Tarea 1 Transferencia de Calor y Masa

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Ingeniería Mecánica
Reporte Tarea 1
Estudiante:
Macarena Muñoz
Profesor:
Ramón Frederick
Profesor Auxiliar: Erick Kracht
Fecha de entrega: 21 de octubre de 2021
Pregunta 1
1
1.
Pregunta 1
1.1.
Enunciado del problema
En pocos años más se generalizará el transporte marítimo de hidrógeno líquido en barcos tanque
con recipientes esféricos. Los recipientes tienen que ser de pared relativamente ya que el hidrógeno,
aunque se puede mantener en estado líquido a presión atmosférica, en recipientes de níquel, puede
difundir a través del metal y escapar del estanque.
Las principales dificultades están en la temperatura que a la cual es necesario mantener el
hidrógeno líquido a 1[atm] (30[K]), y la capacidad del hidrógeno de difundir a través de metales,
lo cual crea peligros dado el carácter inflamable del hidrógeno en aire. La ganancia de calor puede
ser muy alta dada la temperatura del aire exterior que puede ser de 288[K].
Determinar la ganancia térmica en Watt y el flujo de masa de hidrogeno [kg/h] que permea
un estanque esférico de níquel con radio interior de 0, 9[m] y con 6[cm] de espesor de pared. La
difusividad del hidrógeno en el níquel es de 1, 2 · 10−12 [m2 /s] . La concentración de hidrógeno en la
superficie interior es de 0, 087[kmol/m3 ].
1.2.
Esquema
Figura 1.1: Esquema del problema planteado en la pregunta 1
1.3.
Resolución
Reporte Tarea 1
ME711-1 Transferencia de Calor y Masa
Pregunta 1
1.3.1.
2
Transferencia de calor
Como la idea de la pregunta es comparar la Ley de Fick con la Ley de Fourier, sólo se considerará
la conducción de calor a través del níquel, ignorando la convección del hidrógeno líquido y la del
aire exterior.
La ley de Fourier se puede expresar como se ve en la ecuación (1.1).
∆T
= Q̇
Rcond
(1.1)
Donde Rcond es la resistencia conductiva del Níquel, la cual se expresa como se muestra en la
ecuación (1.2).
r2 − r1
4πr2 r1 K
Rcond =
(1.2)
Para el problema tenemos que:
r2 = 0, 9 + 0, 06[m]
r1 = 0, 9[m]
K = 52, 3
h
W
mK
i
Reemplazando estos datos en la ecuación (1.2) se obtiene que:
W
= 0, 000105
K
Rcond
Teniendo el valor de Rcond y los valores de las temperaturas dentro y fuera de la esfera de níquel,
reemplazamos en la ecuación (1.1):
(288 − 30)[K]
h
0, 000105
W
K
i = Q̇
Q̇ = 2441, 7[kW ]
1.3.2.
Transferencia de masa
Como nos piden el flujo en [kg/s], primero transformamos CA en [kg/m3 ]:
CA = 0, 087
2kgH2
kg
kmolH2
·
= 0, 174 3
3
m
1kmolH2
m
Luego, explicitamos los supuestos para simplificar el problema. Estos son:
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ME711-1 Transferencia de Calor y Masa
Pregunta 1
3
Que no hay hidrógeno en el manto extrerior de la esfera, es decir, CAout = 0
El Níquel con el hidrógeno no reaccionan, por lo que no se pierde ni se gana hidrógeno cuando
atraviesa el Níquel
Haciendo una analogía con la ley de Fourier mostrada en (1.1), la ley de Fick tiene la forma
mostrada en (1.3)
∆CA
= ṄA
RN i
(1.3)
Donde RN i se expresa en la ecuación (1.4)
RN i =
r2 − r1
4πr2 r1 DAB
(1.4)
Para el problema tenemos que:
r2 = 0, 9 + 0, 06[m]
r1 = 0, 9[m]
DAB = 1, 2 · 10−12
h
m2
s
i
Reemplazando estos datos en la ecuación (1.4) se obtiene que:
RN i = 4,605,177,751
s
m3
Teniendo el valor de RN i y los valores de las concentraciones dentro y fuera de la esfera de
níquel, reemplazamos en la ecuación (1.3):
h
i
kg
m3
(0, 174 − 0)
h
4,605,177,751
i = ṄA
s
m3
−11
kg
s
kg
h
ṄA = 3, 778 · 10
Lo cual, convirtiéndolo a [kg/h] finalmente queda:
−7
ṄA = 1, 3602 · 10
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Pregunta 2
2.
4
Pregunta 2
La pregunta consiste en modelar una pared con una aleta en el programa COMSOL. Las características de esta aleta son:
W
Pared vertical de espesor 1[cm], de k = 5 mK
, de 50 cm de altura
Aleta del mismo material, con longitud 5[cm], espesor 5[mm]
Fluidos a la izquierda y a la derecha a 80 y 20o C respectivamente
Coeficientes convectivos izquierdo y derecho de 10 mW
2K
Las paredes limite horizontales se consideran perfectamente aisladas
Esquemáticamente el problema puede modelarse como en la figura 2.1
Figura 2.1: Esquema de problema 2
Para resolver el problema se introdujo la geometría y las propiedades físicas de la figura 2.1.
Además se hicieron 3 supuestos:
El cuerpo está inicialmente a temperatura ambiente, es decir, 20o C
El material tiene una densidad de ρ = 1[kg/m3 ]
El material tiene un cp = 1[J/kgK]
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Pregunta 2
5
Con todo esto definido se echó a correr el modelo en COMSOL en régimen transiente. El modelo
convergió a los 0,1[s]. La distribución de temperaturas se muestra en la figura 2.2.
Figura 2.2: Distribución de temperaturas en la aleta
Acercándonos a la zona de interés, es decir la aleta, se tiene la distribución mostrada en la figura
2.3.
Luego, nos preguntan por el flujo de calor en la aleta y si la solución que da el software es
coherente. Para calcular el flujo de calor se usó el mismo software COMSOL.
Al lado izquierdo de la aleta donde hay un fluido a 80o C se calculó el flujo de calor conductivo
normal y se multiplicó por el área (que en este lado es de 500[mm] · 10[mm]). Al hacer esto se
obtuvo un flujo de calor de Q = −1, 5504[W/m].
Al hacer lo mismo al lado derecho, considerando también el área de la aleta, se obtuvo un flujo
de calor de Q = 1, 5504[W/m]. Es decir, entra la misma cantidad de calor que la que sale, lo cual
hace coherente la solución del programa ya que si no fuera así, significa que el calor se escapa o
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Pregunta 2
6
(a)
(b)
Figura 2.3: Distribución de temperaturas en la aleta en 2.3a y curvas de
nivel isotérmicas en 2.3b
entra por las caras horizontales de la pared (las cuales fueron perfectamente aisladas en el modelo)
o que se genera calor en el cuerpo sólido.
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Pregunta 3
7
3.
Pregunta 3
3.1.
Enunciado del problema
El problema consiste en deducir las ecuaciones de transporte de vorticidad y función de corriente
en coordenadas cartesianas y cilíndricas a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes y continuidad
en 2D para un fluido estacionario e incompresible, las cuales se muestran a continuación:
∂u
1 ∂P
∂u
+v·
= ·
+µ·
u·
∂x
∂y
ρ ∂x
∂2u ∂2u
+ 2
∂x2
∂y
!
∂v
∂v
1 ∂P
u·
+v·
= ·
+µ·
∂x
∂y
ρ ∂y
∂2v
∂2v
+
∂x2 ∂y 2
!
(3.1)
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
(3.2)
(3.3)
Se define la vorticidad y la función de corriente respectivamente como:
∂u ∂v
−
∂y
∂x
(3.4)
∂Ψ
∂Ψ
;v = −
∂y
∂x
(3.5)
ω=
u=
3.2.
Resolución del problema en coordenadas cartesianas
3.2.1.
Ecuación de transporte de vorticidad
Primero diferenciamos la ecuación (3.1) en y:
∂2u
∂2u
∂v ∂u
∂2u
1 ∂2P
∂ 2 u ∂u
∂3u
+u·
+
·
+v· 2 =− ·
+µ· 2 ·
+µ· 3
∂y∂x
∂y∂x ∂y ∂y
∂y
ρ ∂x∂y
∂x ∂y
∂y
(3.6)
Análogamente diferenciamos la ecuación (3.2) en x, y luego la multiplicamos por −1:
−
∂u ∂v
∂2v
∂2v
∂2v
1 ∂2P
∂2P
∂3v
∂ 2 v ∂v
·
−u· 2 −
−v·
= ·
−µ·
−µ· 3 −µ· 2 ·
∂x ∂x
∂x
∂x∂y
∂x∂y
ρ ∂x∂y
∂x∂y
∂x
∂y ∂x
(3.7)
Sumando las ecuaciones (3.6) y (3.7) obtenemos:
∂2u
∂ 2 u ∂v ∂u
∂ 2 u ∂u ∂v
∂2v ∂2v
∂2v
∂ 2 u ∂u
∂3u
∂3v
∂ 2 v ∂v
+u·
+ · +v· 2 − · −u· 2 −
−v·
= µ· 2 · +µ· 3 −µ 3 −µ 2 ·
∂x∂y
∂x∂y ∂y ∂y
∂y ∂x ∂x
∂x ∂x∂y
∂x∂y
∂x ∂y
∂y
∂x
∂y ∂x
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ME711-1 Transferencia de Calor y Masa
Pregunta 3
8
Factorizando la parte izquierda de la expresión anterior se obtiene:
∂u
∂y
∂u ∂v
∂u
∂v
∂u
+u·
−
+
+v·
∂x ∂y
∂x
∂y
∂x
∂u ∂v
∂v
∂v
+u·
+
+v·
∂x ∂y
∂x
∂y
= µ·
∂ 2 u ∂u
∂3v
∂ 2 v ∂v
∂3u
·
−µ
−µ
·
+µ·
∂x2 ∂y
∂y 3
∂x3
∂y 2 ∂x
Recordando la ecuación de continuidad en 2D mostrada en (3.3) se pueden eliminar los términos
dentro de los paréntesis cuadrados de la expresión anterior:
∂u
∂u
∂u
u·
+v·
∂y
∂x
∂y
∂v
∂v
∂v
−
u·
+v·
∂x
∂x
∂y
=µ·
∂ 2 u ∂u
∂3v
∂ 2 v ∂v
∂3u
·
−
µ
−
µ
·
+
µ
·
∂x2 ∂y
∂y 3
∂x3
∂y 2 ∂x
Redistribuyendo los términos del lado izquierdo y multiplicando por −1 la expresión anterior
se obtiene:
−u ·
∂2u
∂2u
∂2v
∂2v
∂ 2 u ∂u
∂3u
∂3v
∂ 2 v ∂v
−v 2 +u 2 −v·
=µ· 2 ·
+µ· 3 −µ 3 −µ 2 ·
∂x∂y
∂y
∂x
∂x∂y
∂x ∂y
∂y
∂x
∂y ∂x
La expresión anterior se puede reescribir como:
∂
∂
u·
+v·
∂x
∂y
·
∂v
∂u
−
∂x ∂y
∂ 2 ∂v
∂u
−
2
∂x ∂x ∂y
=µ·
∂ 2 ∂v
∂u
+ 2
−
∂y ∂x ∂y
!
De la expresión anterior podemos identificar la vorticidad ω definida en la ecuación (3.4). Además podemos definir un vector de 2 coordenadas de velocidad como ~u = [u, v]. Recordando la
definición de Laplaciano se obtiene de la expresión anterior:
(~u · ∇)ω = µ · ∆ω
3.2.2.
(3.8)
Ecuación para la función de corriente
Esta se obtiene simplemente reemplazando la ecuación (3.5) en (3.4):
∂ ∂ψ
ω=
∂y ∂y
ω=
∂
∂ψ
−
−
∂x
∂x
∂2ψ ∂2ψ
+
∂y 2
∂x2
ω = ∆ψ
3.3.
(3.9)
Resolución del problema en coordenadas cilíndricas
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Pregunta 3
3.3.1.
9
Ecuaciones en coordenadas cilíndricas
En esta parte del problema nos piden rehacer lo anterior pero en coordenadas cilíndricas con r
y θ. Para esto lo primero que se debe hacer es replantear las ecuaciones (3.1), (3.2), (3.3), (3.4) y
(3.5) en coordenadas cilíndricas. Estas ecuaciones son:
Vθ ∂Vr
V2
∂Vr
+
− θ
ρ Vr
∂r
r ∂θ
r
!
∂Vθ
Vθ ∂Vθ
Vθ · Vr
ρ Vr
+
−
∂r
r ∂r
r
"
∂P
∂ 1 ∂(r · Vr )
=−
+µ
∂r
∂r r
∂r
"
1 ∂ 2 Vr
2 ∂Vθ
+ 2
− 2
2
r ∂θ
r ∂θ
1 ∂P
∂ 1 ∂(r · Vθ )
=−
−µ
r ∂θ
∂r r
∂r
#
1 ∂ 2 Vθ
2 ∂Vr
+ 2
− 2
r ∂θ2
r ∂θ
(3.10)
#
(3.11)
1 ∂(r · Vr ) 1 ∂Vθ
+
=0
r
∂r
r ∂θ
(3.12)
1 ∂(r · Vθ ) 1 ∂Vr
+
r
∂r
r ∂θ
(3.13)
1 ∂ψ
∂ψ
, Vθ = −
r ∂θ
∂r
(3.14)
ω=
Vr =
3.3.2.
Ecuación para la función de corriente
Esta se obtiene reemplazando la ecuación (3.14) en (3.13):
ω=
1 ∂(r · Vθ ) 1 ∂Vr
+
r
∂r
r ∂θ
∂ψ
1 ∂
r·−
ω=
r ∂r
∂r
1 ∂ 1 ∂ψ
+
·
r ∂θ r ∂θ
1 ∂ψ ∂ 2 ψ
1 ∂2ψ
−
+
·
ω=− ·
r ∂r
∂r2
r2 ∂θ2
(3.15)
En esta última línea se debe notar que la ecuación del Laplaciano en cilíndricas equivale a:
ω=
1 ∂ψ ∂ 2 ψ
1 ∂2ψ
·
+
+
·
r ∂r
∂r2
r2 ∂θ2
(3.16)
Por lo que las ecuaciones (3.16) y (3.15) difieren en dos signos asociados a la ecuación para la
función de corriente de Vθ en (3.14). Tal vez esta ecuación deba ser:
Vθ =
∂ψ
∂r
(3.17)
Para que la ecuación (3.15) calce con la definición de gradiente en (3.16) y por lo tanto con lo
obtenido en (3.9).
Reporte Tarea 1
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