1
Instituto Tecnológico de Mérida.
Campus Norte
NOMBRE DE LA MATERIA:
MÉTODOS NUMÉRICOS
NOMBRE DE LA ACTIVIDAD:
Ensayo - Cuadro Comparativo de
métodos numéricos
Maestra:
ISC. Elsa Isela Nabté Núñez
NOMBRE DEL ALUMNO:
Xool Castro Ernesto Eduardo
GRUPO: 4Q1
FECHA: DOMINGO 17 DE
SEPTIEMBRE DEL 2021
2
Empecemos partiendo del tema iteraciones en la asignatura de métodos numéricos. Nos
vamos a plantear una pregunta para empezar a desarrollar el tema la cual es. ¿Cuál es el
objetivo de esta herramienta?. En mi punto de vista trata de resolver un problema (como
una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la
solución, empezando desde unos valores iniciales que con ayuda de alguna fórmula que
tienen la propiedad o sea el método empleado nos va dar va a producir un resultado más
cercano a la respuesta a partir de un valor estimado previo, al obtener el resultado de la
fórmula, este se convierte en el nuevo valor y se repite la fórmula esperando mejorar la
respuesta a modo de aproximarse al resultado más cercano, en resumen, los métodos
iterativos se acercan a la respuesta mediante aproximaciones sucesivas. Sin embargo,
hay que tomar en cuenta ciertos aspectos, como la elección del valor inicial, así como la
propiedad de convergencia de la fórmula y un criterio especial para terminar las
iteraciones.
Como ya se ha mencionado anteriormente las iteraciones su importancia es que en un
método iterativo es un método que progresivamente se va calculando con ayuda de las
aproximaciones a la solución de un problema. En un método iterativo se repite un
mismo proceso de mejora sobre una solución aproximada: se espera que lo obtenido sea
una solución más aproximada que la inicial. El proceso se repite sobre esta nueva
solución hasta que el resultado más reciente tenga como resultado ciertos requisitos. La
principal diferencia de los métodos directos, en los cuales se debe terminar el proceso
para obtener una respuesta, en los métodos iterativos se puede suspender el proceso al
término de una iteración y se obtiene una aproximación a la solución la cual sea
esperada. Se hace hincapié en esto ya que es un elemento en contra de los métodos
iterativos ya que sólo calculan aproximaciones.
Las ventajas de estos métodos es que se pueden utilizar cuando no se conoce un método
para obtener la solución en forma exacta. Sobre los métodos que existen más adelante se
presenta una tabla comparativa con los métodos ya vistos en la unidad al igual que 2
métodos extras con sus respectivas comparaciones.
Regresando al tema principal
también se utilizan cuando el método para determinar la solución exacta requiere
3
mucho tiempo de cálculo, cuando una respuesta aproximada es adecuada, y cuando el
número de iteraciones es relativamente reducido. Bien ahora método iterativo cuenta
con los siguientes pasos a realizar para obtener las aproximaciones:
1- Inicia con una solución aproximada que en algunos casos como ya se ha visto en clase
se le denomina semilla
2- Ejecuta una serie de cálculos para obtener o construir una mejor aproximación
partiendo de la aproximación semilla. La fórmula que permite construir la aproximación
usando otra se conoce como ecuación de recurrencia.
3- Se repite el paso anterior, pero usando ahora los nuevos de la semilla inicial de la
aproximación obtenida.En clase han sido cubiertos ciertos métodos iterativos
correspondientes a la unidad, así como uno basado en técnicas de optimización los
métodos de iteración son
• Punto fijo
• Método de Jacobi
• Método de Gauss-Seidel
Concluyendo en tema de las iteraciones con base a mi punto de vista la utilidad que le
podemos dar en nuestra carrera sería un de los claros ejemplos que en lo cual es útil,
sinceramente serían muchos, ya que en la ingeniería usan el proceso iterativo para
desarrollar funciones nuevas, implementar reparaciones de errores o realizar pruebas,
implementación nuevas de estrategias, etc. En muchos casos, los equipos de ingeniería
crean algunas iteraciones que consideran que tienen las mismas posibilidades de
prosperar, después las prueban con los usuarios. De este modo, detectan los puntos
débiles y también los fuertes. Después, siguen desarrollando la propuesta que resultó
mejor en la prueba, sin embargo otro ejemplo podría ser en los desarrollos de productos
de igual forma una aplicación que me robó mucho la atención es que esta herramienta
también puede ser utilizada en procesos para la destilación según J. Méndez Barriga, L.
Ibarra-Bracamontes, G. González-Avalos y C. Rubio-Maya: en la destilación es la técnica
de separación más común para mezclas líquidas con dos o más componentes. Mediante
el uso de etapas en serie se logran separaciones de alta pureza que no son viables por
otros medios. El principal inconveniente de la destilación tradicional es su enorme
consumo de energía, para reducirlo se han empleado diversas metodologías de
4
integración energética (IE), que en esencia buscan usar las corrientes calientes de salida
(que queremos enfriar) para calentar los materiales fríos que entran al proceso o para
generar vapor y energía eléctrica en equipos de cogeneración, para así reducir el
consumo de energía y servicios de enfriamiento. El modelo dinámico de una columna de
destilación, para los casos tradicional e integrado, se puede describir como un sistema
de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que incluye los balances de
materia y energía de cada etapa, cuando este modelo se lleva al estado estable, se
transforma en un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales. En este trabajo se
aplican diversos métodos de solución al sistema de ecuaciones no lineales, mostrando
sus ventajas y desventajas, así como algunos problemas de convergencia que se
presentan durante su solución numérica.
5
BIBLIOGRAFÍAS
● J. Méndez Barriga, L. Ibarra-Bracamontes, G. González-Avalos y C. Rubio-Maya,
Aplicación de los métodos iterativos a la solución de sistemas de ecuaciones
lineales para el control de columnas de destilación con integración de energía.,
Revista Mexicana de Métodos Numéricos (2017). Vol. 1 URL
https://www.scipedia.com/public/Méndez_Barriga_Rubio-Maya._2017a.
● Gundersen, T. (1982). Aspectos numéricos de la implementación de ecuaciones
cúbicas de estado en rutinas de cálculo flash. Computadoras e ingeniería química,
6 (3), 245-255. http://doi.org/10.1016/0098-1354(82)80015-X
● García B., S. (2017). Métodos numéricos.
● Martins, J. (2021, 20 abril). Cómo entender los procesos iterativos. Recuperado
16 de octubre de 2021, de https://asana.com/es/resources/iterative-process
● Ferrer, J. I. (2017). MÉTODOS ITERATIVOS Cálculo Numérico. Recuperado 16 de
octubre de 2021
6
CUADRO COMPARATIVO DE LOS METODOS.
Función
Ventajas
Desventajas
Diferencia
Gradiente
Tiene la propiedad
No requiere álgebra
Su convergencia
Puede ser visto
Conjugado
de generar un
lineal numérica, no
suele ser lenta y no
como un método
conjunto de
requiere ninguna
son muy usados en la
directo, ya que en un
vectores no nulos
matriz, por lo cual es
práctica
número finito de
con una propiedad
más efectivo que otros
pasos conduce a la
especial.
métodos
solución exacta.
Gauss -
Es un métod
Se acerca más rápido
Depende
Es utilizado los
Seidel
iterativo utilizado
a la aproximación
fundamentalmente de
valores de las
para resolver
cuando el método
su criterio de
incógnitas recién
sistemas de
convergente y se
convergencia.
calculados en la
ecuaciones lineales
puede llegar al
misma iteración
resultado con menos
iteraciones
Jacobi
Es un método
Es el proceso más
Al usar este proceso
Se utiliza el valor de
iterativo, usado para
sencillo al usar este
de Jacobi la matriz no
las incógnitas para
resolver sistemas
método iterativo.
es diagonalmente por
determinar una
de ecuaciones
lo tanto es
nueva aproximación
lineales del tipo. El
probablemente que
algoritmo toma su
no tenga una
nombre del
convergencia.
matemático alemán
Carl Gustav Jakob
Jacobi. El método
de Jacobi consiste
en usar fórmulas
como iteración de
punto fijo.
Punto Fijo
El método del punto
Resueove los
No garantiza la
Se converge a la
fijo es un método
sistemas de
convergencia. La
raíz, es continúa y
iterativo que permite
ecuaciones no
función correcta
diferenciable
resolver sistemas
necesariamente
puede ser muy
de ecuaciones no
lineales.
compleja de
necesariamente
Se puede emplear
encontrar. No existe
lineales. En
para determinar raíces
regla para escoger la
particular se puede
de una función
correcta.
utilizar para
7
determinar raíces
de una función de la
forma f(x), siempre
y cuando se
cumplan los
criterios.
intervalo
Es aquel método
Siempre llegas a la
La velocidad de
Se emplean para
que necesita de dos
convergencia.
convergencia es de
mejorar la
valores iniciales
Tambien funciona para
las más lentas de
convergencia del
para encontrar su
ecuaciones
todos los métodos
método de
raíz, estos valores
algebraicas y
Gauss-Seidel
deben estar a
trascendentes
considerando un
ambos lados de la
promedio de las
raíz
iteraciones
anteriores y actuales
Krylov
Los métodos de
Las aproximaciones a
El método prototípico
Los métodos del
Krylov, una
la solución se forman
de esta clase es el
subespacio de
alternativa de
minimizando el
método del gradiente
Krylov forman una
solución para
residuo en el
conjugado. Otros
base ortogonal de la
sistemas lineales.
subespacio formado
métodos son el
secuencia de
se tiene dos tipos
método del residuo
potencias de la
de problemas
mínimo generalizado
matriz por el residuo
principales: Ax = b y
y el método del
inicial
Ax = λx o Ax = λBx,
gradiente biconjugado
además de un
nuevo problema de
funciones de
matrices y = f(A)x
0
