4 GEOMETRÍA NEUTRAL Si tan sólo pudiera demostrarse ... que ¡"hay un triángulo cuya suma de sus ángulos no sean menores que dos ángulos rectos"! Pero cuidado ¡ese es un fuego fatuo que aún no ha sido bien comprendido! C. L. Dodgson (Lewis Carroll) GEOMETRÍA SIN EL AXIOMA DE LAS PARALELAS En los ejercicios del capítulo anterior ganó experiencia demostrando algunos resultados elementales de los axiomas de Hilbert. Muchos de estos resultados fueron dados por sentados por Euclides. Puede ver que la tarea de rellenar los vacíos y demostrar rigurosamente cada detalle es una larga tarea. Sea como fuere debemos demostrar que los postulados de Euclides son consecuencia de los de Hilbert. Hemos visto que el primer postulado de Euclides es el mismo que el axioma I-1 de Hilbert. En nuestro nuevo lenguaje, el segundo postulado de Euclides dice lo siguiente: dados los segmentos AB y CD existe un punto E tal que A * B * E y CD BE . Esto es consecuencia inmediata del axioma C-1 de Hilbert aplicado al rayo que parte de B opuesto a BA C D A B E Figura 4.1 El tercer postulado de Euclides se convierte en una definición en el sistema de Hilbert. El círculo con centro O y radio OA es definido como el conjunto de todos los puntos P tales que OP es congruente a OA . El axioma C-1 garantiza entonces que en cada rayo que parte de O existe tal punto P. El cuarto postulado de Euclides -todos los ángulos rectos son congruentes- es un teorema en el sistema de Hilbert, como fue demostrado en la proposición 3.23. El postulado de las paralelas de Euclides se discute o analiza posteriormente en este capítulo (p 93 102). En este capítulo nosotros estaremos interesados en la geometría neutral -por definición todos aquellos teoremas geométricos que pueden ser probados usando sólo los axiomas de incidencia, de entre, de congruencia y de continuidad y prescindiendo del uso del axioma de paralelismo. Cada resultado previamente demostrado es un teorema en geometría neutral. Debiera revisar todos los enunciados utilizados en los teoremas, proposiciones y ejercicios del capítulo 3 porque ellos serán usados en todo el libro. Nuestras demostraciones serán menos formales en el futuro. ¿Cuál es la finalidad del estudio de la geometría neutral? No estamos interesados en estudiarlo porque sí. Si no por el contrario estamos intentando aclarar el papel desempeñado por el postulado de las paralelas procediendo para ello a examinar qué teoremas de la geometría no dependen de él, es decir, ¿cuáles teoremas son consecuencia de los otros axiomas únicamente sin aplicar en absoluto el postulado de las paralelas en las demostraciones. Esto nos permitirá evitar caer en muchos errores y ver más claramente la estructura lógica de nuestro sistema. Ciertas preguntas que pueden responderse según la geometría Euclidiana (es decir, si existe una única paralela que pasa a través de un punto dado.) quizá no puede responderse según la geometría neutral porque sus axiomas no nos ofrecen suficiente información. Una gran cantidad de teoremas pueden ser demostrados en geometría neutral (287 en Borsuk Szmielew). Hemos presentado muchos teoremas en el texto y en los ejercicios de los capítulos anteriores. Entonces preparémonos para abordar unos cuantos teoremas de aspecto raro en este capítulo. TEOREMADEL ÁNGULO ALTERNO INTERNO El teorema siguiente requiere de una definición: sea t una transversal a las rectas l y l’, cortando a l en B y a l’ en B’. Escoja puntos A y C en l tal que A*B*C; Escoja puntos A’ y C’ en l’ tales que A y A’ estén en el mismo lado de t y tal que A’ * B’ * C’. Luego los siguientes 4 ángulos se llaman internos: A’B’B, ABB’, C’B’B, CBB’. Los dos pares ( ABB’, CBB’) y ( A’B’B, CBB’) son llamados pares de ángulos alternos internos (ver figura 4.2). E t A’ Figura 4.2 B’ C’ l’ A B C l D? TEOREMA 4.1 (Teorema del ángulo alterno interno) Si dos recta cortadas por una transversal tienen un par de ángulos alternos internos congruentes entonces las dos rectas son paralelas. Demostración Dados A’B’B CBB’. Asuma lo contrario: l y l’ se cortan en el punto D. Digamos que D está en el mismo lado de t que C y C’. 94 Hay un punto E en B'A ' tal que CD BE (Ax. C-1). El segmento BB’ es congruente a sí mismo. Luego B’BD BB’E (LAL). En particular DB’B EBB’. Puesto que DB’B es el suplemento de EB’B, entonces EBB’ debe ser suplemento de DBB’ (Proposición 3.14 y Ax. C-4). Esto significa que E pertenece a l, por tanto l y l’ tienen los dos puntos E y D en común, lo cual contradice la propiedad 2.1 de la geometría de incidencia. En consecuencia l || l’. Este teorema tiene 2 corolarios muy importantes. CORLARIO 1 Dos rectas perpendiculares a una misma recta son paralelas. Por consiguiente la perpendicular a l trazada desde un punto P (no perteneciente a l) es única. (Y el punto en el cual la perpendicular corta a l se llama pie.) Demostración Si l y l’ son ambas perpendiculares a t, los ángulos alternos internos son rectos y por tanto congruentes. (Proposición 3.23). COROLARIO 2 Si l es cualquier recta y P cualquier punto no pertenenciente a l, existe por lo menos una recta m que pasa por P y es paralela a l. P m Figura 4.3 l Demostración t Existe una recta t que pasa por P y es perpendicular a l y además existe una recta única m que pasa por P y es perpendicular a t (Proposición 3.16). Puesto que l y m son ambas perpendiculares a t, el corolario 1 nos indica que que l || m. (Esta construcción se empleará repetidas veces.) Repetimos, existe siempre una recta m que pasa por P y es paralela a l -esto se ha demostrado en geometría neutral. Pero no sabemos que m sea única. Aunque el postulado de paralelas de Hilbert dice que m es realmente única, nosotros no hemos de asumir este postulado. Debemos mantener nuestro pensaminto abierto a la extraña posibilidad que pueden haber otras rectas que pasan por P y sean paralelas a l. Observación importante En geometría euclidiana estamos acostumbrados a usar el recíproco del teorema 4.1 que establece: "si dos rectas son paralelas entonces los ángulos alternos internos cortados por una transversal son congruentes". Nosotros ho hemos demostrado este teorema recíproco, por lo que ¡no lo use! (Este resulta ser lógicamente equivalente al postulado de paralelas -ver ejercicio 5). 95 TEOREMA DEL ÁNGULO EXTERNO Antes de continuar nuestra lista de teoremas, primero debemos dar otra definición. Un ángulo suplementario a un ángulo de un triángulo se llama ángulo externo del triángulo; los dos ángulos del triángulo no adyacentes a este ángulo externo se llaman ángulos internos no adyacente. El siguiente teorema es consecuencia del teorema 4.1. TEOREMA 4.2 (Teorema del Ángulo Externo) Un ángulo externo de un triángulo es mayor que cualquiera de los ángulos internos no adyacentes. (Ver figura 4.4) A E Figura 4.4 B Demostrar que el ACD es mayor que B y A. G C D F Demostración Considerar el ángulo interno no adyacente BAC. Si BAC ACD, luego AB es paralela a AC (Teorema 4.1) lo cual contradice la hipótesis de que estas rectas se cortan en B. Supongamos que BAC fuera mayor que ACD (hipótesis RAA), entonces hay un rayo AE entre AB y AC tal que ACB CAE (Por definición). Este rayo AE corta a BC en un punto G (Teorema de la transversal, pág. 72). Pero de acuerdo al teorema 4.1 las rectas AE = CD son paralelas. Entonces BAC no puede ser mayor que ACD. (Conclusión RAA). Por tanto BAC tampobo es congruente a ACD, entonces BAC debe ser menor que ACD. (Proposición 3.21. (a)). Para el caso del ángulo no adyacente ABC usamos el mismo argumento aplicado al ángulo externo BCF que es congruente al ACD según el teorema del ángulo opuesto por el vértice. (Proposición 3.15 (a)). El teorema del ángulo externo desempeñará un papel muy importante en lo que sigue. Este fue la decimosexta proposición en los elementos de Euclides. la demostración de Euclides adolecía de un vacío debido al hecho de razonar basándose en un diagrama. El consideró la recta BM que une B y el punto medio de AC y él construyó el punto B’ tal que B * M * B’ y BM MB’ (Ax. C-1). Luego asumió a partir del diagrama que B’ pertenece al interior del ACD. (Ver figura 4.5) 96 A B’ M Figura 4.5 B D C No expondremos el resto del argumento de Euclides (ver Heath 279) porque existe la dificultad adicional de que primero hay que justificar la existencia de los puntos medios (ver ejercicio 12). Sin embargo, este vacío contenido en el argumento de Euclides puede fácilmente ser subsanado aplicando los instrumentos que hemos desarrollado. A saber, puesto que el segmen to BB’ corta a AC en M, B y B’ están en lados opuestos de AC (por definición). Puesto que BD corta a AC en C, B y D están también en lados opuestos de AC . Por tanto B’ y D están en el mismo lado de AC . (Ax. E-4). Luego B’ y M están también en lados opuestos de CD , puesto que el segmento MB’ no contiene al punto B en el cual MB corta a CD . (Por cons trucción de B’ y los axiomas E-1 y B-3). Además A y M están en el mismo lado de CD porque el segmento AM no contiene al punto C, en el cual AM corta a CD . (Por definición de punto medio y el axioma E-3). De modo que nuevamente el axioma de separación E-4 garantiza que A y B’ están en el mismo lado de CD . Por definición de "interior" (página 71) nosotros hemos demostrado que B’ está en el interior del ACD. NOTA En geometría elíptica el teorema del ángulo externo es falso (ver figura 3.24) donde se muestra un triángulo en el cual tanto un ángulo externo como un ángulo interno no adyacente son ángulos rectos. Como consecuencia del teorema del ángulo externo (y nuestros resultados previos), puede probar ahora como ejercicios las siguientes proposiciones conocidas. (Para esto no es necesario usar en sus demostraciones algunas propiedades de continuidad.) PROPOSICIÓN 4.1 (Criterio de Congruencia LAA) Dado AB DF , A D y C F, entonces ABC DEF.. B A Figura 4.6 E C D F PROPOSICIÓN 4.2 Dos triángulos rectángulos son congruentes, si la hipotenusa y un cateto de uno de ellos son congruentes, respetivamente a la hipotenusa y un cateto del otro triángulo rectángulo. 97 B B’ Figura 4.7 A C C’ A’ PROPOSICIÓN 4.3 (Punto medio) Todo segmento tiene un único punto medio. PROPOSICIÓN 4.4 (Bisectriz y Mediatriz) (a) Todo ángulo tiene una única bisectriz. (b) Todo segmento tiene una única mediatriz. PROPOSICIÓN 4.5 En un triángulo ABC el mayor ángulo se opone al mayor lado y el mayor lado se opone al mayor ángulo, es decir AB > BC si y sólo si C > A. PROPOSICIÓN 4.6 Dado ABC A’B’C’, si AB A’B’ y BC B’C’ , entonces B < B’ si y sólo si AC < A’C’ . MEDIDA DE ÁNGULOS Y SEGMENTOS Hasta ahora en nuestro tratamiento de la geometría nos hemos obstenido de usar números que midan las magnitudes de ángulos y segmentos -esta actitud estaba en concordancia con el espíritu de Euclides. Pero de ahora en adelante no nos mostraremos tan rígidos. El teorema siguiente (Teorema 4.3) afirma la posibilidad de medir y enumera sus propiedades. La demostración requiere de los axiomas de continuidad por primera vez (en concordancia con el nivel elemental de este libro, el lector interesado debe consultar el ejercicio mayor 3 y Borsuk y Szmielew, capítulo 3 § 9 y 10).* En algunos tratados de geometría este teorema se considera como un axioma (Postulado de la regla y el transportador - ver Moise). La notación conocida ( A)° se empleará como representativa del número de grados en A, y la longitud del segmento AB (con respecto a alguna unidad de medida) será denotada por AB. * 98 D Figura 4.8 A C B Los axiomas de continuidad no son necesarios si uno desea simplemente definir la adición para el caso de clases de segmentos por congruencia y demostrar luego la desigualdad triangular (corolario 2 del teorema 4.3) ver Borsuk y Szmielew, pág. 103-108 donde encontrará una definición de esta operación. Es con la finalidad de probar los teoremas 4.4 y 4.7, el lema 6.1 y el teorema de proyección de paralelas que nosotros necesitamos la medición de ángulos y segmentos mediante números reales, y para tal medición se requiere el axioma de Arquímedes. Sin embargo las partes 4 y 11 del teorema 4.3, cuyas pruebas requieren del axioma de Dedekind nunca se emplean en demostraciones hechas en este libro. Ver el apéndice B para cuestiones de coordinación sin axiomas de continuidad. TEOREMA 4.3 A. Existe una única manera de asignar a cada ángulo una medida en grados tal que son válidas las propiedades siguientes: (0) ( A)° es un número real tal que 0 < ( A)° < 180°. (1) ( A)° = 90° si y sólo si A es un ángulo recto. (2) ( A)° = ( B)° si y sólo si A B. (3) Si AC está en el interior del DAB, luego ( DAB)° = ( DAC)° + ( CAB)°. (4) Para todo número real x entre 0 y 180, existe un ángulo A tal que ( A)° = x°. (5) Si B es suplementario de A, entonces ( A)° + ( B)° = 180°. (6) ( A)° > ( B)° si y sólo si A > B B. Dado un segmento OI llamado segmento unitario, entonces existe una única manera de asignar a cada segmento AB una longitud AB tal que sean válidas las propiedades siguientes: (7) AB es un número real positivo y OI = 1. (8) AB = CD si y sólo si AB CD (9) A * B * C si y sólo si AC = AB + BC (10) AB < CD si y sólo si AB < CD (11) Para todo número real positivo x, existe un segmento AB , tal que AB = x. Usando la notación en grados, A se define como ángulo agudo si ( A)° < 90° y obtuso si ( A)° > 90°. Si combinamos los teoremas 4.2 y 4.3 obtenemos el siguiente corolario (ver ejercicio 2) que es esencial para demostrar el teorema de Saccheri-Legendre. COROLARIO 1 La suma de las medidas en grados de dos ángulos cualesquiera de un triángulo es menor que 180°. La única aplicación inmediata que haremos de la medida de segmentos está en la demostración del corolario siguiente, la famosa "desigualdad triangular". COROLARIO 2 (Desigualdad triangular) Si A, B y C son tres puntos no colineales entonces AC < AB + BC. C Figura 4.9 A B D 99 Demostración (1) Existe un único únto D tal que A * B * D y BD BC (Ax. C-1 aplicado al rayo opuesto a BA .) (2) Entonces BCD BDC (Prop. 3.10. ángulos de la base del isósceles) (3) AD = AB + BD BD = BC AD = AB + BC (Teor. 4.3 (9), (8)y Paso 1) (4) CB está entre CA y CD luego ACD > BCD (Prop. 3.7 y Def.) (5) ACD > ADC (Pasos 2 y 4, Prop. 3.21(c)) (6) AD > AC (Prop. 4.5) (7) Por lo tanto AB + BC > AC (Teor. 4.3 (10), pasos 3 y 6) TEOREMA DE SACCHERI-LEGENDRE El teorema siguiente muy importante requiere también de un axioma de continuidad (axioma de Arquímedes) para su demostración. B TEOREMA 4.4 (Saccheri-Legendre) La suma de las medidas en grados de los tres ángulos de un triángulo cualquiera es A menor o igual a 180°. Figura 4.10 ( A)°+( B)°+( C)°180° C Este resultado puede sorprenderle como muy peculiar puesto que estamos acostumbrados a la noción de una suma exacta de 180°. ¡No obstante, esta precisión no puede ser probada en geometría neutral! Saccheri trató de hacerlo pero lo mejor que él pudo concluir fue "menor o igual que". (Discutiremos esto más ampliamente en este capítulo pág. 105-109.) Max Dehn mostró en 1900 que no hay manera alguna de probar este teorema sin el axioma de Arquímedes*. La idea de la prueba es como sigue: Asuma por el contrario, que la suma de las medidas de los ángulos del ABC es mayor que 180°, digamos 180° + P°, donde P es un número positivo. Es posible (por un artificio que encontrará en el ejercicio 15) reemplazar ABC por otro triángulo que tiene la misma suma en grados que el ABC pero en el cual un ángulo tiene a lo más la mitad de la medida del A. Podemos repetir este artificio para conseguir otro triángulo que tenga la misma suma de las medidas de los ángulos 180° + P° pero en el cual un ángulo tiene a lo más 14 de la medida del A. La propiedad de Arquímedes de los números reales garantiza que si repetimos este proceso suficientes veces llegará el momento en que obtendremos un triángulo cuya suma de los ángulos sea 180° + P°, * 100 Ver la referencia en el ejercicio avanzado 1. El significado pleno del axioma de Arquímedes fue captado por primera vez en los 1880s por Pasch y O. Stolz. G. Veronese y T. Levi-Civita desarrollaron la primera geometría no Arquimediana. pero en el cual un ángulo tiene por medida en grados a lo más P°. La suma de las medidas en grados de los otros dos ángulos será mayor o igual a 180°, lo que contradice el corolario 1 del teorema 4.3. Con esto se demuestra el teorema. Debería demostrar la siguiente consecuencia del teorema de Saccheri-Legendre. COROLARIO 1 La suma de las medidas en grados de dos ángulos de un triángulo es menor o igual a la medida en grados de su ángulo exterior no adyacente. (Ver figura 4.11) B Figura 4.11 ( A)° + ( B)° ( BCD)° D A C Resulta natural generalizar el teorema de Saccheri-Legendre a polígonos considerados además de los triángulos. Por ejemplo probamos que la suma de las medidas de los ángulos de un cuadrilátero ABCD es a lo más 360°. Descompongamos el ABCD en dos triángulos, ABC y ADC por medio de la diagonal AC (ver figura 4.12). Por el teorema de Saccheri-Legendre, ( B)° + ( BAC)° + ( ACB)° 180° y ( D)° + ( DAC)° + ( ACD)° 180° El teorema 4.3 (3) nos da las ecuaciones: ( BAC)° + ( DAC)° = ( BAD)° y ( ACB)° + ( ACD)° = ( BCD)° usando estas ecuaciones, sumamos las dos desigualdades y obtenemos la desigualdad deseada. ( B)° + ( D)° + ( BAD)° + ( BCD)° 360° D A Figura 4.12 B C Desafortunadamente ¡hay un vacío en este simple argumento! Para obtener las ecuaciones empleadas anteriormente nosotros asumimos con sólo mirar el diagrama que C está en el interior del BAD y que A está en el interior del BCD. ¿Pero qué pasaría si el cuadrilátero se asemejase a la figura 4.13? D Figura 4.13 B C A 101 En este caso las ecuaciones no mantendrían su validez. Para prevenir tal caso debemos añadir una hipótesis; debemos asumir que el cuadrilátero es "convexo". DEFINICIÓN El cuadrilátero ABCD se llama convexo si tiene un par de lados opuestos, por ejemplo AB y CD , tal que CD está contenido en uno de los semiplanos limitados por AB y AB está contenido en uno de los semiplanos limitados por CD .* La suposición hecha líneas arriba queda justificada entonces, empezando con un cuadrilátero convexo. Así pues, hemos demostrado el siguiente corolario: COROLARIO 2 La suma de las medidas en grados de los ángulos de un cuadrilátero convexo cualquiera es a lo más 360°. Nota: El teorema de Saccheri-Legendre es falso en geometría elíptica (ver figura 3.24, pág 79). En realidad puede demostrarse en geometría elíptica que la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es siempre mayor que 180°. EQUIVALENCIA DE LOS POSTULADOS DE LAS PARALELAS Ahora probaremos la equivalencia del 5° postulado de Euclides y el postulados de las paralelas de Hilbert. Observe, sin embargo, que no vamos a demostrar cualquiera de los dos postulados o ambos a la vez; nos limitaremos a mostrar que podemos demostrar uno de ellos si primero asumimos el otro. Primero enunciaremos el 5° postulados de Euclides (todos los términos del enunciado han sido definidos cuidadosamente). V POSTULADO DE EUCLIDES Si dos rectas son cortadas por una transversal de tal manera que la suma de las medidas en grados de los dos ángulos internos en un mismo lado de la transversal es menor que 180° entonces las dos rectas se cortan en ese lado de la transversal. t TEOREMA 4.5 C’ B’ El V postulado de Euclides es 2 m equivalente al postulado de A? paralelas de Hilbert. Figura 4.14 * 3 1 l B Puede demostrarse que esta condición también mantiene su validez para el caso del par de lados opuestos AD y BC -ver ejercicio 23 de este capítulo. La acepción de la palabra "convexo" en esta definición no concuerda con su interpretación en el ejercicio 19, capítulo 3. Porque un cuadrilátero convexo evidentemente no es un "conjunto convexo", tal como se definió en ese ejercicio. Sin embargo, podemos definir el interior de un cuadrilátero convexo ABCD de la siguiente manera: cada lado de ABCD determina un semiplano que contiene el lado opuesto; el interior del ABCD es entonces la intersección de los cuatro semiplanos así determinados. Usted puede probar, entonces que el interior de un cuadrilátero convexo es un conjunto convexo. (que es uno de los problemas del ejercicio 25). 102 Demostración: Asumamos primero el postulado de Hilbert. La situación del V postulado de Euclides se muestra en la figura 4.14, ( 1)° + ( 2)° < 180° (hipótesis) y ( 1)° + ( 3)° = 180° (ángulos suplementarios), teorema 4.3 (5). Por consiguiente: ( 2)° < 180° ( 1)° = ( 3)°. Existe un rayo único B’C’ tal que B y C’B’B son ángulos alternos internos congruentes (axioma C-4). Por el teorema 4.1 B’C’ es paralela a l. Puesto que m B’C’ , m corta a l (postulado de Hilbert). Para concluir debemos demostrar que m corta a l en el mismo lado de t como C’. Asumimos por el contrario, que ellas se cortan en un punto A en el lado opuesto. Luego 2 es un ángulo externo del ABB’. Sin embargo éste es más pequeño que el interior no adyacente 3. Esta contradicción del teorema 4.2, demuestra el V postulado de Euclides (RAA). Recíprocamente, asumimos el V postulado de Euclides y tomemos como referencia la figura 4.15, la situación del postulado de Hilbert. Sea t la perpendicular a l a través de P, y sea m la perpendicular a t a través de P. Sabemos que m || l (corolario 1, teorema 4.1). Sea n cualquier otra recta a través de P. Debemos demostrar que n corta a l. Sea 1 el ángulo agudo que n forma con t (ángulo que efectivamente existe porque n m). Luego ( 1)° + ( PQR)° < 90° + 90° = 180°. Así pues, la hipótesis del V postulado de Euclides queda satisfecha. Por consiguiente, n corta a l, lo que prueba el postulado de Hilbert. P m 1 Figura 4.15 n t Q R l Puesto que el postulado de las paralelas de Hilbert y el V postulado de Euclides son lógicamente equivalentes en el contexto de la geometría neutral. El teorema 4.5 permite usarlos intercambiablemente. Usted demostrará a manera de ejercicio que los siguientes enunciados son también lógicamente equivalentes al postulado de las paralelas.* PROPOSICIÓN 4.7 El postulado de las paralelas de Hilbert es equivalente a si una recta corta a una de dos rectas paralelas, entonces ella corta también a la otra. PROPOSICIÓN 4.8 El postulado de las paralelas de Hilbert es equivalente al recíproco del teorema 4.1 (ángulos alternos internos). PROPOSICIÓN 4.9 El postulado de las paralelas de Hilbert es equivalente a si t es transversal a l y m, l || m y t l, entonces t m. * La transitividad del paralelismo es también lógicamente equivalente al postulado de las paralelas. 103 PROPOSICIÓN 4.10 El postulado de las paralelas de Hilbert es equivalente a si k || l, m k y n l, entonces m = n o m || n. La siguiente proposición es también otro enunciado lógicamente equivalente al postulado de las paralelas de Hilbert, pero a estas alturas podemos probar únicamente la implicación en un sólo sentido (la otra implicación se prueba en el capítulo 6). PROPOSICIÓN 4.11 El postulado de las paralelas de Hilbert implica que la suma de los ángulos de todo triángulo es 180°. SUMA DE LAS MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO Definimos la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo ABC como ( A)° + ( B)° + ( C)° como un cierto número de grados 180° (por el teorema de Saccheri-Legendre). Definimos el defecto de cualquier triángulo como 180° menos la suma de las medidas de los ángulos. En geometría euclidiana estamos acostumbrados a no tener triángulos con "defecto", es decir, estamos acostumbrados a considerar el defecto igual a cero (proposición 4.11). La finalidad principal de esta sección consiste en mostrar que si existe un triángulo con defecto, entonces todos los triángulos tienen defecto. O si no, expresado en la forma contrarrecíproca, si en un triángulo la suma de sus ángulos igual a 180°, entonces lo mismo ocurre con todos los demás. No estamos afirmando que exista realmente un tal triángulo, ni estamos afirmando lo contrario; estamos examinando únicamente la hipótesis de que pudiera existir un tal triángulo. TEOREMA 4.6 Sea ABC un triángulo cualquiera y D un punto entre A y B. Entonces defecto ( ABC) = defecto ( ACD) + defecto ( BCD). (Aditividad de los defectos) C Figura 4.16 A Demostración: B D (1) Puesto que CD está en el interior del ACB (Proposición 3.7) (2) ( ACB)° = ( ACD)° + ( BCD)° (Teorema 4.3 (3)) (3) ADC y ( BCD son ángulos suplementarios (Hipótesis) (4) ( ADC)° + ( BCD)° = 180° (Teorema 4.3 (3)) (5) D( ACD) = 180 - [( CAD)° + ( ACD)° + ( ADC)°] (Def. defecto) (6) D( BCD) = 180 - [( BCD)° + ( CBD)° + ( BDC)°] (Def. defecto) (7) D( ACD) + D( BCD) = 360 - [( CAD)° + ( ACD)° + (Pasos 5 y 6) ( ADC)° + ( BCD)° + ( CBD)° + ( BDC)°] 104 (8) D(ACD) + D(BCD) =360- [( CAD)°+( ACD)°+180°+( BCD)°+( CBD)°] (( ADC)° + ( BDC)° = 180°) (9) D(ACD) + D(BCD) = 180 - [( CAD)° + ( ACD)° + ( BCD)° + ( CBD)°] (Paso 8) (10) D(ACD) + D(BCD) = 180 - [( CAD)° + ( ACB) + ( CBD)°] ( ACD)° + ( BCD)° = ( ACB) (11) D(ACD) + D(BCD) = D(ACB). (Def. de defecto) COROLARIO Siempre que se tenga la misma hipótesis, la suma de las medidas de los ángulos del ABC es igual a 180° si y sólo si las sumas de las medidas de los ángulos de cada triángulo ACD y BCD es igual a 180°. Demostración: Si ACD y BCD tienen ambos error cero, entonces el error de ABC = 0+0 = 0 (Teorema 4.6). Recíprocamente, si ABC tiene defecto cero, entonces por el teorema 4.6 D( ACD) + D( BCD) = 0. Pero el defecto de un triángulo nunca puede ser negativo (teorema de Saccheri-Legendre). Por tanto ACD y BCD tienen cada uno de ellos, defecto cero. (La suma de dos números no negativos es igual a cero sólo cuando uno de ellos es igual a cero). Luego recordemos que por definición un rectángulo es un cuadrilátero cuyos cuatro ángulos son rectos. Por tanto la suma de las medidas de los ángulos de un rectángulo es 360°. Por supuesto aún no sabemos si los rectángulos existen en la geometría neutral. (Trate de construir uno de ellos sin usar el postulado de las paralelas o cualquier enunciado lógicamente equivalente a él, ver ejercicio 19). El siguiente teorema es el resultado que buscamos. Su demostración se dará en cinco pasos. TEOREMA 4.7 Si existe un triángulo cuya suma de las medidas de los ángulos es 180°, entonces existe un rectángulo. Si existe un rectángulo, entonces todo triángulo tiene una suma de las medidas de los ángulos igual a 180°. Demostración: (1) Construya un triángulo rectángulo que tenga la suma de las medidas de sus ángulos igual a 180°. Sea el ABC el triángulo dado con defecto cero. (Hipótesis) Asumamos que no se trata de un triángulo rectángulo, porque en caso contrario pasamos al paso (2). Por lo menos dos de los ángulos de este triángulo son agudos. Puesto que la suma de las medidas de dos ángulos de un triángulo debe ser menor que 180° (corolario del teorema 4.3), es decir A y B son agudos. Sea CD la altura trazada desde el vértice C (que existe por la proposición 3.16). Sostenemos que D está entre A y B. Asumamos lo contrario, es decir, D * A * B. 105 C D Figura 4.17 A B Entonces el ángulo interno no adyacente CDA es mayor que el ángulo externo CAB, lo que contradice el teorema 4.2. Similarmente, si A * B * D, obtenemos una contradicción. Por tanto A * D * B. (Axioma E-3). C Figura 4.18 A B D Se desprende entonces del corolario del teorema 4.6 que cada uno de los triángulos rectángulos ADC y BCD tienen defecto cero. (2) A partir de un triángulo rectángulo de defecto cero, construya un rectángulo. Sea CDB un triángulo rectángulo de defecto cero, recto en D. Por el axioma C-4, existe un único rayo CX en el lado opuesto de CB desde D, tal que DBC BCX. Por el axioma C-1, existe un punto único E en CX , tal que CE BD . C E X Figura 4.19 D B Entonces CDB BEC (LAL). Por tanto BEC es también un triángulo rectángulo de defecto cero, recto en E. Además, puesto que ( DBC)° + ( BCD)° = 90° por nuestra hipótesis, obtenemos por sustitución ( ECB)° + ( BCA)° = 90° y ( DBC)° + ( EBC)° = 90°. Además B es un punto interior del ECD, puesto que el teorema de ángulos alternos internos implica DE || DB y CD || BE y C es interior al EBD. (por la misma razón), luego, podemos aplicar el teorema 4.3 (3) y concluir que ( ECD)° = 90° = ( EBD)°. Con esto se prueba que CDBE es un rectángulo. 106 (3) A partir de un rectángulo, construya rectángulos "arbitrariamente grandes". Más precisamente, dado un triángulo rectángulo cualquiera D’E’C’, construya un rectángulo AFBC tal que AC > D’C’ y BC > E’C’ . Es posible hacer esto usando el axioma de Arquímedes. Simplemente "reproducimos" suficientes copias del rectángulo que tenemos para lograr el resultado (ver figura 4.20 y 4.21); a manera de ejercicio puede lograr esta "reproducción" con precisión. (4) Probar que todos los triángulos rectángulos tienen defecto cero. Esto se logra "inscribiendo" un triángulo rectángulo arbitrario D’E’C’ en un rectángulo como en el paso (3) y demostrando luego sucesivamente (aplicando dos veces el corolario del teorema 4.6) que ACB, DCB y DCE tienen cada uno de ellos defecto cero (ver figura 4.22). (5) Si todo triángulo rectángulo tiene defecto cero, entonces todo triángulo tiene defecto cero. F B E’ E Figura 4.20 A D C D’ C’ Como en el paso 1, trazar una altura a fin de descomponer un triángulo arbitrario en dos triángulos rectángulos (ver figura 4.18) y aplique el corolario del teorema 4.6. Figura 4.21 B E’ E Figura 4.22 A D C D’ C’ Los historiadores atribuyen la formulación del teorema 4.7 a Saccheri y Legendre, pero nosotros no lo nombraremos en su honor a fin de evitar confusión con el teorema 4.4. COROLARIO Si existe un triángulo con defecto positivo, entonces todos los triángulos tienen defecto positivo. 107 EJERCICIO DE REPASO ¿Cuáles de los enunciados siguientes son verdaderos? (1) Si dos triángulos tienen el mismo defecto, ellos son congruentes. (2) El cuarto postulado de Euclides es un teorema en la geometría neutral. (3) El teorema 4.5 muestra que el V postulado de Euclides es un teorema en la geometría neutral. (4) El teorema de Saccheri-Legendre nos indica que existen algunos triángulos cuya suma de las medidas de sus ángulos es menor que 180° y existen algunos triángulos cuya suma de las medidas de sus ángulos es igual a 180°. (5) El teorema de los ángulos alternos internos establece que si rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos internos son congruentes entre sí. (6) Es imposible demostrar en geometría neutral que existe un cuadrilátero. (7) El teorema de Saccheri-Legendre es falso en geometría euclidiana porque en dicha geometría la suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo nunca es menor que 180°. (8) De acuerdo a nuestra definición de "ángulo" la medida en grados de un ángulo no puede ser igual a 180°. (9) La noción de que un rayo “está entre” otros dos no está definida. (10) Es imposible probar en geometría neutral que existan rectas paralelas. (11) La definición de “ángulos interno no adyacente” dada en la pág. 100 es incompleta porque dicha definición usó la palabra “adyacente”, la cual nunca ha sido definida. (12) Un ángulo externo de un triángulo es cualquier ángulo que no está en el interior del triángulo. (13) El criterio de congruencia de triángulos LLL es un teorema en geometría neutral. (14) El teorema de ángulos alternos internos implica, como caso especial, que si una transversal es perpendicular a una de las rectas paralelas, entonces dicha transversal es también perpendicular a la otra. (15) Otra manera de enunciar el teorema de Saccheri-Legendre consiste en decir que el defecto de un triángulo no puede ser negativo. (16) El criterio de congruencia de triángulos ALA es uno de los axiomas para geometría neutral. (17) La demostración del teorema 4.7 depende del axioma de Arquímedes. (18) Si ABC es cualquier triángulo y C es cualquiera de sus vértices, y si una perpendicular es trazada de C a AB , entonces dicha perpendicular cortará a AB en un punto entre A y B. (19) En geometría neutral se considera un teorema el hecho de que dado un punto P cualquiera y una recta l cualquiera, existe a lo más una recta que pasando por P es perpendicular a l. (20) En geometría neutral se considera un teorema el hecho de que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes entre sí. 108 (21) La demostración del teorema 4.2 (sobre el ángulo exterior) usa el teorema 4.1 (sobre ángulos alternos internos). (22) El vacío en el intento de Euclides por demostrar el teorema 4.2 puede ser llenado usando nuestros axiomas de entre. EJERCICIOS Los siguientes son ejercicios de geometría neutral a menos que se diga lo contrario. Esto significa que en sus demostraciones a usted le está permitido aplicar únicamente aquellos resultados que han sido obtenidos previamente (incluyendo los resultados de los ejercicios anteriores). No se le está permitido utilizar el postulado de las paralelas u otros resultados de la geometría euclidiana que dependen de él. (1) (a) Termine el último paso de la demostración del teorema 4.6. (b) Demuestre que los triángulos congruentes tienen el mismo defecto. (c) Demuestre el corolario del teorema 4.7 (pág. 113). (2) Demuestre el corolario 1 del teorema 4.3 (pág. 104) aplicando el teorema 4.2 y las partes 5 y 6 del teorema 4.3. (3) Enunciar el recíproco del V postulado de Euclides. Demostrar que este recíproco es un teorema en geometría neutral. (4) Demostrar la proposición 4.7. (5) Demostrar la proposición 4.8 (Sugerencia: dé por supuesto el recíproco del teorema 4.1. Sea m la paralela a l a través de P construida en la demostración del corolario 2 del teorema 4.1 y sea n cualquier paralela a l a través de P. Usar la congruencia de los ángulos alternos internos y la unicidad de las perpendiculares para demostrar que m = n. Asumiendo luego el postulado de las paralelas, use el axioma C-4 y un argumento RAA para establecer el recíproco del teorema 4.1). (6) Demostrar la proposición 4.9. (7) Demostrar la proposición 4. 10. (8) Demostrar la proposición 4.11 (sugerencia: ver la figura 4.23). B Figura 4.23 A C (9) Lo siguiente pretende ser una demostración, en geometría neutral, del criterio de congruencia LAA. Encuentra el error (ver figura 4.6) Dado AC DF , A D, B E Entonces C F, ya que 109 ( C)° = 180° - ( A)° - ( B)° = 180° - ( D)° - ( E)° = ( F)° (Teorema 4.3 (2)) De aquí: ABC DEF por ALA (Proposición 3.17). (10) He aquí una demostración correcta del criterio LAA. Justifique cada paso. (1) Asuma que el lado AB no es congruente al lado DE . (2) Luego AB < DE o DE < AB (3) Si DE < AB , entonces existe un punto G entre A y B tal que AG DE (ver figura 4.24) (4) Entonces CAG FDE (5) Por tanto AGC E (6) Se desprende entonces que AGC B (7) Esto contradice a un cierto teorema. ¿Cuál? (8) En consecuencia DE no es menor que AB (9) Por un argumento similar que involucre a un punto H entre D y E, AB no es menor que DE . (10) Por tanto AB DE (11) En consecuencia ABC DEF. C F Figura 4.24 A G B D H E (11) Demuestre la proposición 4.2 (sugerencia: ver figura 4.7 pág. 102). En el rayo opuesto a AC , trace el segmento AD congruente a A’C’ . Demuestre primero que el DAB C’A’B’, luego use el triángulo isósceles y el criterio LAA para concluir. (12) He aquí una demostración de que el segmento AB tiene un punto medio. Justifique cada paso (ver figura 4.25). (1) Sea C un punto cualquiera que no está en AB (2) Existe un único rayo BX en el lado opuesto de AB desde C tal que CAB ABX (3) Existe un único punto D en BX tal que AC BD 110 (4) D está en el lado opuesto de AB desde C. (5) Sea E el punto en el cual el segmento CD corta a AB (6) Supongamos que ~ A * E * B (7) Luego se cumple cualquiera de las posibilidades: E =A o E =B o C E *A* B o A* B * E Figura 4.25 A (8) B E AC es paralela a BD (9) Por tanto E A y E B. D (10) Supongamos E * A * B (Figura 4.26) (11) Puesto que CA corta al lado EB del EBD en un punto entre E y B, este tiene que cortar también a cualquiera de los dos ED o BD . (12) Sin embargo esto es imposible. C (13) Por tanto ~ E * A * B Figura 4.26 (14) Similarmente ~ A * B * E (15) Luego A * E * B A (Ver figura 4.25) (16) Entonces AEC BED B E (17) EAC EBD. (18) Por tanto, E es un punto medio. D (13) Demostrar que el segmento AB tiene un único punto medio. (Sugerencia: asuma lo contrario y use las proposiciones 3.3 y 3.13 para derivar una contradicción.) (14) Demuestre la proposición 4.4. (Sobre bisectrices y mediatrices.) (Sugerencia: use puntos medios.) (15) Demuestre el siguiente resultado, necesario para demostrar el teorema de SaccheriLegendre (ver figura 4.27). Sea D el punto medio de BC y sea E el único punto sobre AD tal que A * D * E y AD DE . Entonces AEC tiene la misma suma de ángulos que el ABC y se cumple ( EAC)° o ( AEC)° es ½ ( BAC)°. (Sugerencia: demuestre primero que BDA CDE y luego demuestre que ( EAC)° + ( AEC)° = ( BAC)°. 111 B E D Figura 4.27 A C (16) Demuestre el corolario 1 del teorema de Saccheri-Legendre. (17) Demuestre los teoremas siguientes: (a) Sea una circunferencia con centro en O y sean A y B dos puntos en . El segmento AB se llama cuerda de ; sea M su punto medio. Si O M entonces OM es perpendicular a AB . (Sugerencia: ángulos correspondientes de triángulos congruentes son congruentes). (b) Sea AB una cuerda de la circunferencia con centro en o. Demuestre que la mediatriz de AB pasa por el centro o de . (18) Un enunciado euclidiano conocido dice: "un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto". Demuestre que este enunciado implica la existencia de un triángulo rectángulo ABC cuya suma de sus ángulos es 180°. (Ver figura 4.28) A Figura 4.28 B O C (19) Halle el error en el argumento siguiente que pretende ser apoyo para la construcción de un rectángulo. Sean A y B dos puntos cualesquiera. Existe una recta l a través de A perpendicular a AB (Proposición 3.16) y similarmente existe una recta m a través de B perpendicular a AB , escoja un punto cualquiera C en m tal que no sea B, existe una recta a través de C perpendicular a l -suponga que ella corta a l en D. Entonces ABCD es un rectángulo. (20) En la página 101 vimos de qué manera podría llenarse el vacío en la demostración del teorema 4.2 de Euclides (que trata de ángulos externos y en el ejercicio 12 justificamos el uso del punto medio por Euclides. Ahora termine el argumento de Euclides para obtener otra demostración del teorema 4.2.) (21) Demuestre la proposición 4.5 (Sugerencia: si AB > BC entonces sea D el punto entre A y B tal que BD BC (Figura 4.29). Use el triángulo isósceles CBD y el ángulo externo BDC para demostrar que ACB > A. Use este resultado y la tricotomía del orden para demostrar el recíproco. 112 C Figura 4.29 A B D (22) Demuestre la proposición 4.6. (Sugerencia: dado B > B’. Use la hipótesis de la proposición 4.6 para reducir al caso A = A’, B = B’ y C interior de ABC’, de modo que usted tiene que demostrar que AC < AC’ . (Ver figura 4.30). Esto es fácil en el caso C = D, donde el punto D se obtiene del teorema de la transversal. En el caso B D, la proposición 4.5 reduce el problema a la tarea de deomostrar que AC’C < ACC’. En el caso que B * D * C (como en la figura 4.30), usted puede demostrar esta desigualdad C’ usando la congruencia C Figura 4.30 D BC BC’ A B BCC’ BC’C. En el caso B * C * D (figura 4.31) aplique la congruencia BCC’ BC’C y el teorema 4.2 del ángulo externo BCC’ del DCC’ y al ángulo externo DCC’ del BCC’. (La implicación recíproca en la proposición 4.6 se desprende de la implicación directa, recién demostrada, si usted aplica la tricotomía.) C’ D A C Figura 4.31 BC BC’ B (23) Para la finalidad de este ejercicio llame a los segmentos AB y CD semi paralelos si el segmento AB no corta a la recta CD y si el segmento CD no corta a la recta AB . Evidentemente si AB || CD , entonces AB y CD son semiparalelos, pero el recíproco no necesariamente es válido (ver figura 4.32). Nosotros hemos definido que un cuadrilátero es convexo si un par de lados opuestos son semi paralelos. A B C Figura 4.32 D Demuestre que el otro par de lados opuestos son también semi paralelos. (Sugerencia: suponga que AB es semi paralelo a CD y asuma por el contrario que AD corta a BC en un punto E. Use la definición de cuadrilátero (Ejercicio 3, capítulo 1) para demostrar 113 que en cualquiera de los dos casos, usando el teorema de Pasch derive una contradicción. (24) Demuestre que las diagonales de un cuadrilátero convexo se cortan. (Sugerencia: aplique el teorrema de la transversal.) (25) Demuestre que la intersección de conjuntos convexos (definido en el ejercicio 19, capítulo 3) es también un conjunto convexo. Use este resultado para demostrar que el interior de un cuadrilátero convexo es un conjunto convexo y que el punto en el cual se cortan las diagonales está en el interior. (26) La cápsula convexa de un conjunto de puntos S es la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen a S, es decir, es el menor de los conjuntos convexos que contienen a S. Demuestre que la cápsula convexa de 3 puntos no colineales A, B y C consiste en los lados y el interior del ABC. (27) Dados A * B * C y DC AC . Demuestre que AD > BD > CD . (Figura 4.33, use la proposición 4.5). D Figura 4.33 A C B (28) Dado un triángulo cualquiera DAC y un punto cualquiera B entre A y C. Demuestre que se cumple una de las dos posibilidades BD < DA o DB < DC . (Sugerencia: trace una perpendicular desde D a AC y use el ejercicio anterior.) (29) Demuestre que el interior de una circunferencia es un conjunto convexo. (Sugerencia: use el ejercicio 26.) (30) Demuestre que si D es un punto exterior del ABC, entonces existe una recta DE a través de D que está contenida en el exterior del ABC (Ver figura 4.34). A Figura 4.34 C B D E (31) Suponga que la recta l corta a la circunferencia en 2 puntos C y D. Demuestre que: (a) El punto P de l está en el interior de si y sólo si C * P * D. (b) Si los puntos A y B están en el interior de y en lados opuestos de l, entonces el punto E en el cual AB corta a l está entre C y D. (32) En la figura 4.35, los pares de ángulos ( A’B’B’’, ABB’’) y ( C’B’B’’, ’, CBB’’) son llamados pares de ángulos correspondientes cuando l y l’ son cortadas por la 114 transversal t. Demuestre que que los ángulos correspondientes son congruentes si y sólo si loa ángulos alternos internos son congruentes. t C’ B’’ l’ A’ Figura 4.35 A B’ B EJERCICIOS AVANZADOS C l (1) Leer el capítulo 28 de Geometría Elemental desde un punto de vista avanzado de E. E. Moise, el cual describe un campo ordenado que no es arquimediano. Demuestre que si los grados se miden por números en el campo mencionado entonces fracasa la demostración del teorema de Saccheri-Legendre (bosquejado en la página 104). Si sabe leer alemán, busque el artículo por M. Dehn: "Muerte a Legendreschen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck", Mathematische Annalen, Bd. 53 (1900), pp. 405439, y redacte un informe suscrito sobre dicho artículo. (Dehn presenta dos modelos no arquimedianos de axiomas de incidencia, entre y congruencia, en uno de dichos modelos fracasa el teorema de Saccheri-Legendre y en el otro fracasa el recíproco de la proposición 4.11 (página 109), ver el apéndice B.) (2) Considere los enunciados siguientes sobre congruencia: (1) Dado el ABC y el segmento DE tal que AB DE . Entonces sobre un lado dado DE , existe un único punto F tal que AC DF y BC E F . (2) Dados los triángulos ADC y A’D’C’ y dados A * B * C y A’ * B’ * C’. S i AB A’B’ , BC B’C’ , AD A’D’ y BD B’D’ , entonces CD C’D’ . (Rigidez de un triángulo con tail) (Ver figura 4.36) D’ D Figura 4.36 A C’ C A’ B B’ Demuestre estos enunciados. También demuestre un enunciado 2a. a partir del enunciado 2 sustituyendo CD C’D’ por BD B’D’ en la hipótesis y haciendo BD B’D’ la conclusión. En la obra de Borsuk y Szmielew, los enunciados 1 y 2 se toman como axiomas, en lugar de nuestros axiomas C-4, C-5 y C-6. La ventaja de este cambio es que estos nuevos axiomas de congruencia se refieren sólo a congruencia de segmentos. La congruencia de ángulos, ABC A’B’C’, puede luego definirse, si se especifica que A y C (respectivamente A’ y C’) pueden escogerse sobre los lados del B (respectivamente B’) de modo que AB A’B’ , BC B’C’ y AC A’C’ . Con esta definición, 115 conservando los mismos axiomas de incidencia y entre dados anteriormente demuestre que C-4, C-5 y C-6 pueden ser demostrados a partir de C-1, C-2, C-3 y los enunciados 1 y 2. (Sugerencia: Demuestre primero el enunciado 2a mediante un argumento RAA. Luego demuestre que si ABC A’B’C’ y que si hubiéramos elegido otros puntos D, E, D’ y E’ en los lados del B y B’ tales que DB D’B’ y EB E’B’ , entonces DE D’E’ . (Ver figura 4.37). A D B C E A’ Figura 4.37 D’ B’ C’ E’ (3) Redacte un informe sobre la demostración del teorema 4.3 dado por Borsuk Szmielew, capítulo 3, secciones 9 y 10. La clave de la demostración consiste en que todo corte de Dedekind realizado en el conjunto ordenado de números racionales diádicos (Ver ejercicio 18, capítulo 3) determina un único número real. He aquí el método para asignar longitudes. Empezamos con un segmento OI cuya longitud será 1. Luego cualquier segmento obtenido al sacar n copias de OI tendrá una longitud n. Por el axioma de Arquímedes, cualquier otro segmento AB tendrá su punto extremo B entre dos puntos Bn-1 y Bn, tales que ABn 1 = n-1 y AB n = n, entonces AB tendrá que ser igual a ABn 1 + Bn 1B , por condición (9) del teorema 4.3, de modo que podemos asumir n = 1 y Bn-1 = A. Si B es el punto medio B½ de AB1 , ponemos AB½ = ½, en caso contrario B está ubicado ya sea en AB½ o en B½ B1 ; digamos en AB½ . Si entonces B es el punto medio B¼ de AB½ , ponemos AB¼ = ¼, en caso contrario B está ubicado en AB¼ , por ejemplo; y continuamos el proceso. Al final del proceso B se obtendrá como el punto medio de algún segmento cuya longitud ha sido determinado, en cuyo caso AB se determinará como algún número racional diádico a 2n ; o si no el proceso continuará indefinidamente en cuyo caso AB será límite de una sucesión infinita de números racionales diádicos; es decir, AB será determinado como un decimal infinito con respecto a la base 2. (4) Suponer que en los axiomas correspondientes a la geometría neutral, el axioma LAL es reemplazado por LLL. Demuestre que LAL es un teorema en este nuevo sistema. (Sugerencia: demuestre primero la proposición 3.10, luego la desigualdad triangular y luego el enunciado 1 del ejercicio mayor 2 usando el principio de continuidad circular). Yo conjeturo que LAL no puede ser reemplazado por LLL si en caso se abandona el principio de continuidad circular (y por consiguiente el axioma Dedekind.) (Gracias a Michael Erickson, un estudiante, por los argumentos presentados en la sugerencia.) 116
