2
Espacios Asociados a una Matriz
Definición 15:
Sea 𝐴 una matriz de orden 𝑚 𝑥 𝑛 y sea 𝑁𝐴 = 𝑁 𝐴 = 𝑋 ∈ 𝐾 𝑛 ; 𝐴 𝑋 = 0𝐾𝑛
𝑁𝐴 es un subconjunto de 𝐾 𝑛 , llamado Espacio Solución del Sistema Homogéneo 𝐴𝑋 = 0𝐾𝑛 ,
también se denomina espacio nulo, núcleo o Kernel de 𝑨.
Al número dim (𝑁𝐴 ) se le llama Nulidad de 𝐴 y se denota por 𝑣 𝐴
Teorema 25:
Sea 𝐴 una matriz de orden 𝑚𝑥𝑛, entonces 𝑁𝐴 es un subespacio de 𝐾 𝑛 .
Demostración: (hacer demostración)
3
Teorema 26:
Sea 𝐴 una matriz 𝑛𝑥𝑛 . Entonces 𝐴 es Invertible si y sólo si 𝑣 𝐴 = 0
Demostración:
⇒
Supongamos que 𝐴 es invertible.
Sea 𝑋 ∈ 𝑁𝐴
entonces
𝐴 𝑋 = 0𝐾 𝑛
𝐴−1 (𝐴 𝑋) = 𝐴−1 0𝐾𝑛
(𝐴−1 𝐴) 𝑋 = 𝐴−1 0𝐾𝑛
𝑋 = 0𝐾 𝑛
𝑁𝐴 = 0𝐾𝑛
⇐
Supongamos que
Por lo tanto, 𝑣 𝐴 = 0
𝑣 𝐴 =0
⇒
𝑁𝐴 = 0𝐾𝑛
Esto significa que la única solución del sistema: 𝐴 𝑋 = 0𝐾𝑛 es el vector nulo, por lo tanto, 𝐴 es invertible.
4
Definición 16:
Sea 𝐴 una matriz de orden 𝑚𝑥𝑛, entonces la imagen (o recorrido) de 𝐴,
denotada por 𝐼𝑚(𝐴) o por 𝑅𝑒(𝐴), es el conjunto
𝐼𝑚 (𝐴) = 𝑅𝑒 (𝐴) = 𝑦 ∈ 𝐾 𝑚 ; 𝑦 = 𝐴𝑋, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑋 ∈ 𝐾 𝑛
Teorema 27:
Sea 𝐴 una matriz de orden 𝑚𝑥𝑛, entonces 𝐼𝑚 (𝐴) es un subespacio de 𝐾 𝑚 .
Demostración: (hacer demostración)
Teorema 28:
Sea 𝐴 una matriz de orden 𝑚𝑥𝑛, entonces
dim(𝐼𝑚 (𝐴)) = 𝑅𝑔𝑜 (𝐴)
El 𝑅𝑔𝑜(𝐴) es denotado también por 𝜌(𝐴).
5
Ejemplo:
Solución:
𝑁𝐴 = 𝑋 ∈ ℛ 4 ; 𝐴 𝑋 = 0ℛ4
≈
∈ 𝑁𝐴
6
7
es linealmente independiente y por lo tanto es una base 𝑁𝐴 .
𝐴𝑠í 𝑞𝑢𝑒 𝑣 𝐴 = 2
∈ ℛ3;
∈ ℛ4
8
9
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜,
dim(𝐼𝑚 (𝐴)) = 𝜌(𝐴) = 2
10
Teorema 29:
Sea 𝐴 una matriz de orden 𝑚𝑥𝑛. Entonces 𝜌 𝐴 + 𝑣 𝐴 = 𝑛
Ejemplo:
𝑣 𝐴 =2
𝜌(𝐴) = 2
Teorema 30:
Sea 𝐴 una matriz 𝑛𝑥𝑛. Entonces 𝐴 es invertible si y sólo si 𝜌 𝐴 = 𝑛
11
Definición 17:
Si 𝐴 es una matriz de orden 𝑚𝑥𝑛 y 𝑓1 , 𝑓2 , … , 𝑓𝑚 y 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 son los
conjuntos de filas y columnas de 𝐴, respectivamente, se definen:
El espacio de renglones o filas de 𝐴 como 𝑅𝐴 = 𝐹𝐴 = 𝑔𝑒𝑛 {𝑓1 , 𝑓2 , … , 𝑓𝑚 } ⊂ 𝐾 𝑛
El espacio de columnas de 𝐴 como 𝐶𝐴 = 𝑔𝑒𝑛 {𝑐1, 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 } ⊂ 𝐾 𝑚
Teorema 31 :
Sea 𝐴 una matriz de orden 𝑚𝑥𝑛, entonces
El espacio fila de 𝐴 es un subespacio de 𝐾 𝑛
El espacio columna de 𝐴 es un subespacio de 𝐾 𝑚 .
12
Definición 18:
La dimensión del espacio fila de 𝐴, 𝑒𝑠 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝒓𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒇𝒊𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑨
La dimensión del espacio columna de 𝐴, 𝑒𝑠 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝒓𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝑨
13
Teorema 32:
Si 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 , entonces se cumple:
1. 𝐶𝐴 = 𝐼𝑚 (𝐴)
2. dim(𝐹𝐴 ) = dim(𝐶𝐴 ) = dim(𝐼𝑚 (𝐴)).
Teorema 33:
Si 𝐴 es una matriz equivalente por filas a una matriz 𝐵, entonces 𝐹𝐴 = 𝐹𝐵 .
Mas aún, si 𝐴 es una matriz cuadrada de orden 𝑛 y 𝑅𝑔𝑜 (𝐴) = 𝑛, Las filas de 𝐴 son
linealmente independientes.
14
Ejemplo:
Calcular el espacio fila, el espacio columna , el espacio nulo, la imagen de la matriz 𝐴
y una base para cada uno de estos subespacios.
Solución:
𝑁𝐴 = 𝑋 ∈ ℛ 5 ; 𝐴 𝑋 = 0ℛ5
≈
15
𝑥1
𝑥2
𝑁𝐴 = 𝑋 = 𝑥3 ∈ ℛ 5 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒: 𝑥1 = −2𝑥3 − 3𝑥5 ; 𝑥2 = 5𝑥3 + 𝑥5 ; 𝑥4 = −4𝑥5
𝑥4
𝑥5
16
Se demuestra que
es linealmente independiente y por lo tanto es una base 𝑁𝐴 .
𝑣 𝐴 =2
17
≈
Por el teorema 31
𝐵=
𝐹𝐴 = 𝐹𝐵
𝑅𝐴 = 𝐹𝐴 =
es linealmente independiente
y por lo tanto es una base 𝐹𝐴
el rango fila de A es 3 𝑦
el rango columna de A es 3
18
𝐶𝐴 = 𝑔𝑒𝑛
−6
2
2
1
8
−4
−1
−3
−2
−19
,
,
,
,
1
−3
1
6
1
2
4
3
−16
14
= 𝐼𝑚 (𝐴)
𝐵=
𝑣3 = 2𝑣1 − 5𝑣2 + 0𝑣5
𝑣5 = 3𝑣1 − 𝑣2 + 4𝑣3
es linealmente independiente y por lo tanto es una base 𝐶𝐴 .
