TEMA 01 MATRIUS apunts

Departament de matemàtiques
Apunts de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II
IES Broch i Llop
2n de Batxillerat
TEMA 1. MATRIUS
1.1 Definicions bàsiques
Una matriu és un conjunt d’elements disposats en files i columnes,
de tal manera que cadascun dels elements ocupa un lloc determinat
(una fila i una columna).
Per exemple, considerem la matriu A
− 3 0 2 
A=
 , A ∈ Μ 2 x3
 5 1 − 1
Direm que la seua dimensió és 2x3 (files x columnes). Alguns dels
seus 6 elements són:
a11 = −3 , a 23 = −1 , etc.
Quan una matriu estiga formada per una sola fila direm que és un
vector fila, i quan només tinga una columna, un vector columna:
B = [− 1 0 3 8] és un vector fila
2
C =  3  és un vector columna
− 1
Donada una matriu A , és pot calcular la seua transposada
bescanviant files i columnes:
− 3 5 
− 3 0 2 
T
⇒ A =  0
A=
1 

 5 1 − 1
 2 − 1
AT
Una matriu és simètrica quan en fer la transposada és queda igual:
 2 − 2 4
3 5 
D=
, E = − 2 1 0 són simètriques

5 7 
 4
0 5
Direm que una matriu és quadrada quan tinga tantes files com columnes:
 2 − 2 4
0 2 − 5
3 5 


D=
, E = − 2 1 0 , F = 2 3 8  són quadrades

5 7 
 4
4 8 − 1
0 5
1
Departament de matemàtiques
Apunts de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II
Tema 1
IES Broch i Llop
Aquestes matrius gaudeixen de dos elements molt importants: la diagonal principal i la secundària.
Diagonal secundària
 2 − 2 4
E = − 2 1 0 
 4
0 5 
Diagonal principal
Un cas particular de matriu quadrada simètrica és la matriu identitat, formada per 1 a la diagonal principal i 0 a la resta:
1 0
1 0 0

1 0
0 1 0  , I = 0 1
=
I2 = 
,
I
3
4



0 0
0 1 
0 0 1

0 0
0
0
1
0
0
0
0

1
Aviat veurem el paper tan important que hi juga en el conjunt de les
matrius.
Direm que una matriu és triangular quan té tot zeros per damunt (o
per davall) de la diagonal principal. Són triangulars les matrius:
4 − 6 8
A = 0 − 1 2
0 0 0
0
0
9
− 6 2
0
B=
 9 −2 1

−1 0 −1
0
0
0

3
1.2 Suma i diferència de matrius
Aquestes operacions són ben senzilles: es tracta de sumar o restar
cada element amb el seu homòleg:
 − 3 0 2   3 9 − 8  0 9 − 6 
 5 1 − 1 + − 2 0 − 9 = 3 1 − 10

 
 

2
 2 − 2 4  5 − 8 2   − 3 6
− 7 1




0  − 8 − 2 6 = − 15 3 − 6

 4 10 15 4 − 2 5  0 12 10 
És fàcil comprendre que només es puguen sumar o restar matrius de
la mateixa dimensió.
2
Departament de matemàtiques
Apunts de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II
Tema 1
IES Broch i Llop
1.3 Producte d’una matriu per un nombre
Quan una matriu és multiplicada per un nombre, en resulta multiplicat cadascun dels seus elements:
 2 − 2 4   10 − 10 20
5 · − 7 1
0  = − 35 5
0 
 4 10 15  20
50 75
Un cas particular interessant és quan multipliquem una matriu per
–1, ja que:
0 − 2
− 3 0 2 
− 3 0 2   3
−1 · 
=
=−



 5 1 − 1 − 5 − 1 1 
 5 1 − 1
Per tant, la manera d’obtindre la matriu oposada − A és oposant
cadascun dels elements de la matriu A .
1.4 Producte de matrius
El producte de matrius ja és una operació de certa complexitat i que
requereix molta atenció perquè és fàcil enganyar-se en els càlculs.
Per aprendre bé el mètode, començarem pels casos més senzills fins
arribar als més complicats.
a) Producte d’un vector fila per un vector columna
Donats A vector fila i B vector columna,
b11 
b 
A = [a11 a12 L a1n ] , B =  21 
 M 
 
bn1 
Aleshores,
A · B = [a11
a12
b11 
b 
L a1n ] ·  21  = a11b11 + a12 b21 + K + a1n bn1
 M 
 
bn1 
Per exemple,
6 
8 
[− 1 0 − 3 8] ·   = −1· 6 + 0 ·8 + (− 3)· (− 5) + 8 · (− 2) = −6 + 15 − 16 = −7
 − 5
 
− 2
Coma a cosa novedosa, notem que el resultat de multiplicar vector
fila per columna és un nombre i no una matriu.
3
Departament de matemàtiques
Apunts de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II
Tema 1
IES Broch i Llop
b) Producte de matrius
Abordem ara ja el producte de matrius A· B . Per fer-ho, descompondrem la primera matriu A en files i la segona matriu B en columnes,
doncs ja sabem multiplicar fila per columna:
 2 −2 4
− 3 0 2  

· − 7 1
0 =


 5 1 − 1 
 4 10 15
26 18
− 6 + 0 + 8 6 + 0 + 20 − 12 + 0 + 30  2
 10 − 7 − 4 − 10 + 1 − 10 20 + 0 − 15  = − 1 − 19 5 

 

Observem que:
•
Només podrem fer A· B quan núm.cols de A = núm.files de B
•
El producte A· B donarà com a resultat una matriu amb les files de A i les columnes de B
És a dir:
A ∈ Μ mxn 
 ⇒ A ·B ∈ Μ mxr
B ∈ Μ nxr 
1.5 Propietats de les operacions
SUMA
PRODUCTE
ASSOCIATIVA
(A+B)+C = A+(B+C)
(A·B)·C=A·(B·C)
COMMUTATIVA
A+B=B+A
No es compleix
ELEMENT NEUTRE
Matriu nul·la
(tota de zeros)
Matriu identitat I
ELEMENT SIMÈTRIC
Matriu oposada -A
Matriu inversa A-1
(si en té)
DISTRIBUTIVA
A·(B+C)=A·B+A·C
(B+C)·A=B·A+C·A
1.6 Inversa d’una matriu
És possible que en les operacions anteriors n’haguem trobat a faltar
una: la divisió. Les matrius no es poden dividir entre elles. No obstant
això, necessitarem fer desaparéixer matrius per poder resoldre equacions matricials, de la mateixa manera com fem desaparéixer nombres.
Si volem fer desaparéixer el 3 de la següent equació 3 x = 15 , el que
hem de fer és “passar el 3 dividint a l’altra banda” x = 15 / 3 = 5 , encara
4
Departament de matemàtiques
Apunts de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II
Tema 1
IES Broch i Llop
que realment el que estem fent és multiplicar a banda i banda per
l’invers del 3, o siga, 1/3:
1
1
3 x = 15
⇒ x=5
3
3
Ara que hem recuperat el fonament teòric de la divisió, anem a aplicar-ho al món de les matrius.
Donada una matriu quadrada A , anomenem matriu inversa A
aquella matriu que compleix:
−1
a
A A −1 = A −1 A = I
Observacions:
•
•
No totes les matrius tenen inversa. Les matrius que sí en tenen
s’anomenen regulars.
La matriu A −1 també és quadrada i amb la mateixa dimensió
que A .
Vegem dos mètodes per a trobar inverses:
a) Mètode del sistema d’equacions
Intentarem trobar la inversa de les matrius següents:
3 1 
A=

5 2
x
z
−1
Siga A = 
6
2
B=

− 1 − 3
y
. Cal trobar el valor de x, y, z , t
t 
3 1   x y  1 0
 3 x + z 3 y + t  1 0
A A−1 = I ⇒ 
=
⇒ 




= 
 ⇒
5 2  z t  0 1 
5 x + 2 z 5 y + 2t  0 1 
Hem de tractar aquesta igualtat com dos sistemes independents:
3x + z = 1 
 ⇒ x = 2 , z = −5
5 x + 2 z = 0
3y + t = 0 
 ⇒ y = −1 , t = 3
5 y + 2t = 1
 2 − 1
⇒ A −1 = 
.
− 5 3 
En efecte, A A
−1
3 1  2 − 1 1 0
=
=I
·
=
5 2 − 5 3  0 1
Anàlogament, per a trobar la inversa de B ,
6  x
2
− 1 − 3  z


y  1 0 
=
t  0 1
⇒
 2 x + 6 z 2 y + 6t  1 0
− x − 3 z − y − 3t  = 0 1

 

5
⇒
Departament de matemàtiques
Apunts de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II
Tema 1
IES Broch i Llop
2x + 6z = 1 
 ⇒ No té solució (sistema incompatible)
− x − 3 z = 0
2 y + 6t = 0

− y − 3t = 1
⇒ No té solució (sistema incompatible)
Per tant, ací tenim un exemple de matriu que NO té inversa.
b) Mètode de Gauss
3 1 
A=

5 2
 1 2 2
C = − 1 1 0
 1 0 1
6
2
B=

− 1 − 3
Donada una matriu quadrada A , el mètode de Gauss proposa transformar la Matriu A en la matriu identitat I mitjançant transformacions equivalents:
[A I ] ⇒ [I
A −1
]
Vegem-ne alguns exemples:
zeros en la 1a columna
[A I ] = 53

zeros en la 2a columna
1 en la diagonal principal
3 1 1 0 f 1 − f 2
3 0 6 − 3 f1 / 3
1 1 0
⇒ 
⇒ 



2 0 1 3 f 2 − 5 f1
0 1 − 5 3 
0 1 − 5 3 
1 0 2 − 1
⇒
.
0 1 − 5 3 
{
 2 − 1
Per tant, A −1 = 
.
− 5 3 
I
Anàlogament la matriu B :
zeros en la 1a columna
[B I ] = −21

zeros en la 2a columna
3 1 1 0 f 1 − f 2
6 1 0
⇒ 


− 3 0 1 2 f 2 + f 1
0 0 1 2 
Com és impossible fer un 0 amb el 0 de sota, la matriu B no té inversa (cosa que ja sabíem).
El cas de la matriu C és un poc més complicat, perquè la sua dimensió és 3x3. Vegem-lo:
6
Departament de matemàtiques
Apunts de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II
zeros en la 1a columna
1 2 2
[C I ] = − 1 1 0
 1 0 1
zeros en la 2a columna
1 0 0

0 1 0 f 2 + f 1 ⇒
0 0 1 f 3 − f 1
zeros en la 3a columna
1 2
2
1 0 0 3 f 1 − 2 f 2


2
1 1 0
0 3
0 − 2 − 1 − 1 0 1 3 f 3 + 2 f 2
− 2 0 f 1 − 2 f 3

1
1 0 f 2 − 2 f 3
− 1 2 3
1 0 0

0 1 0
0 0 1
− 2 − 2
 1 − 2 − 2

−1
1 − 1 − 2 ⇒ C =  1 − 1 − 2
− 1 2
−1 2
3 
3 
{
⇒
1 en la diagonal principal
3 0 2

0 3 2
0 0 1
1
Tema 1
IES Broch i Llop
3 0 0

⇒ 0 3 0
0 0 1
− 6 − 6 f1 / 3

3 − 3 − 6 f 2 / 3 ⇒
−1 2
3 
3
1
I
En efecte,
 1 2 2  1 − 2 − 2 1 0 0 
C C = − 1 1 0 ·  1 − 1 − 2 = 0 1 0  = I
 1 0 1 − 1 2
3  0 0 1 
−1
1.7 Rang d’una matriu
Abans de parlar de rang, haurem de recordar què és una combinació
lineal:
3
− 1 2
En la matriu A = 
 , f 2 = −2 f 1 . Direm aleshores que f 2 és
 2 − 4 − 6
una combinació lineal (CL) de f1 , o que f1 i f 2 són linealment
dependents (LD). Anàlogament, c 2 = −2c1 , o bé c3 = −3c1
Ara ja estem en condicions de definir el rang:
Anomenem rang d’una matriu al nombre de files o columnes linealment independents (LI).
Per exemple, el rang de la matriu anterior és 1, perquè només té 1
fila (columna) linealment independent.
a) Mètode d’observació
Anem a calcular el rang de les següents matrius:
7
Departament de matemàtiques
Apunts de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II
 2 3 − 1 4
A=

1 0 4 5 
 2 3 − 5
B = 1 − 2 1 
1 5 − 6
7 − 1
0 5
C=
0 0

0 0
Tema 1
IES Broch i Llop
4 8
2 6 
8 4

0 6
Les dues files de la matriu A són LI, ja que no són proporcionals (no
podem expressar f 2 = kf1 ). Es podria demostrar que només hi ha 2
columnes LI. Per tant, rangA = 2 .
La fila 3 de la matriu B és combinació de les altres, ja que f 3 = f 1 − f 2 .
Per tant,
 2 3 − 5
B = 1 − 2 1 
1 5 − 6
≅
 2 3 − 5
1 − 2 1  ⇒


f 1 LI f 2
⇒ rangB = 2
La fila 1 de la matriu C és LI a les altres 3, ja que no es pot aconseguir un 7 amb tres zeros. Anàlogament, la fila 2 ho és de les de sota
pel mateix motiu, i també la 3. Pere tant, C té 4 files LI, i rangC = 4 .
La matriu anterior és triangular. Com hem pogut comprovar, quan
una matriu té aquesta característica és realment fàcil calcular el rang.
b) Mètode de Gauss
Aquest mètode es basa en la transformació d’una matriu en una altra
amb el mateix rang però amb molts zeros. És molt útil quan el mètode d’observació no ens funciona.
4
−1 
3 7

M = 2 11 − 6 17  f 2 + 17 f 1
5 − 1 24 − 37 f 3 − 37 f 1
≅
7
4
− 1
 3
 53
130
62
0 

− 106 − 260 − 124 0 
Ara ja podem assegurar que f1 és LI de f 2 i f 3 , ja que no podem obtindre un –1 amb dos zeros. Per altra banda, es veu clarament que
f 3 = −2 f 2 , per tant,
7
4
− 1
 3
 53
130
62
0 

− 106 − 260 − 124 0 
≅
7
4 − 1
3
53 130 62 0  ⇒ f1 LI f 2


⇒ rangM = 2
Notem que l’anàlisi es pot fer per files o per columnes. Com a norma
general, triarem sempre del que menys hi haja.
8
Departament de matemàtiques
Apunts de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II
Tema 1
IES Broch i Llop
1.8 Equacions i sistemes d’equacions matricials
a) Equacions
La incògnita ja no és un nombre x, sinó una matriu X.
Exemple: troba una matriu X que complisca AX = B
6
3 1 
2
on A = 
i B=

.
5 2
− 1 − 3
Si A tinguera inversa, podríem fer A −1 AX = A −1 B ⇒
X = A −1 B
 2 − 1
Com hem vist en la pàgina 6, A té inversa i val A −1 = 
 , per
− 5 3 
tant:
6  5
15 
 2 − 1  2
=
X = A −1 B ⇒ X = 




− 5 3  − 1 − 3 − 13 − 39
b) Sistemes d’equacions
Exemple: Resol el sistema
− 20
X − 3Y = 
 −2
 23
2 X + 3Y = 
− 4
Sumant-les:
− 20 − 5   23 17   3 12
3X = 
+
=

 − 2 − 15 − 4 15 − 6 0 
⇒
− 5 

− 15 

17  
15 
 1 4
X =

− 2 0
 23 17 
 23 17 
 1 4 21 9 
 7 3
− 2X = 
−2 
⇒ 3Y = 
=
⇒ Y =





− 4 15
− 4 15
− 2 0  0 15
 0 5
Aquesta obra està subjecta a una llicència de ReconeixementNoComercial-CompartirIgual 3.0 Espanya de Creative Commons
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/
9