metodo vogel

HITO 3
INVESTIGACIÓN OPERATIVA
ACTIVIDAD 4
2. CASO MAXIMIZAR
Docente:
Juan Carlos Zarzuri Patzi
Estudiante:
Luis David Quispe Mamani
Codigo:
ICO 9970179
Resolver por el método Simplex, Caso 1 Maximización con Restricciones
Función Objetivo Max Z= 40X1 + 60 X2
Sujeto a las restricciones.
2X1 + X2 ≤ 70
X1 + X2 ≤ 40
X1 + 3X2 ≤ 90
X1, X2 ≥0
Solución
Convertimos las restricciones que son inecuaciones en ecuaciones, para lo cual en cada inecuación
introducimos una variable nueva en el lado izquierdo, dado que partimos que, si los lados izquierdos
son menores o iguales que los lados derechos, al introducir un valor adecuado logramos igualdad
total, pero como ese valor no lo conocemos lo hacemos a través de variables.
Max Z= 40X1 + 60 X2 + 0X3 + 0X4+ 0X5 :
2X1 + X2 + X3 = 70
X1 + X2 +X4 = 40
X1 + 3X2 +X5 =
90
X1≥ 0 X2 ≥0 X3≥0 X4≥0 X5≥0
2. La función objetivo se modifica expresándola de manera que todas las variables queden al lado
izquierda junto con z, lo cual se verá como sigue.
Max Z - 40X1 - 60 X2 + 0X3 + 0X4+ 0X5 = 0
2X1 + X2 + X3 = 70
X1 + X2 +
X1 + 3X2 +
X4 = 40
X5 = 90
X1≥ 0, X2 ≥0, X3≥0, X4≥0, X5≥0
3. Una vez que el modelo matemático a resolver lo hemos expresado como se ve en el paso 2.
Procedemos a trasladar los coeficientes en un Tabloide llamada Tabloide del Simplex o tabla del
Simplex.
Variables
Básicas
Z
X1
X2
X3
X4
X5
Solución
-40
-60
0
0
0
0
X3
2
1
1
0
0
70
X4
1
1
0
1
0
40
X5
1
3
0
0
1
90
En la primera fila se ubica el encabezado de la tabla del Simplex que está formado por la columna
de las Variables Básicas (VB), luego todas las variables del modelo (variables originales del modelo
más las variables de holgura incorporadas) y por último la columna de los valores del lado derecho
de las ecuaciones del modelo.
En las ecuaciones de restricción que no tengan una variable o más de una, para efectos de llenar
los coeficientes en la tabla del Simplex, se escribe(n) cero(s).
Variables
Básicas
Z
X1
X2
X3
X4
X5
Solución
-40
-60
0
0
0
0
X3
2
1
1
0
0
70
X4
1
1
0
1
0
40
X5
1
3
0
0
1
90
Para iniciar la primera iteración nos ubicamos en la fila 1 que inicia con Z y observamos los
coeficientes debajo de las variables X1,X2,…,X5, poniendo nuestro interés en los valores negativos y
podremos observar que hay dos: -40 y -60 elegimos siempre el valor más pequeño o más negativo
siendo -60.
Marcamos la columna donde encontramos el valor más negativo de la fila 1. Esto nos indica que la
variable X2 entrará a ser variable básica.
Los valores 1, 1, 3 son los coeficientes debajo de la variable X2 estos valores serán divisores de los
lados derechos en cada fila correspondiente es decir 70/1; 40/1; 90/3; luego elegimos el mínimo de
los cocientes: mínimo {70,40, 30} = 30. Esto significa que el mínimo se encontró en la fila 4. Significa
que la variable básica X5 saldará y será reemplazada por X2.
Se marca la fila donde encontramos el mínimo de los cocientes de {70,40, 30} que como vimos es
30. Ahora que hemos marcado la fila y la columna resulta que la casilla de intersección es 3. A ese
valor le llamaremos número pivote.
El número pivote lo convertimos en 1. Como es 3, tendremos que dividir toda la fila 4 por 3. Los
resultados los vemos en la fila 4 de la tabla del simplex siguiente.
Variables
Básicas
Z
X1
X2
X3
X4
X5
Solución
-40
-60
0
0
0
0
X3
2
1
1
0
0
70
X4
1
1
0
1
0
40
X5
1/3
1
0
0
1/3
30
Los valores restantes de la columna pivote (X2) deben convertirse en cero. Para lo cual haremos los
siguientes cálculos:

f3 - f4 -> f3 (de f3 restar f4 y dejar el resultado en f3)

f2 - f4 -> f2 (de f2 restar f4 y dejar el resultado en f2)

f1 + 60*f4 -> f1 (f1 sumarlo de 60 por f4 y dejar el resultado en f1)
Los resultados de estos cálculos los vemos en la tabla Simplex que se muestra a continuación.
Variables
Básicas
Z
X1
X2
X3
X4
X5
Solución
-20
0
0
0
20
1800
X3
5/3
0
1
0
-1/3
40
X4
2/3
0
0
1
-1/3
10
X5
1/3
1
0
0
1/3
30
Ahora que hemos terminado la primera iteración, observamos la tabla del Simplex que ha resultado.
Poniendo nuestra atención en la fila1. Observamos que uno de los coeficientes debajo de las
variables X1, X2, X5. Es negativo por lo que debemos volver hacer una nueva Iteración (es decir
demos iterar mientras en la fila 1 hayan valores negativos).
Variables
Básicas
Z
X1
X2
X3
X4
X5
Solución
-20
0
0
0
20
1800
X3
5/3
0
1
0
-1/3
40
X4
2/3
0
0
1
-1/3
10
X5
1/3
1
0
0
1/3
30
Los valores 5/3, 2/3 y 1/3 son los coeficientes debajo de la variable X 1 estos valores serán divisores
de los lados derechos en cada fila correspondiente es decir 40/5/3; 10/2/3; 30/1/3; luego elegimos
el mínimo de los cocientes: mínimo {24,15, 90} = 15. Esto significa que el mínimo se encontró en la
fila f3.. Significa que la variable básica X4 saldará y será reemplazada por X1.
Marcamos la fila donde encontramos el mínimo de los cocientes de {24,15, 90} que como vimos es
15. Ahora que hemos marcado la fila y la columna resulta que la casilla de intersección es 2/3. Ese
valor le llamaremos número pivote.
El número pivote lo convertimos en 1. Como es 2/3, tendremos que multiplicar toda la fila 3 por 3/2.
Los resultados los vemos en la fila 3 de la tabla del simplex siguiente.
Variables
Básicas
Z
X1
X2
X3
X4
X5
Solución
-20
0
0
0
20
1800
X3
5/3
0
1
0
-1/3
40
X4
1
0
0
3/2
-1/2
15
X5
1/3
1
0
0
1/3
30
Los valores restantes de la columna pivote (X1) deben convertirse en cero. Para lo cual haremos los
siguientes cálculos:

f4- (1/3)*f3 -> f4 (de f4 restar 1/3 por f3 y el resultado dejarlo en f4)

f2- (5/3)*f3 -> f2 (de f2 restar 5/3 por f3 y el resultado dejarlo en f2)

f1+ 20*f3 -> f1 ( f1 sumarlo con 20 por f3 y el resultado dejarlo en f1)
Los resultados de estos cálculos los vemos en la tabla Simplex que se muestra a continuación.
Variables
Básicas
Z
X1
X2
X3
X4
X5
Solución
0
0
0
30
0
2100
X3
0
0
1
-2.5
0.5
15
X4
1
0
0
1.5
-1
15
X5
0
1
0
-0.5
2/3
25
Como en la fila 1, o fila de Z ya no hay coeficientes con valores negativos entonces hemos llegado a
la solución óptima. La cual se obtiene de la siguiente manera: el valor Z= 2100 (lado derecho de la
primera fila); la variable X1 = 15 (lado derecho en la fila 3); la variable X2=25 (lado derecho de la fila
4). Si retomamos la Función Objetivo original
Max Z= 40X1 + 60 X2 Sustituimos los valores X1=15; X2=25 Max Z= 40*15 + 60*25 Max Z= 600 + 1500
Max Z=2100
Por lo tanto, la solución es la Indicada. Hay un valor máximo para un X1=15 y un X2=25