo de funcionamiento). En el gráfico anterior, el trabajo equivale al área comprendida entre la curva de la fuerza alterna de inercia Fa y el eje x, correspondiente al desplazamiento del pistón. Del análisis del gráfico anterior, se desprende que las áreas con signo positivo se compensan con las áreas con signo negativo. Por lo tanto, el trabajo neto realizado por las fuerzas alternas de inercia es nulo. La integral definida b) Par Motor Página 9 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Bahía Blanca Cátedra: Ingeniería Mecánica II Unidad Temática: Transformación del movimiento: Estudio cinemático y dinámico del mecanismo biela-manivela A continuación, nos propondremos hallar una expresión del par motor instantáneo en función del ángulo de giro de la manivela, es decir, queremos determinar ( ). Observando la figura anterior, podemos decir que: [a] [b] Donde , siendo Fg la fuerza efectuada sobre el pistón por los gases de combustión al expandirse en el interior del cilindro y Fa la fuerza alterna de inercia. Cabe aclarar que esta suma es algebraica, ya que dependiendo del valor de , Fa puede ser positiva o negativa. Por otro lado, también a partir del esquema anterior, se desprende: ( ) ( ) Teniendo en cuenta que: ( ) ( ) Obtenemos la siguiente expresión para d: ( ) [c] Reemplazando [b] y [c] en [a]: ( ) ( ) Recordando que [d] , despejando , obtenemos: [e] Por otro lado: √ – [f] Reemplazando [e] y [f] en [d]: ( Como √ – √ – ) : Página 10 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Bahía Blanca Cátedra: Ingeniería Mecánica II Unidad Temática: Transformación del movimiento: Estudio cinemático y dinámico del mecanismo biela-manivela ( Sabiendo que ) , nos queda finalmente la expresión del par motor instantáneo: ( ) [7] Presentaremos ahora una importante y conocida expresión del par motor Mt, en función de la potencia N y el número de vueltas n, es decir: ( ). Recordemos que: ( ) [ ] Por otro lado: [ ] Sabemos que la potencia N se puede expresar como: Teniendo en cuenta que , reemplazando: [ ] En las expresiones anteriores, r está dado en metros [m], n en revoluciones por minuto [rpm] y F en kilogramos fuerza [⃗⃗⃗⃗ ]. Para expresar la potencia N en CV, es necesario recordar que 1 CV = 75 kgm/s. Haciendo el correspondiente pasaje de unidades y operando obtenemos: [CV] Y despejando el par motor Mt: [kgm] Nota: El Mt calculado a partir de la expresión anterior no se corresponde con el par motor instantáneo, el cual se determina utilizando la ecuación [7]. Página 11 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Bahía Blanca Cátedra: Ingeniería Mecánica II Unidad Temática: Transformación del movimiento: Estudio cinemático y dinámico del mecanismo biela-manivela c) Motor Descentrado A partir del análisis de la figura, es posible concluir que la fuerza de empuje Fn del pistón sobre las paredes del cilindro está dada por: La fuerza normal Fn produce fenómenos indeseables, como ser la pérdida de potencia y el desgaste por rozamiento del pistón contra las paredes del cilindro. Para disminuir la magnitud de Fn sería posible aumentar la longitud de la biela, con el objeto de reducir su inclinación de β a β’. Sin embargo, esta solución no resulta conveniente, porque aumenta ma (y en consecuencia Fa). También podríamos disminuir el radio de la manivela, reduciendo asimismo la inclinación de la biela. Esta solución no es conveniente porque se reduce el par motor y por consiguiente se pierde potencia en el eje. Entonces se recurre como alternativa en la práctica a desplazar el eje del cilindro respecto al plano que contiene al eje geométrico del cigüeñal una cierta distancia s, en el sentido en el cual se verifica la rotación de la manivela en la fase de expansión. De este modo, la biela resulta menos inclinada en las fases de expansión y aspiración y más inclinada en las etapas de compresión y escape. Como consecuencia de esto, tendremos una disminución en el valor máximo y un aumento en el valor mínimo de la fuerza de empuje Fn. Página 12
